Разработка методов расчета вязкости и теплопроводности плотных и разреженных газов на основе теории энскога
На правах рукописи
Свойский Василий Зиновьевич Разработка методов расчета вязкости и теплопроводности плотных и разреженных газов на основе теории Энскога Специальность 01.04.14 – теплофизика и теоретическая теплотехника
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва 2010
Работа выполнена в Центральном аэрогидродинамическом институте имени профессора Н.Е. Жуковского (ФГУП «ЦАГИ»).
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Алферов Вадим Иванович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Стасенко Альберт Леонидович кандидат технических наук, доцент Захарова Оксана Дмитриевна
Ведущая организация: Объединнный институт высоких температур РАН.
Защита состоится 08 октября 2010 г. в 11 час. 30 мин. на заседании диссерта ционного совета Д212.157.04 при Московском энергетическом институте (техниче ском университете) по адресу: г. Москва, ул. Красноказарменная, дом 17, корп. Т, каф. ИТФ, комн. Т-206.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетиче ского института (технического университета).
Отзывы на автореферат, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый Совет МЭИ (ТУ).
Автореферат разослан « » 2010 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д212.157. кандидат физико-математических наук, доцент Мика В.И.
1
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
В связи с развитием авиационно-космической техники значительно расшири лась область температур и давлений в которой требуются знания физических свойств различных газов. Такие знания необходимы при проектировании летатель ных аппаратов, развитии наземной экспериментальной базы и численных методов исследования. При этом необходимо учитывать как высокотемпературные эффекты, так и эффекты, обусловленные высокой плотностью.
Знание теплофизических свойств смесей газов необходимо также во многих областях прикладной физики, при изучении различных химических процессов.
Получить эти свойства из эксперимента затруднительно ввиду огромного раз нообразия смесей и физических условий. Поэтому задача определения теплофизиче ских свойств газов и их смесей остается актуальной.
Цель работы.
Целью данной работы является создание алгоритмов и программ для вычисле ния коэффициентов переноса (вязкости и теплопроводности) неполярных газов как в разреженном состоянии, так и при повышенных плотностях, опираясь на кинетиче скую теорию [1– 6].
Научная новизна.
Автором Предложен метод расчета интегралов столкновений для потенциалов 1.
типа Леннарда-Джонса с произвольными целыми положительными по казателями m и n. Получена таблица интегралов столкновения для слу чая m = 12, n = 7.
Проанализированы две формулировки в кинетической теории теплопро 2.
водности многоатомных газов: теория Ван Чанг, Уленбека и де Бура (ВЧУ и ДБ) – с одной стороны и теория Циже с соавторами – с другой D стороны. Получено выражение для отношения int D (коэффициента диффузии внутренней энергии Dint к коэффициенту самодиффузии D) через поперечные сечения теории ВЧУ и ДБ. Это отношение вычислено для газов N2, CO, CO2, CH4 и CF4 в диапазоне температур 300-1000 К.
D Поведение величины int D при высоких температурах находится в не котором противоречии с теоретическим результатом для линейных мо лекул. который утверждает, что с повышением температуры отношение Dint D стремится к единице снизу, что не выполнено для N2 и CO. Полу ченное противоречие позволяет сделать вывод о возможности система тической ошибки (5%) в избранных экспериментальных данных по ко эффициенту теплопроводности N2 и CO при высоких температурах.
Проанализирован ряд приближенных методов расчета коэффициентов 3.
вязкости и теплопроводности смесей газов при низких давлениях. Рас смотрена смесь гелий-азот. Показано, что для расчета коэффициента вязкости этой смеси могут быть использованы формулы Уилке и Улыбина.
Получена оценка вычислительной погрешности формулы Васильевой.
Показано, что из всех рассмотренных приближенных методов наиболее надежные значения коэффициента теплопроводности смеси гелий-азот в диапазоне температур 400-2300 К дает метод Ченга, Бромли и Уилке.
Приведен краткий сравнительный анализ приближенных способов рас 4.
чета первой поправки в разложении коэффициентов переноса по степе ням плотности. Получены асимптотические формулы вторых «вириаль ных» коэффициентов вязкости и теплопроводности для степенного по тенциала отталкивания. Рассмотрена роль различных вкладов в первую поправку. Предложена модификация выражений для вкладов от двой ных столкновений мономеров и от связанных состояний. Предложены формулы для вычисления первой поправки к вязкости и теплопроводно сти при низких приведенных температурах. Получены простые и удоб ные формулы для расчетов коэффициентов переноса умеренно плотного азота, применимые в диапазоне приведенных температур 1,5 Т * 10.
Получены приближенные формулы для коэффициентов вязкости и теп 5.
лопроводности смесей газов повышенной плотности на базе теории Энскога плотного газа из твердых сфер и ее обобщения на бинарные и многокомпонентные смеси газов, т.е. учитываются члены порядка квад рата плотности. В пределе при нулевой плотности полученные формулы переходят в известные формулы для разреженной смеси газов Сезерленда-Васильевой, являясь, таким образом, обобщением послед них на плотные смеси газов. С другой стороны, предложенные формулы можно рассматривать и как обобщение формул для коэффициентов пе реноса умеренно плотной газовой смеси на случай более плотной смеси.
