Развитие метода неполной факторизации и его применение в практических задачах нейтронной кинетики

На правах рукописи

Троянова Надежда Михайловна РАЗВИТИЕ МЕТОДА НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ НЕЙТРОННОЙ КИНЕТИКИ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Обнинск 2013 1

Работа выполнена в Государственном научном центре Российской Федерации – Физико-энергетическом институте имени А. И. Лейпунского (ГНЦ РФ-ФЭИ).

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, советник директора ИРМиТ ГНЦ РФ-ФЭИ Гинкин Владимир Павлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник ГНЦ РФ-ФЭИ Коробейников Валерий Васильевич доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ИПМ им. М.В.Келдыша РАН Кулешов Андрей Александрович

Ведущая организация:

ИБРАЭ РАН, г.Москва

Защита диссертации состоится «» 2013 года в _ часов на заседании диссертационного совета Д 201.003.01 при ГНЦ РФ-ФЭИ по адресу: 249033, г. Обнинск, Калужской обл., пл. Бондаренко, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ-ФЭИ.

Автореферат разослан «» 2013 г.

Ученый секретарь ГНЦ РФ-ФЭИ доктор технических наук Т.Н.Верещагина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Решение задач нейтронной кинетики реакторов с учетом локальных изменений нейтронно-физических характеристик является одной из наиболее сложных проблем моделирования работы реакторных установок различного типа и назначения. При решении таких задач необходимо иметь эффективные методы решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов.

Один из таких методов решения систем линейных разностных уравнений - метод неполной факторизации (МНФ) - был впервые предложен Н. И. Булеевым в 1959 году и положил начало серии итерационных схем, эффективных в определенных классах задач. В последующие годы МНФ интенсивно развивался и стал одним из основных инструментов решения пространственно-временных задач в различных приложениях, в том числе в задачах расчета атомных реакторов. В развитие этих методов автором диссертации были разработаны новые схемы и испытаны различные варианты МНФ в применении к аппроксимации групповых уравнений диффузии нейтронов системами конечно-разностных уравнений:

сверхнеявная схема с периферийной компенсацией итерируемых членов, схема с мерцающим параметром, модификация схемы Шнайдера-Зедана, явная схема в качестве предобусловливателя для метода сопряженных градиентов;

неявные и комбинированные схемы. Автором диссертации разработаны программы, реализующие предложенные схемы, и выполнены сравнительные численные исследования их сходимости.

Из числа приложений с использованием МНФ в диссертацию включены два: комплекс программ WIMS-ВОЛНА для расчета нейтронных полей реакторов на тепловых нейтронах типа ВВЭР в (hex, z) -геометрии и комплекс программ GVA (GRIF-SM, VOLNA, ARAMAKO) для расчета быстротекущих процессов в реакторах на быстрых нейтронах типа БН.

Алгоритмы и программы нейтронно-физического расчета в этих комплексах разработаны автором диссертации. С помощью первого комплекса программ выполнялись реперные и прогнозные расчеты кампаний различных блоков реакторов ВВЭР-1000 применительно к проблеме деформаций тепловыделяющих сборок (ТВС) в активных зонах в процессе эксплуатации топлива и создания ТВС нового поколения ТВС-2 и ТВС-2М. С помощью второго комплекса были просчитаны быстрые переходные процессы в реакторе типа БН-800, вызванные несанкционированным движением стержней регулирования.

Актуальность работы. Работы по созданию новых эффективных численных алгоритмов для решения различных задач математической физики всегда были и остаются актуальными задачами вычислительной математики. Схема практического решения задачи пространственно временного расчета реакторов с учетом локальных изменений нейтронно физических характеристик активной зоны заключается в сведении исходной задачи к задачам, которые могут быть эффективно решены различными методами теории аппроксимации и линейной алгебры. В частности, задача, успешное и эффективное решение которой определяет в большой степени точность и скорость решения исходной задачи, - это решение системы разностных уравнений большого порядка с разреженной матрицей коэффициентов, часто обладающей плохой обусловленностью. Поэтому важным и актуальным является развитие методов решения плохо обусловленных систем линейных уравнений с разреженными матрицами.

Появляющиеся в практике реакторной эксплуатации новые сложные актуальные задачи требуют своего решения. К таким задачам относятся расчет нейтронно-физических характеристик реакторов типа ВВЭР с учетом деформации ТВС в активной зоне реактора в процессе его эксплуатации под воздействием неоднородных тепловых и нейтронных полей и расчет быстротекущих процессов в реакторах на быстрых нейтронах типа БН.

Среди работ команды специалистов, решавших техническую задачу термомеханической стабильности ТВС в составе активных зон ВВЭР-1000 и разработки новой геометрически стабильной при длительной эксплуатации конструкции ТВС нового поколения (ТВС-2 и ТВС-2М), расчеты локальных нейтронных полей и энерговыделения с учетом изменяющейся геометрии активной зоны и водо-урановых соотношений имели самую высокую актуальность.

Пространственно-временной расчет быстрых переходных процессов основан на решении нестационарного уравнения реактора квазистатическим методом, который позволяет выделить два временных масштаба: мелкий для расчета быстроменяющегося амплитудного фактора (мощности реактора) и крупный - для расчета форм-функции (пространственных распределений групповых потоков нейтронов). Этот метод позволяет выполнить эффективный и экономичный пространственно-временной расчет быстрых переходных процессов в реакторе типа БН, особенно актуальный для анализа начальных стадий их развития.

Цели работы.

1. Разработать новые эффективные варианты метода неполной факторизации для решения алгебраических систем уравнений, являющихся разностными аналогами уравнений эллиптического типа в (hex, z) – геометрии.

2. Создать библиотеку подпрограмм для решения алгебраических систем уравнений на основе метода неполной факторизации.

3. Разработать алгоритмы и программы нейтронно-физического расчета для расчета кампаний реакторов ВВЭР с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизации;

рассчитать пространственные нейтронно-физические характеристики в течение кампании реактора для различных блоков АЭС с различными загрузками и схемами перегрузок топлива с учетом формоизменения ТВС в процессе эксплуатации для обеспечения термомеханических расчетов активных зон ВВЭР и разработки топливных кассет нового типа.

