Василий евгеньевич модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка

На правах рукописи

УДК 530.1 Тарасов Василий Евгеньевич МОДЕЛИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2011

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики име ни Д.В. Скобельцина, Московского государственного университета имени М.В.

Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Волович Игорь Васильевич (МИАН имени В.А. Стеклова) доктор физико-математических наук, профессор Славнов Дмитрий Алексеевич (МГУ имени М.В. Ломоносова) доктор физико-математических наук, профессор Фаустов Рудольф Николаевич (ВЦ имени А.А. Дородницына РАН)

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится "" _ 2011 г. в _ на заседании дис сертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Воробьевы горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан "" _ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10, профессор Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время наблюдается заметный рост инте реса физиков теоретиков к методам дробного математического анализа. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями интегро дифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, со степенной памятью и фрактальностью.

Актуальной задачей современной теоретической физики является исследова ние явлений и систем, характеризующихся нелокальностью, эредитарностью, немар ковостью, фрактальностью, негамильтоновостью. Последние годы уделяется боль шое внимание исследованиям степенной нелокальности и степенной долговремен ной памяти. Эти свойства изучаются для систем различной физической природы, относящихся к различным масштабам (от наносистем до космологии), для кванто вых и классических систем, для непрерывных и дискретных. В настоящее время зарождаются основные физические концепции и создаются математические ме тоды одного из современных направлений теоретической физики, называемого дробной динамикой (fractional dynamics). Фактически в настоящее время рожда ется новый раздел физики - дробная динамика. Правда этот термин еще не яв ляется устоявшимся в русскоязычной научной литературе, что нельзя сказать об англоязычной. В этом разделе теоретической физики рассматриваются в первую очередь общие свойства физических процессов со степенной памятью, со степен ной нелокальностью и фрактальностью. При этом изучаются новые динамические свойства систем различной физической природы и масштабов, не зависящие от материала среды или типа физической системы, в котором осуществляется эта динамика.

Свойствами и явлениями, описываемыми предлагаемыми в диссертации мо делями теоретической физики, являются (а) долговременная память, эредитар ность, немарковоская динамика;

(б) степенная пространственная нелокальность и нелокальные взаимодействия степенного типа;

(в) фрактальность структуры и ее нецелая топологическая размерность. Основой описания указанных явле ний и свойств являются методы интегро-дифференцирования дробного порядка и дробного математического анализа, история которого насчитывает более трех сот лет и восходит к исследованиям большого числа известных математиков, та ких как Лейбниц, Лиувилль, Риман, Абель, Рисс, Вейль. Интегралы и произ водные нецелого порядка, а также дробные интегро-дифференциальные уравне ния находят множество применений в современных исследованиях в физике и механике. Новые возможности в математике и теоретической физике появляют ся, когда порядок дифференциального оператора Dx или интегрального опе ратора Ix становится произвольным параметром. При этом многие из обычных свойств дифференцирования целого порядка Dx не выполняются для операторов n дробного дифференцирования Dx. Например, правило дифференцирования про изведения, правило дифференцирования сложной функции, полугрупповое свой ство, очевидные для производной первого порядка Dx, не имеют места для опе раторов Dx. Однако существуют аналоги этих правил и свойств, задаваемые до вольно громоздкими соотношениями. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей теоретической физики, в которых интегро-дифференциальные операторы дробного порядка по времени и координа там описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокаль ность сложных сред, процессов и явлений.

Нелокальные взаимодействия изучались как в дискретных системах, так и в их непрерывных аналогах, начиная с работ Дайсона, Накано и Такахаши. Физи ческие процессы с долговременной памятью исследовались в вязкоупругих сре дах, начиная с работ Больцмана, Вольтера и Работнова. Фрактальные распреде ления полей и частиц активно изучаются, начиная с работ Мандельброта. При этом оставались нерешенными проблемы описания динамики фрактальных сред и распределений, динамики диэлектрических сред с универсальным откликом, неголономных систем со степенной памятью, взаимосвязи дискретных отображе ний с памятью и уравнений движения, согласованного описания интегральных и дифференциальных векторных операций дробного порядка, получения уравнений дробной кинетики из статистической механики, связи дискретных и непрерывных моделей физических систем с нелокальностями степенного типа, марковской ди намики гамильтоновых и негамильтоновых квантовых систем со степенным экра нированием окружения, квантования интегро-дифференцирования дробного по рядка и некоторые другие.

Цель работы. Целью работы является Разработать метод построения теоретических моделей, позволяющий описы вать динамику фрактальных сред и распределений массы, заряда, различных ти пов полей и частиц, и применить этот метод для описания фрактальных систем в гидродинамике, в механике твердого тела, в электродинамике, в аналитической механике, в статистической механике.

Построить модели нелокальных взаимодействий для дискретных физических систем, таких как кристаллические решетки и линейные цепочки, которые в непре рывном пределе будут описываться уравнениями движения с производными дроб ного порядка.

Развить методы дробного векторного математического анализа и дробного внеш него исчисления для построения моделей физических систем со степенной нело кальностью и применить эти методы для описания моделей нелокальных систем в электродинамике, статистической механике, аналитической механике.

Построить теоретические модели систем различной физической природы, обла дающих степенной памятью, а именно, (а) диэлектрических сред, подчиняющихся законам универсального отклика;

(б) механических систем с неголономными свя зями и долговременной степенной памятью;

(в) физических систем с периодиче скими толчками и степенной памятью, уравнения движения которых допускают представление в виде дискретных отображений с памятью.

