Численно-экспериментальное исследование вращательной динамики спутников планет

На правах рукописи

Куприянов Владимир Викторович

Численно-экспериментальное исследование

вращательной динамики спутников планет

01.03.01 – Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2014

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении

науки Главной (Пулковской) астрономической обсерватории Российской ака­ демии наук (ГАО РАН).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук ШЕВЧЕНКО Иван Иванович

Официальные оппоненты:

СОКОЛОВ Леонид Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры небесной механики астрономического отделения матема­ тико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного уни­ верситета ЖЕЛЕЗНОВ Николай Борисович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории малых тел Солнечной системы Ин­ ститута прикладной астрономии Российской академии наук

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт астро­ номии Российской академии наук (ИНАСАН)

Защита состоится 25 апреля 2014 года в 13 часов 00 минут на заседании дис­ сертационного совета Д 002.120.01 Главной (Пулковской) астрономической обсерватории Российской академии наук (ГАО РАН) по адресу:

196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, д. 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГАО РАН.

Автореферат разослан « » 2014 г..

Ученый секретарь Милецкий Евгений Викторович диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы К настоящему времени в Солнечной системе открыто уже более 170 спут­ ников планет [11]. Значительный материал об их орбитальных и физических характеристиках накоплен в результате как наземных наблюдений, так и кос­ мических миссий («Вояджер-1», «Вояджер-2», «Галилео», «Кассини»). Зада­ чи динамики спутников и спутниковых систем, формирования их современ­ ных динамических состояний являются одними из актуальнейших в совре­ менной небесной механике и космогонии Солнечной системы. Орбитальная и вращательная динамика спутников связана с их физическими свойствами — массой, размерами, формой, составом и внутренним строением — и, таким образом, имеет важное значение в планетологии.

В результате исследований, выполненных в последние три десятилетия, стало ясно, насколько существенную роль в динамике Солнечной системы — и, в частности, в динамике спутниковых систем — играют резонансные явле­ ния (см. напр. книгу Мюррея и Дермотта [4]). Во многих случаях резонансы определяют пространственную конфигурацию орбит спутников и структуру колец планет. Многие из известных естественных спутников находятся в на­ стоящее время в состоянии синхронного спин-орбитального резонанса, про­ цесс захвата в который является важным событием в динамической истории спутника. Детали этого процесса, так же как и многих других эффектов, связанных с резонансами, все еще остаются мало изученными.

Взаимодействие резонансов порождает фундаментальный динамический эффект — хаотическое поведение. Уиздом и др. [10] в 1984 г. на основе ана­ лиза возможности существования основных резонансных спин-орбитальных состояний и их устойчивости у известных спутников планет сделали вывод, что вращение 7-го спутника Сатурна Гипериона должно быть хаотическим.

Позднее этот вывод был подтвержден в наблюдениях Клаветтером [8], Бл­ эком и др. [5], А. В. Девяткиным и др. [2] и — строгим образом — путем моделирования кривых блеска А. В. Мельниковым [9]. Недавно обработка наблюдений с КА «Кассини» позволила Харбисон и др. [7] сделать вывод о неоднородности распределения вещества внутри Гипериона и несовпадении геометрических осей его фигуры с осями инерции.

Для полного качественного понимания вращательной динамики спутни­ ков планет необходимо развитие полноценной аналитической теории. Постро­ ение такой теории, однако, сопряжено с большими трудностями, и в насто­ ящее время основным инструментом исследования в данной области, позво­ ляющим решать задачу выявления тонких динамических эффектов в макси­ мально реалистичной постановке, служит численное моделирование. В этом контексте настоящая диссертационная работа, в которой численными метода­ ми исследуются прежде всего резонансные и хаотические режимы вращения спутников планет, затрагивает тему, которая будет сохранять и приобретать новую актуальность по мере появления новых и более точных данных о вра­ щательной динамике спутников.

