Развитие и исследование алгоритмов вероятностного моделирования движения малых тел солнечной системы

На правах рукописи

Сюсина Ольга Михайловна РАЗВИТИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ВЕРОЯТНОСТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ Специальность 01.03.01 – астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2012

Работа выполнена в ОСП НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук Черницов Александр Михайлович.

Официальные оппоненты:

Чернетенко Юлия Андреевна доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт прикладной астрономии РАН, ведущий научный сотрудник;

Шапорев Сергей Дмитриевич доктор физико-математических наук, профессор, Балтийский государственный технический университет, заведующий кафедрой.

Ведущая организация:

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ.

Защита диссертации состоится 9 апреля 2013 г. в 15 ч. 30 м. на заседании диссертационного совета Д 212.232.15 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (Математико механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан _ 201 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Орлов Виктор Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы Актуальность проблемы, рассматриваемой в работе, определяется возросшим в последнее время интересом к исследованию движения малых тел (астероидов и комет) Солнечной системы, что вызвано рядом причин.

Основной из них является осознание того, что исследование орбитальной динамики малых тел проливает свет на эволюцию Солнечной системы в целом. Значительное увеличение количества открываемых в настоящее время астероидов и комет (общее количество открытых к настоящему времени объектов уже более пятисот тысяч и процесс обнаружения новых, ранее не наблюдавшихся, объектов активно продолжается) требуют развития эффективных вероятностных и численных методов и средств их реализации, способствующих более точному исследованию движения объектов.

Цели работы Целью настоящей работы является совершенствование и разработка математических методов вероятностного описания движения малых тел Солнечной системы, а также их применение к решению ряда практических задач.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработаны в линейной и нелинейной постановке эффективные методы определения областей возможных значений параметров ор бит малых тел по граничным поверхностям доверительных облас тей. Для варианта, когда доверительная область может быть с высо кой точностью представлена в параметрическом пространстве в ви де эллипсоида, разработано три линейных алгоритма отображения возможных значений параметров орбит на его граничную поверх ность. Для варианта, когда представление доверительной области в виде эллипсоида неправомерно и граничная поверхность задается в виде уровенной поверхности, определяемой целевой функцией, разработан более трудоемкий нелинейный способ отображения на эту поверхность.

2. Разработаны и исследованы различные способы определения в па раметрическом пространстве точности аппроксимации доверитель ных областей эллипсоидами, которая рассматривается как характе ристика (показатель) нелинейности и позволяет судить в какой по становке (линейной или нелинейной) надо решать задачу построе ния области возможных значений параметров орбиты рассматри ваемого объекта.

3. Исследованы особенности задачи наименьших квадратов (НК) и построения начальных областей возможных значений параметров орбит в разных системах координат.

4. Разработан комбинированный метод отображения во времени на чальной области возможных значений параметров орбит, вклю чающий в себя линейное и нелинейное отображения.

5. Исследован способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанный на уменьшении объемов доверительных областей.

Научная новизна работы Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны алгоритмы построения граничных поверхностей дове рительных областей в линейной и нелинейной постановке.

2. Предложены варианты приближенных и более точного, имеющего простое геометрическое толкование, способов вычисления показа телей нелинейности.

3. Показано, что при решении задач НК и определении начальных об ластей возможных значений параметров орбит малых тел, наблю даемых в одной оппозиции, лучшей системой параметров орбит яв ляются декартовы координаты и скорости.

4. Предложен комбинированный способ отображения во времени на чальных областей возможных значений параметров орбит, вклю чающий в себя линейное и нелинейное отображения.

5. Предложены способы отбраковки наблюдений и введения весовых множителей, основанные на предположении, что лучшей выборкой наблюдений и лучшими весовыми множителями является вариант, в котором определяемая доверительная область имеет меньшие размеры.

6. Определены показатели нелинейности в задачах построения на чальных областей возможных значений параметров орбит 412 АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции.

