Расчёты резонансной поляризации фраунгоферовых линий

На правах рукописи

ДЕМЕНТЬЕВ АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

РАСЧЁТЫ РЕЗОНАНСНОЙ

ПОЛЯРИЗАЦИИ ФРАУНГОФЕРОВЫХ

ЛИНИЙ

01.03.02 – Астрофизика и звёздная астрономия

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2011

Работа выполнена на Кафедре астрофизики Математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Иванов Всеволод Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гнедин Юрий Николаевич Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН;

доктор физико-математических наук, профессор Шибанов Юрий Анатольевич Физико-технический институт им.

А. Ф. Иоффе РАН.

Ведущая организация: Институт земного магнетизма, ионосфе­ ры и распространения радиоволн им.

Н. В. Пушкова РАН.

Защита состоится 26 апреля 2011 г. в 15 часов 30 минут на заседании совета Д 212.232.15 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт­ Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петер­ бург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (Математико­ механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан « » 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Орлов В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы Большинство имеющихся знаний о звёздах и других небесных объектах получено путём анализа их спектров, как непрерывных, так и линейчатых.

При этом наиболее полную картину свойств объекта может дать исследова­ ние зависимости от длины волны как интенсивности излучения, так и его поляризации.

Поляризация излучения многих объектов очень мала, и измерить её зави­ симость от длины волны достаточно трудно. Существенный прогресс в этой области, произошедший в последние два десятилетия, связан с усовершен­ ствованием техники и методов измерения поляризации. Современные поля­ риметры, такие как ZIMPOL I, II (Повел, 2001), THEMIS (Палету и Молодый, 2001) и другие инструменты, позволяют получать одновременно два или три параметра Стокса с хорошим спектральным и временным разрешением, об­ ладая при этом высокой поляриметрической чувствительностью.

Особенно большие успехи достигнуты в спектрополяриметрии Солнца, систематические поляризационные наблюдения которого проводятся вот уже более тридцати лет (Келлер, 2009). В результате усилий большого числа учё­ ных накоплен огромный объём наблюдательных данных о поляризации сол­ нечного излучения как в линиях, так и в непрерывном спектре. Несмотря на то, что Солнце является одним из наиболее изученных астрофизических объектов, полученные данные о поляризации его излучения содержат мас­ су новой информации о физических условиях в солнечной атмосфере. Эту информацию, однако, пока не всегда удаётся должным образом извлечь из результатов наблюдений и надёжно проинтерпретировать — поляризацион­ ный спектр Солнца содержит ещё немало загадок (Стенфло, веб-страница).

Значительный интерес представляют результаты наблюдений линейной поляризации фраунгоферовых линий, возникающей за счёт многократного резонансного рассеяния (Стенфло и Келлер, 1997). Эти наблюдения прово­ дятся на краю солнечного диска вдали от активных областей. Именно, фик­ сируется зависимость отношения / от длины волны, где и — пара­ метры Стокса. Оказывается, что спектр линейной поляризации, полученный таким образом, совершенно не похож на обычный спектр интенсивности: ли­ нии, которые сильны в спектре интенсивности, могут быть весьма слабыми в поляризационном спектре, и, наоборот, линии, показывающие значительную поляризацию, в спектре интенсивности могут оказаться практически неви­ димыми. Данное обстоятельство позволяет говорить о спектре линейной ре­ зонансной поляризации как о втором спектре Солнца (Иванов, 1991). Ган­ дорфером (2000, 2002, 2005) был составлен подробный атлас второго спектра Солнца, охватывающий диапазон от 3160 до A A.

Инструменты и методы современной поляриметрии находят применение также и в исследованиях излучения, приходящего от планет (Гислер и Шмид, 2003). Хорошо известно, что излучение, отражённое как поверхностью плане­ ты, так и её атмосферой, может иметь значительную поляризацию. Данное обстоятельство предполагается использовать в будущих поектах по поиску и изучению внесолнечных планет (Шмид и др., 2005).

