Надежда николаевна численное решение задач нестационарного течения вязкопластического материала

На правах рукописи

УДК 539.3 ОКУЛОВА Надежда Николаевна Численное решение задач нестационарного течения вязкопластического материала Специальность: 01.02.04 механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный консультант: Доктор физико-математических наук профессор Д.В. Георгиевский

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук профессор А.Г. Петров Кандидат физико-математических наук доцент А.В. Муравлёв

Ведущая организация: МГТУ "МАМИ"

Защита состоится 24 октября 2008 года в 16 часов на заседании специали зированного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государствен ном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичес кого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 23 сентября 2008 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001. профессор С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы Наряду с материалами, проявляющими только одно фундаментальное ме ханическое свойство (упругость, вязкость или пластичность), существует зна чительное количество материалов, обладающих свойствами пластичности и вязкости одновременно. Такими материалами являются, например, маслян ные краски, полимерные, глинистые и цементные растворы, некоторые метал лы при высоких скоростях деформации, высокопарафинистые и смолистые нефти, селевые потоки, массы влажного снега, потоки бытовых отходов, из мельчённые продукты пищевой промышленности, т.е. самые различные ма териалы (среды) искуственного и природного происхождения в достаточно широком диапазоне внешних условий.

Классические модели механики сплошной среды, такие как упругое те ло Гука, вязкая ньютоновская жидкость и пластическое тело Сен-Венана не описывают характерных особенностей течения подобных сред. Для их учё та требуется привлечение более сложных математических моделей, имеющих существенные отличия от классических.

Одной из таких моделей является модель вязкопластической среды Бин гама (Bingham plastic). Первичные представления о рассматриваемой модели связаны с экспериментальными исследованиями Е.K. Бингама (Е.C.Bingham) и Ф.Н. Шведова в конце XIX века. Теоретические исследования были начаты Б. Сен-Венаном (В. Saint-Venant), М. Леви (М. Levy) и Р. Мизесом (R. Mizes).

Значительный вклад в развитие вязкопластичности внесли отечественные учёные: А.А. Ильюшин, А.Ю. Ишлинский, Г.И. Баренблатт, П.М. Огибалов, А.Х. Мирзаджанзаде, В.П. Мясников, П.П. Мосолов, Б.Е. Победря, И.А. Кийко, Д.М. Климов, А.Г. Петров, Д.В. Георгиевский, И.М. Астрахан, А.И. Сафрончик, А.Д. Чернышёв, А.В. Гноевой, В.М. Чесноков, а также за рубежные специалисты П. Пэжина, I.R. Ionescu, T.C. Papanastasiou, R.B. Bird, E.J. Dean, R. Glowinski, A.N. Alexandrou, E. Mitsoulis и др.

Течение вязкопластической среды Бингама начинается только с того мо мента, когда максимальное касательное напряжение T в точках среды до стигает некоторой определенной величины 0, которая называется предель ным напряжением сдвига или пределом текучести. При дальнейшем увеличе нии максимального касательного напряжения движение этих сред происхо дит аналогично движению вязкой ньютоновской жидкости. В процессе дви жения в вязкопластическом теле формируются области вязкопластического течения и области твёрдого ядра (T 0 ). Образование и эволюция границ между областями зачастую представляют основной интерес в прикладных задачах.

Подобные задачи относят к многофазным задачам типа Стефана. На дан ный момент имеется небольшое количество точных аналитических решений подобного класса задач. Все они относятся к классу пространственно одно мерных автомодельных решений.

Основное внимание исследователей сосредоточено на разработках числен ных и приближённых методов решения. Отметим методы: Слёзкина-Тарга (А.Х. Мирзаджанзаде, П.М. Огибалов, А.В. Гноевой и др.), Кармана-Поль гаузена (А.Ю. Ишлинский, Г.И. Баренблатт), Колоднера (А.И. Сафрончик), конечных элементов и конечных объёмов (D. Frederic, P.-C. Gilles, Y. Wang и др.), регуляризации (M. Bercovier, M. Engelman, T.C. Papanastasiou и др.), вариационные (E. Mitsoulis, R. Glowinski и др.), адаптивных сеток (А.А. Са марский, Б.М. Будак, А.Н. Гильманов и др.). Каждый из методов имеет свои преимущества и недостатки и свою сферу применения.