4. Разработать алгоритмы и программы нестационарного нейтронно физического расчета переходных процессов в реакторах на примере БН-800 с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизации;

выполнить пространственно-временные расчетные исследования нейтронно физических характеристик активной зоны реактора типа БН-800 при моделировании таких процессов, как несанкционированное извлечение стержней регулирования, в совместном теплогидравлическом и нейтронно физическом расчёте.

Научная новизна результатов диссертации.

• Разработаны эффективные варианты МНФ с периферийной компенсацией итерируемых членов для решения уравнений диффузионного типа: сверхнеявная схема, схема с мерцающим параметром, модификация схемы Шнайдера-Зедана, явная схема в качестве предобусловливателя для метода сопряженных градиентов;

неявные и комбинированные схемы.

• Предложен новый формализм описания МНФ для решения систем разностных уравнений, аппроксимирующих уравнения эллиптического типа, с произвольной нумерацией узлов разностной сетки.

• Создана библиотека подпрограмм IFML для решения систем линейных алгебраических уравнений на основе МНФ.

• Разработана трехмерная программа ВОЛНА расчета нейтронной кинетики реактора в многогрупповом диффузионном квазистационарном приближении с учетом формоизменения ТВС в составе комплекса программ WIMS-ВОЛНА и выполнены расчеты кампаний реакторов ВВЭР-1000 со смешанными загрузками и различными схемами перегрузок в обеспечение термомеханических расчетов активных зон ВВЭР.

• Разработана трехмерная программа VOLNA нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении с учетом теплового расширения активной зоны в составе комплекса программ GVA совместного нейтронно физического и теплогидравлического расчета реакторов типа БН-800 и выполнены расчеты переходных процессов, обусловленных движением группы стержней.

Достоверность полученных результатов. Универсальность и высокая эффективность разработанных вариантов МНФ, особенно комбинированных схем, подтверждается численными сравнительными исследованиями и практическими приложениями. Достоверность результатов нейтронно физических расчетов подтверждается хорошим согласием с расчетами тестовых задач по другим программам. Достоверность выводов диссертации подтверждается практикой проведения расчетов, результатами разработки и внедрения топливных кассет нового поколения на АЭС России, конструирование которых опиралось на результаты расчетов нейтронно физических характеристик активных зон ВВЭР, результатами расчетов активных зон реакторов типа БН-800.

Научная ценность работы заключается в разработке новых эффективных схем МНФ и их программной реализации, что имеет существенное значение в области численных методов решения систем алгебраических уравнений с плохообусловленными матрицами. Эти методы нашли применение в решении практических задач нейтронной кинетики.

Практическая ценность разработанных эффективных методов решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов и созданной на их основе библиотеки подпрограмм IFML состоит в применимости этих подпрограмм для решения широкого круга практических задач математической физики. Практическая ценность разработанных комплексов программ нейтронно-физического расчета заключается в большом количестве конкретных рекомендаций и выводов, сделанных по результатам расчетов по этим программам, и принятых проектно конструкторских решений при разработке и внедрении нового топлива.

Автор выносит на защиту:

• Новые схемы, алгоритмы и программные реализации различных вариантов МНФ с периферийной компенсацией итерируемых членов и новые варианты комбинированных схем.

• Алгоритмы и программы решения систем трехмерных разностных уравнений диффузионного типа в (hex, z) – геометрии с использованием нового формализма описания МНФ для произвольной нумерации узлов разностной сетки.

• Библиотеку подпрограмм неполной факторизации IFML, предназначенных для решения разностных систем двумерных и трехмерных уравнений эллиптического типа.

• Алгоритм и программу ВОЛНА многогруппового нейтронно физического расчета кампаний реакторов ВВЭР с учетом формоизменения ТВС в процессе эксплуатации в комплексе программ WIMS-ВОЛНА.

• Комплекс параметрических и поддерживающих расчетов кампаний с различными загрузками в обеспечение термомеханических расчетов активных зон ВВЭР-1000 и в обоснование внедрения на АЭС нового топлива.

• Алгоритм и программу VOLNA нестационарного многогруппового нейтронно-физического расчета быстрых переходных процессов в реакторе типа БН-800 в квазистатическом приближении с учетом теплового расширения активной зоны для комплекса программ GVA совместного нейтронно-физического и теплогидравлического расчета.

Личный вклад автора заключается в разработке новых явных и неявных комбинированных схем метода неполной факторизации с периферийной компенсацией итерируемых членов, обладающих более высокой эффективностью при решении систем линейных алгебраических уравнений с плохообусловленными матрицами по сравнению со схемами Булеева, Гинкина, Шнайдера-Зедана. Алгоритмы на основе этих схем реализованы в расчетных программах-решателях, которые в свою очередь были применены в алгоритмах и программах ВОЛНА и VOLNA, также написанных автором. Практические расчеты автор выполнял лично.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзном совещании по динамике реакторов (г.Гатчина, 1990), на 13-ом Международном конгрессе по вычислительной и прикладной математике (г. Дублин, Ирландия, 1991), на VI Российской конференции по радиационной защите ядерных установок (г.Обнинск, 1994), на 9 международном совещании по безопасности ядерных реакторов (г.Москва, 1995), на семинарах «Нейтроника-97, -98», (г.Обнинск, 1997, 1998), на школе-семинаре МИФИ «Интегрированные математические модели и программные комплексы в ядерной энергетике» (г.Москва, 1998), на семинаре «Консультативная встреча специалистов IAEA по проблеме быстрых реакторов» (г.Обнинск, 1998), на международном семинаре “Деформация топливных сборок PWR и ВВЭР”, (г. Ржеж, Чехия, 1998), на международном семинаре «Анализ безопасности атомных станций с реакторами типа ВВЭР и РБМК» (г. Обнинск, 1998), на 4-ом международном конгрессе по прикладной математике (г. Эдинбург, Шотландия, 1999), на международной конференции «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (г. Обнинск, 2002), на Техническом комитете МАГАТЭ «Structural behaviour of fuel assemblies for water cooled reactors» (г.Кадараш, Франция, 2004).

Основное содержание диссертации изложено в шести публикациях в отечественных и международных журналах и сборниках трудов конференций, пяти препринтах, трудах отраслевых и международных семинаров, сборниках работ организаций и 58 научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и выводов. Общий объем диссертации – 157 страниц, в том числе 51 рисунок и 31 таблица, список использованных источников содержит наименований на 5 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

введении Во содержится обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели и основные положения, выносимые на защиту, приведена информация о структуре диссертации.

