Нелинейные волны в пленках на наклонной поверхности

На правах рукописи

Тушканов Денис Анатольевич Нелинейные волны в пленках на наклонной поверхности Специальность 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006 Диссертация выполнена на кафедре аэромеханики и газовой динами ки механико-математического факультета Московского государственно го университета им. М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Шкадов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.В. Беликов доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Воропаев

Ведущая организация: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 27 октября 2006 г. в 16 ч. 20 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, ауди тория 16–24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-матема тического факультета МГУ.

Автореферат разослан сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета А.Н. Осипцов доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы Интенсивное изучение течений тонких слоев вязкой жидкости связано с широким практическим применением пленок жидкости в технике и технологии. Такого рода течения возникают в ряде важных процессов, таких как получение защитных пленок покрытия, пленок оптически ак тивного вещества для кино- и фототехники, выращивание кристаллов.

Пленка конденсата присутствует в явлениях, происходящих в машинах и оборудовании, обслуживающих газоконденсатные месторождения, на пример, в газовых турбодетандерах и сепараторах для отделения газа от конденсата. Пленки являются составной частью теплопередачи в оро сительных холодильниках и градирнях, выпарных аппаратах и нефте перегонных печах. Расплавленный металл может образовать волновую пленку на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа.

Основная трудность теоретического исследования пленочных течений заключается в том, что поверхность слоя, как правило, покрыта сложной системой существенно нелинейных волн. Изучение волновых режимов стекающих пленок жидкости имеет кроме практической ценности обще теоретический интерес как пример нелинейных волн в среде с диссипа цией и подкачкой энергии. Результаты, полученные для тонкого слоя, могут оказаться полезными для понимания развития неустойчивости, рождения и эволюции нелинейных структур в других случаях активных сред.

Цели работы • Дать теоретическое истолкование для экспериментов по течениям однослойной пленки вязкой жидкости в случае малых углов наклона подложки.

• Исследовать течение двухслойной пленки и определить условия, при которых возможно волнообразование.

• Применить к исследуемому течению метод сведения полной крае вой задачи, включающей уравнения Навье–Стокса и неразрывно сти и граничные условия, к системе одномерных уравнений для ло кальных толщин слоев и расходов жидкостей и построить алгоритм, пригодный для проведения быстрых и эффективных расчетов.

• Получить и исследовать возможные модификации уравнений для однослойной и двухслойной пленок и определить границы их полез ного применения.

Научная новизна • Выведена и исследована система уравнений для описания течений двухслойной пленки. Методом установления построены нелинейные периодические волновые режимы.

• Построено длинноволновое слабонелинейное приближение уравне ний для двухслойной пленки и проведено сравнение с однослойным случаем.

• Показана эффективность пленочных уравнений для течений тонких слоев жидкости по поверхности с малым углом наклона к горизонту.

Построены семейства решений и проведено сравнение с эксперимен тальными данными.

• Для задачи об однослойной пленке построена система уравнений, эволюционная по пространственной координате.

Теоретическая и практическая значимость Результаты диссертации могут служить для определения толщин полу чаемых в приложениях тонких пленок при интенсивных режимах нане сения покрытий, в усложненных ситуациях, таких как почти горизон тальная поверхность подложки, наличие двух слоев несмешивающихся жидкостей, при определении динамики развития нелинейной волны из малых возмущений стационарного безволнового течения. Длинноволно вая модель может быть применена для исследования структуры бифур каций волновых режимов.

Результаты могут быть применены в технологических приложениях, включающих покрытие твердой основы тонкой пленкой, таких как фар макология, пищевая промышленность, защита от коррозии, производ ство многослойных композитов и полимерных пленок.

Апробация диссертации Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на кон ференции Аэромеханика и газовая динамика в XXI веке в МГУ им.

М.В. Ломоносова (2003 г.), на школах-семинарах Современные про блемы аэрогидродинамики под руководством академика Г.Г. Черного (2001, 2002, 2003 гг.), конференциях Ломоносовские чтения (2003, 2005, 2006 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. В первой главе рассматриваются задачи, связанные с однослойными пленочными течениями, вторая глава посвящена двухслойным пленкам. Текст работы изложен на 76 страницах и включает 13 иллюстраций и 1 таблицу и список литературы из 50 наименований.

Содержание работы Глава I. Однослойная пленка В первой главе рассматривается стекание слоя вязкой несжимаемой жид кости под действием силы тяжести. Глава состоит из двух частей. Первая часть посвящена волнам на почти горизонтальной поверхности. В основу теоретического исследования нелинейных волн положена система урав нений для локальных значений толщины пленки h(x, t) и расхода жидко сти q(x, t), отнесенных к толщине и расходу жидкости в невозмущенной пленке h0, q0. Эта система традиционно записывается в виде ht + qx = 0, q 6 1 q qt + = hhxxx + h 2 hhx, (1) 5 h 5 h x где использованы обозначения 1 9 ctg 1 11 = 3 R 9, =, h0 = R3, 45 g R 3q0 4 R=, = ( g ) 3, g = g sin.

