Метод электрических цепей кирхгофа в задачах расчета стационарных магнитных полей
На правах рукописи
Байрамкулов Казим Нюрахматович МЕТОД ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ КИРХГОФА В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ 05.09.05 – Теоретическая электротехника
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Новочеркасск – 2010 г.
2
Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» ГОУ ВПО «Южно Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» и в лаборатории энергетики и электротехники Южного научного центра РАН
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Астахов Владимир Иванович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор, Басан Сергей Николаевич кандидат технических наук, доцент Бурцев Юрий Алексеевич
Ведущая организация: Таганрогский технологический институт ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет»
Защита диссертации состоится «25» июня 2010 г. в 1400 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.304.01 при ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» в аудитории № 107 главного корпуса по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения, 132.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)». С текстом автореферата можно ознакомиться на сайте ЮРГТУ (НПИ) www.npi-tu.ru.
Автореферат разослан «24» мая 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Колпахчьян П.Г.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Рост мощностей электротехнических устройств, тенденция уменьшения их габаритов и экономии дорогостоящих материалов, ведущая к режимам функционирования близким к предельным, остро ставят вопрос о повышении точности расчета электромагнитных полей в этих устройствах.
Детальное исследование особенностей распределения поля в элементах устройств, невозможно без численных расчетов полей с использованием вычислительной техники. Поэтому актуальной проблемой теоретической электротехники является разработка эффективных методов моделирования и расчета магнитного поля, пригодных для сложных форм границ раздела сред с неоднородными, анизотропными и нелинейными свойствами.
На сегодняшний день одним из распространенных численных методов анализа является метод сведения полевых задач к цепным задачам. Однако, при решении этим методом типичных для практики электромагнитных расчетов задач, зачастую получаются цепи с десятками или сотнями тысяч ветвей и узлов, а также с их бесконечным числом, расчет которых остается проблемой для современных ЭВМ, а попытки снизить её остроту представляются актуальными.
Об актуальности использования электрических цепей Кирхгофа (ЭЦК) для расчета магнитных полей и характеристик электротехнических устройств свидетельствует значительное число диссертаций, монографий и статей, посвященных этой тематике, в том числе работы акад. АН СССР Л.Р. Неймана, акад.
АН СССР и РАН К.С. Демирчяна, акад. РАН Я.Б. Данилевича, чл. корр. РАН П.А. Бутырина, А.Б. Новогородцева, М.А. Шакирова, Кияткина Р.П., С.М. Аполлонского, А.В. Иванова-Смоленского, Э.В. Колесникова, Э.А. Мееровича, Л.А. Цейтлина и др., работы профессоров ЮРГТУ (НПИ) (Л.Ф. Коломейцев, В.И.
Астахов, А.Н. Ткачев, Г.К. Птах), а также работы зарубежных авторов (Jin Hur, Hamid. A. Toliyat, Chun Y-D., Lee J. и др.). Но, несмотря на обилие работ в данном направлении, вопросы экономизации расчетов ЭЦК остаются актуальными.
Целью работы является разработка эффективных алгоритмов метода ЭЦК для расчета стационарных магнитных полей с последующей реализацией на ЭВМ.
Поставленная цель предполагает решение следующих задач:
1. Развить метод энергетического баланса (ЭБ) получения модели в виде ЭЦК как наиболее перспективного и обладающего возможностью оценки погрешности моделирования в терминах энергетических характеристик исследуемых устройств.
2. Создать на графах ЭЦК необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов краевых задач математической физики.
3. Адаптировать методы теории потенциала к графам ЭЦК.
4. Создать эффективный пакет программ для расчета методом ЭЦК стационарных магнитных полей с возможностью масштабирования в присутствии тел с неоднородными, анизотропными или нелинейными свойствами.
Методы исследования основаны на использовании теории ЭМП, теории линейных электрических цепей и методов математического моделирования.
Научная новизна работы состоит в следующем.
1. Предложен способ моделирования методом ЭБ, отличающийся от известных возможностью учета источников поля в элементе дискретизации. Предложена оригинальная технология получения модели в виде бесконечной ЭЦК методом энергетического баланса.
2. Впервые, на графах ЭЦК введен необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов классических краевых задач математической физики. А именно, введены скалярные и векторные функции, определены аналоги алгебраических операций и операций векторного анализа, поставлены и исследованы на корректность в евклидовых пространствах аналоги основных внутренних и внешних краевых задач математической физики для уравнений Лапласа-Пуассона.
3. Применительно к задаче дифракции на графе ЭЦК, впервые, адаптированы методы теории потенциала, позволяющие свести краевую задачу дифракции на графе к матричному уравнению минимальной размерности, что позволит рассчитывать ЭЦК с бесконечным графом.
4. Предложен оригинальный способ ускорения сходимости итерационного процесса, учитывающего нелинейность, обеспечивающий монотонность сходимости и отличающийся от известных использованием одновременно двух форм материального уравнения.