Практическая значимость работы Представленные в работе методы и разработанное на их основе про граммно-математическое обеспечение могут быть использованы в задачах исследования вероятностной эволюции движения малых тел Солнечной системы, построения эфемерид их движения, идентификации объектов, а также в задачах определения вероятности столкновения исследуемых объ ектов с большими планетами. Особенностью методов является их направ ленность на уменьшение объема вычислений, которое достигается сле дующим образом:

1. Применение быстрых и более точных оценок показателей нелиней ности для выбора линейных либо нелинейных методов построения областей возможных значений параметров орбит объектов. В част ности, в работе получены такие оценки для 412 АСЗ, которые на блюдались в одной оппозиции. На основе полученных оценок да ются четкие рекомендации по использованию алгоритмов построе ния доверительных областей.

2. Представление областей возможных значений параметров орбит в виде граничных поверхностей доверительных областей, что позво ляет осуществлять нелинейные отображения областей во времени значительно меньшим количеством возможных траекторий объек тов.

3. Применение комбинированного способа отображения во времени начальных областей возможных значений параметров орбит, что позволяет уменьшить интервал времени, на котором нужно исполь зовать трудоемкое нелинейное отображение, основанное на расчете ансамбля большого числа возможных траекторий объекта.

Кроме того, предлагаемый в работе способ отбраковки наблюдений и введения весовых множителей в ряде случаев позволяет повысить точность НК-оценок параметров орбит объектов и уменьшить размеры вероятностного разброса возможных значений этих параметров.

Результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритмы построения граничных поверхностей доверительных областей, определяемых в линейной и нелинейной постановке.

2. Способы определения показателей нелинейности в задачах по строения областей возможных значений параметров орбит малых тел и их применение к АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции.

3. Комбинированный способ отображения во времени областей воз можных значений параметров орбит, включающий в себя линейное и нелинейное отображения.

Апробация работы По результатам исследования опубликованы 25 работ, из которых статей в российских изданиях (Черницов и др., 2006a;

Черницов и др., 2007a;

Черницов и др., 2007b;

Сюсина и др., 2009;

Сюсина и др., 2010b;

Сюсина и др., 2011a;

Сюсина и др., 2011b;

Сюсина и др., 2011c;

Сюсина и др., 2011d;

Сюсина и др., 2011e;

Сюсина и др., 2012), входящих в перечень рецензируемых научных изданий, а также 14 работ в других изданиях (Ду бас, 2005;

Дубас и др., 2005;

Дубас, 2006a;

Дубас, 2006b;

Дубас, 2008;

Ду бас, 2009;

Черницов и др., 2006b;

Черницов и др., 2006c;

Chernitsov et.all, 2007;

Сюсина и др., 2010a;

Сюсина и др., 2010с;

Сюсина и др., 2010d;

Сю сина и др., 2010e;

Сюсина и др., 2010f). Результаты исследований доклады вались на 14 научных конференциях:

1. XXXIV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 31 января–4 февраля 2005 г.

2. Всероссийская астрономическая конференция "Околоземная ас трономия – 2005", г. Казань, 19–24 сентября 2005 г.

3. V Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и при кладные проблемы современной механики», г. Томск, 3–5 октября 2006 г.

4. XXXV Международная студенческая научная конференция, г. Ека теринбург, 30 января–3 февраля 2006 г.

5. Международная научная конференция "Современные проблемы ас трономии", г. Одесса, 2007 г.

6. International astronomical meeting "Dynamics of Solar System Bodies" in Siberia, Tomsk, July 27–31, 2008 г.

7. VI Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и при кладные проблемы современной механики», г. Томск, 30 сентября – 2 октября 2008 г.

8. Всероссийская конференция «Современная баллистика и смежные вопросы механики», г. Томск, 17 – 19 ноября 2009 г.

9. XXXVIII Международная студенческая научная конференция, г.

Екатеринбург, 2 – 6 февраля 2009 г.

10. Всероссийская астрономическая конференция (ВАК–2010) "От эпохи Галилея до наших дней", пос. Нижний Архыз, 12 – 19 сен тября 2010 г.

11. Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Ма тематическое и физическое моделирование опасных природных яв лений и техногенных катастроф», г. Томск, 18–20 октября 2010 г.

