Исследование логарифмических по отношению масс частиц поправок к тонкому сдвигу sуровней энергии водородоподобных атомов

На правах рукописи

Клещевская Светлана Викторовна ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПО ОТНОШЕНИЮ МАСС ЧАСТИЦ ПОПРАВОК К ТОНКОМУ СДВИГУ SУРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМОВ 01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2004 2

Работа выполнена на кафедре теоретической и ядерной физики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Фаустов Рудольф Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Тюхтяев Юрий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Борисов Анатолий Викторович кандидат физико-математических наук Галкин Владимир Олегович

Ведущая организация: Институт Ядерных Исследований РАН, г. Москва

Защита состоится “_”2004 года в _ часов на заседании диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (119992, г. Москва, ГСП-2, Ленинские горы, дом 1, строение 2).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского госу дарственного университета.

Автореферат разослан “_” 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор Поляков П. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Исследование связанных состояний системы двух частиц принадлежат к тем фундаментальным научным направлениям, которые сохраняют актуаль ность на протяжении всего развития квантовой теории.

Существуют важные побудительные мотивы к расчету уровней энергии водородоподобных (ВП) атомов с возрастающей точностью.

Для прогресса фундаментальных исследований в физике элементарных частиц необходимы сведения о точных значениях важнейших физических кон стант – так называемых универсальных постоянных. Одним из важнейших кри териев истинности новых моделей взаимодействий является использование в них установленных на настоящий момент параметров элементарных частиц – их массы, заряда и т.п.

Актуальность исследований спектров энергии водородоподобных (ВП) атомов определяется еще двумя обстоятельствами.

Задача двух тел, имеющая фундаментальное значение для описания про цессов взаимодействия, полностью не решена в релятивистской механике и, как следствие, в теории квантовых полей.

Важнейший момент в выборе объекта исследований – возможность со гласования результатов теории и эксперимента. ВП атом – простейшая замкну тая система двух частиц – наиболее доступен как теоретическому изучению, так и прецизионным измерениям параметров на практике.

За последнее десятилетие было опубликовано около десятка обзоров с ана лизом и систематизацией результатов исследований ВП атомов. Одно из глав ных направлений, привлекших внимание авторов обзоров, – проблема тонкого сдвига уровней энергии ВП атомов.

К началу 90-х годов появились убедительные свидетельства подготовки эксперимента по прецизионному измерению величины тонкого сдвига 1S–2S уровней энергии в атоме мюония. В это же время были предприняты попытки, чтобы уточнить теоретическое значение величины тонкого сдвига S–уровней энергии ВП атомов.

Заметный интерес вызвали сообщения о логарифмическом вкладе 6µ ln 1 в известную величину сдвига ( – постоянная тонкой структуры, m1m µ – приведенная масса, m1 и m2 – массы легкой и тяжелой частиц соответст венно). Такая поправка действительно была обнаружена при анализе взаимо действий в аннигиляционном канале атома позитрония.

Большая величина логарифмических вкладов заставляет обратить на их ис следование особое внимание. В случае логарифмической зависимости имеем:

ln 1 4.92, ln 1 5.33, для мюония ln 1 7.52, для водорода где = m1 m2.

Об актуальности темы, заявленной в диссертации, свидетельствуют интен сивные экспериментальные и теоретические исследования уровней энергии во дородоподобных атомов.

В последние годы стало ясно, что повышение точности измерений величин сдвигов уровней энергии водородоподобных атомов с помощью радиочастот ных методов наталкивается на серьезные препятствия.

Новые перспективы уменьшения экспериментальных ошибок открывают методы бездоплеровской двухфотонной лазерной спектроскопии. Эти экспери менты позволяют с рекордной точностью определить значение такой фунда ментальной величины как постоянная Ридберга.

Интервал 1S1 2 2S1 2 измерен в настоящее время в атоме водорода с точно стью до десятка кГц:

v1LS 2 S = 2 466 061 413 187. 34 (84) кГц (1997 г.), v1LS 2 S = 2 466 061 413 187 103 (46) Гц (2000 г.).

Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стиму лирует развитие теоретических методов по прецизионному определению по правок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии.

Об актуальности данной работы также свидетельствует тот факт, что по правки к Р–уровням, известны сейчас с большей точностью, чем поправки к S– уровням.

Целью данной работы является анализ предыдущих результатов и расчет новых вкладов в сдвиг 1S–2S уровней энергии ВП атомов, пропорциональных ln [ m2 m1 ].

Для достижения этих целей решались следующие задачи:

– Анализ математического аппарата, используемого в исходных задачах на связанные состояния системы двух частиц в квазипотенциальном подходе.

– Выявление условий, при которых получаются новые логарифмические по m1 m2 поправки к S–уровням энергии водородоподобного атома.

– Развитие принципа разложения по степеням m1 m2 при исследовании по правок, содержащих ln m 2 m1.

– Расчет тонкой структуры и поправок к тонкому сдвигу уровней энергии с точностью до четвертого порядка по константе тонкой структуры.

