Математическое моделирование и преобразования в задачах устойчивости стационарных движений механических и управляемых систем

На правах рукописи

НОВИКОВ Михаил Алексеевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ И УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН (ИДСТУ СО РАН).

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Утешев Алексей Юрьевич, СПбГУ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Андрианов Сергей Николаевич, СПбГУ;

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович, РГПУ им. А.И. Герцена;

доктор физико-математических наук, профессор Щенников Владимир Николаевич, Мордовский ГУ им. Н.П. Огарева

Ведущая организация: Иркутский государственный университет путей сообщения.

Защита состоится 2012 г. в часов на заседании дис сертационного совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских дис сертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по ад ресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9.

Автореферат размещен на сайте ВАК.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь д.ф.-м.н., профессор (СПбГУ) диссертационного Г.И. Курбатова Совета Д.212.232.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как отмечал академик Н.Н. Моисеев(1), процесс ма тематического моделирования сложных систем (объектов) состоит из:

• комплексного системного анализа, включающего сбор информации о системе, анализ ее причинно-следственных связей, обработку входных данных;

• аналитических методов системного анализа;

• оценки соответствия имитационных моделей реальным процессам.

Основой аналитических методов системного анализа исследуемого про цесса является составление математической модели, для чего применяются ме тоды теории систем и принятия решений, теории оптимального управления, функционального анализа, дифференциальных уравнений и т.д. К конструктив ным методам системного анализа механических систем относятся методы их аналитического интегрирования, имеющие целью как выделение стационарных множеств механических и управляемых систем, так и исследование устойчиво сти этих множеств. Кроме того, особый интерес представляет исследование из менения свойств исследуемых систем в зависимости от динамики параметров, входящих в эту систему. На эффективность этих методов существенно влияет выбор подходящей замены входящих в систему переменных.

Известно, что многие уравнения аналитической механики могут быть по лучены из вариационных принципов Гамильтона(2), наименьшего действия Эй лера–Якоби(3), наименьшего принуждения и т.д. Так теория Гамильтона–Якоби с помощью производящей функции позволяет получить каноническое преобра зование( 2 ), применение которого приводит уравнения Гамильтона к виду, до пускающему интегрирование. В системах Лиувилля и Штеккеля( 2 ) с полными интегралами допускается разделение переменных. Линейные механические системы могут быть легко проинтегрированы при одновременном приведении к каноническим (в том числе – диагональным) видам матриц кинетической, по тенциальной энергий, а также в зависимости от структуры других сил (дисси (1) Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.: Наука, 1981. – 487 с.

(2) Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и не бесной механики // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики.

Фундаментальные направления. Динамические системы – 3. – М.: ВИНИТИ, 1985. – Т. 3. – С. 9–303.

(3) Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Тр. Московского мат.

о-ва. – М., 1971. – С. 119–262.

пативных, гироскопических или каких-либо иных), матриц других видов.

В консервативных системах малой размерности эффективна теория Кол могорова–Арнольда–Мозера (КАМ-теория), при использовании которой форма наименьшего (второго) порядка в разложении гамильтониана должна быть при ведена линейной заменой переменных к нормальной форме.

В большинстве задач качественного анализа и устойчивости движения важную роль играет приведение к простейшему виду квадратичной части гамильтониана и линейной правой части системы обыкновенных дифференци альных уравнений (ОДУ). Такими формами являются канонические формы Вильямсона(2), Жордана, Фробениуса.

Исследование нелинейных систем ОДУ часто требует применения нели нейной нормализации, основанной на нелинейной замене переменных: методом Пуанкаре в системах общего вида(3), производящей функцией преобразования(4) в способе Биркгофа и методом Депри–Хори( 4 ) в гамильтоновых системах. Как и в применении к задаче интегрирования систем, одновременное приведение ли нейным преобразованием к простейшему виду нескольких матриц квадратич ных форм позволяет упростить анализ стационарных решений механических систем – особенно в плане исследования их устойчивости. Аналогичные задачи встречаются в квадратичном программировании при квадратичных ограниче ниях.

Эффективным методом исследования устойчивости является второй метод Ляпунова. Основным вопросом в этом методе является построение знакоопре деленной функции Ляпунова и ее производной, и этой проблеме посвящены многочисленные работы (Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский, А.М. Летов, А.И. Лурье, И.Г. Малкин, Г.В. Каменков, В.В. Румянцев, В.И. Зубов, В.Д. Иртегов и др.). Распространенным видом функции Ляпунова для консервативных систем является связка Четаева из первых интегралов. При определенном наборе управлений и параметров системы квадратичная часть связки интегралов может вырождаться. По отношению к свойству устойчиво сти динамических систем этот случай – когда характеристическое уравнение матрицы линейного приближения правой части системы ОДУ обладает одним или несколькими нулевыми корнями – является критическим по Ляпунову. При (4) Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и тех ники. Сер. Общая механика. – 1979. – Т. 4. – С. 58–139.

его возникновении существенно усложняется построение функции Ляпунова даже в части проверки свойства знакоопределенности.

Значение задачи установления коэффициентных критериев знакоопреде ленности полинома V ( x1,…, xn ) нескольких переменных и произвольной степе ни не ограничивается только ее приложениями в теории устойчивости и теории управления. Эта задача возникает и в теории оптимизации. Ею занимался ряд исследователей, начиная с Д. Гильберта. Принципиально доказана (Зайденберг, Тарский) алгебраическая разрешимость этой задачи, и в случае невырожденно сти младшей формы в разложении полинома V ( x ) по возрастающим степеням переменных известны конструктивные алгоритмы ее решения. Вместе с тем случай вырожденности младшей формы до последнего времени не был иссле дован. К теореме Гильберта о корнях полиномов примыкает также и решенная в диссертации для ряда случаев задача о нахождении точных граней множества значений полиномиальной функции.

Целью работы является нахождение преобразований, упрощающих ана литическое интегрирование систем ОДУ, и качественное исследование свойств решений этих систем с помощью метода функций Ляпунова.

