535.42 шполянский юрий александрович спектрально-временная эволюция предельно коротких импульсов света в прозрачных средах и оптических волноводах с дисперсией и кубической нелинейностью

На правах рукописи

УДК 535.2:621.373.826, 535.135, 535.42 Шполянский Юрий Александрович СПЕКТРАЛЬНО-ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ СВЕТА В ПРОЗРАЧНЫХ СРЕДАХ И ОПТИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ И КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Специальность 01.04.05 - Оптика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010 г.

2

Работа выполнена на кафедре фотоники и оптоинформатики Санкт Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики Доктор физико-математических наук,

Научный консультант:

профессор Козлов Сергей Аркадьевич

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Маймистов Андрей Иванович, Московский инженерно-физический институт (Национальный исследовательский ядерный университет) Доктор физико-математических наук, профессор Толмачев Юрий Александрович, Санкт-Петербургский государственный университет Доктор физико-математических наук, профессор Сидоров Александр Иванович, Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики Международный учебно-научный лазерный

Ведущая организация:

центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 23 декабря 2010 г. в 15 час. 50 мин.

в аудитории 466 на заседании диссертационного совета Д 212.227.02 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета.

Автореферат диссертации разослан 22 ноября 2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.227.02, доктор физико-математических наук, профессор Денисюк И.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы С 1990х гг. все более широкое распространение получают лазерные системы, генерирующие высокоинтенсивные сверхкороткие импульсы фемто и субфемтосекундного диапазона. Распространение фемтосекундного излучения в оптических средах без разрушения вещества оказалось возможным при гораздо больших интенсивностях, чем для более длинных импульсов. Это привело к возможности свободно наблюдать нелинейные явления, которые в поле импульсов больших длительностей наблюдаются редко. Например, явление сверхуширения временного спектра излучения, когда ширина спектра становится соизмеримой с его центральной частотой, в поле фемтосекундных импульсов наблюдается практически во всех прозрачных объемных и волноведущих средах. Явление сверхуширения временного спектра называют также генерацией спектрального суперконтинуума (ССК).

Применение импульсов с континуумным спектром чрезвычайно перспективно для многих областей науки и техники. Сфазировав фемтосекундный ССК, можно получить импульсы, состоящие всего из двух трех колебаний светового поля. Длительность таких предельно коротких импульсов (ПКИ) фактически определяет новый масштаб временных измерений - порядка 5 фемтосекунд в видимом и ближнем ИК диапазоне.

Другой новый метрологический масштаб - спектральная ширина воспроизводимого когерентного излучения в несколько сотен терагерц - уже используется для измерения абсолютных значений частот с точностями, на много порядков превосходящими достижимые ранее. Особо стоит отметить перспективы использования фемтосекундного суперконтинуума в современных информационных технологиях для сверхплотной передачи информации и в сверхширокополосной спектроскопии.

Как фундаментальное явление фемтосекундной оптики, генерация ССК представляет несомненный теоретический интерес. Однако традиционные в оптике сверхкоротких импульсов теоретические модели, базирующиеся на приближении медленно меняющейся амплитуды, перестают быть плодотворными при описании явлений сверхуширения спектра, т.к., по сути, содержат в себе предположение квазимонохроматичности излучения. Поэтому разработка новых адекватных моделей генерации фемтосекундного ССК в прозрачных средах, а также выявление характерных черт этого процесса в зависимости от параметров распространяющихся импульсов и характеристик среды представляются весьма актуальными задачами.

Цель работы Развитие теории временной и спектральной эволюции интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов со сверхширокими спектрами в прозрачных оптических волноводах и объемных средах с нерезонансными дисперсией и кубической нелинейностью.

Задачи исследования 1. Вывод и решение уравнений динамики спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов в оптических волноводах с нерезонансными дисперсией и кубической нелинейностью. Обобщение уравнений на случай параксиальной пространственно-временной эволюции в объемных средах.

2. Вывод соотношений между входными параметрами светового импульса с широким спектром и характеристиками волновода, определяющих начальный сценарий динамики среднеквадратических длительности и ширины спектра излучения.

3. Выявление основных сценариев сверхуширения спектра импульсов из малого числа колебаний светового поля в волноводах, используя выведенные уравнения и соотношения.

4. Анализ влияния электронно-колебательной нелинейности на сверхуширение спектра предельно коротких импульсов в кварцевом волокне и объемном кварцевом стекле.

5. Исследование влияния электронной и электронно-колебательной нелинейностей на сверхуширение спектра фемтосекундных импульсов в капиллярах, заполненных комбинационно активными газами.

6. Описание самовоздействия и взаимодействия импульсов с широкими спектрами и различными центральными частотами одним уравнением для комплексной огибающей.

7. Изучение особенностей комплексной огибающей излучения со сверхшироким спектром и произвольным временным профилем.

8. Исследование эволюции временных и спектральных характеристик ПКИ в процессе укручения заднего фронта его огибающей при параксиальной самофокусировке в прозрачной объемной среде с нормальной и аномальной групповой дисперсией.

Основные новые научные положения, выносимые на защиту 1. Выведено уравнение однонаправленной (безотражательной) эволюции сверхширокого частотного спектра линейно поляризованного излучения в оптическом волноводе с дисперсией произвольного вида и кубической нелинейностью электронной и электронно-колебательной природы. Уравнение обобщено на случай параксиальной самофокусировки излучения в прозрачной объемной среде.

2. Выведена параболическая зависимость квадрата среднеквадратической длительности импульса из малого числа колебаний поля от пройденного расстояния в волноводе с дисперсией и нерезонансной электронной нелинейностью. Различные соотношения коэффициентов параболы определяют один из трех возможных режимов начальной эволюции временного профиля импульса – расплывание, неизменение во времени или сжатие (самокомпрессию). Показана возможность одновременной компрессии временного и спектрального профиля импульса из малого числа колебаний с отрицательной частотной модуляцией.

3. Выведена зависимость среднеквадратической ширины спектра импульса из малого числа колебаний поля от пройденного расстояния в волноводе с произвольной дисперсией и нерезонансной электронной нелинейностью на начальном этапе распространения. Показано, что ширина спектра увеличивается при учете его обогащения за счет генерации кратных гармоник.

В области аномальной групповой дисперсии возможно самосжатие (увеличение амплитуды и уменьшение ширины) главного спектрального максимума вокруг центральной частоты.

4. Предсказано, что генерация фемтосекундного спектрального суперконтинуума в оптических волноводах, сопровождающая формирование солитоноподобных образований из малого числа колебаний светового поля, более эффективна, чем генерация суперконтинуума, сопровождающая временное уширение фемтосекундного импульса. Для импульсов с разной центральной частотой, но совпадающими числом колебаний поля, интенсивностью и отношением нелинейной и дисперсионной длин, показано, что различие нормированной среднеквадратической ширины спектра может составлять 5 и более раз.

5. Электронно-колебательная нелинейность кварцевого стекла в области нормальной групповой дисперсии приводит к малому (на несколько процентов) сдвигу центральной частоты сверхуширяющегося спектра предельно короткого импульса в стоксову область. В случае аномальной групповой дисперсии она проявляется существеннее. Так в оптическом волноводе из-за нее появляются модуляции в спектре и растет длительность солитоноподобных образований из нескольких колебаний поля, а в объемной среде – увеличиваются интенсивность и длительность высокочастотного хвоста импульса.

6. Существенные электронно-колебательная и электронная нелинейности сжатого дейтерия в полом капилляре определяют структуру спектрального суперконтинуума, формирующегося при распространении импульсов длительностью 120-150 фс. На начальном этапе доминирует уширение спектра накачки за счет фазовой самомодуляции. Потом появляются неоднородно уширенные стоксовая и антистоксовая комбинационные компоненты. Далее имеет место каскадная генерация преимущественно стоксовых частот. К выходу из волновода все компоненты перекрываются и формируется сплошной сверхширокий спектр с множеством квазидискретных максимумов.

7. Взаимодействие, как и самовоздействие, импульсов с континуумными спектрами и различными центральными частотами в нелинейной среде может быть описано одним уравнением для комплексной огибающей. Для этого огибающая суммарного поля произвольного вида должна определяться на основе формализма аналитического сигнала, а дисперсионная зависимость константы распространения от частоты должна вводиться в уравнение в Фурье пространстве непосредственно, без применения аппроксимации несколькими первыми членами ряда Тейлора. Такая математическая модель для взаимодействия импульсов с континуумными спектрами корректнее, чем система уравнений для огибающих отдельных импульсов.

8. В случае предельно коротких импульсов электронная кубическая нелинейность приводит к появлению в профиле огибающей осцилляций с периодом порядка половины периода колебаний на центральной частоте спектра. Глубина осцилляций может превышать 10% от амплитуды излучения.

Эффект связан с генерацией утроенных частот, которая традиционно игнорируется в уравнениях для комплексной огибающей. Показано, как можно обобщить уравнения для огибающих, чтобы корректно учесть этот эффект.

