Характеристики периода занятости систем массового обслуживания при дважды стохастическом синхронном входящем потоке
На правах рукописи
Лезарев Александр Викторович ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ СИНХРОННОМ ВХОДЯЩЕМ ПОТОКЕ 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Томск – 2005
Работа выполнена на кафедре прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Глухова Елена Владимировна.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Назаров Анатолий Андреевич, кандидат технических наук, Кузнецов Дмитрий Юрьевич.
Ведущая организация Сибирский государственный Аэрокосмический университет
Защита состоится:
22 декабря 2005 г. в 12 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу:
654050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 102 2-го учебного корпуса.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенные печатью) просьба высылать по адресу: 654050, г. Томск, пр.
Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета Буровой Н.Ю.
Автореферат разослан “ 8 ” ноября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, доцент А.В. Скворцов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Системы массового обслуживания (СМО) являются стандартной математической моделью для описания многих технических, биологических и других систем. В частности, они находят всё более широкое применение для описания сетей связи и сетей ЭВМ, как локальных, так и глобальных.
Важнейшим элементом всех таких систем являются входящие потоки некоторых событий (заявок, задач и т.д.), которые поступают на обслуживающие приборы, занимая их на некоторое время для своего обслуживания, и затем или покидают систему, или уходят на другой обслуживающий прибор.
В реальных системах эти потоки событий, как правило, являются нестационарными. Кроме того, интенсивность потока может также меняться случайным образом. Поэтому достаточно адекватными реальности являются так называемые дважды стохастические потоки заявок.
Одним из наиболее изученных дважды стохастических потоков является поток событий с двумя возможными значениями интенсивности. Свойства потоков, где переходы между значениями интенсивности образуют дискретный марковский процесс с непрерывным временем, оценка его параметров и фильтрация интенсивности изучена в работах А.М. Горцева и его сотрудников. Ими же изучены характеристики ряда СМО при таком входящем потоке.
Однако имеется одна характеристика, которая осталась не исследованной в работах А.М. Горцева и его соавторов. Эта характеристика – период занятости СМО при таком входящем потоке. Между тем знание хотя бы средней длительности периода занятости представляет определенный интерес при проектировании сетей связи и сетей ЭВМ.
Приведем примеры ситуаций, в которых знание характеристик периода занятости позволяет оптимизировать работу.
1. Администрирование в сетях ЭВМ. Например, провайдер, который предоставляет нам доступ в Интернет, фиксирует только наш вход в систему и выход из нее, а к каким сайтам мы обращаемся во время нашего сеанса работы – его не касается. Поэтому свое представление о нас он формирует только по моментам начала и конца периодов занятости и должен строить свои оценки именно по этим данным.
2. В последнее время при проектировании и эксплуатации вычислительных сетей часто используются технологии распределенных сетевых ресурсов и распределенных вычислений. Основная идея этих технологий заключается в следующем: дорогостоящие ресурсы вычислительной сети не должны дублироваться на рабочих местах пользователей, но при этом мощности сетевых вычислительных ресурсов должны обеспечить комфортную работу всех пользователей сети.
К сожалению, на сегодняшний день большинство вопросов, связанных с количеством и качеством такого рода оборудования, чаще всего решаются эмпирическим путем. Это очень часто приводит к естественным последствиям – перечисленные технологии либо не работают, либо работают не на том уроне, который достаточен для нормальной работы сетевых клиентов. Оптимизировать работу подобных сетевых ресурсов невозможно, не зная характеристик периода занятости. Предлагаемые в работе модели и методы моделирования подходят в качестве математической основы для такого рода исследований.
3. Наконец, типичным примером таких ситуаций являются физические, технические или биологические системы с так называемым «мёртвым временем», когда часть событий исходного потока теряется из-за эффекта мёртвого времени, возникающего в регистрирующих приборах, и наблюдению доступны лишь моменты начала периодов занятости.
Поэтому изучение этой характеристики дополняет работы А.М. Горцева и представляет определенный практический интерес. В работах А.Б. Орлова изучены свойства этой характеристики, когда входящий поток заявок является дважды стохастическим потоком с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми образуют дискретный марковский процесс с непрерывным временем. Представляет интерес дальнейшее изучение систем массового обслуживания для других видов дважды стохастических входящих потоков.