Практическая ценность, достоверность результатов.
Составлены программы для расчета коэффициентов вязкости и теплопровод ности смесей произвольного состава при некоторой заданной температуре и опреде ленном диапазоне плотностей. Проведены расчеты вязкости и теплопроводности смесей гелий-азот, азот-углекислый газ, а также воздуха, рассматриваемого как тройная смесь аргон-азот-кислород. Полученные результаты работы используются при анализе течений в существующих установках (гиперзвуковых – Т-117, МГД разгона, в установке сверхвысоких давлений - УГСД).
Дано сравнение результатов проведенных расчетов для воздуха с уже имею щимися [7], а также с таблицами [8-9], полученными на основе обобщения экспери ментальных данных. Сравнение результатов расчета коэффициента теплопроводно сти смеси азот-метан с экспериментальными данными, полученными в работе [10], добавляет уверенности в надежности и предсказательном характере предлагаемой методики (рис.III.7).
Защищаемые положения.
Метод расчета интегралов столкновений для потенциалов типа 1.
Леннарда-Джонса с произвольными целыми положительными показате лями m и n.
Вывод о возможности систематической ошибки (5%) в избранных экс 2.
периментальных данных по коэффициенту теплопроводности азота и окиси углерода при высоких температурах, вытекающие из анализа от D ношения int D (коэффициента диффузии внутренней энергии Dint к коэффициенту самодиффузии D ).
Асимптотические формулы вторых «вириальных»коэффициентов вязко 3.
сти и теплопроводности для степенного потенциала отталкивания.
Формулы для вычисления первой поправки к вязкости и теплопровод 4.
ности при низких приведенных температурах.
Простые и удобные формулы для расчета коэффициентов переноса уме 5.
ренно плотного азота, применимые в диапазоне приведенных темпера тур 1,5 Т * 10.
Приближенные формулы для коэффициентов вязкости и теплопровод 6.
ности смесей газов повышенной плотности (с учетом членов порядка квадрата плотности).
Апробация работы.
Результаты проведенных исследований опубликованы в «Трудах ЦАГИ», «Ученых записках ЦАГИ», «Инженерно-физическом журнале», «Теплофизике вы соких температур», в материалах X Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ, Казань, 2002.
Сделаны доклады на конференциях по теплофизическим свойствам веществ (Ташкент 1985 г., Казань 2002г., Москва 2008г.), а также на международной конфе ренции, посвященной 75-летию ЦАГИ, 1993г.
Основное содержание работы
опубликовано в 14 статьях (ссылки приведены в списке использованной литературы).
Объем и структура диссертации.
Диссертация состоит из аннотации, введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем 127 страниц, в том числе 19 таблиц и 14 рисунков.
Список литературы содержит 124 наименования.
2. Содержание работы В аннотации сформулированы основные результаты данной работы. Во введе нии обосновывается актуальность, формулируется цель диссертационной работы, приводится обзор литературы, связанной с темой диссертации. Далее излагается со держание работы по главам.
Глава I. Предложен метод расчета интегралов столкновений для газа, взаимо действие между частицами которого, описывается сферическим потенциалом типа Леннарда-Джонса (r* ) c (r* m r* n ), где m и n – целые положительные числа. Вы числены интегралы столкновений для случая m=12, n=7, которые затем использова ны для расчета коэффициентов переноса (вязкость и теплопроводность) ряда газов (Ne, Ar, Kr, Xe, N2, CH4, воздух) в диапазоне температур 100 К – 2000 К.
На рис.I.1 показано сравнение значений коэффициентов вязкости, вычислен ных автором [11] для потенциалов (12-6) и (12-7), с экспериментальными данными для газов: Ne, Ar, Kr, Xe и N2. Вывод, который следует из рис.I.1, заключается в том, что нельзя описать коэффициент вязкости газов с помощью простых двухпарамет рических потенциалов типа Леннарда - Джонса в пределах погрешности экспери ментальных данных, которая составляет не более 2%.
Проанализированы две формулировки для коэффициента теплопроводности в кинетической теории многоатомных газов. Получено выражение для отношения ко эффициента диффузии внутренней энергии к коэффициенту самодиффузии Dint / D через поперечные сечения теории Ван Чанг, Уленбека и де Бура. Вычислены значе ния этого отношения для газов N2, СО, СО2, СН4, CF4 в диапазоне температур от 300 К до 1000 К. Результаты расчетов представлены в таблице I. Подтверждена выраженная в ряде работ точка зрения о неадекватности пред положения Мейзона-Мончика ( Dint / D =1). Использование этого предположения мо жет вносить ошибку около 4 % при вычислении коэффициента теплопроводности (например, для метана СН4).