В настоящей диссертационной работе предложен эффективный численный метод решения задач одномерного нестационарного течения вязкопластиче ской среды. Такие задачи моделируют многие природные явления и техно логические процессы. Метод является простым в реализации и не требует больших вычислительных ресурсов.

Цель работы 1. Разработка метода решения начально-краевых нестационарных задач вязкопластического течения.

2. Программная реализация алгоритма предложенного метода.

3. Тестирование алгоритма на задачах, имеющих аналитическое решение, и численных решениях других авторов.

4. Численное решение конкретных задач. Исследование процесса образова ния и эволюции жёстких зон. Построение полей напряжения и скорости.

Анализ полученных результатов.

Научная новизна 1. Разработан численный конечно-разностный метод решения нестационар ных задач вязкопластического течения слоистого материала. Метод яв ляется оригинальной авторской разработкой, универсален для указанно го класса задач, отличается точностью и высокой скоростью расчётов.

2. Метод реализован в виде программного продукта.

3. Решена серия задач, не имеющих автомодельных решений и ранее други ми авторами не исследовавшихся, а именно, о течении вязкопластическо го материала в кольцевой области, о течении между двумя пластинами и о продольном течении в круглой движущейся цилиндрической трубе.

Построены поля напряжений и скоростей, исследована эволюция границ разделов.

4. В задаче о продольном течении вязкопластического материала в тру бе установлено существование режимов течения с двумя, а в задаче о течении в кольцевой области – с двумя и тремя, границами разделов областей течения и жёстких зон.

5. В задаче о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплос кости получено аналитическое выражение нижней оценки координаты границы жёсткой зоны.

6. В задаче о стационарном течении вязкопластического материала над вращающейся плоскостью аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жёстких зон.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок за дач и математических методов их решения. Проведено тестирование метода путём сравнения результатов счёта и точных аналитических решений (зада чи о течении вязкопластического материала между двумя плоскостями и в круглой трубе), а также путём сравнения с известными численными решения ми. Сравнение показало высокую степень близости результатов. Установлена устойчивость результатов расчётов при изменении основных вычислитель ных параметров алгоритма (число узлов сетки, максимальные и минималь ные размеры пространственных и временных шагов).

Используемые методы. В работе используются конечно-разностные чис ленные методы, методы линейной алгебры, методы уравнений математиче ской физики и методы теоретической механики.

Научная и практическая ценность работы 1. Создан метод, с помощью которого можно решать и исследовать новые, ранее не исследованные одномерные течения вязкопластических сред.

2. Метод может быть применён для решения пространственно одномерных двухфазных задач Стефана (задача о кристаллизации, промерзании и т.д.).

3. На основе разработанного алгоритма можно создать универсальный вы числительный комплекс для решения пространственно одномерных за дач типа Стефана.

4. С помощью разработанного метода можно проводить расчёты конкрет ных, важных для практики задач, например, о вязкопластических тече ниях в каналах, трубах, о кристаллизации в слитках и т.д.

Личный вклад соискателя. Основные результаты работы получены ав тором самостоятельно. Работы [5 – 8] опубликованы без соавторов. Постанов ки решаемых в диссертационной работе задач выполнены совместно с науч ным руководителем автора д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевским. Разработка алгоритма предлагаемого метода, его программная реализация и тестирова ние, а также решение конкретных задач выполнены соискателем самостоя тельно.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладыва лись автором и обсуждались на следующих конференциях:

• Научная конференция “Ломоносовские чтения”, секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006 – 2008 гг.

• Научная конференция “Ломоносов-2008”, секция механики, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008 г.

• Научная конференция “Проблемы нелинейной механики деформируемо го твёрдого тела”, Институт механики сплошных сред УрО РАН. Пермь, 2008 г.

Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах:

• Аспирантский семинар и научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри, 2003 – 2008 гг.

