Определение коэффициентов потемнения диска к краю у звeзд, затмеваемых экзопланетами

ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Государственный Астрономический институт

им. П.К. Штернберга

На правах рукописи

УДК 524.386

ГОСТЕВ Николай Юрьевич

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ

ПОТЕМНЕНИЯ ДИСКА К КРАЮ У ЗВEЗД,

ЗАТМЕВАЕМЫХ ЭКЗОПЛАНЕТАМИ

Специальность 01.03.02 – астрофизика и звездная астрономия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2011

Работа выполнена на кафедре астрофизики и звездной астрономии физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук академик РАН Черепащук Анатолий Михайлович (Государственный Астрономический Институт имени П.К. Штернберга МГУ, Москва)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Машонкина Людмила Ивановна (Институт астрономии Российской академии наук, Москва) доктор физико-математических, наук, профессор Ягола Анатолий Григорьевич (Физический факультет МГУ, Москва)

Ведущая организация:

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Защита состоится в 14.00 16 февраля 2012 года на заседании Диссертационного совета по астрономии Московского государственного университета им. М.В.

Ломоносова, шифр Д.501.001. Адрес: 119992, Москва, Университетский пр, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ (Москва, Университетский пр, 13) Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физ.-мат. наук АЛЕКСЕЕВ С.О.

Общая характеристика работы

Актуальность темы В последние годы, благодаря космическим миссиям (HST, CoRoT, Ke pler) получены уникальные по точности кривые блеска затмения звезд экзопланетами (см. например [1]-[4]). В связи с запуском в марте 2009 года космического телескопа Kepler высокоточные наблюдательные данные покрытий звезд экзопланетами приобрели массовый характер [5].

Предполагаемый список объектов Kepler Input Catalog (KIC) составляет 50000 объектов [5]. Точность фотометрических данных достигает 105 относительной интенсивности. Столь огромный массив высокоточных данных позволяет ставить новые задачи, а прежние решать на качественно ином уровне.

Фотометрический материал полученный обсерваториями Kepler, Corot, HST, а именно транзитные кривые блеска уже позволили определить радиусы звезд и экзопланет для около двухсот двойных систем (см. например каталог Interactive Extra-solar Planets Catalog [6]). Анализ кривой блеска HD 209458, полученной на HST в 2000 году, выполнен в работе Брауна и др. [1]. Анализ многоцветных кривых блеска HD 209458, полученных на HST в 2003 году выполнен в работе Кнутсона и др. [2]. В обеих работах были получены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты и коэффициенты потемнения к краю для звезды. Наиболее детальное исследование данных рядов наблюдений с HST выполнил Соузворз [7]. Автор [7] получил значения радиусов экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения коэффициентов потемнения к краю для звезды в различных законах потемнения.

Однако, часто анализ транзитной кривой блеска проводится при фиксированных коэффициентах потемнения к краю затмевающейся звезды.

В то же время, двойная система с экзопланетой в этом отношении является практически идеальным лабораторным стендом позволяющим детально исследовать потемнение к краю и поверхностную структуру звезды. Вплоть до того, что можно восстановить распределение пятен на поверхности звезды [8]. Кроме того, часто оказывается, что результаты, полученные из анализа кривых блеска для различных эпох наблюдений, а также значения геометрических параметров для разных длин волн не вполне согласуются между собой в пределах своих ошибок. Следовательно, возникает необходимость более подробно рассмотреть вопрос о наджности е используемых методов интерпретации наблюдательных данных и получаемых с помощью них значений искомых параметров.

В данной работе проводится статистический анализ транзитных кривых блеска двойных звездных систем с целью получения коэффициентов потемнения диска звезды к краю. В работах [9]-[11] проведен анализ наблюдательных данных указанных двойных систем, однако авторы выполнили интерпретацию кривых блеска при фиксированных коэффициентах потемнения к краю. В данной работе помимо определения геометрических параметров двойной системы исследован вопрос потемнения диска звезды к краю в предположении линейного и квадратичного закона потемнения.