Возможность проводить высокоточные поляриметрические наблюдения требует, в свою очередь, развития теории переноса поляризованного излуче­ ния. Поэтому разработка новых, либо усовершенствование известных анали­ тических и численных методов расчёта поля излучения с учётом поляриза­ ции несомненно актуальна. При этом хорошо изученные классические задачи о переносе излучения в атмосферах звёзд (в частности, Солнца) или о рас­ сеянии света в атмосферах планет лучше всего подходят для тестирования этих методов.

Цель работы состоит в развитии метода расчёта поляризации в линиях, основанного на общей аналитической теории I-матриц (данная теория пред­ ложена Ивановым и др., 1997a). Другой целью работы является применение этого метода для решения ряда модельных задач теории переноса поляризо­ ванного излучения и доведения этого решения до числа.

Научная новизна работы На примере решения ряда новых модельных задач расширены возможно­ сти метода I-матриц для расчёта поляризации выходящего излучения. Имен­ но, впервые получено численное решение обобщённого матричного уравнения Амбарцумяна–Чандрасекара в случае, когда – профиль коэффициента поглощения является фойгтовским;

– имеется поглощение в континууме на частотах линии;

– первичные источники излучения в линии являются частично поляризо­ ванными.

При этом предложена универсальная схема численного решения матричного уравнения Амбарцумяна–Чандрасекара, применимая как при наличии погло­ щения в континууме, так и при его отсутствии. Для элементов матричной функции G(), входящей в подынтегральное выражение в уравнении Амбар­ цумяна–Чандрасекара, найдены асимптотические выражения.

Выведена формула для матрицы Стокса выходящего излучения в случае равномерно распределённых частично поляризованных первичных источни­ ков. При этом показано, что решение задачи при любых источниках такого вида может быть достаточно просто выражено через решение так называемой стандартной задачи при первичных источниках вполне определённого вида.

Впервые рассчитана предельная степень поляризации 0 на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициен­ та поглощения. В случае консервативного рассеяния полученные значения дополняют известные значения предельной степени поляризации при допле­ ровском (9.443%, Иванов и др., 1997b) и лоренцевском (5.421%, Лоскутов и Иванов, 2007) профилях, а также классическое значение поляризационного предела Соболева–Чандрасекара (11.713%), соответствующего прямоугольно­ му профилю.

Стандартная задача о многократном резонансном рассеянии сведена к интегральному уравнению Вольтерра для матричной функции источников S( ). Это уравнение решено численно для доплеровского профиля коэффи­ циента поглощения при разных значениях вероятности выживания фотона при рассеянии.

Теоретическая и практическая ценность результатов По сравнению с прямым решением уравнения переноса излучения метод расчёта поляризации в линиях, основанный на теории I-матриц, обладает тем преимуществом, что позволяет найти вектор Стокса выходящего излучения без расчёта поля излучения внутри атмосферы. При этом решение многих за­ дач может быть достаточно легко выражено через решение одной, так назы­ ваемой стандартной, задачи. Поэтому представляется несомненной важность расширения круга задач, к которым может быть применён данный метод.

Разработанная универсальная схема нахождения вектора Стокса выхо­ дящего излучения не требует больших вычислительных затрат и позволяет достаточно быстро получать решение рассматриваемых задач. Сравнением полученных решений этих модельных задач с решением задач, более близ­ ких к реальности, можно выяснить, какое влияние оказывают на поляри­ зацию выходящего излучения учёт дополнительных факторов: магнитного поля, частичного перераспределения по частотам и др. Кроме того, решение простой задачи может быть использовано в качестве разумного начального приближения при итерационном решении сложных задач в тех случаях, ко­ гда предполагаемое влияние этих факторов невелико.

