Новые детерминировано–вероятностные алгоритмы и модели нелинейной динамики
На правах рукописи
ЗУЛЬПУКАРОВ Магомед-Герей Меджидович НОВЫЕ ДЕТЕРМИНИРОВАНО–ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ И МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Москва – 2007 год
Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук Научные руководители: доктор физ.-мат. наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич кандидат физ.-мат. наук Подлазов Андрей Викторович
Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Дмитриев Александр Сергеевич доктор физ.-мат. наук, профессор Баранцев Рэм Георгиевич
Ведущая организация: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Защита состоится « 29 » мая 2007 г. в 14 час. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.
Автореферат разослан « 28 » апреля 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук О.В. Щерица I.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Большинство методов и алгоритмов нелинейной динамики эффективны в приложении к динамическим системам сравнительно малой размерности. В теоретических построениях, как правило, используются отображения размерности не выше 2 и системы дифференциальных уравнений размерности не выше 3 (из наиболее известных базовых моделей можно привести в пример логистическое отображение, отображение Эно, системы Лоренца, Рёсслера и Рикитаке) 1. Именно в ходе исследования таких систем удалось выявить сценарии перехода от порядка к хаосу. Поэтому, сейчас часто говорят о маломодовой нелинейной динамике. Попытки практического применения моделей большой размерности, ставшие возможными благодаря быстрому росту вычислительных мощностей, дали более скромные, чем ожидалось, результаты.
По-видимому, ограничение на размерность модели является принципиальным, и качественное понимание происходящего в исследуемой системе достижимо, если систему можно описать с помощью небольшого числа независимых переменных и параметров (например, при анализе катастроф широко используется тот факт, что в типичном случае катастрофа локально эквивалентна какой-либо из семи хорошо изученных элементарных катастроф, если размерность пространства параметров не превышает четырёх 2 ). В то же время, для решения множества практических задач (задач медицины, экономики, сейсмологии, передачи информации и т.д.) требуется использование систем большой размерности.
Кроме того, при моделировании сложных систем часто возникает проблема неполноты и/или неточности информации о поведении системы, её устройстве и принципах функционирования.
Таким образом, для решения задач, связанных с моделированием сложных систем, необходимо создание новых методов и алгоритмов, а также базовых моделей, на которых они могут быть апробированы.
Один из возможных подходов к упрощённому описанию многомерных систем связан с использованием асимптотических методов, выделением больших или малых параметров 3. Другой подход основан на совместном использовании динамических и вероятностных методов моделирования.
Существуют различные способы построения моделей, включающих динамические и вероятностные составляющие. Первый заключается в разделении происходящего в системе в соответствии с некоторой иерархией.
Далее, один из уровней иерархии описывается динамической моделью (модель отдельного уровня, предположительно, будет более простой, чем модель системы в целом). Влияние событий, происходящих на других уровнях, на Странные аттракторы : сб. ст. : пер. с англ. / под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. –М. :
Мир, 1981.
Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. –М. : Мир, 1980.
Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика:
путь к целостной простоте. –М. : УРСС, 2004.
объекты данного уровня можно рассматривать как шум (флуктуации). Для их учёта в динамическую модель вводятся стохастические составляющие 4.
Отметим, что подобное описание приемлемо в случае, если подробности происходящего на других уровнях иерархии неизвестны.
Второй способ заключается в учёте возможных неоднородностей фазового пространства. В ряде случаев, можно выделить области фазового пространства, в пределах которых поведение системы может быть с приемлемой точностью описано динамической моделью, содержащей сравнительно небольшое количество переменных – так называемых параметров порядка 5. Переменные, не вошедшие в модель, определяются параметрами порядка, или их влияние несущественно. В остальных областях фазового пространства поведение системы описывается с привлечением вероятностных методов. Таким образом, модель системы представляет собой набор простых динамических и вероятностных моделей.
Разработка нового класса моделей ставит ряд вопросов. Одним из них является вопрос оценки адекватности построенной вероятностно-динамической модели исходной системе. Для систем, демонстрирующих хаотическое поведение, такая оценка могла бы быть основана на сравнении количественных характеристик хаоса. Другой вопрос заключается в определении предсказательных возможностей модели, оценке точности и горизонта прогнозирования. Кроме того, можно поставить вопрос о возможности решения обратной задачи – задачи построения вероятностно-динамической модели на основе наблюдаемого поведения системы.
Таким образом, предлагаемая диссертация посвящена разработке методов математического моделирования и описания динамических систем в условиях неполноты информации на основе анализа временных рядов, а также изучению свойств получаемых моделей.
Цели работы.
1. Разработка методов определения бифуркационных значений параметров нелинейных динамических моделей с малым шумом по наблюдаемому временному ряду.
2. Разработка техники построения упрощённых предсказывающих моделей для нелинейных систем с неоднородным фазовым пространством на основе методов локального уменьшения размерности.
3. Разработка методов оценки адекватности для моделей, основанных на локальном уменьшении размерности систем с неоднородным фазовым пространством.
4. Разработка методов построения вероятностно-динамических моделей на основе наблюдаемого поведения системы в условиях неполноты доступной информации Моисеев Н.Н. Математические методы системного анализа. –М. : Наука, 1981.
Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. –М. : Мир, 1985.
Методы исследования. В работе используются асимптотические методы, методы имитационного моделирования, теории вероятностей и математической статистики, теории динамического хаоса, теории случайных процессов, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории бифуркаций.
Научная новизна.