Цель диссертационной работы. В работе были поставлены и решены следующие задачи:

1. Численно-экспериментальное исследование резонансных и хаотических режимов вращательной динамики спутников планет и анализ наблюда­ тельных проявлений этих режимов.

2. Развитие методов и программных средств для исследования вращатель­ ной динамики спутников, основанное на массовом вычислении значений характеристических показателей Ляпунова путем численного интегри­ рования уравнений движения.

3. Построение диаграмм устойчивости вращательных режимов спутников планет, сравнение результатов численного моделирования с аналитиче­ ской теорией;

выявление качественных закономерностей в хаотическом вращении с целью определения границ применимости теории.

Научная новизна. В процессе выполнения работы был получен ряд новых результатов:

1. Создан новый программный комплекс для численного интегрирования и вычисления ляпуновских спектров динамических систем с непрерыв­ ным временем, ориентированный на анализ вращательной динамики спутников планет.

2. Впервые численно-экспериментально подтверждены выводы теории се­ паратрисных отображений о свойствах хаотической вращательной ди­ намики спутников планет.

3. Впервые выявлены наиболее вероятные кандидатуры (помимо Гипери­ она) — спутники Сатурна Прометей и Пандора — для наблюдательного поиска проявлений хаоса во вращательной динамике спутников планет.

Научная и практическая значимость работы Созданные в рамках данной диссертационной работы методика и про­ граммный комплекс для расчета ляпуновских спектров динамических систем с непрерывным временем могут быть использованы как инструмент модели­ рования для выявления различных качественных закономерностей во вра­ щательной динамике спутников планет. Универсальность методов и их про­ граммной реализации позволяет распространить их использование также на более широкий круг задач динамики тел Солнечной системы — как враща­ тельной, так и орбитальной.

Полученные в работе численные оценки ляпуновских времен и эмпири­ ческие зависимости их от орбитальных и инерционных параметров, выводы о возможных значениях динамических параметров и о физических характе­ ристиках спутников могут быть использованы при планировании наземных наблюдательных программ и космических миссий к спутникам планет.

Следует отметить, что с использованием развитых в настоящей диссер­ тационной работе программных средств и методик был получен результат о режимах вращения Гипериона и Фебы, вошедший в перечень НСА РАН важнейших достижений астрономических исследований в России в 2008 г.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­ жения:

1. Программная реализация алгоритмов расчета ляпуновских спектров ди­ намических систем с непрерывным временем. Создание программного комплекса, ориентированного на анализ вращательной динамики спут­ ников планет.

2. Численно-экспериментальное подтверждение выводов теории сепаратрис­ ных отображений о свойствах хаотической вращательной динамики спут­ ников планет.

3. Эмпирические зависимости компонент ляпуновского спектра от инер­ ционных параметров в задаче о пространственном вращении спутника.

4. Выявление наиболее вероятных кандидатур планетных спутников (по­ мимо Гипериона), которые могут находиться в хаотическом вращении, — а именно, 16-го и 17-го спутников Сатурна Прометея и Пандоры.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах научных подразделений ГАО РАН и на следующих конференциях:

1. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК–2001», С.-Петер бург, АИ СПбГУ, 6–11 августа 2001 г.;

2. «Небесная механика — 2002. Результаты и перспективы», С.-Петербург, ИПА РАН, 10–14 сентября 2002 г.;

3. Всероссийская астрономическая конференция «ВАК–2004», Москва, ГАИШ МГУ, 2004 г.;