Целью данной работы является изучение характеристик периода занятости некоторых систем массового обслуживания, когда входящий поток заявок является дважды стохастическим синхронным потоком с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми возможны в моменты прихода новых заявок.
При выполнении данной работы ставились следующие задачи для дважды стохастического синхронного потока с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми возможны в моменты прихода новых заявок:
I. Найти для однолинейной СМО с бесконечным бункером и однолинейной СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании:
1. Условную среднюю длительность периода занятости при условии, что известно значение интенсивности в начале периода;
2. Переходные вероятности между значениями интенсивности в начале и в конце периода занятости;
3. Переходные вероятности между значениями интенсивности в начале и в конце периода простоя системы;
4. Финальные вероятности значения интенсивности в начале периода занятости и безусловную среднюю длительность периода занятости.
II. Найти для бесконечнолинейной СМО:
1. Математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции числа заявок в системе;
2. Коэффициенты сноса и диффузии, среднюю длительность периода занятости, показав, что при больших загрузках число заявок в системе может быть аппроксимировано диффузионным случайным процессом.
III. Разработать программное обеспечение для расчета всех этих характеристик.
Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, теории массового обслуживания. Конечные расчеты были проведены на ЭВМ.
Состояние проблемы. Оценивать место работы автора в кругу других работ можно по двум параметрам: по работам по нахождению характеристик периода занятости СМО и по типу входящего потока заявок.
Характеристики периода занятости долго не привлекали особого внимания исследователей. В классических монографиях и даже в очень подробных справочниках можно найти лишь распределение длительности периода занятости однолинейной СМО в следующих ситуациях:
– рекуррентный входящий поток заявок и экспоненциальное распределение времени обслуживания;
– пуассоновский входящий поток заявок и рекуррентное обслуживание.
Однако даже характеристики периода занятости в бесконечнолинейной СМО при пуассоновском входящем потоке заявок и рекуррентном обслуживании были получены сравнительно недавно.
С другой стороны, период занятости СМО имеет самое прямое отношение к проблемам работы регистрирующей аппаратуры. Поэтому знание характеристик периода занятости не только позволяет оценить возможности регистрирующей аппаратуры, но и построить оценки интенсивности потока поступающих на прибор частиц по наблюдениям над началами периодов занятости. Исследованиям в этом направлении посвящены работы Е.В.
Глуховой и А.С. Шкуркина, непосредственным продолжением которых является и настоящая работа.
С другой стороны, работа отличается от других работ по типу входящего потока заявок. Автор рассматривает входящий поток заявок как дважды стохастический поток с двумя значениями интенсивности, переходы между которыми возможны в моменты прихода новых заявок. Несмотря на то, что такие потоки и системы массового обслуживания при таком входящем потоке исследовались в работах А.М. Горцева и его сотрудников, вопросы, касающиеся периода занятости, в них не затрагивались.
Поэтому основное отличие предлагаемой работы от работ других авторов состоит в том, что в ней найдены вероятностные характеристики периода занятости некоторых систем массового обслуживания, когда входящий поток заявок является дважды стохастическим потоком с двумя состояниями, переходы между которыми возможны только в моменты прихода новых заявок.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:
Во всех рассмотренных системах входящий поток заявок является дважды стохастическим синхронным потоком с двумя состояниями интенсивности 1 и 2. Переходы между этими состояниями возможны только в момент наступления нового события. Если поток находится в состоянии 1, то вероятность перехода 1 2 равна 1, а вероятность остаться в том же состоянии 1 1. Если поток находится в состоянии 2, то вероятность перехода 2 1 равна 2, а вероятность остаться в том же состоянии 1 2.
Автор выносит на защиту следующие научные результаты:
1. Для однолинейной СМО с бесконечным бункером и экспоненциальным распределением времени обслуживания найдены:
а) условные средние длительности периода занятости m1 и m2, при условии, что в момент начала периода занятости интенсивность потока = i, i = 1,2 ;
б) финальные вероятности i того, что период занятости начнется при значении интенсивности = i ;
в) условные (при условии, что интенсивность потока равна i ) стационарные плотности вероятностей 1 (w ) и 2 (w ) незавершенной работы, а также безусловная плотность вероятностей незавершенной работы.