Методы исследования. В работе используются методы нелинейной нор мализации систем ОДУ, методы матричного анализа (в том числе в применении к задаче одновременной диагонализации вещественных симметричных мат риц), а также методы исследования нелинейных алгебраических уравнений не скольких переменных и систем таких уравнений (в частности теория исключе ния).

Основные положения, выносимые на защиту 1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симмет ричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.

2. Условия знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм нескольких переменных.

3. Алгоритм получения необходимого и достаточного критерия знакоопре деленности полинома произвольного порядка от нескольких переменных. Ус ловия существования точных граней множества значений полинома двух пере менных и алгоритм нахождения этих граней.

4. Методика исследования задач устойчивости стационарных решений консервативных систем в критических по Ляпунову случаях с использованием полиномиальных функций Ляпунова, а также определения областей устойчиво сти в пространстве входящих в эти системы параметров.

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и опубликованы в открытой печати. Вычислительные алгоритмы составлены и программно реализованы лично автором.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют упростить качественный анализ механических и управляе мых систем, а также усовершенствовать методы их интегрирования и оценки свойств решений.

Достоверность и эффективность предложенных методов и алгоритмов по зволяет использовать их в механике, космодинамике, теории управления, тео рии оптимизации, физической химии и биологии.

Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что на эта пе построения математической модели объекта они позволяют:

1) сократить время построения математической модели, 2) повысить качество выполняемых расчетов, 3) проанализировать динамику свойств (и адекватности) модели в зависи мости от изменения параметров системы.

Более того, разработанные автором методы и алгоритмы ориентированы на со временные вычислительные средства. Они реализованы в виде программного комплекса в среде аналитических вычислений Mathematica и могут быть при менены ко многим прикладным задачам.

Результаты исследований прошли апробацию на следующих конферен циях:

• “Математика, информатика и управление” (МИУ) (г. Иркутск, 2000), • XII Международная конференция “Методы оптимизации и их приложе ния” (г. Иркутск, 2001), • VIII Съезд по теоретической и прикладной механике (г. Пермь, 2001), • VIII Четаевская международная конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением” (г. Казань, 2002), • Конференция IFAC “Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems” (г. Иркутск, 2003), • IX Четаевская международная конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением” (г. Иркутск, 2007), • III Всероссийская конференция с международным участием “Математи ка, ее приложения и математическое образование” (г. Улан-Удэ, 2008), • IV Международный симпозиум “Обобщенные решения в задачах управ ления” (г. Улан-Удэ, 2008), а также на семинарах лаборатории математических методов анализа свойств динамических систем Института динамики систем и теории управления СО РАН и факультета прикладной математики – процессов управления С.-Петербургского государственного университета.

Публикации. По результатам диссертационных исследований опублико вана 21 статья, список которых приведен в конце реферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введе ния, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 194 наименования. Объем работы составляет 319 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, примыкающих к теме диссертации, подчерк нута значимость методов механики и вычислительных методов и средств в сис темном анализе. Выделена роль способов нормализации, одновременной диа гонализации двух и трех вещественных симметричных матриц, знакоопреде ленности форм и пучков квадратичных форм в современных методах качест венных исследований и задачах о существовании первых интегралов.

Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе приведены необходимые сведения о линейных автономных механических системах с n степенями свободы, описываемые квадратичной функцией Лагранжа qAq + qBq + qCq ( q, q R n ), 1 L ( q, q ) = (1) 2 где A – матрица кинетической энергии, C – матрица силовой функции, B – матрица неконсервативных сил, q = (q1,…, qn ) – вектор позиционных коорди нат, q – вектор скоростей координат. В формализме Гамильтона соответст вующая система ОДУ записывается в виде r = Dr ( r = {q, p} R 2 n ), (2) ( BA1B C ) BA 0 En, символ [] – знак D = JH 2, J = n H2 = где, En A 1 B A 0n транспонирования.

Характеристическое уравнение системы ОДУ, описываемой функцией (1), имеет вид f ( ) = det A 2 ( B B ) C = a2 n 2 n + … + a0 = 0. (3) В параграфе 2 установлено соответствие количества линейных первых интегра лов системы (2) с числом нулевых корней характеристического уравнения.

Лемма 1. Характеристическое уравнение (3) линейной системы (2) при существовании k циклических координат имеет не менее 2k нулевых корней.

Лемма 2. Характеристическое уравнение (3) линейной системы (2), до пускающей k линейно независимых линейных однородных первых интегралов с постоянными коэффициентами n ( i = 1, 2,…, k ), Vi = M ij p j = const j = имеет не менее 2k нулевых корней.

Лемма 3. Характеристическое уравнение (3) линейной системы (2), до пускающей k линейно независимых линейных неоднородных первых интегралов с постоянными коэффициентами Vi = ( M ij p j + Nij q j ) = const n ( i = 1,2,…, k ), j = имеет не менее k нулевых корней.

Доказана Теорема 1. Общее количество k линейных по импульсам p (циклических, однородных, неоднородных) с постоянными коэффициентами интегралов сис темы (2) равно дефекту матрицы C.

В третьем параграфе рассмотрена нелинейная система с n степенями сво боды r = Dr + J H 3 ( r ) / r (r R 2 n ) (4) и для нее установлен следующий результат.

Теорема 2. При приведении линейной части нелинейной гамильтоновой системы (4) к нормальной форме линейным симплектическим преобразованием все линейные по импульсам с постоянными коэффициентами интегралы, как однородные, так и неоднородные, обращаются в циклические.

Вторая глава посвящена вопросам одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц.

В первом параграфе содержатся сведения об одновременном приведении к диагональным двух симметричных матриц A и B линейным вещественным конгруэнтным преобразованием. К известным условиям одновременной диаго нализации двух вещественных симметричных матриц A и B относятся:

1) существование знакоопределенной квадратичной формы V1 ( x ) = xAx, 2) коммутируемости матриц A и B.