Апробация результатов Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры астрофизики СПбГУ, а также на следующих конференциях:

1. III Всероссийская астрономическая конференция, Казань, 17-22 сентября 2007 г.

2. IV Всероссийская астрономическая конференция, Нижний Архыз, 12-19 сентября 2010 г.

Структура и объём диссертации Диссертация состоит из пяти глав, трёх приложений, списка цитируе­ мой литературы (61 наименование). Общий объём диссертации составляет 102 страницы, в том числе 28 рисунков и 3 таблицы.

Основные положения, выносимые на защиту 1. Выражение для матрицы Стокса излучения, выходящего из однород­ ной рассеивающей атмосферы, в случае равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников.

2. Универсальная схема численного решения обобщённого матричного урав­ нения Амбарцумяна–Чандрасекара, применимая как при наличии по­ глощения в континууме, так и при его отсутствии.

3. Результаты расчётов резонансной поляризации в ряде модельных задач, проведённые на основе теории I-матриц.

4. Вывод уравнения Вольтерра для матричной функции источников в стан­ дартной задаче о многократном резонансном рассеянии и результаты его численного решения.

Краткое содержание работы Во Введении (первая глава диссертации) обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования и обсуждается науч­ ная новизна работы. Перечисляются положения, выносимые на защиту, рас­ крывается теоретическая и практическая ценность полученных результатов.

Приводится список работ, в которых опубликованы результаты диссертаци­ онного исследования. Указывается личный вклад автора и апробация резуль­ татов. Описывается структура диссертации.

Во второй главе описывается используемый теоретический аппарат и выводятся уравнения, решение которых даёт вектор Стокса выходящего из­ лучения в рассматриваемой задаче.

В п. 2.1 описана постановка рассматриваемой в диссертации задачи, кото­ рая состоит в следующем. В полубесконечной плоскопараллельной однород­ ной атмосфере происходит образование спектральных линий за счёт много­ кратного резонансного рассеяния. Считается, что излучение в континууме на частотах линии в атмосфере отсутствует. Кроме того, предполагается, что в атмосфере нет магнитного поля и нет падающего на неё снаружи излучения.

Относительно элементарного акта рассеяния принимается полное перераспре­ деление по частотам внутри линии. Из-за наличия границы поле излучения в атмосфере анизотропно, что служит причиной возникновения линейной по­ ляризации при рассеянии. Задача состоит в том, чтобы для выходящего из атмосферы излучения найти вектор Стокса.

В силу принятых предположений, все величины в рассматриваемой зада­ че могут зависеть только от следующих переменных: обычная усреднённая по линии оптическая глубина в атмосфере, частота излучения, отсчитанная от центра линии и измеренная в доплеровских ширинах, и косинус угла меж­ ду направлением распространения излучения и внешней нормалью к границе атмосферы. Параметрами задачи, характеризующими процесс рассеяния, являются профиль коэффициента поглощения в линии (), параметр депо­ ляризации, определяемый квантовыми числами уровней, при переходах между которыми возникает линия, вероятность выживания фотона при рас­ сеянии, а также — отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения, среднему по линии. По симметрии за­ дачи, поле излучения может быть описано с помощью векторов размерности 2 и матриц — 2 2.

В пп. 2.2 и 2.3 векторное и матричное уравнения переноса, к решению которых сводится рассматриваемая задача, преобразованы к виду, удобному для дальнейшего исследования. Установлена связь между решениями вектор­ ного и матричного уравнений переноса.

В п. 2.4 к интегральному уравнению для матричной функции источни­ ков применён резольвентный метод. В результате получена формула, дающая матрицу Стокса выходящего излучения при произвольных первичных источ­ никах, описываемых матрицей S* ( ).

В п. 2.5 для матрицы H(), являющейся аналогом -функции, исполь­ зуемой в скалярной теории переноса, выведено нелинейное интегральное урав­ нение — матричное уравнение Амбарцумяна–Чандрасекара ( /[()+]).