2. Для однолинейной СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании при произвольном распределении времени обслуживания найдены а) условные средние длительности m1 и m2 периода занятости системы при условии, что в момент начала периода занятости интенсивность потока была равна i, i = 1,2 ;
б) финальные вероятности 1 и 2 того, что период занятости начнется с состояния интенсивности потока = i, i = 1,2, и безусловную среднюю длительность периода занятости;
в) условные плотности вероятностей 1 (w) и 2 (w) незавершенной работы w при условии, что интенсивность потока = i, i = 1,2, и безусловную плотность вероятностей (w) незавершенной работы.
3. Для бесконечнолинейной СМО с экспоненциальным распределением времени обслуживания найдены – математическое ожидание и дисперсия числа заявок в системе;
– функция корреляции числа заявок.
Проведен асимптотический анализ изучаемой системы при больших загрузках и показано, что процесс изменения числа заявок в системе может быть аппроксимирован диффузионным случайным процессом. Найдены – коэффициенты сноса и диффузии этого процесса;
– асимптотическая плотность вероятностей для числа заявок в системе;
– преобразование Лапласа от плотности вероятностей периода занятости изучаемой системы;
– средняя длительность периода занятости.
Эти результаты, выносимые на защиту, и составляют научную новизну диссертационной работы.
Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней найдены характеристики периода занятости некоторых СМО при синхронном дважды стохастическом входящем потоке. Автору представляется, что подобным же образом, по крайней мере, в асимптотике, можно рассмотреть изученные в работе СМО и при других типах дважды стохастических потоков заявок.
Практическая ценность работы Разработанные алгоритмы реализованы в виде программы в системе Delphi 6.0. Они могут быть использованы при расчете характеристик проектируемых СМО. Результаты работы включены в спецкурс «Системы массового обслуживания», читаемого студентам факультета математики и информатики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
1. Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство» Анжеро-Судженск, 2001 г.
2. Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Анжеро-Судженск, 2002 г.
3. 8-th Korea – Russia Internation Symposium on Science and Technology. 2004.
4. III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». 2004 г.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы, изложена цель исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность полученных результатов, методика исследования, дается краткий анализ работ, посвященных этой тематике.
Во всех главах входящий поток заявок представляет собой дважды стохастический синхронный пуассоновский поток событий с двумя состояниями интенсивности – 1 и 2. Термин «пуассоновский» означает, что при фиксированном значении интенсивности поток заявок является пуассоновским с соответствующей интенсивностью. В дальнейшем для определенности будем считать, что 1 2. Переходы между этими состояниями возможны только в момент наступления нового события. Если поток находится в состоянии 1, то вероятность перехода 1 2 равна 1, а вероятность остаться в том же состоянии 1 1. Если поток находится в состоянии 2, то вероятность перехода 2 1 равна 2, а вероятность остаться в том же состоянии 1 2.Время обслуживания в главах 1, предполагается распределенным по экспоненциальному закону с интенсивностью µ.
В первой главе диссертации изучена однолинейная СМО с бесконечным бункером. Основой для вычисления характеристик периода занятости является величина незавершенной работы в системе, которая обозначена через w.
Под незавершенной работой w понимается суммарное время обслуживания заявок находящихся в бункере, плюс остаточное время обслуживания заявки находящейся на приборе. Ее достоинством является то, что она представляет собой марковский процесс.
Обозначим через mi (w), i = 1,2 среднее время до опустошения системы, если в момент времени t она находится в состоянии i. В работе показывается, что эти величины удовлетворяют системе уравнений m1 ( w) = 1 1 m1 ( w) + 1 1 m 2 ( w + x) p( x)dx + 1 (1 1 ) m1 ( w + x) p( x)dx, 0 m 2 ( w) = 1 2 m 2 ( w) + 2 2 m1 ( w + x) p ( x)dx + 2 (1 2 ) m 2 ( w + x) p( x)dx, 0 с граничными условиями m1 (0) = m2 (0) = 0, где p(x) – плотность вероятностей работы которую несет заявка.
