М. в. ломоносова государственный астрономический институт имени п. к. штернберга чазов вадим викторович разработка и применение алгоритмов численно-аналитического метода вычисления положений искусственных спутников земли

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени П. К. ШТЕРНБЕРГА ЧАЗОВ Вадим Викторович РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Специальность 01.03.01. Астрометрия и небесная механика Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена в отделе астрометрии и службы времени Государственного астрономического института имени П.К. Штернберга Московского государ ственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Московского авиационного института (Национального исследовательского университета) МАРКОВ Юрий Георгиевич;

доктор технических наук, профессор, заведующий отделом Института проблем информатики РАН СИНИЦЫН Игорь Николаевич;

доктор технических наук, профессор Московского государственного университета геодезии и картографии ЯШКИН Станислав Николаевич.

Ведущая организация Институт астрономии Российской академии наук.

Защита состоится 4 апреля 2013 года в 14 часов на заседании Диссертаци онного совета Д501.001.86, созданного на базе Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Адрес: 119991, Москва, Университетский проспект, дом 13, ГАИШ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ по адресу:

Москва, Ломоносовский проспект, дом 27, Фундаментальная библиотека.

Автореферат разослан 4 марта 2013 года.

Учёный секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук С.О. Алексеев.

Общая характеристика работы Актуальность темы В диссертации представлена новая численно-аналитическая теория дви жения искусственных спутников Земли (ИСЗ). Теория была применена для определения параметров движения космических объектов и получения до стоверных оценок геодинамических параметров на основе наблюдений.

Численно-аналитический подход позволяет использовать преимущества как аналитических методов, так и метода численного интегрирования урав нений движения.

Классическая форма аналитического способа вычисления положений небесных объектов заключается в следующей процедуре: на вековые изме нения параметров орбиты накладываются долгопериодические неравенства и короткопериодические возмущения. Преимуществом аналитического мето да является возможность увеличения скорости расчёта положений объекта при условии существенных ограничений на точность прогноза.

Суть метода численного интегрирования: на коротких интервалах времени параметры движения объекта аппроксимируют полиномами. Коэффициенты полиномов определяют путём вычисления значений правых частей диффе ренциальных уравнений и разностей этих значений в специальных точках внутри короткого интервала – одного шага интегрирования. Преимуществом численных методов является высокая точность вычислений. Малый шаг инте грирования, обеспечивая хорошую точность, требует значительных расходов вычислительного времени.

Численно-аналитический подход объединяет оба метода: часть неравенств, имеющих “короткий” период, определяется аналитически, а долгопериодиче ские, резонансные и вековые слагаемые возмущающей функции составляют эволюционный гамильтониан – основу численного интегрирования “осреднён ных” уравнений движения. Шаг интегрирования “осреднённых” уравнений может быть выбран достаточно большим.

Запуск Первого искусственного спутника Земли вызвал интерес учёных к задаче определения орбит объектов, возмущаемых аномалиями геопотенци ала, притяжением Луны и Солнца, потенциалом, обусловленным приливами упругой Земли, сопротивлением атмосферы и световым давлением.

Профессором Е.П.Аксёновым была построена аналитическая теория дви жения ИСЗ на основе решения обобщённой задачи двух неподвижных цен тров. Результаты представлены в монографии [1].

Было открыто и получило признание обобщение одного из методов теории возмущений – метода канонических преобразований [5].

Тогда же был успешно применён численно-аналитический метод расчё та спутниковых орбит. Важные результаты в этом направлении получены профессором М.Л.Лидовым и его учениками, некоторые итоги подведены в обзорном докладе [3], там же намечены перспективы исследований.

Тем не менее, в наши дни все центры обработки высокоточных наблюдений ИСЗ проводят расчёты с помощью программ, в которых прогноз положений объектов выполняется алгоритмом численного интегрирования дифферен циальных уравнений движения [9].

Во многих научных исследованиях оба метода, аналитический и числен ный, гармонично дополняют друг друга. Сравнение способов вычислений позволяет выделить круг задач, в рамках которых удобно применять тот или иной метод. В этой связи решаемая в предлагаемой диссертации пробле ма построения моделей поступательного движения космических объектов в численно-аналитической форме является актуальной.

В качестве исходных материалов предлагаемого исследования были ис пользованы:

рекомендации Международного астрономического союза, стандартные соглашения Международной службы вращения Земли [6], лазерные и позиционные наблюдения космических объектов [7], база данных о точных положениях навигационных спутников [8], база данных об элементах орбит объектов [10].

Цель работы Целью исследований является решение следующих задач:

вывод формул для вычисления параметров промежуточной орбиты, осно ванной на решении обобщённой задачи двух неподвижных центров, с точно стью, ограниченной только возможностями компьютера;

разработка метода преобразования возмущающей функции на основе па раметров промежуточной орбиты;

дифференцирование и интегрирование слагаемых возмущающей функции;

составление и численное интегрирование “осреднённых” уравнений движе ния и учёт короткопериодических неравенств с использованием “несингуляр ных” элементов орбиты;

обработка высокоточных лазерных измерений топоцентрических дально стей до спутников Лагеос и Лагеос-2 на длительных интервалах времени и оценка значений геодинамических параметров;

разработка методики предсказания ситуаций сближения ИСЗ;

фильтрация позиционных наблюдений и оценка значения отношения сред ней площади поверхности к массе спутника.

Стандартные соглашения Международной службы вращения Земли содер жат рекомендации по обработке наблюдений искусственных спутников Земли с помощью метода численного интегрирования. Разработка методики ана литического решения задачи с учётом всех рекомендаций астрономических организаций также является целью исследования.

В тексте диссертации термин алгоритм объединяет несколько понятий:

это и связанные между собой формулы и соотношения, и последовательность действий, и реализация процедуры вычислений на компьютере. Совокупность алгоритмов, предназначенная для решения поставленной задачи, в тексте называется “программным обеспечением” или “пакетом программ”.

Научная новизна Научная новизна работы заключается:

в совокупности формул и соотношений для вычислений в рамках обобщён ной задачи двух неподвижных центров с максимально возможной методиче ской точностью;

в методе преобразования возмущающей функции задачи, заключающейся в построении всё более сложных конструкций на основе простых начальных соотношений;

в способе вычислений, позволяющим учитывать возмущающее действие факторов различного происхождения одним набором формул;

в совокупности алгоритмов построения моделей движения космических объектов с помощью численно-аналитического метода;

в методике расчёта ситуаций опасных сближений объектов.

Достоверность результатов Достоверность полученных результатов подтверждается примерами обработки наблюдений различных объектов, сравнением с данными, предо ставляемыми Международной службой вращения Земли, и сопоставлением с параметрами движения ИСЗ, публикуемыми в Интернете.

Практическое значение Практическая ценность диссертации определяется тем, что:

предлагаемые алгоритмы численно-аналитического метода построения мо делей движения справедливы в широком классе элементов орбит ИСЗ и поз воляют выполнять оценку параметров движения объектов и геодинамических параметров на основе наблюдений;

алгоритмы применяются для вычисления целеуказаний на Звенигородской научной базе ИНАСАН и филиале ИНАСАН на пике Терскол;

алгоритмы использовались для планирования космических экспериментов и предварительной редукции результатов наблюдений спутника Метеор-3М сотрудниками Центральной аэрологической обсерватории ГМЦ;

было подготовлено учебное пособие “Модель движения ИСЗ”, являющееся реконструкцией и расширением монографии профессора Е.П.Аксёнова [1].

Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие положения.

1. Впервые получена полная совокупность формул для вычислений пара метров промежуточной орбиты, основанной на решении обобщённой за дачи двух неподвижных центров, с максимально возможной точностью.

Предлагаемые соотношения используют неявную зависимость между пе ременными. Предыдущие результаты других авторов были представле ны в виде формул, в которых зависимости между позиционными эле ментами и постоянными интегрирования и зависимости между набора ми угловых переменных являются явными. Точность таких соотношений была ограничена четвёртым порядком относительно сжатия Земли.

2. Впервые показано, что возмущающие функции различного происхож дения зависят от пяти “начальных” соотношений между координатами спутника. “Начальные” соотношения с точностью, ограниченной только возможностями компьютера, были представлены в виде сумм слагаемых, зависящих от параметров промежуточной орбиты. Найден рекуррент ный способ конструирования общей возмущающей функции на основе “начальных” соотношений. В предыдущих исследованиях других авто ров разложения в тригонометрические ряды были получены отдельно для каждого из возмущений, обусловленных геопотенциалом, притяже нием Луны и Солнца, приливными явлениями и давлением солнечного излучения.

3. Впервые разработан метод аналитического интегрирования слагаемых возмущающей функции, зависящих от позиционных и угловых перемен ных промежуточной орбиты. Представлен способ вычисления правых частей при численном интегрировании “осреднённых” уравнений движе ния в “несингулярных” элементах орбиты. Методы используют алгорит мы точного вычисления как параметров промежуточной орбиты, так и частных производных от любых параметров промежуточной орбиты по позиционным и угловым переменным, а также по каноническим пере менным действие-угол.

4. С помощью тензорного преобразования получены приближённые фор мулы связи между координатами небесных тел Солнечной системы, по лученными при использовании “изотропных” координатных условий с одной стороны, и “гармонических” координатных условий с другой сто роны. Общий вывод состоит в следующей рекомендации: в прикладных задачах достаточно записать релятивистские уравнения движения ис кусственного спутника Земли на основе “гармонических” координатных условий, а при вычислении возмущающих сил использовать современные численные эфемериды Солнца, Луны и планет, полученные в метрике с “изотропными” координатными условиями.

5. Выражения для учёта возмущений от приливов упругой Земли и океани ческих приливов, записанные во вращающейся системе отсчёта и реко мендованные Международной службой вращения Земли, преобразованы к системе отсчёта, связанной с истинным экватором даты.