12. VII Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 12 – апреля 2011 г.

13. Международная конференция "Околоземная астрономия – 2011", Красноярск, 5 – 10 сентября 2011 г.

14. II Всероссийская Молодежная научная конференция "Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной меха ники", г. Томск, 11-13 апреля 2012 г.

Результаты, представленные в диссертации, включены в отчеты по проекту № 2.1.1/2629 «Развитие и применение основанных на параллель ных вычислениях математических моделей сложных космических систем естественного и искусственного происхождения», выполняемого в рамках АВЦП «Развитие потенциала высшей школы»;

в отчеты по гос. контрактам № П1247 и № П882 в рамках реализации ФЦП «Научные и научно педагогические кадры инновационной России»;

в отчеты по грантам РФФИ № 05-02-17043 и № 11-02-00918-а.

Во всех работах, написанных совместно с А.М. Черницовым и В.А.

Тамаровым, А.М. Черницову принадлежит выбор тем исследования, по становка задач и обсуждение полученных результатов. В.А Тамаров при нимал участие в тестировании на упрощенных моделях численных расче тов и подготовке публикаций. Соавторы А.П. Батурин (Сюсина и др., 2011е) и А.А. Кудашкина (Сюсина и др., 2010с;

Сюсина и др., 2010f) при нимали участие в тестировании ряда численных расчетов, связанных с по строением численной теории движения кометы Гершель-Риголле. Соавто ры работы (Черницов и др., 2007b) В.А. Авдюшев и М.А. Баньщикова при нимали участие лишь в численном эксперименте для спутника Юпитера Himalia, результаты которого в диссертации не приводятся.

Автору во всех публикациях принадлежит разработка рабочих алго ритмов, их программная реализация и проведение всех численных экспе риментов, включенных в диссертацию.

Краткое содержание диссертационной работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка ис пользованных источников (99 наименований), двух приложений, содержит 23 рисунка и 15 таблиц. Объем диссертации составляет 117 страниц.

Во введении дано обоснование актуальности проблемы, решаемой в диссертации;

сформулированы цель, новизна и практическая значимость исследований;

приведены результаты, выносимые на защиту;

список пуб ликаций и апробация работы, описана структура диссертации.

В первой главе дано общее описание рассматриваемой в диссертаци онной работе вероятностной модели движения малых тел Солнечной сис темы. Рассмотрена структура правых частей уравнений движения и приве ден анализ точности численного интегрирования системы уравнений мето дом Эверхарта. Подробно изложены вопросы, связанные с определением НК-оценок начальных параметров орбит и матриц ковариаций.

В частности, приведены особенности итерационного метода диффе ренциальных поправок (метод Гаусса-Ньютона) решения задачи улучше ния начальных параметров орбит в зависимости от интервала наблюдаемо сти объекта, выбора системы начальных параметров орбиты и начального момента времени для задач с моделируемыми и реальными наблюдениями.

Анализ улучшения орбит всех исследуемых астероидов показал, что в слу чае наблюдаемости объекта в одном появлении процесс улучшения на чальных параметров следует проводить в пространстве декартовых пере менных, так как в этом случае скорость сходимости метода дифференци альных поправок будет выше, а область сходимости шире. Для большин ства объектов, наблюдавшихся в двух и более оппозициях, выбор парамет рического пространства кеплеровых или декартовых переменных не оказал значительного влияния на свойства итерационного процесса метода диф ференциальных поправок.

В конце главы рассматриваются возможные варианты построения ве совых матриц ошибок наблюдений.

Во второй главе диссертации приводится краткий обзор методов по строения областей возможных значений параметров орбиты малых тел, разработанных ранее другими авторами, и излагается линейная и нелиней ная постановка задачи построения начальных и отображаемых во времени областей возможных значений параметров орбиты малых тел.