Построить модели марковских гамильтоновых, негамильтоновых и открытых квантовых систем со степенным экранированием окружения и разработать метод вейлевского квантования интегро-дифференцирования дробного порядка для по строения квантовых аналогов моделей со степенными нелокальными свойствами.

Научная новизна. Новизна научных результатов, полученных автором и вы носимых им на защиту, определяется следующим.

а) Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных сред и распределений, в которых они представляются специальными сплошны ми средами, при этом их характеристики и динамические законы описываются интегральными уравнениями дробных порядков равных нецелым (массовой, за рядовой, частичной и др.) размерностям сред и распределений.

б) Впервые разработан метод получения в непрерывном пределе моделей нело кальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференцированием нецелого порядка по координатам, из уравнений движения дискретных систем (таких как линейные цепочки и кристаллические решетки) с нелокальными взаимодействи ями степенного типа.

в) Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интеграль ные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и дока заны обобщения интегральных теорем Грина, Стокса, Гаусса. Используя методы дробного векторного анализа, нами были построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями.

г) Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробно го порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и га мильтонианов.

д) Предложен новый метод описания электромагнитных полей в диэлектри ческих средах, подчиняющихся законам универсального отклика, основанный на использовании уравнений с интегро-дифференцированиями дробного порядка, ко торый явно выражается через экспериментально измеримые показатели степен ной зависимости универсального отклика.

е) Впервые построены модели физических систем, на которые наложены него лономные связи с памятью, описываемой интегро-дифференцированиями Римана Лиувилля и Капуто дробного порядка.

ж) Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных си стем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с пе риодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифферен цированием дробного порядка.

з) Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения, в которых использовались дроб ные степени супероператоров.

и) Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать кван товые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обес печивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых свойств и явлений, возможностью экс периментальной проверки полученных решений. Правильность результатов про верялась с помощью предельных переходов к известным случаям и использова нием компьютерных программ аналитических вычислений.

Практическая ценность. Построение моделей фрактальных сред и процес сов имеет практическую ценность, так как в предлагаемых моделях дробный поря док интегрирования выражается через экспериментально измеримые (массовые, зарядовые и другие) нецелые размерности этих сред и распределений. Резуль таты, полученные в рамках дробно-интегральных моделей, могут быть исполь зованы при расчетах динамических характеристик и мультипольных моментов фрактальных сред и распределений различных типов в различных областях от астрофизики до расчета коллекторов нефтегазовых месторождений.

В полученных уравнениях для электромагнитного поля в диэлектрических сре дах, подчиняющихся законам универсального отклика, дробный порядок интегро дифференцирования явно выражается через экспериментально измеримые пока затели степенной зависимости универсального отклика. Эти уравнения позволя ют в широком диапазоне частот точно описывать свойства материалов с низкими потерями на излучение, которые имеют важное значение для стелс-технологий.

Дискретные отображения с памятью, полученные из уравнений движения с производными дробных порядков, могут быть использованы в компьютерном мо делировании физических систем с долговременной степенной памятью, что поз воляет исследовать новые типы регулярных и странных аттракторов.

Полученные в диссертации модели описания физических систем со степен ной пространственной нелокальностью, со степенной долговременной памятью, и фрактальными свойствами во многом расширяют существующие представления о динамических свойствах этих систем и могут стать важной частью учебных кур сов по теоретической физике.

Личный вклад автора. Две монографии на английском языке, одна пере ведена на русский язык, и 41 статья, опубликованная по теме диссертации в ре цензируемых российских и зарубежных журналах, являются единоличными пуб ликациями автора диссертации. В 14 статьях, выполненных с соавторами и опуб ликованных в рецензируемых зарубежных журналах, вклад автора диссертации является определяющим, как на этапах постановки задач, так и на этапах прове дения аналитических расчетов, а также интерпретации полученных результатов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах НИИ ядерной физики МГУ, физического факультета и ин ститута математических наук им. Куранта Нью-Йоркского университета (США), физического факультета университета Барселоны (Испания), математического факультета Сингапурского университета (Сингапур), а также на международных конференциях: XIX-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2010, Москва);

Международная конференция "Дина мический хаос и неравновесная статистическая механика: От точных результа тов к применениям в нано-системах"(2006, Сингапур);

Международная конфе ренция по хаотическим явлениям переноса и сложности в жидкостях и плазме (2004, Карри ле Роует, Франция);

XVII-ая Международная конференция по фи зике высоких энергий и квантовой теории поля (2003, Самара-Саратов);

Первый международный симпозиум по квантовой информатике (2002, Липки, Москов ская область);

XVI-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2001, Москва);

XV-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2000, Тверь);

XIV-ая Меж дународная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1999, Москва);

37 Международная университетская конференция по физике яд ра и частиц (1998, Шладминг, Австрия);

XII-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1997, Самара);

XI-ая Междуна родная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1996, Санкт-Петербург);

Международная конференция по квантовой диссипации и ее применениям (1996, Триест, Италия).