При этом анализ наблюдательных данных проведен как на основе стандартного метода дифференциальных поправок, так и на основе метода доверительных областей, который позволяет проверить адекватность модели и указать на основе конкретной реализации наблюдательных данных консервативные ошибки искомых параметров, а также позволяет судить о наджности интерпретации наблюдательных данных в рамках используемой е модели [12].

Математическая формулировка задачи и метод ее решения Данная задача относится к классу конечно-параметрических обратных задач в статистической постановке. Рассмотрим модель, задаваемую произвольной, в общем случае нелинейной функцией f (, 1... P ), определенной для {1... M } и для векторов (1... P )T B, где B – некоторая область действительного евклидового пространства. При этом мы предполагаем f (, 1... P ) дифференцируемой по 1... P во всей области определения.

При этом полагаются заданными параметры 1... P, w1... wM, нормально распределенные случайные величины 1... M, дисперсия единицы веса 0 и функционал невязки. Случайные величины 1... M имеют нормальное распределение и M(k ) = f (k, 1... P ), (1) 2 (1 w1 ) = 2 (2 w2 ) =... = 2 (M wM ) = 2, где M(k ) означает математическое ожидание величины k, а 2 (·) – операцию нахождения дисперсии.

Также предположим, что матрица M f f Aqp (1... P ) = (m, 1... P ) (m, 1... P )wm (2) q p m= является невырожденной при (1... P )T B. При этом мы будем обозначать элементы матрицы, обратной матрице (2), как Ainv (1... P ).

qp Функционал невязки задается следующим образом:

M (m f (, 1... P ))2 wm, R(1... P, 1... M ) = (3) m= и предполагается, что при фиксированных 1... M он является выпуклым по переменным 1... P и достигает по ним минимума в области B.

Метод дифференциальных поправок заключается в том, что функция f заменяется ее разложением в ряд Тейлора до линейного члена в точке минимума функционала невязки, и в качестве оценки дисперсий минимальных значений 1... P берутся дисперсии, найденные в рамках метода наименьших квадратов для соответствующей линейной модели.

c c Обозначим как 1 ()... P () значения параметров (которые назовем центральными), доставляющие минимум функционалу невязки R(1... P, 1... M ) при фиксированных 1... M. Величины:

covo (q (), p ()) 2 Ainv (1 ()... P ()) c c c c 0 qp и o (p ()) 2 Ainv (1 ()... P ()) 2c c c 0 pp полученные по формулам для ковариаций и дисперсий центральных значений в линейной модели, берутся в качестве приближенной оценки ковариаций c c и дисперсий 1 ()... P (). В случае реально наблюдаемой кривой блеска, когда неизвестно значение дисперсии единицы веса, аналогично линейному случаю вместо значения 0 используется среднеквадратичная оценка дисперсии единицы веса c c R(1 ()... P (), 1... M ) 0 () = M P и соответствующие приближенные среднеквадратичные оценки дисперсий параметров est (p ()) 0 ()Ainv (1 ()... P ()).

2 c 2 c c pp Использование в расчетах такого приближения предполагает, что можно пренебречь изменением производных функции f в (2), вычисленных с центральными значениями параметров, при изменении в окрестности их математических ожиданий. Зная дисперсию центрального значения параметра, можно построить интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра. Для этого достаточно заметить, что исходя из нормального закона распределения центрального значения параметра следует, что c c P p () p () (p ()) =, (4) где символ P означает вероятность выполнения условия, а зависит от выбранной вероятности попадания (уровня доверия) и находится как корень уравнения:

t exp dt =.

Например, при равном 1, 2 и 3 уровень доверия равен 0.6827, 0.9545 и 0.9973 соответственно (правило одной, двух и трех ).

В случае реально наблюдаемой кривой блеска, когда неизвестно значение дисперсии единицы веса, вместо значения 0 используется среднеквадратичная оценка дисперсии единицы веса c c R(1 ()... P (), 1... M ) 0 () = (5) M P и соответствующие приближенные среднеквадратичные оценки дисперсий параметров est (p ()) 0 ()Ainv (1 ()... P ()).