Разработан алгоритм решения задачи определения положения точки бифуркации и проверки гипотезы о типе бифуркации по изменению статистических характеристик временного ряда.
Разработан метод построения упрощённой предсказывающей модели для сингулярно возмущённой системы нелинейных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением.
Разработана техника построения малоразмерной вероятностно динамической модели в условиях неполноты доступной информации (доступности для наблюдения одного из нескольких порождаемых нелинейной системой временных рядов).
Практическая ценность. Полученные результаты используются в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, на биологическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, в Московском инженерно-физическом институте, Московском физико техническом институте, Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова, Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского, могут быть использованы в Институте математического моделирования РАН, Институте радиотехники и электроники РАН, Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Институте машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 47-й Научной конференции Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2004), 5-м Международном научно-практическом междисциплинарном симпозиуме «Рефлексивные процессы и управление» (Москва, 2005), Научной сессии Московского инженерно-физического института (Москва, 2005 и 2006), 13-й и 14-й Международных конференциях «Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2005 и 2006), 13-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2006), Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления» (Домбай, 2006), 2-й Международной междисциплинарной научной конференции памяти чл.-корр. РАН С.П. Курдюмова «Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь, 2006), Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006), 11-й Международной конференции «Языки науки – языки искусства» (Пущино-на-Оке, 2006), 14-й Международной конференции «Математика.
Компьютер. Образование» (Пущино-на-Оке, 2007), Международной конференции «The First European Symposium on Time Series Prediction (ESTSP’07)» (Эспоо (Хельсинки), Финляндия, 2007), 3-й Международной междисциплинарной научной конференции памяти чл.-корр. РАН С.П. Курдюмова «Синергетика в естественных науках» (Тверь, 2007), на семинаре кафедры биофизики биологического факультета МГУ им.
М.В. Ломоносова, на семинаре «Будущее прикладной математики» Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.
Публикации. По результатам выполненной работы имеется 22 публикации (см. список публикаций).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложения, изложенных на 146 страницах, содержит 41 рисунок, 2 таблицы и библиографию из 103 наименований.
II. Содержание работы Во введении дан обзор ключевых результатов современной маломодовой нелинейной динамики. Рассказано о проблемах, возникающих при анализе систем с большой размерностью. Сформулированы нерешённые задачи в данной области, исследованию которых посвящена диссертация.
В первой главе рассматривается поведение нелинейных динамических систем, испытывающих воздействие слабого шума, в окрестности точки бифуркации. Ставится обратная задача – задача нахождения точки бифуркации в пространстве параметров и определения типа бифуркации (предполагается, что параметры исследуемой системы меняются медленно по сравнению с характерными для шума временами) по наблюдаемому временному ряду – дискретным отсчётам переменной состояния. Предлагается алгоритм решения обратной задачи, даётся его теоретическое обоснование.
При рассмотрении поведения сложной системы часто принимается во внимание, что на неё действует случайный шум – малое нерегулярное внешнее воздействие неопределённой природы (слабые флуктуации). Например, если математическая модель описывает систему на каком-то конкретном уровне организации, то для учёта влияния других уровней в модель вводятся стохастические составляющие.
Вблизи точки бифуркации устойчивость системы снижается, следствием чего является усиление флуктуаций. Таким образом, нарастание шума является признаком приближения к точке бифуркации (также говорят о шумовых предвестниках бифуркации).
В начале главы даётся обзор известных на сегодняшний день экспериментальных и теоретических результатов в области изучения предбифуркационных шумов в системах с дискретным и непрерывным временем. Приводятся асимптотические оценки для дисперсии и интервала корреляции временных рядов в окрестности точки бифуркации.
Нелинейные системы обладают следующим важным свойством:
бифуркационные задачи для систем высокой размерности часто сводятся к рассмотрению систем размерности один или два 6. Таким образом, выводы, сделанные для некоторой простой системы, как правило, оказываются довольно общими.
В работе рассматривается одна из наиболее простых бифуркаций – надкритическая (мягкая) бифуркация Рис. 1. Надкритическая бифуркация типа типа «вилка» (рис. 1). Это локальная «вилка» бифуркация положения равновесия, Пример бифуркационной диаграммы для коразмерности 1 (чем ниже надкритической бифуркации типа «вилка».
коразмерность бифуркации, тем более Параметр отложен по оси абсцисс, 0 – типичной для разнообразных точка бифуркации. Особые точки отложены динамических систем она является). по оси ординат, сплошной линией показаны устойчивые, пунктирной – неустойчивые. В Простейшая система, в которой точке бифуркации вместо одной устойчивой наблюдается данная бифуркация, особой точки x0 появляется одна описывается нелинейным автономным неустойчивая ветвь и пара расходящихся с обыкновенным дифференциальным увеличением параметра устойчивых ветвей.
уравнением с параметром:
x = v ( x, ) x ( x 2 ). (1) Здесь x = x ( t ) – переменная состояния, t – время, – параметр, v – фазовая скорость. Бифуркационное значение параметра = 0. Весьма удобно описание системы в терминах потенциала U:
U ( x, ) x4 x x ;
U ( x, ) v ( z, ) dz = v ( x, ) = (2).
x 4 Система подвергается воздействию слабого шума (в данном случае рассматривается так называемый броуновский шум: переменная состояния периодически суммируется с некоторой случайной величиной). Таким образом, x ( t ) представляет собой случайный процесс. Временной ряд x j = x ( t j ), получающийся в результате дискретизации x ( t ), в дальнейшем называется наблюдаемым временным рядом.