В работе найден новый случай одновременной приводимости к диагональ ным двух матриц, основой для которого является 3) Теорема 3 ( 5 ). Если связка x ( B A) x двух вещественных квадратич ных (не обязательно знакоопределенных) форм xAx и xBx может быть знакоопределенной при некоторых вещественных значениях, то мат рицы A и B одновременно приводятся к диагональным линейным веще ственным неособым конгруэнтным преобразованием.

В первом и третьем случаях всегда существуют диагонализирующие кон груэнтные преобразования, во втором случае – ортогональное. В первом случае может вырождаться матрица B, в остальных – обе матрицы.

Показано, что приведение к диагональным матрицам в первом и третьем случаях осуществляются главной матрицей преобразования. Кроме перечис ленных случаев имеет место общеизвестное утверждение:

Теорема 4. Для одновременной приводимости к диагональным двух веще ственных симметричных матриц A и B (при det A 0 ) одним и тем же веще ственным линейным невырожденным конгруэнтным преобразованием необхо димо и достаточно выполнения условий:

1) уравнение f ( ) = det ( B A ) = 0 имеет только вещественные корни;

2) матрица ( B A ) имеет только простые элементарные делители.

Часто в качественных исследованиях и интегрировании по Лиувиллю сис тем ОДУ возникает необходимость диагонализации трех вещественных матриц.

Одновременное предварительное приведение нескольких матриц к канониче скому виду значительно упрощает анализ известной задачи Лагранжа об услов ном экстремуме V0 ( x ) ( x R n ) при ограничениях V1 ( x ) 0, …, Vn ( x) 0, яв ляющихся квадратичными формами.

(5) Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. – М.: Наука, 1973. – 206 с.

Известны условия одновременной диагонализации трех эрмитовых мат (6) риц. В развитие результата К. Митры, в диссертации получен следующий критерий одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц A, B, C :

Теорема 5. Для одновременной приводимости к диагональным трех ве щественных симметричных матриц A, B и C ( det A 0 ) одним и тем же ве щественным линейным неособым конгруэнтным преобразованием необходимо и достаточно выполнения условий:

1) уравнение det ( B A ) = 0 имеет только вещественные корни, и мат рица ( B A ) имеет все только простые элементарные делители;

2) уравнение det ( C A ) = 0 допускает только вещественные корни, и матрица ( C A ) имеет все только простые элементарные делители;

3) BA1C = CA1B.

Матрицы B и C могут быть особыми. Если вырождены все три матрицы, то для сингулярного пучка матриц ( A + B + C ) находится пространство R ( nk ), { A, B, C}.

для которого k определяется дефектом расширенной матрицы В подпространстве размерности ( n k ) задача диагонализации сводится к случаю регулярного пучка матриц. Так, для выбора в качестве матрицы A единичной матрицы в диссертации получен следующий критерий:

Теорема 6. Для одновременной приводимости к диагональным трех ве щественных симметричных матриц E, B, C одним и тем же вещественным линейным невырожденным конгруэнтным преобразованием необходимо и дос таточно выполнения условия BC = CB.

Приведен пример, в котором рассматривается линейная механическая сис тема, описываемая функцией Лагранжа (1). Ставится задача о декомпозиции системы на подсистемы меньшей размерности (в предположении, что матрица B кососимметрична, т.е. B = B ). Линейным неособым вещественным конгру энтным преобразованием матрицы A, B, C приводятся к E, B0, C0. Тогда с помощью теоремы 6 при B0 0 и условии B02C0 = C0 B02 (5) (6) Mitra K. Simultaneous Diagonalization of Rectangular Matrices // Linear Algebra and its Appli cations. – 1982. – Vol. 47. – P. 139–150.

имеет место декомпозиция системы на двумерные подсистемы с матрицами:

c 1 0 j, C j = 2 j Aj = E2 = ( j = 1, 2, …, n).

, B j = 0 c2 j 0 1 j Для каждой подсистемы указаны необходимые и достаточные условия устой чивости нулевого решения в виде c2 j 1 + c2 j j ( j = 1, 2, …, n). (6) Совокупность необходимых и достаточных условий устойчивости всех таких подсистем ( j = 1, 2, …, n ) дает такие же условия устойчивости нулевого реше ния системы.

Показано, что условие B1C1 = C1B1 для декомпозиции системы на двумер ные подсистемы является следствием условия (5).

Во втором параграфе рассматриваются случаи невозможности одновре менной диагонализации матриц A, B и вводится понятие взаимно упрощенных матриц A* и B*, вид которых существенно зависит от характера нарушения ус ловий теоремы 6:

1) при наличии комплексных корней характеристического уравнения f ( ) = det ( B A ) = 0, 2) при наличии вещественных кратных корней f ( ) = 0 с непростыми элементарными делителями матрицы ( B A).

Взаимно упрощенные матрицы для вещественных A и B относятся к трем видам.

К первому виду относятся матрицы при комплексных корнях 1 = c + id, 2 = c id (d 0) уравнения f ( ) = 0 :

1 0 c d A* = B* =,. (7) 0 1 c d В случае кратного вещественного корня i = a уравнения f ( ) = 0 с непро стыми элементарными делителями матрицы ( B A ) можно выделить другие два вида взаимно упрощенных матриц:

[ a + 1] 1 … 0 1 … 0 [ 2a + 1] 2 … 0 1 … 1 0 0 … 0 1 … A* = ;

B* =, 1. (8) … … … … … … … … 1 0 0 … 0 1 … [ n a + 1] 0 1 0 … n … где j = ± 1 ( j = 2, 3, …, n );

( aEn + I ) E 0 I A* = n B* =, 2., (9) ( aEn + I ) En 0 I 0 0 0 … 0 0 0 0 … 1 I = … … … … … ….

где 0 1 0 … 0 1 0 0 … 0 Составлен алгоритм приведения матриц A и B к соответственно взаимно уп рощенным матрицам A* и B* линейным неособым вещественным конгруэнтным преобразованием.