– Исследование специфических эффектов отдачи в системе двух частиц с не равными массами.

– Анализ простейших однофотонных обменов.

– Исследование влияния движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома.

Научная новизна работы 1. В рамках метода квазипотенциала в диссертации разработана и применена техника расчетов логарифмических по m2 m1 вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов.

2. Выяснен предел применимости -приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом при вычислении вкладов пропорциональных ln m2 m1. Установлено, что все новые поправ ки такого рода получаются при использовании точных значений волновых функций S–состояний.

3. Впервые вычислена логарифмическая по параметру = m1 m2 поправка 5µ 2 ln 1 аналогичная вкладу, полученному еще в работе Фултона, m1m Мартина 1954 года.

4. Впервые доказано существование логарифмических по параметру отно шения масс частиц вкладов в тонкий сдвиг S–уровней энергии от про стейшего взаимодействия частиц путем обмена одним кулоновским фото ном.

5. Впервые показано, что при обмене одним поперечным фотоном компен 5µ 3 5µ 3 5µ 1 2 ln 1.

ln, ln, сируются вклады типа m1m2 m1m2 m1m 6. Проанализирован эффект запаздывания и его влияние на величину лога рифмического вклада по параметру = m1 m2.

7. При анализе логарифмических по m2 m1 поправок в шестом порядке по 6µ ln 1.

получены новые вклады порядка m1m Научная и практическая значимость работы Работа носит теоретический характер. Ее необходимость связана с потреб ностью интерпретации новых экспериментальных данных. Сравнение теории с новейшими экспериментальными данными спектроскопии сверхвысокого раз решения водородоподобных атомов позволит уточнить значение постоянной тонкой структуры, выражающейся через универсальные мировые константы.

Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стимули рует развитие теоретических методов по прецизионному определению попра вок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии. Исследование спектров водородоподобных атомов одна из тех областей, где фундаменталь ные и прикладные вопросы переплетаются чрезвычайно тесно. Так известно, что величина тонкого сдвига уровней энергии зависит от фундаментальной фи зической константы – постоянной Ридберга. Сравнение теоретического и экс периментального значения этой величины позволяет установить величину этой постоянной с наибольшей возможной на данный период времени точностью.

Работавшая под руководством специальной международной комиссии по уста новлению стандартных значений основных физических величин группа учёных (Mohr и др.) опубликовала свои заключения в 2000 г. Среди работ, на которые ссылались учёные при обосновании своих рекомендаций по принятию совре менного значения постоянной Ридберга, значится и наша работа 1998 года.

В свою очередь эта постоянная даёт сведения о константе электромагнит ного действия. Известно, что в электрослабой теории константа слабого взаи модействия выражается через постоянную тонкой структуры, как и константа сильного взаимодействия в теориях великого объединения. Выбор теоретиче ских моделей сильных взаимодействий во многом определяется значением кон станты электромагнитного взаимодействия.

Ожидаемые результаты важны для практических приложений, например в метрологии.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов для расчета, обработки и анализа полученных данных. Достоверность также подтверждается согласием полученных результа тов с экспериментальными данными.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту 1. Существование логарифмических по параметру отношения масс частиц вкладов в тонкий сдвиг S–уровней энергии от простейшего взаимодейст вия частиц путём обмена кулоновским фотоном.

2. Новые логарифмические по параметру отношения масс частиц вклады порядка 5.

5µ ln 1 при однофотонном обмене.

3. Компенсация вкладов порядка m1m 4. Возникновение логарифмических по параметру вкладов в случае ис пользования при вычислениях -приближения кулоновских волновых функций.

5. Численные оценки обнаруженных логарифмических вкладов и сравнение полученных величин сдвигов с последними данными теории и экспери мента.

Личный вклад соискателя Все основные результаты диссертации получены автором лично или в со авторстве. Большая часть задач, решенных в диссертации, была предложена на учными руководителями д.ф.-м. н., проф. Ю.Н. Тюхтяевым и д.ф.-м. н., проф.

Р.Н. Фаустовым. Большая часть из представленных в работе сложных матема тических расчетов также получена самостоятельно.

Апробация работы Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсужда лись на следующих, в том числе и международных, научных конференциях:

Saratov Fall Meeting: Workshop on Spectroscopy and Molecular Modeling II, Sara tov, Russia (October, 2001, 2003);

Сессия-конференция "Физика фундаменталь ных взаимодействий", Москва, Россия (2–6 декабря, 2002);

International Seminar “Selected Problems of Modern Physics”, Saratov, Russia (June 16–18, 2003);

XVIIth International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field Theory, Samara Saratov, Russia (September 4–11, 2003).

Публикации По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 5 в реферируемых из даниях.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключе ния и двух приложений. Работа изложена на 121 страницах, содержит 17 ри сунков, 4 таблицы и список литературы из 51 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, её новизна и практическая значимость, определена цель работы, описан и выбран как наиболее эффективный для прецизионных расчётов уровней энергии водо родоподобных атомов квазипотенциальный подход.

