Системный анализ и управление процессами минерализации месторождений лечебных грязей
На правах рукописи
РОЩИНА Татьяна Константиновна СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ МИНЕРАЛИЗАЦИИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ЛЕЧЕБНЫХ ГРЯЗЕЙ Специальность: 05.13.01 – «Системный анализ, управление и обработка информации » (вычислительная техника и информатика)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Новочеркасск – 2009 2 Диссертационная работа выполнена на кафедре тепловых электрических станций ГОУ ВПО Южно–Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) Научные руководители – кандидат технических наук, профессор Ушаков Виталий Григорьевич ;
доктор технических наук, профессор Ефимов Николай Николаевич Официальные оппоненты – доктор технических наук, доцент Веселов Геннадий Евгеньевич;
кандидат технических наук, доцент Чернышев Александр Борисович Ведущая организация – ГОУ ВПО Пятигорский государственный технологиче ский университет, г. Пятигорск
Защита диссертации состоится « »_ 2009 г. в _ час. _ мин.
на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Технологическом институте федерального государственного образовательного учреждения высшего профес сионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ) по адресу: 347928, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасов ский, 44, ауд. Д-406.
С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ГОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкин ская, 148.
Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью предпри ятия, просим направлять ученому секретарю диссертационного совета.
Автореферат разослан “ _ ” _ 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.22, доктор технических наук, профессор А.Н. Целых
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В зоне Кавказских Минеральных вод одним из важных ком понентов природных экосистем являются месторождения лечебных грязей, раз мещаемые в соленых озерах небольших размеров. Важной составляющей грязе вых месторождений, кроме лечебной грязи, является рапа. Изучение динамики минерализации системы “рапа-лечебная грязь” было и остается одним из важ нейших элементов мониторинга состояния грязевого месторождения, так как именно от значения этого показателя во многом зависят не только лечебные свой ства добываемого пелоида, но и условия его новообразования.
Основу такого мониторинга в настоящее время составляют анализы проб рапы и лечебной грязи. Являясь ценными, с точки зрения описания предшест вующей эволюции грязевого месторождения, эти данные не позволяют, во первых, оценить влияние на величину минерализации рапы и пелоида таких фак торов, как турбулентное движение рапы, условия на границах системы “рапа лечебная грязь”, уменьшение/увеличение уровня рапы;
во-вторых, получить обоснованный прогноз минерализации для будущих периодов;
в-третьих, пред ложить более экономичные и дающие более достоверные результаты способы от бора проб рапы/пелоида. Ввиду невозможности проведения натурных экспери ментов и физического моделирования грязевого месторождения наиболее прием лемым способом решения перечисленных выше вопросов является математиче ское моделирование.
Актуальность темы исследования подтверждена решением Пленума Уче ного совета ГосНИИ курортологии (г. Пятигорск) от 13 июля 1999 г, а также Фе деральными целевыми программами “Юг России (2002-2006 г.г.)” и “Экология и природные ресурсы России (2002-2010 года)”. Более того, в Федеральном законе “Об охране окружающей среды” лечебно-оздоровительные местности и курорты отнесены к особо охраняемым природным объектам, и закреплены такие принци пы, как презумпция экологической опасности планируемой деятельности, при оритет сохранения естественных экологических систем, сохранение биологиче ского разнообразия.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в системном анализе процессов протекающих в место рождений лечебных грязей на основе математического моделирования процессов тепло- и массообмена соленых озер. Для этого необходимо:
– провести системный анализ процессов минерализации и переноса тепла гря зевого месторождения и выделить основные параметры, оказывающие влияние на исследуемые процессы;
– разработать математические модели исследуемых процессов;
– создать комплекс программных средств для исследования и прогнозирова ния изменения основных количественных и качественных характеристик массо обмена в рассматриваемом объекте – грязевом месторождении;
– на основе результатов проведенного системного анализа разработать реко мендации по практическому мониторингу и управлению минерализацией грязево го месторождения;
– разработать инструментарий для отбора проб рапы, которые используются для получения экспериментальных данных по минерализации рапы.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ состоит в следующем:
– на основе системного анализа составлены математические модели иссле дуемых процессов и разработана методика оценки минерализации рапы и лечеб ной грязи. В результате определены различные пространственно-временные об ласти концентрационного поля грязевого месторождения;
определен характер влияния на минерализацию грязевого месторождения таких факторов, как ветро вое движение рапы и изменение ее уровня;
– установлено существование в грязевом месторождении нескольких зон мас сообмена;
доказана возможность применения математической модели, основанной на уравнениях диффузии, для описания динамики минерализации грязевого место рождения;
доказано влияние толщины слоя рапы и ее возможного турбулентного движения на интенсивность явлений массообмена, происходящих в грязевом ме сторождении;
– разработана динамическая модель грязевого месторождения, которая пока зала возможность управления уровнем рапы;
– предложен научно-обоснованный способ отбора проб рапы, позволяющий получать объективные данные об ее минерализации. Способ отличается от суще ствующих тем, что при минимальных (однократных) затратах на эксперимент да ет возможность оценить не только актуальное состояние грязевого месторожде ния, но и прогнозировать направление его развития.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ. Разработанная методика расчета нестационарных концентрационных полей химических компонентов, содержащихся в рапе и в лечеб ной грязи, и их реализация в виде единого программного комплекса позволяет:
– прогнозировать концентрацию ионов солей, входящих в состав рапы и ле чебной грязи в любой момент времени в любой точке по глубине водоема и тол щине пласта лечебной грязи;
– прогнозировать динамику состава, а значит и качество лечебной грязи;
– определить горизонт, на котором добываемая лечебная грязь имеет в дан ный момент времени оптимальный химический состав;
– организовать мониторинг состояния лечебной грязи на месторождении.
Результаты исследования динамической модели изменения уровня рапы позволяют применять обоснованные решения по регулированию поверхностного стока.
Разработан приборный инструментарий для отбора проб рапы на грязевом месторождении.