Это уравнение преобразовано к виду, аналог которого в скалярном случае удобен для численного решения. Однако полученное матричное уравнение недоступно непосредственному решению, поскольку в отличие от скалярного случая соответствующее уравнение для H0 — момента H-матрицы, не позво­ ляет определить этот момент. Вследствие этого, величина H(), входящая в матричное уравнение Амбарцумяна–Чандрасекара, остаётся неизвестной.

С целью преодоления данного затруднения вводится матрица I(), свя­ занная с H-матрицей соотношением H() = (0), где I() I обозначает транспонирование. Для I-матрицы также выводится уравнение Амбарцумяна– Чандрасекара, которое выглядит следующим образом:

1/ 1/ 1 () = + I I ( ) G( ). (1) + Это уравнение, в отличие от аналогичного уравнения для H-матрицы, не со­ держит неизвестных величин, за исключением самой искомой матрицы I().

В уравнении (1) 1 1/ =, (2) 1 0. где + 2 ( ). (3) ( ) + Матричная функция 2 ( ) [(( ) + )], G() = 2 (4) () где функция () определяется равенствами || 1/[(0) + ] () = 0, (5) [()] = 1/||, || 1/ /[(0) + ], а (1 3 ) () =. (6) 2 2 4 8 (1 3 ) (9 12 + 5) В п. 2.6 рассмотрен случай равномерно распределённых частично поля­ ризованных источников диффузного излучения s* (согласно своему опреде­ лению, векторная функция источников s* ( ) описывает испытавшее первое рассеяние излучение первичных источников). Получена формула, выража­ ющая матрицу Стокса выходящего излучения через матрицу I() и значе­ ния элементов вектора s*. Установлено, что матрица является решением I() матричного уравнения переноса излучения в стандартной задаче при = [ по терминологии Иванова и др. (1997a), стандартной называется задача, в ) ] ( 1, 1 0. которой s* =. Проведён анализ решения при пре­ дельных значениях параметров и.

В п. 2.7 рассмотрен случай равномерно распределённых частично поля­ ризованных первичных источников излучения, описываемых векторной функ­ цией источников s. Выведена формула, связывающая матрицу Стокса выхо­ дящего диффузного излучения с I-матрицей и значениями элементов вектора s. При этом полученная формула оказывается не такой простой, как в слу­ чае, рассмотренном в п. 2.6, поскольку в ней требуется провести несложное дополнительное численное интегрирование.

Случай неполяризованных первичных источников s сводится к случаю равномерно распределённых первичных источников s*. Это даёт возможность получить соотношение, связывающее решения при неполяризованных источ­ никах s, полученные по двум разным формулам. Такое соотношение можно использовать для проверки точности численной схемы нахождения матрицы I(), т. е. решения уравнения Амбарцумяна–Чандрасекара.

В п. 2.8 резюмируются основные результаты главы.

В третьей главе описывается схема численного решения матричного уравнения Амбарцумяна–Чандрасекара.

В п. 3.1.1 приведены выражения для используемых профилей коэффи­ циента поглощения. Вычисление значений фойгтовского профиля коэффици­ ента поглощения проводилось по алгоритму Гаутчи (1969), в основе которого лежит представление функции Фойгта в некотором приближённом виде. При интересующих нас значениях безразмерной частоты и фойгтовского пара­ метра точность данного алгоритма была протестирована путём вычисления значений функции Фойгта непосредственным численным интегрированием с точностью, близкой к погрешности представления вещественных чисел на компьютере в формате двойной точности.

В п. 3.1.2 описано, каким образом вычислялись элементы матричной функции G(), входящей в подынтегральное выражение в правой части урав­ нения Амбарцумяна–Чандрасекара (1). При расчёте значений элементов мат­ рицы G() использовалась замена переменной /(1 ), позволяющая составить универсальную программу вычисления матрицы G как при = 0, так и при = 0.

Выведены асимптотические формулы для элементов матрицы G() при фойгтовском профиле коэффициента поглощения. Они используются для оценки точности численного расчёта G().