Известно, что в нерелятивистской квантовой механике задача двух тел сво дится к двум более простым: о равномерном движении центра масс и движении частицы с приведённой массой в потенциальном поле. В релятивистском слу чае явное отделение движения центра масс и введение потенциала невозможно, так как само определение координат центра масс носит нерелятивистский ха рактер. Поэтому задачи о связанных состояниях двух тел и о связанных состоя ниях частицы во внешнем поле оказываются различными, не сводимыми друг к другу.

Несмотря на то, что уравнение Дирака для теории связанных состояний имело этапный характер (одно лишь предсказание существования тонкой структуры уровней энергии говорит о многом), оказалось, что с его помощью можно решать только задачи о частице, движущейся во внешнем поле.

Дираковская теория получила важное развитие с введением понятия о пол ной одночастичной функции Грина G ( z, y ) = S c ( z y ) e k dx U k ( x) S c ( z x)G ( x, y ) + + dxdx S c ( z x) M ( x, x)G ( x, y ), (1) где U k представляет собой потенциал внешнего поля Aext, сложенный с эф фективным средним потенциалом поля, «индуцированного» в вакууме, S c функция Грина свободного электрона, M массовый оператор, D фотонная функция Грина Dmn ( z, y ) = g mn D0 ( z y ) dxd D0 ( z x) Pm ( x, ) Dkn (, y ), c c k (2) c D0 функция Грина свободного фотона, Р оператор поляризации.

Определения массы и функции распространения оказались дополненными и обобщёнными в результате описания взаимодействия частиц с собственными полями с помощью массового и поляризационных операторов.

Использование полной одночастичной функции Грина позволяет записать уравнение Дирака с радиационными поправками ) ) i + eAext ( x) m ( x ) x ie 2 k ( x ) dydDkn ( x y )Sp[S c ( y ) m S c ( y ) n ]eAm ( ) + c ext + ie 2 dy k S c ( x, y | Aext ) l Dlk ( y x) ( y ) = 0.

c (3) Здесь S c ( x, y | Aext ) функция Грина классического электрона, движущегося в заданном внешнем поле Aext, которая представляется суммой диаграмм с дву мя внешними электронными линиями и любым числом внешних фотонных ли ний, соответствующих заданному полю Aext.

На основе уравнения Дирака (3) можно поставить задачу о тонком сдвиге уровней энергии и вычислить радиационные поправки, отвечающих взаимодей ствию частицы с собственным электромагнитным полем.

Подходы, основанные на использовании полной одночастичной функции Грина, позволяют, также как и метод эффективного уравнения Дирака, решать задачу о связанных состояниях двух частиц в приближении внешнего поля. Од нако для полного решения релятивистской задачи об уровнях энергии водоро доподобных атомов необходимо оперировать с полной двухчастичной функци ей Грина, в которую кроме поляризационного и массового операторов входит оператор взаимодействия частиц.

Уравнение для полной двухчастичной функции Грина было впервые пред ложено Бете и Солпитером. Несмотря на фундаментальность основанного на этом уравнении метода решения задач на связанные состояния двух частиц, существует ряд недостатков, затрудняющих его использование, и, прежде все го, наличие лишённого физического смысла относительного времени.

В этой связи более оправданным является применение в релятивистской теории связанных состояний формализма трёхмерных уравнений, среди кото рых особое место занимает квазипотенциальный подход.

Этот метод позволяет совмещать простоту и наглядность трёхмерного опи сания нерелятивистской квантовой механики с ковариантным аппаратом кван товой теории поля.

Квазипотенциальный подход универсален и одинаково точно описывает как системы частиц с одинаковыми, так и с различными массами.

В первой главе анализируется квазипотенциальное уравнение и его про стейшие применения.

В первом параграфе первой главы ставится задача об уровнях энергии в квазипотенциальном подходе. Для системы двух заряженных частиц со спином одна вторая имеем ( 1 p 2 p )E ( p ) = (2 )3 V ( p, q;

) (q )d 3q, r rr r (4) r где Е – собственное значение полной энергии, ( p ) – соответствующая соб r ственная функция, ip = p 2 + mi2, mi – масса i-й частицы водородоподобного атома.

rr Квазипотенциал V ( p, q;

) в большинстве задач может быть выражен через амплитуду рассеяния Т+ V = + (1 + F + ) 1, (5) где F = (2 ) ( p q )( 1 p 2 p ), операция (...) + = u1 u 2 10 20 (...) u1u 2 озна rr 3 ** чает проектирование на состояния с положительными энергиями, rr rr T ( p, q ;

E ) = T ( p, q, p0, q0 ;

E ) p = q = 0.

0 В случае разложения амплитуды рассеяния + в ряд теории возмущений по степеням постоянной тонкой структуры ( 2) ( 4) + = + + +. (6) Подставив (5) в выражение (4), получаем V = + ( 2) + + ( 4) + ( 2) F + ( 2) +....

r r Обычно для связанных состояний полагают p 2 mi2, q 2 mi2. В этих условиях основное квазипотенциальное уравнение (4) переходит в уравнение типа Шредингера r p2 r rr r ( p ) = (2 )3 V ( p, q ;

) (q )d 3 q, W (7) 2µ где W = m1 m2 энергия связи системы, µ приведённая масса.