ДОСТОВЕРНОСТЬ И ОБОСНОВАННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ. Системный анализ проводился с применением математических моделей, для которых использовались фундамен тальные законы переноса массы и тепла с учетом физических особенностей ис следуемых процессов. Адекватность математических моделей подтверждается удовлетворительным согласованием экспериментальных и расчетных результатов в широком диапазоне изменения характерных параметров. Достоверность науч ных положений обеспечивается использованием классических численных мето дов решения задач тепло- и массообмена, совпадением результатов расчетов и экспериментальных материалов.
РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ. Комплекс программных средств для расче та концентрационных полей химических компонентов в рапе и в лечебной грязи принят к использованию (имеется акт) в ОАО “Кавминкурортресурсы” (г. Ессен туки). Прибор для отбора проб рапы на грязевом месторождении принят к ис пользованию (имеется акт) в отделе “Изучение курортных ресурсов” ГосНИИ ку рортологии (г. Пятигорск).
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ. Научные результаты и положения диссертацион ной работы докладывались на международных научных конференциях: “Матема тические методы в технике и технологиях” (г. Новгород, 1999 г.;
г. Санкт Петербург, 2000 г.;
г. Тамбов, 2002 г.);
на научно-практической конференции, по священной 80-летию ГНИИК (г. Пятигорск, 1999 г.);
на IV объединенной научной сессии, посвященной 30-летию Северо-Кавказского научного центра высшей школы (г. Ростов-на-Дону, 1999 г.);
на юбилейной научно-практической конфе ренции “Актуальные вопросы курортной науки в России” (г. Пятигорск, 2000 г.);
на Международной научно-практической конференции “Теория, методы и сред ства контроля и диагностики” (г. Новочеркасск, 2000 г.);
на VI-ой Международ ной теплофизической школе “Теплофизические измерения в начале ХХI века” (г.
Тамбов, 2001 г.);
на межрегиональной научно-практической конференции “Ус тойчивая безопасная энергетика – основа эффективного социально экономического развития региона” (г. Ростов-на-Дону, 2002 г.), на II-й Регио нальной научно-технической конференции «Управление в технических, социаль но-экономических и медико-биологических системах» (г. Новочеркасск, 2002 г.), а также на научных семинарах кафедр “Теоретические основы теплотехни ки”,“Тепловые электрические станции” и “Автоматизация и управление техноло гическими процессами и производствами” Южно-Российского государственного технического университета.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ.
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:
– нестационарные математические модели массообмена между рапой и ле чебной грязью на грязевом месторождении, описываемые уравнениями в частных производных;
– методика расчета зон массообмена на месторождении лечебной грязи;
– методика контроля и прогнозирования величины минерализации различ ных компонентов грязевого месторождения;
– методика отбора проб рапы на месторождении лечебной грязи;
– комплекс программных средств для исследования и прогнозирования из менения основных количественных и качественных характеристик массообмена в рассматриваемом объекте – грязевом месторождении;
– результаты системного анализа процессов, происходящих в месторождения лечебных грязей Табуканского озера.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключе ния. Содержит 187 страниц основного текста, список литературы из 116 наимено ваний, приложения на 33 страницах.
Содержание работы ПЕРВАЯ представляет критический обзор состояния вопроса. В ней да ГЛАВА ется общая характеристика грязевых месторождений как источников уникального лечебного средства – лечебных грязей (пелоидов). При этом особо выделяются месторождения, связанные с солеными озерами, которые наиболее часто исполь зуются в подобных целях. Разнообразные геолого-гидрогеологические, климати ческие, физико-химические, биологические факторы в различной их комбинации порождают множество альтернативных сценариев эволюции соленых озер.
Одним из важнейших показателей, по которому оценивают и пелоид и ра пу соленого озера (грязевого месторождения), является их минерализация. В пе лоиде этот параметр относится к его жидкой фазе – грязевому раствору.
Очевидно, что любой природный объект, тем более такой уникальный, как грязевое месторождение, следует относить к сложным системам, а задачу его со хранения – рассматривать как стратегическую. Попытки управления минерализа цией содержат существенный элемент риска, т.к. могут привести в действие необ ратимые процессы. Вышеперечисленные факторы делают обоснованным приме нение системного анализа для исследования проблем минерализации соленого озера.
Анализ проводится с помощью математических моделей, основанных на естественных физических инвариантах, описывающих перенос вещества и тепла, заданных в виде соотношения между потоком тепла/массы и их градиентом. Для массопереноса общее итоговое уравнение потока представляется в виде q = – D grad c, (1) 2 где q – поток вещества (г/(cм )), с – его концентрация (г/м ), D – аддитивный ко эффициент диффузии (м2/c), учитывающий различные виды массопереноса (мо лекулярного, капиллярного, осмотического, турбулентного).
Закон сохранения массы (фундаментальный естественный инвариант) в двухслойной системе “рапа-лечебная грязь” приводит к следующей системе диф ференциальных уравнений:
cР = DP cP ;
(2) cГ = DГ cГ, (3) где индекс “р” означает, что параметры и переменные относятся к слою рапы, а индекс “г” – к слою лечебной грязи;
– время;
– оператор Лапласа. Совместное решение (2) и (3) позволяет определить концентрацию веществ в любой точке ме сторождения в любой момент времени.
Отмечено, что, несмотря на многообразие исследований, проводимых в ГосНИИ курортологии (г. Пятигорск), Объединении “Кавказские минеральные курортные ресурсы” (г. Ессентуки), Центральном НИИ курортологии (г. Москва), в Ростовском государственном университете, в Новочеркасской государственной мелиоративной академии, нашедших отражение в работах П.А. Кашинского, О.Ю. Волковой, Д.Н. Вайсфельда, В.Б. Адилова, В.Т. Олиференко, Ф.М. Эффен диевой, В.Г. Ушакова, Е.Г. Потапова, С.Р. Данилова, Ю.А. Федорова и др., опи санный выше подход к анализу изменения минерализации нигде не применялся, а основное внимание уделялось химическим реакциям между отдельными компо нентами рапы.
В конце главы сформулирована постановка задачи исследований.
ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена построению математической модели процесса мас сопереноса в грязевом месторождении. На рисунке 1 представлено схематическое изображение грязевого месторождения, где hР – глубина (толщина) рапы;
hГ – тол щина слоя лечебной грязи;
hМ – общая глубина месторождения, hМ = hР + hГ.