5. Создан пакет программ для расчета методом ЭЦК стационарных магнитных полей, позволяющий рассчитывать ЭЦК с бесконечным графом.
Достоверность полученных результатов. Полученные в работе основные научные положения и выводы имеют необходимое научное обоснование и выполнены с корректными допущениями. Разработанный пакет программ контролировался на тестовой задаче и сравнением с известными пакетами.
Практическая ценность работы. На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан пакет программ, предназначенный для расчета стационарных и квазистационарных магнитных полей методом ЭЦК в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах с комплексной проницаемостью. Результаты работы используются во Всероссийском научно исследовательском и проектно-конструкторском институте электровозостроения (ВЭлНИИ) (г. Новочеркасск), НПП «Эметрон», также пакет программ может найти применение в электромашиностроении, трансформаторостроении, приборостроении, и в вузах на специальностях «Прикладная математика», «Теоретическая электротехника» и «Электромеханика» при выполнении курсовых и дипломных работ.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Способ моделирования фрагмента области, удобный при наличии источников поля в этом фрагменте 2. Технология получения модели в виде бесконечной ЭЦК методом энергетического баланса 3. Математический аппарат для формулирования и исследования аналогов классических краевых задач математической физики на графах ЭЦК 4. Адаптированные, к задаче дифракции, методы теории потенциала, позволяющие получать модели в виде СЛАУ минимальной размерности 5. Способ ускорения сходимости итерационного процесса, учитывающего нелинейность, обеспечивающий монотонность сходимости 6. Программный пакет, предназначенный для расчета стационарных магнитных полей методом ЭЦК в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах.
Апробация работы. Теоретические положения и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: 54, 55 научно технических конференциях профессорско-преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2005, 2006);
V, VI школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России (Ростов-на Дону, 2006, 2007);
всероссийской выставке-ярмарке «ИННОВ-2007» (Новочеркасск, 2007);
III и IV ежегодных конференциях студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН – 2007, 2008 (Ростов-на-Дону, 2007, 2008);
V всероссийской научно– практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь XXI века – будущее российской науки", диплом за второе место. (Ростов-на-Дону, 2007);
III всероссийской школе-семинаре «Математические методы и биомеханика в современном университете» (пос. Дивноморское, 2007);
международной конференции «Lyapunov Memorial Conference 2007» (Харьков, Украина, 2007);
международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007);
международных конференциях «52, 53, 54 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium» (Ilmenau, Germany, 2007, 2008, 2009);
всероссийской конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ-2008» (Воронеж, 2008);
международной конференции «XII International Scientific Kravchuk Conference» (Киев, Украина, 2008);
международных конференциях «Days on Diffraction’2008, 2009» (Санкт– Петербург, 2008, 2009);
межрегиональной выставке «Информационные технологии в технике и образовании» (Новочеркасск, 2010).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, общим объемом 5,5 печатных листа, в том числе 1 статья в рецензируемом научном журнале, рекомендованном ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Основной объем работы составляет 141 стр. и включает 52 рис. Список цитируемой литературы содержит 54 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, дана общая характеристика работы, изложены цели и задачи диссертационной работы.
Первая глава «Электрическая цепь Кирхгофа как модель среды, несущей поле», посвящена получению модели области с полем в виде ЭЦК. Рассмотрены традиционный метод и метод ЭБ получения модели в виде ЭЦК, проведено их сравнение. Предложен новый способ метода ЭБ позволяющий учитывать источники в моделируемом объекте.
При расчете электротехнических устройств, для повышения качества моделирования, проводится дискретизация расчетной области. Затем, исходя из условий задачи, моделируется каждый элемент дискретизации, объединением моделей для элементов дискретизации получают модель всей области. В работе, новым способом метода ЭБ, получается модель многополюсного участка – элемент дискретизации в общем виде. Предполагается, что на элементе V :
ik B = bk, rotH = 0 H = grad, divbk = divB = 0, B = µH, и mes ( V ) k = ik / mes ( Sk ) на Sk, bk n =.
0 на Sq, q = 1,, q k, k = 1,.
Затем рассматриваются интегралы i bk HdV = bk graddV = mes (kV ) dV bk ndS = ik ( V k ), k = 1,, V V V S mes ( V ) где V = dV, с другой стороны, V bk HdV = bk µ BdV = bk µ bp dV = ik i p rkp, k = 1,.
1 p =1 p = V V V На рис. 1 приведена соответствующая ЭЦК.
Так же в работе рассмотрены типичные для практики электромагнитных расчетов варианты краевых задач, используемых при нахождении стационарного магнитного поля. По соображениям простоты и наглядности, использовались двумерные задачи применительно к плоскопараллельным полям.
На рис.2, изображены, для примера, сечения S K катушки несущей ток J ( L – условная перегородка), и намагничивающих тел S ( S = S1 S2 ).
ez ex i2 i1 i i1 S SK i1 SK.. ey µ + = const S+ J r r11 r 1 µ+ n i i i1 i µ n L i2 SK.. µ S SK + S S r r r21 2 SK..
..
..
..