6. В результате анализа массива высокоточных лазерных измерений то поцентрических дальностей до ИСЗ Лагеос и Лагеос-2 получены оцен ки параметров вращения Земли и скоростей смещения измерительных пунктов в Земной системе отсчёта. Для некоторых объектов на основе наблюдений определены оценки отношения средней площади поверхно сти к массе спутника.

7. Разработана методика предсказания ситуаций сближения объектов ис кусственного происхождения в околоземном пространстве. Методика бы ла применена на этапе проектирования параметров орбиты метеороло гического “стационарного” спутника.

Публикации в журналах и сборниках трудов По теме диссертации опубликовано 13 статей, в совместных статьях вклад каждого из авторов является равным.

1. Герасимов И.А., Чазов В.В., Рыхлова Л.В., Тагаева Д.А. Построение теории движения тел Солнечной системы, основанной на универсаль ном методе вычисления возмущающей функции. //Астрономический вестник. 2000. Т.34. Номер 6. С.559-566.

2. Герасимов И.А., Чазов В.В., Тагаева Д.А. Применение универсального метода вычисления возмущающей функции в численно-аналитической теории движения малых планет. //Вестник Московского универ ситета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. Номер 3. С.55-57.

3. Бахтигараев Н.С., Чазов В.В. Информационное обеспечение космиче ских экспериментов на основе численно-аналитической теории дви жения искусственных спутников Земли. //Космические исследо вания. 2005. Т.43. Номер 5. С.386-389.

4. Чазов В.В., Герасимов И.А., Соловьёва О.Д. Изотропные и гармони ческие координатные условия в пространстве-времени Солнечной си стемы. //Вестник Московского университета. Серия 3. Физика.

Астрономия. 2006. Номер 2. С.66-68.

5. Клишин А.Ф., Чазов В.В., Бахтигараев Н.С., Костюк Н.Д. Об оценке уровня техногенной опасности в зоне размещения КА “Электро-Л”.

//Вопросы радиоэлектроники. Серия “Радиолокационная техника”.

2007. Выпуск 2. С.40-46.

6. Чазов В.В., Бахтигараев Н.С., Костюк Н.Д. Наблюдения спутника “Молния 3-39” в Звенигородской обсерватории ИНАСАН и определение времени падения. //Вестник СибГАУ. 2011. Выпуск 6(39). С.183-185.

7. Бахтигараев Н.С., Лёвкина П.А., Сергеев А.В., Чазов В.В. Наблюдения неизвестного фрагмента космического мусора в Терскольской обсерва тории. //Вестник СибГАУ. 2011. Выпуск 6(39). С.186-189.

8. Гаипова А.Н., Чазов В.В. Комплекс программ Лента. //Измеритель ная техника. 1991. Т.6. С.30-30.

9. Герасимов И.А., Чазов В.В. Переменные действие-угол в обобщённой задаче двух неподвижных центров. //Труды ГАИШ. 1988. Т.59. С.46 52.

10. Чазов В.В. Основные алгоритмы численно-аналитической теории дви жения искусственных спутников Земли. //Труды ГАИШ. 2000. Т.68.

С.5-20.

11. Чазов В.В. Создание численно-аналитической теории движения небес ных тел. /Труды конференции “Околоземная астрономия – 2003”, Терскол. 2003. С.171-175.

12. Бахтигараев Н.С., Чазов В.В. Компьютерное моделирование условий наблюдений небесных тел. //Кинематика и физика небесных тел.

2003. Номер 4. С.105-107.

13. Бахтигараев Н.С., Чазов В.В. Моделирование движения космических аппаратов с учётом рекомендаций Международного астрономического союза. /Труды конференции “Околоземная астрономия – 2005”, Ка зань. 2005. С.281-285.

Апробация результатов Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались ав тором и соавторами на семинарах и конференциях:

• Координационный совет по небесной механике и Координационный совет по астрометрии ГАИШ МГУ ;

• семинар ИНАСАН “Проблемы происхождения и эволюции кометно астероидного вещества в Солнечной системе и астероидная опасность” ;

• конференция “Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века”, Санкт-Петербург, 2000 год ;

тезисы доклада “О новой теории движения тел Солнечной системы, основанной на универсальном мето де вычисления пертурбационной функции” опубликованы в сборнике на стр.249 (совместно с И.А.Герасимовым и Д.А.Тагаевой) ;

• конференция “АСТРОЭКО-2002: Состояние и перспективы международ ных исследований по наблюдательной астрономии, экологии и экстре мальной физиологии в Приэльбрусье”, Терскол, 2002 год ;

• конференция “Околоземная астрономия – 2003”, Терскол, 2003 год ;

• Всероссийская астрономическая конференция “Горизонты Вселенной”, Москва, 2004 год ;

тезисы доклада “104 года стандарта вычислений астро метрии” опубликованы в сборнике “Труды ГАИШ”, 2004, том 75, стр. (совместно с И.А.Герасимовым) ;

• конференция “Околоземная астрономия – 2005”, Казань, 2005 год.

Структура диссертации В изложении на бумаге вся завершённая работа занимает три главы и страниц с предисловием, послесловием и приложением. Текст содержит таблиц, 34 рисунка и список литературы из 208 наименований.

Содержание работы В первом разделе диссертации выполнена постановка задачи.

Уделено внимание рекомендациям Международного астрономического со юза об использовании числовых значений астрономических постоянных и о системах отсчёта пространства-времени и рекомендациям Международ ной службы вращения Земли по составу ускорений, возмущающих движе ние спутника. Учёт упомянутых рекомендаций необходим для того, чтобы сделать результаты обработки различных экспериментов сопоставимыми.

Подчёркивается необходимость использования неинерциальной системы отсчёта, связанной с истинным экватором даты.

Величина угла наклонения спутника, вычисляемая относительно непо движного экватора геоцентрической небесной опорной системы отсчёта, име ет вековую составляющую. Этот эффект, являющийся следствием прецессии оси вращения Земли, не влияет на алгоритмы численного интегрирования, но создаёт дополнительные трудности для аналитических исследований.

В аналитических моделях движения искусственных спутников Земли ис пользуют неинерциальную систему отсчёта. В предлагаемой работе в ка честве основной плоскости выбрана плоскость истинного экватора даты. На чальной точкой является истинная точка весеннего равноденствия.

Выбранная неинерциальная система вращается относительно небесной опорной системы отсчёта с угловой скоростью (t). С точностью до первых степеней малых величин компоненты вектора (t) равны d x (t) = (), dt d y (t) = + A + sin A (), (1) dt d z (t) = zA A cos A ().

dt При этих ограничениях уравнения движения имеют вид dr K dp K = (2) =+,, dt p dt r где r – вектор в подвижной системе отсчёта, p = r+ r – обобщённый импульс, K – гамильтониан задачи, |p | W · r p R.

K= (3) W – силовая функция обобщённой задачи двух неподвижных центров, R – возмущающая функция второго порядка малости относительно сжатия.

Канонические уравнения в переменных r и p были преобразованы в ка нонические уравнения с использованием канонических элементов L, G, H, l, g, h промежуточной орбиты, построенной на основе решения обобщённой задачи двух неподвижных центров:

dL K dl K = =+,, dt l dt L dG K dg K = =+,, (4) dt g dt G dH K dh K = =+,, dt h dt H где K = 1 + K2 – гамильтониан системы, K2 = · r p +R – возмуща ющий гамильтониан второго порядка малости относительно сжатия.

В случае отсутствия возмущений K2 = 0, и система имеет решение l(t) = l (t t0 ) + l0 (t0 ), L(t) = L0 (t0 ), (5) g(t) = g (t t0 ) + g0 (t0 ), G(t) = G0 (t0 ), h(t) = h (t t0 ) + h0 (t0 ), H(t) = H0 (t0 ), причём скорости изменения угловых переменных n0 n0 n0 µ l =, g=, h=, (6) 1 1 являются постоянными величинами.

Отметим следующий факт: необходимо знать только частные производные от гамильтониана K по каноническим элементам, представлять же гамиль тониан в виде явной функции переменных действия L, G, H нет никакой необходимости.

Приближённое решение уравнений может быть получено с помощью ме тода канонических преобразований.

Выполним переход от оскулирующих элементов L, G, H, l, g, h к но вым переменным L, G, H, l, g, h. Функцию преобразования и вековой гамильтониан обозначим, соответственно, S2 и K2. Эти функции, как и воз мущающий гамильтониан K2, имеют второй порядок малости относительно сжатия.

В новом гамильтониане K2 ( t, L, G, H, l, g, h ) оставим те слагаемые возмущающей функции K2, период изменения которых превышает несколь ко суток. Функцию преобразования S2 найдём по формуле (K2 K2 ) d t.

S2 = (7) С точностью до второго порядка относительно малого параметра, сжатия Земли, выражения S2, K2, K0 = 1, K2 можно считать функциями как оскулирующих элементов L, G, H, l, g, h, так и новых перемен ных L, G, H, l, g, h.

Новые переменные могут быть названы “средними” или “сглаженными” элементами орбиты. В изменениях “сглаженных” параметров отсутствуют ва риации с малым периодом. Между двумя наборами переменных с точностью до второго порядка малости существует простая связь:

S2 S l = l L = L+,, l L S2 S g = g G = G+,, (8) g G S2 S, h = h H = H+.

h H Уравнения движения, записанные в новых переменных, назовём “осред нёнными” уравнениями. Они сохраняют каноническую форму и имеют вид:

dL K2 dl 1 K =+, =+, dt l dt L L dG K dg 1 K = + 2, (9) =+, dt g dt G G dH K dh 1 K = + 2, =+.

dt h dt H H Материал второго раздела составляют основные алгоритмы модели движения ИСЗ в численно-аналитической форме.

