Математическое моделирование переходных процессов при распространении лазерных импульсов в условиях однофотонного и двойного резонансов

На правах рукописи

Паршков Олег Михайлович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В УСЛОВИЯХ ОДНОФОТОННОГО И ДВОЙНОГО РЕЗОНАНСОВ Специальности:

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.04.21 – Лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Саратов 2008 2

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Крысько Вадим Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Зюрюкин Юрий Анатольевич доктор физико-математических наук, профессор Мельников Леонид Аркадьевич доктор физико-математических наук, профессор Аветисян Юрий Арташесович

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 2 июля 2008 г. в 13 часов на заседании диссертацион ного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, СГТУ, корпус 1, ауд.319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан _ мая 2008 г.

Учёный секретарь диссертационного совета А.А.Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Нестационарные взаимодействия лазерных импуль сов с двухуровневыми и трёхуровневыми квантовыми объектами находят практическое использование при определении спектроскопических харак теристик квантовых переходов, в том числе при исследовании экстремаль ных состояний вещества, каким является, например, конденсат Бозе – Эйнштейна. Эти взаимодействия применяются также для эффективного преобразования частоты когерентного излучения. Другая важная область практического использования нестационарных взаимодействий указанного типа – область информационных технологий. В связи с этим можно упо мянуть уже достаточно давно существующие устройства обработки и хра нения информации (функционирующие, например, на основе явления фо тонного эха), и перспективные предложения по использованию трёхуров невых объектов для реализации схем квантовых вычислений.

Самоиндуцированная прозрачность является одним из важнейших эффектов, связанных с нестационарным однофотонным резонансным взаимодействием лазерного импульса с двухуровневыми квантовыми объ ектами. Первые попытки математического моделирования самоиндуци рованной прозрачности в рамках метода обратной задачи рассеяния (В. Е. Захаров, M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, G. L. Lamb, Jr., A. C. Newell, H. Segur) показали, что 2-импульс – основной объект данного явления, представляет собой оптический солитон. В последующих теоретических исследованиях главное внимание уделялось общим аспектам физики соли тонов. К таким аспектам относится, например, предсказание вида асимпто тических (в пределе больших расстояний) форм решений по виду гранич ных условий, характер столкновений солитонов и бризеров, влияние ма лых возмущений на их эволюцию.

При этом, однако, недостаточное внимание было уделено деталям переходных процессов, благодаря которым входной лазерный импульс преобразуется в солитон или бризер. Знание этих деталей позволяет ре комендовать параметры входных импульсов и квантовых переходов для проведения соответствующих экспериментов. Кроме того, остались не объяснёнными некоторые результаты основополагающих эксперимен тов, связанных с явлением самоиндуцированной прозрачности, напри мер, сдвиг спектра излучения на начальном этапе формирования 2 импульса (R. E. Slusher, H. M. Gibbs).

Математическое моделирование нестационарного резонансного взаимодействия лазерных импульсов и трёхуровневых квантовых объектов в подавляющем числе случаев нацелено на исследование нестационарного двойного резонанса. Явление электромагнитно индуцированной прозрач ности (S. E. Harris, 1990), представляет собой один из возможных эффек тов, возникающих при двойном резонансе. В настоящее время данное яв ление хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально. В клас сической постановке математическое моделирование электромагнитно ин дуцированной прозрачности нацелено на выяснение влияния мощного по ля на частоте одного из квантовых переходов трёхуровневого квантового объекта, на слабое поле, резонансное другому квантовому переходу. В центре внимания такого математического моделирования лежит вопрос просветления среды на частоте слабого импульса и изменения скорости его распространения.

Однако вопросы, связанные с переходными процессами при неста ционарном двойном резонансе, например, вопрос о перераспределении энергии между импульсами в процессе взаимодействия, получили недоста точное освещение. В то же время изучение этих аспектов способно дать качественно новую информацию о характере резонансного взаимодействия лазерных импульсов и трёхуровневых квантовых объектов. Эта информа ция может быть использована для нахождения новых практических при ложений этого явления, например, в области информационных технологий или при проектировании устройств преобразования частоты.

Сказанное выше позволяет заключить, что исследование переходных процессов, связанных с нестационарными однофотонным и двойным резо нансами, является актуальным.

Цель работы – математическое моделирование переходного процесса, возникающего при нестационарном двойном резонансе в схеме квантовых переходов с общим верхним уровнем ( - схема), а также специфических особенностей переходной стадии нестационарного однофотонного резонанса в процессе установления явления самоиндуцированной прозрачности.

Основные задачи

диссертационного исследования. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• построение математической модели нестационарного двойного резонан са с учётом нелинейности процесса взаимодействия излучений при произ вольном неоднородном уширении линий квантовых переходов и произ вольных отстройках несущих частот излучений от центральных частот этих переходов;

• построение математической модели линейного по полю меньшей часто ты режима нестационарного двойного резонанса в поле 2-импульса на большей частоте в случаях однородного, предельно большого неоднород ного уширений квантовых переходов и в случае малого зазора между нижними энергетическими уровнями - схемы;

• проведение численного моделирования процесса возникновения им пульса-предвестника при формировании квазирезонансных импульсов са моиндуцированной прозрачности с приложением к описанию эксперимен тов по наблюдению импульса-предвестника в кристалле рубина (J. C. Diels, E. L. Hahn) и атомарных парах рубидия (R.E. Slusher, H. M. Gibbs);

• проведение численного моделирования процесса эволюции оптического бризера при учёте влияния неблагоприятных факторов (квазирезонансность взаимодействия, наличие необратимой релаксации, искажение формы вход ного импульса) с приложением к описанию эксперимента по наблюдению оптического бризера в кристалле рубина (J. C. Diels, E. L. Hahn).

Методы исследования. Математическое моделирование проводится путем постановки и решения краевых задач, описывающих эволюцию ко герентных лазерных импульсов при двойном резонансе в - схеме кван товых переходов, и краевых задач, описывающих однофотонное резонанс ное взаимодействие таких импульсов. Системы уравнений краевых задач записаны для невырожденных квантовых переходов в приближении мед ленных огибающих и плоских волн. Неоднородное уширение и необрати мая релаксация принимаются во внимание. Линеаризованная по слабому сигнальному полю краевая задача для нестационарного двойного резонан са решена аналитически. Нелинейная стадия процессов нестационарного двойного и однофотонного резонанса исследуются численно.

Научная новизна наиболее важных результатов диссертации состоит в том, что:

• Предложена математическая модель, основанная на совместном решении уравнений Максвелла и Неймана в приближении медленных оги бающих, описывающая с единых позиций как явление нестационарного двойного резонанса в - схеме энергетических уровней, так и явление не стационарного однофотонного резонанса с учётом неоднородного ушире ния и процессов необратимой релаксации. В отличие от существующих моделей данная модель позволяет описать влияние процесса самоиндуци рованной прозрачности на эволюцию лазерных излучений при двойном ре зонансе.

• Поставлена и аналитически решена краевая задача, описывающая линейный по сигнальному полю режим нестационарного двойного резо нанса в поле 2-импульса накачки при неоднородном уширении линий квантовых переходов и отклонениях от условий строго резонанса. Получе ны решения этой задачи, описывающие формирование экспоненциально нарастающих с расстоянием сигнальных импульсов с конечным набором возможных значений коэффициента усиления совместно с краевыми усло виями, необходимыми для их реализации. Установлено, что среди этих ре шений асимптотически устойчивым является только экспоненциально на растающий сигнальный импульс с наибольшим коэффициентом усиления.

• Аналитически и численно исследованы эффекты, связанные с от клонением частоты сигнального импульса в среде от частоты входного сигнального импульса в линейном и нелинейном режимах нестационарно го двойного резонанса при наличии неоднородного уширения. Установле на немонотонная зависимость энергии сигнального импульса от энергии импульса накачки в пределах линейного режима усиления сигнала.

• Численным методом установлены возможности возникновения в нелинейном режиме взаимодействия волн двух разночастотных сигналь ных импульсов в условиях большого неоднородного уширения линий квантовых переходов или гребенчатого импульса накачки при малом неод нородном уширении линий в случае нестационарного двойного резонанса.

• Проведено численное моделирование эффекта отталкивания час тоты импульса от частоты резонансного квантового перехода, обнаружен ного в экспериментальной работе R.E. Slusher, H. M. Gibbs (Phys. Rev. A.

1971. V. 5. No. 4. P. 1634-1659). Показано, что зафиксированное смещение частоты в парах рубидия обусловлено начальной стадией процесса пре вращения лазерного импульса в импульс-предвестник.

• Проведено численное моделирование процесса возникновения им пульса предвестника в кристаллах рубина в экспериментах J. C. Diels, E. L.

Hahn (Phys. Rev. A. 1974. V. 10. No. 6. P. 2501-2509). Результаты модели рования согласуются с предположением о том, что в рубиновом стержне длиной 10 см в эксперименте наблюдался импульс-предвестник. Результа ты моделирования позволили интерпретировать импульсы, образующиеся в рубиновом стержне длиной 2 см, как два 2-импульса, возникшие на раз ных участках поперечного сечения лазерного пучка ввиду неоднородности распределения поля по площади этого сечения.

• На основе численного моделирования установлена новая законо мерность, связывающая площадь под модулем огибающей входного 0 импульса с характером солитонно-бризерной структуры излучения в среде на большом расстоянии, справедливая для экспериментально реализуемых форм входных лазерных импульсов.