• Научно-исследовательский семинар “Актуальные проблемы геометрии и механики” на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиев ского, д.ф.-м.н. М.В. Шамолина, д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, 2008 г.

• Научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руковод ством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко, 2008 г.

• Научно-исследовательский семинар кафедры волновой и газовой дина мики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика РАН проф. Е.И. Шемякина, 2008 г.

• Научно-методический семинар для студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством д.ф.-м.н., проф. С.А. Агафонова, д.т.н., проф. В.И. Ванько, д.т.н., проф. В.В. Феоктистова, 2006 – 2008 гг.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения и списка литературы из 130 наименований.

Работа содержит 74 рисунка. Общий объём диссертации – 125 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится общая характеристика работы, включающая в себя обоснование актуальности работы и её научной новизны. Излагается со держание диссертации.

В первой главе диссертации обсуждаются физико-механические свой ства вязкопластического материала, определяющие соотношения (математи ческие модели вязкопластической среды), постановка начально-краевой за дачи, проведён обзор литературы по теме диссертации.

Также в первой главе рассматриваются две задачи о течении вязкопла стической среды. В задаче о течении вязкопластического материала над вращающейся плоскостью (задача Кармана) исследуется стационарный осе симметричный режим. Аналитически найдены характерные точки асимпто тических границ жёстких зон при стремлении безразмерного предела теку чести к нулю. Исследование задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопла стической полуплоскости основано на сведении классической постановки к системе двух функциональных уравнений, решение которых может быть осу ществлено численно. Получено аналитическое выражение нижней оценки ко ординаты границы жёсткой зоны.

Во второй главе рассматривается задача о течении вязкопластического материала в кольцевой области. Одна из сторон кольца свободна от напря жений, на другой поддерживается некоторое изменяющееся во времени ка сательное напряжение. Градиент давления отсутствует, в начальный момент среда покоится.

Сформулируем основные результаты, полученые во второй главе.

Математическая постановка задачи. В процессе развития течения в коль це формируются области, в которых материал находится либо в состоянии вязкопластического течения (объединение таких областей обозначим f (t)), либо движется как твёрдое тело (объединение таких областей обозначим r (t)).

Требуется найти функции v(r, t), (r, t), n (t), n = 1, 2,.., N, удовлетворя ющие:

– в областях вязкопластического течения – уравнению движения и определя ющему соотношению v v || = 1 + r r f (t);

= +2,, (1) t r r r r – в жёстких зонах – условию постоянства угловой скорости v = 0, r r (t);

(2) r r – на границах кольца – краевым условиям (R, t) = S(t), (R + 1, t) = 0;

(3) – на разделительных линиях – двум условиям сопряжения ( n, t) = n, (4) v v = ;

(5) t t + r= r= n n и начальным условиям f (t = 0) =, v(r, 0) = 0. (6) Переменная n является характеристикой разделительной линии и может иметь два значения: +1 и 1. Конкретное значение определяется в момент зарождения линии и далее остается постоянным до момента исчезновения линии. Условие (4) отражает тот факт, что на границах раздела модуль каса тельного напряжения равен единице, условие (5) отражает факт непрерыв ности ускорения на разделительных линиях. Используются обозначения: r – радиус (r [R, R + 1]), t – время, v(r, t) – скорость, (r, t) – напряже ние, n (t) – положение разделительных линий. Все переменные и функции являются безразмерными.

Показано, что условие (5) можно записать в виде r =, (7) r r r= r= n n где функция r (r, t) удовлетворяет в r уравнению 2 r 1 r r 4 2 = 0, r r.

+ (8) r2 r r r Показано, что задача (1) – (6) сводится к нахождению напряжения, удо влетворяющего в области вязкопластического течения уравнению 2 1 4 2 =, r f, + (9) r2 r r r t условиям на разделительных линиях (4) и (7), краевым условиям (3);

и гра ниц раздела между областями.

C вычислительной точки зрения удобно рассматривать функции (r, t) и r (r, t) как части единой функции, определённой при r f r.

