Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой
На правах рукописи
Челноков Федор Борисович Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва – 2005
Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор Петров Игорь Борисович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Кондауров Владимир Игнатьевич, кандидат физико-математических наук Антоненко Максим Николаевич
Ведущая организация:
Институт математического моделирования РАН
Защита состоится « » 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета K 212.156.02 при Московском физи ко-техническом институте (государственном университете) по адресу:
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.
Автореферат разослан « » 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук Федько О. С.
Общая характеристика работы
Актуальность темы Работа посвящена математическому моделированию, созданию чис ленных методик и разработке комплекса программ для проведения вы числительных экспериментов в таком важном разделе механики дефор мируемого твердого тела, как волновые динамические процессы в кон струкциях со сложной структурой. Под этим понимается как сложная форма моделируемого тела, так и наличие в теле множества слоев, пу стых или заполненных полостей, произвольно расположенных и ориенти рованных трещин, учет которых важен для адекватного описания распро странения волн. При моделировании интенсивных импульсных нагрузок, вызванных, в частности, высокоскоростным соударением тел, изначаль но простая форма тел претерпевает существенные изменения, происхо дит развитие разрушений, формирование внутренних свободных поверх ностей, а также фрагментация тел. Важность изучения волновых про цессов объясняется потребностью в оптимизации структуры тел, которая обеспечила бы большую их надежность по отношению к динамическим нагрузкам, либо желанием получить представление о внутренней струк туре тела по отклику от известного посланного сигнала.
Для обеспечения точности результатов моделирования необходимо ис пользовать численный метод, обладающий высоким порядком аппрок симации, но в то же время не являющийся осциллирующим. Причем эти свойства должны быть выполнены как для внутренних точек те ла, так и для граничных. Для одномерных задач такие методы успешно построены, примером может служить используемый в работе сеточно характеристический метод, и в последствии были обобщены на двумер ный случай и регулярные четырехугольные сетки. Хотя даже в этом слу чае повышение эффективности методик остается актуальным.
Однако при значительном деформировании тел лагранжева сетка нуж дается в постоянной перестройке, которая для регулярных сеток ресурсо емка. Также использование регулярных сеток с неизменной структурой препятствует моделированию фрагментации тел. Строгий учет многочис ленных свободных поверхностей и контактных границ требует располо жения узлов сетки на данных поверхностях. Однако построить такую ре гулярную сетку в телах со сложной структурой крайне затруднительно.
В то время как алгоритмическая и вычислительная сложность введения нерегулярной сетки в областях замысловатой формы не многим выше, чем для квадрата. С другой стороны, для нерегулярной сетки еще недо статочно проработаны численные методы, которые были бы одновремен но просты в реализации, производительны и имели высокую точность, чтобы полностью вытеснить регулярные методы.
Моделирование взаимодействия нескольких тел требует разработки математических методов отслеживания моментов касания, допускающих такие явления как проскальзывание, трение и сопротивление разрыву и учитывающих возможность увеличения или сокращения поверхности контакта между телами. Причем желательно, чтобы отслеживание кон тактов не препятствовало независимому введению сетки в телах. Судя по изученной литературе, эти вопросы исследованы еще не в полной мере.
Цель работы Целью работы являлось математическое моделирование ряда динами ческих задач механики деформируемого твердого тела: изучение процесса внедрения высокоскоростного ударника в многослойную преграду;
выяс нение характера распространения упругих волн в перфорированных сре дах;
определение отражения сигнала, испущенного в ходе геофизического исследования, от зоны скопления неоднородностей в массивной породе.
Для достижения этой цели было необходимо создать комплекс про блемно-ориентированных программ, реализующих как апробированные численные методы, так и новые эффективные методы моделирования, адаптированные для решения двумерных динамических задач с участием нескольких интенсивно взаимодействующих тел сложной структуры.
Научная новизна 1. Реализован комплекс программ для исследования динамических вол новых задач в неоднородных телах, в том числе, в многослойных, перфорированных, кавернозных и трещиноватых средах.
2. Проведено моделирование процесса внедрения высокоскоростного ударника в многослойную преграду. Были обнаружены вихревые структуры в поле скоростей, реалистично предсказан конусообраз ный характер разрушения тыльной поверхности преграды.
3. При моделировании распространения упругих волн в перфориро ванных средах, включая трехмерную постановку, выявлена клино образная форма движения волнового фронта.
4. Разработан математический метод моделирования пустых и запол ненных трещин на основе размещения узлов нерегулярной сетки на их поверхности и явной постановки контактных условий.
