Решение обратных задач теории переноса частиц и излучения для исследования многослойных структур
На правах рукописи
Ефременко Дмитрий Сергеевич РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ И ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР Специальность 01.04.04 – Физическая электроника
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва – 2011
Работа выполнена в Московском энергетическом институте (Техническом университете) на кафедре Общей физики и ядерного синтеза : доктор физико-математических наук,
Научный консультант:
доцент Афанасьев Виктор Петрович : доктор физико-математических наук,
Официальные оппоненты:
профессор Борисов Анатолий Михайлович кандидат физико-математических наук Каштанов Павел Владимирович НИЦ «Курчатовский институт»
Ведущая организация:
Защита состоится «6» октября 2011 года в 15-30 на заседании диссерта ционного совета Д 501.001.66 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Физический факультет МГУ, ауд. СФА.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факуль тета МГУ имени М.В.Ломоносова.
Автореферат разослан «_» сентября 2011 года
Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.66, кандидат физико-математических наук И.Н.Карташов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы Решение задачи о взаимодействии ускоренных потоков электронов и ио нов с твердым телом представляет большой интерес как для технологических приложений, так и для методов исследования поверхности. В связи с развити ем нанотехнологий и технологий атомарного разрешения возникает проблема особо точного выполнения компонентного и послойного анализа состава ма териалов. Для этого необходимы новые методы исследования и уточнение традиционных методов (Оже-спектроскопии, спектроскопии характеристиче ских потерь энергии (ХПЭ) и других). Задачи, возникающие в связи с этой проблемой, базируются на исследовании взаимодействия ускоренных потоков частиц с материалами. Последовательное описание данного круга явлений ос новывается на кинетических уравнениях, для решения которых необходимо знание сечений рассеяния электронов и ионов в твердом теле. Поскольку се чение упругого рассеяния практически не зависит от того, в связанном или свободном состоянии находится рассеивающий атом, имеется большое число надежных данных по сечениям упругого рассеяния [1, 2]. Процесс неупругого рассеяния, знание о котором необходимо для расчета потерь энергии электро нов и ионов, определяется электронной структурой твердого тела. В настоя щее время надежно известен первый момент сечения неупругого рассеяния – средняя длина неупругого пробега (inelastic mean free path - lin) благодаря ра ботам С.Танумы, С.Пауэла и Д.Пенна (Tanuma, Powell, Penn) [3]. В последние годы ведется работа по определению второго момента сечения [4, 5]. С помо щью этих двух параметров можно описать энергетический спектр ионов, про шедших через слой вещества, толщина которого значительно превышает lin.
Как показал Л.Д.Ландау [6], задача о потерях энергии в твердом теле должна базироваться на подробном знании дифференциального по потерям энергии сечения неупругого рассеяния. Апробированных методов расчета дифферен циальных сечений неупругого рассеяния «из первых принципов» на сего дняшний день не существует. Спектроскопия ХПЭ позволяет получать ин формацию о сечениях. Однако восстановление сечений из спектров ХПЭ представляет обратную задачу, которая относится к классу некорректных за дач математической физики [7]. Наиболее известные методы восстановления сечений являются или физически некорректными [8] или плохо обусловлен ными [9], что делает их неприменимыми на практике. Наиболее надежным способом решения обратных задач является метод подбора, для практического использования которого важна скорость решения прямой задачи. Поэтому ме тод Монте-Карло оказывается не пригодным.
В XXI веке впервые были измерены спектры отраженных электронов в диапазоне потерь энергии 0–10 эВ с энергетическим разрешением 0.4 эВ, по зволившим увидеть в эксперименте пики электронов, упруго рассеянных на ядрах разных масс [10]. Появилась необходимость интерпретации энергетиче ских спектров упруго отраженных электронов (УОЭ). Задача о восстановле нии послойного состава является обратной, решать которую наиболее надеж но методом подбора. Попутно возникает проблема влияния многократного рассеяния на интенсивность сигнала и форму пика упруго отраженных элек тронов.
В связи с исследованием климата Земли важной задачей является опреде ление концентрации парниковых газов в атмосфере с помощью дистанционно го зондирования. Надежность получаемых данных связана с точностью рас четных программ. Производить апробацию данных программ можно на базе электронной спектроскопии, в рамках которой возможно определение послой ного состава альтернативными методами.
Широкому развитию метода обратного резерфордовского рассеяния [11] способствовала возможность описания энергетических спектров на простом аналитическом языке – с помощью приближения одного отклонения. Важную роль для развития спектроскопии УОЭ играет возможность использования простых методов расчета энергетических спектров УОЭ и способов оценки совершаемой при их использовании ошибки.
Цель и основные задачи работы Целью данной работы является создание метода расшифровки спектров упруго отраженных электронов и спектров характеристических потерь энер гии для осуществления послойного компонентного анализа твердотельных мишеней, а также восстановления дифференциальных сечений неупругого рассеяния.