Решения системы (1) для нестационарной нелинейной периодической волны разыскивается в виде N fk (t)eik, f (x, t) = fk = fk, f = (h, q), h0 = 1, (2) k=N где = (xct) бегущая координата, волновое число, c фазовая скорость волны.

В начальный момент задается малая амплитуда первой гармоники h1.

Динамическая система для fk (t), возникающая после подстановки (2) в (1), интегрируется численно при заданных и s = /0, где 0 ней тральное волновое число, до установления асимптотического предель ного решения. Для вычисления нелинейных правых частей уравнений применяется псевдоспектральный метод и процедуры быстрых Фурье преобразований.

Фиг. 1: Развитие профилей волн, = 0.266. а s = 0.617;

б s = 0.3;

в s = 0.15.

На фиг. 1 показаны профили развивающихся нелинейных волн при = 0, 266;

= 1, 569. Выбранные значения s относятся к зонам бифур каций первого семейства, промежуточных многогорбых волн и быстрых волн второго семейства.

Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными, по лученными Liu J., Gollub J.P. показывает применимость системы (1) для анализа течений при углах наклона 4 8, при условии n2 1, 1 n = 3 R 9.

Вторая часть посвящена исследованию развития по пространственной координате t-периодических волн. Такая ситуация возникает при зада нии малых пульсаций расхода с начальном сечении с некоторой заданной частотой, поэтому типична при проведении экспериментов. Однако, мо дельная система (1) является эволюционной по времени, поэтому в рас четах удобно рассматривать развитие по времени x-периодических волн.

В работе из системы (1) в предположении о медленном изменении профиля волны (что выполняется при переходе к бегущей координате) выводится система уравнений 5 Qx = 4qhh h2 q Q + q h3 1 + 3 h, 6 Q = q 2 h, qx = h q, являющаяся эволюционной по x. Показано соответствие развившихся ре шений полученной системы решениям системы (1). Данная система мо жет быть принята в качестве альтернативы системы (1) в случаях, когда важна информация не только об установившемся течении, но и о пове дении волны в процессе развития.

Глава II. Двухслойная пленка Вторая глава состоит из трех частей. В первой части из полной системы уравнений Навье–Стокса с граничными условиями выводится основная система уравнений, описывающая двухслойное пленочное течение, отли чающееся от рассматриваемого в главе I наличием поверхности раздела, ниже и выше которой находятся тонкие слои несмешивающихся жидко стей с различными характеристиками. Кроме того, проводится исследо вание линейной устойчивости системы. Эта система может быть записана в виде 6 q1 3 µh1 q1 Q + µ2 h3 Q q1t + = 5 h1 10 10 x 1 q = h1 3µQ h1 (h1 + h2 )x + h1 (( + 1)h1 + h2 )xxx, h 5 q2 4 3 q2t + + hQ = (3) h2 5 2 x 1 = h2 + 2Q h2 (h1 + h2 )x + h2 (h1 + h2 )xxx, 5 q1x + h1t = 0, q2x + h2t = 0, 3q1 h2 2q2 h1 2 2 µ2 1 Re где Q =,=,=,µ=,=,=, h1 h2 (4h2 + 3µh1 ) 1 1 µ1 2 Re Re 3We sin, 3 = = cos, =. Здесь индекс 1 соответствует 3Fr 3Fr Re жидкости, граничащей с плоскостью, индекс 2 жидкости, имеющей свободную поверхность.

Система (3) имеет стационарное решение q01 = h2 h01 + h02, 32 h01 + 3h01 h02 + h2, q02 = h02 (4) µ h02 = 1 h01.

Для исследования устойчивости решения (4) проведена линеаризация уравнения (3) в его окрестности. Ищутся периодические по пространству решения линеаризованной системы, которые перемещаются с постоянной фазовой скоростью и амплитуда которых возрастает со временем. Они имеют вид hj (x, t) = hj ei(xct), qj (x, t) = qj ei(xct), j = 1, 2, где волновое число, c = cr + ici собственное число, cr фазовая скорость распространения возмущения, ki = ci коэффициент усиления ампли туды возмущения. Поиск нетривиальных решений приводит к дисперси онному уравнению, решая которое находим область неустойчивости.

