Формирование статистического критерия прочности для материалов с гексагональной плотноупакованной кристаллической решеткой
На правах рукописи
Шкода Игорь Александрович ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ПЛОТНОУПАКОВАННОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКОЙ 01.02.04 – Механика деформируемого твёрдого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Волгоград – 2013
Работа выполнена в Камышинском технологическом институте (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет» доктор технических наук, доцент Научный руководитель Богданов Евгений Павлович.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Николаев Анатолий Петрович.
кандидат физико-математических наук, доцент Тырымов Александр Александрович.
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный Ведущая организация технический университет им. Гагарина Ю.А.»
Защита состоится « 29 » апреля 2013 года в часов на заседании Диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд.
209.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.
Автореферат разослан « » марта 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Водопьянов В.И.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
* Актуальность. Большинство прочностных расчётов базируются на гипо тезах об однородности среды, рассматривая только одну - две характеристики макроскопической прочности и две характеристики упругих свойств. При этом известно, что большинство конструкционных материалов являются поликри сталлическими телами, состоящими из большого количества различно ориен тированных зёрен, обладающих различными видами анизотропии: упругих, пластических, прочностных и других свойств. Взаимодействие анизотропных зёрен приводит к возникновению неоднородного сложного напряжённо деформированного состояния, что способствует возникновению пластических деформаций и разрушений в отдельных частях наиболее неблагоприятно ори ентированных зёрен и постепенному распространению этих процессов в мате риале при увеличении нагрузки или времени. Очевидно, что статистические за кономерности распределения микронапряжений и деформаций определяют ха рактер протекания этих процессов. Однако зависимость этих процессов от типа материала и вида напряженного состояния в прочностных расчетах должным образом не учитывается.
Более точный учет свойства материала в прочностных расчётах является важной задачей, решение которой призвано обеспечить повышение точности и надежности расчетов, что в свою очередь позволит уменьшить материалоем кость. Пока разработаны статистические критерии прочности и пластичности для материалов с кубическим типом кристаллической решетки, обладающей высокой симметрией упругих свойств кристаллитов-зёрен, описываемой тремя независимыми упругими константами. Практический интерес представляет ис следование влияния микронапряжений на особенности формирования поверх ности разрушения для поликристаллов, у которых зёрна обладают более слож ными свойствами и, прежде всего для материалов, имеющих гексагональную плотноупакованную (ГПУ) кристаллическую решётку. Эту решётку имеет ряд металлов, таких как Be, Mg, Со, Ti, Zn, Zr, являющихся основой большого чис ла сплавов, применяющихся для особо ответственных конструкций.
Актуальность выбранной темы диссертационной работы подтверждена её выполнением в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно педагогические кадры инновационной России», государственный контракт № 14.В37.21.1091.
Цель работы – исследовать закономерности микронеоднородного дефор мирования в поликристаллических телах с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) кристаллической решёткой и использовать полученные результаты для определения параметров статистических критериев прочности, которые позво ляют оценивать механические свойства материалов для произвольного напря женного состояния.
* Автор выражает признательность и благодарность соконсультанту, д.т.н., профессору Багмутову В.П. за ценные советы и замечания при написании диссертации Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:
1. Обосновать вид статистических критериев, которые следует исполь зовать для материалов, имеющих гексагональную кристаллическую решетку.
2. Разработать методы исследования, позволяющие аналитически и чис ленно исследовать концентрацию микронапряжений и статистические парамет ры, характеризующие их распределение.
3. Определить статистические параметры, характеризующие изменение концентрации микронапряжения для ГПУ поликристаллов от вида напряженно го состояния.
4. Разработать экспериментально-теоретическую методику уточнения расчетных значений параметров статистического критерия разрушения для ре альных конструкционных материалов.
5. Использовать полученные параметры для исследования процесса формирования поверхностей разрушения при объёмном напряжённом состоя нии.
Научная новизна заключается в следующем:
Для материалов с гексагональной кристаллической решеткой разработаны 1.
два метода расчёта микронапряжений и статистических параметров, характери зующих их изменение для произвольного вида напряженного состояния, позво ляющие получать их в аналитическом и численном виде.
Определены статистические параметры распределения микронапряжений и 2.
получены расчетные значения параметров статистического критерия разруше ния.
Выявлены ограничения на пределы изменения параметров статистического 3.
критерия ориентированного разрушения в результате анализа девиаторного и меридианного сечений поверхностей разрушения, следующие из физических, статистических и геометрических предпосылок.
Разработана расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров 4.
статистического критерия ориентированного разрушения, использующая полу ченные ограничения на возможный интервал их изменения.
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается:
• использованием для расчета микронапряжений хорошо известного в меха нике метода конечных элементов и сравнением полученных результатов с ана литическим решением, полученным с использованием гипотезы Фойгта;
• согласованностью теоретических результатов по описанию формы пре дельной поверхности разрушения и изменения пластичности от жесткости на пряжённого состояния с экспериментальными данными;
• проведённым сравнительным анализом полученных результатов по оценке прочности с другими известными критериями.
Практическая значимость результатов.
Определены дисперсии и ковариации всех компонент тензора микрона 1.
пряжений, возникающие от действия единичных главных макроскопических напряжений для ГПУ поликристаллов. Эти параметры позволяют получить за висимость дисперсий любой компоненты микронапряжений для произвольно го вида напряженного состояния, что представляет практический интерес не только для микромеханики, но и для физики твердого тела.
Разработана расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров 2.
статистического критерия ориентированного разрушения, которая может быть использована на реальных материалах с любой кристаллической решёткой.
Реализация и внедрение результатов.
На созданный в ходе выполнения диссертационной работы программный продукт «Оценка параметров статистического критерия прочности на основе испытаний образцов с кольцевым надрезом» оформлена и подана заявка на по лучение свидетельства о регистрации программы в Федеральный орган испол нительной власти по интеллектуальной собственности. Правообладатель: Фе деральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный техниче ский университет». Авторы: Богданов Е.П., Шкода И.А.
Результаты диссертационной работы используются при расчётах конст рукций на прочность в ООО «Завод Ротор», г. Камышин.
На защиту выносятся:
1. Методика определения дисперсий и ковариаций всех компонент тензора микронапряжений на объёмной конечно-элементной модели поликристалла с полиэдрической формой зерен.
2. Результаты исследования статистических закономерностей распределе ния микронапряжений и деформаций при различных видах напряженного со стояния.