..
n i1 i i2 i SK.. S2 µ µ r r 1 r i а) б) Рис.1 Рис. К типичным были отнесены следующие условия:
– сечения катушки и намагничиваемых тел занимают конечную часть плоскости и, таким образом, могут быть включены в круг S R некоторого радиуса R ;
– первичные источники (токи катушки) и вторичные источники поля (микротоки) уравновешены (токи в сечениях S K и S, j = 1, 2 равны нулю);
j – среда, окружающая намагничиваемые тела (область S + на рис.1.4, а), изотропна и однородна, то есть имеет магнитную проницаемость µ = µ + = const ;
– материал намагничиваемых тел характеризуется ограниченным, симметричным, положительно-определенным тензором µ второго ранга, причем его компоненты – функции положения точки в сечении S.
Неоднородность материала намагничиваемых тел в постановке задачи также оправдана, поскольку сердечник может быть собран из разных пакетов электротехнической стали. Кроме того, последняя, как известно, обладает нелинейностью магнитных свойств, что вызывает, так называемую, наведенную неоднородность.
Исходная краевая задача для магнитного поля, отвечающая рис.2, а и ранее перечисленным условиям, выглядит как µ на SK, = ez ;
divB = 0;
B = µH ;
µ = µ = 1 rotH = на S ;
0 µ 0 вне SK, (1) µ = µ + на S + ;
Bn = Bn, H = H на ;
B ( M ) 0 (1/ r 2 ), + + M где учтено, что источники поля локализованы и уравновешены.
Задача (1) была названа задачей дифракции стационарного магнитного поля на плоскости S = S S +. Некоторые из свойств ее решения:
– напряженность H 0 первичного поля соленоидальна, то есть divH 0 = 0 на S ;
– напряженность поля реакции намагничиваемых тел H * = H H 0 потенциальна;
– на S + поле напряженности ( H ) и индукции ( B ) отличаются лишь масштабом;
– в силу соленоидальности индукции имеем Hndl = 0 для L S + ;
L H dl = 0 для L, вне S – благодаря уравновешенности источников, выполняется ;
R L – в слое единичной толщины, основанием которого является плоскость S, энергия магнитного поля конечна, то есть HBdS.
S На практике, как правило, задачу (1) преобразуют к скалярному виду, вводя потенциал напряженности или функцию потока индукции магнитного поля.
Выполненный в работе обзор показал, что внешние и внутренние краевые задачи с условиями Дирихле и Неймана, имеющие место при расчете стационарных магнитных полей, могут рассматриваться как предельные случаи задачи дифракции.
Поэтому главное внимание в работе уделялось задаче (1).
В работе рассматривается преобразование задачи для магнитного поля на плоскости к ЭЦК использованием функции потока. Полагается, что катушки с током имеют магнитную проницаемость µ = µ +, и нас интересует поле вне их сечения. В такой постановке свойство соленоидальности индукции B магнитного поля, входящее в (1), обеспечивается представлением B через функцию потока, то есть B = [ grad, ez ]. Затем проводится триангуляция плоскости равномерным разбиением на треугольники вида S1, S2 (см. рис.3). Из соображений простоты, считается, что H = ex H x + ey H y ;
H x, H y const на S1, и, что магнитная проницаемость в пределах отдельного элемента дискретизации является постоянным тензором второго ранга µ xx µ=, то есть µ xx = const, µ yy = const на S1. Отмечается также, что 0 µ yy однородная напряженность на элементе дискретизации не может иметь источников во внутренних точках этого элемента, из-за чего в сечениях катушки макротоки должны быть вынесены на границы рассматриваемых треугольников, к примеру как показано на рис.3, ( – линейная плотность макротоков, 2W – число элементов триангуляции, лежащих в сечении катушки).
ex ex l2 l2 n ±J = ey i ey S1 W mes(l0 ) S1 r µ l1 r i l0 l1 l l S2 µ+ S l Рис.3 Рис.4 Рис. µ l2 µ l 2( µ µ + ), r02 = 2( µ µ + ), ik = H [ ez, n ] dl, k = 1,2.
r01 = 2 l1 2l1 2 l2 2l2 lk В работе, рассматривается возможность моделирования, методом ЭБ, элементов дискретизации с меняющейся магнитной проницаемостью (см. рис.4).
Практическая значимость последнего – возможность моделирования областей с малыми зазорами без дополнительного учащения дискретизации. К примеру, для элемента дискретизации приведенного на рис.4 получается модель, показанная на рис.5.
К каждому элементу дискретизации, для получения модели в виде ЭЦК, применяется метод ЭБ. Сшиванием моделей для элементов триангуляции, получается модель всего объекта в целом, показанная на рис.6.
Вторая глава «Краевые задачи на графе электрической цепи», посвящена созданию на графах ЭЦК необходимого математического аппарата для формулирования и исследования аналогов классических внутренних и внешних краевых задач математической физики.
Рассматривается пространственный или плоский направленный граф, состоящий из ветвей, соединённых в контуры.