В работе найдено явное решение этой системы, которое не выписано здесь из-за его громоздкости. Для величин условной средней длительности периода занятости mi = mi ( w) µ exp(µw)dw получены более простые выражения ( z + 2 1)(11 + 2 2 ) z m1 = 1 +, 11 (1 2 ) + 2 2 (1 1) ( z + 1)( z + 1 2 ) ( z + 2 2 )(11 + 2 2 ) z m2 = 1 +, 11 (1 2 ) + 2 2 (1 1) ( z + 1)( z + 1 1) z где – положительный корень характеристического уравнения z 3 2 z 2 (1 + 2 2) + z (1 1(1 + 1) 2 ( 2 + 1) + 1 2 2 ) 11 (1 2 ) 2 2 (1 1) = 0.
При выполнении условия a 2 (1 l1 ) + a1 (1 l 2 ) 0, которое является условием работоспособности системы (в противном случае система будет перегружена, и в ней не будет существовать стационарного режима), и 1 + 2 1, положительный корень этого уравнения единственный.
Для нахождения безусловной средней длительности периода занятости надо найти финальные вероятности i, i = 1,2 того, что период занятости начнется при значении интенсивности = i. Эти величины имеют вид (1 a1 )( 1) K + a 2 (1 K ) 1 =, (1 K )(1 + a1 + a 2 ) a1 ( K ) + (1 a 2 )(1 ) 2 =, (1 K )(1 + a1 + a 2 ) где – корень уравнения 3l1l2 (1 1 2 ) + 2 (l11 + l2 2 (l1 + l2 + l1l2 )) + (l1 + l2 + 1) 1 = 0, лежащий на отрезке (0, 1). Показано, что этот корень единственный. Теперь можно найти и безусловную среднюю длительность периода занятости m = 1m1 + 2 m2.
Наконец, в главе найдена стационарная плотность вероятностей незавершенной работы. Она не приводится здесь ввиду большой громоздкости.
Во второй главе изучаются характеристики периода занятости однолинейной СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании. В отличие от глав 1,3 обслуживание заявок считается рекуррентным и время обслуживания случайной величиной с плотностью вероятностей p(), 0. В качестве основной величины, характеризующей состояние системы, выбирается остаточное время обслуживания заявки, находящейся на обслуживании w. Оно также является марковским случайным процессом.
Обозначим через mi (w) среднее время до окончания периода занятости, если в момент времени t интенсивность потока = i и остаточное время обслуживания заявки, находящейся на приборе, если она не будет вытеснена другой заявкой, равно w. Другими словами, w есть незавершенная работа заявки, находящейся на обслуживании.
Рассматривая переходы между состояниями системы за интервал времени t, получены следующие уравнения m1 ( w) + 1m1 ( w) = 1 + (1 1 )1m1 + 11m2, m ( w) + 2 m2 ( w) = 1 + (1 2 ) 2 m2 + 2 2 m1, где mi = mi () p()d. Эту систему надо решить при граничных условиях m1 (0) = m2 (0) = 0.
Решение этой системы дает следующий результат ( ) 1 + (1 1 )1m1 + 11m 1 e w, m1 ( w) = ( ) 1 + (1 2 ) 2 m2 + 2 2 m 1 e w.
m2 ( w) = Тогда условные средние значения длительности периода занятости имеют вид 2 ( 1 2 1 2 1 2 ) 11 1 m1 =, 1 2 ( 2 2 2 + 1 1 2 + 2 1 2 1 1 + 1 1 2 1) 1 ( 1 2 2 1 1 2 ) 2 2 1 m2 =.
1 2 ( 2 2 2 + 1 1 2 + 2 1 2 1 1 + 1 1 2 1) где 1 ( w) = 1 e w, 2 ( w) = 1 e w, i = i () p ()d.
1 Для нахождения безусловной средней длительности периода занятости надо найти вероятности, i = 1,2 того, что период занятости начинается со значения = i.