Далее, решается задача нахождения зависимости установившегося распределения наблюдаемого временного ряда от разности текущего и бифуркационного значений парметра. Рассматривается случай 0.
Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. –М. : Мир, 1983.
Используются следующие очевидные приближения функции v ( x, ) :
v ( x, ) x, x2 ;
(3) v ( x, ) x 3, x2, (4) где x обозначает характерную величину x (в качестве оценки характерной величины берётся среднеквадратичное отклонение x, так как потенциал (2) симметричен относительно начала координат, и можно предположить равенство нулю математического ожидания x). Приближения (3) и (4) позволяют разделить анализ поведения системы (1) по трём диапазонам значений параметра : в одном из них зависимость поведения системы от параметра является наиболее простой, в другом – отсутствует вообще, а в третьем ( x ) упрощённый анализ неприменим.
При поиске функции плотности распределения наблюдаемого временного ряда вместо отдельно взятой системы рассматривается ансамбль систем. Если одной системе соответствует точка в одномерном фазовом пространстве, то образом ансамбля систем является совокупность точек (частиц).
Предполагается, что слабые шумы, действующие на системы в ансамбле, не согласованы (то есть, у каждой системы – свой независимый генератор шума).
Движение каждой частицы включает две составляющие: детерминированную (движение, обусловленное градиентом потенциала) и стохастическую (движение, обусловленное действием шума). Поскольку (2) в случае представляет собой потенциальную яму с бесконечно высокими стенами, можно считать, что с течением времени установится некоторое стационарное распределение линейной плотности частиц. Предполагается эргодичность системы – совпадение распределения вероятностей для положения отдельной частицы с распределением плотности частиц ансамбля.
Таким образом, задача нахождения функции плотности распределения наблюдаемого временного ряда сводится к задаче о диффузии в потенциальной яме. В этом случае слабый шум можно охарактеризовать коэффициентом диффузии + K ( ) d, где K ( x, s, t ) – вероятность переноса частицы из точки x на отрезок [ s, s + ds ] за время dt. Рассматривается частный, но распространённый случай K ( x, s, t ) = K ( ), s x.
Для нахождения стационарного распределения частиц записывается выражение для потока частиц, определяемого градиентом плотности, и приравнивается к потоку, определяемому градиентом потенциала. Решение полученного дифференциального уравнения с учётом предположения об эргодичности системы даёт возможность найти функцию плотности распределения наблюдаемого временного ряда:
+ 1 1 f ( x ) = exp U ( x ) exp U ( x ) dx. (5) Отсюда, в области действия приближения (3) дисперсия, по мере приближения к точке бифуркации, растёт по закону x2 =,, (6) а в области действия приближения (4) выходит на уровень насыщения (3 4) (3 / 4) x2 = 2,.
2 (7) (1 4 ) (1/ 4) В промежуточной области значений параметра используется выражение общего вида:
1 exp U ( x ) 1 2k + 1 u ( 0 ) k (2 k ) f ( x) = W (s) (8) s,, d 2 k = 0 4 ( 2k ) !
Wd 1/ где u ( w ) exp ( w2 ).
Значения чётных производных u ( w ) высших порядков в нуле находятся с помощью рекуррентного соотношения u ( n + 2) ( 0 ) = 4n ( n 1) u ( n 2) ( 0 ) 2u ( n ) ( 0 ).
Общее выражение для дисперсии выглядит следующим образом:
2k + 3 u ( 0 ) k (2 k ) 4 ( 2k ) ! s (9) W (s) k = x2 = W,.
Wd ( s ) Функция W ( s ) не зависит от условий задачи, и может быть вычислена один раз, заранее, с любой заданной точностью. Графики функций (5) и (9) показаны на рис. 2(а) и (б), соответственно.
(а) (б) Рис. 2. Распределение частиц в потенциальной яме в районе точки бифуркации (а) – Функция плотности распределения наблюдаемого временного ряда в области насыщения ( = ). Сплошной линией показан график функции (5), кружками отмечены частоты, полученные при численном моделировании.
(б) – Зависимость дисперсии наблюдаемого временного ряда от бифуркационного параметра.
Штрих-пунктирной линией показана асимптота (7) – уровень насыщения, штриховой линией – асимптота (6). Сплошной линией показана точная зависимость (9). Точками показаны значения дисперсии, полученные при численном моделировании.
Обратная задача ставится следующим образом. Предположим, некоторая система с изменяющимся с течением времени параметром, испытывающая воздействие слабого шума, порождает случайный сигнал x ( t ), наблюдаемый в виде временного ряда x j x ( t j ). Пусть характерное время T изменения значительно превышает интервал корреляции Tcorr,x временного ряда x j :
T Tcorr,x, (10) то есть имеется возможность наблюдения установившегося распределения сигнала для различных значений i параметра. Пусть при изменении в определённом направлении происходит рост дисперсии сигнала x.
Требуется проверить следующее предположение: при достижении параметром некоторого значения в системе произойдёт надкритическая бифуркация типа «вилка». Найти.
Предлагаемый алгоритм решения обратной задачи основан на ( ) использовании следующих соображений. Из (6) следует, что точки i, ( x )i на удалении от должны аппроксимироваться некоторой прямой. Определив свободный член c0 и угловой коэффициент c1 этой прямой (например, методом наименьших квадратов), можно получить оценки и :
=, = c0.
(11) c Оценка по точкам, удалённым от, будет грубой. Её можно уточнить путём аппроксимации точек на участке выхода дисперсии на уровень насыщения ( ) зависимостью (9).