9. Ударное увеличение крутизны заднего фронта огибающей, связанное с генерацией мощного “синего” крыла спектра с шириной вплоть до удвоенного значения лазерной частоты, является фактором, ограничивающим рост поля при параксиальной самофокусировке осесимметричных импульсов из малого числа колебаний в прозрачных объемных средах. Уже при мощностях, в 1.1-2. раза превышающих критическую мощность самофокусировки, длительность заднего фронта огибающей может становиться заметно меньшей одного периода колебаний на лазерной частоте. Далее формирующие фронт высокочастотные компоненты отстают от основного импульса из-за различия групповых скоростей, унося энергию и растягивая структуру во времени.

Научная новизна Все результаты, включенные в положения, выносимые на защиту, являются новыми. Специально отметим следующее:

1. Уравнения из положений 1-3 выведены впервые. Процедура вывода уравнения однонаправленного распространения из полного волнового уравнения оригинальна. Ее достоинством является наглядность всех математических преобразований. Процедура может быть перенесена на другие модели нелинейности среды.

2. Первые результаты соискателя по моделированию спектрально-временной эволюции ПКИ в одномодовых оптических волноводах с произвольным законом дисперсии относятся к 1997-2001 гг. и являются приоритетными.

Соискатель - соавтор приоритетных научных работ по параксиальной самофокусировке ПКИ в прозрачных объемных средах, начиная с 1999 г.

3. Впервые продемонстрирована возможность описания взаимодействия импульсов с континуумными спектрами и сильно различающимися центральными частотами одним уравнением для комплексной огибающей.

4. Изменения огибающей оптического излучения со сверхшироким спектром в прозрачной среде, имеющие характерный временной масштаб заметно меньше одного периода колебаний на лазерной частоте, обсуждаются впервые.

Практическая значимость работы 1. Разработанные численные методы и комплекс программ являются основой для инженерных расчетов генерации фемтосекундного спектрального суперконтинуума в волноводах и объемных средах. Программные средства успешно используются для анализа экспериментов по дифракции терагерцовых импульсов из малого числа колебаний поля.

2. Оценки по выведенным уравнениям изменения среднеквадратической длительности и ширины спектра световых импульсов позволяют экспрессно, без решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, определять параметры импульсов и волноводов, обеспечивающие условия для решения прикладных задач.

3. Эксперименты по генерации квазидискретных сверхшироких спектров в полых волноводах, заполненных водородом или дейтерием, получили теоретическую трактовку.

4. Полученные результаты открывают путь к значительно более широкому использованию существующих программных реализаций, основанных на формализме огибающей, путем их несложной модификации.

5. Рассчитанные константы дисперсии кварцевого стекла позволяют аппроксимировать частотную зависимость показателя преломления с точностью до 10-3 в диапазоне длин волн 460-2000 нм.

Достоверность результатов Достоверность развиваемой в работе теории подтверждается соответствием делаемых выводов и заключений результатам физических экспериментов по распространению интенсивных фемтосекундных импульсов. Выведенные уравнения и соотношения включают известные ранее теоретические результаты для квазимонохроматических импульсов как частные случаи.

Апробация работы По результатам работы представлено 67 докладов на научных конференциях и семинарах различного уровня, в том числе на Международном симпозиуме по фотонному эхо и когерентной спектроскопии PECS (Йошкар-Ола, 1997;

Калининград, 2005);

Международной конференции по лазерной физике и спектроскопии (Беларусь, Гродно, 1997, 1999);

Международной конференции по оптике лазеров LO (Санкт-Петербург, 1998, 2000, 2002, 2006);

Международной конференции по когерентной и нелинейной оптике ICONO (Москва, 1998;

Минск, Беларусь, 2001, 2007;

Санкт-Петербург, 2005);

Международной конференции по сверхбыстрым явлениям Ultrafast Phenomena (Мюнхен, ФРГ, 1998);

Международном конгрессе по современной оптике (Будапешт, Венгрия, 1998);

Международном конгрессе по высокоскоростной фотографии и фотонике (Москва, 1998);

Международной конференция по лазерам LASE (Квебек, Канада, 1999);

Международной конференции по мощным лазерам и их приложениям Photonics WEST (Сан-Хосе, Калифорния, США, 1999, 2002);

Международной конференции по квантовой электронике и лазерной технике (Балтимор, Мэриленд, США, 1999);

Международной конференции Photonics Prague (Прага, Чешская Республика, 1999, 2002);

Международной Конференции “Нелинейные науки на рубеже тысячелетий” (Санкт-Петербург, 1999);

Российской научно-практической конференции Оптика - ФЦП “Интеграция” (Санкт-Петербург, 1999);

Международной конференции молодых ученых и специалистов “Оптика” (Санкт-Петербург, 1999, 2001, 2009);

Международных чтениях по квантовой оптике (Казань, 1999);

Международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых Международной конференции по (Санкт-Петербург, 2000, 2003);

взаимодействию лазерного излучения с веществом (Санкт-Петербург, 2000, 2003);

Европейской Международной конференции по лазерной и электро оптике (Ницца, Франция, 2000;

Мюнхен, ФРГ, 2001);

Международной конференции “Фундаментальные проблемы оптики” (Санкт-Петербург, 2000, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010);

Ежегодной конференции Оптического Общества Америки (Лонг Бич, Калифорния, США, 2001);

Международной конференции “День дифракции” (Санкт-Петербург, 2002, 2007, 2010);

научной и учебно методической конференции СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2010);

научном семинаре в Международном лазерном центре МГУ (Москва, 2003, 2010);

Международной конференции по оптике “ROMOPTO” (Константа, Румыния, 2003);

летней научной школе лауреатов фонда “Династия” (Московская обл., пос. Московский, 2005);

Международной конференции по оптоинформатике и фотонике, проводимой Международным комитетом по оптике ICO (Санкт-Петербург, 2006, 2008);

Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, 2010).

Публикации По теме диссертации опубликовано 60 научных и учебно-методических работ из них 21 в журналах списка ВАК, 8 в журнале Proceedings of SPIE, входящем в системы цитирования SCOPUS и Chemical Abstracts, 19 в других рецензируемых научных изданиях и сборниках, 12 в сборниках трудов конференций.

Личный вклад Диссертация написана Ю.А. Шполянским лично. Все приведенные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии. Программы расчета динамики фемтосекундных импульсов в прозрачных средах и волноводах реализованы совместно с соавторами по публикациям к.ф.-м.н. А.Н. Берковским и к.ф.-м.н. М.А. Бахтиным. Программы основаны на численных схемах, разработанных Ю.А. Шполянским.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, 4 приложений и списка литературы из 248 наименований. Она изложена на 246 страницах, включая рисунков и 1 таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы ее цель, задачи и основные результаты, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации работы, охарактеризована структура диссертации.

Первая глава посвящена выводу уравнения однонаправленной (безотражательной) эволюции оптического излучения со сверхшироким спектром в прозрачных оптических волноводах и объемных средах.

В разделе 1.1 приведено обоснование возможности использовать скалярный вариант полного волнового уравнения для описания эволюции линейно поляризованного излучения со сверхшироким частотным и узким пространственным спектром в прозрачной среде.

Как известно, система уравнений Максвелла для электромагнитного поля, распространяющегося в немагнитной оптической среде, может быть сведена к векторному волновому уравнению общего вида для электрического поля.

Уравнение должно быть дополнено материальными уравнениями для поляризационного отклика среды. В работе нерезонансный линейный отклик прозрачной среды вводится через феноменологическую дисперсионную зависимость эффективного (учитывающего в общем случае материальный и волноводный вклады) показателя преломления n от частоты оптического излучения.

Нерезонансный нелинейный отклик прозрачных сред обычно существенно слабее линейного при допробойных интенсивностях распространяющихся импульсов (а именно такие режимы изучаются в работе).

Если кроме этого поперечный размер пучка w заметно превышает центральную длину волны 0, то для линейно поляризованного излучения вместо векторного получается скалярное уравнение для электрического поля. В координатах ( x, y, z ), где z - основное направление распространения излучения, это условие соответствует предположению параксиальности пучка (узости пространственного спектра):

k / k 2 1, (1) где волновое число k = n() / c - длина волнового вектора k = ( k x, k y, k z ), k = k x + k y ~ 2 / w - длина его поперечной проекции, c - скорость света в 2 вакууме.

В разделе 1.2 приведена модель нелинейного отклика прозрачной среды, используемая в работе. Учитываются 2 механизма кубической нелинейности, важные в поле фемтосекундных импульсов из малого числа колебаний поля:

мгновенный электронный и малоинерционный электронно-колебательный (Рамановский) отклики:

2 R 1 R PNL = E + RE ;

+ + 2 R = E 2, e 3 ev (2) t Tv t 3 3 v где E – электрическое поле импульса, t - время, 3 и 3 - кубические e ev восприимчивости электронной и электронно-колебательной природы, переменная R осуществляет нелинейно-параметрическую связь между электрическим полем импульса и колебаниями молекул среды;

v, Tv и количественно характеризуют дисперсию электронно-колебательной нелинейности. Далее дано представление модели (2) в частотной области.