Исследования, результаты которых вошли в настоящую диссертацию, были поддержаны Московским государственным университетом имени М.В. Ломоносо ва: грант 2006 года за цикл статей "Физика фрактальных сред и процессов" и грант 2009 года за монографию "Квантовая механика негамильтоновых и дисси пативных систем";

Российским фондом фундаментальных исследований в 2002 2003 годах: грант No. 02-02-16444-а "Исследования теорий с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени";

в 2000-2001 го дах - грант No. 00-02-17679-а "Изучение физических эффектов в моделях с допол нительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени";

Министерством энергетики США (U.S. Department of Energy): грант No. DE FG02-92ER54184;

Офисом Военно-морских Исследований США (US Oce of Naval Research): грант No. N00014-02-1-0056;

Национальным научным фондом США (U.S. National Science Foundation): грант No. DMS-0417800.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 3 монографи ях и в 55 статьях, опубликованных в рецензируемых российских и зарубежных журналах. Из них 53 статьи опубликованы в журналах, включённых в систему цитирования Web of Science: Science Citation Index Expanded. Список статей и мо нографий приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, че тырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Она содержит страниц машинописного текста, в том числе основной текст 255 страниц. Приве денная библиография содержит 330 наименований.

СОЖЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан краткий обзор различных подходов к проблеме описания физических систем, обладающих свойствами степенной нелокальности, фракталь ности и степенной памятью, использующих методы интегро-дифференцирования дробного порядка. Формулируются тема и основные цели диссертации, обосновы вается их актуальность, схематично излагается содержание каждой главы.

В первой главе рассматриваются основные понятия дробно-интегральных моделей фрактальных распределений и сред. Интегрирование нецелого порядка используется для описания фрактальных распределений массы, заряда, полей, частиц и вероятности. В первой главе рассмотрены дробно-интегральные модели фрактальных сред и распределений в гидродинамике, в механике абсолютно твер дого тела, в теории случайных процессов, в электродинамике, в статистической механике. Выводятся уравнения движения и описываются свойства фрактальных сред и распределений.

В первом параграфе первой главы рассматриваются основные понятия дробно-интегральных моделей фрактальных сред. У реальных сред и физических систем фрактальная структура не может наблюдаться на всех масштабах. Среды и системы обладают наименьшим характеристическим размером таким, как ра диус частицы (например, атома или молекулы). Фрактальная структура обычно существует при тех масштабах R, для которых R R0, где R0 - характерный размер частицы среды. В силу этого используется физический аналог размер ности Хаусдорфа, для которого не требуется предельного перехода к бесконечно малым диаметрам покрывающих множеств. В качестве такой размерности ис пользуются массовая размерность, зарядовая размерность и размерность числа частиц. Под фрактальными средами в диссертации подразумеваются среды, рас пределенные в пространстве Rn, где n = 1, 2, 3, массовая размерность D которых меньше размерности пространства n. Размерность D фрактальных сред может быть эмпирически получена методом поклеточного счета (box-counting method).

Интегрирование нецелого порядка используется для описания фрактальных рас пределений массы, заряда, частиц и вероятности. Порядок интегрирования равен соответствующей (массовой, зарядовой, частичной) размерности фрактального распределения или среды. Для описания фрактальных сред и распределений с помощью дробно-интегральных моделей используются два основных понятия та кие, как плотность состояний cn (D, r) и функция распределения (r, t). Функция cn (D, r), являющаяся плотностью состояний, описывает то, как плотно упакованы разрешенные состояний в пространстве Rn. При этом свойства симметрии функ ции плотности состояний cn (D, r) должны определяться свойствами симметрии фрактальной среды, то есть симметрией распределения разрешенных состояний в ней. Функция (r, t), являющаяся функцией плотности распределения, описы вает распределение физических величин (например, таких как масса, электриче ский заряд, вероятность, число частиц) на множестве разрешенных состояний в Rn в момент времени t. Приводятся модели фрактальных распределений частиц и разрешенных состояний. Обсуждаются методы описания массы, заряда, числа частиц и вероятности для фрактальных сред и распределений.

Во втором параграфе первой главы рассматривается гидродинамика фрак тальных сред, описываемых в рамках дробно-интегральной модели. В дробно интегральной модели характеристики фрактальных сред определены везде внут ри области, при этом они подчиняются дробно-интегральным уравнениям, поря док которых равен массовой размерности среды, то есть предлагается рассматри вать фрактальные среды как особый тип сплошных сред, описываемых с помощью специальных (дробно-интегральных) моделей. В общем случае фрактальные сре ды не могут рассматриваться как сплошные среды, поскольку существуют точки и области во фрактальной среде, которые не заполнены частицами среды. Реаль ные фрактальные среды с нецелой массовой размерностью описываются не как фрактальные множества, а как особые сплошные среды, для описания которых применяется интегрирования дробного порядка, равного массовой размерности фрактальной среды. Интегралы дробного порядка применяются для получения обобщений уравнений законов сохранения на фрактальные среды. Выводятся ин тегральные уравнения дробного порядка, описывающие законы сохранения мас сы, импульса и внутренней энергии во фрактальных средах. Используя дробно интегральную модель, получаем соответствующие дифференциальные уравнения с производными целого порядка для описания законов сохранения массы, импуль са и внутренней энергии в дифференциальной форме для фрактальных сред.

Рассматриваются обобщения уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера для фрактальных сред. Предлагаются уравнения равновесия для фрактальных сред и обобщения интеграла Бернулли. Рассматриваются звуковые волны во фрак тальных средах с использованием дробно-интегральной модели.

В третьем параграфе первой главы рассматривается динамика фракталь ных неупругих твердых тел. В рамках дробно-интегральной модели предлагают ся интегральные уравнения дробного порядка для вычисления моментов инер ции фрактальных твердых тел. Рассматриваются примеры вычислений моментов инерции для фрактальных твердых тел в форме шара и цилиндра. Доказывается, что уравнения движения фрактальных твердых тел имеют тот же вид, что и урав нения для нефрактальных твердых тел. При этом моменты инерции фрактальных тел отличаются от моментов инерции обычных твердых тел той же формы и мас сы. В качестве примеров движения фрактальных твердых тел рассматриваются динамика маятника Максвелла с фрактальным твердым телом и задача о скаты вании по наклонной плоскости недеформируемого шарообразного фрактального твердого тела. Полученные уравнения позволяют экспериментального определять массовые размерности фрактальных твердых тел путем измерения периодов ко лебаний и скоростей движения этих тел.