4. «Астрономия–2005 — современное состояние и перспективы», Москва, ГАИШ МГУ, 1–6 июня 2005 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных ра­ ботах, из них 4 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных изданий, и 3 статьи в других изданиях.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и положения, выно­ симые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В опубликованных по теме диссертации работах подготовка к публи­ кации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был равнозначным с соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 148 страниц c Приложением, включая 26 рисунков и 8 таблиц. Библиография включает 71 наименование.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулированы цели и аргументирована научная новизна исследований, проде­ монстрирована практическая значимость полученных результатов, представ­ лены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе «Компьютерные методы в небесной механике и дина­ мической астрономии» дан краткий обзор истории разработки и приложений методов с использованием ЭВМ в задачах небесной механике и динамической астрономии. Рассмотрены предпосылки компьютеризации небесномеханиче­ ских вычислений — в частности, для решения задачи тел в различных постановках. Описаны первые примеры применения ЭВМ для решения за­ дачи тел в астрономии, в частности, в приложении к исследованиям ди­ намики тел Солнечной системы. Проиллюстрирована важность численного исследования хаотической динамики для проверки качественных моделей и выявления новых динамических закономерностей. Кратко изложена история создания систем компьютерной алгебры и их применение для изучения дол­ говременной эволюции Солнечной системы и для разработки более точных теорий движения тел Солнечной системы. Показано, как потребности чис­ ленного эксперимента приводят к развитию новых вычислительных методов, а совершенствование компьютерной техники не только позволяет более эф­ фективно решать задачи классической небесной механики, но и приводит к появлению совершенно новых направлений исследований.

Во второй главе «Хаотическое вращение спутников планет: ляпунов­ ские спектры и максимальные характеристические показатели Ляпунова»

рассмотрена задача вычисления характеристических показателей Ляпунова (ХПЛ) — в частности, максимального ХПЛ (МХПЛ) — в приложении к ис­ следованиям вращательной динамики спутников планет. Моделью спутника служит трехосный эллипсоид однородной плотности, движущийся по фик­ сированной эллиптической орбите [1]. ХПЛ используются в качестве инди­ каторов степени хаотичности движения. Для выборки реальных спутников планет с известными значениями инерционных и орбитальных параметров, полные ляпуновские спектры вычисляются методом HQR-разложения мат­ рицы касательного отображения. Данный метод предложен фон Бременом и др. [6]. Используется также традиционный метод «теневой траектории» [3].

Численные оценки ХПЛ для случаев плоского и пространственного хаотиче­ ского вращения сопоставлены с их аналитическими оценками, полученными при помощи теории сепаратрисных отображений в модели нелинейного ре­ зонанса (в данном случае — синхронного спин-орбитального резонанса) как возмущенного нелинейного маятника. Установлено хорошее согласие резуль­ татов численного моделирования с теорией сепаратрисных отображений в плоском случае. Показано, что теория, разработанная для плоского случая, вероятнее всего, остается справедливой и в случае пространственного враще­ ния при условии, что динамическая асимметрия спутника достаточно мала и/или эксцентриситет орбиты достаточно велик (однако не настолько, чтобы нарушить условия применимости динамической модели). Данные ограниче­ ния связаны с тем, что в указанных случаях ведущим является синхронный резонанс, так что можно ожидать, что теория сепаратрисных отображений, разработанная в применении к движению вблизи сепаратрис этого резонанса, обеспечит оценки МХПЛ, согласующиеся с результатами численного модели­ рования.

Для случая пространственного вращения выведены эмпирические ли­ нейные зависимости компонент ляпуновского спектра от инерционных пара­ метров спутника. Данные зависимости могут быть полезны, например, для грубой статистической оценки ХПЛ в отсутствие полной аналитической тео­ рии.

В третьей главе «Хаотическое вращение спутников планет: ляпунов­ ские спектры и константа Якоби» проведено исследование устойчивости вра­ щения спутников планет в рамках той же модели спутника как трехосного эллипсоида однородной плотности, обращающегося по фиксированной круго­ вой или эллиптической орбите. В отличие от второй главы, рассматривается только случай пространственного вращения. Целью данной главы является попытка дальнейшего расширения границ применимости аналитической тео­ рии в пространственном случае.