Рисунок 1. Схематическое изображение грязевого месторождения.
Диффузией (массопереносом), если не оговорено особо, будем считать процесс самопроизвольного распространения вещества в направлении убывания его концентрации, обусловленный тепловым движением молекул. О наличии диффузии в грязевом месторождении свидетельствует тот факт, что минерализа ция лечебной грязи больше минерализации рапы, а минерализация на поверхно сти водоема меньше, чем в его нижних слоях.
Исходная модель массопереноса использует следующие допущения: от сутствие движение жидкой фазы грязи (грязевого раствора), конвективного дви жения в рапе, электрического градиента, влияющего на подвижность отдельных ионов;
многокомпонентная рапа заменяется бинарным раствором соли, имеющей наименьший (в сравнении с другими солями рапы) коэффициент диффузии. Ко эффициент диффузии соли в лечебной грязи пропорционален плотности грязи и определяется из выражения DГ = ()DР, где – плотность грязи. В работе ис пользовано значение () = 0,521, соответствующее тамбуканской лечебной грязи с плотностью = 1,4 г/см3.
Тогда уравнение диффузии исследуемого вещества в грязевом месторож дении выглядит следующим образом c c 2c 2c = D(x) + D(x) 2 + D(x) 2, (4) x x y z где коэффициент диффузии есть функция DР, 0 x hР, D(x) = (5) DГ, hР x hМ.
Начальное условие для (4) задается одномерной (что тоже относится к ис пользуемым допущениям) функцией cН1, 0 x hР, c(x, y, z, 0) = µ(x) = (6) cН2, hР x hМ.
значения которой могут быть получены прямым экспериментом.
Все использованные для (4) граничные условия относятся к условиям пер вого или второго рода. На поверхности водоема в качестве постоянно действую щего условия принято c(0, y, z, ) = () = с0, (7) называемое “условием опреснения”, т.к. значение с0 в любой момент времени меньше концентрации вещества на любой другой глубине.
Ввиду того, что на нижней границе грязевого месторождения точно уста новить вид граничных условий невозможно, были исследованы два варианта – условие первого рода (8), построенное из условия сопряжения с начальным усло вием, что, в свою очередь, налагает ограничения на выбор величины hМ;
и одно родное граничное условие второго рода (9) – “условие непроницаемости” нижней границы:
c(hМ, y, z, ) = µ( hМ);
(8) c = n x=h М. (9) Кроме того, из условия непрерывности самой концентрации и потока вещества при х = hР следует, что c(hР + 0, y, z, ) – c(hР – 0, y, z, ) = 0, (10) c c D( x) = D( x) n x=h Р +0 n x = h Р Особое место в построении модели играет процедура приведения ее к без размерному виду – нормализация. Переход к безразмерным переменным позволяет использовать одномерную (зависящую только от одной пространственной пере менной) функцию с ( x ), а также существенно расширяет область применимости полученных решений. В результате процедуры нормализации вместо уравнения (4) получено уравнение c c = D( x ) Fo x x, (11) гдес = (с – сMIN) / (cMAX – cMIN) – относительная концентрация;
x = x/hМ;
Fo = DР/ hM2 – число Фурье (“безразмерное” время);
D = D / DР – безразмерный коэффици ент диффузии;
cMIN = min ();
cMAX = max µ(x). Аналогичным преобразованиям бы ли подвергнуты и краевые условия (6) – (10). При принятых допущениях “условие опреснения” поверхности водоема (7) преобразуется к однородному граничному условию первого рода. В дальнейшем, для упрощения обозначений, символы “– ” над безразмерными переменными опускаем.
Решение полученного линейного однородного параболического уравнения (11) выполнялось при помощи численного метода, основанного на приведении исходной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений, которые получаются при аппроксимации операторов дифференцирования их разностными аналогами. Для этого:
– определяется общее время наблюдения Fomax;
– отрезок [0;
1] оси Ox делится на N равных частей с шагом x. Полученные при этом точки образуют сетку x. Аналогично строится сетка Fo – делением от резка [0;
Fomax] оси OFo на M равных частей с шагом Fo;
– сетки x и Fo объединяются в двумерную сетку xFo, на которой с ис пользованием интегроинтерполяционного метода строится однородная консерва тивная разностная схема вида D i +1c x,+1 D i c x +i c ij +1 c ij D i +1c x,i D i c x,i j j j j = + ( 1) i, Fo x x, (12) i = 1…(N–1), j = 1… M, 0 1.
Здесь c ij = с(xi, Foj);
Di = 0,5(D(xi–1) + D(xi));
c x,i = c – c /x;
c x,i = c – c /x.
j j j j j j i+1 i i i– Неизвестными являются c ij11, c ij +1, c ij+11. Весовой коэффициент определяет спо + + соб получения неизвестных. Он же использовался для управления такими свойст вами получаемого решения, как устойчивость, сходимость, точность. Для практи ческих расчетов применялись схемы, обладающие безусловной устойчивостью:
чисто неявная схема ( = 1) и симметричная схема ( = 0,5). Погрешность аппрок симации уравнения (11) схемой (12) есть O(Fom + x2), где m = 1, если 0,5, и m = 2, если = 0,5. После присоединения к системе (12) аналогичным образом преобразованных граничных условий, была получена система линейных уравне ний, которая решалась методом прогонки.
Анализ решения показал, прежде всего, безразличие системы к виду гра ничных условий [(8) или (9)] на нижней границе месторождения (x = hМ) – отно сительная разность между двумя видами результата не превышает 0,1%. Поэтому в дальнейшем при x = hМ применялось условие (8). Тогда для решаемого уравне ния (в любом его виде) справедливо свойство, называемое “принципом максиму ма”, что сразу дает первый результат – минерализация рапы и лечебной грязи в грязевом месторождении не может возрастать.