Первая глава содержит описание различных схем МНФ и предложения по их развитию. Описание дается на языке разностных схем, традиционно используемом в математическом моделировании при решении задач математической физики в различных приложениях, а также в предложенном автором формализме матриц связности в случае произвольной нумерации пространственных расчетных узлов.

Метод неполной факторизации для решения систем разностных уравнений эллиптического типа впервые был предложен Н.И. Булеевым.

Пусть требуется решить уравнение Ay = f, где А – невырожденная, но труднообратимая матрица. Прибавим к обеим частям уравнения вектор Ву и выберем матрицу В такой, чтобы матрица (А+В) представлялась в виде произведения двух легкообратимых матриц М и N: A + B = MN. Тогда получим MNy = f + By. Обозначая Ny = z, получим систему двух уравнений, которую будем решать методом последовательных приближений:

Mz = f + By j1, Ny j = z.

Выбор различных матриц M, N и B определяет различные схемы метода неполной факторизации.

По типам факторизованных операторов схемы неполной факторизации условно делятся на явные и неявные схемы. К явным относятся схемы, в которых расчет в прямом и обратном направлениях ведется по обычным рекуррентным формулам, а к неявным – схемы, в которых по крайней мере в одном из направлений счета приходится использовать метод прогонок.

Практика расчетов показала, что для большинства задач, особенно с несимметричной исходной матрицей А, неявные схемы более устойчивы и обеспечивают более высокую скорость сходимости, чем явные схемы Основное внимание в диссертации уделено неявным и комбинированным схемам, под руководством В.П. Гинкина и с его участием разработаны новые схемы МНФ и при численном решении тестовых задач исследована их эффективность.

Для симметричных матриц также могут быть построены эффективные схемы с использованием идей неполной факторизации. В работе описан эффективный вариант метода сопряженных градиентов с предобусловливателем по явной схеме неполной факторизации с диагональной и периферийной компенсацией итерируемых членов для решения симметричных задач в разных геометриях.

Пусть требуется решить уравнение Ay=f, где А – конечно-разностный оператор, аппроксимирующий уравнение эллиптического типа, и этот оператор действителен и симметричен, т.е. A = AT.

Метод сопряженных градиентов (CG) для решения этой системы уравнений имеет вид r j 1 = Ay j 1 f, g j = z j 1 b j g j 1, y j = y j 1 a j g j, z j 1 = K 1r j 1, j = 0, (r, g ) ( ) b = Az, g j j 1 j j j aj = Ag j 1, g j 1, j ( ) (Ag, g ) j j Выберем в качестве предобусловливающей матрицы К факторизованную матрицу из МНФ К=(A+B)=MN, где N=MT. При этом оператор B тоже симметричен, его конкретный вид определяет «качество» предобусловливающего оператора и существенно влияет на скорость сходимости итерационного процесса.

Построение предобусловливателя с выбором в качестве оператора M нижней треугольной матрицы для двумерного случая в (x-y)-геометрии на пятиточечном конечно-разностном шаблоне:

Ay = ay i 1 by k 1 a i +1 y i +1 bk +1 y k +1 + py, i = 1,..., n1 ;

k = 1,... n 2 ;

Mz = z zi 1 z k 1, приводит к итерируемым выражениям By с неустранимыми членами, появляющимися от перемножения операторов M и N=MT и выходящими за рамки основного конечно-разностного шаблона:

By = i +1, k 1 y i +1, k 1 +. i 1, k +1 y i 1, k + Для ускорения сходимости МНФ применим периферийную компенсацию итерируемых членов по аналогии со схемой h-факторизации Гинкина для неявных схем, выбрав в качестве оператора В следующий оператор:

By = i +1, k 1 ( y i +1, k 1 y i +1 ) + k 1 i 1 ( y y i 1 ) +. i 1, k +1 ( y i 1, k +1 y i +1 ) + k 1 i 1 ( y y k 1 ) где - итерационный параметр. В отличие от схемы h-факторизации, приводящей к несимметричной матрице В, в данном случае матрица В остается симметричной, что позволяет использовать полученную схему МНФ в качестве предобусловливателя в методе сопряженных градиентов.

Аналогично были построены схемы МНФ с периферийной компенсацией итерируемых членов для трехмерного случая в (x-y-z) геометрии на семиточечном шаблоне Ay = ay i 1 by k 1 gy l 1 a i +1 y i +1 bk +1 y k +1 g l +1 y l +1 + py, i = 1,..., n1 ;

k = 1,...n 2 ;

l = 1,...n Mz = z z i 1 z k 1 z l By = i +1, k 1 ( yi +1, k 1 yi +1 ) + k 1 i 1 ( y yi 1 ) + + i 1, k +1 ( yi 1, k +1 yi +1 ) + k 1 i 1 ( y yk 1 ) + + i +1,l 1 ( yi +1,l 1 yi +1 ) + l 1i 1 ( y yi 1 ) + + i 1,l +1 ( yi 1,l +1 yl +1 ) + l 1i 1 ( y yl 1 ) + + k +1,l 1 ( yk +1,l 1 yk +1 ) + l 1k 1 ( y yk 1 ) + + k 1, l +1 ( yk 1,l +1 yl +1 ) + l 1k 1 ( y yl 1 ) и (hex-z)-геометрии на девятиточечном шаблоне Ay = ayi 1 byk 1 gyl 1 ryi 1,k +1 ai +1 yi +1 bk +1 yk +1 g l +1 yl +1 ri +1,k 1 yi +1,k 1 + py, i = 1,...,n1 ;

k = 1,...n2 ;

l = 1,...n Mz = z zi 1 z k 1 zl 1 zi 1,k + By = i 1,l +1 ( yi 1,l +1 yl +1 ) + l 1 i 1 ( y yl 1 ) + + i +1,l 1 ( yi +1,l 1 yi +1 ) + l 1 i 1 ( y yi 1 ) + + k 1,l +1 ( y k 1,l +1 yl +1 ) + l 1 k 1 ( y yl 1 ) + + k +1,l 1 ( yk +1,l 1 y k +1 ) + l 1 k 1 ( y yk 1 ) + + i +1,k 2 ( yi +1,k 2 yi +1,k 1 ) + i 1,k +1 k 1 ( y yi 1,k +1 ) + + i 1,k + 2 ( yi 1,k +2 y k +1 ) + i 1,k +1 k 1 ( y yk 1 ) + + i 1,k +1,l +1 ( yi 1,k +1,l +1 yl +1 ) + l 1 i 1,k +1 ( y yl 1 ) + + i +1,k 1,l 1 ( yi +1,k 1,l 1 yi +1,k 1 ) + l 1 i 1,k +1 ( y yi 1,k +1 ) Здесь для каждого итерируемого члена в операторе В используется периферийная компенсация (PIF) по типу h-факторизации в виде тройки членов, взятых в соседних узлах разностной сетки, и введен параметр компенсации. При = 0 компенсация отсутствует;