Выделяя кулоновское взаимодействие, как основное при электромагнитных взаимодействиях частиц, и решая (7) по теории возмущений, находим mm V ( 2 ) E En = n V ( 2) + V ( 4) + V ( 2) n, (8) n Em m n где V ( 2) = T+( 2) vC, n, m собственные функции уравнения (8) с куло новским потенциалом, соответствующие значениям энергии Еn и Еm.

Анализ решения задачи о сверхтонком расщеплении приводит к выводу о rr возможности построения квазипотенциала V ( p, q;

) через амплитуду рассея ния Т на массовой поверхности. Это связано с тем, что в специфическом случае r r p 0, q 0 условие r r r r 2 2 2 p 2 + m1 + p 2 + m2 = q 2 + m1 + q 2 + m2 = выполняется.

В самом деле, можно показать, что с точностью до 5 можно использовать -приближения кулоновских волновых функций r r C ( p ) = ( 2 ) 3 2 C (0) ( p ) при расчётах сверхтонкого расщепления и тонкого сдвига уровней энергии в высокочастотной области виртуального импульса.

Однако при прецизионных вычислениях амплитуду T (0, 0;

m1, m2 ) исполь зовать нельзя.

Во втором параграфе первой главы показано, что вычисление тонкой структуры уровней энергии возможно лишь при построении квазипотенциала rr r r через амплитуду рассеяния T ( p, q;

E ), где p 0, q 0.

При этом квазипотенциал в низшем приближении и кулоновской калиб ровке имеет вид V = ( 2 ) + = ( C ) + + ( ) + (9) и соответствует диаграмме однофотонного обмена. Индексы С и Т означают обмен кулоновским и поперечным фотоном соответственно.

Во втором параграфе первой главы идёт речь о двух способах вычисления тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов, приводящих к одному и тому же результату.

В первом способе, выделяя ядро Брейта из квазипотенциала V путём раз r ложения по степеням величины p 2 mi2 и преобразуя соответствующим обра зом радикалы в левой части уравнения (4), находим Vfs = Vkin + Vµ + V pµ, (10) r r p4 3 p4 rr = 3 (2 ) 3 3 ( p q ), где Vkin (11) 8µ 8m12 m e2 1 2 + 2, Vµ = (12) 8 m1 m rr e 2 q 2 p 2 ( pq ) = V pµ. (13) rr m1m2 ( p q ) Решение квазипотенциального уравнения (4) с учётом (10) даёт поправку к уровням энергии, зависящую от отношения масс частиц, порядка ( Z ) µ ( Z ) 2 µ ( Z ) 4 µ 1 j + 1 2 4n 4n( m + m ), nj = (m1 + m2 ) + (14) 2n 2 2n 3 где Z – заряд ядра, j – внутреннее квантовое число, п – главное квантовое чис ло.

В диссертации предлагается отказаться от разложения радикалов ip и r нормировочных множителей N mi p по степеням p 2 mi2 :

p2 p4 p2 p 1 + +..., ip mi 1 +....

N mi p (15) 2 8mi2 128mi 2mi 8mi Применимость разложения (15) ограничена, поскольку на определённом этапе возникают расходимости при больших значениях импульсов.

Исходя из этого, необходимо при прецизионных расчётах использовать не разложения величин ip и N mi p, а их представления в виде тождеств типа p2 p 1 +, ip = mi =1.

N mi p mi ( ip + mi ) 2 ip ( ip + mi )(1 + N mi p ) Следует отметить, что при вычислении вклада, имеющего порядок 4, оба подхода приводят к одинаковым результатам. Но в предложенном в диссерта ции способе появляются дополнительные слагаемые, исчезающие при исполь r зовании как разложения по степеням p 2 mi2, так и -приближения кулоновских волновых функций.

Вторая глава посвящена исследованию эффектов отдачи в системе двух частиц с неравными массами.

В первом параграфе обсуждается вопрос о различии подходов к обнаруже нию поправок ln 1 с одной стороны и ln 1 с другой. Показано, что при рас чёте вкладов, содержащих ln 1, возможно использование приближений ip mi, iq mi, i = 1, 2. В то же время, для появления величин ln 1 в рас считываемых интегралах, отвечающих взаимодействиям частиц, должны удер живаться оба радикала ip mi, iq mi.

В статье Бодвина и Йенни1 приведены в общем виде интегралы, исследуе мые при расчёте вкладов пропорциональных ln 1, [ ] rr rr rr p 2 p 2 ;

p 4 ;

p 2 ( p p ) 2 ;

( p p) d pd p ( p 2 + 2 ) 2 ( p p) 2 ( p2 + 2 ) 2, 3 = µ. (16) rr Важно, что оговаривается возможная расходимость этих интегралов, по скольку опущены факторы, не зависящие от параметра.