В третьей главе обсуждается знакоопределенность пучков квадратичных форм. В первом параграфе доказаны следующие результаты:

Теорема 7. Достаточными условиями невозможности построения зна коопределенной связки двух вещественных квадратичных форм K (, x ) = x( B A) x является одновременная неприводимость матриц A и B к диагональным.

Теорема 8. Необходимые и достаточные условия одновременной диаго нализируемости двух вещественных симметричных матриц являются необхо димыми условиями знакоопределенности построенной на этих матрицах связ ки квадратичных форм.

Для приведенных к полным квадратам двух квадратичных форм V1 ( x ) = a11 x12 + … + ann xn, V2 ( x ) = b11 x12 + … + bnn xn, где b jj = a jj j ( j = 1, 2,…, n ), 2 f ( ) = det ( B A ) = 0. Корни записывается характеристическое уравнение уравнения f ( ) = 0 могут быть разделены на две группы: к первой (обозначае мой ( ) ) относятся все корни j = b jj /a jj, для которых a jj 0 (в количестве n1, + так что 0 n1 n, j I ( + ) );

ко второй (обозначаемой ( ) ) относятся все корни i = bii /aii, для которых aii 0 (в количестве n2 = n n1, i I ( ) ), и введены обо значения: N1( t ) = min) (j t ), N 2t ) = max (j t ) при t = “+” и t = “–”. Из анализа доста ( (t jI ( t ) jI точных условий знакоопределенности пучка форм, в частности, следует крите рий, фактически доказанный П.А. Кузьминым (хотя явно им не сформулиро ванный):

Теорема 9 ( 5 ). Для знакоопределенности связки квадратичных форм K (, x ) двух вещественных знакопеременных квадратичных диагональных форм xAx и xBx достаточно выполнения одного из условий:

1. min max (для положительно определенной K (, x ) при N 2 ) N1( ) );

() () ( + + 2. max min (для отрицательно определенной K (, x ) при N 2 ) N1( ) ).

() () ( + + Справедливо Замечание 1. При знакоопределенной форме V1 ( x ) связка квадратичных K (, x ) форм знакоопределена в случае выбора значений (, min ) (max, +).

Для форм двух переменных имеет место доказанный в диссертации сле дующий результат:

Теорема 10. Связка двух бинарных квадратичных форм x ( A + B ) x диагональных матриц A и B знакоопределена тогда и только тогда, когда a11b22 a22b11 0.

Во втором параграфе исследуется знакоопределенность пучка трех квадра тичных форм K1 (,,, x ) = x ( A + B + C ) x. Показано, что знакоопреде ленность связки форм K1 (,,, x ) может иметь место и в случае, когда мат рицы A, B, C не приводятся одновременно к диагональным.

Теорема 11. Для невозможности составления знакоопределенной связки из трех квадратичных форм K1 (,,, x ) достаточно одновременного выпол нения трех условий:

1) матрицы A и B одновременно не приводятся к диагональным;

2) матрицы A и C одновременно не приводятся к диагональным;

3) BA1C = CA1B.

Для связок трех тернарных квадратичных форм получен следующий ре зультат:

Теорема 12. Для диагональных матриц A, B, C из соответствующих им квадратичных форм трех переменных всегда можно составить знакоопре деленную связку K (,,, x ), если выполнено одно из условий:

a11 a22 a 1) D = b11 b33 0 ;

b c11 c22 c a11 l1 + a22 l2 + a33 l3 = 2) D = 0 и решения l1, l2, l3 системы b11 l1 + b22 l2 + b33 l3 = 0 имеют значе c l + c l + c l = 11 1 22 2 33 ния разных знаков.

Составлен алгоритм исследования знакоопределенности пучков двух и трех квадратичных форм.

В четвертой главе приведены необходимые и достаточные условия знако определенности полиномов нескольких переменных V ( x ) = V2 m ( x1,…, xn ) +, (10) где x R n+l, целые n, l, m 1 ;

V2 m ( x1,…, xn ) – положительно определенная форма низшего 2m порядка;

многоточием обозначены одночлены порядков выше 2m. Знакоопределенность (10) эквивалентна отсутствию вещественных решений уравнения V ( x ) = 0 в окрестности начала координат. Указанные ре шения можно искать в параметрическом виде:

a t g (i = 1,…, n), aig R, L M, xn+1 = 1t1M,…, xn+l = l tlM, xi = ig (11) | g |= L t g = t1 1 t2 2 … tl l, g g g где g j – компоненты мультииндекса g = ( g1, g 2,…, gl ) – целочисленные неотрицательные показатели;

t = ( t1, t2,…, tl ) R l – многомерный параметр;

кроме того, полагается j = 1 только для четных M при xn+ j 0 и j = +1 – в остальных случаях;

а натуральные значения L и M подбираются в процессе построения разложения (11).

В результате подстановки (11) в V ( x ) получается ряд V ( x ( t ) ) = W ( t ) = AQ ( aig ;

M ;

L;

t ) +…, (12) где AQ ( aig ;

M ;

L;

t ) – полином наименьшего порядка Q относительно много мерного параметра t, коэффициенты которого зависят от коэффициентов поли нома V ( x ) и параметризации (11).

В диссертации доказана Теорема 13. Представим отношение Q M в виде несократимой дроби q p. Тогда в случае:

1) если а) число q – нечетное или б) число q – четное и полином AQ ( aig ;

M ;

L;

t ) – знакопеременный при некоторых вещественных aig, то функ ция V ( x ) – знакопеременна;

2) если число q – четное и полином AQ ( aig ;

M ;

L;

t ) положительно опреде лен при всех aig R, то функция V ( x ) положительно определена;

3) если число q – четное и полином AQ ( aig ;

M ;

L;

t ) 0 при всех aig R, то для исследования знакоопределенности функции V ( x ) необходимо привлечение членов порядка выше L в разложении (11).