Представлены формулы, позволяющие вычислять промежуточную орбиту, основанную на решении обобщённой задачи двух неподвижных центров, с точностью, ограниченной только возможностями компьютера.

Разработаны алгоритм вычисления частных производных по канониче ским элементам промежуточной орбиты и алгоритм вычисления частных производных высших порядков от любых параметров движения по позици онным параметрам. Точность вычислений ограничена только возможностями компьютера. Присутствие частных производных высших порядков позволяет сохранить информацию о том, как тот или иной параметр был вычислен.

Для описания движения искусственных спутников приняты во внимание возмущения, обусловленные гравитационным полем Земли, притяжением Лу ны и Солнца, приливными деформациями упругой Земли, океаническими приливами и давлением солнечной радиации.

Показано, что возмущающие функции, обусловленные различными эф фектами, зависят от пяти “начальных” функций координат объекта:

r r0 z x y,,,,.

r0 r r r r Далее выражения для “начальных” функций записаны при помощи соот ношений промежуточной орбиты, основанной на решении обобщённой задачи двух неподвижных центров.

Вместо процедуры разложения возмущающей функции с точностью до второго или третьего порядка относительно малого параметра предложен алгоритм преобразования возмущающего гамильтониана в сумму “элемен тарных” слагаемых.

Пусть a, e, e, s, – параметры промежуточной орбиты спутника,,, E, – угловые переменные промежуточной орбиты, S – гринвичское истинное звёздное время, lM, lS, FM, D, M – фундаментальные аргументы.

Пусть известны также приближённые численные значения позиционных параметров орбиты объекта a0, e0, 0 и знак параметра 3, зависящий от величины угла наклонения орбиты.

С помощью значений a0, e0, 0 образуем одномерные массивы, содер жащие численные значения как параметров промежуточной орбиты, так и частных производных высших порядков по параметрам a, e,.

Определим элементарное слагаемое как структуру вида cos a j1 j j2 j sj 5 j 6 · A(a0, e0, 0 ) · ee, (10) 1 ee r0 sin = k1 + k2 + k3 E + k4 + k5 S + k6 lM + k7 lS + k8 FM + k9 D + k10 M, (11) где A(a0, e0, 0 ) – одномерный массив действительных чисел, полученный на основе начальных значений a0, e0, 0 ;

показатель степени j1 может принимать положительные и отрицательные (min) (max) целые значения и нуль и удовлетворяет условию j1 j1 j1 ;

показатели степени j2, j3, j4, j5, j6 могут принимать только положитель (max) ные целые значения и нуль и удовлетворяют условиям 0 jk jk ;

коэффициенты k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8, k9, k10 принимают любые положительные и отрицательные целые значения и нуль.

Отличительной чертой алгоритма является способ конструирования воз мущающей функции на основе “начальных” функций координат. В предлага емом алгоритме формулы промежуточного движения учитываются с макси мально возможной точностью.

Разработаны рекуррентный алгоритм интегрирования элементарных сла гаемых возмущающей функции и алгоритм выделения долгопериодических, резонансных и вековых слагаемых.

Выполнено преобразование осреднённых уравнений движения в систему “несингулярных” элементов орбиты:

(12) a, l + g + h, e cos(g + h ), e sin(g + h ), cos h, sin h.

Штрихи означают, что все величины являются “средними”.

Преобразуем “осреднённые” уравнения к виду da a K2 a K2 a K =+ + +, dt L l G g H h d (l + g + h ) 1 1 =+ + + dt L G H K2 K2 K, L G H d e cos(g + h ) de =+ cos(g + h ) dt dt 1 1 K2 K e sin(g + h ) +, (13) G H G H d e sin(g + h ) de =+ sin(g + h ) dt dt 1 1 K2 K +e cos(g + h ) +, G H G H d cos h d 1 K cos h sin h =+, dt dt H H d sin h d 1 K =+ sin h + cos h.

dt dt H H Производные от параметров e и по времени t равны e 2 K2 e 2 K2 e 2 K de =+ + +, dt 2e L l G g H h (14) 2 K2 2 K2 2 K d =+ + +.

dt 2 L l G g H h В произвольный момент времени надо знать только числовые значения правых частей “осреднённых” уравнений в несингулярных переменных, по скольку эти уравнения будут проинтегрированы численным образом.

Вычисления заключаются в следующих действиях.

Для заданных приближённых численных значений позиционных парамет ров орбиты a0, e0, 0 и знака параметра 3 найдём слагаемые возмущающей функции и получим ряды для функции преобразования S2 и “осреднённого” гамильтониана K2.

Пусть в начальный момент времени t0 известны численные значения “средних” элементов орбиты a (t0 ), e (t0 ), (t0 ), l (t0 ), g (t0 ), h (t0 ).

Вычислим числовые значения “несингулярных” переменных (12) в момент времени t0. С такими начальными условиями на заданном интервале времени выполним численное интегрирование “осреднённых” уравнений (13).

Для преобразований от системы сглаженных “несингулярных” элементов к “средним” параметрам орбиты e (t), (t), l (t), g (t), h (t) в произвольный момент времени t будем использовать формулы 2 e (t) = e cos(g + h ) + e sin(g + h ), 2 (t) = cos h + sin h, e cos(g + h ) cos h cos(g (t) + h (t)) =, cos h (t) =, (15) e (t) (t) e sin(g + h ) sin h sin(g (t) + h (t)) =, sin h (t) =, e (t) (t) l (t) = (l + g + h ) (g (t) + h (t)), g (t) = (g (t) + h (t)) h (t).

На основе “средних” параметров орбиты на любой момент времени опре делим числовые значения оскулирующих “несингулярных” элементов (8):

a, l + g + h, e cos(g + h), e sin(g + h), cos h, sin h.

Оскулирующие элементы промежуточной орбиты e,, l, g, h вычислим из соотношений, аналогичных формулам (15).

Далее с помощью формул, основанных на решении обобщённой задачи двух неподвижных центров, и числовых значений оскулирующих элементов промежуточной орбиты получим мгновенные значения прямоугольных коор динат и скоростей объекта.

В ходе построения численно-аналитической модели движения сделано несколько упрощающих предположений:

• аномальная часть геопотенциала и разложение потенциала, обусловлен ного притяжением Луны и Солнца, были ограничены по порядку и сте пени сферических функций;

• были использованы приближённые тригонометрические ряды для пред ставления функций от координат возмущающих тел;

• при построении возмущающей функции в “буквенном” виде ограничена величина максимальной степени позиционных параметров;

• при интегрировании предполагается, что звёздное время и фундамен тальные аргументы являются линейными функциями времени;

• алгоритм аналитического интегрирования не учитывает короткоперио дические вариации позиционных параметров.

Влияние части из этих упрощений на методическую точность предлагаемой модели уменьшено с помощью специальных алгоритмов, влияние же осталь ных можно будет оценить в процессе обработки наблюдений искусственных спутников Земли.

Далее выполнены дополнительные исследования.

Современная теория движения планет, Луны и Солнца, построенная в барицентрической системе отсчта, получена численным интегрированием е релятивистских уравнений движения, записанных в постньютоновском при ближении с помощью изотропных координатных условий.

Международный астрономический союз, принимая во внимание факт, что многие работы по теории относительности выполнены при использовании “гармонических” координат, оказавшихся полезными для приложений, реко мендует выбор гармонических координатных условий.

С помощью тензорного преобразования x x g (x0, x1, x2, x3 ) = g (x 0, x 1, x 2, x 3 ) (16) µ x µ x были выведены формулы связи между координатами x 0, x 1, x 2, x 3, удо влетворяющими “изотропным” координатным условиям, и “гармоническими” координатами x0, x1, x2, x3.

Расчёты показали, что отличия в численных значениях координат очень малы. Для пространственно-временной траектории Земли, например, они не превосходят 3 метра на интервале 100 лет.

Общий вывод состоит в следующей рекомендации. В прикладных задачах достаточно записать релятивистские уравнения движения пробной частицы на основе “гармонических” координатных условий, а при вычислении возму щающих сил использовать “изотропные” координаты Солнца, Луны и планет.

Выражения для учёта возмущений от приливов упругой Земли и океаниче ских приливов, записанные во вращающейся системе отсчёта и рекомендо ванные Международной службой вращения Земли (геофизический подход), были преобразованы к системе отсчёта, связанной с истинным экватором да ты (астрономический подход).

Для согласования численной и аналитической моделей возмущающих сил, обусловленных действием Луны и Солнца, использована методика разностно полиномиальной коррекции.

При записи возмущающей функции, обусловленной притяжением внешне го тела, было учтено взаимодействие Земли и внешнего тела как материаль ных точек. В этом случае разложение не содержит косвенной части.

Учтём сжатие Земли и запишем дополнительную часть возмущающей функции, обусловленной действием Луны на Землю:

fm r0 z U = J2 P2, (17) r r r где f – гравитационная постоянная, m – масса Луны, r0 – экваториальный радиус Земли, J2 – коэффициент при второй зональной гармонике, P2 (x) – полином Лежандра второго порядка, r – расстояние между Землёй и Луной, x, y, z – координаты Земли относительно Луны.

Дифференцируя потенциал U по переменным x, y, z, определим со ставляющие ускорения W центра масс Земли, обусловленного взаимодей ствием Луны и сжатия Земли. Для того, чтобы в выражениях для ускорения перейти к координатам Луны относительно Земли, следует знак каждой из переменных x, y, z поменять на противоположный:

2 x = U = f m J2 1 r0 x 3 15 z W, r x r r 2 2 r 2 U 1 r0 y 3 15 z Wy = = f m J2 2, (18) y r r r 2 2 r 2 U 1 r0 z 9 15 z Wz = = f m J2 2.

z r r r 2 2 r Неинерциальность системы отсчёта, выбранной для изучения движения спутника, обусловлена не только вращением относительно небесной опорной системы отсчёта с угловой скоростью (t) (формула (1) на с.10), но и уско рением W, вызываемым взаимодействием Луны и сжатия Земли. Гамиль тониан задачи K (с.11) надо дополнить ещё одним слагаемым – скалярным произведением ускорения W на вектор положения объекта r :

12 |p | W + W · r · r p R.