В случае фойгтовского профиля коэффициента поглощения при вычис­ лении интегралов, через которые выражаются элементы матрицы G(), ис­ пользовалась замена переменной, позволяющая существенно уменьшить чис­ ло узлов квадратурной формулы, требуемых для достижения заданной точ­ ности вычисления этих интегралов.

В п. 3.2 описан выбор узлов квадратурной формулы, по которым с за­ данной точностью вычислялись интегралы в правой части уравнения Ам­ барцумяна–Чандрасекара (1). Для определения этих узлов используется нор­ мировка матрицы G(). Найдена замена переменной, которая на порядки уменьшает число узлов, требуемое для достижения заданной точности при вычислении интеграла в нормировке G(), по сравнению с вычислением ука­ занного интеграла без замен переменной.

Значения матрицы в узлах находились из уравнения Амбарцумяна– I() Чандрасекара итерациями типа Гаусса–Зейделя. В качестве начального при­ ближения во всех узлах использовалась единичная матрица. Для контроля I точности вычислений использовался тот факт, что матрица I(0) является матрицей вращения.

Используемая схема вычисления позволяет рассчитать матрицу как I() при = 0, так и при = 0. Все численные интегрирования проводились по составной квадратурной формуле Симпсона с использованием экстраполяции Ричардсона.

В п. 3.3 резюмируются основные результаты главы.

В четвёртой главе представлены результаты расчётов резонансной по­ ляризации в рассматриваемых модельных задачах. Во всех случаях при рас­ чётах принималось, что параметр деполяризации = 1 (дипольное рассея­ ние).

В п. 4.1 при фойгтовском профиле коэффициента поглощения, отсут­ ствии поглощения в континууме ( = 0) и неполяризованных первичных источниках вида s = ( 1, 0), где — вероятность выживания фотона при рассеянии, проведены вычисления поляризационных характеристик вы­ ходящего из атмосферы излучения. В частности, рассчитана предельная сте­ пень поляризации 0 на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой при нескольких значениях (Рис. 1). При консервативном рассеянии ( = 1) сте­ пень поляризации 0 меняется от 9.443% при фойгтовском параметре = до 5.421%, когда (Табл. 1). В случае = 1 при значениях таких, что 104 102, для 0 найдена эмпирическая формула.

В числе других результатов расчётов получены зависимости степени по­ ляризации от фойгтовского параметра, от безразмерной частоты и от угловой переменной. Выявлены особенности поведения при изменении этих величин.

Результаты расчётов представлены на 5 рисунках и в таблице.

Для сравнения с результатами расчётов, выполненных ранее другими авторами иными методами, проведены расчёты поляризационных характери­ Рис. 1. Предельная степень поляризации 0 на краю диска звезды с рассеивающей атмо­ сферой в функции фойгтовского параметра. Сплошная линия — = 1, пунктирная — = 0.9999, штриховая — = 0.999, штрих-пунктирная — = 0.99.

Таблица 1. Предельная степень поляризации 0 на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой (консервативное рассеяние, = 1) в зависимости от значения фойгтовского параметра.

lg 0 (), % lg 0 (), % lg 0 (), % lg 0 (), % 9.443 -3.25 9.142 -1.25 7.025 -0.25 5. -6.00 9.432 -3.00 9.040 -1.10 6.752 -0.10 5. -5.50 9.423 -2.75 8.905 -1.00 6.573 0.00 5. -5.00 9.406 -2.50 8.729 -0.90 6.400 0.25 5. -4.50 9.375 -2.25 8.504 -0.75 6.161 0.50 5. -4.00 9.320 -2.00 8.220 -0.60 5.913 1.00 5. -3.75 9.277 -1.75 7.874 -0.50 5.836 1.50 5. -3.50 9.219 -1.50 7.470 -0.35 5.693 5. стик выходящего излучения при доплеровском, лоренцевском и прямоуголь­ ном профилях коэффициента поглощения. Обнаружено хорошее согласие на­ ших результатов с результатами других авторов.

