Траектории гравитационного рассеяния и их астрономические приложения

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ АСТРОНОМИИ

На правах рукописи

СОКОЛОВ Леонид Леонидович

Траектории гравитационного рассеяния

и их астрономические приложения

Специальность 01.03.01 астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2007

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном универ ситете.

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор К.В. Холшевников

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бабаджанянц Левон Константинович доктор физико-математических наук, профессор Батраков Юрий Васильевич доктор физико-математических наук, профессор, чл.-корр. РАН Белецкий Владимир Васильевич

Ведущая организация Санкт-Петербургское Отделение Математиче ского Института им. В.А.Стеклова РАН

Защита состоится 22 октября 2007 г. в 10 час. на заседании диссерта ционного совета Д.002.067.01 по защите диссертаций на соискание уче ной степени доктора наук при Институте Прикладной Астрономии РАН, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПА РАН.

Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Медведев Ю.Д.

1

Общая характеристика работы

Настоящая работа посвящена исследованию траекторий рассеяния гра витационно взаимодействующих тел. Они, как обычно, в подавляющем большинстве случаев считаются материальными точками. Рассеяния изменения движения подсистем или отдельных тел в результате сбли жений, до и после которых эти подсистемы (тела) удаляются на боль шие расстояния и почти не взаимодействуют. Таким образом, рассмат риваются специальные случаи классической небесномеханической зада чи N тел. Основное внимание уделяется гравитационному взаимодей ствию тел, движущихся с большими скоростями без тесных сближений, а также рассеяниям при сближениях с планетами. В последнем случае многократные рассеяния ведут к стохастическим траекториям.

Возможные приложения связаны с динамической эволюцией звезд ных систем малой кратности, которые нередко распадаются;

эволюцией орбит экзопланет под действием близких звезд;

гравитационными ма неврами космических аппаратов у планет и их спутников;

особенностями движения астероидов, сближающихся с Землей.

Задача N тел, т.е. описание возможных движений N материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона, является одной из основ ных фундаментальных проблем небесной механики и динамики. Роль ее в развитии математики и естествознания невозможно переоценить. За триста лет в этой проблеме получено немало результатов первостепен ной важности;

еще больше идей и результатов в смежных областях на уки обязаны своим происхождением небесномеханической задаче N тел.

Увлекательная история развития и взаимообогащения небесной механи ки и других наук тема отдельного исследования. Во всяком случае ясно, что актуальность задачи N тел отнюдь не исчерпывается астро номией и механикой космического полета.

Актуальность темы обусловлена как многочисленными прило жениями траекторий рассеяния задачи N тел в астрономии, так и ролью этой задачи в чистой и прикладной математике. В течение трех столетий она была источником новых математических идей и методов, продол жая играть эту роль и сегодня. В настоящее время исследование свойств траекторий различных динамических систем, выделение семейств хаоти ческих и регулярных движений, доказательство интегрируемости либо неинтегрируемости динамической системы популярная тема исследо ваний. Описание свойств и характеристик некоторых семейств траекто рий одной из классических динамических систем задачи N тел при произвольном N является одним из направлений такого рода иссле дований.

Актуальный объект исследования астероиды, сближающиеся с Зем лей (АСЗ) [26]. Многократные прохождения вблизи Земли характерны для опасных объектов. Траектории с многократными рассеяниями опи сывают сложные движения таких астероидов в случаях, когда точное прогнозирование невозможно. Примером, рассматриваемым в настоящей диссертации, служит астероид Апофис один из самых опасных на се годня АСЗ [30], [33].

Необходимо упомянуть и траектории космических аппаратов со мно гими гравитационными маневрами у планет одним из основных на сегодня способов передвижения в дальнем космосе.

Одна из важнейших тем исследований в астрономии сегодня эк зопланетные системы, в частности, их динамика и устойчивость. С этой проблематикой непосредственно связан интригующий вопрос о возмож ности существования высокоорганизованной материи во Вселенной. Боль шое и все возрастающее число открытых экзопланетных систем ставит вопросы об условиях их устойчивости в разных смыслах, сценариях ди намической эволюции и т.д., в частности о возможной роли рассеяния звезд на планетных системах в динамической эволюции этих систем.

Цели работы. Основные цели настоящей работы развитие ме тодов решения небесномеханической задачи N тел, получение качествен ных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекто рий рассеяния, представляющих интерес для астрономии.

Научная новизна работы. Настоящая диссертация посвящена разработке новых методов решения небесномеханической задачи N тел и получению на этой основе новых результатов, качественных свойств и количественных характеристик траекторий небесных тел. Нам удалось получить результаты, справедливые для произвольного N, а не только для обычно рассматриваемого случая N = 3.

Новыми являются:

1. Конструктивный итеративный алгоритм построения точного реше ния задачи N тел в конструктивно описанных областях больших энер гий вне соударений для произвольного N. Конструктивный алгоритм построения точного решения ограниченной задачи трех тел с обменом.

Доказательство сходимости итераций для всех значений времени.

2. Полное качественное описание траекторий в вышеуказанных об ластях (продолжимость решения на всю ось времени, асимптотическое поведение, региональная интегрируемость и т.д.).

3. Оценка областей применимости итерационного метода построения точных решений и областей существования решений с полученными свой ствами. Оценка областей устойчивого движения планеты под действием пролетающей звезды в зависимости от параметров системы.