при = 1 - компенсация полная;

при 0 1 - компенсация частичная. Коэффициенты, задающие матрицу M, находятся из тождества By=(MMT-A)y и определяются по рекуррентным формулам. Использовалась также схема с диагональной компенсацией (DIF), предложенная Булеевым.

Численные исследования сходимости метода сопряженных градиентов с предложенным предобусловливателем при решении тестовых задач показали, что использование схем PIF и DIF в качестве предобусловливателя в методе сопряженных градиентов (CG) приводит к значительному ускорению сходимости этого метода, зависимость количества итераций от числа узлов n по одному направлению при оптимальном значении параметра приблизительно пропорциональна n, оптимальное значение параметра лежит в области от 0.9 до 1.0 для различных типов задач. Наивысшей скоростью сходимости при = 1 из рассмотренных схем обладает схема CG PIF.

Автором предложено новое описание схем неполной факторизации с произвольной нумерацией узлов разностной сетки, когда каждому узлу ставится в соответствие набор номеров узлов-соседей с использованием матрицы связности узлов сетки. Дана общая формулировка метода неполной факторизации с помощью предложенного формализма и построена новая сверхнеявная схема неполной факторизации с периферийной и диагональной компенсацией итерируемых членов для решения систем трехмерных уравнений диффузионного типа в (hex-z)-геометрии, в которой исходный девятиточечный оператор заменяется произведением двухточечного и восьмиточечного операторов, а для обращения восьмиточечного оператора используется разработанный автором модифицированный вариант явной схемы неполной факторизации Шнайдера-Зедана для решения двумерных систем разностных уравнений с семидиагональными матрицами.

Согласно сеточному шаблону факторизуемого оператора DA+B можно с использованием специальной матрицы связности MS(j,i) для каждого расчетного узла определить J0 номеров узлов-соседей, i, i=1,…N0, соответствующих остальным узлам шаблона, j=1,…J0. При этом трехмерной (hex-z)-геометрии соответствует девятиточечный шаблон с J0=9, j=9 – центральный узел, j=1,..6 – узлы гексагональной решетки в сечении z, j =7, соответствуют предыдущему (j=7) и последующему (j=8) сечению по координате z.

Исходное разностное уравнение в (hex-z)-геометрии при использовании введенного формализма примет вид:

A = a 9 a j MS ( j ) = f.

j = Для решения этого уравнения предложена новая сверхнеявная схема МНФ:

M = Df + B m1, N m =, где оператор D выбирается диагональным, а операторы M и N – двухточечным и восьмиточечным, соответственно:

M = MS(7), N = D = diag ( ), 7 j.

MS( j ) j =1, j Сверхнеявность этой схемы заключается в том, что для решения последнего уравнения, определенного на восьмиточечном шаблоне, нельзя применить прямой экономичный метод с использованием только простых неявных схем типа одномерных прогонок. Поэтому для решения этого уравнения использована также итерационная схема неполной факторизации новая модернизированная автором схема Шнайдера-Зедана, в которой с целью ускорения сходимости используется периферийная компенсация итерируемых членов по типу h-факторизации с итерационным параметром.

В оператор B входят дополнительные узлы с номерами MS(7,MS(j)), появившиеся при факторизации трехмерных уравнений от j=1,…6, перемножения M и N.

Вклад в оператор B дополнительных узлов можно компенсировать комбинацией членов, взятых в узлах основного шаблона. Пусть B = R + S, оператор R определен на дополнительном шаблоне R = 7 j MS(7)MS(7,MS( j )), S j = 6 компенсирующий оператор S = 7 j MS(7) jµ k µMS(µ ), где jµ и k µ - параметр и j j µ = j = матрица коэффициентов компенсации. Положим jµ = const = и определим компенсирующий оператор S по типу h-факторизации.

Тогда получим B = 7 j MS(7) [ MS(7,MS( j )) + ( MS(7) MS( j ) )].

j = Двухточечный оператор M обращается простым пересчетом в сторону возрастания координаты z;

обращение же оператора N ведется в сторону уменьшения координаты z, причем для каждого фиксированного z необходимо обратить двумерный семиточечный оператор вида:

A' ' = ' j MS( j ) = f, ' j = размерностью M0, где M0 – количество узлов в hex-плоскости.

Для этого автором выбрана и модифицирована введением параметрической периферийной компенсации по типу h-факторизации схема Шнайдера-Зедана. Схема метода неполной факторизации для этого случая выглядит так:

D' = diag( ' ), u = ' f ' + B' n1, n = 1,2,... N ' n = M 'u = u =u j j MS (7 ) MS (7 ) j =1,3,5 j =2, 4, где n - номер текущей итерации, j с нечетными j– коэффициенты оператора M ', с четными j - коэффициенты оператора N ', причем M ' и N ' имеют единичные диагонали. Оператор B' будет содержать элементы в дополнительных узлах MS(1,MS(4)) и MS(5,MS(2)), вклад которых можно компенсировать комбинацией членов, взятых в узлах основного шаблона.