Из (8) и (9) видно, что при переходе из области f в r меняются не только коэффициенты уравнения (как в классической задаче Стефана), а меняется сам тип уравнения. В литературе такие задачи обычно называют задачами типа Стефана.

Если известны законы изменения границ 2l (t) и 2l+1 (t) (l = 0, 1,... [N/2]) жёстких зон, входящих в объединение r, и напряжения на их границах U2l (t) и U2l+1 (t), то решение уравнения (8) в каждой из таких зон можно выписать в аналитическом виде r (r, t) = r (r;

2l (t), U2l (t);

2l+1 (t), U2l+1 (t)).

Построение сетки. Область решения D = {(r, t)|r r f, t 0} j покрывается сеткой (ri, tj ) по мере решения задачи, одновременно с по строением решения. Сетка строится существенно неравномерная – временные шаги j = tj tj1 могут меняться при переходе от одного временного слоя к другому, пространственные шаги hj = ri ri1 непостоянны как в преде j j i ле одного временного слоя, так и при переходе с одного временного слоя на другой. Границы кольца и все разделительные линии проходят через узлы.

Постановка на сетке. Дифференциальному уравнению, начальным и гра ничным условиям ставятся в соответствие их разностные аналоги. При этом дифференциальное уравнение в области вязкопластического течения аппрок симируется неявной схемой треугольников 2i+1 hj + 2i1 hj 2i (hj + hj ) j j j j j j j j i+1 i1 i i i i i+1 i i+ 4 j = +j, hj hj (hj + hj ) (hi + hj )ri j j (ri ) i i+1 i i+1 i+ j j k2l i k2l1, l = 1,... [N/2];

(10) каждому внутреннему узлу в жёстких зонах ставится в соответствие соотно шение j j j j i = r (ri ;

2l, 2l ;

2l+1, 2l+1 ), k2l+1 i k2l, l = 0, 1,... [N/2]. (11) В узлах, лежащих на внутренней границе вязкопластического кольца, за даются узловые значения j 0 = S(tj ), а в разделительных узлах – две группы условий сопряжения:

первая группа:

j kj = n, n = 1, 2,..., N ;

(12) n вторая группа:

j n kj 1 j j j n = r (rkj ;

rkj, n ;

rkj, n1 );

если n – нечетное, hj j n n n kn j kj +1 n j j j n = r (rkj ;

rkj, n ;

rkj, n+1 );

если n – четное. (13) hj j +1 n n n+ kn Штрихом обозначена производная по первому аргументу.

Разностное уравнение (10) и первая группа условий сопряжения (12) за писываются в виде единой неоднородной системы линейных алгебраических уравнений A(m) (m) = B (m), (14) T где (m) = 1,..., k m m – вектор узловых значений напряжения в узлах m m-го слоя. Матрица A(m) = (ai j ) является блочной трехдиагональной. Неиз вестными величинами на m-м шаге являются напряжения в узлах сетки и величины пространственных шагов (временные шаги задаются и, в случае необходимости, корректируются по заданному правилу). Необходимо найти такое решение системы (14), которое удовлетворяет второй группе условий сопряжения (13).

Важным результатом диссертационной работы является предлагаемый метод решения одномерных нестационарных задач вязкопластического тече ния. В методе используется понятие версии. Под версией понимается выска зывание о номерах разделительных узлов на каждом временном шаге и век торе пространственных шагов. Рассматриваются только допустимые версии.

Версия допустима, если номер разделительного узла при переходе со слоя на слой либо не изменился, либо изменился на 1 в большую или меньшую (m) сторону, а вектор шагов H (m) входит в допустимое множество шагов Hдоп, которое формируется следующим образом:

– для разделительной линий с нечетными номерами (n = 1, 3,..) полагаем hm = xn hkn, m hm +1 = hm1 + hm1 xn ;

m m m m m kn kn kn +1 kn – для разделительной линий с четными номерами (n = 2, 4,..) полагаем hm +1 = xn hm1 +1, hm = hm1 + hm1 xn.

m m m m kn kn m1 kn +1 kn kn Остальные шаги берутся с предыдущего слоя.