В рамках линейной теории оценивания наименьшие по размерам на чальные доверительные области представляют собой 6-мерные эллипсои ды, определяемые выражениями (Beale, 1960;

Bates, Watts, 1980;

Шеффе, 1980;

Дрейпер, Смит, 1986) (q q )T [ RT (q )WR(q )](q q ) 0 mF (m;

n m;

) 0 (k ) 2, 2 (1) q = ( q1,..., qm ), где НК-оценка определяемых параметров q – R(q ) = d (q ) / q – матрица частных производных от измеряемых парамет ров d = (d1,..., d n ) по определяемым q = ( q1,..., qm ), 0 – среднеквадрати ческая ошибка единицы веса, величина F (m;

n m;

) = F * есть верхняя квантиль для F (m;

n m) -распределения, W – весовая матрица. Тогда вершины доверительных эллипсоидов могут быть получены по следую щим формулам qi = q ± k i Vi, (2) где i и Vi – собственные значения и собственные вектора ковариацион ной матрицы D = 0 [ RT (q )WR(q )]1.

Возможны различные способы построения доверительных эллипсоидов.

В диссертации были исследованы три подхода к решению этой задачи.

В первом способе (а) моделируемые методом Монте-Карло случайные точки заполняют весь объем эллипсоида по следующей схеме (Айвазян, 1983) q j = q + AT. (3) j Здесь A – треугольная матрица, такая, что AAT = D ;

j – вектор, компо ненты которого j N (0,1) – независимые нормально распределенные случайные числа с единичной дисперсией.

Во втором (b) – случайные точки заполняют только граничную по верхность эллипсоида, с помощью следующего алгоритма (Сюсина и др., 2009) k A T.

q j* = q + (4) j j В третьем способе случайные точки заполняют пограничный эллип соидальный слой.

Численное сравнение эффективности представленных алгоритмов (3) и (4) построения начальных доверительных областей приводится для асте роида 2011 AG5 (рисунок 1). Для сравнения доверительных областей, по строенных с помощью различных алгоритмов, использовались вершины доверительного эллипсоида, определяемые с вероятностью накрытия "точ ных" значений параметров орбиты, равной 0.997 (на рисунке они обозна чены символами "+").

Как видно из рисунка, в способе представления доверительной облас ти ее граничной поверхностью, 10000 точек полностью определяют дове рительный эллипсоид, тогда как для его определения с помощью алгорит ма (а) такого количества точек недостаточно. Численные оценки показы вают, что для построения доверительных областей в 6-ти мерном парамет рическом пространстве этим способом с точностью, сравнимой со спосо бом задания доверительной области ее граничной поверхностью, требуют ся миллионы точек. Следует также отметить, что при отображении довери тельных областей в 3-х мерное декартово пространство с плотностью ото бражаемых точек, равной плотности распределения точек в исходном 6-и мерном пространстве, должны быть уменьшены размеры доверительных эллипсоидов. В этом случае множитель k * определяется соотношением (Шеффе, 1980) k pF ( p;

n m;

)1/ 2, где p = 3.

-0. a) -0. z, a.e.

-0. -0. -0.8490775 -0.8490725 -0. x, a.e.

-0. b) -0. z, a.e.

-0. -0. -0.8490775 -0.8490725 -0. x, a.e.

Рисунок 1 — Проекции начальных доверительных областей астероида 2011 AG5, определяемых 10000 точек.

К сожалению, методы определения областей возможных значений пара метров орбит, основанные на линейных оценках, не всегда оправданы. В некоторых задачах необходимо использовать нелинейный подход. В этой связи становятся важными способы классификации решаемых задач по степени нелинейности на слабо и сильно нелинейные, что позволит пра вильно выбрать метод построения таких областей. Известные способы оценивания нелинейности (Beale, 1960;

Bates, Watts, 1980) представляются нам сложными. Более простой способ рассматрен в работе (Бард, 1979), где предлагается выполнять оценивание по отличию значений целевой функции определяемой линейными и нелинейными соотношениями в вер шинах доверительного эллипсоида. Так как связь между вариациями целе вой функции и вариациями параметров орбит нелинейная, простое сравне ние целевых функций может оказаться некорректным. Поэтому мы не сколько модифицировали способ Барда, вводя нормировку предлагаемой им оценки. Помимо этого, мы рассмотрели еще варианты оценивания не линейности только по значениям целевой функции (или среднеквадратиче ских невязок), вычисляемой в вершинах доверительного эллипсоида и оп ределяемой точным нелинейным выражением (Дубас и др., 2005;

Черницов и др., 2006a;

Черницов и др., 2007a;

Сюсина и др., 2009;

Сюсина и др., 2011a;

Сюсина и др., 2011c). Различные варианты показателей нелинейно сти определялись нами соотношениями 1 max F 1 max min 1 max av = = =,,, 2 F 0 2 min 0 2 av 1 max F 1 max min 1 max av = = =,,, (5) 2 F 0 2 min 0 2 av ( max 0 )1/ 2 1.