Предположение о типе бифуркации также можно проверить только на участке насыщения, так как при значительном удалении от точки бифуркации система неотличима от линейной. Если действительно имеет место бифуркация указанного типа, то установившееся распределение должно соответствовать (8) с подставленными оценками и. Вывод о соответствии можно делать также на основании простейшего сравнения третьих и четвёртых центральных моментов (асимметрии и эксцесса).
В качестве объекта для испытания предложенного алгоритма была выбрана система, заданная уравнением (1). Система подвергалась воздействию шума с одновременным изменением параметра с соблюдением условия (10).
Считалось, что распределение наблюдаемого временного ряда соответствует теоретическому, если асимметрия первого не превышает 0,15, а значения стандартного отклонения и эксцесса совпадают с точностью до 10%.
На рис. 2 показаны статистические характеристики системы, определённые в ходе численного моделирования. Данные на рис. 2(а) соответствуют случаю успешного выполнения алгоритма.
В результате работы алгоритма бифуркационное значение параметра было определено на этапе выхода дисперсии на уровень насыщения с ошибкой, не. При сравнении превысившей 5% от размера области насыщения распределения наблюдаемого временного ряда с распределением (8) было отмечено совпадение значений стандартного отклонения с точностью 3%, а значений эксцесса – с точностью 2%. Асимметрия распределения наблюдаемого временного ряда составила 0, 03. Таким образом, предположение о типе бифуркации было подтверждено.
Предложенный алгоритм был испытан на одной из математических моделей микроэкономики. Краткое описание модели и результаты испытания приведены в приложении.
Таким образом, в первой главе предложен алгоритм определения точки и проверки предположения о типе бифуркации (случай мягкой надкритической бифуркации типа «вилка») по нарастанию уровня шума. Показана работоспособность алгоритма на примере простейшей динамической системы.
Данный алгоритм также может быть использован при разработке средств предупреждения аварий в технических системах, и в управлении риском.
Во второй главе обсуждается метод локального уменьшения размерности задачи нелинейной динамики – метод русел и джокеров. Демонстрируется применение метода для описания хаотического режима сингулярно возмущённой системы дифференциальных уравнений, представляющей собой одну из моделей популяционной динамики – модель Розенцвейга–Макартура трёхзвенной пищевой цепи.
Метод русел и джокеров основан на использовании неоднородности фазового пространства динамической системы. Ограниченные области фазового пространства, в которых возможно выделение параметров порядка, называются руслами 7 (здесь не рассматривается случай, когда параметры порядка могут быть выделены для всего фазового пространства и всей совокупности решаемых задач 8 ). Примерная схема возникновения русел такова:
пусть есть область фазового пространства, где функцию, задающую фазовую скорость, можно представить в виде суммы какой-либо более простой функции (например, меньшей размерности), и некоторого малого члена. Тогда, пренебрегая малым членом, получают уравнение движения на русле.
Конфигурация русла определяется условием малости отброшенного члена.
В областях, где это не представляется возможным, для описания движения используются джокеры – простые приближённые правила (алгоритмы), зачастую, вероятностные, так как поведение системы вне русел отличается сложностью, непредсказуемостью и разнообразием. В начале главы даётся обзор описанных на данный момент разновидностей джокеров.
Рассматриваемая в работе модель Розенцвейга-Макартура представляет собой модификацию модели Вольтерра «хищник-жертва» для случая трёх видов – жертвы, хищника и суперхищника (пожирателя хищников) с учётом следующих факторов: логистического роста жертв, насыщения хищников (увеличение численности жертв, начиная с определённого уровня, не приводит к увеличению их потребления хищниками) и суперхищников, мальтузианского вымирания хищников и суперхищников при отсутствии пищи.
Модель, в её безразмерном виде, представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений:
y xf ( x, y ) x = x 1 x 1 + x x z yg ( x, y, z ).
y = y (12) 1 + x 2 + y z = z y 2 zh ( y ) 2 + y Здесь x, y, z – численности популяций (жертв, хищников и суперхищников, соответственно), а,, 1, 2, 1, 2 – параметры.
Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. –М. :
УРСС, 2002.
Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. –М. : Мир, 1985.
Данная система демонстрирует (среди множества прочих) режим шильниковского хаоса 9, имеющий место, когда скорости изменения численности хищников и суперхищников совпадают по порядку величины ( 1 ), а скорость изменения численности жертв велика ( 1 ). Таким образом, рассматриваемая задача является сингулярно возмущённой, и на аттракторе чётко выделяются четыре чередующиеся зоны медленного и быстрого движения (рис. 3(а) ).
(а) (б) Рис. 3. Система Розенцвейга–Макартура, система русел и джокеров (а) – фазовый портрет системы Розенцвейга–Макартура (12) в режиме шильниковского хаоса. Цифрой 1 обозначен седлофокус, цифрой 2 – область медленного движения 0, цифрой 3 – область 1.
(б) – фазовый портрет системы C0–J0–C1–J1. Джокеры показаны сплошными жирными линиями. Сплошными тонкими линиями обозначены траектории системы (15) (русло C1), пунктирными – системы (14) (русло C0). В окрестности области джокера J1 хорошо заметно изменение типа движения, сопровождающееся нарушением гладкости траектории.
Стрелками показано направление движения.