Показано, что логарифмический по вклад в структуру уровней энергии обуславливает единственный из группы интегралов (16), который более точно выписан и исследован в статье Бойковой и др.2, Bodwin G.T., Yenie D.R. Hyperfine Splitting in Positronium and Muonium // Physics Reports (Section C of Physics Letters). 1978. Vol. 43. P. 267303.

Бойкова Н.А., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Поправки к сверхтонкому расщеплению основного уровня мюония относительного порядка (me/mµ)2 ln // Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля.

Протвино. 1983. Т. 1. С. 116127.

d3p d 3 p 4 4 ( p 2 + 2 µ 2 ) ( p2 + 2 µ 2 )( p p) 2 m1m2 ln. (17) rr 1p 2 p Бодвин и Йенни в своей статье1 справедливо указывают, что точный вид опущенных в (16) факторов, обеспечивающих сходимость, не изменяет величи ны логарифмического по константе тонкой структуры вклада.

Действительно, dp p dp p ~ ln 3 ~ 2 2 1 p ( p 3 2 + µ ) + µ ) 2p(p и не содержит ln 1.

В то же время доскональный учёт подынтегральных функций, зависящих от т1 и т2, необходим при расчёте логарифмического вклада, пропорциональ ного ln 1.

В этой связи необходимо отметить, что другой интеграл из группы (16) при восстановлении точных значений радикалов может быть записан в виде d 3 p d 3 p p J =. (18) ( p 2 + 2 µ 2 ) 2 1 p 2 p ( p 2 + 2 µ 2 ) 2 1 p 2 p Поправок к уровням энергии, пропорциональных ln 1, он не вносит, но даёт вклады порядка 5 и содержит величину 4 3 4 3 dp p 1 ( p 2 + 2 µ 2 ) 2 µ m m 2 ln.

J = µ m1m2 0 1 p 2 p Таким образом, радикалы можно опускать только в том случае, когда ве дётся расчёт поправок ln 1, и необходимо сохранять при расчёте ln 1.

Отметим в заключение, что ни один из интегралов (16) не может быть ре шён с помощью -приближения кулоновских волновых функций.

Кроме того, приведённый выше анализ интегралов показывает, что новые логарифмические вклады по параметру = m1 m2 появляется при исследова ниях связанных состояний любыми известными методами. Квазипотенциаль ный метод не является в этом смысле исключением.

Учёт радикалов означает релятивистский характер поправок ln 1. Поэто му необходимо обратиться к общим релятивистским методам исследования спектров водородоподобных атомов.

Введение двухвременной функции Грина двух частиц позволяет записать для состояния с собственным значением энергии Е уравнение + (GE ) 1 = 0. (19) Поскольку из уравнения Швингера следует разнообразные представления полной функции Грина двух частиц, то можно использовать равенства G = G0 + G0 K BSG (20) ~ G = GC + GC KG, или (21) GC = G0 + G0 K CGC, где (22) ~ = BS C, C = vC 10 20, vC кулоновский потенциал.

Построение квазипотенциала на основе (20) приводит к выражению 0 + 0 = F 1 G0G0 F 1, V=, (23) 1 + F используемому в (4).

Уравнение же (22) даёт возможность выразить потенциал через амплитуду C C + + + C = (GC ) 1 GCGC (GC ) 1.

V=, + 1 + GC C В теории возмущений, основанной на использовании амплитуды Т, квази потенциал принимает вид V = V ( 2) + V ( 4), (24) + где V ( 2) = ( ) 0 F, + + + + + + V ( 4) = ( C G0 ) 0 F ( C ) 0 F F ( ) 0 F + ( G0 C ) 0 F ( ) 0 F F ( C ) 0 F.

Таким образом, итерации, улучшающие сходимость ряда теории возмуще ний, возникают во втором порядке разложения квазипотенциала.

При построении квазипотенциала с помощью амплитуды C уже в первом порядке каждая приводимая диаграмма входит с соответствующей итерацией.

Это позволяет учитывать многократный обмен кулоновскими фотонами в не приводимых диаграммах.

Во втором параграфе второй главы продолжается анализ выражения квази потенциала, соответствующего однофотонному взаимодействию частиц.

Вначале рассматривается кулоновскую часть взаимодействия (слагаемые, отвечающие за сверхтонкий сдвиг, опущены).

rr rr pq pq r r r EC = C ( p ) ( C ) + vC C (q ) = C ( p ) vC N p N q 1 + + + 1 p 1q 2 p 2 q rr ( pq ) 2 r vC C ( q ), + (25) 1 p M 1q M 2 p M 2 q где M ir = ir + mi, r r r 2 + m1 + m r 2 + m2 + m N r = N m1r N m2 r = – произведение норми r r 2 r 2 + m12 2 r + m r rr ровочных множителей дираковских биспиноров, r = p, q.

r Для простоты C ( p ) – кулоновская волновая функция, отвечающая 1S со стоянию, 3µ 8µ C (0) r (2 ) 3 2, C ( p) = r 2 | C (0) | =, (26) 2 (p + µ ) для состояний nS величина тонкого сдвига уменьшается в n 3 раз.