В четвертом параграфе первой главы рассматривается электродинамика фрактальных распределений зарядов и полей. В общем случае распределения за ряженных частиц могут быть фрактальными с нецелой зарядовой или частичной размерностью. Для описания электрических и магнитных полей фрактальных распределений частиц применяются дробно-интегральные модели, в которых ис пользуются непрерывные распределения электрического заряда, описываемые ин тегральными уравнениями дробного порядка. Предлагается дробно-интегральная модель для описания электрических и магнитных полей, создаваемых фракталь ными распределениями. Приводятся формулы полного электрического заряда и силы тока фрактальных распределений зарядов. В рамках дробно-интегральной модели формулируются теоремы Гаусса и Стокса для фрактальных распределе ний. Рассматриваются простые примеры полей, создаваемых гомогенными фрак тальными распределениями. Законы Кулона и Гаусса, Био-Савара и Ампера фор мулируются для фрактальных распределений в рамках дробно-интегральной мо дели. Предлагаются методы вычислений электрического дипольного и квадру польного моментов фрактальных распределений зарядов. Обсуждаются уравне ния магнитогидродинамики фрактальных распределений заряженных частиц.

В рамках дробно-интегральной модели фрактального распределения получены интегральные уравнения Максвелла дробного порядка. Показано, что фракталь ное распределение может быть представлено как некоторая эффективная среда.

Уравнения для электромагнитных полей фрактальных распределений интерпре тируются как эффекты поляризации и намагниченности, создаваемые фракталь ным распределением. Более того, и само электромагнитное поле также изменяется фрактальным распределением. Из обобщенных уравнений Максвелла виден эф фект изменения фрактальным распределением свободных электрических зарядов и плотности тока. Это изменение существует в дополнение к эффекту появления поляризации и токов намагниченности. Эффективная электрическая проницае мость и эффективная магнитная проницаемость µ фрактального распределения определяются плотностью состояний и зарядовой размерностью распределения.

Уравнения для электромагнитного поля в этом случае могут рассматриваться как уравнения с некоторым эффективным магнитным монополем.

В пятом параграфе первой главы предлагается обобщение принципа ста ционарности действия для фрактальных сред. В качестве примера выводятся уравнения Гинзбурга-Ландау для фрактальных сред с использованием соответ ствующего обобщения функционала свободной энергии и вариационного уравне ния Эйлера-Лагранжа.

В шестом параграфе первой главы рассматриваются уравнения Чепмена Колмогорова и Фоккера-Планка для фрактальных сред. Предлагается обобще ние уравнения Чепмена-Колмогорова на случай фрактальных распределений ве роятности, описываемых в рамках дробно-интегральной модели. Под фракталь ным распределением вероятности подразумевается такое распределение вероят ности во фрактальной среде, при котором вероятность найти частицу вне этой среды равна нулю. Предложенное уравнение Чепмена-Колмогорова представля ет собой интегральное уравнение дробного порядка по координатам. Уравнение Чепмена-Колмогорова дробного порядка призвано описывать марковские процес сы во фрактальных средах в рамках дробно-интегральной модели. Из дробно интегрального уравнения Чепмена-Колмогорова выводится обобщенное уравне ние Фоккера-Планка, описывающее динамику фрактальных распределений в рам ках дробно-интегральных моделей.

В седьмом параграфе первой главы рассматривается статистическая ме ханика фрактальные распределения в фазовом пространстве. Для описания таких распределений применяется дробно-интегральная модель, в которой используют ся интегральные уравнения дробного порядка для средних значений и нормиро вочных условий. Ядрами дробно-интегральных уравнений по координатам явля ются плотности состояний в фазовом пространстве. При получении обобщений уравнений Лиувилля и Боголюбова для фрактальных распределений разрешен ных состояний в фазовом пространстве используются дробно-интегральные нор мировочные условия и выражения для средних значений классических наблюда емых. В этих обобщениях используются интегралы дробного порядка, позволяю щие учитывать степенную плотность состояний. Порядок дробного интегрирова ния равен фрактальной размерности числа состояний.

Во второй главе рассматриваются модели физических систем и сред с нело кальными свойствами и с нелокальными взаимодействиями степенного типа, для описания которых применяются методы интегро-дифференцирования дробного порядка по координатам.

В первом параграфе второй главы рассматриваются модели цепочек и ре шеток с нелокальным взаимодействием, а также их непрерывные пределы. Опре деляется отображение моделей дискретных систем в модели специальных сплош ных сред, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями дробного по рядка. Описывается широкий класс нелокальных взаимодействий в решетках и цепочках, которые в непрерывном пределе приводят к дифференциальным урав нениям с производными дробного порядка. Показано, что существует взаимосвязь между уравнениями движения систем с нелокальным взаимодействием частиц и уравнениями дробного порядка для сплошных сред. Рассматривая решетку свя занных нелинейных осцилляторов, и переходя к непрерывному пределу, мы выво дим дробные дифференциальные уравнения, описывающие динамику сложных сплошных сред. Уравнения движения для цепочки с нелокальным взаимодей ствием отображаются в уравнения с дробными производными Рисса. Нелинейные нелокальные взаимодействия для дискретных систем используются для получе ния обобщений уравнений Бюргерса, Кортевега-де Фриза и Буссинеска, содержа щих производные дробного порядка. Описывается нелокальное взаимодействие типа Грюнвальда-Летникова-Рисса и соответствующие ему уравнения среды, яв ляющиеся интегро-дифференциальными уравнениями дробного порядка.