Следуя концепции анализа тихоновских систем 10, медленное движение системой может быть приближённо описано вырожденной дифференциальных и алгебраических уравнений, представляющей собой исходную систему (12), в которой выполнен предельный переход при 0 :
0 = xf ( x, y ) y = yg ( x, y, z ). (13) z = zh ( y ) Данная система определяет две области медленной динамики. Первая область, 0, находится на плоскости x = 0. Медленное движение изображающей точки системы (12) по координатам y и z в пределах 0 задаётся уравнениями Кузнецов С.П. Динамический хаос. –М. : Физматгиз, 2001.
Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. –М. : Наука, 1981.
Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Избранные труды А.Н. Тихонова. –М. : МАКС Пресс, 2001.
z = yg ( 0, y, z ) y = y 2 + y (14).
z = z y = zh y () 2 + y Вторая область, 1, представляет собой подмножество параболического цилиндра:
(1 1 ) (1 + 1 ) y = f 1 ( x,i ) = (1 x )( 1 + x ), xx y y, 2 (здесь и далее знак «•» обозначает тот аргумент функции f, относительно которого решено уравнение f ( x, y ) = 0 ).
Медленное движение по координатам y и z в пределах 1 определяется системой f +1 ( i, y ) z = yg ( f + ( i, y ), y, z ) 1 y = y + f 1 ( i, y ) 2 + y 1 + (15), y z = z + y 2 = zh ( y ) 2 где f +1 ( i, y ) + y y + x, y y – то из двух решений уравнения f ( x, y ) = 0 относительно x, которое соответствует 1.
Таким образом, из системы (13) исключена переменная x, и вместо трёхмерной системы получены две двумерные – (14) и (15), описывающие медленное движение в двух областях (что соответствует распространённой ситуации, когда часть переменных системы ненаблюдаема). Разработанная модель включает данные системы в качестве уравнений русел C0 и C1, соответственно. Области русел в данном случае совпадают.
Перемещению изображающей точки системы (12) из одной зоны медленного движения в другую соответствует «переключение» между системами (14) и (15), то есть, переход из одного русла в другое. Такие переходы обусловлены воздействием скрытой переменной x и никак не следуют из уравнений русел. Поэтому, для их описания применены два джокера – J0 и J1.
Джокер J1 выполняет переход от C1 к C0, что соответствует срыву – быстрому перемещению изображающей точки системы (12) из области 1 в область 0. Переход заключается в смене уравнений движения с (15) на (14) и выполняется при достижении изображающей точкой системы (15) прямой y = y, соответствующей линии срыва.
Джокер J0 выполняет переход от C0 к C1, что соответствует срыву изображающей точки системы (12) из области 0 в область 1. Линия срыва в данном случае аппроксимируется прямой, проходящей через точку неустойчивого фокуса системы (15). Переход заключается в смене уравнений движения с (14) на (15).
Фазовый портрет полученной системы C0–J0–C1–J1 показан на рис. 3(б).
Таким образом, джокеры J0 и J1 «сшивают» фазовые пространства двух различных систем. В этом заключается их принципиальное отличие от описанных ранее 12 джокеров, действие которых заключается в перемещении в пределах одного фазового пространства. С учётом особенностей срабатывания и конфигурации, новому джокеру было присвоено название джокер типа «шов».
В заключительной части главы рассматривается вопрос оценки адекватности полученной модели. Выводы об адекватности могут быть сделаны, в частности, на основе сравнения количественных характеристик хаоса в исходной системе (12) и системе C0–J0–C1–J1.
Для систем, включающих джокеры ранее описанных типов, определение количественных характеристик динамического хаоса затруднено. Например, при определении ляпуновского характеристического показателя следует учитывать, что две сколь угодно близкие траектории, пройдя область джокера, могут, следуя вероятностному правилу, резко разойтись (оценка показателя будет стремиться к + ). Возможен противоположный случай: две различные траектории, проходя джокер, резко сходятся (оценка стремится к нулю).
Достоинством джокера нового типа является то, что он сохраняет единственность решения и его непрерывность по начальным данным. Это облегчает анализ количественных характеристик хаоса. Например, для вычисления ляпуновских характеристических показателей достаточно простой модификации алгоритма Бенеттина 13.
Сравнение количественных характеристик динамического хаоса в исходной системе и в системе русел и джокеров показало следующее. Различия функций автокорреляции соответствующих переменных незначительны. По прочим характеристикам (значения ляпуновских характеристических показателей, корреляционные интегралы) наблюдается более существенное расхождение, однако, в общем, можно считать, что система русел и джокеров аппроксимирует исходную систему с приемлемой точностью.
Таким образом, при исследовании модели, описывающей популяционную динамику, впервые продемонстрировано наличие русел и джокеров в фазовом пространстве реальной динамической системы. Обнаружен и описан новый тип Белайчук Л.В., Малинецкий Г.Г. Проделки джокеров на одномерных отображениях. – Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. –М., 1997. – № 24.
Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. –М. :
УРСС, 2002.
джокера, позволяющий анализировать количественные характеристики хаоса.
Показано, что метод русел и джокеров позволяет на основе тихоновских систем строить упрощённую модель, способную выполнять следующие действия, в том числе при условии ненаблюдаемости отдельных переменных системы:
– воспроизведение качественных особенностей наблюдаемого поведения исходной системы;
– воспроизведение (с приемлемой точностью) количественных характеристик динамического хаоса в исходной системе;
– предсказание поведения системы в пределах области медленного движения;
– предсказание момента изменения типа движения.
В третьей главе рассматривается обратная задача – задача построения модели наблюдаемой системы в условиях неполноты доступной информации. В качестве примера объекта исследования используется модельная система с жёсткой турбулентностью. Приводится решение поставленной задачи с применением метода русел и джокеров.