K= (19) Возмущающая функция RW = W · r = z Wz xWx y Wy имеет вид fm r z (W ) · A RW = + P r0 r0 r (20) fm r z (1) (W ) (W ) · + P1 A11 cos w + B11 sin w, r0 r0 r где 2 2 r0 r0 r (W ) (W ) (W ) = · Wz, A11 = · Wx, B11 = · Wy.

A fm fm fm Действия с функцией (20) выполняются с помощью тех же алгоритмов, ко торые были использованы для преобразования возмущающих функций, обу словленных притяжением Луны и Солнца.

В третьем разделе приводятся различные примеры применения алго ритмов для обработки длительных рядов высокоточных наблюдений ИСЗ.

Выполнена проверка рекуррентных соотношений для вычисления полино мов Лежандра высших порядков 2n 1 n (21) · x · Pn1 (x) · Pn2 (x) Pn (x) = n n с начальными условиями 1 x +1, P0 (x) = 1, (22) P1 (x) = x, P2 (x) = + · x2.

Возможны два варианта применения рекуррентной формулы.

1. Вычисление значения функции Pn (x) для произвольного n при задан ном числовом значении аргумента x (численное интегрирование).

2. Нахождение численных значений коэффициентов полинома Pn (x) при различных степенях аргумента x (аналитический подход).

Преимущество рекуррентных соотношений заключается в скорости дости жения результата, недостатком является возможная потеря вычислительной точности при вычитании больших чисел.

Первый вариант может быть проверен с помощью тождеств Pn (1) = (1)n, (23) Pn (+1) = +1.

Расчёты показали, что в результате использования формулы (21) с началь ными условиями (22) и аргументами x = 1 и x = +1 тождества (23) спра ведливы с точностью до 15 знаков после запятой при всех порядках полинома Лежандра от n = 1 до n = 720.

Второй способ проверки состоит в использовании формулы для произво дящей функции полиномов Лежандра:

n Pn (x).

= (24) 1 2 x + 2 n= Расчёты показали (табл.1), что при различных численных значениях па раметра и аргумента x значение суммы в правой части выражения (24) соответствует значению функции в левой части с точностью до 12 значащих Таблица 1: Производящая функция для полиномов Лежандра x Nmax функция разность 25.000000000000000 0.988 · 0.96 +1.00 6.9337524528153640 0.196 · 0.96 +0.99 3.2009219983223993 0.090 · 0.96 +0.95 +0.685 · 0.96 +0.90 2.2727272727272727 1.6103915660020771 0.926 · 0.96 +0.80 1.0197712705600052 0.897 · 0.96 +0.50 0.8064516129032258 0.269 · 0.96 +0.20 +0.978 · 0.96 +0.00 0.7213873210309515 0.96 0.20 0.6585792122172903 0.972 · 10 0.96 0.50 0.5890920370328413 0.907 · 1012 0.96 0.80 0.5377898796468977 +0.210 · 10 +0.975 · 0.96 1.00 0.5102040816326531 цифр. Целое число Nmax в последней колонке означает наибольший порядок полинома Pn (x) в сумме (24). Значение = 0.96 характерно для объектов с высотой полёта 300 километров над поверхностью Земли.

Для параметра = 0.90, присущего геодезическим спутникам с высотой полёта более 700 километров, значение Nmax 300.

Вывод: для заданных значений аргумента 1 x +1 численные зна чения полиномов Pn (x) с помощью рекуррентного алгоритма определяются практически без потери вычислительной точности.

Второй вариант используется на предварительной стадии преобразова ния возмущающей функции.

n (n) (n) ai · xi :

Пусть ai – численные коэффициенты полинома Pn (x) = i= 2 n 1 (n1) n 1 (n2) (n) · ai · ai ai = ;

n n (25) 1 (1) (0) (0) (1) (0) (2) = 0, a1 = 1 ;

a2 =, a2 = 0, a2 =.

a0 = 1;

a 2 Сумма коэффициентов полинома любого порядка всегда равна единице n (n) ai = +1, i= но величины коэффициентов достигают больших значений.

В табл.2 приводятся числовые значения некоторых коэффициентов:

Таблица 2: Величины коэффициентов полиномов (n) n i ai 23 1 -0. 23 17 -18733148. 23 23 981501. 26 0 -0. 26 18 229350982. 26 26 7389761. 29 1 4. 29 21 2978545001. 29 29 56004648. 36 0 0. 36 26 -1150785784265. 36 36 6439404973. 45 1 5. 45 33 2523815359824958. 45 45 2950952798742. 50 0 -0. 50 36 -189971831414987581. 50 50 89609514959900. Большое количество нулей после восемнадцатой значащей цифры каждого числа возникает как следствие ограниченности разрядной сетки компьютера.

Вывод: алгоритм (25) определения значений коэффициентов полино ма Pn (x) при различных степенях аргумента x приводит к потере вычис лительной точности в случае полиномов высоких порядков. Для n = погрешность может оказаться в пятом знаке после запятой. При значени ях n 39 нет смысла использовать полученные коэффициент.

Важное место в процессе разработки и отладки программного обеспечения занимает методика сравнительных испытаний, направленная на определение точностных характеристик расчётов.

Одним из вариантов методики является сравнение результатов прогноза движения с результатами высокоточных измерений топоцентрических даль ностей до искусственных спутников Земли, снабжённых уголковыми отража телями. Такие измерения проводятся на обсерваториях с помощью лазерных дальномеров.

Вариант заключается в применении алгоритма дифференциального улуч шения орбит на интервалах времени продолжительностью несколько суток.

Результатом вычислений являются оценки параметров модели и “невязки” – разности между измеренными и вычисленными значениями. Полученные “невязки” необходимо сравнить с результатами аналогичных вычислений, ре гулярно выполняемых в центрах обработки данных Международной службы лазерной дальнометрии. В табл.3 даны названия некоторых центров.

Таблица 3: Центры анализа SAO астрономическая обсерватория, Шанхай (Китай) DGFI Институт геодезических исследований (Германия) HIT-U университет Хитоцубаши, Токио (Япония) JCET отдел НАСА и университет Мэриленд (США) MCC Центр управления полётами (Россия) CSR Центр космических исследований, Техас (США) DELFT Технологический университет, Дельфт, Нидерланды Ежедневно, по мере поступления новых массивов измерений топоцентри ческих дальностей, выполняется улучшение начальных параметров движе ния объектов и ряда эмпирических параметров. Для всех измерительных пунктов на каждом прохождении вычисляются “невязки”. В результате ли нейной аппроксимации таких “невязок” получают оценку “среднего смеще ния” (СС) дальностей, измеренных на отдельном прохождении спутника в поле видимости обсерватории, и оценку “среднего квадратического отклоне ния” (СКО) от аппроксимирующей прямой.

Таблица 4: Объекты и наблюдения hmin e i n Np Спутник 9306102 Стелла 800 0.0007 98.476 14.27121 -2.9342 0.9695 7501001 Старлет 900 0.0206 49.817 13.82205 3.3041 -3.9476 8606101 Эйджисаи 1500 0.0011 50.010 12.44446 2.5461 -3.0752 7603901 Лагеос 6000 0.0044 109.835 6.38665 -0.2137 0.3425 9207002 Лагеос-2 6000 0.0137 52.650 6.47295 0.4370 -0.6316 8900103 Эталон-1 19500 0.0012 65.312 2.13156 -0.0062 -0.0320 8903903 Эталон-2 19500 0.0011 64.778 2.13205 -0.0036 -0.0332 В табл.4 для нескольких спутников представлены средние значения мини мальной высоты полёта hmin в километрах, эксцентриситета орбиты e, угла наклонения орбиты i в градусах, среднего движения n в оборотах за сут ки, скорости изменения аргумента перигея в градусах за сутки, скорости изменения долготы восходящего узла в градусах за сутки и количество “нормальных мест” Np, обычно получаемых на интервалах наблюдений про тяжённостью один месяц.

Наблюдения двух спутников Лагеос поставляют основной материал для вывода осреднённых на коротких интервалах времени параметров вращения Земли и координат измерительных пунктов.

Совокупности измеренных дальностей до двух спутников Эталон недоста точно для решения этих задач в полном объёме. Обработка наблюдений этих объектов, обращающихся на орбитах спутников системы Глонасс, необходима для калибровки измерительной аппаратуры и отладки пакетов вычислитель ных программ.

Геодезические спутники Эйджисаи, Старлет, Стелла обращаются вокруг Земли на низких орбитах. Обработка наблюдений этих объектов затруднена необходимостью учёта гармоник геопотенциала большого порядка и непред сказуемыми вариациями плотности верхней атмосферы Земли.

Результаты расчётов, относящиеся к спутникам Лагеос и Лагеос-2, соби рает и публикует Европейский центр определения орбит (CODE), располо женный в городе Берн (Швейцария).

Для проведения сравнительных испытаний была выполнена фильтрация лазерных наблюдений с помощью пакета программ LENTA, разработанного на основе предлагаемых в данном исследовании алгоритмов.