Обозначим через Pij (w) вероятность того, что период занятости закончится при значении интенсивности = j при условии, что в момент t интенсивность = i и незавершенная работа заявки, находящейся на обслуживании, была w. Уравнения для них имеют вид (приводится лишь два из четырех уравнений) P11 ( w) + 1 P11 ( w) = (1 1 )1 P11 + 11 P21, P21 ( w) + 2 P21 ( w) = (1 2 ) 2 P21 + 2 2 P11, где Pij = Pij () p ()d. Их надо решить при граничных условиях P11 (0) = 1, P21 (0) = 0.
Решение этой системы имеет вид ( ) P11 (w) = ((1 1 ) P11 + 1 P21 ) 1 e w + e w, 1 ( ) P21 (w) = (1 2 ) P21 + 2 P11 1 e w, Окончательно 1 ( 2 2 2 1) P11 =, ( 2 2 2 + 1 1 2 + 1 2 2 11 + 1 2 1 1) 1 2 P21 =, ( 2 2 2 + 1 1 2 + 1 2 2 11 + 1 2 1 1) где i = i ( ) p( )d, 1 ( w) = e w, 2 ( w) = e w, i = i () p ()d.
1 0 Обозначим через qij вероятность того, что период простоя системы закончится при значении интенсивности = j, если он начался при значении интенсивности = i. Тогда q12 = 1, q11 = 1 1, q22 = 1 2, q 21 = 2.
Теперь можно вычислить величины rij = Pi1q1 j + Pi 2 q2 j и найти финальные вероятности i того, что период занятости начнется при значении интенсивности i :
r r 1 = 2 = m = 1m1 + 2 m2.
,, r12 + r21 r12 + r В последнем параграфе этой главы находится стационарная плотность вероятностей (w) незавершенной работы w. Обозначим i (w), i = 1,2 стационарную плотность вероятностей незавершенной работы w при условии, что интенсивность входящего потока равна i. Тогда вычисления дают 1 (w) = ((1 1 )1 + 2 2 )e 1w p(x )e 1x dx, w 2 (w) = ((1 2 ) 2 + 11 )e 2 w p(x )e 2 x dx.
w Безусловную плотность вероятностей (w) незавершенной работы w можно записать в виде 2 2 1 (w) + 11 2 (w) (w) =.
1 1 + 2 В третьей главе рассмотрена бесконечно линейная система массового обслуживания при дважды стохастическом синхронном входящем потоке заявок.
Пусть i(k ) есть финальная вероятность того, что в системе находится на обслуживании i заявок и интенсивность потока = k. Система уравнений для i(k ) имеет вид 1 (1) + µ11) = 0, ( 2 0 + µ1 = 0, ( 2) ( 2) 1q1 i 1 + 2 p2 i 1 (1 + iµ) i + (i + 1) i +1 = 0, i = 1,, (1) ( 2) (1) (1) q ( 2) + p (1) ( + iµ) ( 2 ) + (i + 1) ( 2) = 0, i = 1,.
2 2 i 1 1 1 i 1 i + 2 i Для решения этой системы переходим к производящим функциям Pk ( z ) = z i i( k ), k = 1,2.
i = Тогда система уравнений для них принимает вид ( z 1)( P1( z ) l1 P1 ( z )) + z ( p1l1 P1 ( z ) p2l2 P2 ( z )) = 0, ( z 1)( P2( z ) l2 P2 ( z )) + z ( p2l2 P2 ( z ) p1l1 P1 ( z )) = 0, где li = i µ.
К сожалению, явный вид для производящих функций, в работе найти не удалось, но были вычислены основные характеристики рассматриваемой системы.
Финальные вероятности состояния потока в стационарном режиме p1l p2l R1 =, R2 =, p1l1 + p 2 l 2 p1l1 + p 2 l где введены безразмерные величины l1 = i µ, i = 1,2.
Среднее число заявок в системе l1l 2 ( p1 + p 2 ) M {} = P1(1) + P2(1) =.
i p1l1 + p 2 l Дисперсия числа заявок в системе (l1 l 2 )(l1 l ) (l 2 l1 )(l 2 l ) R1 R, D{i} = l + + 2 l1 p1 l2 p где l = l1 R1 + l 2 R В работе проведен непосредственный расчет характеристик системы. Пусть i (t ) есть число заявок, находящихся в системе в момент времени t. Рассмотрим процессы ik (t ) = i (t ) Pk (t ), k = 1,2, где предполагается, что в момент k. Обозначим mk (t ) = M {ik (t )}. Для времени t интенсивность потока равна получена система m (t ) дифференциальных уравнений m1 (t ) = 1 P1 (t ) µm1 (t ) 1 p1m1 (t ) + 2 p2 m2 (t ), m2 (t ) = 2 P2 (t ) µm2 (t ) 2 p2 m2 (t ) + 1 p1m1 (t ).