Бесконечным, называется J W граф, содержащий бесконечное число ветвей и узлов – точек соединения ветвей. Узлы M k, k = 1,2,.. + p p конечного или J бесконечного графа W нумеруются, а их {M k } множество обозначается. Для ветвей вводится двойная нумерация, указанием номеров узлов, к которым она присоединена, и Рис. ориентации. Например, обозначение lkp означает, что данная ветвь соединена с узлами M k, M p и ориентирована единичным вектором lkp, направленным вдоль ветви от M k к M p. Если парам узлов соотнесены две или более ветви, чтобы различать, их пометили дополнительными символами, например, lkp, lkp и т.д.
Множество ветвей графа обозначено L.
На определяются скалярные {} и векторные {a } дискретные функции.
Каждому узлу M k соотносится число k (функция времени k (t ) ), а объединение последних обозначается и называется скалярной дискретной функцией или, короче, скаляром на. Каждой ветви lkp соотносится число akp (функция времени akp (t ) ), затем берется akp = lkp akp, их объединение обозначается a и называется векторной дискретной функцией a или, короче, вектором a на.
Числовые значения скалярных дискретных функций в узлах и векторных – на ветвях любой конечной части графа полагаются ограниченными. В случае, когда значения дискретных функций – есть функции времени, полагается, что множество точек на временной оси, в которых указанные значения бесконечны, имеют меру нуль.
Равенства = 0 и a = 0 понимаются в том смысле, что все значения данных дискретных функций равны нулю, поэтому 0 и 0 уместно называть нулевыми, соответственно, скалярной и векторной дискретной функцией. Если значения одинаковы во всех узлах графа и равны константе C (функции времени С (t ) ), то такая функция называется постоянной и обозначается как = С. Затем ( + p ) определяются операции = k k, в M k, a = akp k, на lkp L, ab = aqpbqp, в M q. Через s обозначается некоторое сечение графа, то есть 2 Lq множество точек замкнутой поверхности S, s ориентированной единичной внешней нормалью n, являющихся одновременно точками графа, и определяется поток na вектора a через s sq s na = nl равенством a, где s под знаком r kp kp n Mq s s суммы означает, что суммирование ведется по точкам ветвей {lkp }, принадлежащим сечению s, а r n произведение nlkp = ±1. Дивергенция векторной S дискретной функции a на определяется как diva = na, в M q M. Примеры сечений s и s q Рис. sq показаны на рис.7. Окрестностью узла M q называется совокупность ветвей, сходящихся в нем, и узлов, соединенных этими ветвями с M q, а также введены обозначения: q – множество узлов в окрестности узла M q (на рис.7 выделены дополнительным кружком);
L q – множество ветвей в окрестности узла M q. В этих diva = aqp, в M q M ( M p M q ).
обозначениях получим, что Градиент Lq скалярной дискретной функции на определяется как grad = lkp Grad = lkp ( p k ),на lkp L.
0 В этих обозначениях на выполняются тождества diva = grada + diva, diva = na, (gradgrad + ) = ngrad, из которых следуют S s S s ( ) = n (grad grad), аналоги первого и второго тождеств Грина, S s здесь S под знаком суммы означает, что суммирование ведется по узлам, принадлежащим части S графа, охваченной поверхностью S, порождающей сечение s. символом, для краткости, был обозначен оператор divgrad, то есть = divgrad = ( p q ), в M q. JN eN Lq J e Располагая на графе оператором, J можно рассматривать аналоги уравнений e1 Лапласа-Пуассона, уравнения a) Г б) Г теплопроводности, волнового уравнения RN и др., а на фрагментах графа – аналоги eN R классических краевых задач r + r r r + r + R1 e математической физики для этих r + r r r+ r уравнений в совпадающих обозначениях. e1 rr Г В работе рассматриваются Г r+ r типичные варианты краевых условий, в) г) имеющие практическое значение для электрических сеток. В частности, Рис. электрический потенциал q узлов сетки, обозначенных на рис.8, а темным кружком, при заданных e1, e2,..., eN известен. А именно, = eq, q = 1,2,..., (условия Дирихле), (2) q На рис.2.5, б при заданных J1, J 2,...,J известны = rJ q, q = 1,2,..., ( условия Неймана ), (3) nq если фрагмент графа электрической сетки, отвечающий ее плоской части, отнести к. Для сетки, изображенной на рис.8, в, в тех же узлах выполняется Rq = eq, q = 1, 2,..., ( смешанное условие ), q + (4) r nq а для рис.8, г – 1 1 + =, r nq r + nq q = 1, 2,..., ( условия склейки ), (5) + q q = eq, где ± в индексах соотносятся фрагментам ± графа электрической сетки. Будем различать (классифицировать) краевые задачи по типу основных краевых условий.
При исследовании и решении краевых задач удобно рассматривать исходные и искомые дискретные функции как элементы некоторых евклидовых пространств.