Для кубической нелинейности условие малости нелинейного отклика по сравнению с линейным удобно формализовать в виде оценки нелинейной добавки к показателю преломления:

~ = n I = 3 3 Emax n, e ~ nNL (3) 2 2 n где Emax - максимальное значение напряженности электрического поля на входе в среду, I - соответствующая интенсивность излучения;

n0 = n ( 0 ), 0 ~ центральная частота спектра;

n = 3 / n e - характерное значение 2 3 коэффициента нелинейного показателя преломления среды.

В разделе 1.3 показывается, что постановка граничных условий для спектра излучения на входе в среду ( z = 0 ), включающая выбор начального направления распространения излучения в положительном направлении оси z, фактически определяют переход от полного волнового уравнения для спектра фемтосекундных импульсов со второй производной по к z дифференциальному уравнению с первой производной. Возможность понижения порядка уравнения следует из условий (1), (3). Полученное уравнение первого порядка имеет вид:

G + i n()G + z c [ )] ( 2 3 + 3 2 2 + i Tv G ( )G ( )G () e ev n() + ( v )n( ) + ( )n( ) + n() dd = +i c ic = G, (4) 2n ( ) + где G ( x, y, z, ) = E ( x, y, z, t ) exp(it )dt - временной спектр электрического поля импульса, = ( / x, / y ) - поперечный лапласиан. Уравнение (4) 2 2 2 описывает динамику сверхшироких частотных спектров излучения, остающихся по мере эволюции в области прозрачности среды вдали от резонансов составляющих его диэлектрических сред. Каких-либо других ограничений на линейную дисперсию не налагается. В отсутствие поперечных эффектов (без дифракционного слагаемого в правой части в приближении плоской волны) уравнение применимо для одномодовых волноводов, в том числе фотоннокристаллических с различными свойствами. Уравнение (4) является наиболее общим уравнением первого порядка, которое можно получить из полного волнового уравнения при использовании модели нелинейности (2).

В разделе 1.4 уравнение (4) упрощается для случая сред со слабой дисперсией показателя преломления. Про большинство диэлектрических материалов, используемых в оптике, известно, что их показатель преломления в пределах очень широкого спектрального диапазона можно представить в виде n() = N 0 + n(), где N 0 - константа и n() N 0. Это позволяет упростить запись нелинейного оператора в уравнении (4) и показать, что он теперь представляет собой Фурье-преобразование производной по времени от нелинейного поляризационного отклика среды. Режимы генерации ССК, исследуемые в работе, связаны с распространением ПКИ именно в средах со слабой дисперсией. Уравнение, выведенное в этом параграфе, не может быть в общем случае решено аналитически. Поэтому далее кратко описан метод его численного решения. Применен метод расщепления по физическим процессам, когда линейная часть уравнения решается в спектральном представлении, а нелинейная часть – во временном. Такой подход хорошо согласуется с уравнениями эволюции излучения в средах с произвольной дисперсией.

Нелинейный шаг реализован по схеме Кранка-Николсона с внутренними итерациями. Детальное описание численного алгоритма дано в приложении.

В разделе 1.5 показывается, что в случаях, когда показатель преломления среды может быть представлен в виде ряда по четным (положительным и отрицательным) степеням частоты, спектральное уравнение переходит в известное уравнение для электрического поля ПКИ [Козлов С.А., Сазонов С.В.

Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // ЖЭТФ, 1997, т.111, N2, с.404-418], дополненное учетом электронно-колебательной нелинейности. При этом впервые показано, что волноводный вклад в эффективный показатель преломления аналогичен дисперсионному вкладу колебательной подсистемы материала сердцевины. В случае полых волноводов, заполненных сжатыми благородными газами, волноводный вклад приводит к появлению спектрального диапазона с эффективной аномальной групповой дисперсией волновода для распространяющегося излучения, в то время как сами благородные газы в силу атомарной структуры демонстрируют только нормальную групповую дисперсию. Далее на примере различных материалов и волноводов, используемых в оптике коротких импульсов, показывается, что их дисперсия в широком спектральном диапазоне может с высокой точностью описываться всего тремя членами дисперсионного ряда вида n ( ) = N 0 + ac2 bc / 2, (5) где N 0, a, b определяются как константы аппроксимации экспериментальных зависимостей формулой (5).

В разделе 1.6 обсуждаются известные уравнения однонаправленной эволюции фемтосекундных импульсов в прозрачных оптических средах и определяется, какое место среди них занимают уравнения для электрического поля и спектра излучения, выведенные в 1 главе.

Во второй главе сценарии эволюции оптических импульсов в волноводах со слабой дисперсией изучаются на основе соотношений для их средних параметров – законов динамики “центров тяжести” и длительностей импульсов.

В разделе 2.1 выводятся приближенные выражения, описывающие движение центра тяжести ПКИ t в волноводах, т.е. зависимость от координаты z момента первого порядка от распределения квадрата электрического поля импульса по времени. Малость изменения профиля импульса по сравнению с его движением как целого позволяют указать длину волновода, на которой справедливо представление искомой зависимости в виде первых трех членов ее ряда Тейлора в точке z=0 (на входе в волновод). Далее выписываются первая и вторая производные от центра тяжести импульса по z при z=0. Выражения для первой и второй производной содержат несколько интегральных параметров распределения поля импульса на входе в волновод с коэффициентами, представляющими собой комбинации дисперсионных и нелинейных констант волновода. Показывается, что для случая малых интенсивностей распространяющихся импульсов, когда нелинейностью можно пренебречь, закон изменения положения центра тяжести линеен по z. Это же утверждение оказывается верным и для нелинейного случая, когда суммарный вклад волновода и фононной системы материала его сердцевины в дисперсию эффективного показателя преломления малы по сравнению с вкладом электронной системы.

В разделе 2.2 выводится закон динамики среднеквадратической длительности импульса с континуумным спектром по мере его распространения в волноводе. Для этого используется та же техника, что и в разделе 2.1: зависимость квадрата длительности от z на начальном отрезке волновода аппроксимируется первыми тремя членами ее ряда Тейлора в точке z=0. Математические выкладки и выражения для первой и второй производных становятся более громоздкими. В результате выражение для квадрата среднеквадратической длительности имеет вид:

t 2 = t0 + P z + P2 z 2, (6а) E 2 t + 2b Edt ' + 3 gE 4 dt, P= (t t 0 ) 6a (6б) t W 22 E E 9a P2 = 2 W 2 dt dt + t t W b2 2 3g 2 2 2 t + 2 W U dt dt U dt + 4W 2 4W E dt 3 E dt + W 6ab 2 9ag E 4W E E 2 dt E dt E 4 dt + 2 W + t W 2 t dt U dt t +2 W bg 2 8W E U (t t 0 )dt + 3 U dt E 4 dt, 3 W (6в) t где W = E dt характеризует энергию импульса, U = t - первообразная, Ed t0 - среднеквадратическая длительность входного импульса. Константа g = 6 e / cN 0 количественно характеризует безынерционную кубическую нелинейность. В (6) электрическое поле и его первообразная берутся при z=0.

Выведенные формулы позволяют по входным параметрам излучения и свойствам волновода определить начальный сценарий эволюции длительности импульса: его временное сжатие, уширение или квазистационарный характер распространения. В линейном режиме распространения выражение для квадрата среднеквадратической длительности в виде многочлена второй степени от z является точным.

В разделе 2.3 дается спектральная трактовка полученных соотношений.

Начальный сценарий эволюции импульса с континуумным спектром определяется набором интегралов в бесконечных пределах от электрического поля импульса на входе в волновод, его производных и первообразных, а также соотношением воздействия различных механизмов дисперсии и нелинейности на импульс. Показывается, что часть интегралов представляет собой моменты распределения квадрата модуля спектральной плотности различного порядка и таким образом характеризуют средние параметры спектра импульса на входе в волновод. Все интегралы, фигурирующие в выражениях для коэффициентов при z2 законов динамики положения центра тяжести и длительности ПКИ, в линейном режиме допускают такую трактовку. Это, в частности, позволяет показать, что начальная спектральная фаза оказывает влияние только на коэффициент при первой степени z закона изменения квадрата длительности импульса в линейном режиме, т.е. дисперсионное расплывание на больших расстояниях определяется только модулем исходной спектральной плотности.

Показывается, что естественным параметром, определяющим влияние дисперсии на динамику импульса, является соотношение начальной центральной частоты излучения и частоты нулевой групповой дисперсии волновода.

В разделе 2.4 на основе выведенных приближенных законов динамики центра тяжести и длительности иллюстрируются возможные сценарии эволюции ПКИ. Параболическая зависимость, определяющая изменение квадрата среднеквадратической длительности t (z ) на начальном отрезке волновода, пересекает ось ординат в точке t (0). Возможные сценарии начальной эволюции длительности определяются множеством различных парабол содержащих эту точку. Все множество парабол можно классифицировать по направлению ветвей (“вверх” или “вниз”) и положению точки экстремума относительно оси ординат (“слева” или “справа”), т.е.