Особенность краевых условий, выраженная в равномерном распределении вещества по слоям рапы и лечебной грязи в начальный момент времени при об щем градиенте концентрации, направленном вертикально вниз, приводит к тому, что в течение некоторого времени после начала процесса диффузии в рапе суще ствует область, в которой концентрация вещества остается постоянной. Далее та кая область будет называться “безградиентной зоной” – БГ зоной. БГ зона опре делялась по результатам решения системы (12), причем анализировалась не про изводная функции с j(xi), i = 0…NP –1, где NP – последняя точка сетки x, относя x j щаяся к рапе, а выражение |1– cos ij |, где cos =, – заранее j j i x + c – c i+1 i заданная погрешность вычислений, лежащая в интервале [0,0001;
0,001].
Динамика БГ зоны показана на рисунке 2. Кроме сохранения постоянной концентрации в БГ зоне, ее наличие характеризуется повышением концентрации вещества в области, лежащей ниже нижней границы БГ зоны. Информация о на личии БГ зоны в рапе особенно важна при планировании экспериментов, связан ных с отбором проб. Поэтому были разработаны алгоритмы для определения ее верхней и нижней границ по результатам решения системы (12), произведена ап проксимация этих границ прямыми линиями (xB = a0В + a1ВFo и xН = a0Н + a1НFo), а при совместном рассмотрении этих прямых получены формулы для определе ния момента времени и глубины, на которой исчезнет БГ зона.
Рисунок 2. Динамика БГ зоны в рапе грязевого месторождения.
xБГ (hР, сН1) = (–0,0095+ 0,004· сН1) + (13) + (0,5+ 0,093· сН1) · hР + (–0,029+ 0,022· сН1) · hР, FoБГ (hР, сН1) = (–0,000202+ 0,000611· сН1– 0,000349· сН1 2) + (14) + (–0,002 – 0,00137· сН 1+ 0,000509· сН1 ) · hР + + (0,0146– 0,00548· сН1 + 0,00631· сН1 2) · hР 2.
Выражение (13) есть зависимость глубины исчезновения БГ зоны от толщины слоя рапы (hР) и начальной относительной концентрации вещества в нем (сН1).
Выражение (14) определяет аналогичную зависимость для времени. Фигурирую щие в формулах переменные и сами функции – безразмерны. Исследования пока зали, что все остальные параметры модели не оказывают сколь-нибудь заметного влияния на xБГ и FoБГ.
Еще одно исследование поведения модели касалось вида решения при бес конечном увеличении времени (Fo 0,05) – наличие “регулярного режима”, суще ствование которого следует из обобщенной теоремы Кондратьева для составных систем и общей теории параболических уравнений. Так как нет аналитических методов для определения параметров регулярного режима в задачах вида (4) – (10), то был разработан алгоритм их получения по результатам решения системы (12) при весовом коэффициенте = 0,5 – именно в этом случае применяемая ап проксимация обладает условной асимптотической устойчивостью. Анализируя выполнения условия (lg c ij ) = const, j = 0, 1, …, M–2;
1 i N–1, где c ij = c ij +1 – c ij, (lg c ij ) = lg c ij +1 – lg c ij, для каждого слоя – рапы и ле чебной грязи – получены параметры выражения c(x, Fo) = сПР + A(x)e – mFo, где сПР – предельное значение относительной концентрации вещества, m 0 – темп уменьшения концентрации. Так как система состоит из двух слоев, то сПР и m представляются в виде функций от x, причем m остается постоянным в преде лах одного слоя с относительной погрешностью, не превышающей 7,5 %. Хотя время начала регулярного режима очень велико (Fo = 0,05 – это больше 50 лет), полученные зависимости хорошо согласуются теоретическими выкладками, при веденными в литературе, что доказывает правильность примененных методов.
Одним из допущений, использованных в работе, было заключение о том, что единственным видом движения, переносящим рапу в вертикальном направле нии, является ее турбулентное движение, образуемое как сумма горизонтального ветрового течения и волн на поверхности озера. В этом случае в рапе необходимо учитывать турбулентную диффузию с коэффициентом DТ. Считая, что турбулент ный перенос охватывает всю область рапы и DТ = 10–3 м2/c, получены результаты для различных видов граничных условий на поверхности рапы: при условии опрес нения и условии непроницаемости. Любое из этих условий приводит к тому, что за сравнительно небольшой промежуток времени (от одного года до двух) система переходит в стационарное состояние, характеризующееся равномерным распреде лением вещества в слое рапы. При этом концентрация вещества в рапе либо равна концентрации на ее поверхности, либо примерно на 3% больше своего начального значения. Ранее выявленная пространственно-временная область рапы, названная БГ зоной, все равно сохраняется, что приводит к кратковременному повышению концентрации вещества в рапе ниже нижней границы БГ зоны. Для практических исследований, период которых не превышает трех лет, можно считать, что концен трация вещества в лечебной грязи не зависит ни от наличия турбулентной диффу зии в рапе, ни от вида граничных условий при x = 0. Проведено исследование по строенной модели при периодически действующей турбулентной диффузии – через 1-3 месяца в течение 3-7 дней. Главная особенность полученного результата – по стоянное наличие в рапе области, аналогичной БГ зоне.
Дальнейшее усложнение модели массопереноса связано с более подроб ным изучением коэффициента диффузии вещества в лечебной грязи. Например, при загрузке лечебной грязи в хранилище наблюдается временное ее уплотнение, что нашло отражение в замене постоянного DГ функцией 1 1,01bFo, где параметры a и b подбирались в DГ(x, Fo) = a 2 + ( x a) процессе проведения численных экспериментов. Расчеты показали, что этот про цесс (уплотнение) не оказывает заметного влияния на распределение вещества в лечебной грязи.
Исследования модели, в которой слой грязи несколькими слоями донных отложений с различными физико-химическими характеристиками [т.е. коэффи циент диффузии DГ представлен функцией DГ(x)], показали, что такое уточнение вносит незначительные – порядка 0,8% – отличия в результаты расчетов (по срав нению с “однослойной моделью”).