Во втором параграфе второй главы рассматриваются взаимно согласован ные определения дифференциальных и интегральных векторных операций с интегро дифференцированием дробного порядка. На основе предложенных определений дифференциальных и интегральных векторных операций нецелого порядка фор мулируются и доказываются обобщения теорем Грина, Стокса, Гаусса. Методы векторного интегро-дифференцирования дробного порядка развиваются для ис следования моделей физических систем в электродинамике, аналитической ме ханике, статистической физике. Развиваются также методы дробного внешнего исчисления дифференциальных форм, дается взаимно согласованое построение дифференциальные и интегральные операций дробного порядка для обобщения дифференциальных форм с использованием производные Капуто и интегралы Римана-Лиувилля дробного порядка. Определяются векторные операции нецело го порядка через дробные дифференциальные формы, операцию звезда Ходжа и внешнюю производную дробного порядка.

Во третьем параграфе второй главы используются взаимосогласованные определения дифференциальных и интегральных векторных операций с интегро дифференцированием дробного порядка для описания электромагнитных полей.

В рамках нелокальной электродинамики рассматриваются дифференциальные уравнения Максвелла с производными дробного порядка с использованием дроб ного векторного анализв и дифференциальных форм нецелого порядка.

В четвертом параграфе второй главы предлагаются обобщения некото рых основных уравнений статистической механики, в которых используются интегро дифференцирования дробного порядка. Для получения этих уравнений использу ется закон сохранения вероятности в дробно-дифференциальном элементе объема фазового пространства. Из законов сохранения вероятности получаем уравнения Лиувилля с дробными производными по координатам и импульсам. Дробное урав нение Лиувилля используется для получения дробных уравнений Боголюбова и кинетических уравнений с дробными производными. Рассматриваются уравне ния статистической механики для дробных гамильтоновых систем. Уравнения Лиувилля и Боголюбова с дробными производными по координатам и импуль сам рассматриваются как базис для получения обобщенных кинетических уравне ний. Получены уравнение Власова с производными нецелого порядка. Уравнения Фоккера-Планка с дробными производными в фазовом пространстве получаются из уравнения Боголюбова с производными дробного порядка.

В пятом параграфе второй главы предлагаются обобщения понятий гра диентной и гамильтоновой систем с использованием дифференциальных форм и внешних производных дробных порядков. В общем случае дробные гамильтоновы (градиентные) системы являются негамильтоновы (неградиентными) системами.

Предлагаемый класс дробных градиентных и гамильтоновых систем значительно шире, чем класс обычных градиентных и гамильтоновых динамических систем.

Обычные гамильтоновы и градиентные системы фактически являются частными случаями дробных гамильтоновых и градиентных систем. Дробные градиентные системы используются для рассмотрения нового типа бифуркаций для широкого класса неградиентных систем.

В третьей главе рассматриваются модели физических систем и сред с эре дитарными свойствами и с долговременной памятью степенного типа с использо ванием методов интегро-дифференцирования дробного порядка по времени.

В первом параграфе третьей главы показывается, что электромагнитные поля и волны для широкого класса диэлектрических сред должны описываться дифференциальными уравнениями с производными нецелого порядка по времени.

Порядок этих производных равен 2 и 2 +, где параметры 0 = 1 n и 0 = m 1 определяются показателями n и m, фигурирующими в экспе риментально измеримых частотных зависимостях диэлектрической восприимчи вости, называемых законами универсального отклика. Получены уравнения, опи сывающие обобщения закона Кюри - фон Швейдлера и закон Гаусса для диэлек трических материалов с универсальным откликом. Получены дробные интегро дифференциальные уравнения для электромагнитных волн в диэлектрических средах. Эти уравнения являются общими для широкого класса сред независимо от их физической структуры, химического состава и природы поляризации, будь то дипольная, электронная или ионная.

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются неинтегрируемые (неголономные) связи с долговременной степенной памятью, описываемой интегро дифференцированием дробного порядка по времени. Производные нецелого по рядка позволяют описывать неголономные связи со степенной памятью с исполь зованием методов дробного математического анализа.

Для системы, описываемых лагранжианом L = T U, непотенциальными си лами Qk, и неинтегрируемыми связями fs = 0, s = 1,..., m, рассматриваются следующие два частных случая неголономной динамики систем с памятью:

а) Динамические системы с памятью, на которые наложены неголономные связи без памяти:

L = L(q, a Dt q, t Db q), fs (q, Dt q, t) = 0, s = 1,..., r n.

б) Динамические системы, на которые наложены неголономные связи с памятью:

1 L = L(q, Dt q), fs (q, a Dt q, t Db q, t) = 0, s = 1,..., r n.

Здесь обозначает производную дробного порядка по времени t.

a Dt Используя принцип Даламбера-Лагранжа, мы выводим дробные дифференци альные уравнения из лагранжиана и гамильтониана, которые содержат только производные целого порядка, при условии наложения на систему неголономных связей со степенной памятью. Обсуждается применимость принципа стационар ности действия для неголономных систем с долговременной памятью.