Методом исследования служит численное определение полного ляпунов­ ского спектра хаотического вращения, аппарат которого развит во второй главе. Проводятся модельные расчеты для 12 спутников Марса, Юпитера, Сатурна и Нептуна с известными орбитальными и динамическими парамет­ рами. Поскольку целью данной главы является исследование возможности хаотического движения спутника в ходе его динамической истории, а не его фактическое состояние в настоящее время, начальные данные для интегри­ рования выбираются внутри хаотического слоя фазового пространства. Каче­ ственные закономерности хаотического пространственного вращения выявля­ ются посредством вычислений ХПЛ на сетке значений инерционных парамет­ ров. Полученные численные оценки ХПЛ сравниваются с теми же оценками, но для случая эксцентриситета орбиты, формально положенного равным ну­ лю. Показано, что аналитический подход, основанный на теории сепаратрис­ ных отображений, сохраняет свою применимость также и в пространственном случае для вытянутого осесимметричного спутника на эллиптической орбите в широком диапазоне значений инерционных параметров и эксцентриситета орбиты.

Изучается зависимость ХПЛ от значения константы Якоби системы для асимметричного спутника на круговой орбите. Показано, что зависимость МХПЛ линейна для малых значений константы Якоби, причем угол наклона этой зависимости одинаков для большей части рассмотренных наборов пара­ метров задачи;

различается только положение прямой. Более того, в случае вытянутого осесимметричного спутника эта зависимость носит универсаль­ ный характер, то есть определяется единственной прямой для всех значе­ ний константы Якоби в широком диапазоне значений инерционных парамет­ ров. Обнаружено, что зависимость МХПЛ от значения константы Якоби при бльших значениях последней перестает быть линейной и имеет максимум;

о таким образом, анализ этой зависимости позволил получить оценки верхних границ значений МХПЛ. Результаты вычислений свидетельствуют о том, что принятый подход к аналитическому оцениванию ХПЛ может оказаться про­ дуктивным при высоких значениях константы Якоби.

В четвертой главе «Вращательная динамика спутников планет: обзор регулярного и хаотического поведения» исследуется проблема распространен­ ности и практической наблюдаемости хаотических режимов вращения спут­ ников планет.

Анализ основан на массовом применении развитых в предыдущих гла­ вах методик вычисления ХПЛ к исследованию возможных режимов враща­ тельной динамики спутников с известными инерционными и орбитальными параметрами.

Путем численного интегрирования уравнений вращательного движения вычислены полные ляпуновские спектры и диапазоны изменения скорости вращения спутников;

при этом начальные условия берутся в главном хаоти­ ческом слое фазового пространства, вблизи сепаратрисы синхронного резо­ нанса. Критерием наблюдаемости хаотического движения служит наличие малого ляпуновского времени и значительных наблюдаемых в вычислениях вариаций скорости вращения. Независимо исследуется устойчивость синхрон­ ного состояния по отношению к наклону оси вращения как условие динами­ ческой возможности регулярного вращения.

Для всех спутников вычисляются времена замедления вращения в ре­ зультате приливной эволюции, чтобы выяснить, могли ли спутники достичь состояния вращения, близкого к синхронному.

Показано, что всем перечисленным критериям удовлетворяют, помимо 7-го спутника Сатурна Гипериона, хаотическое вращение которого уже было ранее подтверждено наблюдениями, только 16-й и 17-й спутники Сатурна, Прометей и Пандора.

Поскольку доля хаотической компоненты в фазовом пространстве воз­ растает с увеличением асимметрии спутника и эксцентриситета его орбиты, вероятность наблюдения хаотических режимов вращения может быть отно­ сительно велика среди вновь открываемых спутников. Большинство из них имеет малый размер и, следовательно, асимметричную форму;

многие из них к тому же обращаются по сильно вытянутым орбитам. Здесь, однако, игра­ ет роль время приливного замедления вращения, которое может оказаться недостаточным для достижения околосинхронных состояний.

В Заключении сформулированы выводы и результаты диссертации.

В Приложении приводится описание разработанного в рамках диссер­ тационной работы программного комплекса для расчетов полных ляпунов­ ских спектров динамических систем с непрерывным временем на основе ме­ тода HQRB. Программный комплекс, написанный на языке Fortran–77, при­ менялся во всех численных расчетах в данной работе. Комплекс имеет модуль­ ную структуру, в которой вычислительное ядро отделено от модулей, реали­ зующих динамическую систему, и от модулей ввода-вывода, определяющих набор и форматы входных данных и результатов вычислений. Спецификация межмодульных интерфейсов и механизм взаимозаменяемости модулей позво­ ляют легко адаптировать комплекс к различным динамическим системам и различным постановкам задачи для одной и той же динамической системы — например, проводить вычисления ХПЛ как вращательной, так и орбитальной динамики реальных (либо модельных) небесных тел на сетках значений па­ раметров — для выявления закономерностей и зависимостей от параметров.

Описаны имеющиеся модули программного комплекса, форматы входных и выходных файлов и процесс сборки комплекса для компиляторов Compaq Visual Fortran и GNU Fortran–77.

Благодарности Работа поддержана грантами РФФИ №№ 01-02-17170, 03-02-17356, 05-02 17555.

Список основных публикаций по теме диссертации 1. Shevchenko I. I., Kouprianov V. V. On the chaotic rotation of plane tary satellites: The Lyapunov spectra and the maximum Lyapunov exponents // Astron. Astrophys. – 2002. – V. 394. – P. 663–674.

2. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. The Lyapunov spectra in spin-orbit dyna mics // Труды ИПА РАН. – 2002. – № 8. – С. 106–107.

3. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. On the chaotic rotation of plane tary satellites: The Lyapunov exponents and the energy // Astron.

Astrophys. – 2003. – V. 410. – P. 749–757.

4. Куприянов В. В., Шевченко И. И. Размеры и инерционные параметры спутников планет: Статистические свойства и зависимости // Изв. ГАО. – 2004. – № 217. – С. 314–317.

5. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Куприянов В. В., Мельников А. В., Шев­ ченко И. И. Наблюдения и анализ кривых блеска трех спутников Сатур­ на // Изв. ГАО. – 2004. – № 217. – С. 229–235.

6. Kouprianov V. V., Shevchenko I. I. Rotational dynamics of planeta ry satellites: A survey of regular and chaotic behavior // Icarus. – 2005. – V. 176. – P. 224–234.

7. Куприянов В. В., Шевченко И. И. О форме и резонансной вра­ щательной динамике малых спутников планет // Астрон. Вест­ ник. – 2006. – Т. 40. – № 8. – С. 428–436.

Цитированная литература 1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.: Наука, 1965. – 416 с.

2. Девяткин А. В., Горшанов Д. Л., Грицук А. Н., Мельников А. В., Си­ доров М. Ю., Шевченко И. И. Наблюдения и теоретический анализ кри­ вых блеска естественных спутников планет // Астрон. Вестник. – 2002. – Т. 36. – Вып. 3. – С. 269–281.

3. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман – Пер. с англ. под ред. Б. В. Чирикова. – М.: Мир, 1985. – 529 с.

4. Мюррей К. Динамика Солнечной системы / К. Мюррей, С. Дермотт. – Пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. – М. : Физматлит, 2009. – 588 с.

5. Black G. J., Nicholson P. D., Thomas P. C. Hyperion: Rotational dynamics // Icarus. – 1995. – V. 117. – P. 149–161.

6. von Bremen H. F., Udwadia F. E., Proskurowski W. An efficient QR based method for the computation of Lyapunov exponents // Physica D. – 1997. – V. 101. – P. 1–16.

7. Harbison R. A., Thomas P. C., Nicholson P. C. Rotational modeling of Hyperion // Celest. Mech. Dyn. Astron. – 2011. – V. 110. – P. 1–16.

8. Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. II – Dynamics // Astron. J. – 1989. – V. 98. – P. 1855–1874.

9. Melnikov A. V. Modelling of lightcurves of minor planetary satellites // IAA Transactions. – 2002. – № 8. – P. 131–132.

10. Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion // Icarus. – 1984. – V. 58. – P. 137–152.

11. Yeomans D. K. How Many Solar System Bodies // URL: http://ssd.jpl.

nasa.gov/?body_count (дата обращения: 22.09.2013).