2 c 2 c c (6) pp c При этом 0 является случайной величиной, и величина (p () c p )/est (p ()) имеет распределение Стъюдента с M P степенями свободы. Однако при достаточно больших M P 10 оно уже достаточно близко к нормальному, и можно считать, что вероятность c c c c P p () p (p ()) P p () p est (p ()), то есть можно считать, что вероятность попадания истинного значения в интервал, построенный с помощью умножения среднеквадратичной оценки дисперсии на соответствующий коэффициент () будет достаточно близка к c c В методе Монте-Карло оценка дисперсии (1 )... (1 ) проводится следующим образом. При заданных 1... P вычисляеются в фазах 1... M значения кривой 1... M. Далее с заданной величиной 0 случайным образом генерируется N раз последовательность нормально распределенных (n) (n) 1... M, n = 1... N с математическими ожиданиями равными 1... M.

(n) (n) Для каждой последовательности 1... M, n = 1... N находятся c(n) c(n) центральные значения 1... P и их дисперсии оцениваются как N 2 c (p p )2.

c(n) mc (p ) = N n= Естественно, такой метод подразумевает, что истинные значения 1... P известны, что возможно в модельных задачах, целью которых является нахождение ошибок для сравнения с ошибками, найденными другими способами. В случае же обработки реальной кривой блеска данный метод можно применить используя вместо истинных значений параметров 1... P их центральные значения, полученные решением кривой блеска методом МНК. При этом делается предположение о том, что малое изменение 1... P вызовет относительно малое изменение ошибки. В описанных методах делается предположение о том, что используемая модель идеально верна, а для оценки ошибок параметров используются статистика нормального распределения.

Метод доверительных областей основан на использовании в качестве статистики невязки R, задаваемой (3). По теореме о 2 -распределении R(1... P, 1... M ) 2. (7) M где "" означает "распределено как". Функция распределения 2 :

M ( m, 0, 2 ) t 2 (t) =, (8) m ( m ) где ( m, 0, 2 ) – неполная обобщнная гамма функция. Следовательно, если t е 2 (0 ) =, то есть 0 – квантиль 2 -распределения для некоторого уровня M M доверия 1, то соответствующая вероятность R(1... P, 1... M ) P 0 =. (9) Пусть DP – P-мерное множество значений вектора 1... P, удовлетворяющих условию R(1... P, 1... M ) 0 (9 ) Тогда (9) эквивалентно утверждению: с вероятностью множество DP не пусто и истинные значения (1... P ) D. Множество D является доверительной областью для (1... P ). Отметим, что в данном случае нельзя использовать вместо 0 его среднеквадратичную оценку 0, задаваемую (5), поскольку такая замена существенно нарушила бы закон распределения (7).

В частности, пустой доверительной области не получалось бы при квантиле 0 M P (при M = 101 это соответствует тому, что 0.35 ), то есть модель всегда была бы адекватна наблюдениям. Поэтому следует брать либо точное значение 0, известное в модельных задачах, либо его значение, полученное с большой точностью из независимых соображений в случае реальных наблюдений.

Рассмотрим теперь в качестве статистики разность между невязкой в статистике 2, полученной при истинных значениях параметров и этой же M невязкой, полученной при центральных значениях параметров. В случае, когда зависимость от всех параметров линейная:

R(1... P, 1... M ) Rmin 2. (10) P Использование статистики (10) предполагает априорную адекватность модели и доверительное множество, полученное с помощью статистики (10) никогда не пусто.

Если же зависимость от 1... K не является линейной, то утверждение (10) выполняются в асимптотическом смысле, когда число измерений стремится к бесконечности, и одной из задач данной работы является численная проверка допустимости таких асимптотических приближений.

В данной работе используется модель двух сферических звезд с тонкими атмосферами на круговой орбите без эффектов взаимной близости компонент. Такая модель легко реализуется на современных компьютерах и дает возможность выполнить большое число вариантов решения обратной r r d Рис 1: Модель двух затменных сферических звезд. Проекция на картинную плоскость.