В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ рассмотрена модель массопереноса в грязевом месторожде нии при изменяющемся во времени уровне рапы. Для удобства представления ось Ox (см. рисунок 1) развернута вертикально вверх, а ее начало лежит на нижней границе месторождения. Вводится новая произвольная функция (), описывающая закон изменения уровня рапы (или общей глубины месторождения, если () по ложить равным () + hГ ). С учетом замены направления Ox уравнение (4), коэф фициент диффузии (5), граничное условие при x = 0 (8-9) (теперь это нижняя гра ница месторождения), условие сопряжения слоев (10) рапы и лечебной грязи, ос таются теми же самыми. Граничное условие на поверхности водоема задается кон центрацией вещества в точке ((), ) и может быть либо условием непроницаемо сти, либо условием опреснения. Исходное уравнение (4) сначала приводится к уравнению с постоянным коэффициентом диффузии, для чего применяется диффе ренциальное подобие вида DГ х DР,0xh Г, x = (15) DР DГh + (() – h ), h x ().
Г Г Г деформирующее слой лечебной грязи таким образом, чтобы DГ = DР. Затем, при менив подстановкуx = x/() и вводя относительную концентрациюс = (с - сMIN) / (cMAX – cMIN), получено уравнение c 2 c c = D( ) 2 + v( x, ) x, x (16) в котором символы “ – ” над переменными для удобства опущены;
D() = DР / ();
v(x, ) = x () / (). Область определения переменной x в уравнении (16) при надлежит отрезку [0;
1]. Для решения этого уравнения была построена безуслов но устойчивая разностная схема, обеспечивающая погрешность аппроксимации O(x2 + ), и приводящая к системе уравнений j+1 j+1 j+ Aic – Bi c + Ci c = – Fi, i =,…,N–1, (16а) i-1 i i+ D D ( i bi x) ;
Ci = ( i + bi+ x) ;
Bi = 1/ + Ai + Ci;
Fi = c ij / ;
где Ai = x x 2 D = D(j+1/2)– коэффициент диффузии в момент времени j+1/2 = j + / 2;
вели чины i, bi± также вычисляются для этого момента времени по правилам:
i = (1 + 0,5x|v(xi, j+1/2)| / D(j+1/2) )–1;
bi± = r±i / D(j+1/2);
r+i = 0,5(v(xi, j+1/2) + + |v(xi, j+1/2)|);
r–i = 0,5(v(xi, j+1/2) – | v(xi, j+1/2)|);
c ij – значение концентрации ве щества в точке xi в момент j;
x и – шаг по пространственной переменной и по времени соответственно.
Так как (16) не является полностью безразмерным уравнением, в качестве DР использовался коэффициент диффузии сульфата магния в бинарном водном растворе. Для сравнения результатов, полученных при различных модификациях модели, использовалась средняя концентрация вещества в момент времени j, рассчитанная по формуле xb c(x, j)dx xa cСР(j) = (17) xb–xa отдельно для слоя рапы и слоя грязи.
Главный вывод – рассчитанное по формуле (17) среднее значение концен трации одного вещества в рапе при условии опреснения поверхности водоема с точностью до постоянного множителя достаточно хорошо совпадает с имеющи мися результатами наблюдений за минерализацией рапы. Если такой множитель равен 0,01 л/г, начальная безразмерная концентрация вещества в рапе 0,62, то в 64% случаев относительное отклонение расчетных и фактических данных не пре вышает 6%, а для 83% случаев это отклонение не превышает 12% (рисунок 3).
Адекватность предложенной модели подтверждается и согласованием расчетных данных с результатами экспериментальных исследований, выполненных на Там буканском месторождении ГосНИИ курортологии (г. Пятигорск), ОАО “Кавмин курортресурсы” (г. Ессентуки), Комитетом природных ресурсов Ставропольского края (г. Ставрополь).
При модификации граничного условия первого рода на поверхности рапы (если сделать его непостоянным) совпадение расчетных и фактических данных будет еще больше – 83 % и 96 % соответственно. К сожалению, в настоящее вре мя наблюдений минерализации на поверхности водоема не проводится, поэтому результат имеет теоретический характер.
Рисунок 3. Сравнение расчетной относительной концентрации (линия 2) и фактической без размерной минерализации (линия 1) Тем не менее, при наличии таких данных становится реальной возмож ность прогнозирования минерализации на сколь угодно длительный период – для этого необходим некоторый начальный набор экспериментальных значений, по которым будет настроена модель – выбрана начальная концентрация сН1, а затем, используя предполагаемые значения глубины рапы и концентрации вещества на ее поверхности, получаются прогнозируемые значения минерализации.
По результатам анализа различных вариантов решения предложен сле дующий практический способ прогнозирования минерализации рапы: за единицу измерения времени берется 5 лет;
глубина грязи hГ = 400 см;
коэффициент диффу зии в рапе DР = 10,259 см2/5лет;
коэффициент диффузии в грязи DГ = DР0,521;
на чальный момент времени соответствует январю 1982 г;
начальная относительная концентрация с0 = 0,62. Решается система уравнений (16а) для заданного момента времени, отстоящего от начального на целое число месяцев. В работе приведен алгоритм для среды Microsoft Excel, реализующий предложенный расчет. Расчет предусматривает ввод начальных данных в единицах измерения и терминах, по нятных пользователю, а результат выдает в наглядной графической форме. Про цедура может выполняться для получения значений средней минерализации в во доеме, а также на определенной глубине или на определенную дату. Графики, приведенные на рисунке 3, получены при помощи этого расчета.
Основные выводы, полученные по результатам исследования модели мас сопереноса и сопоставления этих результатов с фактическими данными:
– на поверхности рапы постоянно действует граничное условие первого рода;
– турбулентная диффузия (ветровое перемешивание) не может существовать во всей толще рапы и, следовательно, не может приводить к уничтожению концен трационной стратификации в рапе;
– нелинейный характер массопереноса приводит к тому, что кроме отрицатель ной связи между уровнем рапы и ее минерализацией (повышение уровня ведет к уменьшению минерализации), существует и положительная обратная связь, когда одновременно понижаются и уровень водоема и его минерализация.
Что касается БГ зоны, то она существует и в этой модели, но ее математи ческое описание существенно сложнее. Поэтому для определения границ БГ зоны предлагается использовать ранее разработанные алгоритмы.
В заключение отметим, что минерализация лечебной грязи убывает безот носительно того, как колеблется уровень рапы. И если за пять лет эта убыль не значительна (примерно 1% от начального значения), то для более продолжитель ных периодов, используемых при оценке общих запасов пелоидов, этот фактор следует принимать во внимание.