Реализация намеченной цели в данной работе требует решения следую щих задач:
1. Разработать модель, адекватно описывающую явление упругого рассеяния электронов в твердом теле и апробировать её на основе эксперименталь ных данных.
2. Сравнить методы определения дважды дифференциальных спектров УОЭ на основе решения уравнения переноса методом дискретных ординат и приближенными методами;
оценить точность и границы применимости приближенных методов.
3. Обобщить методы решения уравнения переноса для определения парци альных вкладов каждого слоя многослойной системы в спектр УОЭ для осуществления послойного анализа.
4. Разработать алгоритм численного восстановления дифференциального се чения неупругого рассеяния из спектров ХПЭ, исследовать его устойчи вость относительно погрешности измеренного спектра и предложить мето ды регуляризации обратной задачи.
Основные положения, выносимые на защиту, и научная новизна 1. Впервые показано, что альбедо однократного рассеяния электронов меня ется по глубине мишени;
для корректного описания угловых распределе ний упруго отраженных электронов мишень необходимо рассматривать как многослойную;
расхождение между расчетными и экспериментальными спектрами минимально при интерпретации в трехслойной модели.
2. Определена величина ошибки малоугловых приближений при расчете спектров упруго отраженных электронов на основании сравнения с расче тами по программе MDOM и по методу Монте-Карло для широкого диапа зона энергий и атомных номеров мишени.
3. Создана методика определения послойного состава мишени, основанная на энергетическом сканировании образца c использованием набора спектров упруго отраженных электронов, измеренных при разных геометриях или начальных энергиях электронного пучка.
4. Впервые реализован алгоритм численного восстановления сечений неуп ругого рассеяния в трехслойной модели. Обнаружено, что зависимость дифференциального сечения неупругого рассеяния от потери энергии име ет два максимума.
Практическая значимость диссертационной работы • Созданный метод диагностики поверхности на основе спектроскопии уп руго отраженных электронов обладает субмонослойной точностью при оп ределении толщины напыленных слоев тяжелых атомов (Z40);
открыва ется возможность определения изотопов водорода в приповерхностных слоях конструкционных материалов.
• Развитый метод УОЭ реализуется на серийно выпускаемом оборудовании и позволяет осуществить in situ диагностику процессов модификации по верхности.
• Создан метод определения длин неупругого пробега электронов в твердом теле, ошибка которого определяется погрешностью сечения упругого рас сеяния.
• Показана эффективность спектроскопии УОЭ для апробации расчетных программ дистанционного зондирования атмосферы.
• Развитый метод численного восстановления дифференциальных сечений неупругого рассеяния позволяет определять диэлектрическую функцию твердого тела из ХПЭ экспериментов.
• Эффективность решения задач по восстановлению сечений и послойного состава определяется быстродействием программ обработки спектров. В работе была произведена оптимизация расчетных алгоритмов, что позво лило увеличить их быстродействие в десятки раз.
Достоверность результатов диссертационной работы Подтверждается математической строгостью всех преобразований, сравнением результатов, полученных по предлагаемому методу, с результата ми, полученными другими методами (приближение однократного рассеяния, метод Монте-Карло, модифицированный метод дискретных ординат в скаляр ной форме, с результатами, полученными другими исследователями (Werner W.S.M., Vos M., Жарников М.В., Горобченко В.Д., Серпученко И.Л., Бронштейн И.М., Пронин В.П.), а также проверкой развитых расчетных алго ритмов путем сравнения с экспериментальными данными.
Апробация работы По результатам диссертации опубликовано 6 статей в журналах из пе речня ВАК и 4 доклада в трудах конференций. Результаты работы докладыва лись и обсуждались на следующих конференциях и научных школах: Курча товская молодежная научная школа (V 2007, VI 2008, VII 2009, РНЦ «Курча товский институт»), Радиоэлектроника, электротехника и энергетика - Меж дународная научно-техническая конференция студентов и аспирантов (XIV 2008, XV 2009, XVI 2010, МЭИ(ТУ)), Международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения» (XXXIV, 2008, МАТИ), Всероссийская с международным участием научно-техническая конференция «Быстрозакален ные материалы и покрытия» (VII, 2008, МАТИ), конференция «Взаимодейст вие ионов с поверхностью» (2009, Звенигород), научно-техническая конфе ренция «Проблемы термоядерной энергетики и плазменные технологии» (2009, МЭИ(ТУ)), Rusnanoforum (2009, Москва), XL международная конфе ренция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (2010, МГУ), Первая международная конференция с элементами научной школы «Образование в сфере нанотехнологий: современные подходы и перспективы» (2010, РНЦ «Курчатовский институт»), 55th IUVSTA Workshop on Electron Transport Parameters Applied in Surface Science Analysis (2008, Hungary), Special Detection Technique (Polarimetry) and Remote Sensing (2010, Kyiv, Ukraine), XX Ocean Optics Conference (2010, Alaska, USA), Всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов и молодых ученых «Функциональные нанометериалы и высокочистые вещества» (2011, РХТУ им. Д.И.Менделеева).
Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа со держит 152 страницы, включая 58 рисунков и 5 таблиц. Список литературы включает в себя 239 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследований, дана краткая характеристика работы.
В первой главе дается обзор существующих методик на базе электрон ной спектроскопии, формулируются подходы к описанию переноса частиц, а также заведомые ограничения развиваемых методов расчета.
Прямой задачей спектроскопии является предсказание вида спектра ве щества, исходя из знаний о его строении, составе и прочем. Обратной задачей спектроскопии является определение характеристик вещества (не являющихся непосредственно наблюдаемыми величинами) по свойствам его спектров (ко торые наблюдаются непосредственно и напрямую зависят как от определяе мых характеристик, так и от внешних факторов). Обратной задачей электрон ной спектроскопии является восстановление состава мишени по энергетиче скому спектру рассеянных электронов.
Индикатрисы упругого рассеяния являются немонотонными функциями в энергетическом диапазоне 50-10000 эВ. Поэтому расчет коэффициента упру гого отражения должен производиться на основе точных данных о сечении упругого рассеяния и строгом решении граничной задачи для уравнения пере носа. На сегодняшний день наиболее апробированной программой расчета се чения упругого рассеяния является код ELSEPA [12], который использовался при составлении базы данных NIST[2].
Неупругое рассеяние описывается с помощью двух параметров: средней длины неупругого пробега и дифференциального сечения неупругого рассея ния (differential inverse inelastic mean free path - DIIMFP). Для восстановления DIIMFP из спектров ХПЭ необходимо выделить сигнал однократного рассея ния из сигнала многократного рассеяния. Такая процедура называется «декон волюцией» (deconvolution). Описание спектров ХПЭ предлагается вести на ос нове трехслойной модели твердого тела. В первом слое электрон, уже подле тая к мишени, теряет энергию на возбуждение плазменных колебаний. В этом нематериальном слое отсутствуют упругие рассеяния (нет искривления траек тории). Второй слой характеризуется тем, что в нем уже есть рассеивающая среда и свой закон неупругих потерь энергии, который соответствует возбуж дениям плазменных колебаний на поверхности твердого тела. И третий слой – основной массив мишени.
Необходимость использования многослойной модели обусловлена тем, что законы потерь энергии неоднородны по глубине мишени из-за возбужде ния поверхностных плазмонов при движении электрона у границы твердого тела. Энергетические потери электроном пучка на возбуждение поверхност ных плазмонов описываются мнимой частью диэлектрической функции. Па дающие электроны создают поверхностные возбуждения и поверхностные плазмоны в пределах первых нескольких монослоев. Они хорошо видны в REELS спектрах, как правило, в диапазоне 1-20 эВ. Поверхностные плазмоны наблюдают в основном в полупроводниках и металлах. Восстановление сече ний неупругого рассеяния в рамках однослойной модели твердого тела (в ко торой пренебрегают влиянием поверхностных плазмонов на вид спектра) мо жет привести к возникновению отрицательных значений DIIMFP, что проти воречит физическому смыслу.
Прототипом спектроскопии упруго отраженных электронов (elastic peak electron spectroscopy – EPES) является обратное резерфордовское рассеяние.
Для описания спектров используется понятие «потеря энергии при упругом рассеянии» – величина энергии, теряемая электроном массой m и энергией E при рассеянии на ионе массой M на угол. Она может быть рассчитана, исходя из законов сохранения количества движения и механической энергии с учетом малости массы электрона по сравнению с массой иона:
2m E0 (1 cos ) E = (1) M Зависимость упругой потери энергии от массы иона позволяет разделить пики электронов, рассеянных на ионах разной массы, что является необходимым условием для реализации EPES (рисунок 1). Область «отрицательных» потерь в спектре объясняется влиянием аппаратной функции, энергетическим разбро сом пучка и тепловым движением атомов.
Рис. 1. Спектр энергетических потерь электронов, упруго отраженных от трехслойной системы Au/Si+N/Si. Угол рассеяния = 120, энергия зондирую щего пучка E0 = 40 кэВ Вторая глава посвящена развитию метода анализа поверхности твердо го тела с помощью спектроскопии упруго отраженных электронов.