5. Аналитически определенные собственные вектора матриц коэффи циентов системы уравнений теории упругости в неортогональной системе координат использованы для существенного упрощения за писи сеточно-характеристических схем внутри и на границе тел.
6. Разработан численный метод для нерегулярных треугольных се ток, имеющий второй порядок аппроксимации точного решения, для чего были исследованы вопросы получения реконструкции непре рывного скалярного поля, являющегося полиномом внутри каждо го треугольника, по его значениям в узлах сетки. Для обеспечения монотонности численного решения изучалась такая реконструкция поля, которая может иметь экстремумы только в узлах сетки.
7. Для повышения эффективности моделирования предложен метод построения и поддержания в невырожденном состоянии лагранже вой нерегулярной треугольной сетки, обеспечивающей заданный шаг интегрирования при использовании явных схем и минимальность перестройки сетки и переинтерполяции решения при движении вер шин. Алгоритм обнаружения контакта между телами сведен к три ангуляции Делоне пространства между ними. Проведено тестирова ние предложенных методов с применением компьютера.
Практическая ценность Развитие созданного комплекса программ дает возможность исследо вательским организациям перейти от натурного эксперимента к числен ному. В первую очередь это всевозможные задачи, связанные с обеспече нием безопасности. В частности, может быть достигнут прогресс в чис ленном моделировании проблем создания защитных конструкций (много слойных прозрачных стекол, бронированных панелей) и одежды (касок, бронежилетов), способных противостоять современным средствам пора жения и при этом достаточно легких и малогабаритных. Не менее важ ным приложением разработанного метода будет являться исследование динамической стойкости жилых и промышленных сооружений, в том чис ле производств, повреждение которых может привести к катастрофиче ским последствиям. Такие исследования становятся особенно актуальны ми в условиях увеличивающейся террористической угрозы и возможности природных катаклизмов (землетрясения, падения метеоритов и т. д.) В настоящее время происходит исчерпание фонда неоткрытых или недостаточно исследованных сейсморазведкой месторождений нефти и газа в слоистых средах осадочного комплекса. Численное моделирова ние характера отраженного волнового поля, обусловленного рассеянием упругой энергии от кавернозных и трещиноватых зон в массивных по родах показало, что с ростом неравномерности распределения микроне однородностей в таких зонах, т. е. c образованием их скоплений — кла стеров — интенсивность отклика сейсмической энергии усиливается. Эти результаты доказывают возможность разработки методик и технологий, обеспечивающих выявление коллекторских зон в массивных породах.
Защищаемые положения 1. Создан универсальный комплекс программ для численного расчета ряда волновых задач механики деформируемого твердого тела.
2. Проведено моделирование удара по многослойной преграде в дву мерном приближении с использованием четырехугольных подвиж ных сеток и гибридного сеточно-характеристического метода.
3. Комплекс программ применен для исследования природы распро странения волн в трехмерных перфорированных конструкциях.
4. Реализован численный метод на нерегулярных сетках для изучения отражения сигнала от зоны неоднородностей в породе.
5. Спектральное исследование матриц коэффициентов уравнений поз волило добиться ускорения счета и упрощения программного кода.
6. Разработан явный численный метод на основе треугольных нерегу лярных сеток второго порядка точности для гладкого решения.
7. Созданы эффективные алгоритмы построения нерегулярной сетки внутри деформируемых тел и обнаружения контактов тел.
Публикации Научные результаты диссертации опубликованы в работах [1–15].
Апробация Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:
• международная конференция «Математика. Компьютер. Образова ние» (Пущино, 2005) [11];
• электронная конференция МЭИ «Топливо и энергетика» (Москва, 2004) [12];
• научные конференции МФТИ «Современные проблемы фундамен тальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2002 – 2004) [13–15].
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 8-ми глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 251 страницу. Список литературы содер жит ссылки на 75 публикаций.
Содержание работы Введение Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткий обзор численных методов и видов сеток, известных и используе мых в настоящее время в механике деформируемого твердого тела. Кроме общего введения ко всей работе каждая глава предваряется вводной ча стью к изложенному в ней материалу.
Глава 1. Численное решение уравнений теории линей ной упругости Рассматривается формулировка замкнутой системы дифференциаль ных уравнений с частными производными, описывающей состояние эле ментарного объема упругого материала:
v = · T, (1) T = ( · v)I + µ( v + v ).
Здесь и, µ — константы упругого материала: плотность и параметры Ляме соответственно. Переменными являются v — скорость движения среды в данной точке, и T — симметричный тензор напряжений Коши.
— оператор градиента, I — единичный тензор, ( · T)k = i i Tki, — оператор тензорного произведения: (a b)ij = ai bj. Две скорости звука выражаются через константы материала следующим образом:
+ 2µ µ c1 =, c2 =.