В этой связи на конечном связном графе рассматривается класс C(M ) скалярных дискретных функций с ограниченными значениями на M. Для постановки и исследования внутренних краевых задач вводятся следующие пространства:
l2 ( M ) : (, ) =, = (, ), l2 ( M ) :(, )1 = GradGrad +, M L M M 1/ l2,0 ( M ) : l2 ( M ) и = 0, l ( M ) : (, )1 = GradGrad, 1 = Grad 2, L L M Для постановки и исследования внешних краевых задач рассматривается класс C(M ) ограниченных дискретных функций, подчиняющихся условиям = 0;
( M q ) 0 (1/ ) n = 0 вне R ;
q R Для внешних краевых задач вводятся следующие пространства:
) 1/ 2 ) ) l2 ( M ) : (, ) =, = (, ), l2,0 ( M ) : l2 ( M ), 0 на R, = 0, M R R M R ) l21 ( M ) : (, )l)1 = GradGrad, = (, )l)1,, C ( M ) 1/ ) l 2 L При постановке и исследовании аналогов классических краевых задач математической физики в работе формулируются и доказываются следующие теоремы:
Теорема 1. Решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона единственно.
Теорема 2. Внутренняя задача Неймана для уравнения Пуассона = F на, = f, M q Г, q = 1,2,...,, (6) nq разрешима не всегда. Необходимым условием разрешимости является выполнение F + f = 0, (7) Если последнее имеет место, то любая пара решений может отличаться лишь на постоянную.
Теорема 3. Решение внутренней задачи для уравнения Пуассона с условием r смешанного типа при Re 0 единственно.
R q Теорема 41. Необходимым условием разрешимости задачи = F на U +, q = eq, + (8) q M q Г, q = 1,2,..., + 1 = J q, r + n r n на конечном графе = U + U Г является равенство 1 r+ F + r F = J, (9) + Г Если оно выполняется, то решение задачи (8) при r r Re + 0 и ( или ) Im + 0 (10) r r определяется с точностью до постоянной.
Теорема 5. Пусть – гармоническая дискретная функция на конечном фрагменте ± с границей Г некоторого графа. Тогда ± n = 0. (11) Г Теорема 6 (о среднем). Пусть дискретная функция подчиняется уравнению Лапласа в узле M q. Тогда в этом узле она равна средневзвешенному своих значений в узлах, составляющих окрестность q. А именно, n ( q, k ) k, M k q, q = (12) n ( q ) q где n ( q ) – число ветвей в L q ;
n ( q, k ) – число ветвей, соединяющих M q с M k.
Теорема 7 (о максимуме и минимуме). Пусть – отличная от постоянной, гармоническая на связном фрагменте графа, дискретная функция. Тогда наибольшее (наименьшее) значение не может достигаться в узлах данного фрагмента.
Теорема 8. Решение уравнения Пуассона в C ( ) на конечном графе при свободном члене из l2,0 существует и определяется с точностью до постоянной дискретной функции.
Теорема 9. Задача Дирихле для уравнения Пуассона с однородным краевым условием на конечном фрагменте ± графа при ограниченном свободном члене корректна в пространстве l2,0.
Теорема 10. Задача Дирихле с неоднородным краевым условием для уравнения Пуассона на конечном фрагменте ± графа при ограниченных исходных данных имеет в l2 решение и притом единственное.
+ В данной теореме связность L или L не предполагается.
Теорема 11. Решение внутренней задачи Неймана для уравнения Пуассона (6) в l при выполнении условия (7) существует и определяется с точностью до постоянной дискретной функции.
Теорема 12. Задача = F на, + = f на Г для уравнения Пуассона n со смешанным граничным условием на конечном фрагменте графа при ограниченных дискретных функциях F и f, вещественных и положительных значениях дискретной функции на Г разрешима и притом единственным образом в l2.
+ = e, Теорема 13. Задача дифракции = F на \Г, + на Г, на =f n n конечном графе со смежной границей Г его фрагментов, при + ограниченных дискретных функциях F на \ Г, f, e на Г, а также Im ( / ) = 0, Re ( / ) 0 разрешима в классе дискретных функций с конечной суммой Дирихле, причем ее решение определяется с точностью до произвольной постоянной функции на.
) Теорема 14. Решение уравнения Пуассона в C ( M ) = F, F l2,0 ( M ) на правильном бесконечном графе существует, единственно и представимо в форме объемного потенциала ( M q ) = F ( M p )R ( M q, M p ), M q M (13) M R \ M p* Теорема 15. Внешние задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в постановках = F на M +, = 0 на M +, = Ck на k, n = 0, k = 1, N, = 0, k = 1, N, = Ck на k, n k k ( M q ) 0;
( M q ) 0;
q q ) разрешимы в l2,0 ( M ) и притом единственным образом при любой ограниченной ) на и любом свободном члене F из l2,0 ( M + ).
Третья глава «Методы теории потенциала на графе ЭЦК», посвящена адаптации методов теории потенциала к задаче дифракции на графе ЭЦК, что позволило рассчитывать ЭЦК с бесконечным графом, решая конечномерное уравнение.