Результаты расчета отношения Dint / D для N2, и СО позволяют сделать вывод о возможности систематической ошибки (5 %) в избранных экспериментальных данных по коэффициенту теплопроводности этих газов при высоких температурах.
Вывод, полученный в данной работе, согласуется с заключениями, представленны ми Кестиным и Мейзоном в докладе на семинаре в Брауновском университете в 1973 г. о том, что экспериментальные данные по теплопроводности термодинамиче ски несовместны с современными данными по вязкости, косвенным подтверждени ем чего являются их многочисленные и безуспешные попытки включить экспери ментальные данные по теплопроводности в расширенный закон соответственных состояний. Следует обратить внимание также на температурную зависимость вра щательного столкновительного числа Zвр для азота (см. Рис. I.2)], даваемую экспе риментальными данными при высоких температурах, из которой нельзя не заклю чить, что высокотемпературные данные измерений коэффициента теплопроводно сти имеют систематические ошибки. Этот вывод, приведенный в уже упомянутом докладе, согласуется с выводом, полученным в диссертации.
Проанализирован ряд приближенных методов расчета коэффициентов вязко сти и теплопроводности смесей газов при низких давлениях. Рассмотрена смесь ге лий – азот. Показано, что для расчета коэффициента вязкости смеси могут быть ис пользованы формулы Уилке и Улыбина.
Дана таблица значений коэффициента вязкости смеси при температурах от 100 до 2000 К, полученная по формуле Улыбина.
Получена оценка вычислительной погрешности формулы Васильевой. Пока зано, что из всех рассмотренных приближенных методов наиболее надежные значе ния коэффициента теплопроводности смеси гелий – азот в диапазоне температур 400-2300 К дает метод Ченга, Бромли и Уилке.
Глава II. В газе высокой плотности становится существенным один из меха низмов переноса импульса и энергии, которым пренебрегается в силу его малости при обычных плотностях – это перенос при столкновениях на расстояние, разде ляющее две сталкивающиеся молекулы, в течение короткого времени их сближения.
Крайним, идеализированным примером такого переноса служит мгновенный пере нос импульса и энергии при столкновении двух гладких жестких упругих сфериче ских молекул на расстоянии между их центрами. Впервые перенос при столкнове ниях был исследован Энскогом для случая жестких сферических молекул [1]. Пре имущество модели жесткой сферической молекулы заключается в том, что столкно вения являются мгновенными, и вероятностью множественных столкновений можно пренебречь;
справедлива также гипотеза молекулярного хаоса. В реальном газе вы сокой плотности нельзя пренебречь множественными столкновениями молекул, так как молекула в таком газе движется в силовом поле других молекул, что увеличива ет вероятность многочастичных соударений. В случае газа из твердых сфер пробле ма многочастичных соударений обходится следующим образом. Принимается, что транспортные свойства в плотном газе из твердых сфер диаметра могут быть по лучены рассмотрением динамики бинарных столкновений, как в разреженном газе.
Однако вероятное число столкновений в плотном газе отличается сомножителем, который является функцией положения, но по допущению о молекулярном хаосе, не зависит от скорости. Функцию следует брать в точке соприкосновения сфер. Этот множитель оказывается ничем иным, как радиальной функцией распределения твердых сфер. Кроме того, учитывается разница в положении сталкивающихся мо лекул, задаваемая величиной. В результате получается модифицированное урав нение Больцмана, которое было решено методом Чепмена-Энскога. Результирую щие выражения для транспортных свойств (коэффициентов вязкости и теплопро водности ) содержат два вклада. Один из них, кинетический вклад, учитывает пе ренос импульса и энергии через поступательное движение молекул, а другой учиты вает перенос столкновениями [12]:
, (1) b 0,800 0,761b b, (2) b 1,200 0,755b b где 1 0,625(b ) 0,2869(b ) 2 0,115(b ) 3 0,109(b ) 4..., (3) (4) b 3 m здесь m – масса частицы.
Разложение коэффициентов переноса по степеням плотности есть следствие теории Н.Н. Боголюбова [3] для неравновесной парной функции распределения:
..., 0 1..., (5) 0 1 где 0, 0 – вязкость и теплопроводность разреженного одноатомного газа по Чепмену-Энскогу [2];
1, 1 – коэффициенты первой поправки для вязкости и тепло проводности, соответственно, (first density coeffiсients).
Вторая форма записи разложений (5) (n 3 ) В *..., (n 3 ) В *... (6) выделяет в явном виде безразмерные коэффициенты В * и В *, которые получили на звание «вторых вириальных коэффициентов вязкости и теплопроводности», анало гично уравнению состояния. Вместо В * часто используется безразмерная величина 6m ;
она, очевидно, связана с В * соотношением b* ( 2., 2 ) B* b* ;
(7) 30 T* другие обозначения общепринятые [2].