На рисунке 1 представлена блок-схема алгоритма решения системы (14).

Шаг m-1.

Формирование Выдвижение Решение множества версий версии СЛАУ Проверка Решение системы Коррекция версии уравнений сопряжения шага Формирование сетки и поля напряжений Шаг m+ Рис. 1. Блок-схема алгоритма численного решения.

Алгоритм. Задаём временной шаг;

выдвигаем версию. В рамках выдвину той версии элементы матрицы A(m) и столбца B (m) выражаются через неко торые известные характеристики сетки и течения на предыдущем временном слое и неизвестные пространственные шаги, обозначенные через x1, x2,..., xN.

Поэтому, решив СЛАУ, получим решение как функцию этих переменных (многие системы символьной математики, например, MAPLE и Mathematica позволяют получать решение СЛАУ в аналитическом виде), т.е.

(m) (m) i = i (x1, x2,..., xN ), i = 1, 2,.., Подставляя эти функции в систему из вторых условий сопряжения (13) и решая ее, получаем конкретные значения x, x,..., x пространственных 1 2 N шагов hmm, hmm,..., hmm,. Если соответствующий вектор пространственных n1 n2 nN шагов принадлежит допустимому множеству, то версию признаём верной, а соответствующие напряжения – истинными напряжениями, если версия неверна – берём следующую. Если среди версий не обнаружено верной, то то корректируем временной шаг в сторону уменьшения и переходим в нача ло алгоритма.

Метод апробирован. Приведены решения задач, в которых возникает од на, две и три линии раздела. Проанализирована динамика соответствующих полей скорости и напряжения. Исследованы вопросы перехода из одного ре жима течения в другой, а также зарождения, слияния и исчезновения линий раздела.

Рисунки 2 – 4 иллюстрируют одну из решённых задач, в которой на про тяжении некоторого промежутка времени существуют три разделительные линии. Участки графиков напряжений на рисунке 3, которые располагаются в полосе 1 1, соответствуют поведению вспомогательной функции r (r, t).

Помимо задачи о движении вязкопластического материала в кольце со свободной внешней границе, в диссертационной работе решена задача со свободной внутренней границей. Постановка этой задачи отличается от рас смотренной выше граничными условиями. Между свободной и напряженной границами имеются принципиальные различия. В частности, вблизи свобод ной границы материал всегда находится в твердом состоянии, а линии разде ла зарождаются только на напряженной границе. Эти факты существенным образом используются в подробно описанном выше алгоритме. Поэтому ис пользовать его для решения задачи со свободной внутренней границей, нель зя.

В диссертационной работе возникшее затруднение решается с помощью конформного отображение кольца на себя, при котором границы меняют ся местами. Проведено сравнение с задачей со свободной внешней границей.

Рассмотрен случай, когда динамика разделительных линий существенно раз лична.

В третьей главе диссертации предлагаемым методом решены две задачи:

о течении между двумя пластинами, одна из которых свободная, другая – напряженная, и о продольном течении в круглой движущейся цилиндриче ской трубе. В обеих задачах предполагаются ненулевые начальные условия и имеется градиент давления. Решено большое количество частных задач, отвечающих различному виду зависимости градиента давления от времени и различным начальным условиям.

Решение задач получено способом, аналогичным способу решения задачи о течении материала в кольцевом пространстве. Сначала приводится матема тическая постановка задачи. Затем выводится разностный аналог и форми руется система уравнений. Программа для ЭВМ модифицирована с учётом изменений в постановке.

S y 0. 0. t 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0. 0. 0. t 0.0 0.2 0.4 0.6 0. Рис. 2. Граничная функция S(t) – ломаная, проведенная через точки с координатами (0, 0), (0.35, 10), (0.65, 10) и (1, 0), R = 100;

дина мика разделительных линий. Чёрная линия – первая разделительная линия, серая – вторая, тонкая – третья.