В табл.5 содержатся результаты определения “среднего смещения” и “среднего квадратического отклонения” для измерений топоцентрической дальности до спутника Лагеос, выполненных на пунктах 7080 (Форт Дэвис, Таблица 5: Лагеос, сравнительные испытания, пункты 7080 и Оценка “среднего смещения” в миллиметрах, пункт Np дата LENTA DGFI MCC HIT-U JCET SAO 27 ± 3 9±3 7 ± 3 19 ± 3 35 ± 4 22 ± 05.10.2009 3 ± 10 7 ± 14 30 ± 11 1 ± 7 21 ± 12 4± 09.10.2009 30 ± 3 19 ± 3 19 ± 4 14 ± 3 23 ± 6 5± 10.10.2009 12 ± 9 18 ± 11 27 ± 5 6 ± 3 12 ± 8 2 ± 11.10.2009 Оценка “среднего смещения” в миллиметрах, пункт Np дата LENTA DGFI MCC HIT-U JCET SAO 9±5 9±6 5±3 6±4 11 ± 8 13 ± 05.10.2009 11 ± 9 21 ± 4 60 ± 3 2±2 16 ± 5 10 ± 06.10.2009 34 ± 4 14 ± 3 16 ± 3 13 ± 4 3 ± 5 23 ± 07.10.2009 12 ± 5 4 ± 5 1±3 7 ± 4 18 ± 6 9 ± 07.10.2009 58 ± 3 7 ± 4 3±1 5±2 3 ± 8 5 ± 07.10.2009 31 ± 6 5 ± 3 15 ± 2 5±2 31 ± 1 4± 08.10.2009 23 ± 1 13 ± 3 3 ± 3 11 ± 2 26 ± 4 22 ± 09.10.2009 12 ± 5 3 ± 5 5 ± 4 7 ± 2 29 ± 7 13 ± 09.10.2009 40 ± 4 15 ± 4 6±3 3 ± 2 2 ± 5 4 ± 09.10.2009 США) и 7105 (Вашингтон, США). В таблице оценки “СС ” и “СКО ” даны в миллиметрах. В колонке Np дано число “нормальных точек”. Данные по пяти центрам обработки были взяты из отчёта CODE, данные в колонке LENTA получены в процессе вычислений.

Анализ позволяет сделать вывод, что пакет вычислительных программ LENTA уступает по точности представления наблюдений спутников типа Ла геос пакетам DGFI, MCC и HIT-U не более 20%. Точность пакетов LENTA, JCET и SAO при обработке высокоточных лазерных наблюдений Лагеос и Лагеос-2 находится примерно на одном уровне.

Результаты сравнения (табл.6) приводят к выводу, что пакет вычисли тельных программ LENTA уступает по точности представления наблюдений спутников типа Эталон и низкоорбитальных объектов пакетам DGFI, JCET и HIT-U. В колонке t дана продолжительность интервала измерений в минутах времени, оценки “СС ” и “СКО ” даны в миллиметрах.

Таблица 6: Обсерватория Яррагади, сравнительные испытания t Np спутник дата UTC LENTA DGFI 379.5 ± 10.3 16 ± Эталон-1 2010/02/21 11:59 221.4 23.0 ± 5.6 28 ± Эталон-1 2010/02/26 17:47 150.4 t Np спутник дата UTC LENTA HIT-U 272.6 ± 159.1 43 ± Эйджисаи 2010/01/21 10:47 13.6 384.7 ± 429.5 1± Эйджисаи 2010/01/21 12:48 14.8 1274.3 ± 491.4 5± Эйджисаи 2010/01/21 17:00 9.1 3639.5 ± 896.3 25 ± Эйджисаи 2010/01/21 21:07 10.0 1047.6 ± 9.5 22 ± Старлет 2010/03/01 07:13 2.6 717.3 ± 59.6 24 ± Старлет 2010/03/01 09:00 6.6 1143.0 ± 20.4 11 ± Старлет 2010/03/01 14:33 4.3 929.5 ± 83.4 0 ± Старлет 2010/03/01 16:21 9.8 636.5 ± 60.3 8 ± Старлет 2010/03/01 18:11 6.6 17 1762.9 ± 3823.5 2 ± Стелла 2010/01/21 06:08 7. 5780.8 ± 987.1 3 ± Стелла 2010/01/21 17:22 7.2 t Np спутник дата UTC LENTA JCET 272.6 ± 159.1 16 ± Эйджисаи 2010/01/21 10:47 13.6 384.7 ± 429.5 74 ± Эйджисаи 2010/01/21 12:48 14.8 850.0 ± 5.3 195 ± Эйджисаи 2010/01/21 14:58 4.0 1274.3 ± 491.4 154 ± Эйджисаи 2010/01/21 17:00 9.1 618.6 ± 20.8 321 ± Эйджисаи 2010/01/21 19:12 3.9 3639.5 ± 896.3 59 ± Эйджисаи 2010/01/21 21:07 10.0 717.3 ± 59.6 267 ± Старлет 2010/03/01 09:00 6.6 1143.0 ± 20.4 348 ± Старлет 2010/03/01 14:33 4.3 929.5 ± 83.4 126 ± Старлет 2010/03/01 16:21 9.8 Вот уже более тридцати лет сеть наблюдательных станций, расположен ных на всех континентах, проводит измерения наклонной дальности до ис кусственного спутника Земли Лагеос с помощью лазерной техники. С года среди объектов наблюдений появился ещё один спутник – Лагеос-2.

С помощью разработанного пакета программ была выполнена обработка высокоточных лазерных наблюдений этих объектов.

Ряды лазерных наблюдений объектов Лагеос и Лагеос-2 с 1994 по 2002 год были разделены на пятисуточные интервалы. Для обработки наблюдений с 2003 года по 2010 год был выбран интервал, составляющий трое суток.

На каждом интервале времени были определены шесть численных зна метры Лагеос годы 0.10 ` ` ` ` 0.08 ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ```` ` ` ` ` `` `` ` ` ``` ` ` `` ` ` ` `` 0.06 ` `` `` ` ` ` ``` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` `` `` `` `` `` ` ` ` ` ` ` ` `` ``` ```` ` `` ` `` ` `` `` ` `` ` ` ` `` ` ` ` `` ``` `````` ``` `` `` `` ```` ````` ` ` ```` ` `` ` `` ` `` ``` `` ``` ` ```` `` ` ` ` ````` ` ` ` `` `` `` ` ` `` `` ` ` ` ` ` ` `` ``` ` `` `` ``` `` `` `` `` ` `` `` ` ` ``` ````` ```` `` ` ` `` `` ` `` ` ` `` ` `` ` ` `` ` `` `` `` `` ` ```` `` `` ``````` ` ` ` ` `` `` ` ` ``` `` ` `` ` ```` ` `` ``` ``````` ````````````` ` ` `````` `` `` `` ```````````````````````````` `````````` `````` ```` ```````` `````` ``` ```````` ``` ```` ``` `` ````` `````` ` ` `````` ``````` `` ````` ````` ` ` ` ` ```` `` ` ` ` `` `` `````` `` 0.04 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` `` ` `` ` `` ```` ` ` ` `` ````` ` ` ` `` ` `` ` ``` ` ` ``` ` `` ` `` `` `` ``` ````` ````````` ``` ` ` `````` ``````````````` ```````` ` `` `` `````````````` ``` ` ```````````` ` ```` ```````` ```` `` ` ` `` ```` ` `` `` ``````````````` ``` ``````````````` `` ```` ````````` `` `` ````````` `````````` `` `` ``` `````` ```` `` `` `` ``` ``` ````` `````````` `````````` `````````````````````````````````````` `` ` `` `` ` `` ` ` ` `` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ``` ``` `` ` `` ` `` ` 0. 0.00 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 метры Лагеос-2 годы 0.10 ` ` ` 0.08 ` `` ` `` ` ` ` `` ` ``` ` ` ` ` ` `` ` ` ``` ` ` ``` ` ` ` `` `` `` ` ` `` `` ` `` ` `` ` `` ``` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ``` ` ` ` ` 0. `` ` ` `` ``` `` ` ` `` ` `` `` ` ```` ``` ` ` ` `` `` `` ` `` `` ` ` ` ` `` `` ` `` ` ` `` ` `` `` `` ` `` `` ` ` ` `` ``` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ````` `` ``` ` `` ` `` `` `` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ``` ``` ` ``` ` ` ` ` ``` ` ` ` ` ` `` `` ` ``` `` ` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` `` `` `` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` `` ` ``` `` ` `` `` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` `` ``` ` ` `` ` ```` ` `` ``` `` ` ` ``` ` ` `` ` ` `` `` ``` `` ``````` ` ` ` ``` ` ` `` ` ``` ` `` `` `` ```` ` `` ` ` ```````` ` ` ``` ````` `` ``````` ``````````` ` ` ` ````` `` `` ``````` ``` `` ```` ````` ` `` `` ```` `` ` `` ````` ` `` ` ` ` ``` ` `` ```` `` ` `` ``` `````` ` `` `` `` ` ```` `````````````` ```````` `````` `````` ` 0.04 ` ` `` ` ` ` ` ``````` ` `````` ` ``` `` ` ` ` ` ``` ` `` ` `` ``` ``````` `` `` ` `` `` `` `` `` `` ` `` ``` ````` ```` ` ```` `` ` `` `` `````````` `````` `` ` ```` `` ` ```````````` ` ``````` `` `` ` `````` `` ``` ``` ` `` `` ` `` ```` `` `` `` ``` `` ` ` `` `` ` ` ```` `````` ` ```` ` ` ` ` ` ` ``` ` ` ` ``` `` `` ` `` `` ` ` `` ` ` ` `` ` ` ` ` `` ` ` `` ` ` ``` ``` `` ` ``` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` `` ` `` ` ``` ` ` ` ` `` ``` ` ` ` ``` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` 0. 0.00 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 Рис. 1: Лагеос и Лагеос-2, стандартное отклонение чений “сглаженных” элементов орбиты и три значения параметров враще ния Земли: координаты полюса xp, yp и вариация продолжительности су ток LOD. На рис.1 представлены оценки средних квадратических погрешно стей одного измерения.