В вычислительной математике при анализе и построении разностных схем для таких систем уравнений как (1) принято приводить ее запись к канонической форме u Ai = 0, (2) u+ i i где Ai — квадратные матрицы с постоянными коэффициентами, а вектор u включает все переменные системы (3D):
T T u = {v, T} = {vx, vy, vz, txx, txy, txz, tyy, tyz, tzz }, i — векторы выбранного базиса на плоскости, не обязательно ортогональ ного или нормированного;
i i · — производные вдоль направлений, задаваемых базисными векторами. Для системы (1) показывается, что T действие Ai на произвольный вектор {v, T} имеет вид (ni · T) v Ai = li, (3) T (ni · v)I + µ(ni v + v ni ) где (l1 n1, l2 n2 ) — биортогональный базис по отношению к (1, 2 ), а век торы ni имеют единичную длину. В последующем индексы i опускаются, и для каждого вектора ni в отдельности рассматривается пара векторов (3D), образующих с ним совместно ортонормированный базис и также обозначаемых (для каждого i) n(0), n1, n2. Кроме того, вводятся симмет ричные матрицы Nij = Nji с равной пространству размерностью как Nij = (ni nj + nj ni ). (i, j = 0, 1, 2) Для каждой матрицы A существует разложение:
A =, (4) где — диагональная матрица, содержащая все собственные значения A, — матрица всех левых собственных векторов A. Далее приводит ся спектральное исследование, целью которого является аналитическое определение этого разложения.
= l diag{c1, c1, c2, c2, c2, c2, 0, 0, 0}, (5) n · (v c1 Tn) w1, w n · (v 1 Tn) w3, w4 1 c w5, w6 n2 · (v c2 Tn) v = =. (6) w7 T N12 : T w8 (N11 N22 ) : T (I 3+2µ N00 ) : T w +2µ Столбцы матрицы 1 имеют следующий вид:
1 n,1,2 =, 2 [(c1 c3 )N00 + c3 I] 1 n1 n,3,4 =,5,6 =,, (7) 2 2c2 N01 2 2c2 N 1 1 0 0,7 =,8 =,9 =,,.
2 N11 N22 2 I N 2 4N Полученное разложение используется для специализации, в частно сти, схемы Куранта – Изаксона – Риса, в одну из форм записи которой входит произведение 1 ||:
c2 v + (c1 c2 )(n · v)n v = l (T : N00 )[(c1 2c2 c3 )N00 + c3 I]+.
1 || T +c2 [(T · n) n + n (T · n)] Для граничных узлов, на которых поставлено условие вида Bun+1 = b (где B — прямоугольная матрица, b — вектор правых частей), выводится формула их двухэтапного расчета:
un+1 = uin,out B,out (Buin b). (8) Здесь uin определятся в результате первого этапа из значений в местах пе ресечения уходящих внутрь тела характеристик с предшествующим вре менным слоем;
прямоугольная матрица,out составляется из столбцов 1, соответствующих характеристикам выходящим наружу.
Приводятся в явном виде формулы корректировки граничных узлов (8) для нескольких основных типов граничных и контактных условий. На пример, если на границе с внешней единичной нормалью p задана по верхностная плотность силы воздействия со стороны внешних тел f :
Tp = f, то корректировка (8) приобретает вид 1 1 1 v n+1 = v in (z Tin p f ) (z · p)p, z+ c2 c2 c z·p Tn+1 = Tin [z p + p z] [I 2( + µ)(p p)].
+ 2µ Глава 2. Построение нерегулярной треугольной сетки Данная глава посвящена алгоритмам работы с треугольной неструк турированной сеткой. Описывается формат представления сетки в памя ти компьютера — двусвязный список ребер, обеспечивающий константное время выполнения большинства элементарных операций поиска и моди фикации сетки.
Приводится подробное изложение алгоритма, предназначенного для начального триангулирования произвольного невыпуклого многоуголь ника, возможно содержащего ряд внутренних полостей, заданных ломан ными. Триангуляция необходима для последующего построения из нее сетки, согласованной с заданными контурами. Эффективность алгорит ма достигается благодаря линейной сложности триангулирования моно тонных многоугольников, на которые можно условно разделить любую исходную фигуру. По определению, монотонным является такой много угольник, пересечение которого любой вертикальной прямой либо пусто, либо является непрерывным. Доказывается оценка трудоемкости O(n log n), где n — суммарное количество вершин во всех входных контурах.