3. Расчетные значения параметров статистического критерия ориентиро ванного разрушения, полученные для 9 материалов с ГПУ кристаллической решёткой.
4. Расчетно-экспериментальная методика уточнения параметров статисти ческого критерия ориентированного разрушения.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научных семинарах кафедры «Сопротивления материалов» ВолгГту (2006- гг.), г. Волгоград, объединённых семинарах кафедр «Общетехнические дисцип лины» и «Информатика» КТИ (ВолгГту), г. Камышин, на заседании кафедры «Транспортное строительство» СГТУ (2013 г.) г. Саратов, а также международ ных и всероссийских научных и научно-практических конференциях: «Про грессивные технологии в обучении и производстве» (КТИ ВолгГту, г. Камы шин 2006 – 2011 гг.), «Научно-техническая конференция» (ВолгГту, г. Волго град, 2008, 2009, 2011 гг.), «Научно-практическая конференция» (Российский университет кооперации. - г. Волгоград, 2006, 2007 гг. ), "Математическое мо делирование и краевые задачи" (Самарский государственный технический уни верситет. - г. Самара, 2007, 2008 гг.), Научно-практическая конференция моло дых исследователей "Наука и молодёжь": информационные технологии и мате матическое моделирование в науке и образовании» (ВолгГСХА. - г. Волгоград, 2008 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликова ны в 18 статьях и материалах конференций, 4 из которых опубликованы в из даниях, рекомендованных ВАК, 14 статей в сборниках трудов конференций.
Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы из 192 источни ков и 2 приложений. Основной текст изложен на 144 страницах, включая 32 ри сунка и 11 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформули рованы цель и задачи работы, описана структура диссертации.
Первая глава посвящена обзору работ по экспериментальному и теорети ческому исследованию неоднородного напряженно-деформированного состоя ния (НДС) поликристалла, обусловленному взаимодействием анизотропных зе рен, и обзору известных статистических теорий прочности, рассматривающих структурные модели материала, учитывающие неоднородность свойств мате риалов.
Статистический подход развивался в работах Афанасьева Н.Н., Чечулина Б.Б., Волкова С.Д., Вайнштейна А.А., Новожилова В.В., Кадашевича Ю.И., Шура Д.М., Мазинга Г., Ишлинского А.Ю. и др. авторов.
Показано, что модели поликристаллических сред, оценка микронапряже ний в которых производится с использованием теории случайных функций и модели поликристалла с использованием решения Эшелби для анизотропного включения не позволяют одновременно учесть упругую, прочностную и пла стическую анизотропии зёрен, так как совместный анализ случайных тензор ных полей упругих и прочностных свойств затруднен. Рассмотреть все виды анизотропии можно, решая статистическую задачу на основе детерминирован ного подхода, когда рассматривается случайная выборка из бесконечной гене ральной совокупности различных ориентировок и форм зёрен, по которой и производится оценка статистических параметров микронапряжений, ответст венных за наступления текучести или разрушения. Обзор экспериментальных работ по исследованию НДС в поликристаллах показал, что пока единственным методом исследования микронапряжений остается теоретические исследования на моделях поликристалла.
Дан обзор результатов по исследованию концентрации микронапряжений и их статистических закономерностей распределения от вида напряженного со стояния, полученный на моделях, позволяющих получить аналитические реше ния и использующих численные методы решения. Показано, что ранее для рас чёта микронапряжений методом конечных элементов решалась задача для плоского напряжённого состояния, что не позволило определить все компонен ты микронапряжений и их статистические параметры. Рассмотрены ранее при меняемые конечно-элементные модели поликристалла и установлено, что все они использовали квадратную форму зерен в виде шахматной доски или слоев со смещением. Такие формы зерен далеки от реальных, создают завышенную концентрацию микронапряжений при рассмотрении стыковки в углах квадрата сразу четырех зерен или обладают геометрической «анизотропией». Намечены пути совершенствования моделей поликристалла.
Статистические критерии текучести и разрушения, использующие зависи мости концентрации микронапряжений от вида напряжённого состояния, впер вые предложены Волковым С. Д. Им использовалась гипотеза, что дисперсия микронапряжений пропорциональна энергии деформации. В работах Багмутова В. П., Богданова Е. П. зависимости концентрации микронапряжений, опреде ляющие возникновение микроразрушений и локальных сдвигов, получались на различных моделях поликристалла. Однако детально рассмотрены только ма териалы с кубическим типом кристаллической решетки, обладающей высокой симметрией упругих свойств кристаллитов-зёрен. Показана актуальность ис следования особенностей формирования поверхности разрушения для поликри сталлов, у которых зёрна обладают более сложными свойствами.
В главе рассмотрены различные статистические критерии прочности. Про ведено обоснование вида статистического критерия прочности для материалов с ГПУ кристаллической решёткой. Учитывая, что ГПУ кристаллы не имеют слабых плоскостей спайности (отдельности), и плоскости, по которым возни кают микротрещины, мало отличаются от направления, перпендикулярного главному макроскопическому напряжению 1, то для них можно использовать критерий ориентированного разрушения. При его создании принято, что ло кальным критерием разрушения является условие: 11 c, где 11 – нормаль ные микронапряжения, ориентированные коллинеарно 1, c - локальная проч ность. Условие ориентированного разрушения имеет вид:
р P 12 + 22 + 32 + 2Q( 1 2 + 1 3 ) + 2 F 2 3 + (1 р P ) 1 = р (1) где р = p / c : p, c - истинные разрушающие напряжения при растяжении и сжатии;
P, Q, F – относительные параметры:
D (111) ), cov12 (11 ), cov 23 (11 ), ( (2) P= Q= F= D(11 ) D (11 ) D (11 ) (2) ( 2) ( 2) определяемые отношением дисперсий и ковариаций микронапряжений 11k ), ( возникающих под действием единичных макроскопических напряжений k = 1.
Очевидно, что для расчета на прочность нужно определение параметров P, Q, F для поликристаллов с ГПУ кристаллической решеткой, а также структурно чувствительного параметра р и прочности при растяжении p. Показана не обходимость разработки расчетно-экспериментальной методики по оценке этих параметров.