В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ описаны процедуры отбора проб рапы, полученные на основе результатов главы 2 и учитывающие цель эксперимента. Так, при изуче нии стратификации рапы необходимы предварительные расчеты, выявляющие БГ зону. Использованные в (12) разностные аппроксимации операторов дифферен цирования дают возможность сделать заключение о направлении изменения ми нерализации, или оценить реальный коэффициент диффузии исследуемого веще ства в лечебной грязи, и даже сделать простейший прогноз значения концентра ции вещества в одной точке.
В ПЯТОЙ ГЛАВЕ проводится исследование грязевого месторождения (на при мере Табуканского озера) как объекта управления. Из результатов, описанных в предыдущих главах работы, следует вывод – минерализация рапы зависит от уровня озера. Однако именно минерализация есть ключевой фактор, который де лает озеро ценным природным объектом: ее увеличение, например, до уровня выше 270 г/л приводит не только к выпадению осадков солей (сульфата натрия), но и к природной стерилизации водоема. В тоже время обратный процесс – оп реснение – также губителен для пелоида, так как вызывает развитие пресноводно го циноза, в результате которого не только прекращается образование новых гря зей, но изменяются (ухудшаются) лечебные свойства уже имеющейся залежи. Из ложенные выше соображения приводили к тому, что на протяжении всего време ни использования разных грязевых озер постоянно предпринимаются попытки управления уровнем рапы – причем не всегда успешные. Имеется ряд примеров (Сакское озеро, Ханское и др.), когда непродуманное вмешательство привело к безвозвратной утрате ценных месторождений. Средства “управления” уровнем небольших озер хорошо известны: переброс воды по искусственному каналу из соседнего водоема (озера);
бурение специальных питающих скважин;
разворачи вание временных гидротехнический сооружений, выполненных из современных тканевых материалов;
дополнительное залесение водосбора. Относительная дос тупность перечисленных мер, без достаточного обоснования последствий их при менения, зачастую дают результат, обратный ожидаемому.
В настоящее время существует целый ряд работ, посвященных вопросам динамики и устойчивости состояний водных объектов – Каспийского, Азовского, Черного, Аральского морей, Мирового океана. Но размеры этих объектов (и про исходящих в них процессов) на несколько порядков превышают те, что имеют место для относительно небольших (общая площадь водосбора, включая само озеро, до 2000 га, глубины – не превышают 10 м) озер. В работе ставилась задача – установить основные закономерности, действующие в нелинейной динамиче ской системе, которой, безусловно, является грязевое месторождение, с целью дальнейшего использования их (закономерностей) для управления подобными системами.
Использовалось следующее уравнение водного баланса:
dH q = S(H) – E(H), (18) d где H – уровень водоема, – время, q – средняя величина осадков (и стоков), пи тающих озеро, S – площадь акватории, E – слой испарения. H является управляе мой величиной, q – управляющий параметр.
Исследование основного уравнения (18) предварялось следующими ре зультатами.
По данным многолетних наблюдений на Тамбуканском озере был постро ен фазовый портрет (ось Oх – наблюдения, ось Oy – приращения) уровня водоема.
Рисунок 4. Фазовый портрет для изменения уровня рапы по результатам ежемесячных на блюдений.
Согласно рисунку 4 делается предположение о наличии в озере нескольких ста ционарных состояний (странных аттракторов), возле которых происходят колеба ния уровня.
Также по результатам наблюдений проведена аппроксимация зависимости S(H). Аналитически она представляется следующей формулой (где H – обозначе ние безразмерной переменной, совпадающей по величине с глубиной водоема):
S(H) = 3,908325110-4H9 – 0,009087H8 + 0,0892225H7 – – 0,4825365H6+1,5732083H5 – 3,1772979H4 + 3,9046379H3 – – 2,6991668H2 + 1,0167495H+1, Приведенная формула использовалась для определения площади водоема при значениях уровня, не совпадающих с результатами наблюдений.
Для получения принципиальных выводов о динамике уровня относительно q из (18) сделаны следующие допущения: отдельно не выделяются поверхност ный сток, осадки, не учитывается влияние эвапотранспирации на площади водо сбора, так как интерес представляет не абсолютное значение управляющего пара метра, а поведение системы при его (параметра) возмущениях.
Более важным представляется анализ поведение слоя испарения [E в урав нении (18)]. Для исследования функции E(H) были использованы следующие за висимости:
– уравнение Н.Н. Иванова:
E = 0,0018(25 + T)2(100 – r), (19) где E – испаряемость (мм), T – средняя температура воздуха (°C), r – средняя от носительная влажность воздуха за месяц (%). Хотя, в общем случае, величина ис паряемости не совпадает со слоем испарения, для водных поверхностей такое различие минимально. С учетом того, что относительная влажность представляет собой отношение упругости водяного пара к упругости насыщения, для опреде ления последней используется – уравнение Клаузиуса-Клапейрона:
L1 =(TC) exp T – T, (20) R n C где L=2495 кДж/кг – удельная теплота парообразования, Rn=0,461 кДж/(кгК) – газовая постоянная водяного пара, TC – некоторая фиксированная (средняя за пе риод наблюдения) температура, (TC) – упругость насыщения при температуре TC. Важной особенностью (19) является наличие функции T, которую для целей работы представляли в виде T = T(H).
Совместное применение (19) и (20) позволило получить зависимость E(H), после того, как была определена функция T = T(H). Данная функция найдена по следующей схеме: построена модель тепловых процессов в водоеме, и на ее осно вании – получена зависимость тепловых колебаний рапы от ее уровня.
Температурное поле водоема моделируется при помощи уравнения, опи сывающего задачу Стефана (учитывает особенность небольших озер, когда при температурах меньше 0 может покрыться льдом вся их поверхность):
T T T ((T, x) – R(T– Tл)) = x k(T,x) x + Q0(), (21) где T – температура;
x – пространственная координата, ось которой направлена вертикально вверх, а 0 лежит на нижней границе системы;
(T, x) – коэффициент теплоемкости, имеющий разрывы 1-го рода на границе рапа-грязь (при x = hГ и выражается зависимостью от x) и на границе жидкость-лед (выражается зависи мостью от T);
k(T, x) – коэффициент теплопроводности, с разрывами, аналогич ными (T, x);
R – удельная теплота фазового перехода жидкость-лед;
(T–Tл) – дельта-функция;
Tл – температура фазового перехода;
Q0() – среднее значение лучистой энергии, падающей на поверхность водоема.