Основной сложностью при интерпретации спектров отраженных элек тронов является аккуратный учет многократных рассеяний. Для этого необхо дима модель переноса упруго рассеянных электронов. С помощью метода ин вариантного погружения можно записать систему из четырех интегро дифференциальных уравнений, впервые полученную С.Чандрасекаром, и сформулировать граничную задачу для функций пропускания T и отражения R,численно равных площади под пиками УОЭ. Система решается в приближе нии однократного рассеяния, классическом квазиоднократном приближении и малоугловом квазиоднократном приближении, приняв во внимание сильную вытянутость индикатрисы упругого рассеяния. Полученное решение в малоугло вом квазиоднократном приближении (в модели одного отклонения) для функции отражения, описывающей интенсивность отраженного потока, имеет вид R (,,, ) = ( 2 xlm ) 1 exp 1 xm 1 + 1 Y m Y m, ()() (2) (1 xm 2 ) = l l + l,m 2 0 l l где – альбедо однократного рассеяния, и – косинусы угол падения и вы лета соответственно, xlm – коэффициенты разложения индикатрисы по поли номам Лежандра, = nL ( in + el ) – безразмерная толщина слоя, n – концен трация рассеивателей, L – толщина слоя, in – полное сечение неупругого рассеяния, el – полное сечение упругого рассеяния, Y – нормированные при соединенные полиномы Лежандра. Далее проводится обобщение решения для многослойной многокомпонентной системы.
Описание процесса упругого взаимодействия потока электронов с веще ством можно вести также на основе уравнения Льюиса-Спенсера:
( ) ( ) ( ) µ A u, z, 0, + A u, z, 0, + n0 el A u, z, 0, = z u (3) ( )( ), x · d = n A u, z, 0 el 0 el с граничным условием в случае плоского источника ( ) A 0, z, 0, = 0, z 0, ( )( ) A u,0, 0, = 0, µ 0, (4) ( ) A u, d, 0, = 0, µ 0, ( ) где A u, z, 0, – функция распределения электронов по пробегам u, упав ших на поверхность в направлении 0 и движущихся в точке z в направлении, µ = z – косинус угла между направлением движения и осью OZ.
Поскольку нас интересуют частицы, избежавшие в процессе своего движения в мишени неупругие взаимодействия, вероятность чего определяет ся экспоненциальным законом Бугера, перейдем в уравнении (3) к новой функ ции, описывающей интенсивность потока упруго рассеянных электронов:
( ) ( ) L z, 0, = A u, z, 0, exp ( n0 inu ) du, (5) Для этой функции из уравнений (3) и (4) следует уравнение:
( )( ) ( )( ) L, 0, x · d 4 µ L, 0, + L, 0, = (6) с граничным условием ( )( ) L 0, 0, = 0, µ 0, (7) ( ) L,, = 0, µ 0.
Уравнение (6) в точности повторяет уравнение переноса оптического излучения, которое подробно исследовано в работах С.Чандрасекара и В.В.Cоболева. В оптике функция L имеет смысл яркости излучения. Установ ленное соответствие задач переноса оптического излучения и задач переноса упруго рассеянных электронов позволяет применить обширный теоретический опыт, накопленный в области исследования рассеяния света. В частности, для описания отражения электронов от твердого тела можно использовать алго ритмы решения уравнения переноса методом дискретных ординат, такие как DISORT [13] и MDOM [14]. Численное решение уравнения (6) затруднено вы сокой степенью анизотропии рассеяния электронов. В алгоритме MDOM ани зотропная часть искомой функции выделяется аналитически на оcнове мало углового приближения, а численное решение осуществляется для оставшейся гладкой компоненты функции L.
Результаты сравнения MDOM и DISORT приведены на рисунке 2. Метод MDOM дает выигрыш в точности расчетов при высокой анизотропии рассеяния (в рас смотренном примере индикатри са Хеньи-Гринстейна со средним косинусом угла рассеяния g = 0.99), характерной для электро нов с энергией ~ 10 кэВ. Алго ритм DISORT приводит к осцил ляциям. Отметим к тому же раз ницу в скорости расчетов:
DISORT – 95 секунд, MDOM – Рис. 2. Угловое распределение упру- секунды на системе Ubuntu 10.02, IntelCore2Duo 3000 MHz, го отраженных электронов. Сравнение Gb RAM. Автором был реализо MDOM и DISORT ван алгоритм на языке Fortran и проведена оптимизация расчетного кода.
Проводится сравнение приближенных методов расчета с MDOM, по ме тоду Монте-Карло и экспериментом Бронштейна И.М. и Пронина В.П. [15] по упругому отражению электронов (рисунок 3).
Рис.3. Угловые распределения электронов, упруго отраженных от Be (слева) и Au (справа)– эксперимент и расчет Приближенные методы расчета хорошо описывают угловое распределение для легких материалов и с большей ошибкой для тяжелых. Связано это с влиянием многократного рассеяния и изотропизацией потока электронов. Отношение длины неупругого пробега lin к транспортному пробегу ltr позволяет оценить уменьшение потока на длине неупругого пробега за счет изотропизации. Рас чет по программе MDOM хорошо совпадает с экспериментом. Для более вы соких энергий экспериментальных данных нет. Однако приближенные методы расчета можно сравнить с MDOM и методом Монте-Карло. С ростом энергии расхождение между MDOM и приближенными решениями уменьшается (ри сунок 4). Кроме того, угловые распределения для разных элементов стремятся к универсальной зависимости, которую можно рассчитать в квазиоднократной модели для резерфордовской индикатрисы рассеяния (рисунок 5).