10 t=.302 t=. 5 0 y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 5 10 t=.302 t=. 0.01 0. y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0.0 0. 0.01 0. 0.02 0. 0.03 0. 0.04 0. 10 t=.5 t=. 5 0 y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 5 10 t=.5 t=. 0.01 0. y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0.0 0. 0.01 0. 0.02 0. 0.03 0. 0.04 0. 10 t=.558 t=. 5 0 y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 5 10 t=.558 t=. 0.01 0. y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0.0 0. 0.01 0. 0.02 0. 0.03 0. 0.04 0. 10 t=.695 t=1. 5 0 y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 5 10 t=.695 t=1. 0.01 0. y y 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0.0 0. 0.01 0. 0.02 0. 0.03 0. 0.04 0. Рис. 3. Распределение напряжения и угловой скорости по сечению кольца. Серым цветом отмечены жесткие зоны.

0. t 0.0 0.2 0.4 0.6 0. 0. 0. 0. 0. 0. Рис. 4. Зависимость угловых скоростей границ от времени. Тонкая линия – внешняя граница, толстая – внутренняя.

Особо выделены случаи, в которых имеются точные автомодельные реше ния (в работах А.Г. Петрова получен и исследован широкий класс автомо дельных решений в задачах о течении в неподвижной трубе и между двумя неподвижными пластинами;

Г.Т. Гасанов и А.Х. Мирзаджанзаде получили автомодельное решение для движущейся трубы). Два из этих решений ис пользованы в диссертации для тестирования метода.

Анализ численных решений тестовых задач показал, что расчётные за висимости размеров жёстких зон от времени с высокой степенью точности совпадают с теоретическими. Также хорошо совпадают теоретические и рас чётные поля скоростей и напряжений и другие характеристики течений.

На рисунках 5 – 7 приведены начальное распределение напряжений и гра фик градиента давления в аналитическом решении А.Г. Петрова (течение между неподвижными плоскостями), а так же расчётные (толстые линии) и теоретические зависимости (тонкие линии) размера и скорости ядра от вре мени, поля напряжения и скорости для некоторых моментов времени. По скольку графики расчётов и соответствующих теоретических зависимостей визуально неразличимы, то для наглядности линии теоретических зависимо стей продлены за границы расчётных линий.

Хорошее совпадение результатов расчётов тестовых задач с известными аналитическими решениями является основанием для использования метода в тех случаях, когда аналитическое решение неизвестно.

В задаче о торможении вязкопластического материала в круглой трубе дано сравнение с численными результатами других авторов, проведёнными с введением регуляризованной модели Папанистоса. Установлено хорошее сов падение результатов. Рассчитана эволюция границ жёстких зон и скорости течения для различных значений числа Бингама. Обнаружен и проинтерпре тирован эффект образования двух разделительных линий.

Несколько примеров численного решения неавтомодельных задач течения между двумя неподвижными пластинами и продольного течения в круглой движущейся цилиндрической трубе завершают третью главу.

В приложении приведена программа расчета вязкопластического тече ния в кольцевой области, внешняя граница которой свободна от напряжений, а на нижней задается изменяющееся во времени напряжения. Программа написана на яыке программирования системы Maple 10. Дан обширный ко ментарий к программе.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф-м.н., проф. Дмитрию Владимировичу Георгиевскому за ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку при преодолении трудностей.

y (a=0.2) (a=0.2) P 1. t 0 2 4 0. 0. 0 2 Рис. 5. Начальное распределение напряжения (y, t0 ) и градиент дав ления P (t).

(v) (a=0.2) (a=0.2) 1. 0. 0. t t 0 0 Рис. 6. Зависимости размера ядра и скорости ядра от времени.

y (a=0.2) y (a=0.2) 4 1.0 1. 0.5 0. 43 2 0. 0. (v) 0 2 0 2 Рис. 7. Профили напряжения и скорости для моментов времени t = 0.001, 0.5, 1.0, 2 (кривые 1–4 ).

Основные результаты и выводы 1. Разработан численный конечно-разностный метод решения одномерных нестационарных задач вязкопластического течения. Метод является ори гинальной авторской разработкой, универсален для указанного класса задач, отличается точностью и высокой скоростью расчётов. Метод реа лизован в виде программного продукта. Это позволяет производить рас чёты конкретных задач. Программы для реализации решения той или иной задачи из общего класса имеют незначительные отличия.