Уравнение (21) дополняется граничными условиям:
T/x = 0 при х = 0, (22) – k T/x = (T – TА()) при x = hГ + H, (23) где hГ – толщина слоя грязи;
H – глубина водоема;
k – коэффициент теплопровод ности рапы;
– коэффициент теплообмена водоема с атмосферой;
TА() – темпе ратура воздуха (атмосферы). В результате получается теплоизолированную ниж нюю границу (22) и теплообмен по закону (23) на поверхности.
Рисунок 5. Функция E(H) – линия 1, функция q/S(H) – линия 2.
Решение задачи (21) – (23) находилось численными методами, в предпо ложении, что TА() = TСР + Аsin П, (24) где TСР – средняя температура воздуха;
А – амплитуда колебаний температуры;
П – исследуемый период колебаний, принимался равным 12 месяцев.
Условия (23), (24) приводились к колебаниям температуры рапы, которые не только отставали по фазе от (24), но имели меньшую амплитуду, зависящую, в свою очередь, от глубины водоема H.
Подставляя значения T(hГ + H, ) последовательно в (20) и (19), получили функцию E(H), график которой представлен на рисунке 5.
Далее переходим непосредственно к исследованию уравнения (18) – необ ходимо найти стационарные точки процесса и определить их устойчивость. Ме тод нахождения стационарных точек иллюстрируется рисунком 5 – они (точки) определяются пересечением кривых E(H) и q/S(H). На рисунке 5 – это P1, P2, P3, P4.
Для определения устойчивости воспользовались следующим рассуждени ем. Так как в уравнении (18) q/S(H) задает поступление воды в озеро, а E(H) – расход, то, очевидно, что устойчивый уровень водоема будет определяться усло вием d q d E(H) dHS(H) dH (25) Проверяем выполнение (25) в стационарных точках и получаем заключение об их устойчивости.
Так как в (18) имеется управляющий параметр q – количество воды, посту пающей в озеро (параметр, которым действительно можно управлять), необходи мо решить вопрос о поведении стационарных точек в зависимости от значения q.
Результат представлен на рисунке 6.
Рисунок 6. Зависимость стационарных точек от управляющего параметра.
На рисунке 6 имеем две точки бифуркации – B1, B2 – в которых существенным образом меняется поведение стационарных решений. Принципиально важным яв ляется наличие в области [B1;
B2] устойчивой стационарной точки при уровне водоема от 4 до 6 м – это именно те значения глубины, около которых в настоя щий момент произошла стабилизация уровня Тамбуканского озера. Стационар ные решения при глубине меньше 2м практического значения не имеют, так как в этих случаях происходит существенное увеличение минерализации, приводящее даже к стерилизации водоема. Тем не менее, в истории наблюдений за озером (уровень которого опускался и ниже отметки 1м) отмечен период стабилизации уровня рапы на отметке 1-1.6 м, когда и было принято решение о начале меро приятий по его (озера) искусственному обводнению, что в результате привело к нынешнему состоянию.
Наличие (в общем случае) двух устойчивых состояний, одно из которых (глубина H1) существует при любых значениях параметра q и не очень благопри ятно для биоценоза грязевого месторождения, приводит к необходимости решать следующую задачу управления – как следует изменить параметр q (каким должен быть дополнительный приток воды), чтобы перевести систему во второе устойчи вое состояние (глубина H2). Воспользовавшись уравнением (18), получим H S(H) = dH, (26) q+q–E(H)S(H) H или, если учесть, что уровни H1 и Н2 разделены стационарным неустойчивым со стоянием H*:
H2 – H q = S(H*), (27) где – время перехода;
q – изменение управляющего параметра (поступления воды), собственно переводящее систему из одного устойчивого состояния в дру гое за время.
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.
1. Впервые разработаны математические модели процесса массообмена в грязевом месторождении с постоянным и переменным уровнем рапы, которые по зволяют использовать аналитические методы оценки состояния природных экоси стем.
2. Исследованы и обоснованы границы (области) применимости разных видов моделей – в зависимости от задач, которые предполагается решить с их по мощью.
3. Установлено наличие в рапе пространственно-временной области, назы ваемой безградиентной (БГ) зоной, ниже которой может наблюдаться кратковре менное увеличение концентрации исследуемых веществ, а внутри минерализация остается постоянной. Предложены алгоритмы для выявления такой зоны.
4. Предложены способы отбора проб рапы, которые позволяют, во первых, иметь более объективные данные о текущем состоянии водоема, во вторых, получить краткосрочный прогноз изменения минерализации.
5. Установлено, что наличие турбулентной диффузии в рапе не может рассмат риваться в качестве фактора, уничтожающего концентрационную стратификацию.
6. Обнаружено, что в условиях, когда минерализация на поверхности во доема меньше, чем во всем грязевом месторождении:
– минерализация лечебной грязи убывает и практически не зависит от про цессов, происходящих в рапе;
– возможно существование положительной связи между уровнем рапы и ее минерализацией.
7. Обоснованно наличие состояний равновесия уровня рапы, что не толь ко позволяет прогнозировать ее (рапы) уровень, но и обоснованно управлять по верхностным стоком в целях обеспечения его (уровня) требуемых значений.
8. На основе системного анализа исследуемых процессов разработаны:
– методика расчета зон массообмена на месторождении лечебной грязи;
– методика контроля и прогнозирования величины минерализации различ ных компонентов грязевого месторождения;
методика отбора проб рапы на месторождении лечебной грязи;
– 9. Разработан комплекс программных средств для исследования и прогно зирования изменения основных количественных и качественных характеристик массообмена в рассматриваемом объекте – грязевом месторождении;
Публикации по теме диссертационной работы 1. Рощина Т.К. Тепло-массообменные явления в соленых водоемах грязевых ме сторождений / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Научная мысль Кавказа. – 1999. – №1.– С. 50.