На рис.2 и 3 представлены разности двух рядов координат полюса xp, yp.

Из значений, полученных на основе наблюдений, были вычтены значения, опубликованные в материалах Международной службы вращения Земли.

xp (Лагеос – IERS) секунды дуги 0.004 ` ` ``` ` `` ` ` `` ` `` `` ` `` ` ` ` ` ` `` ` `` ` ` ` ` ` ` ````` ``` ` ` ```` `````` ``````````` ```` ````` `` `````````````````````````` ````` ``` ``` ` ` ` `` ``` ` `` ```` ` ` ` ` ` ```` ````` ``` `` ````` ```````` ` `` ` `` ` `` ```` ` ` ` ` ` ` ` ```` ``` `` `` ` ``` ` ` ```` ` ``` `` `` ` ` ` ` ` `` ` `` ``` ` ` ` ` `` ` `` ` ` ` ` ` `` `` ``` `` ```` ` ```` `` `` ` ` ` ``` ``` `` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `````` ` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ```` ``` ` ``` ` `` ``` ` ````` ` ` ``` `` ``` ```` ``` `` `````` ` ` ` ` ` `` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` `` `` ` ` `` ` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` `` `` ``` ` `` ``` ` ` ` ` ```` `` ` ` ` ` `` ` ` `` `` ` ` ` ` ````` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ``` ` ` ` ` ``````` ` `` `` ` ` ````` ` `` `` ```````` `` ````` `` ````` ` `` ` ```````````` `` ` `````` `` `` ``` ```` ``` `````` `` `````````` `` `` `````````` ````` `` `` `` `` `````` ```` ````` ``````````` `` ```` ```` ` `` ` `` `` `` ` ```` ``` ```` `` ``` `` ````` ``` ``````` ` ```` ``` ``` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ``` ` `` ``` ` 0. ``` ` `` `` ` ` `` ` `````` ````` ` `` `` `` ````` `` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` `` `` ` ` `` ` ` `` ` ` ``` ```````````` `````` `` ` ```````` `` ``` ` ` ` ``` ` ` ``` ` ``` `` ` ` ` ` `` `` ` ``` ` -0.004 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 годы yp (Лагеос – IERS) секунды дуги 0.004 6 ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` `` ` ````` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ``` ````` ```` ```` `` ` `` ` ` ` ` ``` ` `` ` `` `` ` ` ` ` ` ` ````` ` ` ` ` `````` ```` `` ```````````````````` `` ``````` ````` ````` ````` `` ` ``` ```` ```` ```` ``` ` ```````` `` ``` `````````` ````` ```````` ````` ` ````` ```````````````````````` ``````` `` `` ````````````````` ``` ` ``` ` ` ````` `` ` ` ``` `` `` `` ` `` ``` ````` ``` ` ` `` ` ` ` ` ` `` ` ` ` `` ` `` `` ` `` ```````` ``` ```` ```` ```` ```````` ``` ```` `` ````` ````` `` ``` `` ````` ```` `` ``` `` ``` `` ```` ` ``` `` ````` `` ```` ` ````` ` ``` `` ```` `` `` ```` ` ` ```` ` ` ` ` ``` ` ` ` ` ````` ` `````` `` `` ```` ` `` ```` ` `` `` ``` `` `` `` `` ````` ` `` ` ` ` ` ````` ````` ``` ` `` `` ` ` `` ` ```` ` ` ` ` `` ` ` ` `` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` `` ` ` `` ` ` ` `` ` ````````` ` ` ` ` ` ` ``` ` ` ` ``` ` ` ` ` `` ` ` ` ` `` ` ` ```` ` ` ` ``` ` ``` `` ` ` ` ` `` ` ` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` 0.000 ` ` `` `` `` `` ```` ``` `` ` `` ` ` ` ` ` ` `` ` ``` `` `` `` ` ` `` `` ``` ` ` ` ` ```` `` `` ` ` `` ` `` ` ` ` ` ````` ` `` ```` ` `` ` ` ` ` ` `` `` `` ``` ` ` `` `` ` ` `` ` ` `` ` `` `` `` ``` `` `` ``` ` `` `` ` ` ` ` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ```` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` -0.004 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 годы Рис. 2: Лагеос и IERS, разности координат полюса ` xp (Лагеос-2 – IERS) секунды дуги `` `` ` ` 0.004 ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` `` ` `` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ``` ` ` ` `` ``` ``` ```` ```` `` ``` ` ` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` `` ` ` `` ` ` `` `` ``` ` `` ` ` ` `` ` `` ` `` `` ``` ```` `` `````````` `` ```` ```` ` ```` `` ````````````` ```` ````````` ```` ``````````` ``````````` `` `` ```` ` ```` `````` ``` `` ``` ```` ``` ````````` `````` `````` ` `` ``` ``` ` `` `````````` ````` ` ` `` ````` ```` ```````` `` ``` `` ``` ` ` `` `` ` ` ` ` ` `` ` ` ```` ` ` ` `` ` ` `` ` ` ``` `` ` `` ` ```` ` ``` ```` ```` ` `` `` ``` `` ```` ``` ` `` `` ```` ` ``````` `` ``` ` `` ```` ` `` `````` ``` `` ` `` ` ` ` ` `` ` `` `` `` ``` ` ` ` `` ` ` `` ` ` `` ` ``` `` ` `` ` ` ` ` ` `` ` ``` ````` ` ` ` ` `` ` `` ` ` ` `` `` ` `````` ``` `````` ``` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ``` `` ` ```` ` ````` ` `` `` ` `` ``` `` ` ` ` ` ` `` `` ` ` ` `` ` ` ` ` `` `` ` ` ``` `` `` `` ```` `` ` ` ``` ` ``` `` ``` ` ` ``` `` `` ```` ` ` ` ` ` `` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` 0.000 ` ` ```` ` `` ````` ``` ``` ` `` ```` ` ` `` ```` ``````` ` `` ```` ` `` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ``` ``` `` ` ````` `` ``` `` ```` ` ``` `` `` ``````````````` `` ```````````` ` `` ` `` ``` ```` ` ` ` ` ` `` ` `` ` ` ````` `` ``` ```` ` ` ` ````` ` `` `` ` ``` ``` ``` `` ````` ` `` ```` ` ` ` ` ` ` ` `` `` `` ` `` ` ` ` ` ` ` `` ` `` ` ``` ```` ```` `` `` ```` ` ` ` `` `` ` ` `` ` ` ` ``` `` `` ` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ``` ` ` ` ` -0.004 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 годы yp (Лагеос 2 – IERS) секунды дуги ` ` ` ` ``` ` ` `` 0.004 6 `` ` `` ` ` ` `` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ``` ` ` `` ``` `` ``` ` `` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` `` ```` ` `` `````````` ``` `` `` ````` ``` ```````` ` ``` ```` ``` `````` `````` `` `````````````` ``` ``````` ````` ``` `` ````` `` ``` `````` ``` ``````````````` ```` ````` ` ` ` ` ` ``````````` ` `` `` ``` ```````` ````` ` ````` ` ```` ```` ``````` ```` ``` ` ` `` `` ``` ` ` ```` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` `````` ` `` ` ` `` ` ` ` ` `` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` `` ` ` `` `` ` ` ` `` ` ``` ``` `` ```` ` `````` `` ` `` `` ```` `` ``` ```` ``` ```` ` ``` ` ``` `` ``` ` `` `` ``` ``````````````` ``` `` `` ` ````` ```` ` ``` ` ` ` ``` ` ` ``` ``` ````` ```````` `` ````` ``` ` ` ` ` ` ` ```` ` `` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ``` `` ` ``` `` ```` ``` ```````` ``` ` ``` ` ` ` ` `` ` `` ` ` `` `` ```` ` ` ``` ` `` `` ``` ```` ` ``` ` `` ```` ``````` ``` `````` ` ` ````` ` `` `` ` ``` ` ` `` ``` ````` `` `` ` ```` ` `` ` ` ` ```` ``` ` ``` ```` `````` `` ` ` ``` ` ``` `````` ``` `` ``````` `````` ` ``` ````` ````````` ` ` `` `` ` ` ` ` 0. ` ` `` ` ` `` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` `` ` `` ` ` ` `` ` ` ` `` ` ` ` `` ``` ```` ```` ``` `````````` ````````` ```````````` ```````` `` ``` `````` ` ` `` ` ` ` ````` `` ```` `` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ``` ``` ` ` ` ``` ` ``` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` `` `` `` ` ` -0.004 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 годы Рис. 3: Лагеос-2 и IERS, разности координат полюса График на рис.4 даёт представление о вариациях продожительности су ток, которым соответствуют вариации угловой скорости вращения Земли, на интервале времени 16 лет. Результаты опубликованы в материалах Между народной службы вращения Земли.