Выберем B' = (R1 + S1 ) + (R2 + S2 ), где R1 и R2 – операторы, определяющие итерируемые члены: R1 = 1MS(1)MS(1,MS(4)) и R2 = 5MS(5)MS(5,MS(2)), а S1 и S2 4 компенсирующие операторы, определенные в узлах основного шаблона:

Si = ai iµ kiµMS ( µ ), iµ kiµ и - параметр и матрица коэффициентов µ = компенсации. Компенсирующие операторы выбираются по типу h факторизации, и оператор B имеет вид:

B' = 1MS (1) [MS(1,MS( 4)) +1 ( MS (1) MS ( 4) )] + 5 MS(5) [MS( 2,MS (5)) +2 ( MS( 2) MS(5) )] 4 Определив по рекуррентным формулам коэффициенты j, при = = 0 получаем схему Шнайдера-Зедана без компенсации, при = = 1 2 1 получаем модифицированную автором схему Шнайдера-Зедана с периферийной компенсацией по типу h-факторизации, в которой первые члены разложения B в ряд Тейлора в центральном узле шаблона равны нулю.

Уравнение для вспомогательной функции u решается простым пересчетом от узла к узлу в сторону возрастания координаты z, а уравнение для функции – в сторону убывания координаты z.

Кроме сверхнеявной схемы МНФ с постоянным параметром компенсации, автором сформулирован и исследован комбинированный МНФ, в котором значение параметра компенсации зависит от m - номера m итерации.

m могут Алгоритмы выбора параметра компенсации быть различными, например, простое чередование, циклический перебор и другие.

Достаточно эффективной и экономной с точки зрения необходимости пересчета и (или) хранения коэффициентов операторов M и N для каждого m оказалась комбинированная схема, получившая название схемы МНФ с мерцающим параметром - МНФ-МП, в которой для каждой нечетной итерации используется параметр компенсации, равный 0, а для каждой четной итерации – параметр, равный 1.

Эффект от чередования значений параметра компенсации (0 и 1) на каждой итерации оказался весьма высоким (зависимость числа итераций от числа узлов в схеме МНФ-МП при решении тестовых задач оказалась близкой к зависимости при оптимальном экспериментально подобранном параметре ) и объясняется тем, что при параметре = 0 эффективно гасятся высокочастотные, а при = 1 – гладкие компоненты ошибки. Аналогичный эффект усиления сходимости наблюдался в двумерной комбинированной схеме HFPP В.П. Гинкина. Предложенный автором алгоритм чередования значений параметра не требует подбора оптимального значения параметра компенсации и особенно эффективен при решении плохообусловленных задач.

С целью систематизации и сохранения знаний, наличия большого количества различных схем и вариантов МНФ, реализованных разными разработчиками и предназначенных для решения различных классов задач, автором диссертации разработана структура и создана библиотека подпрограмм IFML для решения двумерных и трехмерных систем разностных уравнений методом неполной факторизации, в основном разработанных в математическом отделе ГНЦ РФ-ФЭИ. Библиотека IFML содержит 22 подпрограммы МНФ, 6 из которых разработаны автором, является открытой структурой и готова к дальнейшему наполнению по мере появления новых методов, разработки вариантов и схем неполной факторизации и их программной реализации.

посвящена алгоритмам и методам решения Вторая глава квазистационарных задач нейтронной физики. Основным содержанием этой главы является описание созданного трехмерного комплекса программ WIMS-ВОЛНА для расчета нейтронно-физических характеристик, локальных нейтронных полей и полей энерговыделений реакторов типа ВВЭР в течение кампании реактора с учетом перегрузок топлива. В этом комплексе расчет локальных нейтронных полей и энерговыделения производится по программе ВОЛНА, а константы рассчитываются в каждой точке реактора в каждый момент времени кампании по программе WIMSD4 с учетом изменения материального состава элементарных объемов реактора и средних температур топлива, оболочки твэла и теплоносителя. Результаты расчетов в виде данных по плотности потока нейтронов и энерговыделений в заданных пространственных точках в согласованных форматах передаются в программу расчета термомеханики активной зоны в заданные моменты кампании, а из программы расчета термомеханики в комплекс программ WIMS-ВОЛНА возвращаются данные о формоизменении ТВС. Предложен алгоритм учета влияния формоизменения ТВС на расчет нейтронно физических характеристик реактора.

Автором разработаны алгоритмы и схемы конечно-разностной аппроксимации уравнения диффузии нейтронов в (hex, z) –геометрии и выполнены исследования по уточнению пространственной аппроксимации. В программе нейтронно-физического расчета реактора ВОЛНА в качестве решателей использовались разработанные автором эффективные схемы метода неполной факторизации.

Эти работы, а также работа по оценке влияния изменений величины водяных зазоров между ТВС во время эксплуатации реактора вследствие формоизменения ТВС на его нейтронно-физические характеристики, выполнялись в составе комплекса работ по созданию ТВС нового поколения (ТВС-2, ТВС-2М) и выработке методологии термомеханического анализа активных зон ВВЭР-1000, для чего выполнялись прогнозные расчеты термомеханических деформаций ТВС в активных зонах реакторов на различных блоках АЭС. Для основной цели комплексной работы – расчета термомеханического поведения активной зоны – нейтронно-физические расчеты являются обеспечивающими.

При решении уравнения реактора (g) NG D ( g ) ( g ) + (ув ) ( g ) = l g (l ) + ( g ) Q g, K эф l = NG Q = (fl ) (l ) l = для расчета кампании в квазистационарном приближении в программе ВОЛНА зададим временную сетку ti с переменным шагом i, (i=1,...,m ), считая на шаге i значения плотности потоков нейтронов не зависящими от времени. Трехмерное многогрупповое квазикритическое уравнение дискретизируется в (hex, z) -геометрии и решается методом итераций источника нейтронов деления с использованием трехслойной схемы с Чебышевским ускорением сходимости внешних итераций и быстросходящегося варианта МНФ на внутренних итерациях. В каждый момент времени в каждом элементарном расчетном объеме реактора производится прямой расчет по программе изменения WIMSD материального состава зоны вследствие выгорания топлива и других выгорающих материалов, перемещения органов регулирования, изменения температуры теплоносителя и соответствующих новым материальным композициям сечений взаимодействия. На каждом временном шаге кампании с помощью изменения концентрации бора в теплоносителе C B реактор выводится в критическое состояние при решении методом Ньютона нелинейного уравнения f (CB ) = 1 K эф(CB ) = 0.

Для оценки ошибки, связанной с погрешностью пространственной аппроксимации в (hex-z) – геометрии при расчете распределений нейтронно физических характеристик в программе ВОЛНА, были выполнены тестовые расчеты с заданными константами и известным точным решением модельной задачи. Наилучшие результаты получены в расчете с использованием семи точек на кассету в плане, когда каждая кассета аппроксимируется семью равными малыми шестиугольниками, эквивалентными по площади сечению ТВС.