Здесь меньшая компонента – звезда или экзопланета.

задачи за сравнительно малое компьютерное время. Модель сферических звезд для двойной системы физически обоснована для тех случаев, когда степень заполнения полости Роша мала µ 0.5. В рассматриваемой модели рассматривалось движение дисков звезд в проекции на картинную плоскость, то есть плоскость перпендикулярную лучу зрения. На рис. показана геометрия дисков звезд во время затмения. Здесь r1, r2 – радиусы первой и второй звезды (радиус звезды и радиус планеты), – расстояние между центрами дисков звезд,, - полярные координаты произвольной точки поверхности диска первой звезды (начало координат расположено в геометрическом центре диска). Расстояние между центрами дисков звезд задается выражением 2 = cos2 i + sin2 i sin2, (11) (см. например работу [13]), в котором i – наклонение орбиты двойной системы, – значение текущего орбитального фазового угла.

В качестве функций распределения яркости по диску каждой звезды использовался линейный закон потемнения к краю диска:

I() = I0 1 x + x 1 2, (12) r и квадратичный закон потемнения к краю диска, отличающийся от линейного дополнительным слагаемым, содержащим квадратичный коэффициент потемнения к краю y:

2 I() = I0 1 x 1 1 2 y 1 1 2, (13) r r Здесь – полярное расстояние от центра диска звезды, r – радиус диска звезды, x и y – линейный и квадратичный коэффициенты потемнения к краю (1) (2) соответственно. Обозначим I0, I0 – яркости в центрах дисков первой и второй звезды, x1, x2 – коэффициенты потемнения к краю первой и второй звезды, y1, y2 – квадратичные коэффициенты потемнения к краю первой и второй звезды. Искомыми параметрами модели двух звезд являются: r1, (1) (2) r2, i, I0, I0, x1, x2, а в случае нелинейного закона потемнения к краю - так же и y1, y2. "Третий свет" в модели отсутствует. В случае модели звезды с экзопланетой для экзопланеты (второй компоненты) яркость и коэффициенты потемнения к краю полагаются равными нулю.

Кривая блеска двойной системы в данной модели определяется следующими тремя уравнениями:

1. Cуммарная светимость компонент, описывающая внезатменный блеск:

r1 r I (1) ()d + 2 I (2) ()d = Lf ull.

2 (14) 0 2. Потеря блеска системы, обусловленная затмением звездой большего радиуса спутника с меньшим радиусом Lf ull L(1) () = I (2) ()dS, (15) S() где S() – площадь области перекрытия дисков.

3. Потеря блеска, обусловленная затмением звездой меньшего радиуса спутника с большим радиусом:

Lf ull L(2) () = I (1) ()dS. (16) S() Уравнения (11), (14), (15) и (16) полностью описывают наблюдаемую кривую блеска и содержат, в зависимости от рассматриваемой модели, набор (1) (2) параметров из числа: r1, r2, i, I0, I0, x1, x2, y1, y2. Подставляя под знаки интегрирования функции распределения яркости, аппроксимированные соответствующим законом потемнения к краю (12) или (13) и выполняя интегрирование, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно соответствующих параметров.

Цель диссертации 1. Построить максимально простой и эффективный алгоритм вычисления кривой блеска в модели классической двойной системы.

2. Проверить возможность использования различных методов оценки ошибок параметров при интерпретации кривой блеска в модели классической двойной системы.

3. Исследовать на качественном и количественном уровне соотношение между интервалами ошибок, получающихся различными методами.

4. Интерпретировать кривые блеска систем с экзопланетами HD 209458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b, HD 189733 различными методами в линейном и квадратичном законе потемнения к краю.

5. Сравнить полученные значения параметров со значениями, полученными другими авторами. Исследовать зависимость полученных значений коэффи циентов потемнения к краю от длины волны и сравнить со значениями, полученными из теории тонких атмосфер. Для системы HD исследовать зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны.