знаками коэффициентов при линейном и квадратичном слагаемом. Показывается, что теоретически выбором центральной частоты, формы, длительности и интенсивности ПКИ на входе в волновод можно добиться любых соотношений между знаками этих коэффициентов и иметь, таким образом, различные Рис. 1. Динамика среднеквад сценарии начального сжатия, уширения ратической длительности ПКИ или квазистационарного закона при генерации ССК (на вставке) изменения длительности импульса.

Сопоставлением с результатами числен ного решения уравнения эволюции поля и спектра импульсов в волноводах со слабой дисперсией показываются, что приближенные формулы адекватно описывают сценарии начальной эволюции, а точность их предсказания увеличивается при уменьшении центральной длины волны и при увеличении длительности изучаемого импульса. Пример динамики среднеквадратической длительности ПКИ с центральной длиной волны 780 нм, интенсивностью 2· Вт/см2 и отрицательной частотной модуляцией в полом волноводе, заполненном аргоном при атмосферном давлении, приведен на Рис. 1.

В третьей главе эволюция оптических импульсов в волноводах с произвольным законом дисперсии изучается на основе соотношений для среднеквадратической ширины спектра.

В разделе 3.1 уравнение динамики континуумного спектра излучения в оптическом волноводе с произвольной дисперсией и нерезонансной электронной нелинейностью решено методом последовательных приближений Пикара с точностью до второго приближения. С помощью разложения в ряд Тейлора до квадратичных по z слагаемых и преобразования Фурье полученные выражения, содержащие многократные интегралы-свертки от спектральной плотности импульса, для случая среды со слабой дисперсией упрощены и записаны в виде, удобном как для объяснения физической сути слагаемых, так и для эффективного численного моделирования, т.к. возможно применение процедуры быстрого преобразования Фурье (БПФ). Полученное решение имеет вид:

G ( z, ) [G0 () + zI 0 () + z 2 J 0 ()] exp( in() z / c ), (7) 23e I 0 ( ) = iF ( E0 ), (8) cN 3 3 3 182 e e e J 0 ( ) = iF ( E0 E D ) 2 (i) n ( ) F ( E0 ) + (i) 2 F ( E0 ), (9) 2 2 2 cN 0 c N0 5c N где G0 () = G(0, ) - спектр поля E0 (t ) = E (0, t ) на входе в волновод ( z = 0 );

E D (t ) = F 1 ([in ( ) / c ]G0 ( ) ), F 1 - обратное преобразование Фурье.

Нелинейные функционалы от исходного спектра импульса I 0, J определяются параметрами импульса при z = 0 и характеристиками оптического волновода – дисперсионным соотношением и нелинейной кубической восприимчивостью. Правая часть (8) и первые два слагаемых в правой части (9), сгруппированные в фигурные скобки, соответствуют первой итерации метода Пикара, третье слагаемое правой части (9) - второй итерации.

Слагаемые в фигурных скобках характеризуют изменение спектра импульса в результате совместного воздействия дисперсии и нелинейности среды. Правая часть (8) и третье слагаемое в правой части (9) связаны только с нелинейным воздействием среды на импульс.

Линейный по z член в (7) описывает общие тенденции динамики континуумного спектра, в то время как квадратичный член позволяет корректно учитывать изменение профиля спектральной плотности, появление локальных минимумов и максимумов. Рассмотрение квадратичного члена необходимо для описания начальной динамики среднеквадратической ширины спектра импульсов с произвольным временным профилем.

В разделе 3.2 методом моментов выведена зависимость квадрата среднеквадратической ширины спектра от пройденного импульсом расстояния z с точностью до квадратичных по z слагаемых:

2 0 + P1 z + P2 z 2, (10) где 0 - среднеквадратическая ширина спектра при z = 0. Формула (10) обобщает известные ранее выражения для квадрата среднеквадратической ширины спектра квазимонохроматических импульсов, которые также приближенно описываются параболой.

Полученные выражения для коэффициентов параболической зависимости P1, P2 громоздки и в автореферате не приводятся. Они рассчитываются через G0, а также нелинейные функционалы I 0, J 0 и позволяют получать экспрессные решения интегро-дифференциальных уравнений) (без предсказания сценариев начальной эволюции спектра: уширение, неизменение с расстоянием или сжатие, в зависимости от характеристик оптических волноводов и входных параметров импульсов.

Далее осуществляется переход к нормированным переменным в системе координат с запаздывающем временем, что упрощает анализ выражений и численные расчеты на их основе.

В разделе 3.3 практическая ценность полученных соотношений проиллюстрирована моделированием эволюции симметричных спектрально ограниченных гауссовых импульсов, распространяющихся в оптическом волокне из кварцевого стекла. Линейная дисперсия кварцевого стекла в области прозрачности может быть описана с высокой точностью зависимостью Селлмейера B j 2j n () = 1 + 2, (11) j =1 j j = 2c / j где резонансные частоты соответствуют длинам волн 1 = 0.0684043 мкм, 2 = 0.1162414 мкм, 3 = 9.896161 мкм и величины резонансов аппроксимируются значениями B1 = 0.696163, B2 = 0.4079426, B3 = 0.8974794. Вклад волноводной дисперсии рассматриваемого волокна мал по сравнению с материальной дисперсией.

Рис.2. Карта уровней нормированного коэффициента P2 для ПКИ из двух колебаний в оптическом волокне из кварцевого стекла Рассчитаны карты уровней нормированного коэффициента P2 в зависимости от начальных центральной длины волны и интенсивности.

Продемонстрировано, что структура уровней однотипна для различных оптических волноводов, если их константы распространения имеют похожие дисперсионные зависимости. Рассмотрена динамика основного спектрального пика в отдельности (пример дан на Рис. 2, 3), а также с учетом генерации кратных гармоник. Определены области центральных длин волн и интенсивностей, в которых ширина основного спектрального пика увеличивается ( P2 0), не изменяется ( P2 = 0) с расстоянием или уменьшается ( P2 0, см. Рис. 2, 3а). Зона перехода от уширения спектра к его сжатию при увеличении центральной длины волны связана с групповой дисперсией волновода и при малой входной интенсивности такой переход происходит вблизи длины волны нулевой групповой дисперсии.

Рис.3. Спектральная плотность (а) и электрическое поле (б) ПКИ с параметрами 0 = 2100 нм, I = 2.5 1012 Вт/см2 на входе (линия с кружками) и выходе (линия без кружков) отрезка кварцевого волокна длиной 1 мм.

Уменьшение ширины спектра симметричных гауссовых импульсов возможно для определенного диапазона интенсивностей в области аномальной групповой дисперсии. При учете обогащения спектра за счет генерации кратных гармоник на самом начальном этапе распространения полученные выражения предсказывают увеличение ширины спектра для любых центральных длин волн и интенсивностей. Показано, что все перечисленные выводы сохраняются и для несимметричных предельно коротких импульсов с произвольной начальной фазой электрического поля.

В четвертой главе сценарии генерации фемтосекундного ССК в оптических волноводах изучаются методами численного моделирования.

В разделе 4.1 рассматривается распространение интенсивных ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии волновода. В этом случае сверхуширение спектра сопровождается существенным нелинейным расплыванием импульса (Рис. 4). Расплывание импульса вызывается фазовой самомодуляцией в кубически нелинейной среде и осуществляется за счет генерации новых световых колебаний. Спектр импульса уширяется неоднородно, сильнее в антистоксову область, а его максимум оказывается в стоксовой области. Постепенно из-за расплывания импульса его интенсивность уменьшается, нелинейные эффекты ослабляются и на некотором расстоянии в волноводе спектральная плотность стабилизируется.

Рис. 4. Генерация ССК в оптическом волокне из кварцевого стекла при распространении ПКИ с центральной длиной волны 0 = 2c/0 = 780 нм и интенсивностью 3.5·1013 Вт/см2.

При этом ширина спектра по полувысоте может достигать 0.3-0.5 от центральной частоты импульса на входе в среду. Зависимость мгновенной частоты от времени в сформировавшемся континууме становится линейной, что может быть эффективно использовано при временной компрессии импульса. В кварцевых волокнах влияние электронно-колебательной нелинейности на ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии оказывается малым и сводится к некоторому уменьшению центральной частоты формирующегося континуума, которое становится более заметным с увеличением интенсивности ПКИ.

В разделе 4.2 адекватность развитого теоретического подхода для описания спектрального сверхуширения фемтосекундных импульсов иллюстрируется численным моделированием эксперимента по получению одного из самых широких на момент наблюдения континуумных спектров [J.K.

Ranka et al. Visible continuum generation in air–silica microstructure optical fibers with anomalous dispersion at 800 nm. // Opt. Lett., 2000, v. 25, p. 25-27].