Устранимые узлы, при расчете токораспределения в цепи, изображенной на рис.6, исключаются, и поэтому под rqp понимается суммарное сопротивление ветви, соединяющей узлы M q и M p M, M – множество неустранимых узлов цепи (на рис.6 выделены светлыми кружками). Затем, исходя из первого закона Кирхгофа, ставится краевая задача r+ { ( p ) ( q )} 1 r + j ( q ), M q M J U M S, r ( q ) = M q (14) qp 0, M q M J U M S, ( q ) 0, (15) q в работе доказывается единственность решения последней краевой задачи. До перехода к вопросу о разрешимости (14), (15), находится подходящее представление ее решения, которое оказывается полезным и для вычисления последнего.
Используется фундаментальное решение R ( p, q ) уравнения Лапласа на, определенное условиями 1, q = p, R ( p, q ) = R ( p, p ) = 1, gradR 0 (1 ) (16) 0, q p, при фиксированном узле M p M (узел M p вынесен в б.у.у).
Дискретная функция R ( p, q ) в терминах ЭЦК имеет ясную физическую интерпретацию. А именно, на ЭЦК с единичными сопротивлениями ветвей рассматриваемого графа R ( p, q ) есть потенциал узла M q в условиях, когда в узел M p «впрыскивается» извне единичный ток, а потенциал последнего узла принимается равным единице по соображениям удобства.
Рассматривается дискретный аналог объемного потенциала уравнения Лапласа на графе. А именно, ( q ) = F ( p ) R ( p, q ). (17) M Прямая подстановка (17) в уравнение ( q ) = F ( q ), M q M, показывает, что последнее удовлетворяется. А если носитель M F функции F ( q ) имеет конечное число узлов и F (q) = 0, (18) MF то выполнится условие в б.у.у. В работе показывается, что правая часть уравнения (14) обладает свойством (18). Согласно изложенному функция r + ( q ) = R ( q, p ) { ( h ) ( p )} 1 + R ( q, k ) r + j ( k ), (19) r M ph MS Mp J M q M, M p M S, M h M p, M k M J, удовлетворяет всем условиям задачи (14), (15) и, следовательно, является представлением ее решения. После технически несложных преобразований это представление переписывается в виде r + ( q ) = ( p ) { R ( q, h ) R ( q, p )} 1 + R ( q, k ) r + j ( k ), (20) r M Mp ph MS J M q M, M p M S, M h M p, M k M J.
С другой стороны, сужение (20) на M S есть СЛАУ = A + B, (21) r+ где aqp = { R ( q, p ) R ( q, h )} 1, bq = R ( q, k ) r j ( k ), q, p = 1,2..dim ( M S ).
+ rph Mp MJ Поскольку матричный оператор СЛАУ конечномерен, то вопрос о ее разрешимости сводится к вопросу о единственности решения.
В работе показывается, что рассматриваемая задача и СЛАУ эквивалентны.
Следовательно, доказанная ранее единственность решения задачи (14), (15) обеспечивает единственность решения СЛАУ (21), а значит, и их разрешимость.
Таким образом, доказана Теорема 16 Решение задачи (14), (15) в C ( M ) (введенном для исследования внешних краевых задач) на правильном бесконечном графе существует, единственно и представимо в виде (19).
В случае кусочно-однородной изотропной среды представления (19), (20) существенно упрощаются и получается СЛАУ минимальной размерности.
В работе предлагается удобный способ вычисления фундаментального решения, состоящий в вычислении приближенных значений по рекуррентной формуле на основе теоремы о среднем для гармонических функций. Также предлагается способ (масштабирование) более детального рассмотрения поля в ответственных зонах расчетной области. Поскольку новые результаты расчета получаются более детальным описанием источников, расположенных в выделенном фрагменте, можно полагать, что точность расчета поля здесь увеличится.
Наиболее сложными и важными с точки зрения приложений являются нелинейные задачи. В работе рассматривается случай, когда гистерезис отсутствует, но материал сердечника обладает нелинейными свойствами. В работах Маергойза И. Д. рассмотрены несколько вариантов итерационного метода расчета поля в такой среде и обоснована их сходимость. Существенно, что оценки и неравенства из работ Маергойза И. Д., лежащие в обосновании сходимости, сохраняют силу и в том случае, если обновление по кривой намагничивания значений магнитной проницаемости выполнять не на каждом шаге уточнения решения СЛАУ. Это означает, что итерационный процесс может быть разделен на два подпроцесса. В первом из них магнитная проницаемость фиксирована и решается СЛАУ, во втором – по найденному с достаточной точностью решению СЛАУ выполняется коррекция значений магнитной проницаемости.
Отсюда следует ряд полезных выводов. Во-первых, медленно сходящиеся последовательные приближения при решении СЛАУ можно заменить значительно более быстрым алгоритмом метода исключения Гаусса. Во-вторых, способ получения самой СЛАУ не имеет принципиального значения, поэтому вместо использовавшегося в работе Маергойза И.Д. допустимо применение метода ЭЦК.