Следующий доказанный в работе результат позволяет определить младшие степени t в разложениях (11).

Теорема 14. В случае m = 1 при анализе знакоопределенности функции V ( x ) в разложении (11) можно полагать M = 1, j = 1 ( j = 1,…, l ).

В пятой главе проводится исследование задачи существования и определе ния точных граней полинома двух переменных, представленного суммой форм f ( x, y ) = Fm ( x, y ) + Fm1 ( x, y ) + … + F1 ( x, y ). (13) В первом параграфе получены условия, при которых существуют точные грани множества значений полинома – в виде конечных величин. В дальнейшем, для краткости, о них говорится как о точных гранях полинома. Показана возмож ность существования нескольких локальных точных граней в некоторых облас тях Z i = { X i ;

Yi } R R ( i = 1,2,… ). Отыскание точных граней сводится к ана лизу системы f x ( x, y ) = 0, f y ( x, y ) = 0. (14) В диссертации доказаны теоремы:

Теорема 15. В случае знакопеременности старшей формы Fm ( x, y ) по лином f ( x, y ), заданный формулой (13), в бесконечно удаленных точках не достигает своих точных граней.

Теорема 16. В случае знакоопределенности старшей формы Fm ( x, y ) полином f ( x, y ), заданный формулой (13), в бесконечно удаленных точках не допускает точных граней.

В последнем случае значение границы области допустимых значений по линома совпадает со значением этого полинома в одной из стационарных то чек.

Во втором параграфе находятся условия, которые требуется наложить на степени мономов и коэффициенты полинома f ( x, y ) для того, чтобы у него существовали локальные точные грани. Показано, что локальные точные грани могут существовать в бесконечно удаленных точках одного из видов: 1) ( a, ) ;

2) (, b ) ;

3) (, ), где a, b – вещественные конечные величины.

Точная грань полинома f ( x, y ), как и для локальных экстремумов, нахо дится из решения системы (14). Только для локальных точных граней решение ищется в виде одного из формальных рядов:

x = a j t j, y = t M, (15) j=L где a j R, = ±1, целочисленная величина M является наибольшей степенью x выражения f ( x, y ) = x M M ( y ) + x M 1 M 1 ( y ) + … + 0 ( y ), deg M ( y ) = pM 0, а L находится из многоугольника Ньютона полинома f ( x, y ) ;

y = b j t j, x = tM, (15) j=L а величины M, L, qM определяются аналогично с помощью представления f ( x, y ) = y M M ( x ) + y M 1 M 1 ( x) + … + 0 ( x ), deg M ( x ) = qM 0.

В третьем параграфе установлен критерий существования точных граней полинома f ( x, y ).

Теорема 17. Для существования в бесконечно удаленной точке локальной точной грани полинома f ( x, y ) необходимо и достаточно выполнения для системы (14) условия: ряд (15) обрывается членом a( Lk ) t ( Lk ), при этом Q1( ) + L 0, L k 0, Q1( ) = deg t f x a j t j, t M.

k k j=L Значения функции f ( x(t ), y (t ) ), соответствующие локальной точной гра ни, вычисляются предельным переходом при t.

В четвертом параграфе установлен следующий алгебраический критерий существования точных граней в терминах результантов полиномов f x ( x, y ), f y ( x, y ) относительно каждой из переменных.

Теорема 18.

Если для результанта Re s x ( f x, f y ) выполняется неравенство 1) ( ) deg Re s x ( f x, f y ) MpM + ( M 1)( pM 1), (16) то точная грань полинома f ( x, y ) в бесконечно удаленной точке существует и для ее вычисления выбирается формальный ряд (15).

Если для результанта Re s y ( f x, f y ) выполняется неравенство 2) ( ) ( ) deg Re s y ( f x, f y ) MqM + M 1 ( qM 1), (16) то точная грань полинома f ( x, y ) в бесконечно удаленной точке существует и для ее вычисления выбирается формальный ряд (15).

Если не выполняются неравенства (16) и (16), то точной грани поли 3) нома f ( x, y ) в бесконечно удаленной точке не существует.

В шестой главе разработанные в предшествующих главах алгоритмы при меняются для решения ряда прикладных задач. В приведенных задачах прово дится исследование устойчивости стационарных решений систем ОДУ, кото рые являются автономными, нелинейными и относятся к критическим по Ляпу нову случаям. При использовании второго метода Ляпунова производные от полиномиальных функций Ляпунова, вычисленные в силу таких систем, явля ются, как правило, полиномами выше второй степени. Выбор функций Ляпуно ва для упомянутых систем существенно усложняется исследованием знакооп ределенности производных от этих функций.

Решение рассмотренных задач производилось развитием формализма вто рого метода Ляпунова в следующих направлениях:

1) поиск функций Ляпунова в виде связок из первых интегралов по методу Четаева, 2) в виде квадратичных функций с неопределенными коэффициентами.

Разработанные в предыдущих главах аналитические критерии знакоопре деленности пучков квадратичных форм, а также знакоопределенности полино мов выше второго порядка позволяют выводить достаточные условия устойчи вости, наиболее близкие к необходимым.

Помимо этого, в ряде рассмотренных задач были проиллюстрированы ме тоды поиска замен переменных, существенно упрощающих вид и анализ иссле дуемых математических моделей. Следует заметить, что преобразования строи лись в аналитическом (символьном) виде с помощью составленного соискате лем пакета программ. Последнее обстоятельство было вызвано тем, что не смотря на наличие современных пакетов аналитических вычислений особенно сти решаемых задач потребовали создания специализированного программного комплекса, поскольку алгоритмы второго метода Ляпунова и анализа знакооп ределенности оказались весьма ресурсоемкими.