Вторая глава посвящена аналитическому исследованию микронапряже ний и расчёту абсолютных и относительных статистических параметров рас пределения компонент тензора микронапряжений с использованием гипотезы об однородности деформаций для поликристаллов с ГПУ кристаллической ре шёткой. Рассмотрены 9 различных материалов: титан, бериллий, иттрий, ко бальт, магний, цирконий, кадмий, цинк и графит. Упругие свойства кристалла в кристаллографических осях задаются пятью компонентами тензора упругости C1111, C1122, C1133, C3333, C2323 (вместо трёх у кубических кристаллов). Все ком 0 0 0 0 поненты тензоров упругости и податливости для произвольно ориентированно го зерна с ГПУ решёткой были получены в явном виде, используя преобразова ния тензора четвертого ранга. Например:
Siiii = ( s11 + s33 2 s13 4 s44 ) i 3 + ( 2 s11 + 4 s44 + 2 s13 ) i 3 + s 4 (3) [ ] Siijj = ( s11 + s33 2 s13 4 s44 ) j 3 s12 + s13 i 3 + ( s12 + s13 ) j 3 + s 2 2 Для упруго изотропных кристаллов упругие свойства не зависят от ориен тации кристаллографических осей, поэтому выражения с множителями, содер жащими направляющие косинусы, будут равны нулю. Поэтому упругую анизо тропию можно характеризовать отличием этих параметров от нуля, а для срав нения степени анизотропии можно использовать относительные параметры, например:
2 S 0 2 S13 S 44 S 0 + S 0 2 S 0 S 44 S0 S 0 0 (4) U sg = 11 ;
Z sg = 11 33 0 13 ;
Rsg = 13 0 S 44 S 44 S Для ГПУ решётки количество относительных параметров упругой анизо тропии равно трём, в то время как для кубических кристаллов, для которых 2( S11 S12 ) 0 2C S11 = S 33 ;
S12 = S13 достаточно одного U sg = 1 = 0 44 0 1 = 1.
0 0 0 C11 C S Для различных ГПУ материалов только одновременно учитывая изменение всех трех параметров анизотропии, можно проводить аналогии и прогнозиро вать изменение статистических параметров, характеризующих степень концен трации микронапряжений.
Упругие свойства рассмотренных ГПУ материалов значительно отличают ся. Для примера на рис. 1 приведены формы поверхностей, показывающих из менение модуля нормальной упругости в зависимости от направления для ряда ГПУ кристаллов с различными параметрами анизотропии.
а) б) в) г) Рисунок 1 – Поверхности, характеризующие изменения модуля упругости от направле ния нагрузки для ГПУ кристаллов: а) бериллий, б) цинк, в) кобальт, г) графит С использованием параметров упругой анизотропии и поверхностей изме нения модуля в диссертации произведена классификация ГПУ кристаллов.
Компоненты тензора микронапряжений в лабораторных осях для произ вольно ориентированного зерна определяются законом Гука для анизотропного тела ij = Cijklkl. В соответствии с гипотезой однородности деформаций компо ненты тензора деформаций kl определяются по закону Гука для изотропного тела. Исследовано влияние типа упругой анизотропии на зависимость уровня концентрации от вида напряжённого состояния для кристаллов с ГПУ кристал лической решёткой.
Для малых перемещений, используя принцип суперпозиции, для любого напряжённого состояния, задаваемого произвольными главными макроскопи ческими напряжениями 11, 22, 33, концентрация микронапряжения ij в про извольной точке случайным образом ориентированного зерна может быть най дена как сумма K = ij 1 = 1 + 2n2 + 3n3, (5) ij ij ij ij Здесь ijk микронапряжение, возникающее под действием единичного главного напряжения;
n2 = 2/1, n3 = 3/1 – относительные параметры, характеризую щие вид напряжённого состояния в диапазоне напряжённых состояний, где 10.
Произведено численное исследование выражения (5) при изменении ори ентировок зерна, задаваемых углами Эйлера с шагом 5° для ряда напряжённых состоянии в диапазоне изменения n2 и n3 [-1, +1]. Установлено, что для всех исследованных материалов с ГПУ решёткой поверхности K11 = Ф(n2, n3) суще ственно отличаются, что связано с различием типа упругой анизотропии (рис.
2). Во всех случаях концентрация микронапряжений минимальна для трехосно го растяжения.
Рисунок 2 – Изменение коэффициентов концентрации микронапряжений K = 11/1 в зависимости от n2 = 2 /1 и n3 =2 /1 для бериллия, цинка, кобальта и иттрия Рассматривая микронапряжение в случайно ориентированном зерне как сумму трех микронапряжений (ijk ), возникающих от действия каждого главно го макроскопического напряжения, можно в соответствии с теорией вероятно сти получить общую структуру зависимости дисперсий микронапряжений от вида напряжённого состояния:
D( ij ) = 12 Bij + 2 Bij + 32 Bij + 2( 1 2 Bij + 1 3 Bij + 2 3 Bij ), 11 2 22 33 12 13 (6) где Bij = D (ijk ) – дисперсии;
Bij = cov( ijk ijm ) – ковариации (корреляционные km моменты) микронапряжений, возникающих от единичных макронапряжений k и m. Для получения дисперсий и ковариаций произведено осреднение квадра тов и попарных произведений микронапряжений, полученных с использовани ем гипотезы однородности для произвольно ориентированного зерна, по всем возможным ориентировкам зёрен, задаваемых углами Эйлера:
2 ( ij ) n = ( ij ) sin d d d n (7) 8 00 Определены дисперсии и ковариации для всех компонент тензора микро напряжений. В автореферате для краткости приведены выражения только для нормальных микронапряжений iik :
() 15( H 1v 2 H 2 v + H 3 ) () rk 4(W1v 2 W2 v + W3 ), ri D ii = Bii = D ii =B = kk (8) ii ii W 7W W1 = 3Z 2 + 35R 2 + 10 RZ, W2 = 4Z 2 + 70UR 2 + 10URZ + 60 RZ, где W3 = 60UZ + 35U 2 + 28Z 2, W4 = (3Z + 15C11 + 5U (20 R + 2 Z + 30C12 )) H1 = 105C11 + 14(15C12 + 5U + 4 Z + 10 R )C11 + 105C12 +...
2 14(5U + 4Z + 10 R)C11 + 21U 2 + 16Z 2 + 48RZ + 36UZ + 56 R 2 + 56UR, H 2 = 14C11 (10 R Z 15C12 ) 210C12 70C12 ( Z + 4 R + U ) 4Z 2 52 RZ...
84 R 2 56UR 6UZ, H 3 = 105C12 + 14(10 R + Z )C12 + 56 R 2 + 12 RZ + Z 5(G1v 2 G2v + G3 ) cov( iii iii ) = Bii =, cov(iim iik ) = Biimk = 5 V1v V2v + V3, где: ( k i ) (9) ik 5 7W4 W G2 = 315C11 + 21(15C12 + 10 R + 10U + 7 Z )C11 + 630C12 +...