Коэффициенты первой поправки 1 и 1 в обоих разложениях могут зависеть лишь от температуры, а не от плотности. Теоретические выражения для коэффици ентов первой поправки могут быть получены решением интегрального уравнения Чо-Уленбека [3]. Ввиду чрезвычайной сложности этих выражений расчеты проведе ны лишь для простейшей модели газа из твердых сфер [12]. Поэтому наряду со строгими теоретическими рассмотрениями были предприняты попытки приближен ного описания зависимости транспортных свойств от плотности.
Теория Энскога дает следующие выражения для первой поправки к вязкости и теплопроводности:
(8) ( 0,625 0,8)b 0 ( 0,625 1,2)b 1 * * (9) B 1, B 0, Первые слагаемые в выражении (8) обусловлены тройными столкновениями (которые в теории Энскога учитываются приближенно через радиальную функцию распределения), а вторые – бинарными (collisional – transfer cоntribution). Сравнение коэффициентов переноса, вычисленных по теории Энскога, с данными молекуляр но-динамических расчетов для газа из твердых сфер обнаруживает очень хорошее согласие вплоть до плотностей затвердевания.
Зенгерс [12] вычислил первые поправки для умеренно плотного газа из твер дых сфер, используя уравнения Чо-Уленбека. Его результат:
[ 0,601( 0,008) 0,8]b 1 (10) [ 0,593( 0,011) 1,2]b 1 показывает, что вклады в первую поправку от тройных столкновений по Энскогу близки (95 %) к точным значениям.
Применение теории Энскога к реальным газам обнаруживает не очень хоро шее согласие с экспериментом. Так, для аргона избыточная вязкость и теплопровод ность могут быть получены по теории Энскога с точностью около 10 % до плотно сти ~ 0,6 кр. Модификация теории Энскога, которая учитывает реальные свойства газов через уравнение состояния, значительно расширяет область применения тео рии. Область плотности может быть расширена до ~ 2 кр при погрешности 10 - 15 %.
Модифицированная теория Энскога (МЕТ) дает следующие выражения для первой поправки [12]:
, 0, 1, (11) 1, 1 dC dB где ВТ Т,, C dT dT В и С – второй и третий вириальные коэффициенты.
Приведен краткий сравнительный анализ приближенных способов расчета первой поправки в разложении коэффициентов переноса по степеням плотности.
Получены асимптотические формулы вторых «вириальных» коэффициентов вязко сти и теплопроводности для степенного потенциала отталкивания [13]. Эти резуль таты подтверждены в работах, выполненных в лаборатории физической кинетики ЛГУ [14] другим путем.
Для потенциалов более общего вида, содержащих как отталкивание, так и притяжение (например, для потенциала 12-6) автор следует схеме, предложенной в работах Кузнецова [7].
Для краткости записываем: ВВК – для второго вириального коэффициента вязкости В*;
ТВК – для второго вириального коэффициента теплопроводности В*.
Кузнецов представляет ВВК В* как сумму вкладов, учитывающих перенос импульса при столкновениях двух мономеров b2M, трех мономеров b3M и мономера с * * димером bM D.
* B * b2 M b3M bM D.
* * * ТВК В* представляется аналогично.
Рассмотрена роль различных вкладов в первую поправку. Предложена моди фикация выражений для вкладов от двойных столкновений мономеров и от связан ных состояний. Получены формулы для вычисления первой поправки к вязкости и теплопроводности при низких приведенных температурах [15]. Получены простые и удобные формулы для расчета коэффициентов переноса умеренно плотного азота, применимые в диапазоне приведенных температур 1,5 Т * 10, а именно, 0 где размерность плотности - моль/л, вязкости - мкп (10-6п), а теплопроводности (мВт/(мК)) Глава III. На базе теории Энскога плотного газа из твердых сфер и ее обобще ния на бинарные и многокомпонентные смеси газов получены приближенные фор мулы для коэффициентов вязкости и теплопроводности смесей газов повышенной плотности. Вывод формул математически последовательный при вполне определен ных ограничениях: используется теория возмущений в предположении малости не диагональных элементов матрицы по сравнению с диагональными.
Формула для коэффициента вязкости плотной - компонентной смеси из твер дых сфер может быть записана в следующем виде: [16] H 11.....H 1 y1 H 11.....H...................
..............., (1)...................
mix mix H 1....H H 1....H y y1......y где mj i=1, …;
, (2) yi xi 1 n xj ij ij mi mj j x i2 2 xi x j mi m j mj ij ii ;
(3) H ii 0 m j )2 * mi (mi 3 Aij j i ij ji 2 xi x j mi m j ij 1;
(4) H ij ( j i) 0 2 * ( mi mj ) 3 Aij ij 25 2 0, (5) n xi x j mix ij ij ij 16 i, j где n – плотность числа частиц, mi – молекулярная масса, хi – мольная доля i-го компонента.
Величины ij, входящие в формулы (1) –(5), определяются через диаметр твердых сфер :
4 4 42, bi bii ii i i 5 5 4 42 ij, (6) bij ij 5 i j (7) ij Величина 0ij рассматривается [2] как коэффициент вязкости разреженного га 2mi m j за с молекулярной массой и диаметром ij;
- коэффициент вязкости 0 ii i mi mj i-ого компонента;
ij ji - псевдорадиальные функции распределения для моле кул i и j сортов при наличии молекул всех других компонентов в смеси. Они обозна чаются черточками сверху для отличия их от истинных радиальных функций рас пределения ij, связанных с уравнением состояния.