Часть исследуемых задач составлена из ранее известных механических систем дополнением нелинейных управлений с целью выявить влияние введен ных параметров в условия устойчивости и для гамильтоновых систем просле дить возможность сохранения гамильтоновой структуры. Другая часть задач, опираясь на знакоопределенность форм и полиномов выше второго порядка, дает возможность сопоставить достаточные условия устойчивости, получаемые вторым методом Ляпунова, с необходимыми. Ряд известных задач механиче ских и управляемых систем, таких как твердое тело с неподвижной точкой в центральном поле сил, спутник с гироскопом на круговой орбите, приведен в периодических изданиях. В свое время они не были доведены до окончательно го решения. В диссертации удалось получить существенные продвижения в их решении.

В первой задаче рассмотрена механическая консервативная управляемая система с двумя степенями свободы, описываемая функцией Гамильтона:

( p1 + p22 ) + 8 ( q12 8kq1q2 5q22 ) 3 36 kq13 + 16 q12q2 + 12 1 7 H= 3 11 37 4 25 + kq1q2 + q2 + p1q2 q1 p2 + q1 + kq1 q (17) 12 128 123 2 2 15 q1 q2 + kq1q2 q2 + 10( Aq12 p12 + Bq2 p2 ), 3 64 8 где обозначено k = 639 20 (величина k имеет здесь конкретное значение для исследования резонанса четвертого порядка), A и B – вещественные коэффи циенты управляющих воздействий.

Целью является определение с помощью КАМ-теории области допусти мых значений параметров A и B, при которых тривиальное решение системы, определяемой гамильтонианом (17), будет устойчиво.

В исследуемой системе при заданном значении k имеется резонанс чет вертого порядка 1: 3, квадратичная часть гамильтониана является знакопере менной. Для решения этой задачи выполнена линейная нормализация, затем нелинейная нормализация методом Пуанкаре. Ввиду несостоятельности анали за сходимости рядов нормализующего преобразования( 3 ) устойчивость норма лизованной системы принято считать “формальной”( 2, 4 ). Методом КАМ-теории с учетом внутреннего резонанса до четвертого порядка( 4 ) получена область из менения параметров A и B (вещественные величины вычислены приближенно и приведены с точностью 104 ) (0.7482 A + 0.6634 B 0.1007) 2 (0.6634 A 0.7482 B 0.5668) 1, 0.51782 2. в которой тривиальное решение формально устойчиво.

Во второй задаче рассмотрена нелинейная механическая консервативная система с двумя степенями свободы, описываемая функцией Гамильтона:

H ( q, p, A, B, C ) = q12 4q1q2 3q2 + 2 ( q2 p1 q1 p2 ) + ( p12 + p2 ) + 2 1 33 + q13 + 2q12 q2 3q1q2 + q1q2 p1 q1q2 p2 + q2 + 2q2 p12 + q2 p1 p (18) 4 2 5 q2 p2 + +24q14 12q13q2 + q12 q2 + Bq1 p1 p2 + Cq2 p2 + Aq1q2 p1 p2.

2 2 2 Требуется подобрать значения коэффициентов A, B, C, обеспечивающие ус тойчивость тривиального решения гамильтоновой системы.

В исследуемой системе имеется резонанс 1:1, управления заданы нелиней но и квадратичная часть гамильтониана является знакопеременной формой. Для решения поставленной задачи применяется метод Биркгофа нормализации га мильтоновых систем до членов четвертого порядка включительно, в результате которой записан квадратичный первый интеграл и нормализованный до членов четвертого порядка (включительно) гамильтониан. Дальнейшее исследование формальной устойчивости тривиального решения проводится прямым методом Ляпунова с использованием двух первых интегралов нормализованной систе мы. Критерий знакоопределенности полиномов, приведенный в четвертой гла ве, позволяет получить следующие достаточные условия формальной устойчи вости тривиального решения:

381 2 961 273 2 1717 2137 3 C+ BC + B+ B+ C + A 0, 32 16 4 12 64 4 64C 2 432 BC 732 B 2 452 B + 1556C + 2529 = 0, A 142.1538.

Эти неравенства задают “область устойчивости” в пространстве управляющих параметров.

В третьей задаче рассмотрена нелинейная система с тремя нулевыми про стыми корнями характеристического уравнения x1 = x13 2 x1 x2 2.5 x12 x2 x3 + x3, 2 2 x2 = x1 x2 2 x2 + x1 x3 + 1/2 x3, 2 3 32 (19) x3 = 2 x1 x2 x3 + (2 x1 + x2 ) x3 s x3, 3 5 где s – вещественный параметр управления.

Ставится задача определения с помощью квадратичных функций Ляпунова наибольшей области устойчивости для параметра s, т.е. тех значений пара метра, для которых тривиальное решение системы (19) асимптотически устой чиво.

Искомой функцией Ляпунова выбрана отрицательно определенная квадра тичная форма V ( x ) = ( x12 + ax2 + bx3 ) 2. Неопределенные вещественные по 2 ложительные коэффициенты a и b находятся из условия “наилучшего” выбора функции V ( x ), для которой устанавливаются необходимые и достаточные ус ловия положительной определенности производной V ( x ) в силу системы (19).

Исследование знакоопределенности этой производной с помощью теоремы сводится к анализу положительной определенности формы четвертого порядка двух переменных. В свою очередь, использование необходимых и достаточных условий знакоопределенности таких форм, приведенных в приложении, позво лило свести задачу определения s к задаче поиска экстремума (1 + 2b ) c + a 2 + b min min max 2.

s= ( c + 2 )( c + a ) b + bR + cR 2 27 aR В качестве решения этой задачи получена допустимая область значений пара метра s 2.4543, в которой тривиальное решение системы (19) асимптотически устойчиво. Необходимые условия устойчивости исследовались с помощью тео ремы Каменкова о неустойчивости. Получена область значений параметра s 2.1839 (вещественные величины значений параметра s областей асимпто тической устойчивости и неустойчивости вычислены приближенно и приведе ны с точностью 104 ), в которой тривиальное решение системы (19) неустойчи во.