= 0k { ( )}, max = max q j Здесь использованы следующие обозначения:

{ ( )}, где (q ) – значения целевой функции в вершинах min = min q j j () 1 2 m s q j «доверительного» эллипсоида;

av = q j – среднее из 2m s j = значений целевой функции в вершинах «доверительного» эллипсоида, за k исключением s аномальных вершин;

0 (q);

F = 0 1 +.

nm Входящие в формулы (5) среднеквадратические невязки определяются че рез соответствующую целевую функцию посредством соотношения = ( /(n m) ) 1/.

Возникает вопрос, какой из способов задания показателей нелинейно сти (5) предпочтительней применять. С этой целью нами было проведено численное исследование по сопоставлению значений показателей нели нейности на основе реальных наблюдений объектов. На рисунке 2 приве дены результаты такого исследования для двух объектов со слабой и силь ной нелинейностью. Показано, что все показатели, несмотря на различие их значений, позволяют для каждого объекта одинаково уверенно класси фицировать задачу оценивания нелинейности при принятом значении по * рогового показателя =0.1. и стандартных значениях множителя k [3;

4.5]. Задачи, в которых показатели нелинейности * 0.1, можно уверенно рассматривать как слабо нелинейные, т.е. использовать эллип соидальную аппроксимацию доверительной области. Для задач, имеющих большую практическую значимость, можно уменьшить принятое нами * значение до 0.01.

Слабая нелинейность Сильная нелинейность 2008TZ3 (30 суток) 2007FT3 (1 сутки) Рисунок 2 — Сравнение показателей нелинейности в задачах построения начальных доверительных областей астероидов, сближающихся с Землей.

В скобках указан интервал наблюдаемости объектов.

Достоверность оценок нелинейности показателями (5) тестировалась при помощи показателя, определяемого более точным, но существенно более сложным методом. Суть использованной для тестирования методи ки состояла в следующем.

Определялись вершины доверительного эллипсоида по формуле (2).

Далее вдоль направлений (qi q) находились точки q i, которые лежат на уровенной поверхности (q) = F. После этого вычислялись отношения qi qi = max { = i отрезков модулей векторов. Значение } прини i d q q d d i малось нами в качестве эталонной меры нелинейности решаемой задачи.

Показатель нелинейности есть достаточно точная характеристика от d клонения построенного доверительного эллипсоида от реальной довери тельной области в направлениях на вершины эллипсоида. Результаты вы числения точного показателя дают значения сравнимые по порядку со значениями показателей (5). Поэтому можно применять приближенные способы для быстрой оценки степени нелинейности задачи, что позволяет выбрать, не прибегая к трудоемкому точному способу, в какой постанов ке (линейной или нелинейной) надо решать задачу построения области возможных значений параметров орбиты рассматриваемого объекта.

Существует ряд возможностей, позволяющих уменьшить внешнюю нелинейность исходной задачи оценивания. Как правило, наличие внешней нелинейности связывают с неудачным выбором параметрического про странства, в котором определяется доверительная область. Проведенные нами исследования (Дубас, 2005;

Дубас и др., 2005;

Черницов и др., 2006a;

Chernitsov et all, 2007;

Сюсина и др., 2011a;

Сюсина и др., 2011c) для АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции, показали, что лучшим парамет рическим пространством, в котором следует определять для таких объек тов доверительные области, а также непосредственно решать задачи НК, является декартово пространство. Выбор для этой цели другого парамет рического пространства, например, кеплерового или его аналогов, значи тельно увеличивает внешнюю нелинейность и ухудшает свойства методов решения задач НК. Результаты данного исследования представлены на ри сунке 3.