Величина А*ij (и В*ij, входящие в формулу для коэффициента теплопроводно сти) представляют безразмерные отношения интегралов столкновений, равные еди нице для твердых сфер и близкие единице для других типов взаимодействия.
При использовании формулы (1) центральным пунктом является определение параметров ij и ij. Как и в модифицированной теории Энскога [12], ij определяет ся через второй вириальный коэффициент и его температурную производную:
dBij 4. (8) bij Bij T ij 5 5 dT Так как экспериментальные значения величины Вij при i j часто отсутству ют, можно воспользоваться правилом комбинирования (7) и получить 1 3 1 ii jj (9) ij Псевдорадиальные функции распределения ij определяются следующим об разом. Вычисляются псевдорадиальные функции распределения i чистых газов, составляющих смесь, из уравнения Энскога 1 in i, (10) n, T i i i где 25 2 0 (11) n i i i i Значения вязкости i0 и i n, T считаются известными из эксперимента;
i оп ределяется в соответствии с (8).
Для упрощения записи удобно ввести обозначения n z;
c. (12) n Тогда (10) с учетом (11) приводится к квадратному уравнению относительно z.
19 z 2 16 z c 1 16 0 (13) Из двух ветвей решения (13) выбирается та, которой отвечает знак “-“ перед корнем.
1 64(c 1)2 19 16 ] (14) z [8(c 1) 2(c 1)2 19 2(c 1) На этой ветви z 0 при n 0. Из уравнения (14) вытекает ограничение или, где c1 lim (15) lim n 2 Псевдорадиальные функции распределения i, определенные из измерений вязкости по уравнению (14), при достаточно больших значениях плотности не сов падают с радиальными функциями распределения i, полученными из уравнения со стояния. Функция i часто является немонотонной: сначала она возрастает с плот ностью, достигает максимума, затем убывает и становится меньше единицы.
Функция i монотонно возрастает с плотностью. Такое положение вещей не является неожиданным. Известно, что теория Энскога – приближенная, даже для твердых сфер. Она верно учитывает исключенный объем и перенос столкновениями, но полностью пренебрегает эффектами коррелированного молекулярного движения, существенными при высокой плотности. Если псевдорадиальные функции распре деления i превосходят единицу в рассматриваемой области значений плотности, то значения ij можно получить непосредственно из i, если воспользоваться прави лом комбинирования (7) и вириальным разложением функций i и ij (см.[17]).
Основным источником получения приближенных формул для смесей разре женных газов является малость недиагональных элементов матрицы по сравнению с диагональными. Это обстоятельство используется для применения теории возмуще ний [4].
В формуле (1) для вязкости многокомпонентной плотной смеси газов первое слагаемое, представляющее отношение детерминантов, алгебраически ничем не от личается от вязкости многокомпонентной разреженной смеси газов. Поэтому, сле дуя идее Брокау для разреженных смесей [4], получим приближение к вязкости плотной смеси в виде (16) y H ij mix i mix i1 j Подставляя в (16) Hij из (3) и (4), получим формулу:
2 yi i xi ii (17) mix mix xj 2m j i1 ij 1 i xi ( mi mj) ij j1 ii ji где уi дается выражением (2).
Первое слагаемое в формуле (17) имеет вид, подобный выражению Сезерленда-Васильевой для смесей разреженных газов. В пределе при нулевой плотности получаем обычную формулу Сезерленда-Васильевой с коэффициентами 2m j i. (18) Gij mi mj ij Уилке использовал комбинационное правило (7), чтобы представить отноше ние в весьма простой форме [4] i ij 1 0 4 1 mi m j mj (19) i i 0 4 2m j mi ij j Результаты подстановки (19) в (18) и (18) в соотношение (17) можно назвать обоб щением формулы Уилке на случай плотных газовых смесей.
Вывод приближенной формулы для коэффициента теплопроводности много компонентной смеси одноатомных газов проводится аналогично. Выпишем лишь окончательный результат 2 yi i xi ii K mix, (20) mix xj i1 ij 1 Gij xi ii j ji где 2m i m j, (21) yi xi 1 n xj ij ij (m i m j ) j bij, (22) ij x i x j mi m j 10 2 0. (23) K mix n ij ij ij m j ) 9 i, j 1 (mi Коэффициенты Сезерленда-Васильевой для теплопроводности * * ( mi m j ) 3m j Bij (6mi 5m j ) 8mi m j Aij 1 4 i (24) Gij * ( mi m j ) 2 2 Aij ij Отношение можно записать в форме Мейзона-Саксены, соответствую i ij щей выражению Уилке (19) 1 2 0 2m j mi i i. (25) 0 4 mi m j mj ij j Результаты подстановки (25) в (24) и (24) в соотношение (20) аналогично можно назвать обобщением формулы Мейзона-Саксены на случай плотных газовых смесей.