Практическая и научная ценность Прежде всего представляет интерес комплексный подход к оценке ошибок параметров двойных звздных систем путм интерпретации кривой е е блеска различными методами. Такой подход дат возможность не только е получить значения ошибок параметров, но и оценить адекватность модели наблюдательным данным, а также дат возможность объяснить имеющие е место расхождения между результатами, полученными для различных эпох наблюдений и между значениями геометрических параметров системы, полученными для различных длин волн.

Также предоставляет интерес полностью аналитический подход к расчту е кривой блеска, заданной с помощью универсального выражения через функции, для которых есть эффективные методы вычисления. Такой подход значительно облегчает практическую реализацию алгоритма вычисления кривой блеска и позволяет сделать работу этого алгоритма максимально быстрой. Полностью аналитический метод расчта теоретической кривой е блеска особенно важен при вычислении значений кривых затмения экзопланетами, поскольку в данном случае радиус затмеваемой планеты весьма мал, 0.1 радиуса звезды. Значительный интерес представляют значения эмпирических коэффициентов потемнения к краю для пяти звзд, восстановленные из анализа кривых блеска при затмении звезды е экзопланетой. Представляет также интерес выявленное наличие атмосферы у экзопланеты по зависимости радиуса экзопланеты от длины волны.

Основные положения диссертации выносимые на защиту 1. Эффективный алгоритм расчта кривой блеска классической двойной е звздной системы в модели с линейным и квадратичным законом е потемнения к краю. Получено аналитическое выражение для падения блеска классической двойной звздной системы при затмении, универсальное для е всех значений искомых параметров.

2. Исследование соотношения между интервалами ошибок, полученными разными методами. В приближении линейной модели получено аналитическое выражение для функции плотности распределения интервалов ошибок, полученных в рамках статистики, распределнной по закону 2, где M – е M число точек наблюдений.

3.Результаты интерпретации классической затменной двойной звздной е системы YZ Cas. Получены наджные значения радиусов звзд, наклонения е е орбиты, и коэффициентов потемнения к краю.

4.Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звздной системы с экзопланетой HD209458. Получены наджные е е значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты.

Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (табл. 1, рис. 3). Показано, что имеется значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Новым результатом является то, что значимое расхождение между теорией и наблюдениями остатся даже при е использовании метода доверительных областей, когда получаются наиболее консервативные оценки ошибок параметров модели.

5.Результаты интерпретации транзитных кривых блеска двойных звздных е систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b (см. табл. 1).

Получены наджные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, е наклонения орбиты и значения коэффициентов потемнения к краю в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю.

6.Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звздной системы с экзопланетой HD189733. Получены наджные е е значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты.

Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (рис. 4). Обнаружено значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Подтверждено увеличение наблюдаемого значения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны, что возможно свидетельствует о наличии атмосферы у экзопланеты, рассеивающей свет по релеевскому закону (рис. 5).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, А.М. Черепащук "Оценка ошибок параметров в обратных параметрических задачах. Анализ кривых блеска классических затменных систем": Астрон. журн. 85, 121 - 150 (2008).

2. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, А.М. Черепащук "Оценка ошибок параметров в обратных параметрических задачах. Поиск потемнения к краю звзд в классических затменных системах": Астрон. журн. 86, е - 806 (2009).

3. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, А.М. Черепащук "Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами. Система HD 209458" Астрон.

журн. 87, 1199 - 1220 (2010).

4. Н.Ю. Гостев "Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами.

Системы Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b". Астрон. журн. 88, 704 - (2011).

5. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, А.М. Черепащук "Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами. Система HD 189733" Астрон.

журн. 88, 1139 - 1163 (2011).

Результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:

Всероссийская астрономическая конференция (ВАК-2010) "От эпохи Галилея до наших дней"(Казань, САО РАН 2010);

Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учных "Ломоносов-2010"(Москва, МГУ 2010);

е Международная астрофизическая конференция "Новейшие методы исследования космических объектов"(Казань, КГУ 2010);

VII Конференция молодых учных "Фундаментальные и прикладные е космические исследования"(Москва, ИКИ РАН 2010);

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учных "Ломоносов-2011"(Москва, МГУ 2011);

е VIII Конференция молодых учных "Фундаментальные и прикладные е космические исследования" (Москва, ИКИ РАН, 2011);

Third IAU Symposium on searching for life signatures (Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2011) Institute of Applied Astronomy RAS.