Полученная произвольная триангуляция затем подвергается перестрой ке, не меняющей положения вершин и количество ребер и треугольников, целью которой является оптимальная триангуляция Делоне. Описывает ся критерий триангуляции Делоне и способ ее практического получения.
Предлагается новый алгоритм построения квазиравномерной треуголь ной сетки, который исходит из заданной триангуляции тела, внося в нее минимальные изменения. В качестве исходной берется сетка с предше ствующего шага по времени, вершины которой смещены на произведение скорости тела в этих точках и величины шага интегрирования. Мелкость сетки и допустимая степень ее неравномерности определяются двумя чис i ловыми параметрами алгоритма: lmin 0 и 1 соответственно.
Минимальность вносимых изменений в сетку (введение и удаление вершин) обеспечивается за счет увеличения параметра (в расчетах ис пользовалось = 1.1). Идея заключается в том, что каждое ребро в три ангуляции может иметь длину от некоторого минимального размера lmin до размера большего в 2 раз. При этом допустимые пределы на размеры объектов сетки увеличиваются за счет ее равномерности.
Отличие предлагаемого алгоритма от уже известных способов постро ения сетки заключается в ориентации на расчет эволюционных процессов, что подразумевает создание сетки близкой к равномерной. Также при рас чете по явным сеточно-характеристическим схемам оказывается важным наличие нижней границы на высоту в любом треугольнике сетки.
Шаги алгоритма поддержания заданной плотности сетки:
1. Построение триангуляции Делоне из данной изначально и поддер жание этого свойства в дальнейшем.
2. Сокращение граничных вершин до тех пор, пока имеются граничные b i ребра короче lmin = f (lmin, ).
3. Введение дополнительных вершин в центрах граничных ребер длин b b нее lmax = 2lmin.
i 4. Сокращение внутренних вершин, одно из ребер которых короче lmin.
5. Введение новых внутренних вершин в центрах описанных окружно i i стей треугольников сетки, если их радиус больше Rmax = lmin, а центр попадает внутрь тела.
Приводится обоснование корректности алгоритма. Доказывается ряд теорем касательно размеров получаемых ячеек сетки. Например, для вы соты, площади и угла любого внутреннего треугольника справедливы сле дующие точные оценки:
hi Si 42 1 1 42 1, i + i 2, 2 2 lmin (lmin ) 1 1 i 2 arcsin arcsin.
6 2 2 Исследуется трудоемкость поиска содержащего заданную точку тре i угольника в сетке, которая оказывается равной O(|d|/lmin ), где d — сме щение от начальной позиции поиска.
Определяется момент вырождения сетки при движении вершин с по стоянной скоростью, что дает ограничение на максимальный шаг при ин тегрировании дифференциальных уравнений.
Рис. 1. Слева направо: начальная триангуляция неодносвязной области, триан гуляция Делоне, квазиравномерная треугольная сетка.
Глава завершается несколькими примерами сеток, полученных в ре зультате выполнения описанных алгоритмов (рис. 1).
Глава 3. Контакт тел в динамических задачах В главе рассматриваются особенности численного моделирования в за дачах с несколькими деформируемыми телами. За время моделирования тела могут неоднократно касаться и отрываться друг от друга. Также возможен контакт между разными частями одного и того же тела.
Расчет каждого граничного узла должен изменяться в зависимости от взаимного положения тел. В первую очередь необходимо обнаружить находящиеся поблизости границы одного или разных тел. В главе иссле дуются два подхода. В одном из них используются стандартные мето ды многомерного поиска, например, kd-деревья (сбалансированные BSP деревья с фиксированным выбором разделяющих плоскостей). Другой подход, предлагаемый в данной диссертации, основывается на построении триангуляции Делоне пространства между телами (рис. 2). Отмечается ряд аспектов, в силу которых имеет смысл предпочесть именно его:
• Возможность использования одних методов, как для построения сет ки внутри тел, так и для определения контакта между ними.
• Отсутствие необходимости в полной перестройке структур поиска на каждом шагу, достаточно лишь быстрого обновления.
• Показывается, что суммарное время выполнения поиска для всех граничных узлов всех тел линейно относительно полного их числа.
Рис. 2. Удар по упругой решетчатой конструкции. Слева: взаимодействующие тела, справа: триангуляция пространства между заключенными в ограничен ный объем телами, используемая для установления контактов.
В главе исследуется вопрос, как выбрать допустимый шаг интегриро вания, чтобы за его период одно быстролетящее тело не проникло вглубь другого или не перескочило бы через него, не «заметив» факт контакта.
Рассматривается проблема определения момента отрыва границ, ко торая требует анализа не только геометрии тел, но и возникающих сил между телами.