4. Методы построения порождающих квазислучайных решений для траекторий с многократными рассеяниями вблизи планет. Получение ка чественных свойств и количественных характеристик некоторых поро ждающих решений.

5. Методы численного построения траекторий, соответствующих по рождающим квазислучайным движениям. Построение траекторий воз можных опасных сближений АСЗ Апофис с Землей в ближайшем буду щем.

Научная и практическая ценность работы. В настоя щей работе представлен новый метод построения и исследования свойств точных решний небесномеханической задачи N тел, применимый для произвольного N и всех значений времени. Этот итеративный метод ра ботает в конструктивно задаваемых областях пространства начальных данных и параметров с большими энергиями вне соударений. Показано, что в этих областях решение продолжимо на всю ось времени и не содер жит соударений;

задача N тел там же регионально интегрируема, что не противоречит общеизвестным результатам о (глобальной) неинтегриру емости этой задачи.

Показано, что разработанные методы позволяют проводить исчерпы вающее качественное исследование и строить точные решения для всех значений времени в более сложных случаях обмена, захвата и распада в задаче трех тел. Возможны и дальнейшие обобщения на более сложные случаи задачи N тел.

Получены мажорантные оценки размеров областей сходимости ите раций, региональной интегрируемости и т.д., а также численные оценки этих областей, в частности условия устойчивости орбит (экзо)планет под действием пролетающих звезд.

Показано, что сложные семейства траекторий с многократными рас сеяниями удобно описывать с использованием аппарата символической динамики. Разработаны методы построения порождающих квазислучай ных движений и нахождения их характеристик.

Разработаны численные методы построения траекторий, соответству ющих полученным порождающим квазислучайным движениям. Прове дено вычисление возможных траекторий опасных сближений и соударе ний с Землей в ближайшем будущем для АСЗ Апофис, совместимых с сегодняшней точностью знания его орбиты.

Результаты, выносимые на защиту

.

1. Итеративный метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в области больших энергий вне тесных сближе ний. Сходимость итераций к точному решению задачи N тел при всех значениях времени в той же области. Сходимость итераций к точному решению ограниченной задачи трех тел при всех значениях времени для траекторий рассеяния с обменом. Региональная интегрируемость задачи N тел и другие свойства получаемых решений.

2. Условия применимости итеративного метода построения решений задачи N тел и области существования решений с найденными свойства ми.

3. Метод построения семейств порождающих решений для траекто рий со многими рассеяниями с использованием аппарата символической динамики. Экстремальные характеристики и другие свойства порожда ющих решений.

4. Метод построения траекторий со многими рассеяниями по поро ждающим квазислучайным решениям. Траектории возможных опасных сближений с Землей астероида Апофис в ближайшем будущем.

Структура и объем диссертации.

Диссертация объемом 233 страницы состоит из восьми глав, включая введение, заключение, приложение, и списка литературы, содержащего 192 наименования. Число рисунков 29, таблиц 31.

Апробация работы. Результаты работ по теме диссертации мно гократно докладывались на Чтениях по космонавтике, посвященных па мяти пионеров исследования космического пространства на секции небес ной механики (Москва), а также на семинарах кафедры небесной ме ханики СПбГУ, на семинарах кафедры теоретической механики МГУ (рук. проф. В.В.Козлов), совещании в Центре Управления Полетами (Калининград-Королев Московской области, 1989 г.), на городском семи наре по механике космического полета (рук. В.А.Егоров, В.В.Белецкий, МГУ), на семинаре обсерватории университета Турку (Финляндия, г.). на конференциях в Институте Теоретической Астрономии РАН и Ин ституте Прикладной Астрономии РАН (Санкт-Петербург), на конферен ции в Казани (1989 г.), на конференции в Киеве (1990 г.), на конференции в Архангельске (1995 г.), на конференции в ГАИШ МГУ (1997 г.), на кон ференции в ГАИШ МГУ (2003 г.), на совещании-семинаре "От спутни ков до галактик"(АИ СПбГУ, 2005), на Симпозиумах по теоретической и небесной механике (Великие Луки), на международных конференци ях в Петрозаводске (1993 г. и 1995 г.), на Симпозиуме МАС N 172 в Париже (1995 г.), на международной конференции, посвященной памя ти проф. К.Ф.Огородникова (Санкт-Петербург, 2000 г.), на международ ной конференции "Задача N тел. Теория и компьютерное моделирова ние"(Финляндия, университет г. Турку, 2005), на Поляховских Чтени ях (СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Астро-2006"(АИ СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Нелинейный динами ческий анализ–2007", посвященной 150-летию со дня рождения А.М.Ля пунова (Санкт-Петербург, 2007). Опубликованы резюме многих докла дов.

Основные идеи и результаты настоящей диссерта ции опубликованы в работах [13], [16], [17], [18], [19], [25]. Кроме того, результаты изложены в [12], [14], [15], [20], [6], [42], [22], [23], [43], [44], [7], [24], [39], [10], [5].

В работах, выполненных в соавторстве с К.В.Холшевниковым и по священных точному решению задачи N тел для всех значений време ни, автору принадлежит идея применения итераций пикаровского типа для построения решения, и реализация этой идеи для задачи N тел.