2 + 21( 40 R + 7 Z + 5U )C12 + 44Z 2 + 114 RZ + 294 R 2 + 84UR + 99UZ + 63U 2, G3 = 21C11 (10 R + Z + 15C12 ) + 21C12 (3Z + 5U ) + 9UZ + 54 RZ + 5Z 2 + 84UR V1 = 315C11 + 42C11 (15C12 + 5U + 4 Z + 10 R) + 315C12 + 42C12 +...
2 (5U + 4Z + 10 R ) + 108UZ + 168UR + 46Z 2 + 126 R 2 + 63U 2 + 132 RZ, V2 = 42C11 ( Z + 10 R + 15C12 ) + 630C12 + 210C12 ( Z + 4 R + U ) +...
+ 336 R 2 + 108UZ +... + 16 Z 2 + 168UR + 180 RZ, V3 = 315C12 + 42C12 (10 R + Z ) + 126 R 2 + 126 RZ + Z.
Здесь – коэффициент Пуассона, определяемый по Фойгту, а U, R, Z пара метры анизотропии, выраженные через компоненты тензора упругости:
R = C13 – C12, Z = C11 + C33 – 2C13 – 4C44, U = 2(C13 – C11 + 2C44).
На рис. 3 (a, б, в, г) показано изменение дисперсий двух компонент нор мальных микронапряжений, отнесённых к главному макроскопическому D( 11 / 1 ) и D( 22 / 1 ), в зависимости от вида напряжённого состояния для по ликристаллов Zn, Co. Видно, что вид зависимости концентрации микронапря жений существенно отличается для различных материалов. В диссертации при ведены полученные выражения дисперсии и ковариации также и для касатель ных микронапряжений.
Рисунок 3 – Влияние объёмного напряжённого состояния на концентрацию микрона пряжений в поликристаллах (гипотеза Фойгта): а), б) цинк;
в), г) кобальт Для каждого материала определены относительные параметры статистиче ского критерия прочности P, Q, F.
Третья глава посвящена численному моделированию напряжённо деформированного состояния на объёмной модели поликристалла методом ко нечных элементов. Этот метод позволяет наиболее полно учесть взаимодейст вие зерна с реальным окружением при выполнении условий совместности и равновесия. Для реализации этого подхода в работе использовалась модель по ликристалла в форме пластинки (рис. 4, 5), зерна в которой имели шестигран ную форму, толщина пластинки равнялась размеру зерна.
Рисунок 4 – Картина расположения границ Рисунок 5 – Детализация модели зёрен в расчётной модели на 31813 элементов – тетраэдров Для определения статистических параметров, характеризующих распреде ление микронапряжений, использовалась следующая методика. Производилось решение для двух одноосных растяжений = 1 и = 1. Расчет дисперсий y x всех компонент тензора микронапряжений для каждого решения определит () () приближенные значения D ij и D ij2. Используя оба решения, находятся ко ( ) вариации cov ij ij2. Ковариации cov( ij2 ij3 ) нельзя было определить при ис пользовании только двух видов растяжений единичными макронапряжениями x = y = 1, поэтому их находили исходя из квазиизотропности поликристалла, например, для 11 : cov( 11 11 ) = cov( 33 33 ). Для каждого материала производи 2 3 1 лось решение для десяти различных вариантов взаимного расположения зерен, выбираемого с помощью генератора случайных чисел. Затем определялся дове рительный интервал для математических ожиданий соответствующих выборок дисперсий и ковариаций, исходя из предположения, что эти значения не корре лированны между собой. На рисунке 6 показаны поля микронапряжений 11 в срединной плоскости пластинки.
Рисунок 6 – Изменение микронапряжений в сечении, проходящем через середину пластины, параллельно лицевой поверхности. Одноосное растяжение y = 1. Матери ал титан На рисунке 7 показано изменение дисперсий микронапряжений, получен ных по формуле (6) и результатам расчета МКЭ для бериллия и титана в зави симости от отношения главных макроскопических напряжений 2 / 1 и 3 / 1 в интервале [-1;
1].
а) б) Рисунок 7 – Изменение дисперсий микронапряжений в зависимости от соотношения главных макронапряжений: a) бериллий;
б) титан В диссертации приведены дисперсии и ковариации для всех изученных ма териалов, которые позволяют получить для них, используя (6), значения дис персий для любого напряженного состояния. Получены регрессионные зависи мости, связывающие дисперсии и ковариации, определенные численным расчё том, с параметрами упругой анизотропии.
Четвёртая глава посвящена разработке расчетно-экспериментальной ме тодики уточнения относительных параметров статистического критерия ориен тированного разрушения и сравнению оценки прочности по разработанному критерию с другими известными критериями.
Показано, что форму поверхности разрушения, получаемую с использова нием статистических критериев прочности, определяют соотношение относи тельных параметров (2), характеризующие особенности взаимодействия зерен для анизотропии различного типа. Дана статистическая трактовка этим пара метрам. В силу квазиизотропности поликристалла D(11 ) = D(11 ), поэтому па 2 раметр F равен коэффициенту корреляции: F = 23 ( 11 11 ). Используя выраже ние для коэффициента корреляции нормальных напряжений 12 ( 1 2 ) = cov(11 11 ) D(11 ) D(11 ), легко показать, что 12 ( 11 11 ) = Q / P.
1 1 2 1 11 В диссертации приведены результаты расчёта P, Q, F и 12 и 23 для ряда материалов с ГПУ решёткой с использованием гипотезы однородности дефор k маций и МКЭ. Показано, что коэффициенты корреляции микронапряжений ii m и ii для различных материалов резко отличаются. Это является важным отли чием от поликристаллов с кубическим типом кристаллической решетки, для ко торых значения этих параметров мало изменяются даже для материалов с резко отличающимся уровнем анизотропии.
В таблице 1 приведены оценки относительных параметров P, Q, F, полу ченные МКЭ, и доверительные интервалы, показывающие возможное измене ние средних значений этих параметров с вероятностью 0,95. Данные упорядо чены по отношению экстремальных модулей упругости.