Особенностью эксперимента было использование микроструктурированного волокна. По сравнению с обычными оптическими волокнами, используемыми в системах связи, микроструктурированные волокна демонстрируют заметно более сильные волноводные свойства за счет присутствия вокруг сердцевины волокна воздушных каналов. Большое различие показателей преломления кварцевого стекла и воздуха позволяет фокусировать оптическое поле в пятно диаметром 2 микрона и менее, что делает значительными нелинейные явления при распространении в волноводе излучения со сравнительно малой входной энергией. В рассматриваемом волноводе диаметры сердцевины и отдельного воздушного канала были соответственно 1.7 и 1.3 мкм, а точка нулевой групповой дисперсии попадала на длину волны 767 нм. Изучалось распространение импульсов длительностью 110 фс, центрированных на длине волны 770 нм. Для примера было осуществлено моделирование генерации ССК, когда импульс на входе в волновод имел энергию 1.6 кВт.

Рассчитанный численно сверхширокий Рис. 5. ССК, сформированный в спектр на выходе из волновода шириной микроструктурированном волокне более 500 нм не только качественно, но и количественно совпадал с обнаруженным экспериментально (Рис. 5).

Численное моделирование позволило кроме этого разрешить очень сложную внутреннюю структуру временного портрета поля импульса, свойственную области нулевой групповой дисперсии, которую трудно изучить в эксперименте.

В разделе 4.3 рассматриваются режимы, когда спектр ПКИ в волноводе полностью или частично попадает в область с аномальной групповой дисперсией. В зависимости от начальных условий такой режим может иметь место либо уже на входе в волновод, либо сформироваться в процессе распространения ПКИ в результате его спектрального сверхуширения.

Рис. 6. Генерация ССК в кварцевом микроструктурированном волокне с длиной волны нулевой групповой дисперсии zgd = 767 нм при распространении ПКИ с центральной длиной волны 0 = 2c/0 = 790 нм и интенсивностью 1013 Вт/см2.

Показывается, что спектральные компоненты, попадающие в область аномальной групповой дисперсии, при достаточной интенсивности могут формировать солитоноподобные образования бризерного типа длительностью вплоть до 1.5 колебаний светового поля. При этом в процессе установления спектра уединенной волны происходит его самосдвиг в сторону более низких частот, где аномальная групповая дисперсия проявляется сильнее. Электронно колебательная нелинейность приводит к модуляции спектра, потерям энергии и медленному расплыванию уединенных волн. Показывается, что при распространении в волноводах ПКИ со спектром в области нулевой или малой аномальной групповой дисперсии возможно получить ССК с шириной, вдвое и более превышающей начальную центральную частоту (Рис. 6). В этих режимах на первом этапе исходный спектр расщепляется на отчетливо выраженные низкочастотную и высокочастотную части. Во временном диапазоне это соответствует формированию и обрушению ударной волны на заднем фронте импульса. Низкочастотная часть, эволюционируя, распадается на уединенные волны, а высокочастотные компоненты, попадающие в область нормальной групповой дисперсии, сначала формируют хвост импульса, а потом постепенно отстают из-за разности групповых скоростей. Сложная фазовая структура электрического поля на выходе из волновода делает затруднительной компрессию суперконтинуума.

На примере импульсов с разной центральной частотой, но совпадающими числом колебаний поля, интенсивностью и отношением нелинейной и дисперсионной длин, показано, что нормированная среднеквадратическая ширина спектра в случае аномальной групповой дисперсии может быть в 5 и более раз шире, чем в случае нормальной дисперсии.

В разделе 4.4 дается теоретическая трактовка эксперименту по генерации ССК со сложной внутренней структурой и шириной 10000 см-1 при распространении импульсов длительностью 150 фс с центральной длиной волны З90 нм и энергией 0.1 мДж в отрезке полого волновода длиной 50 см, заполненного сжатым дейтерием под давлением 45 атм.

Дейтерий представляет собой комбинационно активный газ, и определяющую роль в формировании столь широкого спектра играет электронно-колебательная нелинейность.

Показывается, что численное моделирование позволило определить нелинейные константы Керровской и Рамановской нелинейности в Рис. 7. ССК в полом волноводе со сжатым дейтерием.

дейтерии, воспроизвести обнаруженный в эксперименте суперконтинуум (см. Рис. 7), и подробно описать процесс его формирования. Эволюция спектра импульса протекает следующим образом:

сначала доминирует неоднородное уширение спектра накачки за счет фазовой модуляции. На расстоянии порядка 17 см от входа в капилляре появляются неоднородно уширенные спектральные компоненты, центрированные вблизи стоксовой и антистоксовой частот. Стоксовые компоненты начинают расти и уширяться, а антистоксовые почти не развиваются. К окончанию следующей трети длины капилляра ширина спектра вблизи частоты накачки увеличивается в 10..12 раз по сравнению с исходной. Компоненты вблизи первой стоксовой частоты становятся соизмеримы с компонентами накачки и самые интенсивные из них, в свою очередь генерируют излучение, смещенное на величину стоксового сдвига. К выходу из волновода все компоненты перекрываются и формируется сплошной сверхширокий спектр с множеством квазидискретных максимумов.

В пятой главе обсуждаются особенности применения подхода на основе комплексной огибающей для описания эволюции излучения со сверхшироким спектром и произвольным временным профилем в прозрачных средах.

В разделе 5.1 напоминается, что распределение электрического поля оптического сигнала с произвольным физически реализуемым временным профилем и частотным спектром может быть представлено в виде:

E (t ) = 1 2 (t ) exp(i0t ) + к.с., (12) где – комплексная огибающая на частоте 0 ;

“к.с.” - комплексное сопряжение. Для импульса с широким спектром выбор параметра неоднозначен. Часто (но не всегда) применяют выражение для центральной + + частоты спектра электрического поля G () : 0 = 0 G( ) d G ( ) d.

2 Удачный выбор 0 позволяет минимизировать сдвиг импульса как целого в системе координат с “задержанным” временем = t z / V0, двигающейся с g групповой скоростью импульса на частоте 0 : V0 = V ( 0 ).

g g Выражение для расчета огибающей излучения с произвольным временным профилем редко встречается в современной литературе по оптике импульсов со сверхширокими спектрами, даже когда используется формализм огибающей. Оно является одним из результатов теории аналитического сигнала, разработанной Д.Габором:

1, 0, (t ) = 2 exp( i0t ) F [H ()G ()], H () = 1 / 2, = 0, (13) 0, 0.

В частотной области формула (13) переходит в выражение для спектра комплексной огибающей :

() = F [(t )] = 2 H ( + )G ( + ).

(14) 0 При выбранном 0 выражения (12), (13) взаимно однозначны, если спектр огибающей не содержит компонент на частотах 0. Далее приведены формулы для расчета амплитуды, фазы и мгновенной частоты оптического сигнала с произвольным временным профилем, основанные на (13).

В разделе 5.2 взаимная однозначность электрического поля и комплексной огибающей используется для получения из уравнения для спектра поля эквивалентного уравнения для спектра огибающей излучения со сверхшироким спектром, распространяющегося в прозрачной среде со слабой дисперсией:

( ) + i k ( + ) () + F [ ((t ))] = ( ), i (15) z 2 k ( + 0 ) 0 t где N t – оператор, учитывающий влияние среды с кубической нелинейностью электронной природы во временной области:

() 3 3 e 2 + i0 + + i0 exp(2i0t ).

t ((t )) = (16) 2cn0 t t Уравнение (15) инкорпорирует точную дисперсионную зависимость k ( + 0 ) без применения традиционного разложения в ряд Тейлора вокруг частоты 0.

Второе слагаемое в фигурных скобках в (16) обеспечивает учет генерации кратных частот нечетного порядка. Далее в параграфе приводятся выкладки, поясняющие, что одно уравнение (15) корректно описывает не только самовоздействие, но и взаимодействие сонаправленных импульсов со сверхширокими спектрами и различными центральными частотами.

В разделе 5.3 приведены результаты численного моделирования взаимодействия и самовоздействия интенсивных ПКИ в кварцевом волокне на основе уравнения (15). Рассмотрено сонаправленное распространение импульсов первой и второй гармоники лазера на сапфире с титаном, изначально разнесенных по времени. Огибающая суммарного поля на входе в волокно рассчитана, используя (13), (14). Импульсы проходят друг “сквозь” друга из-за различия групповых скоростей. Это создает условия для конкуренции кубических нелинейных процессов: фазовой само- и кросс модуляции, генерации параметрических и кратных частот. Спектральная и временная структура излучения претерпевают очень существенные изменения.

Спектры импульсов, изначально разделенные, уширяются и сливаются, образуя ССК с множеством локальных максимумов. Огибающая демонстрирует интерференционную структуру с заметными перепадами на временных интервалах, меньших периода центральной частоты. Уравнение (15) для огибающей суммарного поля оказывается точнее традиционной системы из уравнений для огибающих отдельных импульсов. Основные различия имеют место в области перекрытия спектров импульсов из-за неучета в системе нелинейных параметрических процессов, в то время как в (15) все процессы, связанные с электронной кубической нелинейностью, автоматически учтены.

Далее на примере моделирования распространения одиночного импульса первой гармоникм лазера на сапфире с титаном длительностью 8 фс и интенсивностью 41013 Вт/см2 проиллюстрированы осцилляции амплитуды, фазы и мгновенной частоты с характерным периодом вдвое меньшим периода основной частоты (Рис. 8). Размах осцилляций может достигать 10% от значений амплитуды огибающей.