По аналогии с предыдущей задачей, в четвертой задаче рассмотрена сис тема ОДУ x1 = x13 8 x1 x2 + b x2, 2 (20) x2 = 2 x1 x2 + 3 x1 x2 2 x2, 2 2 для которой оценивается область устойчивости для параметра b.

Для исследования устойчивости использована квадратичная функция V ( x ) = ( x12 + x2 ) 2, в которой коэффициент 0 подбирается так, чтобы область значений параметра b была наибольшей. Положительная определен ность для производной V ( x ) в силу уравнений движения (20) проверяется с помощью теоремы о знакоопределенности формы четвертого порядка двух пе ременных из приложения. В результате проведенного анализа для асимптоти ческой устойчивости тривиального решения (20) найдены допустимые значения параметра b ( 24;

4.125 ) при величине = 1.9375 (здесь значения и грани цы интервала вычислены точно). С помощью теоремы Каменкова о неустойчи вости указана область неустойчивости нулевого решения системы (20) при зна чениях параметра b ( ;

24 ) ( 4.125;

+ ). Следовательно, значения пара метра b ( 24;

4.125 ) дают достаточные условия асимптотической устойчиво сти нулевого решения нелинейной системы (20) и одновременно являются не обходимыми условиями асимптотической устойчивости нулевого решения этой же системы.

В пятой задаче исследуется устойчивость перманентного вращения в зада че Бруна–Тиссерана(7) – движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Уравнения движения здесь имеют вид Ap = ( B C )( qr µ 2 3 ), 1 = r 2 q 3, Bq = ( C A )( rp µ 3 1 ), 2 = p 3 r 1, Cr = ( A B )( pq µ 1 2 ), 3 = q 1 p 2, где A, B, C – главные моменты инерции твердого тела ( A B C );

1, 2, 3 – переменные Пуассона;

p, q, r – проекции угловой скорости на оси, связанные с телом;

µ – некоторая положительная постоянная, характеризующая поле тя готения. В качестве стационарного движения рассматривается семейство пер манентных вращений p = q = 1 = 2 = 0, r = = const, 3 = 1. (21) Необходимые условия устойчивости перманентных вращений вокруг наимень шей главной оси (21) получаются по известной теореме Пуанкаре для консерва тивных систем из требования существования чисто мнимых корней характери стического уравнения линейной части дифференциальных уравнений возму щенного движения и сводятся к неравенству C 2 2 µ A (C B ) + B (C A). (22) Достаточные условия устойчивости (21) получены В.В. Белецким(7) в виде стро гого неравенства C 2 2 µ A (C B ) + B (C A) с помощью второго ме тода Ляпунова;

при этом функция Ляпунова выбирается в виде знакоопреде ленной связки из четырех первых интегралов задачи:

V0 = Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 + µ ( A 12 + B 2 + C 32 ) = const, V1 = Ap 1 + Bq 2 + Cr 3 = const, V3 = 1 + 2 + 3 = 1, 2 2 V = A2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 µ ( BC 2 + CA 2 + AB 2 ) = const 2 1 2 в возмущенном движении. В диссертации исследуется граница полученной об ласти устойчивости C 2 2 = µ A (C B ) + B (C A).

С использованием критерия знакоопределенности полиномов из четвертой главы установлена устойчивость перманентного вращения на границе (21).

(7) Белецкий В.В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновом поле сил // ПММ. – 1957. – Т. 21, вып. 6. – С. 749–758.

Теорема 19. Достаточные условия устойчивости перманентных враще ний твердого тела вокруг наименьшей главной оси инерции в задаче Бруна– Тиссерана совпадают с необходимыми:

C µ A ( C B ) + B ( C A).

2 В шестой задаче проведено исследование границ асимптотической устой чивости перманентного вращения спутника с гироскопом на круговой орбите с постоянной угловой скоростью 0. Уравнения движения спутника имеют вид(8) A1 + ( C B ) 2 3 + H1 + 2 H 3 3 H 2 = 3 0 ( C B ) a32 a33, B 2 + ( A C ) 13 + H 2 + 3 H1 1H 3 = 3 0 ( A C ) a31 a33, C3 + ( B A )1 2 + H 3 + 1H 2 2 H1 = 3 0 ( B A ) a31 a32, (23) = 1 ( 2 cos 3 sin ) tg, = 0 + ( 2 cos 3 sin ) cos, = sin + cos.

2 Система уравнений (23) имеет стационарное решение 1 = 3 = = = = H1 = H 3 = 0, 2 = 0 = const, H 2 = H = const. (24) Управление движением гироскопа задано уравнениями:

1H1 + H1 = J1 1, 2 H 2 + H 2 H = J 2 ( 2 0 ), 3 H 3 + H 3 = J 3 3, где i ( i = 1, 2,3 ) – некоторые постоянные положительные величины.

Достаточные условия устойчивости решения (24) получены(8) с использо ванием теоремы Барбашина–Красовского в виде 0 4 ( B A) J1 + H 0, 0 ( B C J 3 ) + H 0, C A, A B. (25) При исследовании границ устойчивости использован критерий знакоопреде ленности неоднородных полиномов нескольких переменных и теорема Барба шина–Красовского об асимптотической устойчивости.

Анализ границы в случае нарушения первого условия (25) H = 0 4 ( A B ) + J с помощью указанного подхода позволяет получить следующие достаточные условия асимптотической устойчивости:

(8) Сазонов В.В. Гравитационная ориентация искусственных спутников с гиродинами // Кос мические исследования. – 1988. – Т. 26, вып. 2. – С. 315–317.

( B C J 3 ) 0 + H 0, C A, B A, 4 ( B A ) J1 0 + H = 0, 12 A 11B + 3 ( J1 J 2 ) 0.

Аналогичный анализ границы в случае нарушения второго условия (25) H = 0 (C B + J3 ) приводит к следующим достаточным условиям асимптотической устойчивости:

4 ( B A ) J1 0 + H 0, B A, C A, ( B C J 3 ) 0 + H = 0, 3C 2 B + 3 ( J 3 J 2 ) 0.