Всероссийская конференция Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра (Москва, ИКИ РАН, 2011) На Семинаре отдела звездной астрофизики (Москва, ГАИШ 2011);

Содержание диссертации В первой главе описывается модель классической двойной системы и излагается эффективный алгоритм вычисления модельной кривой блеска, путм универсального для всех значений параметров выражения через е эллиптические интегралы и кусочно заданные функции одной переменной.

Рассматриваются линейный и квадратичный законы потемнения к краю.

Во второй главе излагаются применяемые в работе методы оценки ошибок, такие как метод дифференциальных поправок, метод доверительных областей, основанный на использовании статистик с законами распределения 2 и Фишера, метод Монте-Карло. Данные методы апробируются на примере кривой блеска YZ Cas и близких к ней модельных систем. Также исследуется количественное и качественное различие между различными методами оценки ошибок, в том числе между методами, в которых адекватность модели наблюдательным данным предполагается априори и теми, в которых адекватность модели наблюдательным данным проверяется одновременно с получением интервалов ошибок.

В третьей главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 209458. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется наджность модели в линейном и в квадратичном е законе потемнения к краю. Проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое увеличивается с ростом длины волны. Новым результатом является вывод о том, что это расхождение сохраняется даже при использовании наиболее консервативных методов оценок ошибок параметров модели, в рамках статистики с законом распределения 2, где M – число точек наблюдения.

M В четвертой главе описана интерпретация кривых блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b различными методами для линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Анализируется наджностье модели. Полученные значения коэффициентов потемнения к краю сравниваются с теоретически предсказанными значениями. Для звзд в системах Kepler е 5b, Kepler-7b эмпирическое значение линейного коэффициента потемнения диска звезды к краю x получается меньше теоретического значения x из таблиц коэффициентов в работе Кларе [14]. Для звезды системы Kepler-6b эмпирический коэффициент потемнения к краю x весьма близок к теоретическому значению из таблиц Кларе [14]. В случае предположения квадратичного закона потемнения к краю, значения коэффициентов потемнения звездного диска к краю в нелинейном законе, полученные при интерпретации наблюдаемых кривых блеска как методом дифференциальных поправок, так и методом доверительных областей с использованием статистики с законом распределения 2, где P – число P искомых параметров, а в случае звезды Kepler-5b также и с использованием статистики, распределенной по закону 2, на выбранном уровне доверия M = 0.95 в пределах интервала ошибок согласуются с теоретическими значениями из таблиц Кларе [14].

В пятой главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 189733. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн.

Анализируется зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны. Отмечено увеличение радиуса планеты с уменьшением длины волны, которое может объясняться релееевским рассеянием света и свидетельствовать о наличии у планеты атмосферы. Также проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом в линейном законе потемнения к краю обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое, в отличие от случая с системой HD 209458, уменьшается с ростом длины волны. В квадратичном законе потемнения к краю удатся согласовать е теоретические и найденные значения коэффициентов потемнения на уровне доверия = 0.95.

Основные результаты диссертации 1. Развит эффективный, полностью аналитический алгоритм расчта кривой е блеска классической двойной звздной системы, в том числе, и для затмения е звезды экзопланетой.

2. Получено качественное и количественное соотношение между интервалами ошибок, найденных в рамках различных методов.

3. Даны наджные оценки коэффициентов потемнения к краю и е геометрических параметров систем HD 209458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler 7b, HD 189733.

4. Выявлено значимое различие между наблюдаемой зависимостью коэффициентов потемнения к краю в системах HD 209458 и HD 189733 и зависимостью, полученной из теории тонких звздных атмосфер.