В третьем параграфе третьей главы рассматриваются модели дискретных систем со степенной памятью, которые следуют из уравнений движения, содержа щих производные дробного порядка по временим. Эффект памяти в дискретных системах означает, что эволюция данного состояния зависит от всех прошлых состояний. Дискретные отображения со степенной памятью выводятся из диф ференциальных уравнений с производными дробного порядка по времени без ис пользования каких-либо аппроксимаций дробных производных. Рассматриваются дробные дифференциальные уравнения, описывающие движение систем с памя тью и периодическими толчками. Из этих уравнения получены соответствующие дискретные отображения с памятью, являющиеся обобщениями хорошо извест ных отображений таких, как стандартное и универсальное отображения, отобра жения Амосова, Заславского и Хенона. Для получения дискретных отображений с памятью из дробных дифференциальных уравнений используются два метода.

В первом методе применяются вспомогательные переменные. Вторым методом дискретные отображения с памятью выводятся из дифференциальных уравнений с производными Капуто и Римана-Лиувилля с использованием эквивалентности задачи Коши и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Наличие памяти у дискретных систем приводит к тому, что эволюция данного состояния зависит от всех предыдущих состояний. При этом влияние этих состо яний определяется степенными весовыми функциями V (z), S (z) и W (a, b, c).

Полученные модели дискретных систем с памятью выводятся из соответствую щих уравнений движения с интегро-дифференцированием дробного порядка без использования какие-либо аппроксимации производных дробного порядка.

В четвертой главе рассматриваются модели квантовых гамильтоновых и нега мильтоновых систем, взаимодействующих со своим окружением и описываемых дробными степенями инфинитезимальных производящих генераторов. Описыва ются динамические свойства экранированных квантовых систем. Используя вей левское квантование и представление производных нецелого порядка в виде ряда и в виде интеграла Фурье, мы строим квантовые аналоги производных Римана Лиувилля и производных Лиувилля.

В первом параграфе четвертой главы рассматриваются модели гамиль тоновых квантовых систем, взаимодействующих с окружением и описываемых дробными степенями дифференцирований на операторной алгебре. Для гамильто новых систем уравнение Гейзенберга определяется некоторой формой дифферен цирования на операторной алгебре. Инфинитезимальный генератор L = (i/ )[H,. ], используемый в уравнении Гейзенберга, является дифференцированием наблюда емых, то есть линейным отображением L, которое удовлетворяет правилу Лейбни ца. Дробное дифференцирование на множестве квантовых наблюдаемых рассмат ривается как дробная степень дифференцирования L = (i/ )[H,. ], что позволяет обобщить понятие гамильтоновой квантовой системы. В этом случае оператор ное уравнение для квантовой наблюдаемой будет (дробно-дифференциальным) обобщением уравнения Гейзенберга. Предлагаемое обобщенное уравнение Гейзен берга точно решается для гармонического осциллятора. Решения задачи Коши для дробно-дифференциального уравнения Гейзенберга представляются через су () пероператоры t, t 0, которые образуют однопараметрическую полугруппу.

В силу этого эволюция наблюдаемых дробно-дифференциальных квантовых си стем является марковской. Дифференцирование нецелого порядка рассматрива ется как один из способов описания взаимодействия между квантовой системой и окружающей средой. Эта интерпретация обусловлена тем, что формула Бохнера Филлипса представляет собой некоторое сглаживание (усреднение) гамильтоно вой эволюции t по времени t 0. Это сглаживание интерпретируется как влия ние окружающей среды на квантовую систему. Показатель степени инфинитези мального генератора характеризует меру интенсивности взаимодействия между системой и окружением.

Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются модели откры тых и негамильтоновых квантовых систем, взаимодействующих с экранирован ным окружением с использованием дробных степеней вполне-диссипативных су пероператоров. Доказывается, что предлагаемые супероператоры являются инфи нитезимальными генераторами вполне положительных полугрупп. Описываются основные свойства квантовой дробно-динамической полугруппы. Нецелая степень квантового марковского производящего супероператора рассматривается как па раметр для описания меры экранирования окружающей среды. Квантовые мар ковские уравнения с вполне диссипативными супероператорами являются наибо лее общим видом марковских уравнений, описывающих неунитарную эволюцию оператора плотности, сохраняющую след и являющуюся вполне положительной при любых начальных условиях. Показатель нецелой степени инфинитезимально го генератора рассматривается как параметр, описывающий меру экранирования окружения системы, то есть окружающей ее среды. Используя представление вза имодействия для квантового марковского уравнения, мы рассматриваем дробную степень негамильтоновой части инфинитезимального генератора с показателем.

В пределе 0 получается уравнение Гейзенберга для гамильтоновых систем. В случае = 1 получается обычное квантовое марковское уравнение. Выделяются следующие случаи: (а) отсутствие влияния окружающей среды ( = 0);

(б) пол ное влияние окружающей среды ( = 1);

(в) степенное экранирование влияния окружающей среды (0 1).

В отличие от гамильтоновых квантовых систем инфинитезимальные генера торы открытых и негамильтоновых систем не является дифференцированиями на алгебре квантовых наблюдаемых. Для широкого класса квантовых негамиль тоновых систем инфинитезимальный генератор L является вполне диссипатив ным. Рассматривается обобщение квантового производящего уравнения для нега мильтоновых систем на случай дробной степени производящего супероператора и на случай системы со степенной долговременной памятью. Формула Бохнера Филлипса позволяет выразить дробно-динамическое описание в терминах обыч ной динамики. Предложенные квантовые марковские уравнения с дробными сте пенями супероператоров уравнения решены для линейного гармонического осцил лятора, являющегося открытой системой.