В п. 4.2 впервые рассчитаны поляризационные характеристики выходя­ щего из атмосферы излучения при фойгтовском профиле коэффициента по­ глощения, неполяризованных первичных источниках вида s = ( 1, 0) и при наличии поглощения в континууме ( = 0). В частности, для двух значений фойгтовского параметра ( = 104 и = 102 ) проведено вычис­ ление предельной степени поляризации 0 как функции параметров и (Рис. 2 и 3).

При = 0 и 1 1, а также при 1 и = 1 для 0 получены эмпирические формулы.

Представлены результаты расчётов профилей линий в интенсивности при разных значениях и для случая консервативного рассеяния ( = 1) и = 102. Приведены также результаты расчётов степени поляризации вы­ ходящего излучения в зависимости от частоты и угловой переменной при разных значениях. Результаты расчётов представлены на 8 рисунках.

Коэффициенты найденных эмпирических формул приведены в таблице.

В той области значений параметров, где возможно провести сравнение, обнаружено хорошее согласие наших результатов с результатами расчётов других авторов.

В п. 4.3 протестирована численная схема нахождения матрицы I().

Для равномерно распределённых поляризованных первичных источни­ ков рассчитана передельная степень поляризации 0 выходящего излучения при доплеровском профиле коэффициента поглощения и отсутствии поглоще­ ния в континууме ( = 0). Результаты расчёта 0 в зависимости от степени и направления поляризации равномерных первичных источников для разных Рис. 2. Предельная степень поляризации 0 на краю диска звезды с рассеивающей атмо­ сферой. Фойгтовский параметр = 102.

Рис. 3. Предельная степень поляризации 0 на краю диска звезды с рассеивающей атмо­ сферой. Фойгтовский параметр = 104.

значений представлены на рисунке (Рис. 4).

В п. 4.4 резюмируются основные результаты главы.

p0, % 80 40 0 40 80 ps, % Рис. 4. Степень поляризации 0 на краю диска звезды в зависимости от степени поляри­ зации первичного излучения. Жирная сплошная линия соответствует = 0.999, штри­ ховая — = 0.99, штрих–пунктирная — = 0.9, пунктирная — = 0.7, тонкая сплошная — = 0.5.

Пятая глава посвящена выводу уравнения Вольтерра для матричной функции источников стандартной задачи и его численному решению.

В п. 5.1 аналогично тому, как это было сделано в работе Иванова (2009) для многократного рэлеевского рассеяния, получено матричное обобщение двухточечного -интеграла Райбики для случая резонансного рассеяния в полубесконечной атмосфере с равномерно распределёнными первичными ис­ точниками неполяризованного излучения. Как частный случай матричного Q-интеграла получено уравнение Вольтерра для матричной функции источ­ ников рассматриваемой задачи.

В п. 5.2 описана схема численного решения уравнения Вольтерра, а так­ же приведён способ контроля точности вычислений по этой схеме.

В п. 5.3 уравнение Вольтерра численно решено при доплеровском профи­ Рис. 5. Зависимость элементов матричной функции источников S от оптической глубины в атмосфере. Толстые сплошные линии соответствуют = 1.0, тонкие сплошные — = 0.99, штриховые — = 0.9, штрих-пунктирные — = 0.7, пунктирные — = 0.5.

ле коэффициента поглощения и отсутствии поглощения в континууме ( = 0) для ряда значений параметра (Рис. 5). С помощью найденной матричной функции источников получены поляризационные характеристики выходяще­ го из атмосферы излучения. Результаты расчётов представлены на 10 рисун­ ках.

В п. 5.4 резюмируются основные результаты главы.

В Заключении перечисляются наиболее важные результаты, получен­ ные в работе.

В Приложении А для фойгтовского профиля коэффициента поглоще­ ния дан вывод асимптотик матрицы G() при, если = 0, а также G() при в случае замены переменной /(1 ), если = 0.