Рис. 4. Угловое распределение упруго Рис.5. Угловые распределения элек отраженных электронов – Cu – 5000 эВ тронов – вырождение в асимптотиче скую формулу С ростом энергии расхождение между интегральными коэффициентами отражения упруго рассеянных электронов, рассчитанными в малоугловом приближении и MDOM, уменьшается (рисунок 6). Ошибка менее 10 % при энергиях электрона 20 кэВ для всех элементов.
Рис. 6. Расхождение между коэффициентами упругого отражения для полу бесконечных мишеней, рассчитанными с помощью MDOM и в малоугловом приближении В работе обрабатываются спектры, измеренные в Австралийском Национальном университете (M.Vos, M.R.Went). Информативной величиной является отношение площадей под пиками УОЭ.
Толщины напыленных слоев определялись из условия минимизации функционала S1 R F = min, (8) S 2 R где S1 и S2 – площади под пиками, образованными упруго отраженными электронами слоем и подложкой, R1 и R2 – функции отражения для слоя и подложки соответственно. Расчет R1 и R2 проводился в приближении квазиоднократного рассеяния. Результаты интерпретации приведены на рисунках 7 и 8.
Рис. 7. Спектр энергетических потерь Рис.8. Спектр энергетических по электронов, упруго отраженных от терь электронов, упруго отражен двухслойной мишени C - Si ных от двухслойной мишени Si3N4 Si Восстановление послойного состава твердого тела на основе только од ного спектра упруго отраженных электронов неоднозначное – существует бес конечное множество решений, удовлетворяющих условию минимизации функционала (8). Для того, чтобы сделать задачу корректной, необходимы до полнительные условия. Этими условиями могут служить, например, теорети ческие функции распределения частиц в мишени при ионной бомбардировке или диффундировавших атомов. Если же дополнительной информации нет, необходимы дополнительные спектры, измеренные при других энергиях или геометрии. Эффективная глубина зондирования образца lpr определяется вы ражением:
l l probing ~ in µµ 0, (9) µ + µ где µ0,µ - косинусы углов падения и вылета. Для повышения пространствен ного разрешения метода необходимо использовать несколько спектров, изме ренных при разных геометриях или энергиях пучка. Метод энергетического сканирования был апробирован на мишенях Au/Si для восстановления по слойного профиля Au в мишени Si на основе экспериментов, выполненных в НОЦ «Нанотехнологии» МЭИ (ТУ).
В работе также рассматривается вопрос о реализации спектроскопии УОЭ в условиях низкого энергетического разрешения. В этом случае функ ционал имеет вид:
S1+ 2 R1+ F= min, (10) S2 R где S1+2 и R1+2 – суммарная площадь под пиками УОЭ и функция отражения от системы «слой+подложка». Предложенный метод был апробирован на основе экспериментов для системы «слой Au + подложка Ni» из работы [16]. Функ цию R1+2 можно вычислять на основе MDOM. Результаты приведены на ри сунке 9. Толщина слоя Au контролировалась методом рентгеновской фото электронной эмиссии.
Рис.9. Зависимость отношения функций отражения RAu+Ni и RNi от толщины слоя Au В диссертации также оценено влияние многократного рассеяния на форму пика упруго отраженных электронов. Расчет осуществлялся на основе решения Гаудсмита-Саундерсена [17]. Показано, что смещение на энергетиче ской оси пика УОЭ, обусловленное многократным рассеянием порядка вели чины E0 ( 2m / M ) lin / ltr, ширина пика порядка E0 ( 2m / M ) lin / ltr. Оценки показывают, что влиянием многократных рассеяний можно пренебречь при се годняшней точности эксперимента.
Третья глава посвящена вопросу восстановления параметров неупруго го рассеяния из спектров EELS/REELS. Из элементарной теории дисперсии следуют простые формулы для описания потери энергии при неупругом рас сеянии. Также в её рамках можно описать сдвиг максимума поверхностного плазмона относительно основной плазменной частоты твердого тела.