Рис. 8. Временные зависимости полной фазы / с учетом утроенных частот (кривая 1) и мгновенной частоты inst /0 с учетом (2) и без учета (2') утроенных частот, а также электрическое поле E /E 0 (3) и огибающие без учета (3') и с учетом (3'') утроенных частот.

Этот эффект связан с генерацией кратных частот - см. слагаемое с exp( 2i0t ) в (16). Он не виден в профиле поля импульса на основной частоте, пока не построена огибающая (13). Виден только другой эффект, также определяемый этим слагаемым, – отдельный сгенерированный импульс на утроенной частоте (по времени его центр находится около 20 фс на Рис. 8), отстающий по мере распространения от основного импульса из-за различия групповых скоростей.

В шестой главе изучается увеличение крутизны заднего фронта огибающей ПКИ при их самофокусировке в прозрачных объемных средах.

Впервые рассматриваются режимы, в которых задний фронт ПКИ может укорачиваться до длительностей порядка или меньше одного периода колебаний начальной центральной частоты, и исследуется влияние генерации кратных частот.

В разделе 6.1 дан краткий обзор работ, посвященных самофокусировке оптических импульсов в прозрачных средах.

В разделе 6.2 рассмотрено распространение интенсивных осесиммет ричных ПКИ со спектром в области нормальной групповой дисперсии среды.

На Рис. 9-11 проиллюстрирован типичный режим эволюции поля E (ряды I, II) и модуля комплексной огибающей | | (ряд III), нормированных на максимальное значение поля на входе в среду E0, с увеличением пройденного расстояния z при самофокусировке ПКИ в объемном кварцевом стекле. В ряду I даны плоскостные изображения пространственно-временного распределения поля в координатах t, r = x + y : светло-серым частям изображения 2 соответствуют максимальные положительные значения поля, темно-серым – максимальные отрицательные значения. Ряды II, III содержат трехмерные аксонометрические изображения зависимостей E ( r, t ) и | ( r, t ) |. Поперечная координата r нормирована на 0. Входные параметры ПКИ на Рис. 9-11 – центральная длина волны 0 = 780 нм, начальная длительность по уровню e от максимума интенсивности t = 6T0 = 60/c, поперечный размер пучка r = 100 и пиковая интенсивность I = 71012 Вт/см2. Интенсивность, соответствующая критической мощности самофокусировки, для ПКИ с r = 100 в случае нормальной и аномальной дисперсии составляет порядка 4.51012 Вт/см2.

Рис. 9. Пространственно-временная эволюция ПКИ с начальными параметрами 0 = 780 нм, t = 6T0, r = 100 и I = 71012 Вт/см2 в кварцевом стекле.

Эволюция ПКИ происходит в условиях конкурирующего влияния кубической нелинейности электронной природы, приводящей к уширению временного и пространственного спектра излучения, дисперсии среды, меняющей фазовые соотношения между гармониками во времени, и дифракции, меняющей фазовые соотношения в пространстве. Оценки характерных длин процессов составляют для дифракции LDiffr ~ 0.18 мм, для нелинейности LNL ~ 0.10 мм и для дисперсии LDisp ~ 1.79 мм. Несмотря на то, что LDisp на входе в среду на порядок превышает LDiffr и LNL, учет дисперсии принципиально важен.

Режим самофокусировки на Рис. 9 соответствует сценарию образования структуры вида световой гантели. На начальном этапе происходит поперечное сжатие излучения (Рис. 9, z = 0.1, 0.2 мм) одновременно с уширением временного спектра импульса (Рис. 10) за счет фазовой самомодуляции, а также генерации утроенных частот, которые видны в спектре на Рис. 10 при z = 0.1, 0.2 мм и в виде быстрых осцилляций профиля огибающей на Рис. 9.

Образующиеся высокочастотные компоненты формируют задний фронт импульса, длительность которого на этом этапе уменьшается, крутизна его огибающей все более увеличивается (Рис. 9, 11). В рассматриваемом режиме при z = 0.18 мм длительность заднего фронта составляет лишь 2 фс (Рис. 11) – меньше периода Рис.10. Эволюция спектральной плотности на оси пучка начальной центральной частоты T0 = 2.6 фс.

Из-за уменьшения длительности заднего фронта и образования новых спектральных компонент усиливается воздействие дисперсии среды, направленное на растяжение импульса во времени, в первую очередь его заднего фронта.

Характерная длина дисперсии LDisp Рис.11. Поле и огибающая уменьшается пропорционально квадрату изменения масштаба длительности до на оси пучка при z = 0.18 мм значений одного порядка с LNL. При z ~ 0.2 мм происходит обрушение ставшей почти вертикальной огибающей – имеет место мощная генерация высокочастотных компонент, которые далее отстают из-за различия групповых скоростей и растягивают задний фронт. Расплывание импульса во времени ведет к уменьшению значений электрического поля, и, следовательно, к ослаблению нелинейных эффектов. В результате фокусировка оказывается ограниченной, формируется пространственно-временная “гантель” с минимальной поперечной перетяжкой. Передняя часть растянувшейся во времени несимметричной гантели становится низкочастотной, задняя – высокочастотной. Нелинейный набег фазы на оси пучка по сравнению с периферией превышает. Последующее дифракционно-дисперсионное “разбухание” световой “гантели” происходит квазилинейно.

Рассмотренный характерный пример наглядно иллюстрирует, что обрушение огибающей является фактором, ограничивающим рост поля при самофокусировке ПКИ. Заметим, что бездисперсионное рассмотрение дает при тех же начальных параметрах неограниченный рост поля. Изучение разных режимов для случая нормальной дисперсии показывает, что укорочение заднего фронта до длительностей порядка T0 имеет место, когда относительный рост интенсивности ПКИ в нелинейном фокусе составляет 5 и более раз.

Показывается, что пренебрежение генерацией кратных частот, типичное при использовании уравнений для огибающей, приводит к переоценке эффективности самофокусировки ПКИ – рост поля предсказывается завышенным, а размер перетяжки заниженным. Таким образом, генерация кратных частот, даже нерезонансная (нет группового синхронизма с основными частотами), в случае высокоинтенсивных ПКИ вносит существенный вклад в ограничение роста поля: отстающие от основного импульса кратные частоты уносят энергию и препятствуют дальнейшей фокусировке.

В разделе 6.3 приводится описание результатов численных расчетов, иллюстрирующих самофокусировку осесимметричных ПКИ со спектром в области аномальной групповой дисперсии среды.

Рис. 12. Приосевая эволюция поля E, огибающей | | (а) и спектральной плотности G (б) ПКИ с параметрами 0 = 1500 нм, t = 6T0, r = 100 и I = 51012 Вт/см2 в кварцевом стекле. Сплошные линии - распределения, полученные с учетом, а пунктирные – без учета генерации кратных частот.

На Рис. 12, 13 проиллюстрирован типичный режим эволюции ПКИ с параметрами 0 = 1500 нм, t = 6T0, r = 100 и I = 51012 Вт/см2 в кварцевом стекле - даны срезы распределений электрического поля, огибающей и спектральной плотности на оси пучка, нормированные на свои начальные максимальные значения. Спектр импульса на входе в среду попадает в область аномальной групповой дисперсии кварцевого стекла.

Характерные длины в этом режиме по входным параметрам и аппроксимации дисперсии кварцевого стекла (5) могут быть Рис.13. Поле и огибающая оценены как LDiffr ~ 0.34 мм, LNL ~ 0.24 мм и на оси пучка при z = 0.57 мм LDisp ~ 11.75 мм. Как и выше, имеем LDisp LDiffr, LNL, но из-за укручения заднего фронта огибающей роль дисперсии возрастает по мере распространения. В случае аномальной дисперсии эффективное воздействие нелинейности на импульс оказывается более значимым, чем в случае нормальной дисперсии. При формировании световой гантели минимальный размер перетяжки, образующейся в процессе самофокусировки, оказывается меньшим, а максимальное значение поля в приосевой части пучка, соответственно, большим при одинаковой входной интенсивности и количестве колебаний в ПКИ. Наблюдается мощная генерация высокочастотного (“синего”) крыла спектра (Рис. 12б), его ширина заметно превышает получаемую для нормальной групповой дисперсии и достигает области утроенных частот. Минимальная длительность заднего фронта огибающей, соответственно, оказывается меньшей. В рассматриваемом режиме она составляет лишь половину периода на длине волны 0 (Рис. 13). Из-за большей эффективности нелинейных процессов влияние генерации кратных частот на самофокусировку также оказывается большим: сплошные линии на Рис.12 дают распределения, полученные с учетом, а пунктирные – без учета этого эффекта. Далее показывается, что в объемном кварцевом стекле электронно-колебательная нелинейность не меняет качественно картину самофокусировки, но увеличивает интенсивность и длительность высокочастотного хвоста импульса.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Выведено уравнение однонаправленной эволюции спектра линейно поляризованного излучения в оптическом волноводе с произвольной дисперсией линейного показателя преломления и кубичной нелинейностью электронной и электронно-колебательной природы. Уравнение обобщено на случай параксиальной самофокусировки в прозрачной объемной среде.