Изменение величины водяного зазора между ТВС как в сторону увеличения, так и уменьшения приводит к изменению нейтронно-физических характеристик зоны: групповых макроконстант, радиальных распределений по сечению ТВС полей нейтронов и энерговыделений. Исходными предпосылками для необходимости разработки и исследования способа учета формоизменения ТВС послужили известные события по искривлению ТВС в активных зонах реакторов во время эксплуатации, связанные с этим трудности при перегрузках и перестановках ТВС во время ППР и база замеров искривлений (прогибов) ТВС разных блоков разных станций.

Необходимость учета формоизменения ТВС в активной зоне приводит к внесению изменений в методики и алгоритмы расчетов нейтронно физических характеристик зоны от разработки специальных алгоритмов гомогенизации констант в рамках фиксированных сеток до построения следующих изгибам ТВС адаптивных пространственных сеток. Таким образом, при изучении нейтронно-физического поведения активной зоны с учетом обратных связей по термомеханике появляется еще один параметр, влияющий на константы, - водяной зазор.

Автором разработан алгоритм расчета макроконстант, позволяющий учесть неравномерный водяной зазор по периметру ТВС вследствие формоизменения ТВС в рамках фиксированной расчетной сетки, построенной в (hex-z) – геометрии, и исходной методики подготовки констант. Константы для каждой из семи малых гексагональных расчетных ячеек, аппроксимирующих ТВС в каждом слое по высоте, рассчитываются с учетом неравномерных зазоров между гранями ТВС, причем для центральной малой ТВС зазор полагается нулевым, для остальных шести малых ТВС - полусумме зазоров между соответствующими гранями ТВС.

Описание вариантных расчетов приведено в диссертации и иллюстрируется значениями длины кампании, максимального коэффициента неравномерности в энерговыделении ТВС Kq и по объему активной зоны Kv в зонах с формоизмененными ТВС по сравнению с неискривленной зоной. В ряде случаев эффект от воздействия смещения ТВС в активной зоне реактора на нейтронно-физические характеристики значителен и требует учета при проведении расчетов кампании.

Указанный комплекс программ и алгоритмы были использованы автором при решении задачи установления причин термомеханической нестабильности поведения активных зон реакторов ВВЭР-1000, наблюдавшейся в период с ~ 1990 по ~ 2006 гг. В составе группы специалистов, привлеченных к решению этой задачи, автор обеспечивал входными данными по пространственным распределениям нейтронных потоков и температур расчеты трехмерной термомеханики активных зон. В течение указанного периода в процессе проведения расчетно параметрических исследований, верификации расчетных методов и программ, разработки обоснования новых конструктивных решений по ТВС и схемам загрузок, обоснования безопасности при повышении мощности энергоблоков до 104%, автором выполнены десятки параметрических и поддерживающих расчетов активных зон, в том числе нейтронно-физические характеристики активных зон моделировались в виде прогнозных расчетов, а также в виде тестовых расчетов по реально прошедшим кампаниям на конкретных энергоблоках. Расчеты нейтронно-физических характеристик реакторов, выполненные автором, использованы при разработке ТВС нового поколения (ТВС-2, ТВС-2М) и подготовке к их лицензированию. Эта работа была успешно выполнена и с 2003 года начата опытно-промышленная эксплуатация топливных кассет нового поколения, в разработку которых автор внёс свой небольшой вклад, а вскоре и промышленная их эксплуатация. Эти ТВС используются в промышленной эксплуатации на всех блоках Балаковской и Ростовской АЭС, предназначены для применения во всех строящихся блоках проекта АЭС-2006 и ВВЭР-ТОИ.

посвящена трехмерной программе VOLNA Третья глава нестационарного расчета нейтронно-физических характеристик активных зон во время быстрых переходных процессов в реакторах типа БН. Программа VOLNA интегрирована в комплекс программ GVA (GRIF-SM, VOLNA, ARAMAKO), позволяющий с константной поддержкой модуля АРАМАКО рассчитывать совместно с теплогидравлическим расчетом по программе GRIF-SM нейтронно-физические характеристики переходных процессов в реакторах на быстрых нейтронах. Комплекс программ GVA разрабатывался коллективом авторов под общим руководством Гинкина В.П. и Кузнецова И.А.;

программа нейтронно-физического расчета VOLNA в составе этого комплекса разработана автором диссертации.

Программа расчета теплогидравлики решает в GRIF-SM (r, z) -геометрии нестационарную систему уравнений сохранения массы, импульса и энергии в рамках модели пористого тела, причем пористость, проницаемость и другие коэффициенты системы уравнений модели зависят от пространственных координат. Пространственные распределения энерговыделения в каждый момент времени, рассчитываемые по программе VOLNA, являются для программы GRIF-SM входными данными.

Программа расчета пространственной кинетики VOLNA решает пространственно-временное уравнение переноса нейтронов в диффузионном квазистатическом приближении. Плотность потока нейтронов представляется в виде произведения пространственной форм-функции и амплитудного фактора, который предполагается не зависящим от пространственных координат. Исходное нестационарное уравнение тождественным преобразованием приводится к системе двух уравнений – системы уравнений типа точечной кинетики для амплитудного фактора P(t), интерпретируемого как мощность реактора:

dP (t ) (t ) (t ) NC P (t ) + i Ci (t ) ;

= (t ) dt i = Ci (t ) i (t ) P (t ) i Ci (t ) = t (t ) и пространственно-временных уравнений для групповых форм-функций ( g ) (r, t ) :

1 ( g ) 1 dP(t ) ( g ) t + P(t ) dt D + ув = ( g) ( g) ( g) ( g) ( g) v g Q ( gd) = + (1 )Q + l g ( l) ( g) P(t ) l = Q где Q = ;

Q – источник нейтронов деления, P (t ) (g ) ' ' t NG NC = f ( t ) P ( t ) i i( g ) i e i ( t t ) dt ' (g ) ' (l) Q d l =1 i = - скорость распада предшественников запаздывающих нейтронов в момент времени t.