Для описания ХПЭ спектров формулируется граничная задача для урав нения переноса с учетом только неупругих рассеиваний. Решение граничной задачи приводит нас к функции Ландау, описывающей энергетическое рас пределение частиц, прошедших слой с безразмерной толщиной in, выражен ной в IMFP. Функция Ландау допускает представление в виде ряда по кратно стям неупругого рассеяния:
T ( in, ) = C0 ( in ) ( ) + Ck ( in ) I k ( ), (11) k = где I ( ) - нормированное дифференциальное сечение неупругого рассеяния, коэффициенты Ck описывают распределение частиц по кратностям неупруго го рассеяния k. На основе представления (11) формулируется численный алго ритм прямого восстановления функции I из измеренного спектра. Выпишем вид спектра без слагаемого:
R ( ) = Ck I k () = C1I 1 ( ) + Ck I k ( ). (12) k =1 k = Построим расчетную сетку с шагом h по оси :
Ri = R ( i ), i = i·h, (13) Ii = I ( i ), I = I ( i ).k k i Следуя работам Тугарда, сделаем допущение о том, что при самых малых зна чениях неупругих потерь энергии вкладом многократных неупругих рассея ний можно пренебречь. Также будем считать, что I 0 = 0.
(14) В дальнейшем индекс первой кратности свертки опускается. Это допу щение позволяет учесть для R1 только первое слагаемое ряда (12):
R1 = C1·I1. Откуда для I1 имеем:
I1 = R1 / C1. (15) Для вычисления I 2 учтем два слагаемых в ряде (11):
I 2 = h·( I 0 I 2 + I1I1 ).
R2 = C1I 2 + C2 I 2, 2 (16) С учетом (14): I 22 = hI1I1. Тогда I 2 = ( R2 C2 hI1I1 ) / C1. (17) Для остальных точек получим рекуррентное соотношение:
( ) n / C1 = Rn Ck I n h k 1 / C1, n n I n = Rn C2 I n h C3 I n h … Cn I n h 2 32 k k = (18) hn I n = I n 1 ( ) I ( ) d = I1k 2 ( I nk +1I1 + I nk I 2 + … + I1I nk +1 ) h k 1.
k k В этой схеме интеграл вычислялся по формуле центральных прямоугольников.
Последняя формула допускает обобщение на произвольный численный метод интегрирования.
Спектр в случае двухслойной системы имеет вид:
R ( ) = C10 I b ( ) + C01I s ( ) + Cnk I bn ( )·I sk ( )·d, (19) n =1 k = где C xy = C xbC ys. Для определения I b ( ), I s ( ) необходимо два спектра R (), R ().
Для нахождения искомых функций для каждой расчетной точки необхо димо решить систему линейных уравнений. Дискретизуя уравнение (19) для двух спектров с учетом (14) для первой точки имеем:
R1 = C10 I b1 + C01I s1, (20) R1 = C10 I b1 + C01I s1, Тогда искомые величины найдем методами линейной алгебры:
C01 R I b1 C = (21) I s1 C10 C01 R В матричной форме для n-ой точки справедливо:
Cmk d ·I bm ( )·I sk ( ) Rn = C10 I bn + C01I sn + m + k n (22) Cmk d ·I bm ( )·I sk ( ) Rn = C10 I bn + C01I sn + m + k n Интегралы можно вычислить по формуле центральных прямоугольников на основе значений, вычисленных на предыдущих итерациях. При вычислении интегральных сверток неизвестные значения сечений в точке n будут умно жаться на нулевые I... ( 0 ) = 0. В результате получаем:
...
1 Rn Cmk d ·I b ( )·I s ( ) m k I bn C10 C01 m + k n I = C (23) C sn 10 Rn Cmk d ·I bm ( )·I sk ( ) m + k n Предложенный алгоритм допускает обобщение на произвольное число слоев.
Недостаток прямого численного восстановления сечений заключается в том, что плохая обусловленность задачи приводит к сильному зашумлению получаемых решений. В случае трехслойной модели уровень шума в спектре 5% приводит к катастрофической потери точности, что делает непригодным для практических расчетов трехслойный алгоритм (рисунок 10). Таким обра зом, прямые численные методы восстановления сечений могут использоваться для получения априорной информации о виде искомых функций. Для получе ния физически корректного ответа предлагается осуществлять регуляризацию обратной задачи, сводя решение к поиску функций определенного вида с ко нечным числом подгоночных параметров.
Рис. 10. Обработка модельных спектров в трехслойной модели – уровень шу ма 1% (слева), уровень шума 5% (справа).
В диссертации проведена обработка двух серий экспериментов – спектры REELS ниобия и алюминия. Эксперименты выполнялись в Австралийском Национальном университете. Для получения априорной информации о виде неупругого сечения ниобия была применена процедура восстановления сечения для однослойной модели для спектров на прострел из работы [18]. Результат восстановления был представлен в виде суммы трех сечений (рисунок 10). Каждое сечение описано на основе дисперсионной теории функцией вида:
0. I p (,, b) = A 2 2 2, (24) ( ) + 1.5b 2. где A – нормировочный множитель. Подгоночные параметры подбирались так, чтобы одновременно описать всю серию экспериментов для Nb (рисунок 11).