2. Выведены соотношения между параметрами импульса с широким спектром и характеристиками оптического волновода, которые позволяют получать экспрессные (без решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений) предсказания начального сценария изменения длительности и ширины спектра.

3. Показано, что подходы на основе электрического поля и комплексной огибающей математически эквивалентны для оптического излучения со сверхшироким спектром и произвольным временным профилем, если в уравнении для огибающей учитываются все слагаемые, получаемые при его выводе из уравнения для поля, и выполнено условие взаимной однозначности поля и огибающей (при выбранном значении 0 ), вытекающее из вещественности поля.

4. Показано, что взаимодействие, как и самовоздействие, импульсов с континуумными спектрами и различными центральными частотами в нелинейной среде может быть описано одним уравнением для комплексной огибающей суммарного поля, определяемой на основе формализма аналитического сигнала.

5. Построена схема численного решения уравнений динамики спектра поля и комплексной огибающей интенсивных фемтосекундных световых импульсов в прозрачных средах и оптических волноводах с дисперсией произвольного вида, например, снятой экспериментально. Получены идентичные результаты расчетов для поля и огибающей при эквивалентной постановке задач.

6. Показано, что генерация фемтосекундного ССК в благородных газах может быть описана модифицированным уравнением Кортевега де Вриза.

7. Показано, что в уравнениях для поля световой волны, распространяющейся в полом волноводе, заполненном сжатым газом, волноводная дисперсия учитывается аналогично материальной дисперсии колебательной природы.

8. Уравнение Козлова С.А. и Сазонова С.В. для электрического поля ПКИ обобщено на случай сред с малоинерционной электронно-колебательной нелинейностью.

9. Рассчитаны константы аппроксимации дисперсии показателя преломления кварцевого стекла и эффективной постоянной распространения кварцевого микроструктурированного волокна в области прозрачности.

10. При распространении спектрально ограниченных ПКИ в волноводе с нормальной групповой дисперсией происходит одновременное увеличение его длительности и уширение спектра. Показано, что формируемый континуум может быть сжат в образование из одного колебания светового поля.

11. Описан сценарий генерации ССК, связанный с формированием солитоноподобных образований из нескольких колебаний светового поля в волноводах. На примере импульсов с разной центральной частотой, но совпадающими числом колебаний поля, интенсивностью и отношением нелинейной и дисперсионной длин, показано, что нормированная среднеквадратическая ширина спектра в случае аномальной групповой дисперсии может в 5 и более раз превышать ширину спектра для случая нормальной дисперсии.

12. Для ПКИ с отрицательной частотной модуляцией выявлен сценарий одновременного уменьшения длительности и сужения его спектра.

13. Эксперименты по генерации квазидискретного ССК при распространении импульсов длительностью 120-150 фс в капиллярах, заполненных комбинационно-активными газами, получили теоретическую трактовку.

14. При интерференции и взаимодействии ПКИ огибающая суммарного поля может иметь биения с характерным временным масштабом, меньшим одного периода колебаний на центральной частоте спектра излучения.

15. Эффект генерации утроенных частот, свойственный электронной кубической нелинейности среды, приводит к появлению в профиле огибающей ПКИ осцилляций с периодом порядка половины периода колебаний на центральной частоте спектра. При распространении в волноводе глубина осцилляций может достигать 10% от амплитуды ПКИ.

16. При параксиальной самофокусировке осесимметричных ПКИ длительность заднего фронта огибающей может уменьшаться до половины периода колебаний на лазерной частоте. Для описания этого процесса применим как полевой подход, так и формализм огибающей. Принципиален корректный учет дисперсии среды для всех компонент формирующегося спектра, ширина которого может в два и более раз превышать лазерную частоту.

17. Показано, что пренебрежение генерацией кратных частот в уравнении для комплексной огибающей ПКИ может приводить к существенной переоценке эффективности их самофокусировки в прозрачных объемных средах с кубической нелинейностью.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Шполянский Ю.А. Огибающая, фаза и частота оптического излучения со сверхшироким спектром в прозрачной среде. // ЖЭТФ, 2010, т. 138, №4, с.

631-641.

2. Лашкин Д.В., Шполянский Ю.А. Нерезонансная генерация утроенных частот при самофокусировке импульсов из малого числа колебаний в прозрачных объемных средах. // Оптический журнал, 2010, т. 77, №9, c. 13-16.

3. Шполянский Ю.А. Комплексная огибающая произвольного оптического сигнала для описания взаимодействия импульсов с континуумными спектрами и различными центральными частотами в прозрачных нелинейных средах. // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2009, вып. 61, №3, с. 26-34.

4. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Уменьшение эффективности самофокусировки фемтосекундного импульса в прозрачной среде с дисперсией при сокращении в нем числа световых колебаний. // Оптический журнал, 2008, т. 75, №10, с. 28-34.

5. Белашенков Н.Р., Дроздов А.А., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Цыпкин А.Н. Фазовая модуляция фемтосекундных световых импульсов, спектры которых сверхуширены в диэлектриках с нормальной групповой дисперсией. // Оптический журнал, 2008, т. 75, №10, с. 3-8.

6. Bakhtin M.A., Bespalov V.G, Krylov V.N., Shpolyanskiy Yu.A., Kozlov S.A.

Ultrafast information transmission by quasi-discrete spectral supercontinuum. // ICO Book VI "Advances in Information Optics and Photonics", SPIE Press, Bellingham WA, 2008, pp.405-423.

7. Шполянский Ю.А. Динамика ширины спектра интенсивных лазерных импульсов из малого числа колебаний поля в оптических волноводах. // ЖЭТФ, 2007, т. 131, №4, стр. 603-614.

8. Бахтин М.А., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Сценарии взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с различными спектральными составами в объемном кварцевом стекле. // Оптический журнал, 2007, т. 74, №11, с. 24-29.

9. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Сверхуширение спектра импульсов из малого числа колебаний светового поля в прозрачных средах с аномальной групповой дисперсией. // Научно-технический вестник Санкт Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2006, вып. 34, с. 38-43.

10.Шполянский Ю.А., Козлов С.А. Динамика среднеквадратической ширины спектра симметричных импульсов из малого числа колебаний поля в нелинейных диэлектрических средах. // Научно-технический вестник Санкт Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, 2006, вып. 30, с. 102-108.

11.Белов Д.Л., Козлов С.А, Шполянский Ю.А. О самосжатии спектрального суперконтинуума. // Известия РАН. сер. физ., 2005, Т. 69, №8, с. 1128-1130.

12.Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A. Self-focusing of few-cycle light pulses in dielectric media, Physical Review A, 2005, v. 72, 043821(9).

13.Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Ястребова Н.В. Нелинейное отражение импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред. // Оптический журнал, 2004, т. 71, №6, c. 78-83.

14.Shpolyanskiy Yu.A., Belov D.L., Bakhtin M.A., Kozlov S.A. Analytic study of continuum spectrum pulse dynamics in optical waveguides. // Appl. Phys. B, 2003, v. 77, №2-3, p. 349-355.

15.Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Динамика фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в нелинейных волноводах. // Оптический журнал, 2002, т.69, №7, с.46-53.

16.Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Самофокусировка импульсов с малым числом колебаний светового поля. // Оптический журнал, 2002, т.69, №3, с.11-23.

17.Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., Walmsley I.A. Simplified field wave equations for the nonlinear propagation of extremely short light pulses. // Physical Review A., 2002, v.66, 013811(10).

18.Беспалов В.Г., Козлов С.А., Крылов В.Н., Шполянский Ю.А., Стаселько Д.И.

Генерация спектрального суперконтинуума в среде с электронной и электронно-колебательной нелинейностями. // Известия РАН. сер. физ., 2000, т.64, №10, с.1938-1941.

19.Шполянский Ю.А. Сверхуширение спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов в среде с электронной и электронно-колебательной нелинейностями. // Вестник молодых ученых. сер. физ., 2000, т.1, с.17-27.

20.Беспалов В.Г., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Метод анализа динамики распространения фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в прозрачной оптической среде. // Оптический журнал, 2000, т.67, №4, с.5-14.

21.Bespalov V.G., Kozlov S.A., Sazonov S.V., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A. Spectrum supercontinuum generation by temporal broadening in isotropic nonlinear media of femtosecond light pulses. // Physics of Vibrations, 1999, v.7, №1, p.19-28.

22.Беспалов В.Г., Козлов С.А., Сутягин А.Н., Шполянский Ю.А.

Сверхуширение спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов и их временное сжатие до одного колебания светового поля. // Оптический журнал, 1998, т.65, №10, с.85-88.

23.Yastrebova N.V., Shpolyanskiy Yu.A., Kozlov S.A. Nonlinear reflection of few cycle light pulses off a bloomed dielectric interface. // Proceedings of SPIE, 2004, v. 5506, p. 184-189.

24.Shpolyanskiy Yu.A., Bespalov V.G., Kozlov S.A., Steinmeier G. The theory of spectral supercontinuum generation in microstructure fibers. // Proceedings of SPIE, 2002, v.4638, p.107-114.