Исследование редких катастрофических событий (управление риском) и разработка методов их моделирования – одно из перспективных направлений в нелинейной динамике 14. Как правило, объект изучения, демонстрирующий подобные явления, представляет собой сложную систему, причём информация об устройстве системы и принципах её функционирования может быть неполна и/или неточна, причины катастрофы неясны, а статистические данные недостаточны.
В качестве примера такой ситуации можно привести аварии на океанских буровых платформах, входящих в список самых дорогих и масштабных сооружений техногенной цивилизации. Ряд исследователей высказывает предположение, что причиной аварий могут быть нелинейные явления на поверхности атмосфера–океан.
Одно из центральных мест в области моделирования процессов на границе водной и воздушной сред занимает двумерное обобщение уравнения Курамото Цузуки 15 (Гинзбурга–Ландау) Wt = (1 + ic0 ) W + (1 + ic1 ) W (1 + ic2 ) W W, где W – некоторая комплекснозначная функция действительных переменных, а c0, c1 и c2 – действительные постоянные 16. При определённом соотношении значений параметров в данной системе можно наблюдать жёсткую турбулентность – хаотический режим с редкими и очень сильными выбросами.
Малинецкий Г.Г. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. –М. :
Наука, 2000.
Y. Kuramoto. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984.
Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. –М. : Наука, 1992.
Один из вариантов упрощённого (качественного) описания жёсткой турбулентности основан на использовании систем, демонстрирующих переключающуюся перемежаемость.
Данный режим характеризуется наличием устойчивого инвариантного многообразия, поочерёдно теряющего и обретающего устойчивость. В результате потери устойчивости происходит выброс, а в результате возврата устойчивости – спад. В Рис. 4. Функция f промежутках между выбросами происходит График функции f ( x, k, a ), входящей хаотическое движение на инвариантном в отображения для переменных x и y.
многообразии.
Примером системы, в которой можно наблюдать подобный режим, является трёхмерное отображение Ершова k x+ 1, y ycr yn xn +1 = f ( xn, k x,n, an ) + kx =, 1 + yn k x 1, y ycr k y 1, + x xcr xn yn +1 = f ( yn, k y,n, a0 ) 0, ky = 1 + xn k y 1, x xcr (16).
En +1 = En ( En + xn ) E a ( E ) = a a E + Ecr acr Здесь x, y и E – переменные, a0, acr, a,, 0,, Ecr, k x, k y, xcr, ycr – параметры, а f – кусочно-линейная функция (рис. 4), определяющая характер одномерных отображений по x и y:
1+ a a 1 x + 1 a, xa 2a f ( x, k, a ) =, 1 x a x+.
2a + 2 2a + kx + k 2, x Переключающаяся перемежаемость в отображении Ершова реализуется следующим образом. Пока значение «медленной» ( 1 ) переменной E Малинецкий Г.Г. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. –М. :
Наука, 2000.
превышает пороговое ( E Ecr ), в пространстве переменных x и y имеется хаотический аттрактор с некоторой конечной областью притяжения. При уменьшении E до порогового значения и далее, происходит кризис аттрактора – границы аттрактора и его области притяжения соприкасаются. Вследствие этого происходит выброс – уход с аттрактора по координате x и экспоненциальный рост:
xn ( k x+ ).
n (17) Одновременно начинается рост E, и с некоторым запаздыванием – y. Далее, когда переменные x и y достигают пороговых значений xcr и ycr, происходит + + смена коэффициентов ( k x на k x и k y на k y ), и аттрактор становится глобально притягивающим по x и по y. Рост x и y сменяется спадом:
xn ( k x ), n (18) значение E медленно уменьшается, пока не произойдёт новый выброс.
Обратная задача ставится следующим образом. Дана система (16), работающая в режиме жёсткой турбулентности. Внутреннее устройство системы скрыто, и из трёх порождаемых ею временных рядов, En, xn и yn, доступен для наблюдения только один – xn. Требуется построить простую (модельную) систему, порождающую временной ряд с аналогичными характеристиками.
Поскольку информация наблюдателя об исходной системе неполна, целесообразно учитывать как динамические, так и статистические характеристики наблюдаемого временного ряда. При построении модельной системы было решено совместно использовать динамические и вероятностные компоненты, то есть задействовать метод русел и джокеров.
Главная особенность временного ряда – наличие редких сильных выбросов, чередующихся с длительными межпиковыми интервалами. Поэтому, при построении модели были выделены характеристики выбросов (распределение максимумов пиков, динамика роста и спада) и характеристики межпиковых интервалов (продолжительность, межпиковая динамика).
Распределение максимумов пиков – степенное 18 :
ax ( x ) bx, x Bx ( x) = x ;
ax 0, bx 0, Bx 0.
(19) x Bx 0, max Распределение длительности межпиковых интервалов – экспоненциальное:
an e bn n, n Bn N ( n) = ;
a 0, bn 0, Bn 0.
n Bn n 0, Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. –М. : УРСС, 2006.
Здесь ax, bx, BBx, an, bn, Bn – константы. Их истинные значения неизвестны, и в B модели используются полученные на основе статистических данных оценки ax, bx, Bx, an, bn и Bn, а также оценки коэффициентов роста и спада k x+ и k x и границ области межпиковой динамики Dx,min, Dx,max.
При рассмотрении временного ряда xn выделяется фаза межпиковой динамики, событие перехода от межпиковой динамики к росту пика, фаза роста, событие остановки роста (достижения максимума пика), фаза спада и событие перехода от спада к межпиковой динамике. Динамика в фазах роста и спада описывается простыми уравнениями (17) и (18), поэтому, для моделирования роста и спада введены два русла, C1 и C2, соответственно.