секунды вариация продолжительности суток `` ` ` `` ` `` ` `` ```` `` ` ` `` ```` `` ` `` ``````` `` ``` ` `````` 0.003 ` ```` ` ``` ````````````` ` ```````` `` `````````` ```` ``` `` ``` `` ``` ```` ` `` ` ``` ` `` ` `` `` ` `` `` ` `` `` ` ``` ` `````` `````` ``` ``` ``` `````` `` ```` `` `` ` ` `` `` ````````````` ` `````` ``````` ``` ``` ` ``` ``` ``` ```` ` ``` ```` ``` ``` ``` `` ` ` ` ` `` ` `` ``` `` ` ` `` `````` ``` `` ` ```` ``` ````` ` `````` `` `` ``` ``` ``` `` `` `` `````` ` ` `````````` ```` `` `` ` `` ` ` ` `` `` `` ` `` `` ` ` ` `` `` ``` `` `` ` ``` `` ` `` `` `` ` ```` ``` `` `````` `` ````` ``````` `` ` `` `` `` `` ``` ``` ````` ``` `` `` `` `` `` ` 0.002 ` ` `` `` ` `` ` `` ` ` ` `` ` ` ``` ` ```` `` ``` ` ```` ` ````` `` ` ``` ` ` `` ` ```` ```` ` ` ```` `` `` `` ` ``` ` ` `` `` ` ` ` `` ` `` ```` ` ` `` ` ` `` `` ` `` ` ` ``` ` ` `` `` `` ``` ```` `` ` ` ` `` ` ` `` ` ```` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` `` ` ` `` ` `` ` ` ` `` ``` ``` `` ` ` ``` `` ``` ```` `` ` ``` ````` `` ` `` ``````` ```` ``` `````````` ` ``` ````` ``` ````````````````` `````` `` `` ``` ``` ```````` ````````` ````````` ````` ` `` `` ``` `` `` `` ``` `` `` `` ` `` `` ` ` `` `` ``` `` ` `````` ```` ` ``` ` ` ``` ````` `` ````` ````````` ``````` ``` `````````` ```` `` `` `````````````` ``` ```````` ``` ``` `````` ``` ````` `` `` ```` `` ``` `` ` ```` `````` ```` ``` ````` `` `` ``` `` ` ` ``` `` `` ` ` ` ``` ` ` ` `` `` ` ` ` ` `` ` ````` ` ``` ```` ` `` ` ` ` `` ` ` ` `` ` ` ``` `` `` ```````` ` `` `` `` `` ` ` ``` `` ` ``````` `` ` ``` `` `` ` ` `` `` ` ``` ` `` ```` `````` `` ` `` ```` ``` ``````` ``` ``` ````` `` `` ```` ``` ```` `````` ``````````` `` ```` `````` `````` ``` ````` ` ``` ```` ``````` `````` `` ``` ` ` ` ``` ````` ````` ``` `` ` `` ``` ```````` `` ```` ``` ``` ` ``` ``` ` ` `` `` ```` ```` `` ``````` `````````````` ````` ```` `` `` ` ``` ``` `` `` `````` `` ```` ````` ```` `` ``````` `````````` `````` ` `` `````````````` `````` ``` ``` ` `` ``` ` ` 0.001 ` ```` ```` ``` `` ` ` ```` ``` ``` ``` ` ` `` `` ` ```` `` `` ` ` ``` ` ` ` `` ``` ` ` ``` ```` ` ` ```` ` ` ``` `` ` ` ` ` `` ` ``` ````` `` `` `` `` `` `` `` ``` ` ` `` ``` ``` `` `` `` ` ```` ``` `` `` ` ``` ` ``` `` `````` ```` `` ` ``` `` `` ` ` ```` `` ` `` `` ` ```` ` `` ` ` ` ` `` `` `` `` ````` ` ` `` `` `` ` `` `` ` `` `` ``` ``` `` `` ``` ```` `` `` `` `` `` `` `` `` `` ` `` ````` ````` ` ``` `` `````````` `` ``` ``` `` `` ` ````` `` ` ``` `` ```` `` ` `` ````` ````` ```` ``` ` ``````` `````` `` `` `` `` ```` ``` ````` `` `` `` ` `` ```` `` ` ``` ` ``` ` ``` ``` `` ` `` ````` ` ` ` `` ` ` ` `` `````` ` ``` `` ` `` `` ```` `` ``` ```` ```` `` ``` ` ``` ` `` ```` ` `` ` ` ` ````` `` ``` `` `` ` ```````` ` `` ````` `` ` `````` ``` ` ` ` ` ```` ` ````` ` ``` `` ```` `` ```` `` ` ` `` `` ``` `` `` `` ``` `` `` ```` ` ``` ```` ` ` `` ` `` `` `` ``` ``` ```` `` ```` ```` ``` `` `` `` `` ```` `` ` `` ``` `````` `` ` ``` `````` `` ``````` `` ` ```` `` ```` ``` ` ``` `` `` ```` `` `` `` ```````` ` `` ` `` ```` ` `` `` `` ` ````` `` ` `` ``` `` ```` ` ```` ` ` ``` ``````` ``` ` `` ` `` `` ```````` ` ` `` `` ```` ` ``` `` ` ``````` ```` ````` ` `` ` `` ` `` 0.000 ` `` `` `` ` ` `` `` `` ` `` ```` `` `` ``````` ` ``` ` `` ` ```` ` `` ` ` `` `` `` `` ` ` ` ` `` ` ` `` `` ``` `` ` ``` ` `` `` `` `` ```` ` ``` ` ``` ``` ` `` `` `` `` ` `` ` `` ` -0.001 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 годы Рис. 4: Данные Международной службы вращения Земли секунды вариация продолжительности суток `` ` ` `` `` ``` `````` ``` ```` 0.003 `` ` ``` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ```` ` `` ` `````` ` `` ```` ````` `` ```` ` `````` `` ``` `` ` ` `` ` ` ````````` ` `````````````` ``` ``` ````` ` ` ```` `````` ` ` ` ` `` ` ` ``` ` ```` ````` ` ``` `````` ` ``` ` ` ` ```` ` `` ` ` `` ` `` ``` ` ``` `` ` ` ` ` ` ```` ```` `` 0.002 `` ` `` ``` `` ``` ``` ` `` ``` ` ``` ` ` ``` ``` ` ` ` `` `` ````` `````` ` ``` ` ` ` `` ```` ```````` `````` `` ````````` `` ```` ``` ```` ` `` ``````` `` `` ``````` `````` ````` ``` ``` ````` ``````` `````````` ` ` ``````` `````` `` ` ` `` ` ` `````` `` ` ``` ``` ``` ` ``` ` ````` `` `` `` `` `` ` ` ` ` `` ` `` ` `` ``` ` ` `` `` ` ` `` `` ``` ` ` ` `` `` ` ` ``` ```` ```` ``````` `` ``````````````` ``````` ````` `````` `````` ` `````` ` ` ` ` ``` ` `` ``` ` ` `````` ` `` `` ```` ` `` ` ` ``` `` ` `` ` `` ```` ``` ` ` ``` `` ` `` ` ``` `` ` `` `` `` ` ``` ``````` ` ` ` ````` ```` ` `````` ```` ` ```` ` ` ````` `` ````` `` ````` `` ` ``` `` `` ```````` `` ````` ` ````` `````` ``` `` ````` ``` ````` ```` ` ``` ````````````````` ``` ```` ```````` `` ``` ````````` ``````` ````````````` `` ``` ``` ` ` ```` 0.001 ` `` ````` ` ` ``` ```` `` ` `` ` ``` `` `` `````` `` `` ` `` ` `` `` `` ````` `` ` ` `` ``` `` ` ` `` ` ` ` ```` `` `` ```` ` `` `` `` `` ``` `` ```` ``` `` ` ` `` `` ` `` ```` ``` ` ``` ``` ` `` `` ` ```` ` ` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ```` `` ` ````````` ` ```` `` ` ``` ` ` ` ` ```` `` `` ``` ` ```` ``````` `````` `` `````` `` `` ` ` ````` ` `` ``````` ` ```` ``` ``````````````````` `` ``` `` ```````` `` ```` ` ` ```` ```````` ```````` ````````````` `````` ``` ` ` `` ```` ``` `` ````` ` ` ``` `` `` ` `` `` ` ` ``` ```` ` `` ` ````` `` ````` ` `` ` ````` `` `` ` `` `` ``` ` `````` `````` `` ` ```` ```` ` ```` ``` `` ``````` ``` ``````` `` `` ` ` ` ```` `` ``` `` 0.000 ````` ``````` `` ` ` ` `````````` ``` ```` `` ```` ` ``` ` `` -0.001 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 годы Рис. 5: Результаты обработки наблюдений Лагеос и Лагеос- На рис.5 представлены результаты определения вариаций продолжитель ности суток. Результаты были получены на основе обработки измерений то поцентрических дальностей до спутников Лагеос и Лагеос-2.

Поправки координат наблюдательных станций позволяют получить оцен ки вековых изменений положений пунктов на поверхности Земли (табл.7). В Таблица 7: Поле скоростей для пяти пунктов X(м/год) Y (м/год) Z(м/год) X (м/год) Y (м/год) Z (м/год) Европа, Рига, = 24 3 32.74, = +56 56 54.79, H = 24.1 м -0.0212 0.0118 -0.0001 0.0015 0.0021 0.0017 Лагеос -0.0290 0.0309 0.0026 0.0019 0.0023 0.0026 Лагеос- -0.0184 0.0151 0.0046 0.0055 0.0038 0.0081 ITRF Тихий океан, Мауи, = 203 44 38.77, = 20 42 26.01, H = 3061.2 м -0.0133 0.0678 0.0254 0.0019 0.0039 0.0018 Лагеос -0.0011 0.0419 0.0353 0.0020 0.0034 0.0018 Лагеос- -0.0154 0.0589 0.0338 0.0007 0.0005 0.0004 ITRF Африка, Хартебестёк, = 27 41 10.30, = 25 53 22.95, H = 1402.8 м -0.0038 0.0356 0.0223 0.0012 0.0017 0.0016 Лагеос -0.0242 0.0708 0.0192 0.0026 0.0036 0.0015 Лагеос- -0.0090 0.0187 0.0160 0.0012 0.0008 0.0007 ITRF Испания, Андалусия, Сан Фернандо, = 353 47 40.95, = 36 27 54.92, H = 91.0 м 0.0080 0.0267 0.0263 0.0023 0.0014 0.0015 Лагеос 0.0085 0.0597 0.0247 0.0029 0.0033 0.0018 Лагеос- -0.0025 0.0179 0.0163 0.0025 0.0006 0.0019 ITRF Австралия, Маунт Стромло, = 149 0 35.63, = 35 18 58.11, H = 797.8 м -0.0435 -0.0055 0.0524 0.0023 0.0018 0.0026 Лагеос -0.0352 -0.0039 0.0356 0.0029 0.0026 0.0032 Лагеос- -0.0363 0.0003 0.0457 0.0012 0.0015 0.0010 ITRF строке “ITRF” (Международная земная система отсчета) приводятся данные Международной службы вращения Земли.