Остановимся более подробно на первом и последнем слагаемых (25), кото рое представим в виде r r r r C ( p) vC N p N q vC C (q ) = C ( p) vC [1 (1 N p )][1 (1 N q )] C (q ) = r r = C ( p) vC (1 N p ) vC (1 N q ) + vC (1 N p )(1 N q ) C (q ). (27) Оценка последнего слагаемого в (27) приводит нас к стандартному интегралу (17). Согласно последним данным такого рода поправки компенсируются в сумме диаграмм, и это слагаемое можно исключить из дальнейшего рассмотре ния.

После этого в выражении (27) можно использовать симметрию по пере rr менным p и q r r r r C ( p) vC N p N q vC C (q ) C ( p) 2vC (1 N p ) C (q ). (28) Перейдём в рассматриваемом нами выражении (28) к безразмерным вели чинам, т.е. посредством замен p = pm2, q = qm2, тогда 8 6µ 5 d 3q d3p r r m2 ( q 2 + 2 ) 2 ( p 2 + 2 ) 2 ( p q ) 2 C ( p ) vC (1 N p ) C (q ) = 4 rr [(1 N1 p ) + (1 N p ) (1 N1 p )(1 N p )] = 32 5 µ 3 2 dp p m1m2 1 + ( p 2 + 2 ) = [(1 N1 p ) + (1 N p ) (1 N1 p )(1 N p )], (29) p2 + 2 + p2 +1 + где = (1 + ), N p =, N1 p =. (30) 2 p2 + 2 2 p2 + Преобразуя подынтегральную функцию с помощью тождества p2 p 1 N1 p = + + 2 2 2 2 4 p + 1( p + 1 + 1) 32( p + 1)( p + 1 + 1) p 6 (3 + N1 p ) +, (31) 2 32 2 3 64( p + 1) ( p + 1 + 1) (1 + N1 p ) легко прийти к следующим выводам.

1) Первые два слагаемых из (29) имеют лидирующий порядок 4 и вкла дов, содержащих ln 1, в тонкий сдвиг не вносят.

2) Используя в этих интегралах разложения (15) и возвращаясь к размер ным импульсам, вновь получаем следующий результат r e2 1 1 4µ 3 1 ~ r r r EC ( ) = C ( p ) ( K C ) + vC C (q ) = C ( p ) 2 + 2 C (q ) = 2 + 2.

m 2 1 m m 8 1 m2 Отметим только, что при использовании точных значений этих слагаемых возникают дополнительные поправки, содержащие целочисленные степени па раметров и.

Содержащие ln m2 m1 поправки к тонкой структуре уровней энергии могут быть выделены только из следующего интеграла ~ ln r r EC = C ( p ) 2vC (1 N m1 p )(1 N m 2 p ) C (q ) = dp p 32 5 µ 3 ( p 2 + 2 ) 3 (1 N p )(1 N1 p ).

= (32) m1m2 1 + Подставив вместо величины 1 N1 p её представление (31) и вычислив по лученные интегралы, получаем, что новый логарифмический по отношению масс частиц вклад от обмена одним кулоновским фотоном равен 11 5 µ 3 ~ ln ln 1.

EC = (33) 8 2 m1m2 1 + Наиболее вероятная возможность компенсирования этой поправки, связан ная с анализом обмена одним поперечным фотоном, не реализуется.

Рассмотренные нами вычисления указывают на достоверность вывода об окончательном характере полученного в данном параграфе сдвига ~ ln 5 µ 3 ln 1.

EC ~ m1m2 1 + В третьей главе посредством модифицированной амплитуды рассеяния изучается взаимодействие частиц при обмене одним поперечным фотоном. В первом параграфе третьей главы вклад в сдвиг S–уровней энергии от обмена одним поперечным фотоном, вычисляемый с помощью амплитуды рассеяния 0, записан с учетом релятивистскую модификацию кулоновской волновой функции + = C ( ) 0 F C. (34) В этом параграфе показано, что эффект запаздывания в данной диаграмме уменьшает величину логарифмического по отношению масс частиц вклада в пятом порядке по константе тонкой структуры в два раза, т.е. можно использо вать при расчетах поправок порядка 5 ln 1 приближение 1 ~ r r. (35) rr | p q | + 1 p 1 + 2 q 2 2 | p q | Таким образом, прецизионный расчет величины (34) и учет приближения (35) позволяет нам записать следующее выражение:

rr d 3 q q N q 4( pq ) d 3 p p N p 1 1 r r 2 + = 4 µ 2 6 + ( p + 2 µ 2 ) 2 (q 2 + 2 µ 2 ) 2 ( p q ) M 1q M 2 q M 1q M 2 p 2 22 1 + ( pr q ) 1 p + + r M 1q M 2 q ( p q ) ( 1 p + 1q )( 2 p + 2 q ) M 1 p M 2 p M 1q M 2 p ( p2 q 2 )2 p 2q 1 2 + 2q 2 + + r r4 + M M MMMM ( p q) 1 p 1q M 2 p M 2 q 2q 1p 1q 2p, (36) ( 1 p + 1q )( 2 p + 2 q ) где p = M 1 p M 2 p ( M 1 p + M 2 p ).