Результат сравнивается с исследованием устойчивости в полной поста новке с помощью уравнений Орра–Зоммерфельда. Сравнение показыва ет близость коэффициентов усиления и нейтральных волновых чисел, что дает основание считать, что система (3) пригодна для исследования задач о волнообразовании в двухслойной пленке.

Во второй части исследуется развитие нелинейных волн в двухслой ной пленке. Решения ищутся в виде разложения в ряд Фурье по бегущей координате N N ik qkj (t)eik, hj = hkj (t)e, qj = j = 1, 2, (5) k=N k=N hkj = h, qkj = qkj, kj где * обозначает комплексное сопряжение. После подстановки (5) в (3) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений отно сительно hkj (t) и qkj (t), решение которой ищется численно. В качестве начальных условий берутся простые гармоники с достаточно малой ам плитудой, являющиеся решениями линеаризованной системы.

На фиг. 2 показано изменение компонентов спектра (hx )2 и про филя волны при = 0.2, = 0.3385, h01 = 0.5, = 0.88, = 0.73, = 0.863, = 1606. Можно проследить возникновение локального мак симума компонентов спектра, что соответствует образованию мелкой ря Фиг. 2: Эволюция спектра и профиля волны би на профиле волны. Отчетливо видно, что хотя профили нижней и верхней жидкости в целом близки, большому горбу верхней пленки не находится аналогии в нижней части, то есть происходит сглаживание профиля нижней пленки. Этот эффект проявляется также и при суще ственной разнице в толщинах пленок и характеристиках жидкостей, что позволяет рассматривать наличие верхнего слоя как стабилизирующий фактор.

В третьей части строятся асимптотические уравнения при 0.

Построение такого приближения может быть полезно для исследования решений системы (4), так как при малых они должны быть достаточно близки.

Вводится растяжение координат и с помощью разложения по малому параметру получаются уравнения на it + (M 2 + N ixxx Lix )x = 0, i где M, N и L константы, зависящие от параметров задачи. Вектор связан с толщинами слоев пленки соотношением h = h0 + 0 X 1.

Матрица X находится из условия обращения в тождество нулевого при ближения при переходе к бегущей координате.

Выводы Проведены численные исследования решений системы, описывающей пле ночные течения жидкости, которые показывают, что эта система позво ляет воспроизвести в расчетах основные свойства двумерных нелиней ных волн, развивающихся в пленках жидкости на наклонных плоских 90. Имеется не только качествен поверхностях при углах наклона ное, но и количественное соответствие расчетных и экспериментальных данных, которые касаются профилей предельных регулярных волн, са моразвивающихся из малых возмущений заданной частоты, а также фа зовых скоростей, изменяющихся вместе с амплитудой волн. Получена и исследована эволюционная система уравнений для развития по времени пространственно-периодических волн.

Выведена система уравнений для течений двухслойной пленки. Про ведено исследование устойчивости основного течения. Получены крити ческие значения волнового числа, при которых проявляется неустойчи вость и начинается волнообразование. Разработан алгоритм нахождения стационарных периодических решений, по которому выполнена серия расчетов. Обнаружено образование двупериодических волновых режи мов, стохастизация фазовой скорости, эффект сглаживания большого горба нижнего слоя. Получено и исследовано асимптотическое слабоне линейное приближение системы.

Публикации автора по теме диссертации 1. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Неустойчивые солито ны в стекающих пленках вязкой жидкости. Тезисы конференции “Современные проблемы аэрогидродинамики”. М: Изд. Моск. ун-та, 2001, с. 2. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Пространственное раз витие неустойчивых возмущений в течениях капиллярных пленок.

Тезисы конференции “Современные проблемы аэрогидродинамики”.

М: Изд. Моск. ун-та, 2002, с. 3. Сисоев Г.М., Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Развитие возмущений в двухслойных пленках. Тезисы конференции “Аэродинамика и газо вая динамика в XXI веке”. М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 4. Тушканов Д.А. Взаимодействие нелинейных волн в двухслойных стекающих пленках. Тезисы конференции “Ломоносовкие чтения”.

М: Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 124– 5. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в капиллярных пленках на наклонной поверхности при малых углах наклона. Тези сы конференции “Современные проблемы аэрогидродинамики”. М:

Изд. Моск. ун-та, 2003, с. 6. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в двухслойных пленках. Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 2004, №2, с.

51– 7. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Волны в стекающей пленке при ма лом отклонении удерживающей поверхности от горизонта. Тезисы конференции “Ломоносовкие чтения”. М: Изд. Моск. ун-та, 2005, с.

176– 8. Тушканов Д.А., Шкадов В.Я. Нелинейные волны в пленке жидкости на почти горизонтальной поверхности. Изв. РАН, МЖГ, 2006, №3, с. 11–