В главе приведены два способа расчета контактных границ при отсут ствии совпадения граничных узлов. Проанализированы положительные и отрицательные стороны обоих способов.
Глава завершается несколькими примерами расчетов задач со значи тельными деформациями и важной ролью контактов между телами, де монстрирующих эффективность предложенных решений (рис. 2).
Глава 4. Интерполяция в треугольнике Использование треугольных сеток в численном методе требует способа описания решения внутри плоской области, основываясь на его значени ях в опорных точках, выбранных согласованно с заданной триангуляцией данной области. Ключевым моментом в этом описании является построе ние интерполяционных формул для отдельно взятого треугольника про извольной формы.
Для того чтобы иметь возможность однозначно определять коэффи циенты полинома степени N в треугольнике ABC проведем прямые, па раллельные его сторонам, которые делят каждую из его сторон на N ча стей (рис. 3). В результате исходный треугольник подразделяется на N меньших треугольников, равных друг другу и подобных всему треуголь нику. Количество точек внутри треугольника, в которых прямые пересе каются между собой и со сторонами треугольника равно 1 (N + 2)(N + 1), что совпадает с количеством коэффициентов у искомого полинома. Имен но эти точки пересечения выбираются в качестве опорных.
C = c= N b = b c=N- - =N bN b= c= B c= a= a= A a= a= N N Рис. 3. Равномерное распределение опорных точек в треугольнике.
Обозначим координаты вершин треугольника символами rA, rB, rC, а ссылаться на опорные точки будем при помощи rabc. Индекс состоит из трех частей, каждая из которых описывает место пересечения прямой, проходящей через опорную точку и параллельной определенной стороне, с другой стороной треугольника (рис. 3).
Введем в рассмотрение площади трех треугольников, которые форми руются сторонами исходного треугольника и отрезками, соединяющими его вершины с произвольной точкой r:
1 1 [rC rB, r rB ], SB = [rA rC, r rC ], SC = [rB rA, r rA ], SA = 2 2 где Si — площадь треугольника, не содержащего вершины i ABC. Квад ратными скобками обозначено векторное произведение, результат кото рого ортогонален плоскости и считается скаляром. Используем также от носительные площади тех же треугольников:
SA SB SC [rB rA, rC rA ], sA =, sB =, sC =, S= sA +sB +sC = 1.
S S S Значение полинома v(r) необходимо выразить через значения vabc, ко торые он принимает в опорных точках:
v(r) = wabc (r)vabc, a,b,c где wabc (r) — вес опорной точки rabc, также являющийся полиномом сте пени N. Поскольку в опорных точках полином должен обращаться в за данные значения, то каждый вес равняется единице в одной опорной точ ке и нулю во всех остальных опорных точках. Следующая функция удо влетворяет поставленным условиям:
N ni i=1 (sTi (r) N ) (Ti {A, B, C}, 0 ni N ) wabc (r) =, N ni i=1 (sTi (rabc ) N ) при условии правильного подбора величин {Ti } и {ni }, описанного в дис сертации. Приводятся примеры весов для полиномов первых четырех по рядков, а также формулы градиента интерполяционных полиномов и их интегралы по треугольнику.
Интерполяционный полином выше первой степени может содержать экстремумы не только в опорных точках, что приводит к нефизичным ос цилляциям численного метода решения дифференциальных уравнений, использующего эту интерполяцию. Поэтому предлагается алгоритм вос становления монотонной квадратичной функции внутри треугольника:
C A 200 B Рис. 4. Для каждого треугольника в сетке хранятся значения в его вершинах и центрах ребер (черные точки). Во время реконструкции поля сначала восста навливаются значения в центрах ребер подтреугольников (белые точки), затем в каждом подтреугольнике определяется своя квадратичная функция.
1. Определить пробную квадратичную функцию по вышеописанным формулам из известных значений в 6-ти опорных точках (рис. 4).
2. Определить значения в центрах ребер четырех подтреугольников следующим образом. Если на данном ребре пробная функция не имеет экстремума, то взять значение пробной функции, в противном случае использовать линейную интерполяцию на данном ребре.
3. Окончательную реконструкцию в каждом из четырех подтреуголь ников принять равной квадратичной функции, соответствующей зна чениям в его 6-ти точках.
Описанный алгоритм в каждом из подтреугольников строит функцию, не имеющую экстремумов в этом подтреугольнике за исключением его трех вершин. Следовательно, область значений этой функции совпадает с областью значений кусочно-линейной функции в подтреугольнике. С другой стороны, если пробная функция была монотонна на ребре подтре угольника, то построенная функция будет плавно переходить в пробную на этом ребре. Если условие выполнено для всех трех ребер, то будет полное совпадение с пробной функцией в подтреугольнике. Реконструи рованное поле получается непрерывным всюду и дифференцируемым во внутренности любого подтреугольника.