Анализ границы в случае нарушения первого и второго условий (25) с помо щью упомянутого подхода позволяет получить достаточные условия асимпто тической устойчивости одним из двух возможных видов:

J 3 J 2 2 3 B C, ( B C J 3 ) 0 + H = 0, C A, 1) J 3 J 2 6 B 7C + 6 ( C B ) ( C A ), A B, ( B C J 3 ) 0 + H = 0, J 3 J 2 2 3 B C, C A, A B, 2) 10 3B 4C + ( C B ) ( C A ) J 3 J 2 6 B 7C + 6( C B ) ( C A ).

2 В приложение вынесены известные положения, формулировки, методы, которые были использованы в диссертации для анализа прикладных задач.

Каждая из глав сопровождается кратким вступлением, обзором литературы и поясняющими примерами.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссерта ции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симмет ричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.

2. Для линейных гироскопических систем получены условия декомпози ции линейной заменой переменных на подсистемы меньших размерностей, ка ждая из которых зависит от одной переменной.

3. Установлено, что при приведении линейной части системы ОДУ к нор мальной форме линейным неособым преобразованием все линейные с постоян ными коэффициентами интегралы нелинейной гамильтоновой системы преоб разуются в циклические.

4. Необходимые и достаточные условия знакоопределенности пучка двух квадратичных форм. Достаточные условия отсутствия знакоопределенности пучка трех квадратичных форм.

6. Алгоритм получения необходимых и достаточных условий знакоопреде ленности полиномов произвольного порядка (алгебраических относительно ко эффициентов полинома).

7. Условия существования и алгоритм нахождения точных граней полино мов двух переменных.

8. Решение с помощью разработанных алгоритмов ряда задач космодина мики, стабилизируемости управляемых систем, устойчивости консервативных систем и оценки областей устойчивости в пространстве параметров, входящих в систему.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Вестник Иркутского гос. техн. ун-та. – 2005. – № 4 (24). – С. 160–166.

2. Новиков М.А. О наибольших и наименьших значениях полиномов // Вестник Иркутского гос. техн. ун-та. – 2006. – № 4 (28). – С. 84–91.

3. Новиков М.А. О точных гранях полиномов // Сибирский журнал вычислитель ной математики. – 2007. – Т. 10, № 2. – С. 195–208.

4. Новиков М.А. Знакоопределенность и теорема Финслера // Современные техно логии. Системный анализ. Моделирование. – 2008. – Спецвып. – С. 126–132.

5. Новиков М.А. Определители в вычислениях точных граней полиномов // Совре менные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2009. – № 1 (21). – С. 135–140.

6. Новиков М.А. Об исследовании границ устойчивости стационарных движений спутника с гироскопом на круговой орбите // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 4. – С. 163–171.

7. Новиков М.А. О приложении форм выше второго порядка в задачах устойчиво сти движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2009. – № 2 (22). – С. 114–119.

8. Новиков М.А. О границах устойчивости стационарного движения спутника с ги роскопом // Прикладная математика и механика. – 2010. – Т. 74, вып. 2. – С. 230– 238.

9. Новиков М.А. О приведении матриц квадратичных форм к взаимно упрощен ным // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2010. – № 2 (26). – С. 181–187.

10. Новиков М.А. О связи диагонализации и знакоопределенности пучка двух квад ратичных форм // Современные технологии. Системный анализ. Моделирова ние. – 2010. – № 3 (27). – С. 233–241.

11. Новиков М.А. О диагонализации и знакоопределенности пучка трех квадратич ных форм // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – 2010. – № 4 (28). – С. 100–107.

12. Новиков М.А. О диагонализации матриц трех квадратичных форм // Оптимиза ция, управление, интеллект. – 2000. – № 5, ч. 1. – С. 150–156.

13. Новиков М.А. О знакоопределенности аналитических функций // Метод функ ций Ляпунова в анализе динамики систем. – Новосибирск: Наука, 1988. – С. 256– 261.

14. Новиков М.А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной точки в задаче Бруна // Прикладная математика и механика. – 1994. – Т. 58, вып. 5. – С. 261–265.

15. Новиков М.А. О стабилизации механических Гамильтоновых систем нелиней ным управлением // Тр. XII Байкальской междунар. конф. – Иркутск, 2001. – Т. 6. – С. 198–202.

16. Новиков М.А. Исследование устойчивости консервативных систем с применени ем аналитических вычислений // Тр. Междунар. конф. “Математика, ее прило жения и математическое образование”. – Улан–Удэ, 2002. – Ч. 2. – С. 15–22.

17. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Материалы XIV Байкальской школы-семинара “Методы оптимизации и их приложения”. – Ир кутск: ИСЭМ СО РАН, 2008. – С. 134–141.

18. Novickov M.A. An Investigation into Stability of Conservative Mechanical Systems Using Analytic Calculations // Computer Algebra in Scientific Computing (CASC’99) / Ed. by V.G. Ganzha, E.V. Mayr, E.V. Vorozhtsov. – Berlin: Springer Verlag, 1999. – P. 317–322.

19. Novickov M.A. Symbolic Computations in Problems of Stabilization // Algebra in Fundamental and Applied Researches and Education – 99. – Minsk: BSU, 1999. – P. 66–69.

20. Novickov M.A. Parametric Analysis for a Nonlinear System // Computer Algebra in Scientific Computing (CASC’00) / Ed. by V.G. Ganzha, E.V. Mayr, E.V. Vorozhtsov.

– Munich: Springer, 2000. – P. 315–321.

21. Новиков М.А. О приведении матриц к нормальной форме Жордана / ИДСТУ СО РАН. – М., 1998. – Деп. ВИНИТИ, № 277-В98. – С. 3–21.

Редакционно-издательский отдел Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. E-mail: [email protected] Подписано к печати 19.01.2012 г.

Формат бумаги 6084 1/16, объем 1,7 п.л.

Заказ 2. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН