Математическое моделирование распространения фемтосекундных лазерных импульсов в среде с нестационарной нелинейностью

На правах рукописи

Волков Алексей Генрихович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В СРЕДЕ С НЕСТАЦИОНАРНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования в физике факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного универси тета им. М.В. Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физ.-матем. наук, профессор В.А. Трофимов ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физ.-матем. наук, профессор Я.М. Жилейкин кандидат физ.-матем. наук, доцент В.Д. Гора ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится ‘‘ 18 ’’ мая 2007 г. в 14 ч 30 мин на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной матема тики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной мате матики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан ‘‘ 16 ’’ апреля 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физ.-матем. наук, доцент В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

Фемтосекундные лазерные импульсы в настоящее время находят всё большее применение в различных областях науки и техники. Их малая длительность и высокая интенсивность позволяет изучать сверхбыстрые физико-химические и биологические процессы. Эти импульсы находят широкое применение в информационных технологи ях для передачи и обработки информации оптическими методами. Поэтому изучение взаимодействия фемтосекундных импульсов с веществом представляет собой актуаль ную проблему.

Высокая интенсивность фемтосекундных импульсов и их малая длительность делает отклик среды нелинейным и нестационарным. Как правило, отклик среды на та кое воздействие обладает кубичной нелинейностью. Однако, его нестационарность приводит к необходимости учета и ещё производной по времени от нелинейного от клика. В результате, распространение фемтосекундного импульса в среде описывается, так называемым комбинированным нелинейным уравнением Шрёдингера (КНУШ), ко торое в отличие от широко исследуемого нелинейного уравнения Шрёдингера содер жит производную по времени от нелинейного отклика среды. Несмотря на всё большое применение КНУШ для описания процесса распространения фемтосекундного лазер ного импульса, например, в оптических волокнах в литературе практически отсутство вало какое-либо исследование свойств используемых для моделирования разностных схем (как правило, это был метод расщепления). Поэтому построение консервативных разностных схем для рассматриваемого класса задач является актуальной задачей.

Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задач распространения фемтосекундных импульсов в нелинейной среде, описываемого в рамках КНУШ и в изучении на их основе взаимодействия таких импульсов при рас пространении оптического излучения в среде с нестационарной нелинейностью кер ровского типа.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Построены консервативные разностные схемы для нелинейного уравнения Шрё дингера, содержащего производную по времени от нелинейности.

2. Показано, что при компьютерном моделировании для устранения развития неус тойчивости на частоте, обусловленной одним из нелинейных коэффициентов урав нения, необходимо учитывать спектральный инвариант задачи.

3. Предложен метод анализа модуляционной неустойчивости, состоящий в учете формы импульса и взаимном влиянии возмущений друг на друга, который позво лил более точно оценить частотный интервал роста возмущений по сравнению с оценками, имевшими место в литературе.

4. Предсказано и изучено самоформирование солитонов в оптических волокнах всле дствие линейной частотной модуляции начального светового импульса;

формиро вание аттосекундных импульсов на фронте оптической ударной волне;

возмож ность подавления самофокусировки световых аксиально-симметричных пучков в среде с кубичной нелинейностью при учете производной по времени от нелинейно го отклика среды.

Практическая ценность.

1. Построенные консервативные разностные схемы для задачи распространения фем тосекундного импульса, описываемого в рамках КНУШ, позволили существенно повысить эффективность компьютерного моделирования по сравнению с исполь зуемыми в литературе методами расщепления.

2. Предложенный подход к анализу модуляционной неустойчивости фемтосекундных импульсов, состоящий в учете взаимного влияния возмущений друг на друга из-за неоднородной формы импульса, может быть обобщен на аналогичные задачи при наличии пространственной неоднородности отклика среды (пространственной дис персии).

3. Обнаруженный способ самоформирования солитонов из фемтосекундных импуль сов с линейной частотной модуляции может найти приложение в системах переда чи информации по оптическим волокнам.

Защищаемые положения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Консервативные разностные схемы для КНУШ, описывающего распространение фемтосекундных импульсов в среде с кубичной нелинейностью в координатах (z,t), (x,z,t) и (r,z,t).

2. Роль спектрального инварианта в устранении развития неустойчивости на частоте возмущения, определяемой одним из коэффициентов КНУШ.

3. Метод анализа модуляционной неустойчивости фемтосекундного импульса, со стоящего в учете взаимного влияния возмущений друг на друга вследствие неод нородной формы импульса.

4. Возможность ограничения нелинейного фокуса вследствие учета производной по времени от нелинейного отклика среды.

5. Самоформирование солитонов из импульсов фемтосекундной длительности при линейной частотной модуляции на входе в нелинейную среду, а также субимпуль сов аттосекундной длительности, формируемых на фронте оптической ударной волны.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на 9 международных и рос сийских конференциях:

- International Conference “Finite-Difference Schemes”. (Lithuania, Palanga, 2000);

- International Conference “Mathematics Modelling and Analysis”. (Lithuania, Vilnius, 2001);

- International Conference “Saratov Fall Meeting”. (Saratov, 2001);

- The XI International Conference on Laser Optics (LO`2003). (St.-Petersburg, 2003);

- International Conference on Coherent and Nonlinear Optics. (St.-Petersburg, 2005);

- International Quantum Electronics Conference 2005. The Pacific Rim Conference on Lasers and Electro-Optics. (Tokyo, Japan, 2005);

- The XII International Conference on Laser Optics (LO’2006). (St.-Petersburg, 2006);

- International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling (LFNM 2006).

(Kharkov, Ukraine, 2006).

- Научная конференция “Тихоновские чтения” (МГУ им. Ломоносова, факультет вы числительной математики и кибернетики, 2006).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике, на кафедре вычислительных методов фа культета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова.

Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, при веден в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы, включающего в себя 117 наименований, и содержит рисунков, 11 таблиц.

Личный вклад автора.

Все используемые в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии в построении разностных схем, проведении компьютерных экспериментов и интерпретации результатов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характе ризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.

Первая глава содержит 4 параграфа. В первом параграфе этой главы рассматри вается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью и с учетом производной от нелинейного отклика среды. В этом случае его распространение описывается следую щим безразмерным комбинированным нелинейным уравнением Шредингера (КНУШ) относительно медленно изменяющейся во времени комплексной амплитуды A( z, t ) :

A 2 A 2 + iD 2 + i A A + ( A A) = 0, z 0, 0 t Lt, z t t = ( A exp( i t ikz) ) + к.с.) / 2, с начальным и граничными условиями A z =0 = A0 (t ), A t = 0, Lt = 0, которые соответствуют финитному начальному распределению комплексной амплиту – напряженность электрического поля, ды. Выше и k соответственно безразмер ная частота и волновое число светового импульса, A( z, t ) – нормированная на макси мальное значение на входе в нелинейную среду комплексная амплитуда импульса, рас пространяющегося вдоль координаты z, которая измеряется в единицах длины среды, t – нормированное на длительность импульса время в сопровождающей его системе координат, D – коэффициент, равный отношению длины среды к дисперсионной дли не, – отношение начальной мощности импульса к характерной мощности самовоз действия, – параметр, обратно пропорциональный произведению длительности им пульса на его частоту, Lt – безразмерный временной интервал, в пределах которого анализируется процесс распространения импульса.

На основе преобразования i ( t ) t E i E ( z, t ) = A( z, )e d, + E=A t исходное уравнение преобразуется к виду E 2E + iD 2 + A A = 0.

z t Трофимов В.А. О новом подходе к моделированию распространения сверхкоротких лазерных импуль сов.// ЖВМ и МФ. 1998. Т.38. N5. С.835-839.

Оно является более удобным для компьютерного моделирования, так как не содержит производной по времени от нелинейного отклика. Краевые и начальные условия для него записываются следующим образом i ( t ) t E E i E iD = ( + E ) t = Lt = ( 2 E ) t = Lt = 0, E (0, t ) = E 0 (t ) = A0 ( )e d.

= E t =0 t = t z t Во втором параграфе первой главы записаны и доказаны инварианты рассматри ваемой в первом параграфе задачи. Они имеют вид Lt Lt E * A dt = const, I 1 ( z ) = i ( E Im(E 2 I A ( z) = ))dt = const, t 0 Lt Lt A* A I 3 ( z) = (E I 2 ( z ) = Re( EA * )dt = const, E * )dt = const, t t iDz Lt it it Lt Lt E I SP ( z) = Ae dt = e A (t )e I E ( z) = ( 2 | E | 2 )dt = const, dt.

t 0 0 Эти инварианты используются для построения консервативных разностных схем.

В третьем параграфе первой главы выполнена постановка задачи распростране ния оптического импульса в кубично нелинейной среде с учетом поперечной структу ры оптического излучения. Здесь рассмотрена задача как в координатах (x,z,t), так и в координатах (r,z,t). В последнем случае распространение светового пучка описывается следующей системой безразмерных уравнений E 2E E i + iDr E + iD 2 + A A = 0, + E=A t z t с начальным и граничными условиями E E i E E (r,0, t ) = E0 (r, t ), r = E r =R = 0, E t =0 = = t + E t =Lt = 0, r 0 t = r t где R - максимальное значение безразмерной поперечной координаты. В этом парагра фе также получены инварианты рассматриваемых задач.

В последнем параграфе первой главы сформулированы её краткие выводы.

Вторая глава содержит 6 параграфов и посвящена построению консервативных разностных схем для поставленных задач в первой главе. В её первом параграфе по строена консервативная разностная схема (КРС) для задачи распространения фемтосе кундного импульса в оптическом волокне. Для этого в области = ( 0, L z ) ( 0, Lt ) вво дится сетка = z t :

z = {zm = mh, m = 0,1,...N z, h = Lz / N z }, t = {t n = n, n = 0,1,...N t, = Lt / N t } и используются безиндексные обозначения:

^ 0.5 ^ A = A( z m, t n ), A = A( z m+1, t n ), A±1 = A( z m, t n±1 ), A = 0.5( A + A), 0.5 ^ 0. 5 ^ E = E ( z m, t n ), E = E ( z m+1, t n ), E±1 = E ( z m, t n±1 ), E = 0.5( E + E ), | A |2 = 0.5(| A |2 + | A |2 ).

Тогда построенная разностная схема вместе с итерационным процессом имеет вид (s) (s) ( s +1 ) 0.5 0. ^ (s) (s) (s) ( s +1 ) (s) (s) E +1 E EE i 0.5 0.5 0. 0. 5 0.5 0. + iD t t E + | A |2 A = 0, + ( E +1 + E 1 ) = A, 2 h ( s +1) ( s +1) ( s +1) 0.5 0.5 ( s +1) ( s +1) ( s =0 ) E Nt E Nt iD E N E Nt 1 i 0. s = 0,1,2,..., E = E.

(t + E Nt ) = 0, E0 = 0, h Она имеет первый порядок аппроксимации по времени (из-за аппроксимации краевого условия) и второй порядок по пространственной координате. Выбор такой аппрокси мации краевого условия обусловлен требованием консервативности схемы. Для демон страции преимуществ построенных консервативных разностных схем в этом же пара графе записаны условно консервативные разностные схемы, которые на первый взгляд являются наиболее естественными. В частности, записана широко используемая в ли тературе разностная схема на основе метода расщепления (МР) и предложенная её мо дификация с применением итерационного процесса на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ).

Доказательство консервативности предложенных схем проведено во втором па раграфе главы II.

В третьем параграфе второй главы проведено сравнение разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью при учете производной по времени от нелинейного отклика среды.

Здесь обсуждается роль спектрального инварианта, который описывает эволюцию в среде спектральной гармоники на частоте = 1 / и показывает, что её амплитуда не должна возрастать в процессе распространения светового импульса. Тем самым, он яв ляется неотъемлемой частью математической модели, используемой для адекватного описания распространения фемтосекундного импульса в рамках КНУШ.

Проведенное сравнение эффективности схем показало, что КРС обладает пре имуществом перед другими разностными схемами. Так для схемы МРИ требуется на порядок меньшее значение шага по пространственной координате для достижения ре зультата вычислений, выполненных по КРС. Схема МР требует шаг по пространству на несколько порядков меньший чем схема МРИ и практически неприменима, например для компьютерного моделирования задачи самоформировании солитонов при распро странении фемтосекундного импульса в кубично-нелинейной среде.

В четвертом параграфе второй главы построены разностные схемы для задачи распространения фемтосекундного импульса с неоднородным пространственным про филем интенсивности в кубично-нелинейной среде с учетом производной по времени от нелинейного отклика как для случая координат (x,z,t), так и (r,z,t). В частности, в = (0, R ) (0, Lz ) (0, Lt ) случае координат (r,z,t) в области вводится сетка = r z t : r = {rk = (k + 0.5)hr, k = 0,1,...N r, hr = R /( N r + 0.5)}, z = {zm = mhz, m = 0,1,...N z, hz = Lz / N z }, t = {tn = n, n = 0,1,...N t, = Lt / N t }, и, используя безиндексные обозначения, ^ 0.5 ^ A = Ak,n = A( zm, rk, tn ), A = A( zm+1, rk, tn ), A±1 = A( zm, rk, tn±1 ), A = 0.5( A+ A), 0.5 ^ 0.5 ^ E = Ek,n = E( zm, rk, tn ), E = E ( zm+1, rk, tn ), E±1 = E( zm, rk, tn±1 ), E = 0.5( E + E), | A |2 = 0.5(| A |2 + | A |2 ), записывается схема 0.5 0. E E E E 0.5 0. i 0.5 0. 0.5 0. + iDr r r E + iD t t E + | A |2 A = 0, +1 1 + E = A 2 hz с начальным E (rk,0, t n ) = E 0 (rk, t n ), k = 0,..., N r, n = 0,..., N t и граничными условиями Ek,0 = E Nr,n = 0, k = 0,..., N r, n = 0,..., N t, 0.5 0.5 ^ E1,n E 0,n E E 0.5 0.5 0. = ( 0,n 0,n + iD t t E 0,n + | A 0,n |2 A 0,n ), n = 1,..., N t 1, iDr hz 0.5hr 0.5 0. E k, N t Ek, Nt iD E k, Nt E k, Nt 1 i 0.5 0. ( + E k, Nt ) + iDr r r E k, Nt = 0, k = 1,..., N r, hz 0.5 0.5 0.5 0. E 0, Nt E0, Nt iD E 0, Nt E 0, Nt 1 i 0.5 E 1, Nt E 0, Nt ( + E 0, Nt ) + iDr = 0.

hz 0.5hr В следующем параграфе данной главы доказана консервативность разностных схем, сформулированных в предыдущем параграфе, а в шестом параграфе второй главы сформулированы её краткие выводы.

В третьей главе представлены результаты компьютерного моделирования, вы полненные на основе построенных разностных схем. В её первом параграфе показано, что для задачи в координатах (z,t) и (r,z,t) имеет место ограничение пиковой интен сивности фемтосекундного импульса при его распространении как в оптических волок нах, так и в пространстве в аксиально-симметричном случае вследствие влияния дис персии нелинейного отклика кубичной среды (Рис. 1).

Рис. 1. Эволюция пиковой интенсивности импульса вдоль продольной координаты для параметров D = 1, = 10, Dr = 10 -4. Цифрами у кривых обозначены значения параметра.

Во втором параграфе предложен способ самоформирования солитонов при рас пространении фемтосекундного светового импульса в кубично нелинейном световоде с учётом дисперсии нелинейного отклика. Формирование происходит при начальной низкочастотной фазовой модуляции светового импульса на входе в нелинейную среду.

Длительность солитонов может быть в несколько раз меньше исходной длительности начального гауссова импульса. Солитоны распространяются с разными скоростями и различаются максимальными интенсивностями. В качестве примера они приведены на Рис. 2. Показано, что к формированию солитонов приводит не только линейная фазовая 3,5 |A(z,t)| z=1. 3, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 40 45 50 55 60 t Рис. 2. Формирование солитонов из первоначально гауссова импульса с линейной фазовой модуляцией = 5 различной длительности = 1 (сплошная линия), 2 (точечная), 3 (штрих-пунктир) для D = = 1, = 10, Lt = 100 и начального распределения A0 (t) = exp(( / )2 + i), = t Lt / 2.

модуляция входного импульса, но и чирпирование импульса. Следует подчеркнуть, что без учета производной по времени от нелинейного отклика среды при прочих равных условиях солитоны не образуются.

Построенное в этом же параграфе аналитическое солитонное решение exp(iKz + i (t t c Vz)) A( z, t ) =, a2 a a (1 + 3 2 5 )ch(2 a1 (t t c Vz)) + 16a1 3a1 4a V (t tc Vz) = (t tc Vz) + 2D 2 a a2 a a 16a1 (1 + 3 2 5 ) 4D a1 (1 + 3 2 5 ) 1 a 16a1 3a 16a1 3a1 e2 a1 (ttc Vz) + a 4a (1 + a3 a5 ) 1 16a12 3a, arctg a 2 a 1 a3 16a12 (1 + 3 2 5 ) 16a1 3a подтверждает результаты компьютерного моделирования.

В третьем параграфе главы III изучена модуляционная неустойчивость фемтосе кундного светового импульса при его распространении в среде с кубичной нелинейно стью с учетом дисперсии нелинейного отклика. Исследуется зависимость частотного интервала развития возмущения от параметра, характеризующего временную диспер сию нелинейности, формы импульса и взаимного влияния частот друг на друга. Здесь предложен более точный подход к учету влияния производной от нелинейного отклика среды на модуляционную неустойчивость импульса имеющего начальную гауссову форму. Полученные на его основе зависимости частотного интервала неустойчивости от различных характеристик импульса подтверждены компьютерным моделированием.

На Рис. 3 в качестве примера показана зависимость граничной частоты возмущений, на которой развивается неустойчивость, от параметра, характеризующего дисперсию не линейного отклика, полученная из компьютерного эксперимента. Начальный участок уменьшения максимальной частоты обусловлен уменьшением максимальной интен сивности импульса из-за дисперсии нелинейного отклика.

На основе линейного анализа получена зависимость инкремента возмущения с частотой m от числа одновременно действующих 2N соседних возмущений. Это по зволило значительно точнее оценить границу частотного интервала модуляционной не устойчивости по сравнению с её значением, полученным при традиционном подходе.

30 () max 1, 0 0,5 1, Рис. 3. Зависимость максимальной частоты, для которой реализуется неустойчивость, от параметра при воздействии гауссова (m=2) (сплошная кривая) и гипергауссова (m=6) (пунктир) импульсов для па раметров D = Lz = 1, Lt = 100, = 10 и начального распределения A0 (t) = exp( m )(1+ 0.1cos( n)), = t Lt / 2.

Сопоставление результатов компьютерного моделирования и полученной зави симости показывает, что развиваемый подход дает для максимальной частоты количе ственно, а для минимальной частоты качественное их совпадение. Отличие значений для нижней частотной границы обусловлено генерацией более низких частот в компь ютерном эксперименте за счет нелинейности и обогащением спектрального состава импульса за счет его компрессии, что не учитывается при проведении линейного ана лиза.

В четвертом параграфе данной главы исследовано самоформирование импульсов аттосекундной длительности. Здесь предложено и проанализировано несколько воз можных сценариев формирования таких импульсов. Один из них представлен на Рис. 4.

Как видно, имеет место развитие как оптической ударной волны, так и последова тельности импульсов аттосекундной длительности на её фронте при условии воз Рис. 4. Формирование оптической ударной волны и последовательности аттосекундных импульсов при распространении входного гауссова импульса для параметров D = 0.1, = 10, = 1.

действия импульса фемтосекундной длительности. При этом максимальная интен сивность субимпульсов в 2-5 раз меньше чем интенсивность начального импульса. Так как скорость распространения импульса зависит от его интенсивности, то скорость ударной волны в рассматриваемой ситуации больше групповых скоростей после довательности субимпульсов. Как следствие этого, ударная волна догоняет субим пульсы и поглощает их. Поэтому субимпульсы существует только на ограниченной трассе распространения в данных условиях.

В пятом параграфе данной главы проведено компьютерное моделирование рас пространения оптического излучения в случае неоднородного профиля интенсивности (координаты (r,z,t)). В частности, предсказан эффект ограничения пиковой интенсивно сти пучков при воздействии импульсов определенной частотной модуляции. Следует отметить, что для немодулированного импульса, как это хорошо известно, в рассматри ваемом случае имеет неограниченный рост интенсивности в нелинейном фокусе. Фазо вая модуляция позволяет ограничить интенсивность. В качестве примера на Рис. представлена эволюция формы импульса на оси пучка для двух значений линейной мо дуляцией и двух значений чирпирования импульса. Как видно, в начале распростране ния ( z 0.04 ) из-за нелинейной зависимости распространения импульса от его интен сивности формируется оптическая ударная волна. Затем дифракция пучка приводит к Рис. 5. Эволюция формы импульса на оси пучка вдоль продольной координаты для = 10, Dr = 1, = 1, D = 1, ( ;

) =(-1;

0) (сплошные кривые), (-2;

0)(штрих-пунктир), (0;

-1)штриховые кривые, (0;

-2) (пунк тир).

уменьшению его интенсивности и, как следствие этого, снижается влияние нелинейно сти на процесс распространения оптического излучения z 0.1. С ростом частоты ли нейной модуляции (или чирпирования) в данных условиях световой импульс вместо самофокусировки испытывает дефокусировку за счет нелинейности, не содержащей производной по времени от нее (штрих-пунктир и пунктир Рис. 5). Как следствие этого, интенсивность светового импульса уменьшается, и влияние дисперсии нелинейного отклика также ослабевает, это приводит к исчезновению фронта ударной волны.

В последнем параграфе третьей главы сформулированы её краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи распространения фем тосекундных лазерных импульсов в среде с кубичной нелинейностью, описы ваемого в рамках комбинированного нелинейного уравнения Шредингера, в ко ординатах (z,t), (x,z,t) и (r,z,t). Выявлена роль спектрального инварианта при по становке задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейной сре де с учетом производной по времени от нелинейного отклика среды.

2. Предложен новый подход к исследованию модуляционной неустойчивости фем тосекундного импульса в нелинейной среде, состоящий в учете взаимного влия ния возмущений друг на друга из-за неоднородной формы импульса.

3. Предсказаны и исследованы следующие эффекты, имеющие место при взаимо действии фемтосекундных импульсов с кубично нелинейной средой:

• ограничение интенсивности в нелинейном фокусе пучка вследствие влияния производной по времени от нелинейного отклика среды;

• формирование субимпульсов аттосекундной длительности при образова нии оптической ударной волны;

• самоформирование солитонов при распространении импульсов в оптиче ском волокне и наличии частотной модуляции импульса на входе в нели нейную среду.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Trofimov V.A., Varentsova S.A., Volkov A.G. Difference schemes for the equation of the femtosecond laser pulse propagation in the nonlinear medium.// Abstracts of Third Intern. Conference "Finite-Difference Schemes". Palanga. Lithuania. 2000. P.49.

2. Trofimov V.A., Varentsova S.A., Volkov A.G. Conservative difference scheme for laser femtosecond pulse propagation in medium with cubic nonlinearity.// Abstracts of Sixth Intern. Conference "Math Modelling and Analysis". Vilnius. Lithuania. 2001. P. 3. Trofimov V.A., Varentsova S.A., Volkov A.G. Influence of dispersion of nonlinear re sponse on self-focusing of femtosecond pulse propagation in optical fiber.// In ” Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling II” /Ed. Derbov V.L., Melnikov L.A., Ryabukho V.P. Proceedings of SPIE. 2002. V. 4706. P. 88-97.

4. Trofimov V.A., Volkov A.G. New possibility of soliton formation of femtosecond pulse in optical fiber with cubic nonlinear response.// Technical Program of XI Conf. on Laser Optics. Saint-Petersburg. 2003. P. 72.

5. Волков А.Г., Трофимов В.А. Формирование солитонов фазово-модулированных фемтосекундных импульсов при их распространении в кубично нелинейном све товоде.// Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 94. N 3. С.506-513.

6. Варенцова С.А., Волков А.Г., Трофимов В.А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного лазерного импульса в кубично не линейной среде.// ЖВМ и МФ. 2003. Т.43. N 11. С.1709-1721.

7. Волков А.Г., Трофимов В.А. О модуляционной неустойчивости фемтосекундных световых импульсов, распространяющихся в оптическом волокне.// Оптика и спек троскопия. 2004. Т.96. N 1. С.97-100.

8. Волков А.Г., Трофимов В.А. О роли спектрального инварианта при компьютерном моделировании распространения фемтосекундных импульсов.// Вестник МГУ.

Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. N 1. С.29-35.

9. Волков А.Г., Трофимов В.А. Влияние формы фемтосекундного импульса и его чирпирования на самоформирование солитонов при распространении в кубично нелинейном волноводе.// Оптика и спектроскопия. 2005. Т.98. N 2. С.339-348.

10. Trofimov V.A., Volkov A.G. Self-formation under soliton Femtosecond Pulse propaga tion in Optical Fiber. // In ICONO/LAT 2005 Technical Digest on CD-ROM. St. Peters burg. Russia. 2005. IFN22.

11. Trofimov V.A. and Volkov A.G. New features of Modulation Instability of Femtosecond Light Pulses Propagating in Optical Fiber.// Quantum Electronics Conference/ Pacific Rim. Tokyo. Japan. 2005. P. 1087-1088. (Technical Digest on CD-ROM QWL4-2.) 12. Волков А.Г., Трофимов В.А., Терешин Е.Б. Консервативные разностные схемы для некоторых задач фемтосекундной оптики.// Дифференциальные уравнения. 2005.

Т.41. N 7. С.908-917.

13. Trofimov V.A., Volkov A.G. Self-formation soliton under the Femtosecond Pulse propa gation in Optical Fiber. // In “Nonlinear Space-Time Dynamics”/ Ed. Rosanov N., Trillo S. Proceedings of SPIE. 2006. V. 6255. P. 113-122.

14. Trofimov V.A. and Volkov A.G. Self-formation of train of attosecond pulses under the optical shock wave formation at femtosecond pulse nonlinear propagation in optical fi ber.// Proceedings of LFNM'2006. Kharkov. Ukraine. 2006. P. 293-296.

15. Trofimov V.A. and Volkov A.G. Influence of weak temporal nonlinear dispersion and weak second order dispersion on picosecond pulse propagation in optical fiber with cu bic nonlinearity. Lo`2006 Technical Program of International Conference on Laser Op tics. St. Petersburg. Russia. 2006. P.51. WeR5-p20.

16. Волков А. Г. О возможности формирования последовательности сверхкоротких лазерных импульсов при нелинейном распространении фемтосекундного импуль са в оптическом волокне.// Сборник статей молодых ученных факультета ВМиК МГУ. 2006. № 3. С. 44-49.