Для ускорения сходимости итерационного процесса, учитывающего нелинейность, предлагается алгоритм, использующий одновременно две формы материального уравнения в зависимости от степени насыщения. А именно, на слабо () насыщенных участках применять зависимость µ = µ B, а на сильно насыщенных – () µ = µ H. Способ использования этих зависимостей по кривой намагничивания представлен на рис.9.
B B( n) B( n +1) B( n 1) tg( ) = µ ( n) tg( ) = µ ( n) B n n B( n +1) B( n) B( n 1) ( n1) ( n+1) ( n) ( n+1) ( n) ( n1) H( n 1) H( n +1) H( n) H( n 1) H( n +1) 0 H( n) H H а) б) Рис. а), б) – соответственно, области сильного, слабого насыщения.
Причем, разделение магнитопровода на эти участки оказывается достаточным проделать по результатам первой итерации, которая выполняется при µ = const. Как показали численные эксперименты при нарушении указанной рекомендации наблюдается знакопеременный характер приращений магнитной проницаемости на каждом шаге итераций. Отметим также, что при пользовании ЭЦК, на каждом шаге нами рассчитываются одновременно H и B. При использовании указанного правила получим изменения магнитной проницаемости, показанные на рис.10, слева – в точке M 1, справа – в точке M 2 (см. рис. 11).
Четвертая глава «Программная реализация», посвящена созданному программному пакету, в ней приводится его краткое описание и внешний вид программных модулей. Отладка и контроль программного пакета и метода проводились на модельной задаче и сравнением с существующими пакетами программ по расчету стационарных магнитных полей. В качестве контрольного примера, предназначенного для отладки программного пакета, использовалась плоская квадратная область с магнитным диполем, висящим над ее центром на высоте, много меньшей длины стороны квадрата. В такой системе можно считать, что диполь висит над идеально проводящим полупространством. В такой постановке функцию потока индукции магнитного поля легко определить аналитически методом зеркальных отображений.
M M Рис.10 Рис. Рассчитанные с помощью программного пакета (на графике под номером 1) и аналитически (под номером 2) значения функции потока на верхней стороне прямоугольника изображены на рис.12. На участке, представленном на рис.12, полученные результаты зрительно не различимы. При численном решении использовалось разбиение верхней стороны на 440 элементов, при этом относительная невязка численного и аналитического решений, не превысила 1.01 %.
Рис.12 Рис.13 Рис. Также, количественный и качественный контроль созданного программного пакета, проводился с помощью широко известного конечно-элементного пакета FEMM 4.0. Полученные результаты сравнивались, как в случае кусочно-однородных сред, так и в случае нелинейности, относительная погрешность не превысила 4%.
На рис.13, для наглядной демонстрации масштабирования приведен расчет электромагнита и, слева направо, два шага масштабирования. Примеры расчетов, для области с малым зазором и нелинейной характеристикой материала, приведены на рис.14.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Развит метод ЭБ – математически строгого получения модели в виде ЭЦК. А именно, предложена оригинальная технология получения модели в виде бесконечной ЭЦК методом энергетического баланса. Предложен новый способ моделирования методом ЭБ, удобный при наличии источников поля в моделируемом объекте. Проведено сравнение методов получения схем замещения, традиционного и метода ЭБ. Рассмотрены типичные для практики электромагнитных расчетов варианты краевых задач, используемые при нахождении стационарного магнитного поля. Показано использование функции потока и потенциала в преобразовании задачи для магнитного поля на плоскости к ЭЦК.
2. На графах ЭЦК введен необходимый математический аппарат для формулирования и исследования аналогов классических краевых задач математической физики. А именно, введены скалярные и векторные функции, определены аналоги алгебраических операций и операций векторного анализа, поставлены и исследованы на корректность в евклидовых пространствах аналоги основных внутренних и внешних краевых задач математической физики для уравнений Лапласа-Пуассона.
3. Применительно к задаче дифракции на графе ЭЦК адаптированы методы теории потенциала позволяющие свести краевую задачу дифракции на графе к матричному уравнению минимальной размерности. Обоснована применимость метода последовательных приближений к его решению. Предложен способ получения фундаментального решения уравнения Лапласа и приведено представление дискретной функции на графе через фундаментальное решение.
4. Предложен оригинальный способ ускорения сходимости, пользованием двух форм материального уравнения в зависимости от степени насыщения, итерационного процесса, учитывающего нелинейность, обеспечивающий монотонность сходимости.
5. На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан пакет программ «KCNM», предназначенный для расчета стационарных и квазистационарных магнитных полей методом ЭЦК в неоднородных, анизотропных или нелинейных средах с комплексной проницаемостью.
Предусмотрена возможность масштабирования фрагмента области. Он может найти применение в электромашиностроении, трансформаторостроении, приборостроении, а также в вузах на специальностях «Прикладная математика», «Теоретическая электротехника», «Электромеханика» при выполнении курсовых и дипломных работ.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ По материалам диссертационного исследования лично и в соавторстве опубликовано 18 научных работ (общим объемом 5,5 печатных листа), в том числе одна в ведущем научном журнале, рекомендованном ВАК. В опубликованных научных работах достаточно полно отражены основные научные результаты.
Основные работы, опубликованные по теме диссертации:
Издания рекомендованные ВАК:
1. Байрамкулов К. Н.-А., Астахов В. И. Расчет магнитного поля в среде с неоднородными и анизотропными свойствами на основе электрической цепи Кирхгофа//Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - №1. - С. 3-11. (1.04/0.73) (вклад соискателя: технология получения ЭЦК как модели для среды, с неоднородными и анизотропными свойствами, несущей магнитное поле) Остальные:
2. Байрамкулов К.Н.-А., Астахов В.И. Расчет стационарного магнитного поля методом электрических цепей Кирхгофа//Студенческая научная весна – 2005:
Сб. науч. тр. аспирантов и студентов ЮРГТУ (НПИ)//Новочеркасск ЮРГТУ. 2005. - С. 234-236. (0.13/0.07) (вклад соискателя: разработка математической модели в виде ЭЦК и реализация алгоритмов вычислений) 3. Астахов В.И., Байрамкулов К. Н.-А. Внутренние краевые задачи на графе электрической цепи//Математические методы в физике, технике и экономике. Новочеркасск: Редакция журнала «Изв. вузов. Электромеханика», 2006. – С. 3 37. (1.99/1.69) (вклад соискателя: исследование внутренних и внешних краевых задач на графах ЭЦК) 4. Байрамкулов К.Н.-А., Астахов В.И. Решение задачи дифракции методом граничных уравнений на электрических сетках//Студенческая научная весна – 2006: Материалы 55-й науч. - техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск, 2006. – С. 98-100. (0.15/0.075) (вклад соискателя:
разработка математической модели в виде ЭЦК и реализация алгоритмов вычислений) 5. К.Н.-А. Байрамкулов, В.И. Астахов О масштабировании фрагмента области при расчете магнитного поля в кусочно-однородной среде методом теории цепей//Математическое моделирование и информационные технологии. Новочеркасск: Редакция журнала «Изв. вузов. Электромеханика», 2007. – С. 57 60. (0.22/0.18) (вклад соискателя: разработка математической модели в виде ЭЦК и реализация алгоритмов вычислений) 6. Байрамкулов К. Н.-А., Астахов В.И. Расчет магнитного поля методом граничных уравнений на графе электрической цепи//Труды Южного научного центра РАН. - Ростов-на-Дону: Изд. ЮНЦ РАН, 2007. - Т. 2. С. 72–79. (0.61/0.45) (вклад соискателя: разработка математической модели в виде ЭЦК и реализация алгоритмов вычислений) 7. Байрамкулов К.Н.-А. Математическое моделирование и расчет статических и стационарных полей методом граничных уравнений на графах электрических цепей// Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика.
Труды V Школы-семинара, Ростов-на-Дону, 18-21 декабря 2006, г. Ростов-на Дону: Изд. «ЦВВР», 2007. - С. 41–43. (0.18) 8. K. N.-A. Bayramkulov, V.I. Astakhov The method of the boundary equations in problems of computing static and stationary fields on the topological graph (Метод граничных уравнений в задачах расчета статических и стационарных полей на топологических графах)//52. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universitt Ilmenau, September 10 – 13. 2007. P. 169-170. (0.13/0.07) (вклад соискателя: разработка математической модели в виде ЭЦК и реализация алгоритмов вычислений) 9. K. N.-A. Bayramkulov Mathematical modeling and computing of static and stationary fields by a method of the boundary equations on columns of electric circuits(Математическое моделирование и расчет статических и стационарных полей методом граничных уравнений на электрических цепях)//LYAPUNOV MEMORIAL CONFERENCE. International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov: Book of abstracts. – Kharkiv: Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU. 2007. - P. 10-11.
(0.06) 10. K. N.-A. Bayramkulov The modeling of fragment of area with magnetic field by Kirchhoff electric circuit network (Моделирование электрической цепью Кирхгофа фрагмента области с полем)//Information Technology and Electrical Engineering – Devices and Systems, Materials and Technology for the Future: Internationales Wissenshaftiches Kolloquium, Germany, Ilmenau, 7-10 September 2009/Techniche Universitat Ilmenau. – Ilmenau, 2009. – P.195-196. (0.08) Личный вклад соискателя в работы, опубликованные в соавторстве, состоит в:
технологии получения ЭЦК как модели для среды, с неоднородными и анизотропными свойствами, несущей магнитное поле [1];
исследовании внутренних и внешних краевых задач на графах ЭЦК [3];
разработка математической модели в виде ЭЦК и реализация алгоритмов вычислений [2, 4, 5, 6, 8].
Байрамкулов Казим Нюрахматович Метод электрических цепей Кирхгофа в задачах расчета стационарных магнитных полей Автореферат Подписано в печать 21.05.2010.
Формат 6084 1/16 Бумага офсетная. Печать цифровая.