е 5. Подтверждена выявленная в работе [15] при фиксированном коэффициенте потемнения к краю зависимость радиуса экзопланеты в системе HD от длины волны, свидетельствующая о наличии у этой экзопланеты атмосферы.

Личный вклад автора В статьях (1), (2), (3) для кривой блеска автором получены аналитические выражения через эллиптические интегралы и кусочно-заданные функции одной переменной, дающие непосредственный алгоритм для решения прямой задачи, осуществлена программная реализация алгоритма для решения прямой и обратной задачи. В работе (1) автором произведена апробация алгоритма решения обратной параметрической задачи в модели двойных звздных систем. В е работах (2), (3), (5) автором вычислены параметры двойных звздных е систем и произведены дополнительные расчты, потребовавшиеся в ходе е работы над ними. В работе (2) автором получено качественное и количественное соотношение между интервалами ошибок, полученными различными методами (с помощью различных статистик). В работах (3), (4), (5) автор участвовал в постановке задачи, решении обратной задачи и статистической оценке ошибок параметров.

Полученные в работе коэффициенты потемнения к краю для пяти звзд, а также отношение радиуса планеты е к радиусу звезды в системе НD 189733 для линейного закона потемнения к краю Отметим ещ раз наиболее важные с физической точки зрения результаты.

е Так, на рис. 3 и 4 представлены зависимости коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном законе потемнения для систем HD и HD 189733 соответственно. Видно, что расхождение между наблюдаемыми значениями коэффициента потемнения к краю и полученными из теории тонких атмосфер значительно. Для обоих систем наблюдаемые значения коэффициента потемнения к краю систематически меньше теоретических.

При этом в случае с системой HD 209458 расхождение наблюдаемых и теоретических значений коэффициента потемнения к краю возрастает с ростом длины волны, в то время как в случае системы HD это расхождение максимально для наименьших длин волн. В случае квадратичного закона потемнения к краю данное расхождение уменьшается.

В таблице 1 приведены теоретические и наблюдаемые коэффициенты потемнения к краю для видимого диапазона длин волн, полученные в линейном и квадратичном законе для всех пяти рассмотренных в диссертационном исследовании систем. В последнем столбце приведены центральные длины волн, соответствующие наблюдаемым кривым блеска.

Следует отметить, что большинство из приведнных линейных коэффициентов е потемнения к краю меньше соответствующих теоретических коэффициентов.

Это различие сохраняется при переходе от линейного к квадратичному закону потемнения диска звезды к краю. Объяснение указанного различия представляет собой отдельную физическую задачу.

Важным результатом является подтверждение увеличения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны (см. рис 5). Данная зависимость свидетельствует о релеевском рассеянии излучения звезды в атмосфере экзопланеты.

Таблица 1: Эмпирические и теоретические значения коэффициентов потемнения к краю.

Ошибки получены в рамках метода дифференциальных поправок. Ошибка приведена на уровне 2. Для системы HD 189733 приведены результаты интерпретации по левой ветви кривой блеска. x – коэффициент для модели с линейным законом потемнения к краю. x1 и y1 – соответственно линейный и квадратичный коэффициенты в квадратичном законе потемнения к краю. Индексом "teor" обозначены соответствующие теоретические коэффициенты потемнения к краю.

Название системы x xteor x1 x1teor y1 y1teor (A) HD 209458 0.437 ± 0.013 0.58 0.307 ± 0.075 0.49 0.21 ± 0.12 0.21 Kepler-5b 0.482 ± 0.032 0.587 0.07 ± 0.36 0.279 0.75 ± 0.52 0.363 Kepler-6b 0.635 ± 0.026 0.632 0.38 ± 0.24 0.366 0.38 ± 0.38 0.314 Kepler-7b 0.538 ± 0.026 0.609 0.23 ± 0.32 0.316 0.44 ± 0.46 0.344 HD 189733 0.615 ± 0.028 0.67 0.52 ± 0.26 0.49 0.14 ± 0.42 0.21 1. 1. L 0. 0. 0. 0. 165 170 175 180 185 190 o Рис 2: Наблюдаемые кривые блеска двойной системы с экзопланетой HD 209458 из работы [2], построенные для длин волн (снизу вверх) 3201, 3750, 4300, 4849, 5398, 5802, A A A A A A, 7755, 8732, и 9708. Внизу указаны соответствующие распределения невязок.