В третьем параграфе четвертой главы рассматриваются методы вейлев ского квантования для интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувил ля. Для нахождения квантового аналога производных Римана-Лиувилля исполь зуется представление этих производных на множестве аналитических функций.

В этом представлении производная Римана-Лиувилля является степенным ря дом с производными целого порядка, что позволяет использовать соответствие между производными целого порядка и самосопряженными коммутаторами. Для определения квантового аналога производной Лиувилля, которая определена на всей действительной оси, используется представление вейлевского квантования через Фурье-преобразование. Предлагаемые квантование производных Римана Лиувилля позволяют сформулировать квантовые аналоги дробных гамильтоно вых систем.

В приложении приводятся основные сведения об интегрировании дробного порядка.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссер тации. Они сводятся к следующим:

1. Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных сред и распределений, в которых они представляются специальными сплош ными средами, при этом их характеристики и динамические законы описыва ются интегральными уравнениями дробного порядка. Порядок интегрирова ния определяется нецелыми (массовой, зарядовой, частичной и др.) размер ностями среды и распределения. Описаны способы расчета масс, зарядов, потоков, полей, мультипольных моментов, моментов инерции, энергий, им пульсов и других характеристик фрактальных сред и распределений.

2. Впервые построены теоретические модели дискретных систем, таких как ли нейные цепочки и кристаллические решетки, с нелокальными взаимодействи ями степенного типа, приводящие в непрерывном пределе к моделям нело кальных сплошных сред, описываемых уравнениями с интегро-дифференци рованиями нецелого порядка по координатам. Показано, что степенная нело кальность в непрерывных средах связана с межчастичным взаимодействием дробно-степенного типа.

3. Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интеграль ные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны интегральные теоремы, построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями. Впервые по строены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, поз воляющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильто новых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильто нианов.

4. Предложен принципиально новый подход к описанию электромагнитных по лей в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального от клика. В основе этого подхода лежат интегро-дифференциальные уравнения, дробный порядок которых явно выражается через экспериментально измери мые показатели степенной зависимости универсального отклика.

5. Впервые построены модели неголономных систем со степенной памятью, ис пользующие интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Капуто дроб ного порядка. Показано, что эффекты памяти могут возникать вследствие наложения на систему неголономных связей.

6. Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных си стем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро дифференцированием дробного порядка.

7. Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых систем со степенным экранированием окружения и описаны динамические свойства таких систем. Впервые реализовано вейлевское квантование интегро дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, поз воляющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.

Список опубликованных работ Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Tarasov V.E. Quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems // Physics Letters A. Vol.288. No.3-4. (2001) 173-182.

2. Тарасов В.Е. Вейлевское квантование динамических систем с плоским фазо вым пространством // Вестник Московского университете. Серия 3 Физика.

Астрономия. Т. 56. No.6. (2001) С. 6-9.

3. Tarasov V.E. Fractional generalization of Liouville equations // Chaos. Vol.14.

No.1. (2004) 123-127.

4. Tarasov V.E. Fractional generalization of gradient and Hamiltonian systems // Journal of Physics A. Vol.38. No.26. (2005) 5929-5943.

5. Tarasov V.E. Electromagnetic eld of fractal distribution of charged particles // Physics of Plasmas. Vol.12. No.8. (2005) 082106 (9 pages).

6. Tarasov V.E. Multipole moments of fractal distribution of charges // Modern Physics Letters B. Vol.19. No.22. (2005) 1107-1118.

7. Tarasov V.E. Fractional hydrodynamic equations for fractal media // Annals of Physics. Vol.318. No.2. (2005) 286-307.

8. Tarasov V.E. Dynamics of fractal solid // International Journal of Modern Physics B. Vol.19. No.27. (2005) 4103-4114.

9. Tarasov V.E. Fractional generalization of gradient systems // Letters in Mathematical Physics. Vol.73. No.1. (2005) 49-58.

10. Tarasov V.E. Wave equation for fractal solid string // Modern Physics Letters B.

Vol.19. No.15. (2005) 721-728.

11. Tarasov V.E. Continuous medium model for fractal media // Physics Letters A.

Vol.336. No.2-3. (2005) 167-174.

12. Tarasov V.E. Possible experimental test of continuous medium model for fractal media // Physics Letters A. Vol.341. No.5-6. (2005) 467-472.

13. Tarasov V.E. Fractional Fokker-Planck equation for fractal media // Chaos.

Vol.15. No.2. (2005) 023102.

14. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional Ginzburg-Landau equation for fractal media // Physica A. Vol.354. No.1-4. (2005) 249-261.

15. Tarasov V.E. Fractional Liouville and BBGKI equations // Journal of Physics:

Conference Series. Vol.7. (2005) 17-33.

16. Tarasov V.E. Fractional systems and fractional Bogoliubov hierarchy equations // Physical Review E. Vol.71. No.1. (2005) 011102 (12 pages).

17. Tarasov V.E. Map of discrete system into continuous // Journal of Mathematical Physics. Vol.47. No.9. (2006) 092901. (24 pages) 18. Tarasov V.E. Fractional statistical mechanics // Chaos. Vol.16. No.3. (2006) 033108.

19. Tarasov V.E. Electromagnetic elds on fractals // Modern Physics Letters A.

Vol.21. No.20. (2006) 1587-1600.

20. Tarasov V.E. Continuous limit of discrete systems with long-range interaction // Journal of Physics A. Vol.39. No.48. (2006) 14895-14910.

21. Tarasov V.E. Fractional variations for dynamical systems: Hamilton and Lagrange approaches // Journal of Physics A. Vol.39. No.26. (2006) 8409-8425.