2. Рощина Т.К. Математическая модель тепло-массообменных явлений в соленых водоемах/ Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Математические методы в технике и техноло гиях – ММТТ 12: сб. тр. Междунар. науч. конф. / Новгор. гос. ун-т. – Новгород, 1999.
– Т.2. – С. 101-103.
3. Рощина Т.К. Влияние опреснения Тамбуканского озера на минерализацию лечеб ной грязи/ Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Актуальные вопросы курортной науки в Рос сии: материалы науч.-практ. конф., посвящ. 80-летию ГНИИК. – Пятигорск, 1999. – С. 52-53.
4. Рощина Т.К. Технология и аппараты для проведения грязевых процедур во вне курортных условиях / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков, Р.Е. Муравлева // 30 лет Северо Кавказскому научному центру высшей школы: IV Объедин. науч. сессия: материалы сессии / Сев.-Кавк. науч. центр ВШ. – Ростов н/Д, 1999. – С.7-8.
5. Рощина Т.К. Влияние опреснения проточного водоема грязевого месторождения на минерализацию пелоида / Т.К. Рощина // Актуальные вопросы курортной науки в России: материалы юбил. науч.-практ. конф. – Пятигорск, 2000. – Ч.1. – С. 49-51.
6. Рощина Т.К. Основные принципы организации грязелечения по месту прожива ния больных во вне курортных условиях / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков, Р.Е. Муравле ва // Актуальные вопросы курортной науки в России: материалы юбил. науч.-практ.
конф. – Пятигорск, 2000. – Ч.1. – С. 58-59.
7. Рощина Т.К. Массообменные явления в соленых водоемах грязевых месторожде ний / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Разработка научных основ и способов ресурсосбе регающей и экологически чистой технологии добычи полезных ископаемых: мате риалы ХХХХVI науч.-техн. конф. ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск, 1999. – С. 33-36.
8. Рощина Т.К. Оценка конвективной составляющей при диффузионном переносе вещества / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Разработка научных основ и способов ресур сосберегающей и экологически чистой технологии добычи полезных ископаемых: ма териалы ХХХХIХ науч.-техн. конф. ЮРГТУ (НПИ). – Новочеркасск: Изд-во НОК, 2000. – С. 91-92.
9. Рощина Т.К. К определению границ зоны концентрационной стратификации в рапе грязевого водоема / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-2000: сб. тр. 13 Междунар. науч. конф. /Санкт Петербург. гос. технол. ин-т (ун-т). – СПб., 2000. – Т.3. – С. 59-60.
10. Рощина Т.К. О регулярном режиме молекулярной диффузии при опреснении во доема грязевого месторождения / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Математические ме тоды в технике и технологиях – ММТТ-2000: сб. тр. 13 Междунар. науч. конф.
/Санкт-Петербург. гос. технол. ин-т (ун-т). – СПб., 2000. – Т.3. – С. 64-65.
11. Рощина Т.К. Теория мониторинга грязевого месторождения и приборы для его осуществления / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Теория, методы и средства контроля и диагностики: материалы Междунар. науч. конф.: в 10-ти ч. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2000. – Ч.6. – С. 25-26.
12. Рощина Т.К. Управление исследованием нестационарного концентрационного поля грязевого месторождения / Т.К.Рощина // Тез. докл. регион. науч.- техн. конф.
"Управление в технических, социально-экономических и медико-биологических системах" // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.– 2000.– № 4. – С. 126.
13. Рощина Т.К. Основные закономерности массообменных явлений на месторож дении лечебной грязи / Т.К. Рощина // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. – 2001. – № 4. – С. 108-109.
14. Рощина Т.К. Моделирование и численные методы решения сопряженных задач нестационарного массообмена / Т.К. Рощина, В.Г. Ушаков // Теплофизические из мерения в начале ХХI века: IV Междунар. теплофизическая школа. - Тамбов:
ТГТУ, 2001. – Ч.1. – С. 48-50.
15. Рощина Т.К. Методы решения эволюционных задач массообмена / Т.К. Рощина // Теплофизические измерения в начале ХХI века: IV Междунар. теплофизическая школа. – Тамбов: ТГТУ, 2001. – Ч.1.– С. 122-123.
16. Рощина Т.К. Математическое описание нестационарного концентрационного поля грязевого месторождения / Т.К. Рощина // Математические методы в технике и технологиях ММТТ–15: сб. тр. XV Междунар. науч. конф.: в 10-ти т. – Тамбов: Изд во Тамбов. гос. техн. ун-та, 2002. – Т.2. – С. 137-139.
17. Рощина Т.К. Использование математической модели для управления концентра цией вещества в грязевом месторождении / Т.К. Рощина // Математические методы в технике и технологиях: ММТТ – Дон 2003: сб. тр. Междунар. науч. конф. – Ростов н/Д, 2003. – Т.2. – С. 132-133.
18. Рощина Т.К. Математическое моделирование процесса массопереноса в слоях грязевого месторождения / Т.К. Рощина, Ю.Я. Герасименко // Автоматизацiя технологiчних обєктiв та процесiв. Пошук молодих: VI Мiждунар. наук.-техн.
конф. – Донецк, 2006. – С. 18-20.
19. Рощина Т.К. Математическое моделирование пространственно-временного рас пределения концентрации вещества в грязевом месторождении/ Т.К. Рощина, Ю.Я.
Герасименко // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. – 2006. – № 5. – С. 35-39.
20. Рощина Т.К. Математическое моделирование процесса массопереноса в грязе вом месторождении в стационарном режиме / Т.К. Рощина, Ю.Я. Герасименко // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. – 2006. – № 6. – С. 19-22.
РОЩИНА Татьяна Константиновна СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ МИНЕРАЛИЗАЦИИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ЛЕЧЕБНЫХ ГРЯЗЕЙ Подписано в печать 26.09.2009 г.
Формат 60х90 1/16. Уч. печ. л. 1,39. Тираж 50 экз. Заказ № 325.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ) Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ (НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132, тел. 255-