Глава завершается сравнением численных методов, использующих ре гулярную и нерегулярную сетки и различные способы интерполяции в треугольнике в последнем случае. Критериями сравнения являются точ ность решения, выполнение законов сохранения и время счета.
Глава 5. Численный метод для бесструктурных треугольных сеток Основываясь на результатах предшествующих глав, дается оконча тельная формулировка использованного сеточно-характеристического чис ленного метода на нерегулярных сетках, а также обосновываются основ ные атрибуты метода, такие как порядок аппроксимации, устойчивость, монотонность, сеточный шаблон, максимальный шаг интегрирования.
x t t’ t tn+ ?
?
? ?
? ?
? ? ?
? ?
?
x2 t’ ? ?
tn ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
Рис. 5. Два этапа метода расщепления, на каждом из которых выполняется интегрирование независимых уравнений переноса.
На каждом шаге по времени случайным образом выбирается произ вольный ортонормированный базис (1, 2 ), в котором определяется вид системы уравнений (2), для решения которой используется расщепление по направлениям: последовательно рассматриваются две системы вида u u + Ai i = 0. Если сделать замену переменных v = u, где опреде ляется по формуле (4), то оказывается, что необходимо решить ряд неза v висимых уравнений переноса vj + j j = 0. Эффективное вычисление i и 1, необходимых для перехода к уравнениям переноса и обратно, реализуется благодаря результатам главы 1. Решение уравнений переноса может быть выписано в следующей форме:
vj (rk, tn+1 ) = vj (rk j i, tn ), где в правой части равенства стоит восстановленное значение с времен ного слоя tn в точке пересечения его характеристикой уравнения, про ходящей также через (rk, tn+1 ), rk — положение узла, в котором ищется решение. Если сетка была построена методом, предложенным в главе 2, то можно легко выбрать такой максимальный шаг, при котором все по добные точки будут принадлежать смежным с данным узлом треугольни кам (рис. 5). Для граничных узлов не все уравнения переноса могут быть разрешены, поэтому выясняется тип граничных условий, возможно, с ис пользованием алгоритмов главы 3, после чего выполняется соответству ющая корректировка. Восстановление решения в треугольнике сводится к применению одного из способов интерполяции, изложенных в главе 4, выбор интерполяции определяет порядок и свойства численного метода.
Показывается, что данный численный метод не является консерватив ным, однако в главе описывается способ достижения свойства консерва тивности при том же представлении решения в виде точечных значений в узлах треугольной сетки. Исследуется одномерный аналог метода.
Глава 6. Распространение упругих волн в неоднородных массивных породах Глава посвящена решению задачи сейсмической разведки, постановка которой заключается в том, что в массивной породе содержится множе ство мелких круговых полостей и трещин, заполненных жидкостью. В задаче интересует отклик излученного с поверхности сейсмического сиг нала — плоской волны от области неоднородностей. Особо исследуется за висимость формы отраженной волны от плотности, кластеризации неод нородностей и ориентации трещин.
Задача решалась в двумерном приближении. Контактные границы между массивной породой и полостями учитывались в явном виде, на границе полостей вводились рассчитываемые совместно пары узлов, один из которых содержит данные окружающего материала, а другой — мате риала, содержащегося в полости.
Рис. 6. Подробный план сетки рядом с круговыми кавернами и трещинами.
Использованная треугольная сетка может быть адаптирована к лю бой форме неоднородностей (полостей) внутри массивной породы, будь то круговые каверны или плоские трещины (рис. 6). Требуется лишь, чтобы сетка вблизи них была достаточно мелкой: на периметре полости можно было бы уложить некоторое количество ребер сетки с минимально допу стимой длиной. Чтобы условия на размеры треугольников в сетке были соблюдены необходимо также, чтобы расстояние между любыми двумя полостями не были меньше минимальной длины внутреннего ребра в сет ке. А если нужно строить сетку внутри полостей, то их размер должен быть заметно больше этой величины.
Рис. 7. Вертикальная составляющая скорости точек среды. Слева: плоская вол на, распространяющаяся в сторону кавернозной зоны. Справа: отраженные и рассеянные волны, полученные в результате математического моделирования.
На рис. 7 представлен результат моделирования прохождения сигнала Берлаге частотой 300 Гц сквозь скопление из 177 каверн диаметром 1 м.
В результате было подтверждено предположение о кластерной при роде волнового отклика от зон диффузной кавернозности в массивной вмещающей среде путем выявления связи между неравномерностью кон центрации микронеоднородностей и интенсивностью волнового отклика.