5µ 3 5µ 3 5µ ln 1, ln 1, 2 ln 1, возникающие Поправки типа m1m2 m1m2 m1m при прецизионном расчете выражения (36), выписаны в таблице 1.

Таблица 1.

T Диаграмма 5µ 3 1 1 ln 2 2 m1m2 0 0 0 5µ 3 9 9 4 ln 4 2 4 2 2 2 m1m2 0 0 5µ 3 145 145 4 1 2 ln 2 64 2 64 2 32 m1m2 0 Итак, из таблицы 1 следует, что никаких новых логарифмических по отно шению масс частиц вкладов, имеющих порядок 5, от обмена одним попереч ным фотоном не найдено.

Во втором параграфе третьей главы продолжен анализ обмена одним попе речным фотоном. Оказывается, что новые логарифмические по отношению масс частиц поправки возникают лишь в шестом порядке по константе тонкой структуры.

В этом параграфе проведен детальный расчет поправок, имеющих порядок 6µ 3 6µ 3 6µ 1 ln 1, ln ln. Получены новые вклады порядка и m1m2 m1m m1m 6µ ln 2 1, который был известен ранее. При расче подтвержден результат m1m тах было выяснено, что эффект запаздывания не влияет на величину поправки 6µ 3 6µ 3 4 ln ln 2 1 и уменьшает величину вклада ln 1 на.

m1m m1m Величина сдвига 1S–2S уровня энергии водородоподобного атома, опреде ленная в этом параграфе, равна ET (1S 2S ) = 7 6µ 3 1 (1 + 2 2 ) ln(1 + 2 ) + 2 ln 2 + ln 1 ln 1.

= 1+ 8 m1m2 (1 + ) 3 2 В четвертой главе анализируется влияние движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома.

В первом параграфе четвертой главы исследованы последовательные обме ны кулоновским и поперечным фотонами между частицами водородоподобного атома.

Лидирующий вклад от фейнмановской диаграммы с параллельными фо тонными линиями, отвечающей обмену одним кулоновским и поперечным фо тонами, может быть представлен в виде d 3 q q N q 7 µ 5 d p p N p d 3k 6 2 2 2 2 2 ++ par = ( p + µ ) (q + µ ) k p k q (k q + 1k E1 + 2 q E2 ) 2 2 2 2 (k 2 q 2 ) 2 M 1k M 2 k MM + q 2 1k 2 k + k r r k q + 2k E2 + 1q E1 (k q ) ( 1k + 1q )( 2 k + 2 q ) M 1q M 2 q rr M (k 2 q 2 ) 2 M 1k M + (k q ) 1k + 2 k r r 2 (k q ) M 2 q ( 1k + 1q )( 2 k + 2 q ) M 1q M 2 q (k 2 q 2 ) 2 M 2 k r r2. (37) + 1k 2 k (k q ) M 1q ( 1k + 1q )( 2 k + 2 q ) Интегрирование величины ( ) rr k2 M 1k M 2 k k2 k 2 q2 + = ( pk ) + r r ( 1k + 1q )( 2k + 2q ) M 2 p + M 1 p ( ) M 1 p M 1k M 2 p M 2 k k q p2k + M 1 p M 2 p M 1k M 2 k к появлению искомых логарифмических вкладов не приводит.

В таблицу 2, суммирующую результаты проведённых в этом параграфе вычислений, включена вся необходимая для анализа совокупность интегралов (37) независимо от того, содержат или не содержат они логарифмические по вклады.

В таблице 2 приводятся поправки от процесса последовательного обмена кулоновским и поперечным фотонами в обобщённом виде, полученные в при ближении мгновенного взаимодействия частиц. Отличные от нуля в приближении волновых функций вклады в таблице 2 помечены звёздочкой.

Таблица Диаграмма ++ par 5µ 3 22 2 ln m1 m2 0 0 0 0 0 5µ 3 2 1 1 72 72 ln + 8 4 m1 m2 0 0 Эффект запаздывания, как показано далее в этом параграфе, уменьшает значение найденной новой логарифмической по отношению масс частиц по правки в 3 4 раза.

Следовательно, при расчёте фейнмановской диаграммы с параллельными фотонными линиями, отвечающей обмену одним кулоновским и поперечным фотонами, возникает вклад 3 2 5µ 3 ln 1.

par = 16 m1 m Во втором параграфе четвертой главы анализируются более подробно вклады от двухфотонных диаграмм с обменом одним поперечным фотоном в низшем приближении. Рассматриваются логарифмические по константе тонкой структуры вклады в тонкий сдвиг уровней энергии, исчезающие в пределе m 2 m1.