2. Метод протестирован на задачах имеющих точные автомодельные ре шения (задача о течении вязкопластического материала между двумя плоскостями и в круглой трубе). Во всех случаях анализ численного ре шения показал высокую степень точности совпадения расчётных и тео ретических характеристик решения.

3. Установлена устойчивость результатов расчётов при изменении основ ных вычислительных параметров алгоритма (число узлов сетки, макси мальные и минимальные размеры пространственных и временных ша гов).

4. Решена серия задач, не имеющих автомодельных решений и ранее други ми авторами не исследовавшихся, а именно, о течении вязкопластическо го материала в кольцевой области, о течении между двумя пластинами и о продольном течении в движущейся цилиндрической трубе. Рассмат ривались различные профили начального напряжения и скорости, учи тывался перепад давления. Построены поля напряжений и скоростей, исследована эволюция границ разделов.

5. В задаче о течении вязкопластического материала в кольцевом простран стве установлено существование режимов течения с двумя и тремя гра ницами разделов областей течения и жёстких зон. Исследованы вопросы перехода из одного режима течения в другой, а также зарождения, сли яния и исчезновения линий раздела.

6. В задаче о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоско сти получено аналитическое выражение для нижней оценки координаты границы жёсткой зоны. В задаче о стационарном течении вязкопласти ческого материала над вращающейся плоскостью аналитически найдены характерные точки асимптотических границ жёстких зон при стремле нии безразмерного предела текучести к нулю.

По теме диссертации опубликованы следующие работы 1. Георгиевский Д.В., Окулова Н.Н. Диффузия разрыва касательного на пряжения на границе полуплоскости// Тезисы докладов. Научная кон ференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск.

ун-та, 2006. С. 48.

Постановка задачи принадлежит Д.В. Георгиевскому. Решение задачи приналежит Н.Н. Окуловой.

2. Георгиевский Д.В., Окулова Н.Н. О вязкопластическом тече нии Кармана// Вестн. Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Меха ника. 2002. № 5. C. 45–49.

Общая постановка задачи, постановка задачи первого приближения по пределу текучести и ключевые идеи исследования принадлежат Д.В. Ге оргиевскому. Часть работы, посвящённая задаче Кармана для вязкой жидкости, а также поиск характерных точек граничных поверхностей жёстких зон в вязкопластическом аналоге задачи Кармана выполнены совместно Д.В. Георгиевским и Н.Н. Окуловой.

3. Георгиевский Д.В., Окулова Н.Н. Численно-аналитическое исследование движения границ жёстких зон в нестационарных задачах вязкопласти ческого течения// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносов ские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.

Постановка задачи выполнена Н.Н. Окуловой и Д.В. Георгиевским сов местно. Остальная часть работы сделана Н.Н. Окуловой самостоятельно.

4. Георгиевский Д.В., Окулова Н.Н. Численно-аналитический метод реше ния одного из вариантов задачи Стефана, возникающей в нестационар ной вязкопластичности// Тезисы докладов. Научная конференция "Ло моносовские чтения". Секция механика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007.

С. 55–56.

Постановка задачи и аналитическое решение в жёсткой зоне выполнены Н.Н. Окуловой и Д.В. Георгиевским совместно. Остальная часть работы сделана Н.Н. Окуловой самостоятельно.

5. Окулова Н.Н. Об одном методе решения задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости// Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2007. № 4. С.62– 6. Окулова Н.Н. Тестовые примеры расчёта нестационарных вязкопласти ческих течений// Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносов 2008". Секция механики. 2008.

7. Окулова Н.Н. Численно-аналитическое исследование задачи о распределении напряжений в вязкопластической полосе// Вестн.

Сам. ун-та. Естественнонаучная серия. 2007. № 6. С.78–84.

8. Окулова Н.Н. Численный метод решения задач одномерного нестацио нарного течения вязкопластического материала// Тезисы докладов. На учная конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела". Пермь. 2008.