• На основе численного моделирования установлено, что отклоне ние от условий точного резонанса и частотная модуляция входного 0 импульса приводят к невозможности образования резонансного оптиче ского бризера на больших расстояниях, но на малых расстояниях от вход ной поверхности допускают импульсные структуры, незначительно отли чающиеся от резонансных оптических бризеров.

• Проведено численное моделирование процесса эволюции 0 импульса в кристалле рубина в эксперименте J. C. Diels, E. L. Hahn (Phys.

Rev. A. 1974. V. 10. No. 6. P. 2501-2509). Оно показало, что в рассматри ваемом эксперименте наблюдался оптический бризер на стадии превраще нии его в затухающий 0-импульс ввиду наличия процессов необратимой релаксации.

• Показана возможность определения параметров быстрых химиче ских реакций по искажениям, вносимым этими реакциями в огибающие коротких импульсов лазерного излучения.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается исполь зованием строгих математических методов, тестированием общих алгорит мов с помощью аналитических результатов, полученных автором или дру гими исследователями для частных случаев, сравнением с экспериментом, а также совпадением численных результатов, полученных разными методами.

Научная и практическая ценность результатов. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при проектировании уст ройств, принцип действия которых основан на нестационарном взаимо действии среды с лазерными полями, в частности устройств хранения и считывания информации, с целью исключения возможных неблагоприят ных воздействий, подобных возникновению наведённой в среде частотной модуляции или дополнительных импульсов, подобных импульсу предвестнику.

Развитые в диссертации воззрения на особенности начальной стадии формирования 2-импульса (возникновение импульса-предвестника и де формации спектра излучения) могут оказаться полезными и при анализе процессов в лазерах с пассивной синхронизацией мод на основе явления самоиндуцированной прозрачности.

Изложенные в диссертации результаты, касающиеся специфики про цесса нестационарного двойного резонанса при слабом гармоническом входном сигнальном излучении, могут быть использованы для создания преобразователей частоты сверхкоротких импульсов на основе - схемы двойного резонанса.

Проведённые в диссертации исследования особенностей нестацио нарного двойного резонанса представляют определённый интерес в связи с прогнозируемыми технологиями создания квантовых компьютеров. Одним из возможных типов основного элемента такого компьютера – кубита яв ляется - схема атомных или молекулярных уровней, подверженная воз действию импульсных лазерных полей. Запись информации на такой кубит и последующее считывание этой информации могут осуществляться им пульсами, возникшими при нестационарном двойном резонансе в среде из таких же квантовых объектов, которым является отдельный кубит.

Процессы нестационарного однофотонного и двойного резонансов чувствительны к значениям дипольных моментов квантовых переходов и временам их необратимой релаксации. Результаты диссертации могут быть использованы для разработки новых методик измерения этих величин.

Методика численного моделирования, использованная в диссерта ции, и выводы, полученные на основе этой методики, могут служить от правной точкой для математического моделирования более сложных не стационарных процессов взаимодействия когерентных лазерных импуль сов с вырожденными квантовыми переходами как при однофотонном, так и при двойном резонансах.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Исходные положения математической модели, с единых позиций описывающей явления однофотонного резонанса и двойного резонанса в - схеме энергетических уровней в присутствии неоднородного уширения с учётом нелинейного характера этих процессов при произвольных формах входных лазерных импульсов и параметрах квантовых переходов.

2. Аналитическое решение линейной задачи, описывающее форми рование экспоненциально нарастающих с расстоянием сигнальных им пульсов с конечным набором возможных значений коэффициентов усиле ния совместно с краевыми условиями, необходимыми для их реализации.

3. Эффекты, связанные с частотной модуляцией сигнального им пульса в - схеме энергетических уровней: распад сигнального импульса на разночастотные составляющие;

образование в канале накачки импульса гребенчатой формы с высокой интенсивностью и слабым затуханием при распространении, даже тогда, когда его общая длительность превосходит времена поперечной релаксации квантовых переходов.

4. Обнаруженное в экспериментах R.E. Slusher, H. M. Gibbs. Phys.

Rev. A. 5. 1634 (1971) смещение частоты излучения при формировании 2-импульса из входного лазерного импульса объясняется возникновением импульса-предвестника с большим смещением несущей частоты.

5. Результаты численного моделирования процесса эволюции в среде 0-импульсов при нестационарном однофотонном резонансе. В частности, закономерность, связывающая структуру излучения в среде с параметрами входного импульса, достаточно простого, с точки зрения практической реализации.

6. Импульс, обнаруженный в эксперименте J. C. Diels, E. L. Hahn.

Phys. Rev. A. 10. 2501 (1974) по изучению самоиндуцированной прозрач ности, возбуждаемой входным 0-импульсом, представлял собой оптиче ский бризер на стадии превращения в затухающий 0-импульс.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на VIII Все союзной конференции по когерентной и нелинейной оптике (Тбилиси, 1976), IV Всесоюзной конференции по физическим основам передачи ин формации лазерным излучением (Киев, 1976), IX Всесоюзной конферен ции по когерентной и нелинейной оптике (Ленинград, 1978), 6-м Всесоюз ном симпозиуме по молекулярной спектроскопии высокого и сверхвысо кого разрешения (Томск, 1982), Совещании по спектроскопии (Шушен ское, 1983), XIX Всесоюзном съезде по спектроскопии (Томск, 1983), III симпозиуме «Сверхбыстрые волновые процессы» (Минск, 1983), 7-м Все союзном симпозиуме по молекулярной спектроскопии высокого и сверх высокого разрешения (Томск, 1985), IV Всесоюзном совещании по коге рентному взаимодействию излучения с веществом (Юрмала, 1988), IV Всесоюзной конференции по спектроскопии КР (Ужгород, 1989), 15th International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (Russia, St. Petersburg, 1995), Международных научно-технических конференциях «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 1996, 1988, 2000, 2006), International Conference «Photonics West» (USA, San Jose, 1999), International Conference on Laser Physics and Photonics (Russia, Saratov, 2000), International School for Young Scientists and Students on Optics Laser Physics & Biophysics (Russia, Saratov, 2003, 2005, 2006), 7th International Conference on Laser and Fiber–Optical Network Modeling (Ukraine, 2005).

Публикации. По теме диссертационной работы имеется 42 публика ции, из них 13 публикаций в реферируемых научных журналах, рекомен дуемых ВАК РФ при защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук по тематике работы, а также одна статья в реферируемом журнале.

Личное участие автора диссертации в получении выносимых на её защиту положений заключалось в: а) постановке физических проблем и формулировке краевых задач для их математического описания;

б) полу чении всех приведённых в диссертации аналитических решений указанных краевых задач;

в) проведении большинства численных экспериментов, ре зультаты которых положены в основу диссертации;

г) анализе физического содержания представленных в диссертации аналитических и численных решений;

д) формулировке окончательных выводов теоретических иссле дований. Алгоритмы численных методов решения краевых задач и тексты программ разработаны А.Е. Дмитриевым при участии автора диссертации.

Под руководством автора в проведении численных экспериментов принима ли участие аспиранты А.Л. Вершинин, А.В. Волков, Н.А. Дружинина, сту денты Д.В. Власов, А.Л. Писной.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введе ния, пяти глав, заключения, двух приложений, списка использованной ли тературы, включающего 301 наименование. Диссертация содержит 136 ри сунков и одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описан предмет исследования, обоснована актуаль ность темы, сформулированы цель и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризована новизна полученных в диссерта ции результатов, их научное и практическое значение, апробация работы, публикации по её теме, личное участие автора в выполнении работы, её объём и структура, а также кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена постановке изучаемых в диссертации крае вых задач, лежащих в основе математического моделирования. Лазерные импульсы моделируются плоскими квазимонохроматическими волнами с линейной или круговой поляризациями, а взаимодействие поля со средой описывается полуклассически. Квантовые переходы считаются невырож денными. В случае однофотонного резонанса уровни нумеруются в поряд ке роста энергии цифрами 1 и 2, а квантовый переход описывается элек тродипольным моментом p, центральной частотой 210 и временем обра тимой релаксации T1 = 2, где – ширина (по уровню e 1 ) контура раз броса частот 21 квантовых переходов ввиду неоднородного уширения.

Величины E ( E 0 ) и, зависящие от пространственной координаты x вдоль направления распространения импульса и времени t, описывают действительную амплитуду и фазовую добавку лазерного излучения с не сущей частотой. Амплитуда E измеряется в единицах T1 p. В качест ве независимых переменных используются величины s = x x0, w = (t x u ) T1, (1) где x0 – расстояние, на котором амплитуда слабого монохроматического излучения на частоте 210 убывает в e раз из-за неоднородного уширения, u = c, – показатель преломления матрицы, в которую внедрены кван товые объекты. Мерами нерезонансности процесса служат величины 0 = (210 ) T1 и = (21 ) T1. Тогда комплексная амплитуда поля a = Eei в приближении медленных огибающих удовлетворяет системе уравнений + a i 21 exp[( 0 ) ]d, + i 21 = ia ( 11 22 ), = w s (2) 11 1 22 = Im(a 21 ), = Im(a 21 ).

w 2 w Здесь ik – медленные амплитуды матрицы плотности. Система (2) эквива лентна системе уравнений Максвелла – Блоха, используемой обычно для описания явления самоиндуцированной прозрачности. Система (2) допол нялась граничным условием a ( s = 0, w) = a0 ( w), где a0 ( w) – амплитуда ла зерного импульса на входной поверхности s = 0 резонансной среды.

В случае - схемы нестационарного двойного резонанса уровни ну меруются цифрами 1, 2, 3 в порядке роста энергии, а величины p1, p2 и 310, 320 обозначают электродипольные моменты и центральные частоты неоднородно уширенных квантовых переходов 1–3 и 2–3 соответственно.

Величина T1 определяет время обратимой релаксации перехода 1–3 за счёт эффекта Доплера. Поле представляется в виде суммы двух квазигармоник.

Первая из них, с частотой 1 310, амплитудой E1 и фазовой добавкой 1, называется излучением накачки, вторая, с частотой 2 320, амплитудой E2 и фазовой добавкой 2 – сигнальным излучением (величина Ei, i = 1, измеряется в единицах T1 pi ). Безразмерные независимые переменные s и w определяются формулами (1) с u = c в предположении, что квантовые объекты образуют разреженный газ. В качестве меры нерезонансности процесса используются величины 10 = (310 1 ) T1, 20 = (320 2 ) T1, 1 = (31 1 ) T1, где 31 – частота перехода 1–3 индивидуального движу щегося квантового объекта.

Вводя комплексные амплитуды ai = Ei eii для импульса накачки ( i = 1 ) и сигнала ( i = 2 ), получаем в приближении медленных огибающих систему уравнений + + a1 a i i 31 exp[(1 10 ) ]d 1, n 32 exp[(1 10 ) 2 ]d 1, = = s s 31 + i1 31 = ia1 ( 11 33 ) + ia2 21, + i 2 32 = ia2 ( 22 33 ) + ia1 12, w w (3) 21 11 i i + i (1 2 ) 21 = a2 31 a1 23, = Im(a1 31 ), w w 4 22 1 33 1 = Im(a2 32 ), = Im(a1 31 ) Im(a2 32 ), w 2 w 2 где 2 = 20 + (320 310 ) ( 1 10 ), а параметр n задаётся формулой n = 320 p2 (310 p1 ). (4) Система (3) дополнялась граничным условием ai ( s = 0, w) = ai 0 ( w), i = 1, 2, где a10 ( w) и a20 ( w) – амплитуда импульса накачки и сигнала соот ветственно на входной поверхности s = 0 резонансной среды.

При постановке краевых задач для систем (2) и (3) полагалось, что до прихода лазерных импульсов все квантовые объекты находятся на нижнем энергетическом уровне. По мере необходимости в системы (2) и (3) вводи лись слагаемые, феноменологически учитывающие процессы необратимой релаксации.

Отметим, что краевая задача, основанная на системе (3), включает краевую задачу для системы (2) в качестве частного случая. Поэтому ма тематическая модель, основанная на краевой задаче для системы (3), по зволяет с единых позиций описывать как двойной, так и однофотонный ре зонансы. В тех случаях, когда влияние уровня 2 -схемы на рассматри ваемый процесс пренебрежимо мало, в целях экономии машинного време ни использовалась численная модель, основанная на системе (2).

Для получения аналитических результатов, описывающих началь ную стадию нестационарного двойного резонанса, система (3) была линеа ризована в приближении слабого сигнального поля: a2 a1. Кроме этого, предполагалось, что лазерное излучение в канале накачки представляет собой 2-импульс. Использовались следующие обозначения: p – половина длительности 2-импульса, определяемая по уровню sech1 полной высоты, p = p T1, 10 = 310 1, 20 = 320 2, 0 = 20 10, 10 = 10T1, 20 = 20T1, 0 = 0T1, а параметры и задавались формулам = 21 p1 N (c ), = 320 310. (5) N – концентрация квантовых объектов.

Линеаризация системы (3) проведена для 3-х случаев: 1) p T1 – предельно малое неоднородное уширение (однородные квантовые перехо ды), 2) p T1 – предельно большое неоднородное уширение, 3) 1 – малое различие частот переходов накачки и сигнала. Показано, что для этих случаев эволюция сигнального импульса описывается уравнением 2 a2 a2 n + [th( w2 x1 ) + ] a2 = 0, (6) x1w2 x1 ch 2 ( w2 x1 ) где w2 = (t x c) p, x1 = x / l, причём для случая 1 + ( p10 ) = i p 0, l =, p для случая = 1 + i p ( 20 10 ), l = exp(T1210 ) ( T1 ), для случая = i p [ 0 + (1 ) q( p, 10 )], l = p [ T1 p( p, 10 )], где 1 Im (10 + i p ) p( p, 10 ) = p Re (10 + i ), q( p, 10 ) =.

p Re (10 + i p1 ) p Здесь ( z ) – интеграл вероятности комплексного аргумента. Уравнение (6) дополнялось краевыми условиями a2 ( x1, w2 = ) = a20, x1 0, (7) a2 ( x1 = 0, w2 ) = f ( w2 ), w2 +.

Здесь a20 = const – величина, введённая для учёта возможности постоянной во времени и пространстве подсветки на частоте сигнала, f ( w2 ) – ампли туда входного сигнального излучения.

Отметим, что линеаризация уравнений нестационарного двойного резонанса при описанных нами условиях ранее не проводилась.

Во второй главе представлено полученное методом Римана решение краевой задачи (6), (7):

a2 ( x1, w1 ) = f ( w2 = w1 + x1 ) + w1 + x F (n + 1, n + 1,2;

) sh x1 f ( )exp [ ( w1 x1 ) ] d, + n (8) ch ch w1 sh x1 sh( w1 x1 ) =.

ch ch w Здесь w1 = w2 x1 – нормированное на p время, отсчитываемое в точке x от момента прихода в нее максимума 2-импульса накачки, F(a, b, c;

d ) – гипергеометрическая функция Гаусса.

Показано, что характер асимптотики решения при x1 + сущест венно зависит от величин параметров n и (далее Re, Im ).

А именно, если n ( + 1) 2, формула (8) описывает сумму экспоненци ально затухающих с расстоянием импульсов. При выполнении условия n ( + 1) 2 (9) энергия сигнального излучения сосредотачивается в импульсе неизменной длительности, экспоненциально нарастающем при увеличении x1 с коэф фициентом усиления G = 2( n r ) 1. (10) Здесь r – целое число, принимающее любое значение из набора чисел 0,1, 2,..., [ n ( + 1) 2], где [ x ] – символ целой части числа x. Импульс с коэффициентом усиления (10) далее называется асимптотическим импуль сом (АИ) порядка r.

Показано, что АИ нулевого порядка возникает при условии a ( f,0) 0, а АИ порядка при r 1 образуется при выполнении условий a ( f, r ) 0, a ( f, k ) = 0;

k = 0,1, 2...r 1, (11) где exp [ (n 2k 1) ] + a ( f, k ) = f ( ) d.

ch n При этом комплексная амплитуда АИ порядка r описывается формулами Г(2n) ( r ) a2 ( w1 )exp [ (2n 2r 1) x1 ], a2 ( w1, x1 ) = Г 2 ( n) exp [ (n + m 2r 1) w1 ] r a2 ( w1 ) = a( f, r ) arm (r ), ch nm w m = где arm – постоянные, явный вид которых ввиду громоздкости не приво дится. Несущая частота 2 АИ порядка r отличается от несущей частоты 2 входного сигнального импульса:

2 = 2 + p.

(12) Графики величин a2 для n = 3 и = 0 приведены на рис.1. Если в (7) f ( w2 ) = a20, что (без учёта стохастичности) моделирует процесс развития сигнального импульса из излучения спонтанного комбинационного рассеяния или ситуацию, когда входной сигнальный импульс значительно длиннее входного импульса накачки, возможно возникно вение АИ только нулевого порядка.

При сколь угодно малых отклоне ниях амплитуды f ( w2 ) входного сиг нального импульса от того вида, при ко тором строго выполняются равенства в условиях (11), АИ порядка выше, чем 0, Рис.1. Нормированные к единице в пределе больших расстояний не воз по максимуму графики огибаю никает. В этом смысле АИ таких поряд щих АИ при r = 0 – кривая 1, ков асимптотически неустойчивы. Од r = 1 – кривая 2, r = 3 – кривая нако, как показано на конкретных при мерах в главе 2, АИ высших порядков могут превалировать над АИ нуле вого порядка на конечных расстояниях.

Приведённые результаты, связанные с анализом процесса возникно вения АИ различных порядков в линейном режиме нестационарного двой ного резонанса на неоднородно уширенных квантовых переходах, являют ся новыми.

В оставшейся части второй главы рассматривается линейный режим нестационарного двойного резонанса в поле 2-импульса на однородных квантовых переходах при условии слабой стационарной сигнальной под светки ( f ( w2 ) = a20 ). Показано, что если выполняется условие 20 = 10, ха рактерное для спонтанного комбинационного рассеяния (КР) и именуемое далее условием резонанса КР, то сигнальный импульс не подвержен час тотной модуляции. Условие возникновения АИ нулевого порядка теперь имеет вид n 1 2, а его коэффициент усиления относительно безразмерно го расстояния x1 определяется формулой G = 2n 1. (13) Возникновение АИ высших порядков в данном случае невозможно.

Исследуется подробно случай резонанса типа КР при n 1 2. Пока зано, что с ростом n пиковое значение АИ нулевого порядка смещается в сторону его заднего фронта. Исследована зависимость энергии W2 сигналь ного импульса (в расчёте на единицу площади поперечного сечения) для фиксированного расстояния x от временнго параметра p 2-импульса накачки. Поскольку энергия W1 2-импульса обратно пропорциональна p, то тем самым изучена зависимость W2 от W1. Упомянутая зависимость при типичных значениях парамет ров квантовых переходов для x = см представлена на рис.2. На рис. I 20 – интенсивность постоянной на чальной подсветки на частоте сиг нала, 0 = 1011 с – опорная длитель ность, используемая для создания безразмерной комбинации.

Рис.2 показывает, что при 10 0 зависимость W2 от p (или от W1 ) не является монотонной.

В этом случае существует опти мальное значение энергии импуль са накачки, при которой сигналь ный импульс с ростом пройденно- Рис.2. Зависимость lg[W2 ( I 20 0 )] от го в среде расстояния усиливается (с). Цифры около кривых указы наиболее эффективно. Соответст- p вают значения параметра 10 ( см -1 ) вующее оптимальным услови ям значение p с хорошей точностью удовлетворяет соотношению p 10 = 1.

(14) Показано, что зависимость пикового значения a2m сигнального им пульса от p имеет максимум при p, строго удовлетворяющем условию (14). Даётся физическая интерпретация появления оптимальных условий.

Далее исследуется случай невыполнения условия резонанса КР, т.е.

ситуация, когда параметр 0 ( 20 10 ) может отличаться от нуля. Эво p люция сигнального импульса при 0 0 сопровождается его фазовой мо дуляцией, и мгновенная частота 2 сигнального излучения определяется формулой 2 = 2 2, где 2 = ( p ) 1 2 w1. Показано, что при распро странении сигнального импульса частота 2 смещается к частоте 2 АИ нулевого порядка (см. (12)), таким образом, что в пределе больших рас стояний удовлетворяется условие резонанса КР: 320 2 = 310 1. На рис.3 приведены кривые, описывающие зависимость величин E2 и 2 от w1 при нескольких фиксированных значениях расстояния x1. Графики со ответствуют случаю n = 1.8 и 0 = 5. Кривые рис.3, а нормированы по вы соте к единице, причем на расстоянии x1 = 6 АИ нулевого порядка можно считать практически сформированным. Рис.3, б показывает, что при x1 = и x1 = 6 под основной частью сигнального импульса имеется область, в ко торой 2 = 5.Это означает, что величина 2 удовлетворяет условию ре зонанса типа КР, т.е. совпадает с частотой 2 АИ нулевого порядка.

Рис.3. Формирование АИ нулевого порядка из излучения сигнальной подсветки при n = 1.8 и 0 = 5 ;

а – эволюция действительной амплитуды сигнального излучения., б – смещение его мгновенной частоты Показано, что субструктура амплитуды сигнала при x1 = 2 (см. рис.

3, а) объясняется интерференцией начальной сигнальной подсветки с час тотой 2 и формирующегося сигнального импульса на смещённой частоте.

Такая интерференционная модуляция сигнального излучения наиболее эффективна при выполнении условий 0 и { } 1 (2 n g ) x1 = ln g G ( 2n G ) (n G), n (15) G где 3 (n) + 2n (1 + 02 m ) (1 + 02 m2 ), 2 12 g= (2n) ( n 0.5 ) m= m = 2m + 2n 1, m = 2m + 1. Субимпульсы, образующиеся в результате интерференционной модуляции, примерно в 0 раз короче 2-импульса накачки. Отметим, что возможность подобной интерференционной моду ляции ранее не обсуждалась.

В третьей главе рассматривается линейный режим нестационарно го двойного резонанса в двух предельных случаях. Первый случай – пре дельно большое неоднородное уширение линий квантовых переходов при постоянной сигнальной подсветке. Условие возникновения АИ нулевого порядка теперь имеет вид n (2 ) 2 и, поскольку 1, является более жёстким, чем условие возникновения АИ на однородных квантовых пере ходах. Коэффициент усиления АИ относительно безразмерного расстояния x1 определяется формулой G = 2n + 2. (16) Показано, что если выполняется условие 20 = 10, именуемое далее усло вием модифицированного резонанса КР, то сигнальный импульс не под вержен частотной модуляции.

Показано, что при модифицированном ре зонансе КР и возможности возникновения АИ нулевого порядка энергия W2 сигнального им пульса обратно пропорциональна энергии W импульса накачки, а пиковое значение амплиту ды сигнального импульса от W1 не зависит.

Исследуется случай невыполнения ус ловия модифицированного резонанса КР, т.е.

ситуация, когда параметр 0 = p ( 20 10 ) отличен от нуля. Показано, что при распро странении сигнального импульса частота смещается так, что в пределе больших расстоя ний удовлетворяется условие модифицирован- Рис.4. Зависимость W2 от ного резонанса КР: 320 2 = (310 1 ). p при n = 1.5, = 0.91 :

При этом, как и в случае линейного режима на 0 = 0.01 (1), 0 = 0.03 (2), однородных квантовых переходах, возникает 0 = 0.05 (3), 0 = 0.08 (4) интерференционная модуляция сигнального и 0 = 0.1 (5) излучения.

Показано, что при 0 0 энергия W2 сигнального импульса зависит от p немонотонно. Графики этой зависимости для нескольких значений величины 0 = ( 20 10 )T1 и расстояний, достаточных для формирования АИ, приведены на рис.4.

Проведены сравнительные оценки размерных характеристик ли нейного режима нестационарного двойного резонанса на однородных и неоднородных квантовых переходах в атомарных парах калия и индия. В частности, показано, что наблюдение описанных выше эффектов в случае предельно большого неоднородного уширения требует пиковой интенсив ности входного импульса накачки на уровне 100 Вт/см2, тогда как для слу чая однородных квантовых переходов этот уровень составляет примерно 100 МВт/см2.

Оставшаяся часть третьей главы посвящена анализу линейного ре жима нестационарного двойного резонанса при малых различиях частот взаимодействующих импульсов. Условие возникновения АИ нулевого по рядка теперь имеет вид n 1 2, т.е. совпадает с соответствующим услови ем в случае однородных квантовых переходов. Безразмерный коэффициент усиления G определяется формулой (13). Условие отсутствия фазовой мо дуляции сигнального импульса теперь имеет вид 20 = 10 (1 ) q( p, 10 ) T1. (18) При сравнимых ширинах спектров излучения накачки и линии резонансно го ему квантового перехода это условие незначительно отличается от ус ловия резонанса КР.

Далее подробно изучается случай n 1 2 и стационарной сигнальной подсветки. В частности, исследуется зависимость эффективности нараста ния сигнала от отстройки резонанса 10 в канале накачки при отсутствии частотной модуляции. Найдена следующая формулировка этой зависимо сти: те значения действительной амплитуды, которые при 10 = 0 ожида лись в некоторой точке x0 размерного расстояния, при 10 0 будут реали зовываться в более удалённой точке x, связанной с x0 формулой exp( 2 )erfc( p1 ) x= p x0.

Re (10 + i 1 ) p Показано, что, так же как для случая однородных переходов, зависимости энергии и пиковых значений сигнального импульса от энергии импульса накачки имеют локальные максимумы.

Анализ показал, что при невыполнении условия (18) возникает фазо вая модуляция сигнального излучения, так что частота 2 возникающего на больших расстояниях АИ нулевого порядка удовлетворяет условию 32 2 = 10 (1 ) q( p, 10 ) T1. На малых расстояниях это приводит к интерференционной модуляции сигнала. Наилучшие условия её наблюде ния определяются формулами (15), (16), в которых следует параметр заменить величиной p [ 0 + (1 ) q ( p, 10 )].

Представлены результаты численных оценок размерных параметров усиления сигнала на квантовых переходах насыщенных паров атомарного индия.

В четвёртой главе содержатся итоги численного моделирования нестационарного двойного резонанса на основе системы (3). Расчёты, про ведённые в условиях точного резонанса при накачке 2-импульсом и сла бой стационарной сигнальной подсветке, подтвердили выводы аналитиче ской теории линейного режима о возможности формирования АИ нулевого порядка на начальной стадии процесса взаимодействия волн. Показано также, что АИ формируется и при отличии входного импульса накачки от 2-импульса, при условии p, где p – площадь этого импульса в смысле теории самоиндуцированной прозрачности. На больших расстоя ниях импульс накачки теряет энергию, и усиление сигнального импульса прекращается.

Рис.5. Огибающие импульсов накачки (а) и сигнала (б) для различных расстоя ний s при формировании в канале накачки двух 2-импульсов. Расчёт проведён при = 2.25 и = 0.91 (пары индия) Сказанное иллюстрируется рис.5, соответствующим случаю p = 4 при примерном равенстве ширин спектров импульса накачки и перехода 1 – 3. Символы E p и Es на этом рисунке означают действитель ные части величин амплитуд a1 и a2 соответственно (мнимые части этих амплитуд при строгом резонансе равны нулю). По мере распространения импульс накачки трансформируется в два отдельных импульса, помечен ных на рис.5, а в порядке следования во времени цифрами 1 и 2. На ма лых расстояниях, например на расстоянии s = 12, указанные импульсы являются 2-импульсами и каждый из них порождает собственный АИ нулевого порядка (импульсы 1 и 2 на рис.5, б). При этом менее интенсив ный 2-импульс 2 обеспечивает созданному им АИ сигнального излуче ния больший коэффициент усиления, чем более интенсивный 2-импульс 1 (в связи с этим в масштабе рис. 4, б, s = 12 импульс 1 незаметен). На больших расстояниях импульсы накачки 1 и 2 истощаются, причём сла бый импульс 2 быстрее теряет свою энергию (рис. 4, а, s = 24;

40). В ре зультате сигнальный импульс, порожденный импульсом накачки 1, дого няет, а затем и превосходит по интенсивности сигнальный импульс, по рождённый импульсом накачки 2 (рис. 5, б, s = 24;

40).

Далее в главе 4 приведены результаты численного моделирования квазирезонансного режима нестационарного двойного резонанса в парах индия. Длительность импульса накачки соответствовала большому неод нородному уширению, когда ширина d спектра перехода 1 – 3 от трёх до десяти раз превышает ширину p спектра входного импульса накачки. Бы ло показано, что в этом случае происходит затягивание частоты сигналь ного импульса к значению, приблизительно удовлетворяющему условию модифицированного резонанса КР, даже если входной импульс накачки существенно отличается от 2-импульса.

Рис.6. Действительные амплитуды E2 (а) и фазовые добавки 2 (б) сиг нального импульса. Расчёт проведён при = 2.25, = 0.91 (пары индия) для случая p = 1.5, 10 = 20 = 1. В случае входного сигнального импульса, частота которого не удов летворяет условию модифицированного резонанса КР, а длительность примерно совпадает с длительностью входного импульса накачки, на час тоте сигнального излучения возможно возникновение двух импульсов (рис.6). Один из них, называемый далее лидирующим (импульс 1 на рис.6, а), представляет собой практически свободно распространяющийся в резо нансной среде со скоростью c входной сигнальный импульс. Другой им пульс, именуемый далее запаздывающим (импульс 2 на рис.6, а), возника ет на заднем фронте лидирующего импульса, движется со скоростью им пульса накачки и усиливается за счет энергии этого импульса. Запазды вающий импульс модулирован по фазе (рис.6, б) таким образом, что его несущая частота удовлетворяет условию модифицированного резонанса КР. Приводятся условия и физические предпосылки возникновения подоб ной двухимпульсной структуры.

В конце главы 4 приводятся результаты численного моделирования нестационарного двойного резонанса в условиях малого неоднородного уширения, когда d от трёх до десяти раз меньше p. Для оценок выби раются уровни насыщенного атомарного пара 208 Pb в предположении, что входные импульсы накачки и сигнала одинаковы по длительности и поля ризованы по кругу влево и вправо соответственно. Пиковое значение входного сигнального импульса задавалось примерно на порядок мень шим, чем пиковое значение входного импульса накачки. Для учёта воз можности значительного увеличения длительностей импульсов в среде в уравнения (3) введены члены, учитывающие процессы необратимой релак сации. Результаты одного из расчетов, соответствующих случаю точного резонанса, представлены на рис.7. Отметим многопичковую структуру им пульса накачки на рис.7, а при s = 16 и s = 60, а также то, что его общая длительность примерно в сто раз превосходит длительность входного им пульса накачки. Сигнальный импульс на рис.7, б состоит из двух частей – головного импульса 1 и «хвоста» 2. Головной импульс при s 15 более чем в 50 раз выше входного сигнального импульса и имеет в 1.6 раза меньшую длительность. Показано, что импульс накачки на больших расстояниях аналогичен слабому 0-импульсу теории самоиндуцированной прозрачно сти, сосредотачивает в себе заметную (примерно 1/10) часть энергии вход ного сигнального импульса и, несмотря на то, что его длительность при мерно равна времени поперечной релаксации перехода 1–3, распространя ется практически без потерь энергии. Так, на дистанции от s = 20 до s = пиковое значение его амплитуды уменьшается примерно в 1.6 раза, тогда как напряжённость поля слабого стационарного резонансного излучения Рис.7. Действительные амплитуды накачки (а) и сигнала (б) при трёх значениях безразмерного расстояния s. Цифрами 1 и 2 помечены голов ной сигнальный импульс и его «хвост» соответственно. Расчёт проведён при = 2.1, = 0.7 (пары свинца) и p = 1.6, 10 = 20 = на таком расстоянии (согласно оценкам по известной полуклассической формуле) должна убывать за счёт неоднородного уширения более чем в 1030 раз.

В квазирезонансном случае в канале накачки образуется гребенча тый импульс, отличающийся от 0-импульса предыдущего случая тем, что основания его пичков в общем не лежат на оси абсцисс (см. рис.8). Кроме Рис.8. Действительная амплитуда E1 для s = 200. Расчёт проведён для паров свинца при p = 1.6, 10 = 2 0 = того, гребенчатый импульс довольно сложно модулирован по фазе. В ос тальном, в частности по энергии и скорости затухания, данный импульс подобен упомянутому 0-импульсу и может быть рассмотрен как обобщение понятия 0-импульса на квазирезонансный случай. Эволюция сигнального импульса с хорошей точностью иллюстрируется рис.7, б при увеличении на нём указанных значений расстояний s примерно в пять раз.

Показано, что формирование 0-импульса и гребенчатого импульса объясняется истощением спектральных компонент поля накачки за счёт перекачки их энергии в импульс сигнального излучения.

Показано, что при одинаковых направлениях круговых поляризаций входных излучений накачки и сигнала с теми же частотами, что использо вались при расчётах, приведших к рис.7 и 8, усиления сигнального излуче ния практически не происходит. Это объясняется малым значением пара метра ( = 0.17 ) для этого случая. На больших расстояниях импульс на качки превращается в 0- или гребенчатый импульс, а сигнальный импульс непрерывно увеличивается по длительности.

Отметим, что импульсные структуры, содержащие лидирующий и запаздывающий сигнальные импульсы, или гребенчатые импульсы накачки ранее в теории нестационарного двойного резонанса не фигурировали.

В пятой главе представлены итоги численного моделирования ряда эффектов, в том числе наблюдаемых в экспериментах, ассоциируемых с явлением самоиндуцированной прозрачности.

Первый из таких эффектов – отталкивание центральной частоты ла зерного излучения от центральной частоты неоднородно уширенного квантового перехода при распространении квазирезонансного импульса, экспериментально обнаруженное в работе R.E. Slusher, H. M. Gibbs (Phys.

Rev. A. 1971. V. 5. No. 4. P. 1634-1659). В качестве резонансного перехода в эксперименте использовался переход в парах 87 Rb, находящихся в по стоянном магнитном поле. Численное моделирование осуществлялось на основе системы (2) с добавлением членов, учитывающих необратимую ре лаксацию. Необходимые значения параметров среды и входного лазерного импульса соответствовали условиям эксперимента.

Рис.9. Действительные амплитуды E (толстые линии) и фазовые добавки (тонкие линии) для различных расстояний s при площади входного импульса 1.1 в присутствии (а–в) и в отсутствие (г–е) релак сационных процессов Результаты численного моделирования с учётом и без учёта релакса ционных процессов представлены на рис.9. Длительность импульса и сме щение центральной частоты спектра излучения от резонанса (12 МГц) на рис.9, а, отвечающем длине кюветы с парами 87 Rb, хорошо согласуются с экспериментальными результатами. На бльших расстояниях (см.

рис.9, б, в) отталкивание частоты достигает 100 МГц.

Расчёты при игнорировании релаксации показывают, что на рас стояниях, значительно больших экспериментальных, в среде распростра няется 2-импульс (импульс 2 на рис.9, д, е) и маленький импульс предвестник (импульс 1). В отличие от 2-импульса, лишённого фазовой модуляции, предвестник модулирован по фазе таким образом, что его цен тральная частота смещена так же, как и центральная частота импульса на рис.9, б, в. При этом положение предвестников на рис.9, д, е совпадает с положением импульсов на рис.9, б, в.

Сказанное приводит к следующей физической интерпретации оттал кивания центральной частоты. Процессы необратимой релаксации делают формирование 2-импульса невозможным. Однако они мало влияют на импульс-предвестник, обладающий значительным смещением централь ной частоты. На соответствующем эксперименту расстоянии процесс по давления 2-импульса ещё не закончен (рис.9, а) и его излучение маскиру ет фазовую модуляцию импульса-предвестника. В связи с этим централь ная частота спектра излучения смещена значительно меньше, чем цен тральная частота спектра самого предвестника.

Далее в главе 5 представлены результаты расчётов, описывающих особенности формирования импульсов-предвестников. В частности, пока зано, что в условиях большого неоднородного уширения увеличение дли тельности входного импульса приводит к увеличению доли энергии, со средоточенной в импульсе-предвестнике, тогда как увеличение площади p входного импульса приводит к противоположному эффекту. Сказанное иллюстрируется рис.10. Представлены также итоги численного моделиро вания двух экспериментов J. C. Diels, E. L. Hahn (Phys. Rev. A. 1974. V. 10.

No. 6. P. 2501-2509) по наблюдению импульса-предвестника в кристалле рубина. Результаты моделирования правильно описывают наблюдаемую форму предвестника в рубиновом стержне длиной 10 см. В случае стержня длиной 2 см результаты моделирования значительно расходятся с опыт ными данными. Приводятся соображения, согласно которым данное рас хождение объясняется не учитываемой при моделировании неоднородно стью распределения энергии по площади поперечного сечения лазерного импульса, используемого в эксперименте, и возникновением ввиду этого двух 2-импульсов.

Рис.10. Действительные амплитуды E (толстые линии) и фазовые добавки (тонкие линии) для s = 360 при = 8 и p = 1.1 (а), = 1.6 и p = 1.1 (б) и = 8, p = 1.6 (в). 1 – импульс-предвестник, 2 – 2-импульс. Длительность импульса по полувысоте измеряется в единицах T Далее глава 5 содержит итоги численного моделирования эволюции 0-импульсов теории самоиндуцированной прозрачности и, в частности, важной разновидности таких импульсов – оптических бризеров (далее 0 бризеров). В основе моделирования лежит система (2) с граничным усло вием a ( s = 0, w) = [ f ( w) f ( w + w) ], (19) w w w w0 w w f ( w) = f 0 exp q + exp 3q exp ig, (20) где q = 1.59. Комплексная амплитуда (20) описывает одиночный импульс колоколообразной формы, крутизна переднего фронта которого больше крутизны заднего. Далее этот импульс именуется составляющим. Пара метр f 0 определяет интенсивность составляющего импульса, параметр задаёт его длительность по полувысоте, параметр g задаёт скорость его линейного частотного чирпа. Амплитуда (19) при g = 0 описывает 0 импульс, полученный наложением двух противофазных импульсов, сме щённых относительно друг друга на время w. Данная конструкция вход ного 0-импульса моделирует экспериментальный способ его получения, реализованный в работе J. C. Diels, E. L. Hahn (Phys. Rev. A. 1974. V. 10.

No. 6. P. 2501-2509). В качестве интегральной характеристики амплитуды (19) рассматривается величина 0, называемая площадью входного им пульса и определяемая как площадь под графиком модуля функции a( s = 0, w).

Результаты расчётов, проделанных для случая точного резонанса ( 0 = 0, g = 0 ) и различных комбинаций параметров f 0,, w (при условии w 0.3 ), хорошо согласуются со следующим предположением: ка чественная картина эволюции излучения определяется тем, в каком интер вале (i 1, i ), i = 1, 2, 3,... заключена площадь 0 входного лазерного импульса. Числа i задаются формулами i i i = 4 + 3, i = 0,1, 2, 3,..., 2 где [a] и {a} – символы целой и дробной частей числа a. При 0 1.5 в среде формируется только затухающий 0-импульс. При 0 1.5 воз можно образование нескольких разделяющихся 0-импульсов и одного 0 бризера. Число разделяющихся 0-импульсов равно [ 0 4 ], а 0-бризер образуется только при условии {0 4 } 3 8, т. е. если остаток от деления 0 на 4 превышает 1.5. Это утверждение является новым и иллюстри руется графиками на рис.11, соответствующими случаю 0 = 10.5, = w = 22 и w0 = 40.

Рис.11. Формирование двух разделяющихся 0-импульсов и 0-бризера при 0 = 10.5. Входной 0-импульс (а);

структура поля на большом расстоянии (б):

1, 2 – первый разделяющийся 0-импульс, 3, 4–второй, 5 – 0-бризер. Знаки “+” и “ – “ указывают полярность функции a( s, w) Изучена эволюция инверсии населённостей энергетических уров ней, сопровождающая распространение оптического бризера. Показано, что наибольшее значение инверсии, равное 1, достигается у тех кванто вых объектов, для которых модуль отстройки частоты перехода от цен тральной частоты неоднородно уширенной линии (равной несущей часто ты входного импульса) имеет определённое отличное от нуля значение.

Рис.12. Действительная амплитуда E 0-бризера при s = 4.9 (а) и инверсия населённостей (б);

числа около кривых указывают значение отстройки частоты перехода индивидуального квантового объекта от центральной час тоты квантового перехода. Граничные условия (19), (20), с f 0 = 0. ( 0 = 1.8 ) и теми же значениями остальных параметров, которые исполь зовались при построении рис. Кроме того, при распространении 0-бризера инверсии разных групп кван товых объектов, образующих неоднородно уширенный квантовый пере ход, меняются не синфазно (см. рис.12). Известно, что при распростране нии 2-импульса инверсии населенностей квантовых объектов, имеющих разные частотные отстройки от центра неоднородно уширенного перехода, изменяются синфазно.

Изучается влияние отстройки резонанса 0 на процесс формирования оптического бризера. Результаты расчёта, проведённого при 0 = 1, f 0 = 0.2922 ( 0 = 1.85 ) и тех же значениях остальных параметров, кото рые использовались при построении рис.12, представлены на рис.13.

Рис.13. Cтадии формирования разделяющегося 0-импульса (а, б) и структура из двух 2-импульсов одинаковой высоты (в) при 0 = 1.85. Толстая линия – график действительной амплитуды E, тонкая – график фазовой добавки Согласно рис.13, на малых расстояниях s амплитуда импульса на поминает амплитуду бризера. С ростом расстояния формируется двухим пульсная структура излучения, как это видно из рис.13, б, в. На больших расстояниях энергия излучения сосредотачивается в двух одинаковых по высоте (и длительности) линейно модулированных по фазе 2-импульсах (импульсы 1 и 2 на рис.13, в), распространяющихся с разными скоростями.

Такая импульсная структура, насколько известно, ранее не обсуждалась.

Несущая частота 2-импульса 1 на рис.13, в более удалена от центральной частоты резонансного квантового перехода, чем несущая частота импульса 2. Этим и объясняется то обстоятельство, что импульс 1, имея то же пико вое значение, что и импульс 2, распространяется с большей скоростью.

Расчёт в случае 0 = 0 и всех других параметрах, при которых полу чен рис.13, описывает бризер, подобный изображённому на рис.12, а. Ана лиз показал, что полная энергия, переносимая этим бризером за время его действия через единицу площади поперечного сечения, в точности такая же, как для импульсной пары на рис.13.

Далее в главе 5 подводятся итоги численного моделирования влия ния частотной модуляции (чирпа) входного лазерного импульса на процесс формирования 0-бризера. Моделирование свидетельствует в пользу того, что наличие даже малого чирпа предотвращает возникновение 0-бризера как асимптотического состояния поля в пределе больших расстояний. Од нако на малых дистанциях структура поля достаточно хорошо напоминает таковую для 0-бризера. Сказанное иллюстрируется рис.14, на котором представлены результаты расчёта с граничным условием (19), (20) при g = 0.05, 0 = 0, f 0 = 0.2922, = w = 22, w0 = 40. На большом расстоянии (рис.14, б) энергия поля заключена в двух 2-импульсах. В случае отсутст вия чирпа ( g = 0 ) и неизменных прочих условиях в среде должен сформи роваться 0-бризер с амплитудой, подобной представленной на рис.12, а.

Показано, что увеличение чирпа входного импульса приводит к воз никновению на больших расстояниях одиночного 2-импульса.

Рис.14. Стадия формирования поля (а) и его результирующая ам плитуда (б) при слабом чирпе. Толстая линия – график амплиту ды E, тонкая линия – график фазовой добавки Затем в главе 5 анализируется влияние на эволюцию излучений воз можных в эксперименте неравенств интенсивностей составляющих им пульсов в формуле (19) и отклонения от разности фаз между ними. Рас чёты выявили, что различие интенсивностей (например, в 1.5 раза) не пре пятствует возникновению 0-бризера, тогда как даже малое (в пределах 1%) отличие от разности фаз между ними приводит к невозможности его формирования.

Далее в главе 5 представлены результаты численного моделирования эволюции 0-импульса в кристалле рубина в эксперименте J. C. Diels, E. L.

Hahn (Phys. Rev. A. 1974. V. 10. No. 6. P. 2501-2509). Моделирование бази ровалось на системе уравнений (2), причём правая часть уравнения для 21 дополнялась слагаемым 21 для учёта поперечной релаксации кван тового перехода. Граничное условие задавалось формулами (19), (20) с g = 0, 0 = 0, q = w = 80, f 0 = 0.07, = 0.002, что согласовывалось с ус ловиями опыта. Наши оценки показали, что соответствующие эксперимен ту значение расстояния s лежат в пределах от 1.5 до 2.5. Результаты рас чётов при двух значениях s из этого промежутка приведены на рис.15, а, б. На рис.15, в, г представлены результаты расчёта при отсутствии попе речной релаксации ( = 0 ). Импульс на рис.15, в, г, как показал анализ, представляет собой 0-бризер.

Рис.15. Действительная амплитуда E в рубиновом стержне для s = 1.6 и s = 2 в случаях наличия (а. б) и отсутствия (в,г) необратимой релаксации Анализ показал также, что кривые на рис.15, а, б описывают 0 импульс, длительность которого и задержка относительно импульса, рас пространяющегося со скоростью c, хорошо согласуются с соответст вующими экспериментальными результатами. Временне разрешение ап паратуры эксперимента не позволяло воспроизвести изменение огибающей вблизи нулей поля. Однако вершины нескольких пичков, подобных изо браженным на рис.15, а, б, видны на экспериментальной осциллограмме.

Сказанное позволяет заключить, что представленный расчёт хорошо опи сывает экспериментальные факты.

Сравнение рис.15, а, б, и рис.15, в, г показывает, что потери энергии из-за наличия релаксации существенно влияют на характер эволюции 0 импульса. В частности, его длительность значительно уступает длительно сти соответствующего 0-бризера, а скорость движения на больших рас стояниях становится равной c. Однако наличие заметного сходства ме жду кривыми на рис.15, а, б и рис.15, в, г позволяет сделать вывод, что в эксперименте наблюдался 0-бризер, искажённый процессом необратимой релаксации. Следует отметить, что хотя 2-импульсы и слабые 0 импульсы хорошо изучены экспериментально, попытки эксперименталь ного изучения 0-бризера чрезвычайно редки. Моделируемый в диссерта ции эксперимент представляет, по-видимому, наиболее удачную экспери ментальную реализацию 0-бризера, хотя сами авторы эксперимента на блюдаемый импульс с 0-бризером фактически не отождествляли.

В связи с представленными выше результатами моделирования экс периментов работы J. C. Diels, E. L. Hahn (Phys. Rev. A. 1974. V. 10. No. 6.

P. 2501-2509) по наблюдению импульсов-предвестников и 0-импульсов, отметим, что в этой работе приводятся итоги численного решения соответ ствующих краевых задач. При этом значения длительностей входных им пульсов полагаются почти на два порядка меньше их экспериментальных величин. Поэтому результаты таких расчётов не могут рассматриваться в ка честве итогов адекватного математического моделирования экспериментов.

В конце главы 5 оценивается возможность зондирования сред с бы стрыми химическими процессами импульсом резонансного излучения ла зера или стоксовым импульсом вынужденного комбинационного рассея ния. Полагается, что зондирующее излучение эволюционирует, взаимодей ствуя с квантовым переходом, населённости энергетических уровней кото рого изменяются ввиду протекания химической реакции. В качестве при меров приложения теории показана возможность определения скорости волны неравновесной химической реакции, а также определения констант скорости бимолекулярных химических реакций.

В заключении подводятся основные итоги работы и возможные пути продолжения исследований.

В приложении 1 приведены оценки параметров атомарных паров индия и калия как объектов для моделирования процесса двойного резо нанса. В приложении 2 такие оценки представлены для паров свинца. По лученные значения параметров используются в главах 2 – 4 диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты данной диссертационной работы состоят в следующем.

1. Построена математическая модель, позволяющая с единых пози ций описать переходные процессы при однофотонном и двойном резонан сах в условиях нестационарности поляризационного отклика среды и на личия неоднородного уширения линий квантовых переходов. Допускаются малые отклонения от условий точного резонанса и произвольность отно шения сил осцилляторов квантовых переходов.

2. Решена аналитически краевая задача, описывающая линейную стадию эволюции слабого входного сигнального излучения в поле 2 импульса накачки в случае нестационарного двойного резонанса при не однородном уширении линий квантовых переходов в - схеме энергети ческих уровней. Получены решения этой задачи, описывающие формиро вание экспоненциально нарастающих с расстоянием сигнальных импуль сов с конечным набором возможных значений коэффициента усиления совместно с краевыми условиями, необходимыми для их реализации. Ус тановлено, что из этих решений асимптотически устойчивым является только экспоненциальный нарастающий сигнальный импульс с наиболь шим коэффициентом усиления.

3. Исследованы эффекты, связанные с отклонением частоты сиг нального импульса в среде от частоты входного сигнального импульса в линейном и нелинейном режимах нестационарного двойного резонанса при наличии неоднородного уширения. Установлена немонотонная зави симость энергии сигнального импульса от энергии импульса накачки в пределах линейного режима усиления сигнала.

4. При численном моделировании нелинейного режима двойного ре зонанса обнаружены два новых эффекта. Один из них – распад сигнально го импульса на два импульса с разными несущими частотами в условиях большого неоднородного уширения и квазирезонанса. Другой эффект со стоит в возможности возникновения в канале накачки при малом неодно родном уширении и квазирезонансе импульсов с гребенчатой формой огибающей. При длительности, примерно равной времени поперечной ре лаксации квантового перехода, такие импульсы, обладая заметной энерги ей, практически не поглощаются средой.

5. Проведено численное моделирование переходных эффектов, ассо циированных с импульсом-предвестником, сопровождающим явление са моиндуцированной прозрачности. Представлены результаты численного моделирования эксперимента R.E. Slusher, H. M. Gibbs (Phys. Rev. A. 1971.

V. 5. No. 4. P. 1634-1659) по наблюдению смещения частоты излучения при формировании 2-импульсов из квазирезонансных входных лазерных импульсов. Моделирование позволило связать указанное смешение с об разованием импульса-предвестника и, таким образом, впервые дать физи ческую интерпретацию эксперимента.

6. Проведено численное моделирование процесса эволюции им пульсов-предвестников в кристалле рубина в экспериментах J. C. Diels, E. L. Hahn (Phys. Rev. A. 1974. V. 10. No. 6. P. 2501-2509). В случае руби нового стержня длиной 10 см получено хорошее согласие эксперимен тальных и расчетных данных, в случае рубинового стержня длиной 2 см между этими данными имеется существенное качественное различие. Для последнего случая предложена новая физическая интерпретация наблю даемых импульсов.

7. Проведено численное моделирование процесса формирования оп тического бризера из входного лазерного 0-импульса с экспериментально реализуемой формой огибающей. В условиях точного резонанса обнару жена не известная ранее закономерность порядка формирования бризеров и разделяющихся 0-импульсов в зависимости от площади под модулем амплитуды входного 0-импульса. Проведено численное моделирование эволюции 0-импульса в эксперименте J. C. Diels, E. L. Hahn (Phys. Rev.

A. 1974. V. 10. No. 6. P. 2501-2509). Показано, что импульс, возникший в этом эксперименте, представлял собой бризер, искажённый процессами необратимой релаксации.

8. Установлено, что отклонение от условий точного резонанса и час тотная модуляция входного 0-импульса приводят к невозможности об разования резонансного оптического бризера на больших расстояниях, но на малых расстояниях от входной поверхности допускают импульсы, не значительно отличающиеся от резонансных оптических бризеров.

9. Аналитическим и численным методами исследуется возможность зондирования сред с быстрыми химическими реакциями. На конкретных модельных примерах показана принципиальная возможность определения параметров протекания таких реакций по искажениям, вносимых этими реакциями в огибающую короткого зондирующего импульса.

10. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при конструировании устройств хранения и переработки информации, ге нерации и усиления коротких лазерных импульсов. Математическая мо дель, представленная в диссертации, после соответствующей доработки может быть использована для исследования эволюции коротких лазерных импульсов при нестационарных однофотонном и двойном резонансах на квантовых переходах между вырожденными энергетическими уровнями.

Основное содержание работы

изложено в следующих публикациях:

Публикации в реферируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ при защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук 1. Паршков О. М. Численное моделирование эволюции оптического бризера в среде с неоднородным уширением резонансного квантового пе рехода / О. М. Паршков // Вестник Саратовского государственного техни ческого университета. - 2008. - №2. - Вып. 1. - С. 12-20.

2. Паршков О. М. Численное моделирование эволюции сильного 0 импульса и формирования оптического бризера на неоднородно уширен ном резонансном квантовом переходе / О. М. Паршков // Квантовая элек троника. - 2007. -Т. 37. - №9. - С. 813-820.

3. Паршков О. М. Численное моделирование квазирезонансного ре жима нестационарного двойного резонанса в схеме с общим верхним уров нем при малом неоднородном уширении линий квантовых переходов / О. М. Паршков // Квантовая электроника. - 2006. - Т. 36. - №4. - С. 333-338.

4. Паршков О. М. Численное моделирование квазирезонансного режима нестационарного двойного резонанса в схеме с общим верхним уровнем при большом неоднородном уширении линий квантовых пере ходов / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. - 2005.

- Т. 35. - №8. - С. 749-755.

5. Паршков О. М. Особенности эволюции импульса-предвестника при формировании квазирезонансных импульсов самоиндуцированной прозрачности / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. 2004. - Т. 34. - №8. - С. 739-743.

6. Паршков О. М. Особенности эволюции 0-импульса в среде с неод нородным уширением резонансного квантового перехода / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. - 2004. - Т. 34. - №7. - С. 652-656.

7. Паршков О. М. Импульс-предвестник и частотная модуляция ква зирезонансных импульсов самоиндуцированной прозрачности при нали чии процессов необратимой релаксации / А. Л. Вершинин, А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. - 2003. - Т. 33. - №11. - С. 993-997.

8. Паршков О. М. Двойной резонанс на неоднородно-уширенных пе реходах в схеме с общим верхним уровнем при формировании в канале на качки импульсов самоиндуцированной прозрачности / А. Л. Вершинин, А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков, А. Л. Писной // Квантовая электроника. 2002. - Т. 32. - №1. - С. 33-38.

9. Паршков О. М. Компьютерное моделирование процесса форми рования стационарно – усиливающейся сигнальной моды при нестацио нарном двойном резонансе в среде с неоднородно уширенными спектраль ными переходами / О. М. Паршков, Е. И. Дмитриева, А. Е. Дмитриев // Известия РАН. Сер. физ. -1994. - Т. 58. - №8. - С. 193-200.

10. Паршков О. М. Линейный режим нестационарного двойного ре зонанса в среде с доплеровским уширением спектральных переходов / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. - 1993. - Т. 20. №5. - С. 447-453.

11. Паршков О. М. Формирование сигнального импульса при неста ционарном двойном резонансе в среде с большим неоднородным ушире нием линий квантовых переходов / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Квантовая электроника. - 1987. - Т. 14. - №3. - С. 498-508.

12. Паршков О. М. Особенности формирования сигнального импуль са в поле короткого мощного импульса накачки при двойном резонансе в схеме с общим верхним уровнем / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Кван товая электроника. - 1986. - Т. 13. - №4. - С. 712-723.

13. Паршков О. М. Эволюция импульса зондирующего когерентного излучения в среде с изменяющимися населённостями энергетических уров ней / А. Е. Дмитриев, Е. И. Красникова, Б. А. Медведев, О. М. Паршков // Оптика и спектроскопия. - 1978. - Т. 45. - Вып. 5. - С. 943-950.

Публикация в реферируемом научном журнале 14. Паршков О. М. Распространение импульса когерентного излуче ния в среде с волной химической реакции / А. Е. Дмитриев, Б.А. Медве дев, О. М. Паршков // Журнал прикладной спектроскопии. - 1979. -Т. 30. Вып. 3. - С. 431-434.

Публикации в других изданиях 15. Паршков О. М. О возможностях спектроскопии двойного резо нанса в условиях локальной и волновой нестационарности взаимодействия излучения с веществом / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Материалы Всесоюзного симпозиума по молекулярной спектроскопии высокого и сверхвысокого разрешения, Томск, 1982. - Томск, 1982. - С. 167-169.

16. Паршков О. М. Особенности резонансного вынужденного ком бинационного рассеяния в поле коротких мощных импульсов накачки / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Материалы совещания по спектроско пии комбинационного рассеяния, Шушенское, 1983. - Красноярск, 1983.

- С. 300-301.

17. Паршков О. М. Особенности двойного резонанса при локальной и волновой нестационарности взаимодействия излучения с веществом / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Материалы XIX Всесоюзного съезда по спектроскопии, Томск, 1983. - Томск, 1983. - Ч.I. - С. 180-182.

18. Паршков О. М. Динамика формирования сигнального импульса в поле ультракороткого мощного импульса накачки при двойном резонансе в схеме с общим верхним уровнем / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // «Сверхбыстрые процессы в спектроскопии»: материалы III симпозиума, Минск, 1983. - Минск, 1984. - С. 178-182.

19. Паршков О. М. Алгоритм и программа решения задачи Гурса для одного линейного уравнения второго порядка гиперболического типа с пе ременными коэффициентами / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков ;

Сарат. гос.

техн. ун-т. - Саратов, 1986. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ, 20. 03. 86, №1911-В86 // РЖ «Математика», 1986. - №8, 8Б1293.

20. Паршков О. М. Нестационарный двойной резонанс в условиях когерентного взаимодействия излучения со спектрально-неоднородной средой / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков, Р. И. Суркин // Материалы 7 Все союзного симпозиума по молекулярной спектроскопии высокого и сверх высокого разрешения, Томск, 1985. - Томск, 1986. - Ч.3. - С.216-218.

21. Паршков О. М. Нестационарный двойной резонанс в условиях когерентного взаимодействия излучения со спектрально-неоднородной средой / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков, Р. И. Суркин ;

Сарат. гос. техн.

ун-т. - Саратов, 1985. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ, 04. 10. 85, №7073-В85 // РЖ «Физика», 1986. - №1, 1Л980.

22. Паршков О. М. Экспоненциальные асимптотические решения двух предельных форм системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков ;

Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 1986. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ, 20. 03. 86, №1912-В86 // РЖ «Математика», 1986. - №8, 8Б343.

23. Паршков О. М. Алгоритм и программа решения краевой задачи для одной системы линейных уравнений в частных производных, содер жащих интеграл по параметру / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков ;

Сарат.

гос. техн. ун-т. - Саратов, 1986. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ, 10. 04. 86, №2534-В86 // РЖ «Математика», 1986. - №7, 7Б576.

24. Паршков О. М. Когерентное усиление сигнального импульса при нестационарном двойном резонансе в схеме с общим верхним уров нем / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Материалы IV Всесоюзного со вещания по когерентному взаимодействию излучения с веществом, Юрма ла, 1988. - М., 1988. - С. 340.

25. Паршков О. М. Теория активного режима нестационарного ре зонансного вынужденного комбинационного рассеяния в поле импульса самоиндуцированной прозрачности / Л. С. Костюченко, А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков, В. А. Удовеня // Материалы IV Всесоюзной конференции по спектроскопии комбинационного рассеяний, Ужгород, 1989. - Красно ярск, 1989. - С. 89-90.

26. Parshkov O. M. The instable gain regime for transient two-frequency interactions of radiation with inhomogeneously-broadened resonance quantum transitions / A. L. Vershinin, A. E. Dmitriev, O. M. Parshkov // 15 International Conference on Coherent and Nonlinear Optics. Technical Digests (June 27 – July 1, 1995). - St.- Petersburg, 1995. - V. I. - P. 236-237.

27. Parshkov O. M. Generation of ultrashot pulses with controlled enve lope shape at transient double resonance in the regime of instable gain of signal wave / A. E. Dmitriev, A. L. Vershinin, O. M. Parshkov // Nonlinear dynamics in optical systems: Conference digests, June 1995, Rochester, USA. - Rochester, 1995. - Ref. Me – 18.

28. Паршков О. М.Формирование квазисолитонов при нестационар ном двухчастотном взаимодействии волн когерентного электромагнитно го излучения с резонансной средой / А. Л. Вершинин, А. Е. Дмитриев, Е. И. Дмитриева, О. М. Паршков // Волновые явления в неоднородных сре дах: труды V Всероссийской школы – семинара, май 1996. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1996. - С. 59-61.

29. Parshkov O. M. The unstable gain regime for transient two-frequencies interaction of radiation with inhomogeneousiy-broadened resonant quantum tran sitions / A. E. Dmitriev, A. L. Vershinin, O. M. Parshkov // Coherent phenomena and amplification without inversion: proc. SPIE, 1996. - V. 2798. - P. 96-101.

30. Parshkov O. M. Peculiarity of coherent light-shape pulse amplification under the transient common-level scheme double resonance conditions / A. E. Dmitriev, A. L. Vershinin, O. M. Parshkov // Generation, amplification and measurement of ultrashort laser pulses : proc. SPIE, 1996. - V. 2701. - P. 285-291.

31. Паршков О. М. Исследования модового режима усиления в трёх уровневом квантовом усилителе с солитонной накачкой / А. Л. Вершинин, А. Е. Дмитриев, Е. И. Дмитриева, О. М. Паршков // Актуальные проблемы электронного приборостроения: труды Междунар. науч.-техн. конф., Сара тов, 10 – 12 сентября 1996 г. - Саратов : СГТУ, 1996. - С. 115-116.

32. Паршков О. М. Двухфотонное взаимодействие волн в кванто вом усилителе с солитонной накачкой / А. Л. Вершинин, А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП – 98) : труды Междунар. науч.-техн. конф. - Саратов : СГТУ, 1998.

- Секция 1. - С. 61-63.

33. Паршков О. М. Математическое моделирование переходного режима квантового усилителя, работающего на принципе нестационар ного двойного резонанса / А. Е. Дмитриев, Д. В. Власов, О. М. Паршков, А. Л. Писной // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП – 2000) : труды Междунар. науч.-техн. конф. - Саратов : СГТУ, 2000. - С. 462-467.

34. Паршков О. М. Математическое моделирование нестационарно го двойного резонанса, возбуждаемого по схеме с общим верхним уров нем на неоднородно уширенных спектральных переходах / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Второй Всерос. конф. 1 – 3 июня 2005 г. - Самара, 2005. - С. 90 –93.

35. Parshkov O. M. Quasisolitons formation and frequency modulation under conditions of non-stationary double resonance in common-upper-level scheme with great inhomogeneous broadening of quantum transition lines / A. E. Dmitriev, O. M. Parshkov // 7th International conference on laser and fi ber-optical network modeling, LFNM 2005. Yalta, Crimea, Ukraine, September 12–17, 2005 : proc. LFNM. - IEEE laser and electro-optics society chapter Ukraine, 2005. - P. 86-89.

36. Паршков О. М. Формирование устойчивых гребенчатых импуль сов в ансамбле трёхуровневых атомов при – схеме двойного резонанса.

Численное моделирование / А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП – 2006) : труды Между нар. науч.-практ. конф. - Саратов: СГТУ, 2006. - С. 276-280.

37. Паршков О. М. Формирование импульса-предвестника при коге рентном взаимодействии импульса квазирезонансного излучения с неод нородно уширенным квантовым переходом / А. Л. Вершинин, А. Е. Дмит риев, Е. И. Дмитриева, О. М. Паршков, А. Л. Писной // Актуальные про блемы электронного приборостроения (АПЭП – 2002) : труды Междунар.

науч.-практ. конф. - Саратов: СГТУ, 2002. - С. 290-294.

38. Паршков О. М. Особенности формирования солитонов при ква зирезонансном взаимодействии коротких импульсов электромагнитного излучения с неоднородно уширенным квантовым переходом / А. Е. Дмит риев, О. М. Паршков // Современные методы теории краевых задач: мате риалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения – XV». - Воронеж : ВГУ, 2004. - С. 73-74.

39. Паршков О. М. Рассеяние света на движении населённостей в области распространения коротких световых импульсов / Б. А. Медведев, А. Е. Дмитриев, О. М. Паршков, А. Х. Финкельштейн, Ю. Х. Финкельштейн // Труды VIII Всесоюзной конференции по когерентной и нелинейной опти ке, Тбилиси 1976. - Тбилиси: Мицниереба, 1976. - Т. 2. - С. 227.

40. Паршков О. М. Преобразование спектра оптического когерент ного излучения в среде с движением населённостей / А. Е. Дмитриев, Е. И.

Красникова, Б. А. Медведев, О. М. Паршков // Труды IV Всесоюзной кон ференции по физическим основам передачи информации лазерным излу чением.- Киев, 1976. - С. 194.

41. Паршков О. М. Эволюция слабого импульса квазирезонансного когерентного излучения в среде с изменяющимися населённостями энер гетических уровней / А. Е. Дмитриев, Б. А. Медведев, О. М. Паршков // Труды IX Всесоюзной конференции по когерентной и нелинейной оптике, Ленинград, 1978. - М., 1978. - Ч. 2. - С. 184.

42. Паршков О.М. Лазерная спектроскопия сред с быстрыми химиче скими реакциями / А. Е. Дмитриев, Е. И. Красникова, Б. А. Медведев, О.

М. Паршков // Исследования по оптике, химической и ядерной физике / СГУ. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1980. - С. 91-97.