Таблица Графит Be Co Mg Ti Zr Cd Zn Emax/Emin 1,159 1,16 1,17 1,373 1,413 2,674 3,5 6, Р 2,487 1,122 0,922 0,575 1,554 3,448 2,70 1, Дов. инт. Р 0,266 0,219 0,099 0,096 0,210 0,449 0,255 0, Q -1,033 -0,380 -0,282 -0,483 -0,386 -0,83 -0,687 -0, Дов. инт. Q 0,095 0,113 0,065 0,105 0,089 0,125 0,101 0, F -0,122 -0,024 0,109 0,097 0,202 0,175 0,033 -0, Дов инт F 0,028 0,077 0,087 0,065 0,039 0,029 0,054 0, Двухос. Раст 1,106 0,973 0,95 0,994 0,978 1,048 0,97 0, МКЭ/Фойгт 1,099 1,014 1,003 0,974 1,132 1,329 1,27 1, Трёхос. Раст 1,452 0,955 0,897 0,962 0,929 1,074 1,04 1, МКЭ/Фойгт 1,364 1,311 1,25 1,248 1,477 1,984 1,804 1, Так как расчеты в работе проводятся по характеристикам, определяемым для химически чистых металлов, а реальные материалы содержат многочис ленные легирующие добавки и примеси, то для уверенного применения стати стического критерия прочности для реальных материалов в области развитых пластических деформаций, следует разработать методику экспериментального определения параметров критерия. При этом следует использовать эксперимен ты с различным напряженным состоянием, а рассчитанные параметры P, Q, F применять в качестве начальных значений, которые в процессе расчета должны варьироваться для обеспечения наилучшего соответствия расчетных и экспе риментальных данных. Для получения корректных результатов нужно опреде лить допустимые интервалы варьирования, которые должны следовать из яс ных физических предпосылок или статистических положений.
Для этого проведено исследования возможной формы поверхности разру шения, соответствующей статистическому критерию (1) в девиаторном сечении (в этом сечении величина шарового тензора неизменна), а также в меридиан ных сечениях, в которых вид напряженного состояния остается неизменным с точностью до шарового тензора (или, что эквивалентно, параметр Лоде-Надаи 2 1 µ = 2 = const ).
1 При исследовании уравнения девиаторного сечения выражение статисти ческого критерия (1) преобразуется от осей главных напряжений в оси, в кото рых одна из главных осей равно наклонена к осям главных напряжений, а две другие расположены в девиаторной плоскости. Установлено, что величина па раметра F=1 является максимально возможной. Именно при этом значении F девиаторное сечение меняет кривизну. Кроме того, это значение F совпадает с максимально возможным значением F, полученном из вероятностной трактовки критерия прочности, так как F равен коэффициенту корреляции 23 ( 11 11 ).
Минимальная оценка F была получена из условия, что дисперсии микрона пряжений 11 при любом виде напряженного состояния больше или равны ну лю, откуда Кроме того, учитывая, что Fmin = 1 P / 2 2Q 1.
12 ( 11 11 ) = Q / P, была получена оценка Qmin = P. На рисунках 8а, 8б при 1 ведены формы девиаторного сечения поверхностей разрушения для четырёх поликристаллов с ГПУ решёткой (цинка, титана, бериллия и иттрия) для р = 0,25.
а) б) Рисунок 8 – Формы девиаторного сечения поверхности разрушения для различных контуров хрупкого разрушения поликристаллов с ГПУ решёткой при р=0,25, соответ ствующие критерию (1), построенные по параметрам P, Q, F, рассчитанных по a) гипо тезе Фойгта, б) МКЭ При исследовании функции меридианного сечения на возможность менять кривизну используем кривые предельного состояния в координатах интенсив ность – шаровой тензор. Для этого преобразовываем условие прочности ориен тированного разрушения (1) с помощью подстановок:
2µ si (3 + µ ) si (3 µ ) si, 2 =0 +, 3 = 1 = 0 +, 3 3 + µ 3 3 + µ 3 3 + µ 2 где s - интенсивность напряжений, 0 - шаровой тензор. Учитывая, что знак i второй производной d 2 F d 02 (где F ( р, µ, P, Q, F, 0, р ) - функция мериди анного сечения) не должен меняться на всем интервале изменения шарового тензора [.. 0c ], где 0c прочность при трёхосном равномерном растяжении, получено общее решение для ограничения на р :
[ P (µ ] 3) + ( P 4 F 2Q + 5) µ + 6(2Q P 2 F + 1) µ + 9( P 2Q + 1) ( µ 3) р (9) (2Q + 4 F 5) µ + 6(2 F 2Q 1) µ + 9(2Q 1) Из условия действительности значений d 2 F d 02 следует дополнительное огра ничение:
P 2Q F (10) P Для всех материалов произведены расчёты по критерию (1) относительной прочности 1 / p при трёхосном гидростатическом растяжении и при двухос ном растяжении 1 = 2 (табл. 1) с использованием параметров P, Q, F, полу ченных методом конечных элементов и с использованием гипотезы однородно сти деформаций, для р = 0,25, когда для всех материалов выполняются огра ничения, выявленные при исследовании девиаторного и меридианного сечений поверхности разрушения. Рассчитанные разными методами параметры (табл. 1) критерия (1) использованы для построения поверхностей разрушения, которые представлены на рис. 9 для плоского напряженного состояния.
Интерес представляет сравнение полученных контуров в области двухос ного растяжения и растяжения – сжатия при плоском напряженном состоянии, где 3=0 и F не влияет (рис. 9). Анализируя эти контуры, можно заключить, что влияние статистических параметров P и Q наиболее велико в области двухосно го растяжения. Причем прочность при двухосном растяжении может быть как больше, так и меньше по сравнению с одноосным растяжением (так, для мате риалов Be и Cd прочность при двухосном растяжении больше прочности при одноосном растяжении, а для других меньше). Сравнивая контуры разрушения, полученные по Фойгту и по МКЭ (рис. 9, а, б) с большим числом эксперимен тальных данных при плоском напряженном состоянии, можно сделать вывод, что более достоверно описывают эксперимент параметры критерия, получен ные по МКЭ. Параметры, полученные на основании гипотезы Фойгта, могут чрезмерно завышать прочность при двухосном растяжении.
а) б) Рисунок 9 - Контуры разрушения для плоского напряжённого состояния (р=0,25) для ряда ГПУ материалов, построенные с использованием статистического критерия проч ности (1) по параметрам P, Q, F (2), рассчитанных по a) гипотезе Фойгта, б) МКЭ Для экспериментальной оценки параметров статистического критерия ори ентированного разрушения в диссертационной работе была разработана мето дика, базирующаяся на испытании цилиндрических образцов с кольцевыми надрезами различной остроты, которые позволяли получать в зоне разрушения различные виды напряженных состояний, отличающиеся соотношением шаро вого тензора и интенсивности напряжений.