Декартово пространство Кеплерово пространство Рисунок 3 — Диаграмма распределения по уровню нелинейности задач оценивания для 412 АСЗ, наблюдавшихся в одной оппозиции. Светлый цвет – слабая нелинейность, темный – варианты сильной нелинейности.

Кроме того, фактором, увеличивающим внешнюю нелинейность задач оценивания, может быть также неудачный "слепой" выбор начального мо мента времени, на который определяются доверительные области. Такой вариант возможен, если при решении задач оценивания использовать мо менты времени для систем параметров орбит объектов, которые приведены в каталоге Боуэлла. Наши оценки (Черницов и др., 2006a;

Черницов и др., 2006c) показали, что использование начальной системы параметров орби ты, полученной на момент времени вне интервала наблюдаемости, всегда приводит к увеличению внешней нелинейности.

Когда методы определения областей возможных значений параметров орбит, основанные на линейных оценках, не являются приемлемыми, рас сматриваются два способа построения доверительных областей: заполне ние случайными точками всего объема доверительной области и заполне ние ими только граничной (уровенной) поверхности области. Граничную поверхность доверительной области, построенной нелинейным способом, можно определить исходя из условия, что она должна быть уровенной от носительно целевой функции (q) :

(q ) = C. (6) В качестве постоянной C можно выбрать min, av, либо F. После того как постоянная C задана, составляем нелинейное уравнение F (q ) = ( q ) C = 0, (7) где q = q + l(q j q);

l параметр растяжения (сжатия) вектора (q j q) до граничной поверхности;

q j представляет собой одну из точек, обра зующих доверительную область.

Уравнение (7) решаем для каждой точки q j относительно параметра l методом Ньютона. Если построенная доверительная область не сильно от личается от эллипсоидальной, то выбор начального приближения для па раметра l не имеет принципиального значения, и можно выбрать l0 = 1.

Но с увеличением нелинейности задачи оценивания свойства метода Нью тона значительно ухудшаются. В таких случаях необходимо предвари тельно находить более близкие к решению начальные приближения для параметра l0. Это можно сделать, например, используя метод половинного деления.

Далее во второй главе диссертации изложены результаты исследова ния влияния точности используемых весовых матриц и систематической составляющей ошибок наблюдений и модели движения на размеры и рас положение в параметрическом пространстве определяемой доверительной области.

В конце второй главы рассматривается комбинированный способ ото бражения начальной области возможных значений параметров орбиты объекта на любой заданный момент времени, сочетающий как линейный, так и нелинейный подходы для решения этой задачи. В предложенном комбинированном способе построения отображений вначале применяется линейное отображение начальной области с последующей оценкой облас ти на нелинейность. Если показатель нелинейности оказывается больше * некоторого порогового значения, то область вычисляется линейным способом на некоторый предельный момент времени t *, для которого она еще остается эллипсоидальной. Затем область на заданный момент време ни вычисляется при помощи нелинейного отображения. Исследования по казали, что предложенный комбинированный способ отображения началь ных областей на произвольный момент времени дает возможность умень шить вычислительные затраты, так как позволяет сузить интервал, на ко тором нужно использовать нелинейный подход, основанный на численном интегрировании уравнений движения ансамбля виртуальных объектов.

На рисунке 4 приведены результаты, полученные для астероида 2007SJ.

Период обращения объекта составляет 1043.2 суток, он наблюдался в двух оппозициях и его мерный интервал охватывает ~ 1098.8 суток. Как видно из рисунка, для данного объекта можно использовать линейный подход не далее семи его оборотов в любой точке орбиты, на интервале от 7-ми до 34-х оборотов – только в области афелия. Объяснением волнообразной картины эволюции показателя нелинейности может служить тот факт, что основная деформация области возможных значений параметров происхо дит вдоль опорной (номинальной) орбиты. Все приведенные выше расчеты сделаны для невозмущенного движения астероидов с моделируемыми на блюдениями. Выборочные вычисления, выполненные с учетом возмуще ний и реальными наблюдениями, показали, что качественный характер ре зультатов при отсутствии сближений не меняется. Для объектов, наблю давшихся на больших интервалах времени, эффективность применения данного способа будет существенно больше, так как размеры областей возможных значений параметров орбит будут значительно меньше и ли нейные отображения будут возможны на больших интервалах времени.