Обозначая lim m k (t ) = m k, получаем t l1l 2 p2 (1 + l 2 ( p1 + p 2 )) m1 =, (l1 p1 + l 2 p2 )(1 + l1 p1 + l 2 p2 ) l1l 2 p1 (1 + l1 ( p1 + p 2 )) m2 =.
(l1 p1 + l 2 p 2 )(1 + l1 p1 + l 2 p 2 ) Среднее число заявок, находящихся в системе в стационарном режиме l1l 2 ( p1 + p2 ) M {i (t )} = m1 + m2 = l1 p1 + l 2 p Для расчета дисперсии числа заявок в системе в стационарном режиме рассмотрим процесс i2 k (t ) = i (t ) Pk (t ), k = 1,2 ;
его математическое ожидание будем обозначать как m2 k (t ). Для m2 k (t ) получена система уравнений (2 + l1 p1 )m21 l2 p2 m22 = (1 + 2l1 )m1 + l1 R1, l1 p1m21 + (2 + l2 p2 )m22 = (1 + 2l2 )m2 + l1 R2, где lim m2 k (t ) = m2 k.
t Явное выражение для m2 k (t ) не выписано из-за громоздкости. Заметим лишь, что m21 + m22 = M {i 2 }. Откуда можно получить выражение для D{i}.
Для процесса i (t ) найдена функция корреляции.
(t1, t 2 ) = D{i}e µ| t2 t1| Найти точное распределение вероятностей для числа заявок, находящихся в системе, очень сложно, поэтому проведен асимптотический анализ рассматриваемой системы методом, предложенным А.А. Назаровым. Полученные результаты применимы в случае больших загрузок.
Введем процесс 1, если (t ) = 1, k (t ) = 2, если (t ) = 2.
Обозначим P (i (t ) = i, k (t ) = k ) = Pk (i, t ). Опишем систему в случае больших нагрузок. Рассмотрим случай, когда интенсивность обслуживания µ мала, точнее, асимптотика получится в предположении, что µ 0.
Обозначим µ = 2, µt = 2 t =. Перейдем от процесса i (t ) к процессу 2 i = µi = x() + y, где x() – некоторый детерминированный процесс, а y – случайная добавка. Кроме этого, введем функцию k ( y,, ) = Pk (i, t ) и будем считать ее непрерывной дифференцируемой функцией. Для k ( y,, ) получена система уравнений:
1 ( y,, ) ( y,, ) x() 2 + (1 + x() + y )1 ( y,, ) = y = 1q11 ( y,, ) + ( x() + ( y + ))1 ( y +,, ) + 2 p2 2 ( y,, ), 2 ( y,, ) ( y,, ) x() 2 + ( 2 + x() + y ) 2 ( y,, ) = y = 2 q2 2 ( y,, ) + ( x() + ( y + )) 2 ( y +,, ) + 1 p11 ( y,, ).
Асимптотическое исследование проведено в три этапа.
Первый этап. Обозначим k ( y, ) = lim k ( y,, ) и перейдем к пределу 0. Тогда получим соотношение между 1 ( y, ) и 2 ( y, ) :
1 p11 ( y, ) = 2 p2 2 ( y, ).
Откуда можно записать k ( y, ) = Rk ( y, ), k = 1,2, где Rk финальные вероятности состояний потока.
Этап 2. На этом этапе в системе для k ( y,, ) оставим лишь слагаемые со степенью не выше первой. Тогда, показано, что этой системе удовлетворяет решение вида:
( y, ) k ( y,, ) = Rk ( y, ) + hk + o ( ), y где hk, k = 1,2 – некоторые константы.