В пределе при нулевой плотности полученные формулы переходят в извест ные формулы для разреженной смеси газов Сезерленда-Васильевой, являясь, таким образом, обобщением последних на плотные смеси.
С другой стороны, предложенные формулы можно рассматривать и как обоб щение формул для коэффициентов переноса умеренно плотной газовой смеси, по лученных в работе [18], на случай плотной газовой смеси.
Использование предложенных в данной работе приближенных формул для конкретных расчетов прошло три стадии.
Начальная стадия: расчеты коэффициентов вязкости и теплопроводности при известных экспериментальных данных для компонентов смеси. Требования очень отягчающие и усложняющие процедуру расчетов [19-20].
Вторая стадия. Использование уравнения состояния MCSL и соответсвующих радиальных функций распределения вместо псевдорадиальных функций распреде ления, получаемых по экспериментальным данным для компонентов смеси. Практи чески, это чисто твердосферная теория. Для сравнения с экспериментом необходим выбор температурной зависимости эффективного диаметра твердых сфер[21].
Третья стадия. Использование расширенной модифицированной теории Энскога [22].
Общее выражение для смешанных радиальных функций распределения ij,полученное в работе, [22] таково HS r r dC ijk dBij HS r r 1n C T B T xk...
ij ijk ij dT dT k HS означает hard spheres (твердые сферы);
r - real gas (реальный газ).
Именно на этой стадии составлены достаточно простые программы для вы числения коэффициентов вязкости и теплопроводности плотных газовых смесей.
Требуется задавать коэффициенты вязкости и теплопроводности компонентов в раз реженном состоянии;
никакие данные о коэффициентах переноса компонентов при высокой плотности (как на начальной стадии) не нужны [23]. Кроме того, исполь зуются известные аппроксимации второго и третьего вириальных коэффициентов для потенциала Леннарда-Джонса (12-6) [24].
3. Выводы 1. Предложен метод расчета интегралов столкновений для потенциалов типа Леннарда-Джонса с произвольными целыми положительными показателями m и n.
Получена таблица интегралов столкновения для случая m=12, n=7.
2. Показано, что отношение коэффициента диффузии внутренней энергии Dint к коэффициенту самодиффузии D, вычисленное для линейных молекул N2 и CO по теории Ван-Чанг, Уленбека и Де- Бура, находится в противоречии с теоретиче ским результатом, т.е. дает ошибку в 5% по коэффициенту теплопроводности при высоких температурах.
3. На основании выполненного анализа показано, что при расчетах коэффи циента вязкости для смеси газов гелий-азот могут быть использованы формулы Уилке и Улыбина, а для расчета коэффициента теплопроводности этой смеси в диа пазоне температур 400-2300 К и низких давлений, наиболее надежные значения дает метод Ченга, Бромли и Уилке.
4. Получены асимптотические формулы вторых «вириальных» коэффициен тов вязкости и теплопроводности для степенного потенциала отталкивания.
Предложена модификация выражений для вкладов от двойных столкновений мономеров и от связанных состояний. Предложены формулы для вычисления пер вой поправки к вязкости и теплопроводности при низких приведенных температу рах. Получены простые и удобные формулы для расчетов коэффициентов переноса умеренно плотного азота, применимые в диапазоне приведенных температур 1,5 Т * 10.
5. Получены приближенные формулы для коэффициентов вязкости и тепло проводности смесей газов повышенной плотности. Предложенные формулы можно рассматривать как обобщение формул для коэффициентов переноса умеренно плот ной и разреженной газовой смеси на случай более плотной смеси.
4. Цитируемая литература 1. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., Изд. иностр. лит., 1960, 511с.
2. Гиршфельдер Дж, Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидко стей. М., Изд. иностр. лит., 1961, 929с.
3. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М.,»Мир», 1965, 307с.
4. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.
М.,»Мир», 1976, 554с.
5. Резибуа П., де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и га зов. М.,»Мир», 1980, 423с.
6. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л. Химия, 1971, 702с.
7. Зубарев В.Н., Козлов А.Д., Кузнецов В.М. и др. Теплофизические свойства технически важных газов при высоких температурах и давлениях: Справочник – М.:
Энергоатомиздат, 1989, 232с.
8. Kadoya K., Matsunaga N., Nagashima A. Viscosity and thermal conductivity of dry air in the gaseous phase. J. Phys. Chem. Ref. Data, 1985, v.14, №4, p.947.
9. Вассерман А.А., Казавчинский Я.З., Рабинович В.А. Теплофизические свой ства воздуха и его компонентов. М., Наука, 1966, 375 с.
10. Patek J, Klomfar J, Capla L., Buryan P. Thermal conductivity of nitrogen – me thane mixtures at temperatures between 300 and 425 K and at pressures up to 16 MPa. Int.
J. Thermophysics. 2003, v.24, №4, p.923.
11. Свойский В.З. Интегралы столкновений для сферических неполярных мо лекул. Ученые записки ЦАГИ, 1971, т.II, №5.
12. Hanley H.J.M., McCarty R.D., Cohen E.G.D. Analysis of the transport coeffi cients for simple dense fluids: Application of the modified Enskog theory. Physica. 1972, v.60, №2, p.322.
13. Свойский В.З. Свойства переноса в плотном газе. Асимптотика первой по правки по плотности. Труды ЦАГИ, 1974, выпуск 1628.
14 Нименская Н.В. Кинетическое уравнение и коэффициенты переноса для умеренно плотного газа. Вестник ЛГУ, 1977, т.13, №1, с.89.
15. Свойский В.З. Влияние связанных состояний на коэффициенты переноса газов умеренной плотности. Труды ЦАГИ, 1986, выпуск 2306, сборник работ ДСП.
16. Tham M.K., Gubbins K.E. Kinetic theory of multicomponent dense fluid mix tures of rigid spheres. J. Chem. Phys., 1971, v.55, №1, p.268.
17. Di Pippo, R. Dorfman J.R., Kestin J. et al. Composition dependence of the vis cosity of dense gas mixtures. Physica, 1977, v.86A, №2, p.205.
18. Wakeham W.A., Kestin J., Mason E.A., Sandler S.I. Viscosity and thermal con ductivity of moderately dense gas mixtures. J. Chem. Phys., 1972, v.57, №1 p.295.
19. Свойский В.З. Коэффициенты вязкости и теплопроводности газовых сме сей при больших плотностях. Ученые записки ЦАГИ, 1982, т.XIII, №4, стр.141.
20. Свойский В.З. Коэффициент теплопроводности газовых смесей при боль ших плотностях. Инженерно-физический журнал, 1985, т. XLVIII, №3, стр.418.
21. Свойский В.З. Приближенный метод расчета коэффициентов теплопро водности плотных газовых смесей. Инженерно-физический журнал, 1990, т. 58, №2, стр.296.
22. Kincaid J.M., Perez S., Cohen E.G.D. Modified Enskog theory for fluid mix tures. Phys Rev. A, 1988, v.38, №7, p.3628.
23. Свойский В.З. Упрощение модифицированной теории Энскога для смесей газов. Ученые записки ЦАГИ, 1994, т.25, №1-2, с.120.
24. Свойский В.З. Расчет коэффициентов теплопроводности смесей газов на основе модифицированной теории Энскога. Теплофизика высоких температур, 2001, т.39, №1, стр.79.
5. Публикации 1. Свойский В.З. Интегралы столкновений для сферических неполярных молекул. Ученые записки ЦАГИ, 1971, т.II, №5.
2. Свойский В.З. Вязкость и теплопроводность газов в диапазоне темпе ратур от 100 до 2000 К. Ученые записки ЦАГИ, 1973, т.IV, №1, стр126.
3. Свойский В.З. Свойства переноса в плотном газе. Асимптотика первой по правки по плотности. Труды ЦАГИ, 1974, выпуск 1628.
4. Свойский В.З. Влияние связанных состояний на коэффициенты переноса га зов умеренной плотности. Труды ЦАГИ, 1986, выпуск 2306, сборник работ ДСП.
5. Свойский В.З. Коэффициенты вязкости и теплопроводности газовых смесей при больших плотностях. Ученые записки ЦАГИ, 1982, т.XIII, №4, стр.141.
6. Свойский В.З. Коэффициент теплопроводности газовых смесей при боль ших плотностях. Инженерно-физический журнал, 1985, т. XLVIII, №3, стр.418.
7. Свойский В.З. Приближенный метод расчета коэффициентов теплопровод ности плотных газовых смесей. Инженерно-физический журнал, 1990, т. 58, №2, стр.296.
8. Свойский В.З. Упрощение модифицированной теории Энскога для сме сей газов. Ученые записки ЦАГИ, 1994, т.25, №1-2, с.120.
9. Свойский В.З. Расчет коэффициентов теплопроводности смесей газов на основе модифицированной теории Энскога. Теплофизика высоких темпера тур, 2001, т.39, №1, стр.79.
10. Свойский В.З. Углы отклонения для потенциала (12-7). Труды ЦАГИ, 1970, выпуск 102, Изд. отдел ЦАГИ 11. Свойский В.З. Коэффициенты диффузии внутренней энергии многоатом ных газов. Х Российская конференция по теплофизическим свойствам веществ. Ка зань, Россия, 30 сентября – 4 октября 2002 г. Материалы конференции, стр.186.
12. Свойский В.З. Вязкость и теплопроводность смеси гелий – азот при низких давлениях. Труды ЦАГИ, 1982, в.2147.
13. Свойский В.З. Коэффициент вязкости и теплопроводности азота при дав лениях до 100 МПа и температурах от 50 до 2000 К. Труды ЦАГИ, Москва 1990, вып.2439, Сборник статей, ДСП.