Для этого производится построение кривых деформирования для образцов с различными кольцевыми надрезами в координатах S = f (e ). Здесь S = F / A 1 i осреднённое истинное напряжение, определяемое по площади поперечного се чения А, соответствующей нагрузке F;
ei = 2ln(d 0 / d ) истинная деформация в зоне концентратора, определяемая по начальному d 0 и текущему диаметру ми нимального сечения. В качестве исходных данных рассматривались кривые де формирования образцов из титанового сплава 5В: гладкого и с радиусами коль цевого надреза 2,3;
1,5;
0,85;
0,5 (мм), при соотношении диаметров d/D=0,707.
Кроме того, использованы испытания с шестикратными переточками образца, которые производились после начала образования шейки при достижении ei =5% пластической деформации, что позволило получить характеристики без существенного влияния формы шейки.
Затем кривые деформирования перестраивались в координаты интенсив ность истинных напряжений и интенсивность деформаций si = f (ei ). Для гладкого образца для этого можно использовать решения Бриджмена или Дави денкова. Коэффициенты «упрочнения» k, которые учитывают кривизну шей ки, создающую неоднородное напряжённое состояние в зоне минимального се чения для гладкого образца, отличаются незначительно. Однако установлено, что для малых радиусов кривизны в кольцевых надрезах лучшее соответствие перестроенных кривых единой кривой деформирования в координатах si ei, полученной на образцах с переточками шейки, даёт поправка по Бриджмену.
Поэтому именно она использовалась в дальнейших расчётах для определения интенсивности напряжений si.
si = S1 / k ;
k = (1 + 4 R / d )ln(1 + d / 4 R ) (11) Здесь d, R диаметр и радиус кривизны в шейке или надрезе.
Для определения интенсивности напряжений, соответствующей разруше нию, использовали критерий ориентированного разрушения (1), записанный в виде функции интенсивности напряжений от безразмерных параметров n1, n2, n3, определяющих вид напряженного состояния:
sic = s C /( р P (n12 + n 2 + n3 ) + 2Q (n1 n2 + n 2 n3 ) + 2 F n2 n3 + (1 р P ) n1 ) 2 (12) p Здесь р = s C / ssC s C, ssC истинные разрушающие напряжения при растя p p жении и сжатии, n1 = s/ si ;
n2 = r/ si ;
n3 = t/ si, где s, r, t - осевое, ради альное, тангенциальное напряжения, n1, n2, n3 выражаются через параметр Ло де µ и показатель жесткости напряженного состояния N = 0 :
si ( ) ( ) ( ) n1 = N + (3 µ ) / 3 + µ / 3;
n2 = N + 2µ / 3 + µ / 3;
n3 = N (3 + µ ) / 3 + µ / 3, 2 2 Для описания разрушения использовали значения радиусов в надрезе, по лученные измерением после разрушения. Для аппроксимации кривой деформи рования гладкого образца использовалось уравнение степенного упрочнения si = y + K ein, где K=225,16 МПа, n=0,21395 – параметры упрочнения;
y = 665 МПа - предел упругости получены обработкой кривой деформирова ния для гладкого образца с переточками. При ei = 0,2% si = T, то есть равна условному пределу текучести. Погрешность аппроксимации, оцениваемая от клонением s i от экспериментальных значений, была менее 1,5%. По Бриджме ну для центральной части сечения: N = 1 + 3ln(1 + d /(4 R )), а µ = 1.
В качестве начальных значений P, Q, F принимались величины, получен ные расчетом по МКЭ. Затем, используя экспериментальные значения истин ных разрушающих напряжений, производили минимизацию суммы квадратов разностей для каждого типа радиусов кривизны, изменяя параметры статисти ческих критериев P, Q, F и p :
Re(k si S1 i ) m = min, (13) c p m = где S1p i экспериментально определяемое истинное разрушающее напряжение для каждого вида надреза, 4 – это количество типов образцов (гладкий с естест венной шейкой и три различных R);
Re() – означает, что берётся только дейст вительная часть комплексного числа, которым может быть теоретическое зна чение напряжений и деформаций в процессе итераций, когда необеспеченны накладываемые ограничения.
После минимизации для титанового сплава 5В было получено: р = 0,45, P=0,58, Q=-0,49, F=-0,17. Значения параметров P и Q находятся внутри довери тельного интервала, полученного расчетом МКЭ (табл. 1), только значение F выходит за пределы, полученные моделированием. Это, видимо, связано с ог раничениями используемой модели поликристалла, в которой использована по ликристаллическая пластинка, толщина которой равна размеру зерна (рис. 4).
На ней, видимо, не удалось корректно определить ковариации микронапряже ний от макронапряжений, действующих перпендикулярно пластинке.
В работе проведён сравнительный анализ достоверности описания полу ченных результатов с применением различных известных критериев прочности.
Критерии Волкова С.Д., а также Писаренко Г.С. - Лебедева А.А. являются ча стными случаями критерия (1). При значениях параметров P=1, Q=F=-0,5, кри терий (1) соответствует критерию Писаренко-Лебедева. При P=1, Q=F=-, где коэффициент Пуассона, равный для титана 0,32, критерий (1) соответствует критерию Волкова. При этих фиксированных значениях параметров P, Q, F производилась минимизация выражения (13) с целью отыскания параметра р для критериев Писаренко-Лебедева и Волкова. Получено р = 0,63 и 1,72 соот ветственно. По критерию Волкова прочность при растяжении значительно больше, чем для сжатия, что не подтверждается экспериментом. На рис. 10 по казаны меридианные сечения, соответствующие µ = 1, для критерия Писа ренко-Лебедева (прямая 1), критерия Волкова при р =1,72 (кривая 2) и для критерия Волкова при р =0,42 (кривая 3). Величина р в последнем случае соответствует максимальному значению ограничения (9). Критерию ориенти рованного разрушения (1) соответствует кривая 4.