22. Tarasov V.E. Psi-series solution of fractional Ginzburg-Landau equation // Journal of Physics A. Vol.39. No.26. (2006) 8395-8407.

23. Tarasov V.E. Magnetohydrodynamics of fractal media // Physics of Plasmas.

Vol.13. No.5. (2006) 052107. (12 pages) 24. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Nonholonomic constraints with fractional derivatives // Journal of Physics A. Vol.39. No.31. (2006) 9797-9815.

25. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of systems with long-range interaction // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.

Vol.11. No.8. (2006) 885-898.

26. Tarasov V.E. Zaslavsky G.M., Dynamics with low-level fractionality // Physica A. Vol.368. No.2. (2006) 399-415.

27. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of coupled oscillators with long-range interaction // Chaos. Vol.16. No.2. (2006) 023110. (13 pages) 28. Tarasov V.E. Transport equations from Liouville equations for fractional systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.20. No.3. (2006) 341-353.

29. Tarasov V.E. Gravitational eld of fractal distribution of particles // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol.94. No.1. (2006) 1-15.

30. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional dynamics of systems with long-range space interaction and temporal memory // Physica A. Vol.383. No.2. (2007) 291 308.

31. Zaslavsky G.M., Edelman M., Tarasov V.E. Dynamics of the chain of oscillators with long-range interaction: from synchronization to chaos // Chaos. Vol.17. No.4.

(2007) 043124.

32. Korabel N., Zaslavsky G.M., Tarasov V.E. Coupled oscillators with power-law interaction and their fractional dynamics analogues // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.12. No.8. (2007) 1405-1417.

33. Tarasov V.E. Fractional Chapman-Kolmogorov equation // Modern Physics Letters B. Vol.21. No.4. (2007) 163-174.

34. Tarasov V.E. Liouville and Bogoliubov equations with fractional derivatives // Modern Physics Letters B. Vol.21. No.5. (2007) 237-248.

35. Tarasov V.E. Fractional derivative as fractional power of derivative // International Journal of Mathematics. Vol.18. No.3. (2007) 281-299.

36. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Conservation laws and Hamiltonian’s equations for systems with long-range interaction and memory // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.13. No.9. (2008) 1860-1878.

37. Tarasov V.E. Fokker-Planck equation for fractional systems // International Journal of Modern Physics B. Vol.21. No.6. (2007) 955-967.

38. Tarasov V.E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems (Elsevier, Amsterdam, London, 2008). 540p.

39. Tarasov V.E. Fractional Heisenberg equation // Physics Letters A. Vol.372. No.17.

(2008) 2984-2988.

40. Tarasov V.E. Chains with fractal dispersion law // Journal of Physics A. Vol.41.

No.3. (2008) 035101. (6 pages) 41. Tarasov V.E. Fractional vector calculus and fractional Maxwell’s equations // Annals of Physics. Vol.323. No.11. (2008) 2756-2778.

42. Tarasov V.E. Fractional equations of Curie-von Schweidler and Gauss laws // Journal of Physics: Condensed Matter. Vol.20. No.14. (2008) 145212.

43. Tarasov V.E. Universal electromagnetic waves in dielectric // Journal of Physics:

Condensed Matter. Vol.20. No.17. (2008) 175223.

44. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional generalization of Kac integral // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol.13. No.2.

(2008) 248-258.

45. Tarasov V.E. Fractional powers of derivatives in classical mechanics // Communications in Applied Analysis. Vol.12. No.4. (2008) 441- 46. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fokker-Planck equation with fractional coordinate derivatives // Physica A. Vol.387. No.26. (2008) 6505-6512.

47. Tarasov V.E., Zaslavsky G.M. Fractional equations of kicked systems and discrete maps // Journal of Physics A. Vol.41. No.43. (2008) 435101. (16 pages) 48. Tarasov V.E. Weyl quantization of fractional derivatives // Journal of Mathematical Physics, Vol.49. No.10. (2008) 102112. (6 pages) 49. Тарасов В.Е. Дробное обобщение квантового марковского производящего урав нения // Теоретическая и математическая физика. 2009. Т. 158. No.2. С. 214 233.

50. Тарасов В.Е. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для электро магнитных волн в диэлектрических средах // Теоретическая и математиче ская физика. 2009. Т. 158. No.3. С. 419-424.

51. Tarasov V.E. Dierential equations with fractional derivative and universal map with memory // Journal of Physics A. Vol.42. No.46. (2009) 465102. (13 pages) 52. Tarasov V.E. Discrete map with memory from fractional dierential equation of arbitrary positive order // Journal of Mathematical Physics. Vol.50. No.12. (2009) 122703. (6 pages) 53. Edelman M., Tarasov V.E. Fractional standard map // Physics Letters A. Vol.374.

No.2. (2009) 279-285.

54. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, (Springer, Higher Education Press, 2010) 516p.

55. Tarasov V.E., Edelman M. Fractional dissipative standard map // Chaos. Vol.20.

No.2. (2010) 023127. (7 pages).

56. Tarasov V.E. Fractional dynamics of relativistic particle // International Journal of Theoretical Physics. Vol.49. No.2. (2010) 293-303.

57. Tarasov V.E. Fractional Zaslavsky and Hnon discrete maps // Chapter 1 in Long e range Interaction, Stochasticity and Fractional Dynamics Luo A.C.J. Afraimovich V.S. (Eds.) (Springer, Higher Education Press, 2010) pp.1-26.

58. Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.