Поскольку рост и спад пика происходят в одной и той же области фазового пространства, область русла C2 совпадает с областью русла C1, и требуется уточнять, какое из русел в данный момент считается действующим.
Межпиковая динамика хаотична, переход от неё к росту пика случаен (инициирующая переход переменная E не наблюдается). По этой причине для их описания использован джокер, обозначенный J1. Достижение максимума пика – также случайное событие (смена динамики не следует из уравнения роста, инициирующая её переменная y не наблюдается). Для его описания использован джокер, обозначенный J2.
Действие джокера J2 заключается в переключении с русла C1 на русло C2, аналогично описанному выше джокеру типа «шов». Разница заключается в определении времени и места переключения: координата изображающей точки в момент переключения представляет собой максимум пика – случайную величину. Поэтому, джокер задействуется с вероятностью, зависящей от значения x на данной итерации: p = pJ 2 ( x ). Задача сводится к поиску функции pJ 2 ( x ), обеспечивающей распределение максимумов, совпадающее с (19).
Показано, что требуемое распределение обеспечивается функцией вида p = 1 ( k + ) bx +1, x B pJ 2 ( x ) = x x x (20), x Bx 0, если распределение значений x, с которых начинается рост пика, равно ;
x ( k x Ax, Ax, Bx Ax Dx,min 0.
x ( x ) = x ( x ) bx + (21) Коэффициент x находится из условия нормировки;
выбор константы Ax произволен в указанных пределах, но для обеспечения сходства наблюдаемого и модельного временных рядов в начальной фазе роста пика рекомендуются значения порядка Dx,min.
Моделирование межпиковой динамики джокером J1 заключается в случайном отображении отрезка Dx,min, Dx,max на себя. Для простоты, на каждой итерации xn присваивается реализация случайной величины, равномерно распределённой на данном отрезке.
Вторая обязанность J1 – обеспечение заданной длительности межпиковых интервалов. Прекращение джокером межпиковой фазы происходит с вероятностью, зависящей от номера итерации, pJ1 ( n ). Показано, что требуемое распределение обеспечивается функцией вида p = bn, n Bn pJ1 ( n ) = n (22).
n = 0,…, Bn 0, Третья функция джокера J1 – формирование распределения начальных значений (21) для роста пика по окончании межпиковой фазы. После этого задействуется русло C1.
Наконец, джокер J1 отвечает за переход от отображения в соответствии с уравнением русла C2 (спада) к межпиковой динамике. Переход выполняется при попадании изображающей точки на интервал Dx,min, Dx,max.
Окончательно, построенная модель представляет собой систему русел и джокеров J1–C1–J2–C2 (в уравнения (17), (18), (20), (21) и (22) вместо неизвестных истинных значений параметров подставлены их оценки). Джокер J1 действует в области Dx,min, Dx,max, русла C1 и C2 и джокер J2 разделяют общую область x Dx,min (при этом, оговаривается, какое из русел в данный момент считается действующим). Общий вид модели представлен на рис. 5.
Рис. 5. Система русел и джокеров Прямой штриховкой обозначены совпадающие области русел C1 и C2 и джокера J2.
Косой штриховкой обозначена область джокера J1.
– значения xn в процессе роста пика.
– точка срабатывания джокера J2.
– значения xn в процессе спада пика.
Цифрами обозначены: 1 – срабатывание джокера J1: случайное перемещение в области джокера, 2 – срабатывание джокера J1: переход в исток русла C1, 3 – движение в русле C1, 4 – срабатывание джокера J2: переход в русло C2, 5 – движение в русле C2, 6 – переход в область джокера J1, движение в соответствии с уравнением русла C2 прекращается.
Данная схема представляет собой, в определённом смысле, дальнейшее развитие схемы, предложенной во второй главе. Следует отметить, что, в отличие от предлагавшихся ранее схем, наибольшую часть времени изображающая точка проводит не в области русел, а в области джокера.
В заключительной части главы демонстрируется соответствие временных рядов, порождаемых исходной и модельной системами, по заданным статистическим характеристикам – распределению абсолютных величин максимумов пиков и распределению длительностей межпиковых интервалов.
Таким образом, можно считать показанным, что метод русел и джокеров позволяет, по результатам наблюдения меньшей части переменных хаотической системы с жёсткой турбулентностью, строить модель, воспроизводящую качественные особенности наблюдаемого поведения исходной системы.
В приложении даётся краткое описание математической модели деятельности малого инновационного предприятия 19, используемой в микроэкономике, и приводятся результаты испытания алгоритма определения положения точки бифуркации и проверки гипотезы о типе бифуркации (см.
первую главу) на указанной модели.
В условиях воздействия флуктуаций, соответствующих малым случайным изменениям складских запасов, была получена грубая оценка бифуркационного значения параметра, обратно пропорционального рыночной цене товара.
Точная оценка получена не была, и предположение о типе бифуркации не было подтверждено, поскольку в данной модели рассматривается бифуркация иного типа – «седло-узел», соответствующая опустошению складских запасов при банкротстве предприятия.
Отметим, что при непосредственном наблюдении складских запасов факт прохождения точки бифуркации становится очевиден с большим запаздыванием (явление так называемого скрытого банкротства).
Следовательно, получаемая оценка может оказаться весьма своевременной, несмотря на грубость.