Рисунок 10 – Меридианные сечения, соответствующие µ = 1 (растяжение с точно стью до шарового тензора) для различных критериев прочности. Пояснения в тексте Диапазон напряженных состояний, который обеспечивают образцы с коль цевым надрезом (от N=1 до N=4,3), обозначен стрелками. Точками показаны экспериментальные данные. Видно, что в пределах исследованного диапазона, а также для сжимающих шаровых тензоров критерий ориентированного разру шения (1) и критерий Писаренко-Лебедева дают приблизительно одинаковые результаты. Однако в области наиболее опасных напряженных состояний, близ ких к всестороннему растяжению, критерий Писаренко – Лебедева более чем в 2.5 раза завышает прочность по сравнению с критерием (1). Именно высокая прочность в области всестороннего растяжения привела Писаренко Г.С. и Ле бедева А. А. к необходимости модификации критерия за счет введения в него эмпирического коэффициента А в степени, зависящей от напряженного состоя ния = si + (1 )1 A1I, где I = 3 0 ( si + (1 ) 1 ). Введение этого параметра привело к тому, что прочность при трехосном растяжении для рекомендован ных А1 оказалась равной нулю. Это, на наш взгляд, противоречит экспери менту, так как массивные образцы с трещинами, в которых реализуются усло вия плоской деформации, обеспечивающие в устье трещины напряженное со стояние, близкое к всестороннему растяжению, могут воспринимать большие нагрузки.
С использованием решения Вестергаарда проведено определение эквива лентных напряжений в окрестности трещины с использованием рассматривае мых критериев. Показано, что критерий прочности Писаренко-Лебедева дает оценку эквивалентного напряжения на 30% большую, чем критерий (1).
На рис. 11 показаны контуры разрушения при плоском напряженном со стоянии для рассмотренных критериев для сплава 5В. Как видно, различия в прочности в области двухосного растяжения невелики. Максимальные расхож дения, наблюдаемые при 1 = 2, менее 7%. Однако, испытания образцов с кольцевым надрезом, когда реализуются условия объёмного напряженного со стояния, дают различия в оценке прочности по критерию Волкова и критерию (1) более 30%. Это указывает на то, что для определения параметров критерия (1) следует использовать испытания не при плоском, а объемном напряженном состоянии, что и реализовано в разработанной методике.
Рисунок 11 – Контуры разрушения для плоского напряжённого состояния для титано вого сплава 5В, по критериям: Писаренко-Лебедева при А=1 (кривая 1), Волкова при нормализованном =0,42 (кривая 2) и ориентированного разрушения (кривая 3) Для подтверждения адекватности критерия ориентированного разрушения (1), он был использован для построения кривых деформирования в координатах S e для образцов с надрезом и для описания зависимости пластичности от 1 i вида напряженного состояния. Теоретическую величину пластичности находи ли, используя уравнение кривой деформирования и теоретические значения предела текучести и интенсивности разрушающего истинного напряжения, вы числяемой по формуле (12):
eic T = (( sic ( q, N, µ, P, Q, F ) is ( s, N, )) / K )n (14) Где теоретические значения предела текучести is определялись по стати стическому критерию для неориентированного скольжения, разработанному Багмутовым В.П. и Богдановым Е.П., так как в ГПУ кристаллах имеется одно основное семейство плоскостей скольжения, совпадающее с основанием шес тигранника кристаллической решетки:
is = T /((1 + s ) / 2) 2 (1 ) / 3 + (1 + 2 ) N 2 / 3 + (1 s ) N / 2) (15) Здесь s = T / sg отношение пределов текучести при растяжении и сжа p тии;
N = 3 0 / si – показатель жесткости НДС (0 -шаровой тензор). Для опре деления N при описания возникновения пластических деформаций использова ли начальные значения радиусов надреза R для недеформированных образцов.
В качестве начальных значений выбирались = 1 и = 0,5, когда (15) соответствует критерию Мизеса. Затем параметры критерия текучести s, уточнялись, минимизируя сумму квадратов разностей теоретических и экспе риментальных пластичностей для изученных радиусов надрезов:
( eiexp )m = min 4 cT Re ei m = Получено для критерия неориентированной текучести = 0,42, s = 0,91.
В соответствии с формулой (14), с учетом (15) и (12), получена теоретиче ская функция изменение пластичности для µ = 1 и произведено сравнение с экспериментом (рис. 12). Для оценки адекватности полученных значений пара метров критерия на рис. 12 произведены зоны разброса изменения пластично сти при различных параметрах жесткости НДС. Установлено хорошее соответ ствие эксперимента и теории. По формуле (14) можно получить функции изме нения пластичности для любого µ. На рис. 12, для примера, приведены кри вые для µ = 1 и 0. Расчет дал пересекающиеся функции пластичности для ти танового сплава при различных видах девиатора напряжений, что ранее наблю далось для некоторых материалов в экспериментах Богатова А.А., Мижирицко го О.И. и др.
Рисунок 12 – Изменения пластичности от показателя жёсткости напряжённого состоя ния для титанового сплава 5В:
-.- - теоретическая зависимость при µ=+1;
-- - теорети..
ческая зависимость при µ=0;
_ - теоретическая зависимость при µ=-1;
- эксперимент при µ=-1;
xxx - ограничение зоны разброса изменения пластичности при µ=-1 сверху и снизу Этому явлению дано объяснение в результате исследования меридианных сечений для исследуемого материала. Установлено, что меридианные сечения поверхности разрушения при различных значениях параметра Лоде-Надаи µ для материалов с ГПУ кристаллической решеткой могут пересекаться в области трёхосного растяжения. Эта особенность пока выявлена только для ГПУ мате риалов и впервые позволяет дать теоретическое объяснение экспериментально му факту необычного изменения характеристик пластичности.
В заключении диссертации приводятся основные научные и прикладные результаты, полученные автором в процессе выполнения работы.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Для ГПУ поликристаллов разработаны два метода, предназначенные для исследования закономерностей изменения концентрации микронапряжений и статистических параметров, характеризующие их распределение, от вида на пряжённого состояния, позволяющие получить аналитическое и численное ре шения.
2. Определены статистические параметры, с помощью которых можно дать оценку концентрации микронапряжении для произвольного вида напря женного состояния для девяти изученных материалов с ГПУ кристаллической решеткой.
Определены возможные пределы изменения статистических парамет 3.
ров при их экспериментальном определении в результате анализа меридианно го и девиаторного сечений поверхности разрушения с использованием стати стического и геометрического подходов.
Разработана расчетно-экспериментальная методика уточнения пара 4.
метров статистического критерия ориентированного разрушения с использова нием испытаний цилиндрических образцов с кольцевыми надрезами различной кривизны, базирующаяся на решении Бриджмена.
5. Показана возможность описания различного типа кривых изменения предельной пластичности для произвольного напряженного состояния с помо щью статистических критериев текучести и пластичности.