Важной чертой квазистатического приближения является принципиальная возможность введения двух временных сеток: мелкой - для частого расчета амплитудного фактора и крупной - для относительно редкого пересчета трехмерной форм-функции, что приводит к экономии времени решения исходного нестационарного уравнения реактора.

Входными данными для программы являются VOLNA пространственные распределения материальных композиций и групповых макроконстант в каждый момент времени, скорости движения органов регулирования и другие параметры. Выходными данными программы VOLNA являются пространственные распределения энерговыделений по объему реактора, групповых плотностей потоков нейтронов и другие нейтронно-физические характеристики. Групповые макроконстанты для расчета по программе VOLNA вычисляются по программе AРAMAКO.

Входными данными для этой программы являются пространственные распределения температур и плотностей топлива, конструкционных материалов и теплоносителя в каждый момент времени, получаемые по программе GRIF-SM.

Комплекс программ GVA состоит из двух блоков – стационарного расчета начального критического состояния реактора и блока нестационарного расчета реактора.

В расчете начального состояния в комплексе GVA производится итерационное согласование температурных и нейтронных полей по программам GRIF-SM и VOLNA. После достижения заданной точности реактор выводится в строго критическое состояние путем деления числа вторичных нейтронов на Kэф. Затем решается сопряженная задача для определения функции ценности нейтронов.

Изменение макроконстант хотя бы в одной пространственной ячейке реактора вызывает изменение критического состояния и означает введение реактивности по той или иной физической причине. Реактивность вычисляется путем интегрирования по объему реактора изменений в распределениях макроконстант с весом форм-функции и функции ценности нейтронов деления для критического реактора.

На каждом крупном временном шаге, который выбирается на основе вычислительного опыта и требований программы GRIF-SM, в расчетной зоне производится полномасштабный пространственный пересчет температур по программе GRIF-SM, групповых макроконстант по программе АРАМАКО, нейтронных полей по программе VOLNA с итерациями по нелинейности для согласования полей энерговыделений и температур.

Система конечно-разностных уравнений с девятидиагональной матрицей коэффициентов для определения групповой пространственной форм-функции в программе VOLNA решается по схеме метода неполной факторизации МНФ-МП.

Алгоритм численного интегрирования пространственно-независимой системы уравнений типа уравнений точечной кинетики для амплитудного фактора P(t) построен на основе многошаговых методов Гира типа прогноза коррекции и обеспечивает автоматический выбор шага мелкой временной сетки на каждом крупном временном шаге.

Важно заметить, что в комплексе GVA при расчетах используются две пространственные сетки: (r-z) - разбиение по кольцам в плоскости и высоте z расчетной зоны для программы GRIF-SM и (hex-z)- сетка для программы VOLNA, причем размеры слоев по высоте z в сетках могут не совпадать. Это обстоятельство требует использования алгоритмов сопряжения пространственных сеток и интерполяционных процедур при совместном расчете и обмене данными между программами GRIF-SM и VOLNA.

В программе GRIF-SM может быть учтено деформирование расчетной области реактора (РЗР) вследствие теплового расширения путем изменения размера расчетных кольцевых зон. В программе VOLNA тепловое деформирование РЗР моделируется изменением во времени эквивалентного размера под ключ расчетной гексагональной ячейки для каждого расчетного слоя по высоте РЗР, которое задается информацией, полученной из программы GRIF-SM.

В качестве примера в работе приведены результаты расчетов по комплексу переходных процессов, обусловленных GVA несанкционированным движением группы стержней в реакторе типа БН-800.

Показано, что скорость извлечения стержней существенно влияет на характер поведения реактивности и мощности реактора. При движении стержней со скоростью 5 см/сек в реакторе на начальной стадии процесса не успевают отработать обратные связи, и значения введенной реактивности, вычисленные с учетом обратных связей, практически совпадают со значениями реактивности, рассчитанными без учета обратных связей. При скорости движения стержней 0.5 см/сек отрицательные обратные связи в значительной мере компенсируют вводимую реактивность. При моделировании процессов быстрого перемещения группы стержней наблюдается существенное формоизменение с течением времени пространственных нейтронно-физических полей и локальных энерговыделений в разных сечениях по высоте расчетной зоны реактора.

Как показали расчеты, применение в программе VOLNA разработанной автором эффективной сверхнеявной комбинированной схемы неполной факторизации с мерцающим параметром МНФ-МП на всех этапах, требующих решения систем конечно-разностных уравнений, существенно экономит время счета и делает возможным решать реальные пространственно-временные задачи на достаточно представительных интервалах времени.

Представленные результаты разработки алгоритмов и демонстрационных расчетов свидетельствуют, что комплекс программ GVA может служить составной частью создаваемого интегрального кода нового поколения для анализа безопасности РУ с реакторами на быстрых нейтронах.

В этом случае применение новых эффективных схем метода неполной факторизации для решения сложных задач пространственной нейтронной кинетики становится особенно оправданным.

В приведены основные результаты работы, заключении сформулированы выводы.

1. Новые эффективные варианты метода неполной факторизации, разработанные автором для решения алгебраических систем разностных уравнений эллиптического типа в (hex, z) –геометрии с использованием произвольной нумерации узлов разностной сетки, позволяют значительно экономить общее время счёта при решении задач нейтронной кинетики.

2. Созданная библиотека подпрограмм IFML для решения систем линейных алгебраических уравнений на основе метода неполной факторизации дает возможность выбрать наиболее подходящие и эффективные в своем классе задач подпрограммы и использовать их в практических расчётах для различных физических приложений. Библиотека программ IFML имеет также общеобразовательное значение и служит цели сохранения знаний.

3. Разработанные алгоритмы и программы нейтронно-физического расчета кампаний реакторов ВВЭР с использованием новых эффективных схем метода неполной факторизации позволили, в свою очередь, разработать алгоритм учета формоизменения ТВС в процессе эксплуатации реактора при проведении нейтронно-физических расчетов кампании с помощью комплекса программ WIMS-ВОЛНА. Результаты этих расчетов, выполненных во взаимодействии с группой разработчиков конструкции ТВС ВВЭР- нового поколения, получивших название ТВС-2 и ТВС-2М, были использованы при расчетно-параметрических обоснованиях нового топлива и компоновок ТВС в активной зоне. Работы завершились созданием и широкомасштабным внедрением ТВС нового поколения на атомных станциях с реакторами ВВЭР-1000 и решением проблемы термомеханической нестабильности активных зон.