Таким образом, показана работоспособность алгоритма (по крайней мере, в части грубых оценок) на примере одной из математических моделей микроэкономики.
III. Основные результаты диссертации 1. Разработан метод решения обратной задачи – задачи определения положения точки бифуркации и типа бифуркации на основе временного ряда, порождаемого динамической системой с малым шумом и медленно меняющимся бифуркационным параметром. Для надкритической бифуркации типа «вилка» получена точная зависимость плотности распределения временного ряда и его дисперсии от бифуркационного параметра и характеристик шума.
2. Предложен метод построения упрощённой (модельной) системы пониженной размерности, воспроизводящей основные черты поведения сингулярно возмущённой системы нелинейных дифференциальных уравнений Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Соловьёв С.А., Зайцев С.В. Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Явление «скрытого» банкротства. – Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. –М., 2001. – № 82.
с хаотическим поведением (модели Розенцвейга–Макартура), на основе теории русел и джокеров. Введён новый тип джокера, позволяющий анализировать количественные характеристики динамического хаоса.
3. Показана возможность применения метода русел и джокеров для решения обратной задачи – построения модели наблюдаемой системы с жёсткой турбулентностью в условиях неполноты доступной информации.
Представлена простая система русел и джокеров, воспроизводящая поведение отображения Ершова.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Пример решения обратной задачи теории бифуркаций в динамической системе с шумом. – Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. –М., 2005. – № 39. – 39 с.
2. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвейга–Макартура. – Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. –М., 2006. – № 21. – 32 с.
3. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г. Шильниковский хаос в системе Розенцвейга–Макартура. – Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. –М., 2006. – № 45. – 34 с.
4. Зульпукаров М.-Г.М. Моделирование жёсткой турбулентности методом русел и джокеров. – Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. –М., 2007. – № 18. – 34 с.
5. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Пример решения обратной задачи теории бифуркаций в динамической системе с шумом // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. – 2005. – Т. 13. – №5-6.
С. 3–23.
6. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Определение момента и типа предстоящей бифуркации по нарастанию шума в сложной системе // Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Перспективные системы и задачи управления. –Таганрог : Изд-во ТРТУ, 2006. – №3(58). – С. 92–100.
7. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Применение метода русел и джокеров к исследованию системы Розенцвейга-Макартура // Математика, компьютер, образование : сб. науч. тр. – Вып. 13. –М. ;
Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. – Т. 2. – С. 28– 38.
8. Zulpukarov M.-G.M., Malinetskii G.G., Podlazov A.V. Bifurcation Forecasting Using Time Series Statistical Analysis // European Symposium on Time Series Prediction (ESTSP’07) : Espoo, Finland, 7–9 February 2007 : proceedings. – Espoo, Finland : Multiprint Oy / Otamedia, 2007. – P. 207–210.
9. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Применение метода русел и джокеров для описания динамики системы Розенцвейга– Макартура // Математическое моделирование. – 2007. – Т. 19. – №6. – С. 3– 15.
10. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г. Предбифуркационные шумы в непрерывной системе // Труды XLVII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII.
–М. ;
Долгопрудный : МФТИ, 2004. – С. 194.
11. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г. Определение момента бифуркации по уровню шумов // Научная сессия МИФИ–2005 : сб. науч. тр. В 16 т. Т. 2.
–М. : МИФИ, 2005. – С. 77–78.
12. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Метод русел и джокеров в экологическом моделировании // Труды XIII Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». – М. : РГГУ, 2005. – С. 288–290.
13. Попова Д.А., Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Метод определения момента бифуркации по нарастанию шума // Труды XIII Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». –М : РГГУ, 2005. – С. 20–21.
14. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Исследование тритрофной пищевой цепи методом русел и джокеров // Научная сессия МИФИ–2006 : сб. науч. тр. В 16 т. Т. 2. –М. : МИФИ, 2006. – С. 54–55.
15. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Обратная задача исследования шумов в окрестности точки бифуркации // Вторые Курдюмовские чтения : Идеи синергетики в естественных науках :
Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. – Тверь : Тверской государственный университет, 2006. – С. 69–72.
16. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Применение метода русел и джокеров к исследованию системы Розенцвейга-Макартура // Математика, компьютер, образование : сб. науч. тез. – Вып. 13. –М. ;
Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. – С. 14.
17. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Русла, джокеры и пищевые цепи // Языки науки – языки искусства : XI Международная конференция серии «Нелинейный мир» : сб. науч. тез. –Пущино, 2006. – С.
48.
18. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Обратная задача теории бифуркаций в нелинейной стохастической системе // Тихонов и современная математика : Математическое моделирование :
Международная конференция, Москва, МГУ им. Ломоносова, 19–25 июня 2006 г. : Тезисы докладов секции №2. –М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. – С. 209–210.
19. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Исследование жёсткой турбулентности методом русел и джокеров // Труды XIV Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем». Т. 1. –М. : РГГУ, 2006. – С. 32–35.
20. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Реконструкция системы с жёсткой турбулентностью методом русел и джокеров // Математика, компьютер, образование : сб. науч. тез. – Вып. 14. –М. ;
Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. – С. 54.
21. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Моделирование редких катастрофических событий в сложных системах методом русел и джокеров // Материалы Второй Всероссийской научно-практическй конференции «Перспективные системы и задачи управления». –Таганрог :
Издательство ТТИ ЮФУ, 2007. – С. 151–152.
22. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Жёсткая турбулентность в системе русел и джокеров // Третьи Курдюмовские чтения : Синергетика в естественных науках : Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. –Тверь : Тверской государственный университет, 2007. – С. 66–67.