Глава 7. Распространение упругих волн в перфорированных средах Глава посвящена исследованию характера распространения упругих возмущений в перфорированных телах. Расчеты в данной главе были проведены не только в двумерной, но также и в трехмерной постанов ке. Их анализ выявил интересную особенность распространения волн в решетчатых конструкциях.
Широко известно, что в однородной идеально упругой среде картина возмущений приобретает сферическую форму. Однако на практике боль шой интерес вызывают конструкции, имеющие многочисленные внутрен ние полости. Примерами могут служить обычные жилые и промышлен ные здания. Исследование протекания в них динамических процессов поз волит значительно поднять уровень безопасности будущих сооружений.
a. Однородный материал. b. Перфорированная среда.
Рис. 8. Распространение волн в трехмерных телах кубической формы. Показано центральное сечение и изоповерхности модуля скорости.
На рис. 8 представлены результаты расчетов бокового удара по мо нолитному телу и телу с регулярной структурой внутренних полостей 8 8 8 спустя равное время с момента возникновения возмущения. На рис. 8-б видно, что фронт возмущения не сферический, а скорее напоми нает конус. Можно показать, что если бы воздействие было точечным, а конструкция состояла из бесконечно тонких стержней, то фронт волны имел бы форму правильного клина с четырьмя плоскими гранями.
Глава 8.
Высокоскоростной удар по многослойной преграде В главе рассматриваются волновые и деформационные процессы, а также процессы разрушения в задачах о соударении абсолютно жесткого или деформируемого ударника с хрупкими преградами, как монолитны ми, так и многослойными. Численное решение подобных задач связано с проблемами конечных деформаций сплошной среды и адекватного опи сания волновых процессов, что является особенно непростой задачей при исследовании многослойных преград. Были использованы подвижные, в том числе лагранжевы расчетные сетки. Для описания волновых процес сов в работе используются сеточно-характеристический метод, позволя ющий корректно строить вычислительные алгоритмы на границах обла сти интегрирования и контактных границах, а также гибридные схемы, построенные на базе этого метода. Поведение материала преграды под чиняется реологическим моделям линейно-упругой и упругопластической сред с условиями пластичности Мизеса и Мизеса – Шлейхерта. В послед нем случае также моделируется дилатация (расширение) материала при пластическом течении, которую можно принять за континуальную меру разрушения. Для учета разрушения преграды применяется модель Майн чена – Сака, адаптированная на подвижные сетки.
Рис. 9. Слева: вихревые структуры в поле скоростей в верхнем слое преграды.
Справа: образованные трещины и зоны раздробленного стекла после удара.
Сформулированный и реализованный метод расчета позволяет изу чать взаимодействие двух деформируемых тел с учетом наличия или от сутствия трения между ними, что также распространяется на отдельные слои внутри первоначально единого тела, способные разрывать контакт друг с другом. За счет использования перестройки расчетной сетки тела ударники могут углубляться на существенные расстояния внутрь пре град, а также значительно менять свою первоначальную форму. Реали стически предсказывается конусообразный характер фрагментирования тыльной поверхности преграды (рис. 9). Численный метод дает возмож ность наблюдать тонкие волновые эффекты, такие как изгибные волны или вихревые структуры (рис. 9).
В главе представлены результаты расчетов для различных конфигу раций преград, форм, скоростей и углов подлета ударника. Обращается внимание на необходимость фрагментации преграды для полного расчета задачи сквозного пробивания одного или более слоев. Описывается алго ритм разделения регулярной четырехугольной сетки вдоль ее линий для моделирования фрагментации.
Заключение Заключение содержит в развернутом виде формулировку основных результатов и выводов диссертации.
Основные результаты и выводы диссертации 1. Создан комплекс программ для решения ряда задач механики де формируемого твердого тела. Дальнейшее развитие комплекса поз волит организациям, заинтересованным в оптимизации различных конструкций по отношению к динамическому воздействию, отка заться от физического эксперимента в пользу вычислительного.
2. Получены численные решения процесса внедрения высокоскорост ного ударника в многослойную разрушаемую преграду.
3. Численными методами исследовано распространение упругих волн в перфорированных средах, включая трехмерную постановку.
4. Проведено математическое моделирование зависимости характера отраженной волны от кластеризации неоднородностей в породе.
5. В простой аналитической форме определены собственные значения и вектора матриц коэффициентов системы уравнений теории ли нейной упругости для произвольной прямолинейной системы коор динат в 2D и 3D. Для граничных узлов предложено использовать двухэтапный порядок расчета, в котором первый этап не зависит от граничных условий, а второй — от порядка аппроксимации. При ведены явные выражения для всех основных типов граничных и контактных условий.