14. Свойский В.З. Учет внутренних степеней свободы при расчете коэф фициента теплопроводности газов по теории Энскога. Ученые записки ЦАГИ.
2001, т.32, №3-4, стр.105.
Таблица – I.1 Эффективные поперечные сечения, 10-20 м2. Отношения Dint/D Газ Т,К Ср/R (10E) M(10E) (10D) (10E,10D) (1010) (1001) (1010,1001) Dint/D 300 3,503 24,8 23,80 42,2 3,08 32,57 34,43 9,18 1, 400 3,518 22,7 22,12 35,7 2,31 28,56 29,84 6,87 1, 500 3,558 21,5 21,09 32,8 1,81 26,51 27,78 5,90 1, N2 600 3,621 20,7 20,41 29,5 1,46 24,77 25,42 4,62 1, 700 3,699 20,1 19,92 27,7 1,22 2370 24,09 3,99 1, 800 3,781 19,6 19,54 26,4 1,03 22,80 23,12 3,55 1, 900 3,860 19,2 19,24 25,4 0,89 22,23 22,36 3,22 1, 1000 3,932 18,8 18,98 24,5 0,78 21,63 21,67 2,95 1, 300 3,505 25,8 23,80 47,3 2,69 34,40 38,70 10,87 0, 400 3,529 23,1 22,12 38,8 2,53 29,98 31,92 8,19 0, 500 3,583 21,6 21,10 33,9 2,26 27,39 28,11 6,54 1, СО 600 3,661 20,8 20,43 31,0 1,86 25,76 26,03 5,43 1, 700 3,749 20,2 19,94 29,0 1,55 24,59 24,61 4,66 1, 800 3,837 19,7 19,56 27,5 1,33 23,68 23,51 4,12 1, 900 3,918 19,3 19,26 26,4 1,16 22,98 22,71 3,73 1, 1000 3,991 19,0 18,99 25,5 1,03 22,42 22,07 3,40 1, 300 4,460 39,1 36,29 63,7 2,9 52,79 50,01 12,56 0, 400 4,952 33,4 32,17 48,4 1,7 42,53 39,27 7,52 0, 500 5,346 30,2 29,64 40,8 1,1 36,94 34,06 5,22 1, СО2 600 5,669 28,3 27,94 36,5 0,64 33,52 31,28 3,99 1, 700 5,938 26,9 26,74 33,7 0,33 31,16 29,44 3,30 1, 800 6,163 26,0 25,85 31,6 0,14 29,46 28,13 2,72 1, 900 6,351 25,2 25,18 30,2 0,03 28,26 27,14 2,44 1, 1000 6,509 24,6 24,65 29,0 -0,05 27,26 26,34 2,15 1, 300 4,295 30,0 29,33 37,9 -0,15 33,15 34,75 3,87 0, 400 4,871 26,4 26,79 31,6 0,48 29,41 28,59 2,61 1, 500 5,574 24,7 25,37 28,8 0,36 27,32 26,18 2,00 1, СН4 600 6,282 23,6 24,47 27,1 0,27 25,97 24,73 1,66 1, 700 6,951 22,9 23,82 25,9 0,22 25,03 23,77 1,38 1, 800 7,569 22,3 23,32 25,1 0,21 24,37 23,03 1,24 1, 900 8,131 21,7 22,87 24,4 0,20 23,75 22,34 1,17 1, 1000 8,635 21,3 22,47 23,8 0,20 23,26 21,84 1,05 1, 300 7,424 47,5 45,25 65,8 1,2 60,77 52,53 8,26 0, 400 8,808 43,2 41,41 56,7 0,48 53,30 46,60 5,88 0, 500 9,856 40,4 39,05 51,9 0,31 49,25 43,05 4,85 0, CF4 600 10,633 38,5 37,43 48,9 0,30 46,71 40,69 4,25 0, 700 11,211 37,0 36,21 46,9 0,33 44,97 38,93 3,94 0, 800 11,649 35,9 35,27 45,5 0,37 43,74 37,66 3,73 0, 900 11,987 35,0 34,50 44,5 0,40 42,84 36,66 3,63 0, 1000 12,256 34,3 33,86 43,6 0,44 42,06 35,84 3,49 0, 6, 4, 2, 0, Т 0 500 1000 1500 - 1, Рис. I.1 Отклонения расчетных значений коэффициента вязкости от экспериментальных в зависимости от температуры Ne Ar Kr Xe N ж 12- 12-6 Z вр 1 -т е о ри я (П а рке р) 2 - т е п л о п. (В а р га ф т и к )+ (С а нд л е р) D вр 3 - т е п л о п. (В а р га ф т и к )+ D вр=D Т, К 200 400 600 800 Р и с I.2 В р а щ а т е л ь н о е с т о л к н о в и т е л ь н о е ч и с л о ка к ф ункци я те м пе ра туры м В т /( м * К ) теория эксп м о л ь /л 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2, Рисунок III.7 – Сравнение теории с экспериментом по теплопроводности смеси азот-метан Т=300 К, х(СН4)=0,