Основные результаты диссертации изложены в следующих работах.
Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Особенности микровзаимодействия зёрен в ГПУ поликристаллах и вид поверхности разрушения./ Богданов Е.П., Шкода И.А. //Известия Волго градского технического университета: межвуз. сб. научн. ст. 10(48)/ ВолгГТУ.
- Волгоград, 2008.- с. 106-109. (Сер. Проблемы материаловедения, сварки и прочности в машиностроении. Вып. 2).
Оценка опасности разрушения в гладких и надрезанных образцах с 2.
использованием статистических критериев прочности / Багмутов В.П., Богда нов Е.П., Шкода И.А. //Известия Волгоградского технического университета:
межвуз. сб. научн. ст. 11(59)/ ВолгГТУ. -Волгоград, 2009.- с. 116-119. (Сер.
Проблемы материаловедения, сварки и прочности в машиностроении. Вып. 3).
Поверхности разрушения для поликристаллов с гексагональной плот 3.
ноупакованной решёткой для статистического критерия ориентированного раз рушения/ Богданов Е.П., Шкода И.А./ Современные проблемы науки и образо вания. 2010. № 5. С. 31-34.
4. Определение параметров статистического критерия разрушения для ГПУ материала / Багмутов В.П, Богданов Е.П., Шкода И.А. // //Известия Волго градского технического университета: межвуз. сб. научн. ст. 10(48)/ ВолгГТУ.
-Волгоград, 2011.- с. 31-34. (Сер. Проблемы материаловедения, сварки и проч ности в машиностроении. Вып. 5).
Научные статьи в сборниках и периодических изданиях 5. Влияние вида упругой анизотропии на концентрацию микронапряже ний / Е. П. Богданов, И. А. Шкода // Сборник научных статей проф.-препод. со става по итогам научно-практ. конф. РУК - Волгоград: / Российский универси тет кооперации. - г. Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2006. - С.
285-294.
6. Относительные параметры упругой анизотропии для кристаллов с ОЦК и ГПУ решёткой / Е.П. Богданов, И. А. Шкода // Прогрессивные техноло гии в обучении и производстве: материалы IV всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ. - КТИ ВолгГТУ, 2006. - С. 49-51.
7. Классификация с помощью относительных параметров упругой ани зотропии поверхностей, характеризующих изменения модуля упругости от на правления / Е. П. Богданов, И. А. Шкода // Прогрессивные технологии в обуче нии и производстве: Материалы IV Всероссийской конференции: выпуск 1 / КТИ (филиал) ВолгГТУ. - г. Камышин, 2006. - С. 52-55.
8. Вид упругой анизотропии и концентрация микронапряжений в поли кристаллах/ Е. П. Богданов, И. А. Шкода // Сборник трудов Четвёртой Всерос сийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (ММ-2007): Самарский государственный технический университет. - г. Сама ра, 2007 - С. 51-53.
9. Микровзаимодействия анизотропных зёрен и вид поверхности разру шения/ Е. П. Богданов, И. А. Шкода // Сборник трудов Пятой Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (ММ-2007):
Самарский государственный технический университет. - г. Самара, 2008. С. 62 65.
10. Получение статистических параметров критериев прочности метода ми компьютерного моделирования / И. А. Шкода // Вторая международная на учно-практическая конференция молодых исследователей "Наука и молодёжь".
Направление "Информационные технологии и математическое моделирование в науке и образовании": 14-16 мая 2008 г / ВолгГСХА. - г. Волгоград, 2008. 441-445.
11. Корреляционные параметры распределения микронапряжений в по ликристалле и форма девиаторного сечения поверхности разрушения/ Богданов Е.П., Шкода И.А. // Прогрессивные технологии в обучении и производстве: ма териалы V всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ, 2008. - С. 28-31.
12. Форма поверхности разрушения и микровзаимодействия зёрен в ГПУ поликристаллах / Богданов Е.П., Шкода И.А. // Сборник материалов Третьей международной конференции "Деформация и разрушение материалов и нано материалов", Москва, 12-15 октября 2009. Под общей редакцией академика О.А. Банных. — M: Интерконтакт Наука, 2009, том 1, 527 с. (в 2-х томах), c.28 29.
13. Особенности формирования девиаторного сечения и вид поверхности разрушения для поликристаллов с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) кристаллической решёткой / Шкода И.А. //VI Российская ежегодная конферен ция молодых научных сотрудников и аспирантов. Москва. 17-19 ноября 2009 г.
/ Сборник статей под редакцией академика РАН Ю.В. Цветкова и др. - М: Ин терконтакт Наука, 2009, С. 94-96.
14. Статистический критерий прочности для поликристаллов с различ ными типами кристаллической решётки / Багмутов В.П., Богданов Е.П., Шкода И.А. // Прогрессивные технологии в обучении и производстве: материалы VI Всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ. - КТИ ВолгГТУ, 2009. С. 27-31.
15. Сравнение контуров разрушения, построенных по статистическим па раметрам распределения микронапряжений, полученным на различных моделях ГПУ поликристалла / Багмутов В.П., Богданов Е.П., Шкода И.А. // Инноваци онные технологии в обучении и производстве: материалы VII Всероссийской конференции / КТИ ВолгГТУ. - КТИ ВолгГТУ, 2010. С. 8-11.
16. Оценка прочности и пластичности образцов с кольцевым надрезом на основе статистических критериев прочности / Багмутов В.П., Богданов Е.П., Шкода И.А. // Инновационные технологии в обучении и производстве: мате риалы VIII Всероссийской научно-практической конференции / КТИ ВолгГТУ, 2011. С. 7-10.
17. Моделирование деформирования и разрушения образцов с кольцевы ми надрезами на основе статистических критериев / Багмутов В.П., Богданов Е.П., Шкода И.А. //Аграрная наука - основа успешного развития АПК и сохра нения экосистем. Матер. Межд. Научн.-практ. конф. Т. 3. –Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ, 2012. – С. 353-357.
18. Влияние вида напряженного состояния на концентрацию микрона пряжений в ГПУ поликристаллах / Богданов Е.П., Шкода И.А. // Аграрная нау ка- основа успешного развития АПК и сохранения экосистем. Матер. Межд.
Научн.-практ. конф. Т. 3. –Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ, 2012.
– С. 358-363.
Шкода Игорь Александрович ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО КРИТЕРИЯ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ ПЛОТНОУПАКОВАННОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКОЙ Автореферат