Рисунок 4 — Эволюция показателей нелинейности В третьей главе показано, как алгоритмы построения доверительных областей могут быть использованы при выборе весовых матриц и отбра ковке наблюдений. В качестве объекта, на котором проводится исследова ние, рассматривается комета Гершель-Риголле, имеющая ярко выражен ный ряд неравноточных наблюдений удобный для проведения и демонст рации численного эксперимента. Полная выборка наблюдений кометы включает в себя визуальные наблюдения первого появления (12 наблюде ний на интервале 22.12.1788 – 04.02.1789) и фотографические наблюдения второго появления (91 наблюдение на интервале 29.07.1939 – 16.01.1940).

Формирование выборок наблюдений осуществляется путем отбраковки наблюдений в предположении, что лучшей выборкой и лучшей системой начальных параметров является вариант, для которого определяемая дове рительная область имеет меньшие размеры (меньший объем). Оценки на чальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле, полученные по раз ным выборкам наблюдений, были использованы нами для вычисления и сравнения ее эфемерид.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

Список опубликованных работ по теме диссертации Дубас О.М. Определение вероятностных областей движения астероидов // Тр. 34-й междунар. студ. науч. конф. "Физика космоса". Екатеринбург, 31 января–4 февраля 2005 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2005. С. 225.

Дубас О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А., Батурин А.П. Нелинейность задачи МНК при построении областей возможных движений астерои дов, наблюдавшихся в одном появлении // Тез. докл. междунар. конф.

"Околоземная астрономия – 2005", Казань, ИНАСАН, 19 – 24 сентября 2005г. Казань:, 2005. С. 43–44.

Дубас О.М. Применение методов наименьших квадратов в задаче построе ния областей возможных движений астероидов // Тр. 35-й междунар.

студ. науч. конф. "Физика космоса". Екатеринбург, 30 января–3 фев раля 2006 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2006a. С. 218.

Дубас О.М. Анализ влияния систематических ошибок на точность по строения областей возможных движений астероидов // Матер. V Все росс. конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики". Томск, 3–5 октября 2006г. Томск: Изд-во ТГУ. 2006b. С.

436–437.

Дубас О.М. Сравнение эффективности решения нелинейных задач наи меньших квадратов в различных системах координат // Матер. VI Все росс. конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики". Томск, 30 сентября–2октября 2008г. Томск: Изд-во ТГУ, 2008. С. 423–424.

Дубас О.М. Особенности построения доверительных областей в нелиней ных задачах оценивания // Тр. 38-й междунар. студ. науч. конф. "Фи зика космоса". Екатеринбург, 2–6 февраля 2009г. Екатеринбург: Изд во УрГУ, 2009. С. 325.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Новые алгоритмы построения методом Монте-Карло начальных доверительных областей движения малых тел // Изв. вузов. Физика. 2009. Приложение. Т. 52. N 10/2. С.

48–55.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Анализ доверительных облас тей движения кометы Гершель-Риголле. // Матер. Всеросс. науч. конф "Современная баллистика и смежные вопросы механики". Томск, 17– 19 ноября 2009г. Томск: Изд-во Том. ГУ, 2010a. С. 317–318.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Алгоритмы построения гра ничных поверхностей доверительных областей движения малых тел // Изв. вузов. Физика. 2010b. Приложение. Т. 53. N 8/2. С. 77–83.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Кудашкина А.А. Определение начальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле. // Тр. Всеросс. астрон.

конф. ВАК–2010 "От эпохи Галилея до наших дней". пос. Нижний Архыз, 12–19 сентября 2010г. 2010c. С. 52.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров B.A. Сравнение оценок нелиней ности в задачах построения доверительных областей движения малых тел Солнечной системы. // Тр. Всеросс. астрон. конф. ВАК–2010 "От эпохи Галилея до наших дней". пос. Нижний Архыз, 12–19 сентября 2010г. 2010d. С. 52–53.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Алгоритмы построения дове рительных областей движения астероидов // Матер. Всеросс. конф. с участием зарубеж. ученых "Математическое и физическое моделиро вание опасных природных явлений и катастроф". Томск, 18 – 20 ок тября 2010. Томск: Изд-во ТГУ, 2010e. С. 105.