4. Для нестационарного нейтронно-физического расчета переходных процессов в реакторах на быстрых нейтронах типа БН-800 с использованием новых схем метода неполной факторизации разработаны алгоритмы и программы, учитывающие обратные связи в случае заданного движения групп стержней в зоне реактора. Алгоритмы реализованы в рамках комплекса программ GVA нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении и апробированы на модельных задачах. Расчетные исследования и анализ, выполненные с помощью комплекса GVA, показали работоспособность комплекса и целесообразность совместного теплогидравлического и нейтронно-физического расчета при моделировании таких переходных процессов, как несанкционированное извлечение стержней регулирования.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных рецензируемых журналах:

1. Гинкин В.П., Троянова Н.М., Новиков П.В. Новый вариант метода неполной факторизации для решения двумерных уравнений эллиптического типа с несимметричными матрицами // Математическое моделирование, т. 16, № 7, 2004, с.101-116.

Научные статьи в других изданиях:

2. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Использование метода неполной факторизации в трехмерной задаче нейтронно-физического расчета реактора ВВЭР-1000 // Всесоюзное совещание по динамике реакторов / Гатчина, 1990, 15 с.

3. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Вариант метода неполной факторизации для решения трехмерных девятиточечных уравнений эллиптического типа // 13-ый Международный конгресс по вычислительной и прикладной математике / Дублин, Ирландия. 1991. 6 с.

4. Y.Likhachev, M.Meshkov, V.Troyanov, N.Troyanova. The results of thermo mechanical calculation analysis of fuel assembly bowing in the WWER-1000 // International Conference «Safety analysis for NPPs of VVER and RBMK type», 26-30 October 1998, Obninsk, Russian Federation: Proceeding. – Vol.1, P.737-762.

5. A.A.Bezborodov, A.V.Volkov, S.M.Ganina, V.P.Ginkin, I.A.Kuznetsov, N.M.Troyanova, Yu.E.Shvetsov. Spatial and Time-Dependent Calculation of Fast Reactor Transients // The Fourth International Congress on Industrial and Applied Mathematics, July 5-9, 1999, Edinburgh, Scotland.

6. Troyanov V.M., Likhachev Y.I., Folomeev V.I., Demishonkov A.A., Troyanova N.M., Tutnov Al.A, Tutnov An.A, Kiselev A.S., Kiselev Al.S, Alekseev Е.Е., Ivanova O.I., Ulyanov A.I. Numerical and analytical investigation of WWER-1000 fuel assembly and reactor core thermal mechanics // Proceedings of a technical meeting held in Cadarache, France, 22 26 November 2004, IAEA-TECDOC-1454, 2005, рр. 113-128.

7. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Использование метода неполной факторизации в трехмерной задаче нейтронно-физического расчета реакторов типа ВВЭР // 1990. Препринт ФЭИ-2104. 15с.

8. Гинкин В.П., Троянова Н.М. Метод неполной факторизации для решения трехмерных девятиточечных разностных уравнений эллиптического типа // 1991. Препринт ФЭИ-2181. 17с.

9. Гинкин В.П., Ваньков К.А., Троянова Н.М. Метод сопряженных градиентов в сочетании с неполной факторизацией и компенсацией итерируемых членов // 1993. Препринт ФЭИ-2324. 13с.

10.Ваньков К.А., Гинкин В.П., Троянова Н.М. ВОЛНА – программа трехмерного нестационарного расчета реактора в квазистатическом приближении // Препринт ФЭИ-2360, 1994, 23 с.

11.Гинкин В.П., Безбородов А.А, Волков А.В, Ганина С.М., Кузнецов И.А., Троянова Н.М., Швецов Ю.Е. Программа совместного решения уравнений пространственно-временного переноса нейтронов и теплогидравлических нестационарных и аварийных процессов в быстрых реакторах // Препринт ФЭИ-2637, 1997, 22 с.

12.Лихачев Ю.И., Мешков М.Н., Троянов В.М., Троянова Н.М., Фоломеев В.И. Результаты расчетных исследований механизмов и причин искривления ТВС в активных зонах // Труды Международного Семинара «Деформация топливных сборок PWR и ВВЭР», Прага, Ржеж, Чехия, 17 20.02.1998.

13.Гинкин В.П., Троянова Н.М. Алгоритм решения трехмерного нестационарного уравнения реактора методом неполной факторизации // Сб. научных трудов кафедры РКР ИАТЭ, вып.1 «Методы и средства моделирования физических процессов в ядерно-энергетических установках» под ред. Ю.А.Казанского / Обнинск: ИАТЭ, 1990, с.63-72.

14.Гинкин В.П., Ваньков К.А., Троянова Н.М.Метод сопряженных градиентов и неполная факторизация с компенсацией // VI Российская конференция по радиационной защите ядерных установок // г.Обнинск, 1994.

15.V.P.Ginkin, N.M. Troyanova, K.A.Vankov. A Quazystatic Approach to a Three-Dimensional Nonstationary Reactor Equipment Solution // Proceedings of the 9-th Topical Meeting on Problems of Nuclear Reactor Safety, Moscow, MEPhI, h/o «Volga», September 4-8, 1995, Vol.1, pp.63-65.

16.Безбородов А.А., Волков А.В., Ганина С.М., Гинкин В.П., Кузнецов И.А., Троянова Н.М., Швецов Ю.Е Spatial and time-dependent calculation of fast reactor transients // «Consulting Meeting of IAEA specialists on fast reactor problem», 4 июня 1998 г., Обнинск, Россия.

17.Гинкин В.П., Безбородов А.А., Волков А.В., Ганина С.М., Кузнецов И.А., Троянова Н.М., Швецов Ю.Е. Расчетные исследования нестационарных процессов в быстром реакторе, обусловленных несанкционированным извлечением из активной зоны компенсирующих стержней. // «Нейтроника-97», Обнинск, 28-30 октября 1997г.

18.Безбородов А.А., Волков А.В., Ганина С.М., Гинкин В.П., Кузнецов И.А., Троянова Н.М., Швецов Ю.Е. Пространственно-временной расчет переходных процессов в быстрых реакторах // «Нейтроника-98», Обнинск, 27-29 октября 1998 г.