Распределение по кратностям неупругого рассеяния рассчитывалось на основе формулы Ck = A ( u ) exp(uin )(uin / k !)du k (25) где A – распределение электронов по длинам пробега u, uin = u/lin. Функция A рассчитывалась по феменологической формуле А.В.Лубенченко.
Для совпадения расчетных спектров с экспериментальными спектрами потери энергии на ионизацию описывались не только как локальный процесс, но и как коллективный (как коллективное возбуждение электронной системы твердого тела по аналогии с плазмонным возбуждением). При описании по терь энергии в двухслойной модели форма сечения сильно зависит от энергии.
Трехслойная модель, в которой при изменении энергии форма сечения остает ся неизменной, а меняется только толщины слоев, в которых происходят дан ные возбуждения, представляется более удобной и физически корректной.
Рис.11. Разложение восстановленно- Рис. 12. Спектр потерь энергии элек го эффективного сечения Nb из спек- тронов, отраженных мишенью Nb:
тра на прострел на три сечения точки – эксперимент, линии – вос становленные спектры – 10 кэВ Обработка спектров Al производилась в двухслойной модели с помо щью предложенного численного алгоритма восстановления. Результат восста новления для 5 кэВ удовлетворительно совпал с расчетом по соотношениям элементарной теории дисперсии (рисунок 13). Однако для описания спектра в широком энергетическом интервале необходимо добавить дополнительный плазмонный пик, приходящийся на энергию ионизации M оболочки (рисунок 14). Применение прямого алгоритма к спектрам при 40 кэВ привело к большой ошибке в решении из-за плохой обусловленности задачи.
Рис.13. Восстановление сечений Рис.14. Сечения неупругого рассеяния неупругого рассеяния прямым Al, восстановленные с помощью численным методом – Al (5 кэВ) фитинга Заключение Проведенные в рамках диссертационной работы исследования позволя ют сформулировать следующие основные результаты и выводы:
1. Создана физическая модель явления упругого рассеяния электронов в мно гослойных многокомпонентных твердых телах. Данная модель была реа лизована в виде пакета программ. Разработана методика интерпретации энергетических спектров упруго отраженных электронов для послойного анализа.
2. Показана возможность описания угловых распределений упруго отражен ных электронов с помощью методов, развитых в теории переноса излуче ния. Установлено, что погрешность малоугловой квазиоднократной моде ли при расчете функции отражения электронов равна 5 % при энергии кэВ для Cu, 8 кэВ для Ag, 20 кэВ для Au. С ростом энергии ошибка уменьшается. Предложена процедура минимизации погрешности в мало угловой квазиоднократной модели за счет выбора соответствующей гео метрии эксперимента. Например, для системы Au/Si при энергии 8 кэВ при нормальном угле падения оптимальный угол рассеяния равен 135.
3. Предложено описание неупругих процессов потерь энергии в приповерх ностных слоях твердого тела в рамках трехслойной модели (с учетом по верхностных мод колебаний). В отличие от принятой двухслойной модели, развитая в диссертации модель позволяет использовать единый вид диф ференциальных сечений неупругого рассеяния для набора энергий зонди рующего пучка.
4. В рамках предложенных физических моделей процессов потерь энергии электронов в твердом теле созданы алгоритмы восстановления дифферен циального сечения неупругого рассеяния из спектров характеристических потерь энергии. Восстановлены дифференциальные сечения для Nb и Al.
Зависимость сечения имеет два пика. Первый пик, соответствующий поте рям энергии 15-20 эВ, связан с возбуждением поверхностных или объем ных плазменных колебаний. Второй пик также описывается в рамках тео рии коллективных возбуждений, но соответствует энергии 4s1/2, 4p1/2, 4p3/ электронных оболочек Nb и 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2 электронных оболочек Al.
Список основных публикаций по теме диссертации 1. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В. Спектроскопия заря женных частиц, упругорассеянных плоскопараллельными слоями твердого тела// Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследо вания, 2008, №5, с. 45–49.
2. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В., Вент М., Вос М. Спек троскопия резерфордовского рассеяния электронов – новый инструмент исследования твердых тел// Вестник МЭИ, 2009, №4, с.39–46.
3. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В., Вент М., Вос М. Вос становление сечений неупругого рассеяния из энергетических спектров отраженных атомных частиц // Известия РАН. Серия физическая, 2010, Т.74, № 2, с. 239–243.
4. Афанасьев В. П., Будак В. П., Ефременко Д. С., Лубенченко А.В. Угловые распределения электронов и легких ионов, упруго отраженных от поверх ности твердого тела // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и ней тронные исследования, 2010, № 6, с. 34–39.
5. Afanas'ev V.P., Afanas'ev M.V., Lubenchenko A.V., Batrakov A.A., Efremenko D.S., Vos M. Influence of multiple elastic scattering on the shape of the elasti cally scattered electron peak // Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 2010, V.177, p. 35–41.
6. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В. Прямое численное вос становление сечений неупругого рассеяния из спектров REELS и ISS. // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2011, № 4, с. 77–84.
7. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В. Восстановление инди катрис неупругого рассеяния электронов из спектров ХПЭ численными методами // 7-я Всероссийская с международным участием научно техническая конференция «Быстрозакаленные материалы и покрытия», сборник трудов. – Москва, 2008, с. 44–49.
8. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В., Vos M., Went M.R.
Спектры упругорассеянных электронов // Труды научно-технической кон ференции «Проблемы термоядерной энергетики и плазменные техноло гии». – Москва, 2009, с. 37–42.
9. Афанасьев В.П., Ефременко Д.С., Лубенченко А.В., Vos M., Went M.R.
Определение законов энергетических потерь при неупругом рассеянии электронов в твердом теле в трехслойной модели // Труды научно технической конференции «Проблемы термоядерной энергетики и плаз менные технологии». – Москва, 2009, с.163–167.
10.Ефременко Д.С., Афанасьев В.П. Восстановление послойного состава ми шени на основе спектроскопии упруго отраженных электронов // Сборник трудов второй Всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов и молодых ученых по тематическому направлению деятельности националь ной нанотехнологической сети «Функциональные наноматериалы и высо кочистые вещества». – Москва, 2011, с. 39–43.
Цитируемая литература 1. Salvat F., Jablonski A., Powell C.J. Dirac partial-wave calculation of elastic scattering of electrons and positrons by atoms, positive ions and molecules // Com put. Phys. Commun. 2005. V.165. P.157–190.
2. Jablonski A., Salvat F., Powell C.J. NIST Electron Elastic-Scattering Cross Section Database, Version 3.1, Standard Reference Data Program Database 64, US Department of Commerce, National Institute of Standards and Technology, Gai thersburg, MD, 2003. Available from: http://www.nist.gov/srd/nist64.htm.
3. Tanuma S., Powell C.J., Penn D.R. Calculation of electron inelastic mean free paths (IMFPs) VII. Reliability of the TPP-2M IMFP predictive equation // Surf.
Interf. Anal. 2003. V.35. P.268–275.
4. Tanuma S., Powell C.J., Penn D.R. Calculations of stopping powers of eV to 30 keV electrons in 10 elemental solids // Surf. Interf. Anal. 2005. V.37.
P.978–988.
5. Jablonski A., Tanuma S., Powell C.J. Modified predictive formula for the electron stopping power // J. Appl. Phys. 2008. V.103. P.063708–063719.
Ландау Л.Д. О потерях энергии быстрыми частицами на ионизацию. // 6.
J. Phys. USSR. 1944. V.8. P.201–209.
Тихонов В.А., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:
7.
Наука. 1979. 288 c.
8. Tougaard S. Deconvolution of loss features from electron spectra // Surf. Sci.
1984. V.139. P.208–218.
9. Werner W.S.M. Analysis of reflection electron energy loss spectra (REELS) for determination of the dielectric function of solids: Fe, Co, Ni // Surf. Sci. 2007.
V.601. P.2125–2138.
10. Vos M. Detection of hydrogen by electron Rutherford backscattering // Ul tramicroscopy. 2002. V.92. P.143–149.
11. Фелдман Л., Майер Д. Основы анализа поверхности и тонких пленок.
М.: Мир. 1989. 342 с.
12. Salvat F., Jablonski A., Powell C.J. ELSEPA – Dirac partial-wave calcula tion of elastic scattering of electrons and positrons by atoms, positive ions and mo lecules // Comput. Phys. Commun. 2005. V.165. P.157–190.
13. Stamnes K., Tsay S.C., Wiscombe W., Jayaweera K. Numerially stable al gorithm for disctrete-ordinate-method radiative transfer in multiple scattering and emitting layered media // Applied Optics. 1988. V.27. P.2502–2509.
14. Budak V.P., Klyuykov D.A., Korkin S.V. Complete matrix solution of ra diative transfer equation for PILE of horizontally homogeneous slabs // JQSRT.
2010. V.112. P.1141–1148.
15. Бронштейн И.М., Пронин В.П. Упругое отражение электронов средних энергий от твердых тел // ФТТ. 1975. Т.17. С.2086–2088.
16. Jablonski A., Hansen H.S., Jansson C., Tougaard S. Elastic electron back scattering from surfaces with overlayers // Phys. Rev. B. 1992. V.45. P.3694–3702.
17. Goudsmit S.A.,Saunderson J.L. Multiple Scattering of Electrons // Phys.
Rev. 1940. V.58. P.36–42.
18. Жарников М.В., Горобченко В.Д., Серпученко И.Л. Поляризация электронов ионных остовов и плазменные возбуждения в переходных метал лах // ЖЭТФ. 1987. Т.92. С.228–237.