Сюсина О.М, Черницов А.М., Тамаров В.А., Кудашкина А.А. Сравнение свойств метода дифференциальных поправок в различных системах координат // Матер. Всеросс. науч. конф "Современная баллистика и смежные вопросы механики". Томск, 17 – 19 ноября 2010 г. Томск:

Изд-во ТГУ, 2010f. С. 319 – 320.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Методы построения довери тельных областей движения малых тел Солнечной системы. // Вест.

СибГАУ. Красноярск: РИО СибГАУ, 2011a. С. 15 – 20.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. К задаче определения гранич ной поверхности доверительной области в нелинейном случае // Изв.

вузов. Физика. 2011b. Приложение. № 6/2. С. 63–70.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Оценивание нелинейности в задачах построения начальных доверительных областей движения ма лых тел // Изв. вузов. Физика. 2011c. Приложение. № 6/2. С. 71–77.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Комбинированный способ отображения доверительных областей движения малых тел на произ вольный момент времени // Изв. вузов. Физика. 2011d. Приложение. № 6/2. С. 78–83.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А., Батурин А.П. Определение начальных параметров орбиты кометы Гершель-Риголле // Изв. вузов.

Физика. 2011e. Приложение. № 6/2. С. 110–117.

Сюсина О.М., Черницов А.М., Тамаров В.А. Построение доверительных областей в задаче вероятностного исследования движения малых тел Солнечной системы // Астрон. вестн. 2012. Т. 46. № 3. С. 209- Черницов А.М., Дубас О.М., Тамаров В.А. Способы уменьшения нелиней ности задачи наименьших квадратов при построении областей воз можных движений астероидов // Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2006a. Приложение. Т. 49. № 2. С. 44–51.

Черницов А.М., Дубас О.М., Тамаров В.А. Особенности построения на чальных областей возможных движений астероидов, наблюдавшихся в одном появлении // Матер. V Всеросс. конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики". Томск, 3–5 октября 2006г. Томск: Изд-во ТГУ. 2006b. С. 459–460.

Черницов А.М., Дубас О.М., Тамаров В.А. Решение нелинейных задач по строения начальных областей возможных движений астероидов // Ма тер. V Всеросс. конф. "Фундаментальные и прикладные проблемы со временной механики". Томск, 3–5 октября 2006г. Томск: Изд-во ТГУ.

2006c. С. 461–462.

Черницов А.М., Тамаров В.А., Авдюшев В.А., Баньщикова М.А., Дубас О.М. Особенности определения доверительных областей в простран стве начальных параметров движения малых тел солнечной системы // Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2007a. Приложение. Т.50. № 12/2. С. 33–43.

Черницов А.М., Тамаров В.А., Дубас О.М. Влияние ошибок в задании ве совых матриц на точность определения доверительных областей дви жения астероидов // Изв. вузов. Физика. Томск: Изд-во ТГУ, 2007b.

Приложение. Т. 50. № 12/2. С. 52–59.

Chernitsov A.M., Dubas O.M., Tamarov V.A. Modeling of regions of asteroid possible motion // Odessa Astronomical Publications. Odessa: Astroprint, 2007. V. 20. Part 1. P. 36-39.

Список цитируемой литературы Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Осно вы моделирования и первичная обработка данных. Спр. изд. М.: Фин.

и стат., 1983. 471 с.

Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. 349 с.

Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Фин. и стат., 1986. Кн.1. 366 с.

Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, 1980. 512 с.

Bates D.M., Watts D.G. Relative Curvature Measures of Nonlinearity // J. R.

Statist. Soc. 1980. V. 42. N 1. P. 1-25.

Beale E.M.L. Confidence Regions in Nonlinear Estimation // J. R. Statist. Soc.

1960. V. 22. P. 41-88.