В Приложении Б найдены значения коэффициентов составной квад­ ратурной формулы Симпсона при использовании экстраполяции Ричардсона третьего порядка.

В Приложении В приведена таблица значений матрицы для фойг­ I() товского профиля коэффициента поглощения с параметром = 0.01 при = 1 и = 0.

Список литературы 1. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. I: 4625 A to u 6995 A (Zrich: VdF, 2000), 272 p.

2. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. II: 3910 A to u 4630 A (Zrich: VdF, 2002), 103 p.

3. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. III: 3160 A u to 3915 A (Zrich: VdF, 2005), 188 p.

4. Гислер и Шмид (D. Gisler, H. M. Schmid) in Solar Polarization 3, eds.

J. Trujillo Bueno and J. Snchez Almeida, (San Francisco: Astronomical a Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 307, 58 (2003).

5. Гаутчи (W. Gautschi), Comm. of the ACM, 12, 635 (1969).

6. Иванов (V. V. Ivanov) in Stellar Atmospheres: Beyond Classical Models, eds. L. Crivellari, I. Hubeny, and D. G. Hummer, (Dordrecht: Kluwer), NATO ASI Series C 341, 81 (1991).

7. Иванов В. В., Астрофизика, 52, 301 (2009).

8. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. M. Loskutov), Astron. Astrophys., 318, 315 (1997a).

9. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. M. Loskutov), Astron. Astrophys., 321, 968 (1997b).

10. Келлер (C. U. Keller) in Solar Polarization 5, eds. S. V. Berdyugina, K. N. Nagendra and R. Ramelli, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 405, 29 (2009).

11. Лоскутов В. М., Иванов В. В., Астрофизика, 50, 199 (2007).

12. Палету и Молодый (F. Paletou, G. Molodij) in Advanced Solar Polarimetry — Theory, Observation, and Instrumentation eds. M. Sigwarth, (San Francisco:

Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 236, 9 (2001).

13. Повел (H. P. Povel) in Magnetic Fields across the Hertzsprung-Russell Diagram, eds. G. Mathys, S. K. Solanki, and D. T. Wickramasinghe, (San Francisco:

Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 248, 543 (2001).

14. Стенфло (J. O. Stenflo) in Solar Polarization 6, eds. J. Kuhn, ASP Conf. Ser., in press (веб-страница:

http://www.exp-astro.phys.ethz.ch/astro1/Users/jstenflo/papers.php).

15. Стенфло и Келлер (J. O. Stenflo, C. U. Keller), Astron. Astrophys., 321, 927 (1997).

16. Шмид и др. (H. M. Schmid et al) in Direct Imaging of Exoplanets: Science & Techniques, eds. C. Aime and F. Vakili, (UK: Cambridge University Press), Proc. of the IAU Colloquium #200, 165 (2006).

Публикации по теме диссертации Статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК 1. Дементьев А. В., Поляризация резонансных линий при фойгтовском ко­ эфициенте поглощения, Письма в Астрон. журн., 34, с. 633-640 (2008).

2. Дементьев А. В., Влияние поглощения в непрерывном спектре на поля­ ризацию резонансных линий, Астрофизика, 52, с. 605-621 (2009).

3. Дементьев А. В., Уравнение Вольтерра для матричной функции источ­ ников при резонансном рассеянии, Астрофизика, 53, с. 465-477 (2010).

Публикации в трудах и тезисах всероссийских конференций 4 Дементьев А. В., Иванов В. В., Лоскутов В. М., Влияние вида профиля коэффициента поглощения на поляризацию резонансных фраунгоферо­ вых линий, Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, с. 133-135 (2007).

5 Дементьев А. В., Поляризация резонансных фраунгоферовых линий при равномерно распределённых источниках первичного излучения, Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК- «От эпохи Галилея до наших дней», Нижний Архыз, с. 66-67 (2010).

Личный вклад автора В работе 4 автором выполнены расчёты предельной степени поляриза­ ции на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициента поглощения.