Этап 3. На этом этапе рассмотрим слагаемые, содержащие 2. Введем функцию ( y,, ) = 1 ( y,, ) + 2 ( y,, ) и, обозначив = + 2(1 2 ) R1 R2, громоздкими преобразованиями получим, что уравнение для ( y, ) можно 1 p записать ( y, ) ( y( y, )) 1 2 ( y, ) + {x() + } =.
y y Из него следует, что процесс y () является диффузионным случайным процессом, описываемым следующим стохастическим дифференциальным уравнением dy () = y ()d + x() + dw().
z () = x() + y () = µi Таким образом, процесс при больших загрузках удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению dz () = ( z ())d + µ( z () + ) dw() и является диффузионным случайным процессом.
Пусть H (z ) и есть стационарная плотность вероятностей значений процесса z (). Тогда после некоторых преобразований найден явный вид H (z ) 2 z+ z+ exp 2.
H ( z) = µ( ) µ µ Далее в работе рассмотрен вопрос о периоде занятости рассматриваемой СМО. Точное решение задачи найти не удалось, поэтому эта проблема исследована в случае больших загрузок.
Пусть T (z ) есть время до полного опустошения системы. Рассмотрим условную характеристическую функцию g ( z, s ) = M {exp( sT ( z )) | z () = z}.
Тогда после ряда преобразований найдено преобразование Лапласа от плотности вероятностей длительности периода занятости + µ+ s, 2 ;
µ µ g ( s ) = g (µ, s ) =.
+ s, 2 ;
µ µ Найти обратное преобразование Лапласа от этой функции не удалось;
поэтому найдена средняя длительность периода занятости + (1 z) exp µ z dz µ T= µ0 В четвертой главе описывается разработанное автором программное обеспечение для численного расчета полученных в работе характеристик. Также программа реализует имитационное моделирование рассмотренных систем.
ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ 1. Lezarev A., Terpugov A. Mean length of mass service system’s employment period with arequest supplanting by double stochastic incoming flow //8-th Korea – Russia Internation Symposium on Science and Technology. V. 2. 2004. P.
153–155.
2. Глухова Е.В., Лезарев А.В. Средняя длительность периода занятости системы массового обслуживания с вытеснением заявки при дважды стохастическом входящем потоке //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6 Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 49–59.
3. Лезарев А.В., Глухова Е.В. Безусловная средняя длительность периода занятости в однолинейной СМО с дважды стохастическим синхронным входящим потоком //Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. Ч. 2.
С. 25–27.
4. Лезарев А.В., Глухова Е.В. Средняя длительность периода занятости системы массового обслуживания с вытеснением заявки при дважды стохастическом входящем потоке //Материалы III Всероссийской научно практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Томск: Изд-во Том. ун та, 2004. Ч. 2. С. 28–30.
5. Змеев О.А., Лезарев А.В. Функциональные требования для систем имитационного моделирования систем массового обслуживания //Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Томск «Твердыня» 2002. С. 128–130.
6. Змеев О.А., Лезарев А.В. Шаблон объектного проектирования для реализации функциональности процесса моделирования в имитационных моделях систем массового обслуживания //Вестник Томского государственного университета, серия «Математика. Кибернетика. Информатика», апрель 2002, №275. С. 108–111.
7. Капустин Е.В., Лезарев А.В. Имитационное моделирование работы страховых компаний //"Новые технологии и комплексные решения: наука, образование производство". Материалы всероссийской научно-практической конференции. Часть VI. (Информатика). Тезисы докладов. г. Анжеро-Судженск. 2001. №2. С. 35–37.
8. Капустин Е.В., Лезарев А.В. Расчет характеристик бесконечно линейной системы массового обслуживания при дважды стохастическом входящем потоке //Известия высших учебных заведений. Физика. Том 47, 2004. № 2. С.
35–38.
9. Лезарев А.В., Терпугов А.Ф. Средняя длительность периода занятости в однолинейной системе массового обслуживания с дважды стохастическим синхронным входящим потоком //Вестник Томского государственного университета, серия «Математика. Кибернетика. Информатика», декабрь 2004, № 280. С. 151–154.
10. Глухова Е.В., Лезарев А.В. Расчет характеристик бесконечнолинейной системы массового обслуживания при дважды стохастическом синхронном входящем потоке // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. С. 62–80.
18