Автору также принадлежит идея использования сходящихся итераций для получения качественных свойств движений и доказательства инте грируемости, а также обоснование сходимости итераций в задаче N тел в случае больших энергий. К.В. Холшевникову принадлежит обобще ние метода построения точного решения с использованием итераций на общий случай систем с быстрыми и медленными переменными и мате матическое обоснование в этом случае. Доказательство существования интегралов дифференциальных уравнений в случаях сходимости итера ций к точному решению для всех значений времени получено совместно Л.Л.Соколовым и К.В.Холшевниковым. В работах, выполненных в со авторстве с В.Б.Титовым и А.В.Елькиным и посвященных построению стохастических решений задачи N тел, автору принадлежат основные идеи и методы решения задач. В.Б.Титов и А.В.Елькин составляли ком пьютерные программы по алгоритмам, разработанным автором. Отлад ка программ и вычисления производились совместно. В совместных с Г.А.Кутеевой работах Л.Л.Соколову принадлежат постановки задач и основные методы их решения, вычисления Г.А.Кутеевой. Оформле ние результатов производилось совместно. В работах, выполненных сов местно с А.А. Башаковым и Н.П. Питьевым Л.Л.Соколову принадлежит построение порождающих траекторий астероида Apophis после 2036 года и их вычисление, А.А.Башакову и Н.П.Питьеву создание и адаптация соответствующих программ, а также выбор множества начальных дан ных.

2 Содержание работы Общая структура диссертации Первая глава введение содержит постановку задачи и ее обосно вание (актуальность, новизна, научное и практическое значение), крат кое изложение содержания, выносимые на защиту результаты, а также перечень основных публикаций и конференций, симпозиумов, семинаров, где докладывались результаты диссертации.

О свойствах траекторий задачи N тел содержит Вторая глава краткий исторический обзор и краткий обзор литературы по теме дис сертации.

Третья глава Итеративный метод построения точных решений за дачи N тел посвящена траекториям быстро разбегающихся тел или тесных пар, когда итерации сходятся к точному решению, имеет место региональная интегрируемость задачи N тел и другие доказываемые в этой главе свойства движений.

Четвертая глава Об условиях применимости итеративного метода посвящена оценке условий сходимости итераций и областей, где имеет место региональная интегрируемость, а также сопоставлению условий теорем с результатами численного интегрирования и нахождению границ устойчивого движения, которое гарантируется доказанными в главе теоремами.

Траектории с однократным рассеянием содержит Пятая глава описание особенностей некоторых типов траекторий рассеяния при тес ном сближении в ограниченной задаче трех тел. Речь идет о траекториях обмена, которые могут быть получены с помощью обобщения итератив ного метода главы 3, а также о методе точечных гравитационных сфер, позволяющем в ряде случаев просто и с приемлемой точностью описы вать гравитационные маневры.

Многократные рассеяния в планетной системе Шестая глава посвящена описанию многократных рассеяний при сближениях с пла нетами с использованием аппарата символической динамики. Строятся порождающие квазислучайные решения и соответствующие им траекто рии. Подробно исследуются допустимые (согласно сегодняшней точно сти орбиты) опасные траектории АСЗ Апофис в области, где движение астероида стохастично.

Седьмая глава заключение. Обсуждаются результаты, выносимые на защиту, сформулированы нерешенные задачи и направления исследо ваний, интересные по мнению автора.

Сложность задачи N тел при N 2 общеизвестна. Со времен Пу анкаре известны семейства траекторий, свойства которых не позволяют получить их полное описание простыми методами. Кратко об этом гово рят, что задача N тел неинтегрируема. В то же время хорошо известно, что в некоторых областях фазового пространства точные решения за дачи N тел на всей оси времени устроены сравнительно просто. Для таких движений нам удалось получить полное описание свойств траек торий на всей оси времени, а также итеративный алгоритм построения точного решения, причем итерации сходятся для всех значений времени.

В частности, имеет место интегрируемость в классическом смысле сло ва. Кратко об этом мы будем говорить, что задача N тел (регионально) интегрируема. Эта интегрируемость означает существование в соответ ствующих областях 6N 1 гладких независимых функций от координат и скоростей, не являющихся константами, но постоянных на траекто риях. Чтобы подчеркнуть, что интегрируемость имеет место не во всем пространстве, а лишь в некоторой инвариантной области, мы говорим о региональной интегрируемости. Соответствующие области фазового пространства имеют большой объем и просто устроены (точнее, можно выделить просто устроенные части этих областей). Сочетание простых и сложных движений нередко встречается в различных динамических системах [4].

В классической работе [9], посвященной идейным основам КАМ–тео рии, А.Н.Колмогоров отмечал недостаточную исследованность "простых" случаев задачи N тел, когда эти тела разлетаются. В.М.Алексеев [2], [3] сформулировал гипотезу об интегрируемости задачи трех тел в гипер болических случаях. Наши результаты, полученные в главе 3, касаются только части гиперболических движений, зато число тел произвольно.

Разработанные в главе 3 методы исследования допускает обобщения на более сложные варианты задачи N тел. Одно из таких обобщений представлено в главе 5. Оно позволяет получить исчерпывающее описа ние некоторых семейств траекторий обмена (а также захвата и распада) в ограниченной гиперболической задаче трех тел (пп.5.1, 5.2).

В случаях, когда общая энергия системы отрицательна и рассеяния происходят в "потенциальной яме", тела не разлетаются "на бесконеч ность". Это имеет место, например, при сближениях астероидов, комет, или космических аппаратов с планетами. Находясь на эллиптической ге лиоцентрической орбите, астероид движется обычно по гиперболической планетоцентрической орбите. В результате рассеяния при прохождении в окрестности планеты эллиптическая гелиоцентрическая орбита транс формируется. В механике космического полета эта трансформация тра ектории космического аппарата называется гравитационным маневром.

Многократные рассеяния в этой ситуации ведут к сложным траектори ям, которые не только не являются интегрируемыми, но служат приме ром стохастического движения, так сказать, динамического хаоса.

Перед столкновением с Землей АСЗ обычно должен иметь с ней ряд сближений. Эта особенность подчеркивалась в нашей работе [21], где ис пользовалась упрощенная модель движения. То же можно получить, ес ли считать сближения случайными. Траектория Апофис подтверждает это важное свойство движенией опасных АСЗ и актуальность исследо вания многократных рассеяний.

В настоящей работе широко используются порождающие решения, что характерно для классической небесной механики. В главах 3 и 5 с их помощью строятся точные решения задачи N тел. Исследование индиви дуальных стохастических траекторий и их численное построение (глава 6) оказывается невозможным без использования порождающих решений.

В отличие от классики, где порождающие решения интегрируемы (на пример, решения задачи двух неподвижных центров), в главах 5, 6 мы используем квазислучайные порождающие решения.

Рассмотрим содержание более подробно.

Глава 2 посвящена истории вопроса. На примере задачи N тел хоро шо видно, что исследование фундаментальных проблем, даже не имею щих на первый взгляд каких–либо приложений, в конце концов приносит неожиданные результаты, актуальность и практическое значение кото рых невозможно переоценить. Так, задача N тел со времен Ньютона играет заметную роль в развитии чистой и прикладной математики, ко торые в свою очередь в значительной мере определяют лицо современной технологической цивилизации.

Глава 2 содержит четыре параграфа. Параграф 2.1 содержит общие исторические замечания, в параграфе 2.2 кратко обсуждаются некото рые работы, посвященные траекториям рассеяния в задаче N тел. Пара граф 2.3 посвящен проблеме интегрируемости задачи N тел, а параграф 2.4 некоторым случаям хаотического (квазислучайного) движения в той же задаче, связанным с траекториями рассеяния и имеющим важные приложения в астрономии и механике космического полета.

"Простые" решения задачи трех и N тел с рассеяниями, отчасти именно из-за их простоты, сравнительно мало исследовались в класси ческой небесной механике. Тем не менее еще Шази [32] выдвинул ар гументы в пользу интегрируемости задачи N тел для таких движений.

В.М.Алексеев [2], [3] сформулировал гипотезу об интегрируемости всех движений с уходами по крайней мере одного из трех тел "на бесконеч ность" (гиперболическая, гиперболоэллиптическая, гиперболопараболи ческая задачи). Все это случаи неглобальной интегрируемости. Приво дятся примеры других динамических систем (не задачи N тел) с каче ственно различным поведением в разных областях фазового простран ства. В работах В.В.Козлова [8] наряду с достаточными условиями гло бальной неинтегрируемости (расщепление сепаратрис и т.п.) приводятся некоторые общие требования к интегрируемым системам.

Траектории с рассеяниями в задаче трех тел неоднократно исследо вались (больше численно) в звездной динамике [34], [36], [37], [38], [45], [46], [35]. Последняя работа называется "Gravitational Scattering".

Для описания движения астероида Апофис в области динамическо го хаоса в главе 6 использовался аппарат теории квазислучайных дви жений, разработанной В.М.Алексеевым [2], [3]. Глава 2 содержит крат кое описание основных идей и методов этой теории, применяемых далее.

Данные, касающиеся самого астероида Апофис, приводятся в гл.6, п.6.5.

В главе 2 также кратко обсуждается проблематика гравитационных ма невров космических аппаратов у планет.

Глава 3 содержит методы и алгоритмы построения и исследования "простых" (в том числе регионально интегрируемых) траекторий неко торого класса динамических систем, среди которых нас интересует зада ча N тел. Ключевым моментом является возможность построения точ ных решений на всей оси времени с использованием итеративных ал горитмов, аналогичных применяемым при доказательстве классической теоремы существования и единственности обыкновенных дифференци альных уравнений (Пикара-Линделефа). Сходимость итераций обуслов лена достаточно быстрым убыванием возмущающих сил в окрестности порождающего движения. В качестве порождающих движений рассмот рены прямолинейные равномерные (возможно в комбинации с кеплеро выми). Рассуждения во многом аналогичны классическим (например, [11]), где сжатие в соответствующем функциональном пространстве и сходимость итераций обусловлены малостью интервала времени. Мы ис пользуем другие малые величины, а интервал времени может быть и бесконечным при условии, что соответствующие интегралы сходятся и достаточно малы.

В параграфе 3.1 формулируется и доказывается основная теорема о построении точного решения на всей оси времени с помощью итераций пикаровского типа для динамической системы с быстрыми и медлен ными переменными. Для удобства проведения дальнейших исследова ний система преобразуется к простому виду (возможно, за счет увели чения размерности). В параграфе 3.2 рассмотрен разлет одиночных тел без сближений. Основная теорема параграфа 3.1 применяется к задаче N тел. Формулируется теорема, при выполнении условий которой дви жения будут регулярными, т.е. итерации сходятся к точному решению для всех значений времени, движение асимптотически прямолинейное и равномерное, имеет место региональная интегрируемость. В частности, справедливо утверждение: пусть заданы массы, начальные координаты и начальные скорости тел и прямолинейные равномерные движения, определяемые этими начальными координатами и скоростями, не со держат соударений. Умножим массы, координаты и скорости на мас штабные скалярные множители M, R, V соответственно. Тогда, ес ли величина GM/RV 2 достаточно мала, получим систему регионально интегрируемых траекторий задачи N тел ( G гравитационная по стоянная). Другими словами, движения регулярны в вышеприведенном смысле либо при достаточно малых массах тел, либо при достаточно больших скоростях тел, либо при достаточно больших расстояниях меж ду телами.

Параграф 3.3 посвящен случаю, когда все (или некоторые) из разле тающихся одиночных тел заменяются тесными двойными подсистемами.

Основная теорема оказывается применимой и к этому случаю, позво ляя строго доказать продолжимость решений на всю ось времени, схо димость итераций к точному решению для всех значений времени, инте грируемость задачи и другие свойства, а также конструктивно выделить области регулярных движений. Однако сложность получающихся фор мул для мажорант делает весьма проблематичным получение близких к точным оценок для размеров этих областей. В п. 3.4 обсуждаются вопро сы собственно интегрируемости систем рассматриваемого вида, то есть возможность построения полного набора не зависящих явно от време ни интегралов. При условии сходимости итераций на всей оси времени такая возможность устанавливается сравнительно простыми рассужде ниями. Дополнительно достаточно потребовать существования "быстрой переменной", то есть какой-нибудь координаты, монотонно меняющейся со временем, которой можно заменить время в соотношении, функцио нально связывающем начальные и текущие векторы состояния. В случае быстро разбегающихся тел такая координата очевидно существует. По этому использование термина "интегрируемая" является корректным.

В параграфе 3.5 итеративный метод применяется к ограниченной ги перболической задаче трех тел "Солнце-планета-звезда". Здесь нулевое приближение для траектории звезды не прямолинейное равномерное движение, а движение по кеплеровой гиперболе. Однако общая теория (и теорема 1) может быть применена. Все рассуждения и выводы повто ряются для получения более конкретных условий сходимости итераций (интегрируемости и т.п.). В результате можно существенно расширить область "простых" (в т.ч. регионально интегрируемых) движений в за даче N тел, включив туда важные для астрономии случаи.

Глава 4. Здесь обсуждается область применимости результатов, по лученных в главе 3, конкретизируются условия доказанных там тео рем. Результаты, полученные с использованием итераций, сравниваются с некоторыми точными решениями (параграф 4.1) и результатами чис ленного интегрирования уравнений движения (параграф 4.2). В парагра фе 4.2 приведены примеры областей интегрируемого движения задачи трех тел, полученные из условий вышеуказанных теорем с использова нием мажорант. В п. 4.3 обсуждаются результаты п. 3.5 применительно к Солнечной системе и ее соседям с использованием модели ограниченной гиперболо-эллиптической задачи трех тел "Солнце - планета - пролетаю щая звезда". Иногда для краткости эта модель называется в диссертации "планетная гиперболическая задача". Характеристики ближайших звезд взяты из работы [41]. Показано, что условия интегрируемости, получен ные в теоремах главы 3, выполняются для планет Солнечной системы и ближайших звезд. Можно сделать некоторые общие выводы о достаточ ных условиях устойчивости планетных систем относительно ближайших звезд. Кроме того, несложно получить аналитические оценки возмуще ний орбит планет ближайшими звездами. Стоит отметить любопытный факт: время устойчивости Солнечной системы по отношению к сосед ним звездам по порядку величины близко к времени ее устойчивости, обусловленному "хаотичностью" в движениях планет [40];

оно же близ ко ко времени существования Солнечной системы.

Для сравнения напомним, что обоснование применимости фундамен тальных результатов КАМ-теории к конкретным астрономическим си стемам сталкивается с серьезными трудностями. Аналогична ситуация и с использованием фундаментальных результатов Сундмана. Получен ные в диссертации оценки областей интегрируемости задачи N тел менее грубы и позволяют применять выводы об интегрируемости к астрономи ческим системам. Требования теорем главы 3 оказываются завышенны ми лишь на 1 – 4 порядка.

Параграф 4.4 посвящен эволюции эллиптической орбиты планеты под действием пролетающей звезды. Здесь мы не ограничиваемся случа ем малых возмущений. Используя численное интегрирование уравнений движения,мы получаем условия устойчивости движения (экзо)планеты.

Под устойчивостью имеется в виду сохранение эллиптического движения вокруг той же звезды после удаления пролетающей звезды при произ вольном начальном положении планеты на невозмущенной орбите. Обла сти устойчивости в пространстве "скорость пролетающей звезды – при цельное расстояние" аппроксимируются простыми функциями. Кроме того, обсуждаются некоторые особенности эволюции элементов орбиты планеты. Так, в ряде случаев наблюдается возвращение большой полуоси планеты к начальному невозмущенному значению после пролета звезды.

Такая "адиабатичность" имеет место для небольших возмущений при условии небольшой скорости звезды на бесконечности, граница скорости примерно соответствует невозмущенной скорости планеты. Рассмотрены также условия различных сценариев неустойчивости, именно перехо да планеты на эллиптическую орбиту относительно звезды (обмена) и перехода планеты на гиперболическую орбиту относительно и звезды, и Солнца (распада). Вблизи границы неустойчивости при небольших ско ростях звезды имеет место обмен, при больших распад. Граничное значение скорости звезды на бесконечности, разделяющее эти сценарии, примерно соответствует невозмущенной круговой скорости планеты.

Пятая глава посвящена траекториям однократного рассеяния, при котором движение в результате сближения существенно изменяется. В двух первых параграфах этой главы обсуждается обобщение инструмен тария главы 3 на более сложные варианты задачи N тел. Рассматрива ется ограниченная задача трех тел с большими скоростями, однако сбли жения тел допускаются. В случае одного тройного сближения обобщение метода построения точных решений может быть получено, если разбить всю ось времени на три отрезка. На каждом из отрезков точное решение получается с помощью итераций. "Сшивка" этих точных решений позво ляет получить обмен (а также захват и распад, рассматриваемые в главе 5 менее подробно) в ограниченной задаче трех тел. В результате мы по лучаем столь же полное описание траекторий, как и в интегрируемом случае, для существенно более сложных вариантов задачи трех тел. В п.

5.1 рассматриваются порождающие решения. По-прежнему они состав лены из кеплеровых орбит и прямолинейных равномерных движений.

В п. 5.2 исследуется сходимость итераций к точному решению на всей оси времени, обосновывается утверждение о существовании траекторий обмена. Доказательство сходимости на первом и последнем интервале времени повторяет рассуждения главы 3, доказательство сходимости на среднем интервале времени повторяет рассуждения классической теоре мы существования и единственности дифференциальных уравнений.

Любопытно вспомнить, что в середине XX века сама возможность существования траекторий обмена, захвата и распада в задаче трех тел была предметом жарких дискуссий, которые оказали большое стимули рующее влияние на развитие математики и астрономии [31], [32], [29], [28], [1]. В рассматриваемом случае положительной полной энергии су ществование их сегодня не может вызывать сомнений. Интересно, что возможно исчерпывающее описание траекторий обмена с помощью схо дящихся итераций рассматриваемого типа, как и в случае интегрируемой системы.

Остальные параграфы главы 5 посвящены рассмотрению траекторий однократного рассеяния пробной точки (космического аппарата, астеро ида) при сближении с планетой. Рассеяние сответствует преобразованию гелиоцентрической орбиты астероида. В ряде случаев это преобразова ние хорошо аппроксимируется с помощью метода точечных гравитаци онных сфер (ТГС), описанного в параграфе 5.3. Планетоцентрические скорости должны быть большими, а сближения тесными. Мы огра ничиваемся рассмотрением таких случаев. В параграфе 5.4 с помощью метода ТГС получены условия захвата межзвездного тела (кометы) в Солнечную систему в результате сближения с планетой. Эти данные сравниваются с другими аналогичными результатами, имеющимися в ли тературе. Можно отметить приемлемую точность используемой простой модели. Параграф 5.5 посвящен обсуждению возможных результатов од нократного рассеяния пробного тела у планеты в зависимости от пара метров последней. В параграфе 5.6 оценивается влияние несферичности планеты на траекторию пробной точки при рассеянии.

Шестая глава посвящена рассмотрению проблем, связанных с мно гократными рассеяниями пробного тела (КА, астероида) в планетной си стеме. Метод ТГС (в своей области применимости) позволяет построить обозримое множество порождающих решений, обсуждаемое в парагра фе 6.1. Орбиты соударения, используемые для порождающих решений, строятся с использованием классического аппарата небесной механики, решений задачи двух тел [27]. Некоторые свойства порождающих ре шений, в частности, области достижимости, рассмотрены в п. 6.2. Любо пытно, что кеплеровы орбиты, пересекающие орбиты планет, в большин стве случаев могут быть соединены порождающей (ТГС) траекторией.

То есть переход между ними возможен "без затраты топлива", толь ко за счет гравитационных сил, однако, возможно, за большое время.

Порождающие решения сложно устроены и являют собой пример стоха стической динамики. Для их описания можно использовать введенный В.М.Алексеевым формализм квазислучайных движений ("маршрутные схемы", "допустимые переходы" и т.п.). Эти вопросы рассмотрены в па раграфе 6.3. применительно к ограниченной круговой задаче трех тел.

Важный для приложений аспект квазислучайности потеря точности ("забывание начальных данных") при рассеяниях. Полученные резуль таты свидетельствуют о "забывании" 3–5 значащих цифр за одно рас сеяние (сближение) в практически важных случаях. Связанные с этим трудности при численном построении квазислучайных траекторий обсу ждаются в параграфе 6.4, где приводится метод последовательных при ближений для численного построения стохастических траекторий, соот ветствующих порождающим квазислучайным движениям. Приводятся численные примеры, иллюстрирующие обсуждаемые свойства траекто рий.

Параграф 6.5 посвящен астероиду Апофис одному из самых опас ных для землян АСЗ истории его открытия, параметрам орбиты и их точности, достоверно установленному сближению с Землей в апре ле 2029 года, а также возможному сближению или соударению в апреле 2036 года. В параграфе 6.6 с использованием методов символической ди намики и точечных гравитационных сфер построены порождающие ква зислучайные решения для траекторий возможного соударения Апофис с Землей. В парарафе 6.7 с использованием интегратора Эверхарта и со временных динамических моделей Солнечной системы (DE 403, DE 405), а также квазислучайных порождающих решений, получены возможные (в соответствии с современной точностью орбиты Апофис) траектории опасных сближений и соударений Апофис с Землей после 2036 года. Дви жение астероида тогда может стать совершенно непрогнозируемым.

В Заключении (глава 7) сформулированы и обсуждаются основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту. Рассмат риваются актуальные нерешенные задачи.

В Приложение (глава 8) вынесены вспомогательные математические предложения, используемые при доказательстве теорем главы 3, и неко торые иллюстрации.

Работа по теме настоящей диссертации проходила при финансовой поддержке грантов РФФИ, грантов Госкомвуза, а также Государствен ной Научно-Технической Программы "Астрономия", Федеральной Це левой Программы с тем же названием, Программы "Ведущие научные школы", Программы "Развитие научного потенциала высшей школы" Министерства образования и науки Российской Федерации.

Автор благодарен научному консультанту проф. К.В.Холшевникову, под руководством которого работал со студенческих лет;

коллегам из СПбГУ, а также коллегам из НПО им. Лавочкина и других организаций, с которыми ему посчастливилось сотрудничать.

Список литературы [1] Алексеев В.М. Обмен и захват в задаче трех тел. 1956. Доклады Академии Наук СССР, т. 108, N 4, с. 599-602.

[2] Алексеев В.М. Финальные движения взадаче трех тел и символи ческая динамика. 1981. Успехи математических наук, т. 36, N 4, с.

161-176.

[3] Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. 2001. Ижевск. 156 с.

[4] Антонов В.А. Соотношение упорядоченности и беспорядка в движе нии тела в гравитирующей системе. 1983. Докторская диссертация.

Ленинград, СПбГУ, 161 с.

[5] Башаков А.А.,Питьев Н.П.,Соколов Л.Л. О движении астероида 99942 Apophis (2004 MN4). Астрономия 2006: традиции, настоя щее и будущее. К 125-летию Астрономической обсерватории Санкт Петербургского государственного университета (1881–2006). Рабо чие материалы. Санкт-Петербург 2006, c. 9.

[6] Елькин А.В., Соколов Л.Л. Построение и характеристики траекто рий с гравитационными маневрами. 1995. Труды XIX Научных чте ний по космонавтике. Прикладная небесная механика и управление движением. Москва, ИИЕТ РАН, с. 10.

[7] Елькин А.В., Соколов Л.Л., Титов В.Б., Шмыров А.С. Квазислу чайные движения в гравитационном поле N планет. 2003. Труды Астрономической обсерватории СПбГУ, Ленинградского универси тета, т. 45, вып. 436, с. 73-114.

[8] Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. 1995. Издательство Удмуртского государственного уни верситета. Ижевск. 432 с.

[9] Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классиче ская механика. 1961. Серия “Современные проблемы математики”.

Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. (об зорные доклады). Гос. изд-во физ.-мат. литературы, М., с. 187-208.

[10] Кутеева Г.А., Соколов Л.Л. Области устойчивого движения экзо планет. Труды VI Поляховских Чтений. СПбГУ. 2006. с. 270-277.

[11] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль ных уравнений. 1970. М., Наука, 280 с.

[12] Соколов Л.Л. О некоторых решениях гиперболической ограничен ной задачи трех тел (предельный случай больших эксцентрисите тов). 1986. Труды Томского гоуниверситета. Астрономия и геодезия, вып. 14, с. 93-102.

[13] Соколов Л.Л., Холшевников К.В. Об интегрируемости задачи N тел.

1986. Письма в “Астрономический журнал”, т. 12, N 7, с. 557-561.

[14] Соколов Л.Л., Холшевников К.В. О точном решении задачи N тел в области больших энергий. 1987. Труды Астрономической обсерва тории Ленинградского университета, т. 41, вып. 63, с. 175-193.

[15] Соколов Л.Л. О построении аналитических решений зада чи N тел. 1990. Аналитическая небесная механика, под ред.

К.В.Холшевникова. Изд. Казанского университета, с. 11-17.

[16] Соколов Л.Л., Титов В.Б., Холшевников К.В. О свойствах некото рых движений космического аппарата вблизи Юпитера. 1990. Вест ник Ленинградского Университета, серия 1, вып.3, с. 107-112.

[17] Соколов Л.Л., Титов В.Б. Траектории КА с гравитационными ма неврами. 1991. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып.3, с. 111-114.

[18] Соколов Л.Л. Решения задачи трех тел и случайные процессы. 1991.

Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып.4, с. 30-38.

[19] Соколов Л.Л., Холшевников К.В. Региональная интегрируемость за дачи N тел. 1992. Дифференциальные уравнения, т. 28, N 3, с. 437 441.

[20] Соколов Л.Л., Титов В.Б. Построение неустойчивых траекторий в ограниченной N -планетной задаче. 1994. Международная конферен ция “Современные проблемы теоретической астрономии”. Тезисы до кладов. Т.2. Санкт-Петербург, ИТА РАН, с. 71-72.

[21] Л.Л.Соколов А.В.Елькин. О последовательных прохождениях АСЗ в окрестностях Земли. Астероидная опастность–95. 23-25 мая 1995г.

С.–Петербург. Тезисы докладов. Том 2. с. 41.

[22] Соколов Л.Л. О решении неинтегрируемых задач динамики. 1997.

Proceedings of the International Conference “Structure and Evolution of Stellar Systems”, Petrozavodsk, Karelia, Russia, 13-17 August 1995.

St.Petersburg, 1997, p. 16-22.

[23] Соколов Л.Л. Орбиты соударения и квазислучайные движения.

2000. Материалы конференции “Астрометрия, геодинамика и небес ная механика на пороге XXI века”, Санкт-Петербург, ИПА РАН, с. 225-226.

[24] Соколов Л.Л., Холшевников К.В. Аналитическое представление ре шения задачи N тел в некоторых областях фазового простран ства. 2004. Труды Института прикладной астрономии РАН, вып. 11, с. 151-192.

[25] Соколов Л.Л. О решении задачи N тел в области больших энергий вне соударений. 2005. Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. 1, вып. 1, с. 125-137.

[26] Астероидно-кометная опасность. Под ред. А.Г.Сокольского. ИТА РАН, МИПАО, Санкт-Петербург, 1996. 244 с.

[27] Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. 1968. М., Наука, 800 с.

[28] Хильми Г.Ф. О возможности захвата в задаче трех тел. 1948. До клады Академии Наук СССР, т. LXII, N1, с. 39-42.

[29] Шмидт О.Ю. О возможности захвата в небесной механике. 1947.

Доклады Академии Наук СССР, 582, с. 213-216.

[30] Ягудина Э.И., Шор В.А. Орбита АСЗ (99942) Apophis = 2004 MN4 из анализа оптических и радарных наблюдений. Всероссийская конфе ренция "Астероидно–кометная опасность 2005"(АКО-2005). Мате риалы конференции. Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2005, с. 355-358.

[31] Bekker L. On capture orbits. 1920. Monthly Notices Royal Astron. Soc., v. 809, p. 590-597.

[32] Chazy J. Sur l’allure nale du mouvement dans le probl`me des trois e corps. 1932. Bull. Astr., t. 8, p. 403-436.

[33] Chesley S.R. Potential Impact Detection for Near-Earth Asteroids: the Case of 99942 Apophis (2004 MN4 ). 2005. Asteroids, Comets, Meteors Proceedings IAU Symposium No. 229. S. Ferraz-Mello & D. Lazzaro, eds. Cambridge University Press. 2006, p. 215-228.

[34] Heggie D.C. Binary evolution in stellar dynamics. 1975.

Mon.Not.R.astr.Soc., 173, p. 729-787.

[35] Heggie D.C. Gravitational Scattering. 2006. Few-Body Problem:

Theory and Computer Simulations. C.Flynn, ed. Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, Vol. 358, 2006, p. 20-28, [36] Hills J.G. Close encounters between a star-planet system and a stellar intruder. 1984. The Astronomical Journal, v. 89, N 10, p. 1559-1564.

[37] Hills J.G., Dissly R.W. Close encounters between star-planet systems and stellar intruders. 1986. II. Eect of the mass and impact velocity of the intruder. The Astronomical Journal, v. 98, N 3, p. 1069-1082.

[38] Hut P. Hard binary-single star scattering cross sections for equal masses.

1984. The Astrophysical Journal Supplement Series, 55, p. 301-317.

[39] Kuteeva G., Sokolov L. Exoplanets orbital evolution under the inuence of nearby stars. 2006. Few-Body Problem: Theory and Computer Simulations. C.Flynn, ed. Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, v. 358, 2006, p. 131-134, [40] Laskar J. Large-scale chaos and marginal stability in the Solar system.

1996. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 64, N 2, p. 115 162.

[41] Mullary A.A., Orlov V.V. Encounters of the Sun with nearby stars in the past and future. 1996. Earth, Moon and Planets, 72, p. 19-23.

[42] Sokolov L.L. Families of Integrable and Stochastic Trajectories in the N Body Problem. 1995. Astronomy and Astrophysics Transactions, v. 7, N 4, p. 275-276.

[43] Sokolov L.L. On Conditions of the N -Body Problem Integrability. 2001.

Proceedings of the International Conference “Stellar Dynamics: from Classic to Modern”, held in Saint Petersburg, August 21-27, 2000, ed. L.P.Ossipkov, I.I.Nikiforov, p. 243-247.

[44] Sokolov L.L. On the Comet Capture Conditions. 2001. Proceedings of the International Conference “Stellar Dynamics: from Classic to Modern”, held in Saint Petersburg, August 21-27, 2000, ed. L.P.Ossipkov, I.I.Nikiforov, p. 255-259.

[45] Valtonen M.J. The General Three-Body Problem in Astrophysics. 1988.

Vistas in Astronomy, v. 32, p. 23-48.

[46] Valtonen M., Karttunen H. The Three-Body Problem. 2006. Cambridge University Press. 345 p.