Показано, что логарифмические по отношению масс частиц вклады, яв ляющиеся основной задачей нашего исследования, при анализе диаграммы с перекрестными кулоновской и поперечной фотонными линиями возникают лишь в шестом порядке по константе тонкой структуры и пропорциональны 6µ 2 ln 2 1.

m1m В заключении диссертации перечислены основные результаты и выводы.

В приложениях 1 и 2 вычислена матричная структура для диаграмм с па раллельными и перекрестными кулоновской и поперечной фотонными линия ми соответственно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. В рамках метода квазипотенциала в диссертации разработана и применена техника расчетов логарифмических по m2 m1 вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов.

2. Выяснен предел применимости -приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом при вычислении вкла дов пропорциональных ln m2 m1. Все новые поправки такого рода полу чаются при использовании точных значений волновых функций S– состояний.

3. Вычисление вкладов от однофотонных обменов даже в низших порядках r по невозможно без использования точных значений функций C n ( p ).

При прецизионном исследовании обмена одним кулоновским фотоном между частицами установлено новое значение величины вклада порядка 5µ 3 ln 1.

m1m 4. Исследование обмена поперечным фотоном показало взаимное уничтоже 5µ 3 5µ 3 5µ ln 1, ln 1, 2 ln 1. Это обстоятель ние поправок m1m2 m1m2 m1m ство с учетом вклада от обмена одним кулоновским фотоном приводит к достоверности вывода о существовании новых вкладов ln m2 m1 в пятом порядке по константе тонкой структуры.

5. Проанализировано влияние эффекта запаздывания на величину вклада.

Установлено, что для пятого порядка по константе тонкой структуры ве личина вклада уменьшается в однофотонной диаграмме в два раза, в па 6µ ln 2 1 в одно раллельной двухфотонной – в 3 4 раза. Результат m1m 6µ ln фотонной диаграмме остается без изменений, а поправка m1m 4 ln уменьшается на величину.

2n 6. При анализе логарифмических по m2 m1 поправок в шестом порядке по 6µ ln 1.

получены новые вклады порядка m1m Список работ, опубликованных по теме диссертации 1. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н. О влиянии эффектов отда чи на тонкую структуру уровней энергии мюония // Проблемы современ ной физики. К 90-летию Саратовского государственного университета и 40-летию сотрудничества ОИЯИ-СГУ. ОИЯИ, D2-99-263, Дубна, 1999.

С. 96104.

2. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Логарифми ческие по m1/m2 поправки к величине тонкого сдвига Sуровней энергии в атоме мюония // ЯФ. 2001. № 8. С. 14371441.

3. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N., Faustov R.N. Loga rithmic corrections in m1/m2 to the fine shift of the S-wave energy levels in the muonium atom // Phys. At. Nucl. 2001. Vol. 64. №8. P. 13591363.

4. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N. Precision calculations to the fine shift of Slevels in the muonium atom // Saratov Fall Meeting’2001.

Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling II / Edi tors: Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE.

2002. Vol. 4706. P. 150154.

5. Boikova N.A., Kleshchevskaya S.V., Nyun’ko N.E, Tyukhtyaev Yu.N. New approach to the investigation of logarithmic in m1/m2 corrections to the fine shift of energy levels in hydrogen-like atoms // Saratov Fall Meeting’2001. Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling II / Editors:

Vladimir L. Derbov, Leonid A. Melnikov, Lev M. Babkov. Proc. SPIE. 2002.

Vol. 4706. P. 187191.

6. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н. Прецизионные расчёты ве личины тонкого сдвига S-уровней атома мюония // Проблемы оптической физики. Материалы 5-й Международной молодежной научной школы по оптике, лазерной физике и биофизике, Саратов, 2–5 октября 2001, под ред.

Л. М. Бабкова (ГосУНЦ «Колледж», Саратов, 2002). Саратов. 2002.

С. 98105.

7. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н. Новый под ход к исследованию логарифмических по m1/m2 поправок в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов // Проблемы оптической фи зики. Материалы 5-й Международной молодежной научной школы по оп тике, лазерной физике и биофизике, Саратов, 2–5 октября 2001, под ред. Л.

М. Бабкова (ГосУНЦ «Колледж», Саратов, 2002). Саратов. 2002. С.

105111.

8. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Исследование логарифмических по отношению масс электрона и мюона вкладов в сдвиг S уровней энергии мюония // ЯФ. – 2003. №5. С. 925933.

9. Boikova N.A, Kleshchevskaya S.V., Tyukhtyaev Yu.N., Faustov R.N. Investiga tion of logarithmic contributions in the electron-to-muon mass ratio to the shift of the S energy levels in the muonium atom // Phys. At. Nucl. 2003. Vol. 66.

№5. P. 893901.

10. Бойкова Н.А., Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. К вопросу о логарифмических по отношению масс частиц вкладов в тонкий сдвиг S уровней энергии водородоподобных атомов в пятом порядке по константе тонкой структуры // ЯФ. – 2004. №3. С. 548556.