6. В разработанном численном методе предложен способ построения непрерывной кусочно-полиномиальной функции произвольно выбран ного порядка по заданным значениям в узлах треугольной сетки, а также «монотонной» непрерывной кусочно-квадратичной функции со строгими экстремумами только в узлах сетки. Проведено срав нительное тестирование известных и разработанных численных ме тодов, использующих регулярные и нерегулярные сетки.
7. Сформулирован эффективный алгоритм построения нерегулярной треугольной сетки Делоне в произвольной невыпуклой области с многочисленными внутренними полостями, позволяющий поддер живать заданную степень мелкости при деформировании сетки. Ал горитм обнаружения контакта между телами сведен к задаче три ангуляции Делоне пространства между ними.
Список работ по теме диссертации 1. Челноков Ф. Б., Мациевский Н. С. Реконструкция кусочно-полино миального непрерывного поля на плоскости по значениям в опорных точках треугольной сетки // Процессы и методы обработки инфор мации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2005. — С. 201 – 208.
2. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование волновых про цессов и процессов разрушения в многослойных преградах // Ж. вы числ. матем. и матем. физ. — 2003. — Т. 43, № 10. — С. 1562 – 1579.
3. Петров И. Б., Челноков Ф. Б., Чибриков В. В. Численное исследо вание волновых процессов в перфорированных деформируемых сре дах // Матем. моделирование. — 2003. — Т. 15, № 10. — С. 89 – 94.
4. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численная проверка прочности же лезобетонной наружной оболочки под действием динамической на грузки // Моделирование и обработка информации: Сб. ст. / Моск.
физ.-тех. ин-т. — М., 2003. — С. 4 – 13.
5. Петров И. Б., Ртвелиашвили Д. П., Челноков Ф. Б. Численный рас чет разрушения бетонных конструкций с учетом влияния гравита ции // Моделирование и обработка информации: Сб. ст. / Моск. физ. тех. ин-т. — М., 2003. — С. 14 – 18.
6. Агапов П. И., Челноков Ф. Б. Сравнительный анализ разностных схем для численного решения двумерных задач механики деформи руемого твердого тела // Моделирование и обработка информации:
Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2003. — С. 19 – 27.
7. Петров И. Б., Челноков Ф. Б., Чибриков В. В. Расчет волновых про цессов и процессов разрушения в пористых средах // Обработка ин формации и моделирование: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2002.
— С. 137 – 147.
8. Агапов П. И., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование задач механики деформируемого твердого тела в неоднородных обла стях интегрирования // Обработка информации и моделирование: Сб.
ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2002. — С. 148 – 157.
9. Агапов П. И., Обухов А. С., Петров И. Б., Челноков Ф. Б.
Численное решение динамических задач биомеханики сеточно характеристическим методом // Компьютерные модели и прогресс медицины: Сб. ст. / РАН. — М. : Наука, 2001. — С. 275 – 300.
10. Агапов П. И., Обухов А. С., Петров И. Б., Челноков Ф. Б.
Компьютерное моделирование биомеханических процессов сеточно характеристическим методом // Управление и обработка информа ции: модели процессов: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2001. — С. 95 – 114.
11. Челноков Ф. Б. Расчет прохождения импульса в перфорированных трехмерных телах // Труды 12-ой международной конференции «Ма тематика. Компьютер. Образование». — Пущино, 2005. — С. 157.
12. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование прочности железобетонной наружной оболочки под действием динамической нагрузки // Электронная конференция «Топливо и энергетика». — М. : МЭИ, 2004. — С. 56.
13. Челноков Ф. Б. Исследование характера распространения упругих возмущений в перфорированных трехмерных телах // Труды XLVII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундамен тальных и прикладных наук». Часть VII «Управление и прикладная математика». — М.-Долгопрудный : МФТИ, 2004. — С. 32.
14. Агапов П. И., Челноков Ф. Б. Сопоставление нескольких разностных схем для численного решения двумерных гиперболических уравнений в частных производных // Труды XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — М.-Долгопрудный : МФТИ, 2003. — С. 48.
15. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Моделирование высокоскоростно го удара по многослойной преграде с учетом формирования об ластей разрушения // Труды XLV научной конференции МФ ТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных на ук». Часть VII «Прикладная математика и экономика». — М. Долгопрудный : МФТИ, 2002. — С. 43.
Челноков Федор Борисович Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой Подписано в печать 05.09.2005. Формат 6084 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ N ф Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.