6779A A A A Сплошные линии - теоретические кривые, полученные в рамках модели с нелинейным (квадратичным) потемнением к краю.

x 0. ugriz UBVRIJ 0. 0. 0. 0. 0. 0. (A) 0. 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 Рис 3: Зависимость коэффициента потемнения к краю x звезды HD 209458 в предположении линейного закона потемнения к краю от длины волны. Значения коэффициента потемнения к краю получены на основе анализа кривых блеска из работы [2]. Ошибки коэффициентов потемнения к краю получены на основе метода дифференциальных поправок. Ошибка приведена на уровне 2. Теоретические значения коэффициентов потемнения к краю в фотометрических системах ugriz и UBVRIJ приведены из работы [14].

x 0.9 Obs ugriz Claret UBVRIJ Claret UBVRIJ Claret 0. 0. 0. 0. 0. 0. (A) 0. 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 Рис 4: Зависимость коэффициента потемнения к краю x звезды HD 189733 в предположении линейного закона потемнения к краю от длины волны. Значения коэффициента потемнения к краю получены на основе анализа кривых блеска (левой ветви) из работы [15]. Ошибки коэффициентов потемнения к краю получены на основе метода дифференциальных поправок. Ошибка приведена на уровне 2. Теоретические значения коэффициентов потемнения к краю в фотометрических системах ugriz и UB VRIJ приведены из работ [14, 16, 17].

rp/rs 0. rp/rs our results rp/rs from article 0. 0. 0. (A) 0. 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Рис 5: Зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны согласно результатам данной работы (темные кружки), и согласно работе [15] (темные квадраты). В обоих случаях указаны ошибки, полученные на уровне 1. В нашем случае ошибки больше ввиду того, что коэффициент потемнения к краю не фиксирован, а ищется совместно с другими параметрами задачи. Систематическое различие на 0.3% вызвано тем, что нормировка кривой блеска в нашем случае выполнена с использованием среднего внезатменного блеска системы.

Список литературы [1] T. M. Brown, D. Charbonneau, R.L. Gilliland et al., Astrophys.J. 552, (2001).

[2] H. A. Knutson, D. Charbonneau, R. W. Noyes, T. M. Brown, R. L. Gilliland, Astrophys.J. 655, 564 (2007).

[3] I.A.G. Shellen, E.J.W. de Mooij, S.Albrecht, Nature. 459, 543 (2009) [4] Eds. C. Bertout, T. Forveille, N.Langer, S.Shore, Astron & Astrophys 506, 1 (2009).

[5] D.G. Koch, et al., Astrophys.J. 713, L79 (2010).

[6] Interactive Extra-solar Planets Catalog, http://exoplanet.eu/catalog.php [7] J. Southworth, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 386, 1644 (2008).

[8] F. Pont, R.L. Gilliland, C. Moutou, Astron & Astrophys 476, 1347 (2007).

[9] D.G. Koch, W.J. Borucki, J.F.Rowe et al., Astrophys.J. 713, 131 (2010).

[10] E.W. Dunham, W.J. Borucki, D.G. Koch et al., Astrophys.J. 713, L (2010).

[11] D.W. Latham, W.J. Borucki, D.G. Koch et al., Astrophys.J. 713, L (2010).

[12] Черепащук А.М., Астрон. журн. 70, 1157. (1993) [13] Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. // Некорректные задачи астрофизики, М., Наука, 1985.

[14] A. Claret, Astron & Astrophys 428, 1001 (2004).

[15] F. Pont, H. Knutson, R. L. Gilliland et al., Monthly Not. Roy. Astron. Soc.

385, 109 (2008).

[16] A. Claret, Astron & Astrophys 335, 647 (1998).

[17] A. Claret, Astron & Astrophys 363, 1081 (2000).