В работе получены оценки вековых изменений положений 30 пунктов из мерений дальности.

На основе предлагаемых алгоритмов разработана методика расчёта про хождений искусственных спутников Земли на некотором расстоянии друг от друга. Такой подход необходим для решения следующих задач:

1. предсказание опасных сближений объектов в заданном диапазоне высот над поверхностью Земли;

2. предсказание опасных сближений конкретного космического аппарата с другими спутниками;

3. вычисление взаимных расстояний между конкретным космическим ап паратом и спутниками, отобранными в список по какому-либо признаку.

В Терскольском филиале Института астрономии Российской академии на ук проводятся регулярные наблюдения космического мусора.

16 октября 2009 года во время наблюдений был обнаружен неизвестный объект 18-й звёздной величины.

Объект получил временный номер 95334. Продолжительность наблюдений составила шесть вечеров. 21 октября объект вышел из зоны видимости. Было получено 695 отдельных положений объекта – топоцентрических значений прямых восхождений и склонений в системе стандартного экватора.

На основе наблюдений было выполнено улучшение элементов орбиты и получена оценка эмпирического коэффициента отражения Cr. Так как это значение определяется формулой A Cr = 4.5606 · 109 kr, m то, полагая kr 1.0, можно оценить отношение средней площади поверхно сти A к массе объекта m.

Оскулирующие кеплеровские элементы орбиты объекта в системе истин ного экватора даты приведены в табл.8. В последней строке дана оценка отношения средней площади объекта к его массе.

Средняя квадратическая погрешность одного измерения по прямому вос хождению составила 1.40, а по склонению – 0.44.

Таблица 8: Параметры орбиты объекта 16.10. дата 00h 00m 00.000s UT 41715.137 ± 0.020 км a 0.029916301 ± 0. e 14.005113 ± 0. i 347.868781 ± 0. 163.477533 ± 0. 307.308140 ± 0. M 2.2206 ± 0.005 м2 /кг A/m Космический аппарат Молния 3-39 был выведен на орбиту 20 сентября 1990 года.

В феврале 2009 года эксцентриситет орбиты космического аппарата Мол ния 3-39 достиг критического значения. Под действием силы сопротивления атмосферы большая полуось и высота апогея орбиты стали уменьшаться.

Объект завершил свой полёт во второй половине даты 8 июля 2009 года по сле входа в плотные слои атмосферы.

В мае 2009 года на базе Института астрономии Российской академии на ук в Звенигороде старшим научным сотрудником Бахтигираевым Н.С. были выполнены позиционные наблюдения космического аппарата Молния 3-39.

Получено 313 топоцентрических положений объекта: прямое восхождение и склонение в небесной системе отсчёта.

Обработка результатов позиционных наблюдений позволила уточнить на чальный вектор состояния объекта на момент 18 мая 2009 года (полночь).

Средняя квадратическая погрешность одного измерения составила 1.4 секунд дуги. Был выполнен численный прогноз движения космического аппарата с целью оценки момента завершения полёта.

С учётом погрешности оценки отношения площади к массе был получен интервал вероятных дат завершения полёта: от первой половины 7 июля до первой половины 9 июля.

Космические аппараты глобальной навигационной спутниковой системы (ГЛОНАСС) снабжены уголковыми отражателями для измерения топоцен трических дальностей. Длинные ряды лазерных наблюдений различных объ ектов ГЛОНАСС содержатся в базе данных.

В табл.9 представлены результаты обработки наблюдений космического аппарата Глонасс 109 на интервалах, равных одному месяцу:

Таблица 9: Глонасс 109, фильтрация наблюдений A/m (м2 /кг) Np min (м) max (м) (м) дата 0.0321 ± 8.4 · 20. 2011/09/01 747 13.022 5. 10.788 0.0327 ± 2.0 · 38. 2011/10/01 684 20. 11.435 0.0322 ± 2.4 · 36. 2011/11/01 724 30. 0.0325 ± 3.2 · 38. 2011/12/01 539 28.598 9. 0.0325 ± 1.8 · 10. 2012/01/01 491 15.106 5. 0.0323 ± 9.9 · 14. 2012/02/01 509 11.456 4. 0.0328 ± 1.2 · 22. 2012/03/01 795 21.870 6. 12.450 0.0330 ± 2.3 · 27. 2012/04/01 514 33. На рис.6 представлены разности между положениями объекта Глонасс 118, вычисленными с помощью улучшенных параметров движения, полученных на основе фильтрации лазерных измерений, и данными за сентябрь 2010 года из базы NGS [8], которые послужили эталонной орбитой:

Рис. 6: Глонасс 118, сравнение с эталонной орбитой В табл.10 даны оценки максимальной ошибки прогноза для искусствен ных спутников Земли, находящихся на орбитах с различной высотой полёта.

Высота полёта hmin дана в километрах.

Для каждого объекта оценки были получены с помощью лазерных наблю дений. На основе Np значений топоцентрических дальностей на интервале времени Ta в сутках выполняется улучшение параметров движения: шесть средних элементов орбиты, эмпирический коэффициент отражения и эмпи рический коэффициент ускорения. Оценка средней квадратической погреш ности одного измерения в метрах дана в столбце.

На интервале времени Tp суток, следующим сразу за интервалом Ta, на основе улучшенных параметров движения проводится прогноз движения объекта и сравнение с измеренными значениями топоцентрических расстоя ний. Абсолютная величина самой большой разности измеренных и вычислен ных величин в метрах обозначена |max |.

Таблица 10: Оценка точности прогноза Tp |max | hmin Ta Np спутник Эталон-1 19500 30 1530 7.0 30 41. Глонасс 109 19500 30 720 11.4 30 268. Глонасс 115 19500 30 960 6.2 30 194. Lageos 6000 30 7000 1.7 30 9. Ajisai (EGP) 1400 30 11000 5.8 30 149. Метеор-3М 1000 30 380 47.8 30 5349. Метеор-3М 1000 5 60 1.2 5 71. Starlette 900 30 6500 18.2 30 320. WestPac 830 30 1070 18.4 30 2446. Блиц 820 30 1680 13.9 30 146. Stella 800 30 3500 8.8 30 281. Ларец 680 30 3250 15.0 30 239. Tandem X 510 2 210 16.4 2 886. Grace A 470 2 220 4.9 2 214. Champ 420 2 380 6.0 2 2682. В послесловии сказано, что предлагаемая в данном исследовании схема вычислений, основанная на численно-аналитическом подходе, предназначе на для учета важнейших неравенств в движении космических объектов и решения практических задач. Сравнительные испытания алгоритмов и их применение показали, что • точность обработки высокоточных лазерных наблюдений спутников Ла геос и Лагеос-2 с помощью вычислительных программ, основанных на предлагаемых в данной работе алгоритмах численно-аналитического метода расчёта положений космических объектов, находится пример но на одном уровне с оценками точности, публикуемыми основными центрами анализа данных;

• пакет вычислительных программ LENTA на интервалах времени по рядка нескольких суток уступает по точности представления наблюде ний спутников типа Эталон и низкоорбитальных объектов Эйджисаи, Старлет и Стелла пакетам программ DGFI, JCET и HIT-U, использу ющим метод численного интегрирования уравнений движения;

• основное преимущество численно-аналитических алгоритмов в срав нении с методом численного интегрирования заключается в сокращении времени обработки очередной порции измерительной информации.

Приложение содержит обширный материал справочного характера, необходимый для программирования вычислительных процедур.

Выражаю признательность профессору Нестерову Вилену Валентиновичу за простую и чёткую постановку задачи в далёком 1972 году и за предостав ление возможности её решения.

Работа выполнена при финансовой и моральной поддержке гранта РФФИ № 00-02-17558, научно-образовательного проекта Института астрономии РАН и госконтракта №02.740.11.0249 “Оптический мониторинг ближнего и дальнего космического пространства роботизированной сетью те лескопов МАСТЕР ” ГАИШ МГУ.

Список литературы [1] Акснов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.

е Наука. 1977.

[2] Вашковьяк М.А. Численно-аналитический метод исследования эволю ции орбит далёких спутников планет. //Письма в астрономический журнал. 2005. Т.31. №1. С.66-75.

[3] Лидов М.Л. Полуаналитические методы расчта движения спутни е ков. //Труды Института теоретической астрономии АН СССР. 1978.

Т.17. С.54-61.

[4] Нестеров В.В. Стандарт основных вычислений астрономии. Основные алгоритмы спутниковой геодинамики. Лекции для студентов старших курсов. РФФИ. Москва. Изд-во Янус-К. 2001.

[5] Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Ле нинград. Изд-во Ленинградского государственного университета. 1985.

[6] IERS Conventions (2000). Dennis D. McCarthy (ed.) /IERS Technical note 29. Paris. 2000.

URL: http://tai.bipm.org/iers/conv2003/conv2003.html [7] Pearlman M.R., Degnan J.J., Bosworth J.M.

The International Laser Ranging Service. //Advances in Space Research.

V.30. No.2. P.135-143. URL: http://ilrs.gsfc.nasa.gov/ [8] Precise GPS orbits computed at the National Geodetic Service.

URL: http://www.ngs.noaa.gov/orbits/ [9] Tapley B.D., Schutz B.E., Eans R.J. Satellite laser ranging and its applications. //Celestial Mechanics. 1985. V.37. No.3. P.247-261.

[10] Two line elements.