25.Bakhtin M.A., Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A. The paraxial (2+1)-dimensional self-focusing of extremely short pulses. // Proceedings of SPIE, 2001, v. 4423, p.274-279.

26.Bespalov V.G., Krylov V.N., Seyfang G., Staselko D.I., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A., Rebane A. Femtosecond IR supercontinuum generation in condensed media. // Proceedings of SPIE, 2001, v. 4271, p. 159-162.

27.Kozlov S.A., Bespalov V.G., Krylov V.N., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A.

Nonlinear optics problems of one and more cycles light pulses. // Proceedings of SPIE, 1999, v.3609, p.276-281.

28.Bespalov V.G., Kozlov S.A., Oukrainski A.O., Sazonov S.V., Shpolyanskiy Yu.A. Self-action of continuum spectrum femtosecond pulses. // Proceedings of SPIE, 1999, v.3735, p.43-54.

29.Bespalov V.G., Kozlov S.A., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A. Nonlinear reflection of extremely short light pulses. // Proceedings of SPIE, 1998, v.3573, p.82-85.

30.Kozlov S.A., Oukrainski A.O., Shpolyanskiy Yu.A. Self-induced changes in the polarization of pulses of a few oscillations duration in isotropic dielectric media. // Proceedings of SPIE, 1997, v.3239, p.169-176.

31.Шполянский Ю.А. Амплитуда, фаза и частота фемтосекундного излучения с континуумным спектром, распространяющегося в кварцевом волокне. // В кн.: Сборник Трудов научно-исследовательского центра фотоники и оптоинформатики, СПб, 2009, с. 138-153.

32.Шполянский Ю.А., Бахтин М.А., Козлов С.А. Уравнение для комплексной огибающей электрического поля взаимодействующих импульсов со сверхширокими спектрами и различными центральными частотами в оптических волноводах. //В кн.: Сборник Трудов научно-исследовательского центра фотоники и оптоинформатики, СПб, 2009, с.118-137.

33.Лашкин Д.В., Бахтин М.А., Берковский А.Н., Шполянский Ю.А.

Комплексная огибающая импульсов из малого числа колебаний светового поля, испытывающих самофокусировку в прозрачных объемных средах. // В кн.: Сборник Трудов научно-исследовательского центра фотоники и оптоинформатики, СПб, 2009, с. 108-117.

34.Шполянский Ю.А. Численные методы для моделирования оптических материалов и процессов. Часть 1. Элементы теории. // СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. – 147 с.

35.Шполянский Ю.А. Численные методы для моделирования оптических материалов и процессов. Часть 2. Лабораторный практикум. // СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. – 56 с.

36.Бахтин М.А., Берковский А.Н., Шполянский Ю.А. Нелинейное взаимодействие фемтосекундных импульсов с различными спектральными составами в объемном кварцевом стекле. // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2006, стр. 178-184.

37.Белов П.А., Беспалов В.Г., Васильев В.Н., Козлов С.А., Павлов А.В., Симовский К.Р., Шполянский Ю.А. // Оптические процессоры: достижения и новые идеи. // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2006, стр. 6-36.

38.Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Динамика ширины спектров световых импульсов предельно коротких длительностей в нелинейных средах. // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2004, 267-272.

39.Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Самофокусировка волновых пакетов из малого числа колебаний светового поля в диэлектрических средах. // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2004, 170-188.

40.Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Валмслей Я.А.

Пространственно-временная динамика поля световых импульсов с малым числом колебаний в прозрачных нелинейных средах. // В кн.: Оптические технологии в фундаментальных и прикладных исследованиях, СПб, 2002, с.

94-108.

41.Белов Д.Л., Шполянский Ю.А. (научный руководитель), Козлов С.А.

(научный руководитель). Сценарии эволюции импульсов из нескольких колебаний светового поля в волноводах. // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2002, с.223-235.

42.Берковский А.Н., Шполянский Ю.А., Параксиальная (2+1)-мерная самофокусировка импульсов предельно коротких длительностей. // В кн.:

Современные технологии. Труды молодых ученых ИТМО, СПб, 2001, c.19-23.

43.Барсуков В.С., Карасев В.Б., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Дисперсионное расплывание фемтосекундных световых импульсов с континуумным спектром. // В кн.: Оптические и лазерные технологии, СПб, 2001, c.11-17.

44.Беспалов В.Г., Васильев В.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А.

Использование фемтосекундного спектрального суперконтинуума в системах сверхплотной передачи информации. // В кн.: Оптические и лазерные технологии, СПб, 2001, c.214-219.

45.Бахтин М.А., Колесникова С.Ю., Шполянский Ю.А. Сравнение точности аппроксимации дисперсии кварцевого стекла в методах медленно меняющейся огибающей и медленно меняющегося профиля. // В кн.:

Современные технологии, СПб, 2001, с. 196-203.

46.Бахтин М.А., Шполянский Ю.А. О границах применимости метода медленно меняющейся огибающей в оптике сверхкоротких импульсов. // В кн.: Совре менные технологии. Труды молодых ученых ИТМО, СПб, 2001, c. 12-18.

47.Shpolyanskiy Yu.A., Kozlov S.A., Bespalov V.G., Steinmeyer G. The theory of intensive ultrashort pulse propagation in a microstructure fiber. // In book:

Advances in optics and electromagnetics of photonic band gap structures, Edited by C.R. Simovski, V.G. Bespalov and S.A. Kozlov, IFMO, St. Petersburg, 2001, p. 39-41.

48.Шполянский Ю.А. Сценарии развития фемтосекундного спектрального суперконтинуума. // В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2000, c.136-153.

49.Лашкин Д.В., Бахтин М.А., Берковский А.Н., Шполянский Ю.А.

Применение подхода на основе комплексной огибающей для моделирования самофокусировки импульсов из малого числа колебаний светового поля в прозрачных средах - В кн.: Труды международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика – 2009», СПб, 2009, с. 229-232.

50.Shpolyanskiy Yu.A., Berkovsky A.N., Kozlov S.A. Dependence of self-focusing efficiency on the duration of few-cycle light pulses. // Proceedings of the Topical Meeting on Optoinformatics’2008, St. Petersburg, Russia, 15-18 September 2008.

Editors Calvo M.L., Pavlov A.V., Jahns J, p. 279-281.

51.Шполянский Ю.А., Бахтин М.А. Комплексная огибающая произвольного оптического сигнала для описания само- и взаимодействия импульсов с континуумными спектрами и различными центральными частотами в прозрачных средах. // В кн.: Труды международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики – 2008», СПб, с.137-140.

52.Shpolyanskiy Yu.A., Kozlov S.A. Advances in the theory of few-cycle pulse propagation and femtosecond supercontinuum generation in transparent media.

Proceedings of the ICO Topical Meeting on Optoinformatics and Information Photonics’2006, St. Petersburg, Russia, 4-7 September 2006. Editors Calvo M.L., Pavlov A.V., Jahns J, p. 398-400.

53.Бахтин М.А., Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А.

Взаимодействие фемтосекундных спектральных суперконтинуумов в прозрачных нелинейных средах. // В кн.: Труды международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики – 2006», СПб, с.230-231.

54.Берковский А.Н., Козлов С.А., Петрошенко П.А., Шполянский Ю.А.

Нестационарная самофокусировка импульсов из малого числа колебаний светового поля в прозрачных средах с аномальной групповой дисперсией. // В кн.: Труды IV Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики – 2006», СПб, 2006, с.307-309.

55.Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Самофокусировка оптических волновых пакетов из малого числа колебаний. // В кн.: Труды III Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики – 2004», СПб, 2004, с.120- 56.Берковский А.Н., Козлов С.А., Петрошенко Ю.А., Шполянский Ю.А Самофокусировка импульсов из нескольких колебаний светового поля. // В кн.: Труды II Международной конференции, «Фундаментальные проблемы оптики – 2002», СПб, 2002, с.6-8.

57.Берковский А.Н., Шполянский Ю.А. Параксиальная (2+1)-мерная самофокусировка предельно коротких импульсов со спектрами в диапазонах с различными типами групповой дисперсии среды. // В кн.: Труды II Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика 2001», СПб, 2001, с.93-94.

58.Козлов С.А., Королев А.А., Шполянский Ю.А., Штумпф С.А.

Распространение интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов в диэлектриках: учет плазменных явлений - Труды X Meжнационального совещания «Радиационная физика твердого тела». М., 2000, с. 617-621.

59.Беспалов В.Г., Козлов С.А., Королев А.А., Шполянский Ю.А., Штумпф С.А.

Влияние Рамановской нелинейности на взаимодействие интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов с диэлектриком - Труды IX Meжнационального совещания «Радиационная физика твердого тела».М., 1999 г., с. 909-915.

60.Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Yu.A. Scenario of spectrum ultrabroadening of femtosecond laser pulse in transparent optical medium. // Proc.

of the Int. Conf. on Lasers’98, STS PRESS, Mc LEAN, VA, 1999, p.1087-1091.