Численое и математическое моделирование нелинейных течений и волн в средах со сложной геометрией
На правах рукописи
АСЕЕВА Наталья Владимировна ЧИСЛЕНОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ И ВОЛН В СРЕДАХ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ 01.02.05 – МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Нижний Новгород, 2007 1
Работа выполнена на кафедре «Информационные системы и технологии» Нижегородского филиала Государственного университета – Высшая школа экономики, г. Нижний Новгород и на кафедре «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета, г. Нижний Новгород
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Е.М. Громов, кандидат физико-математических наук, профессор О.Р. Козырев
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.А. Абрашкин, кандидат физико-математических наук, доцент И.Ю. Дёмин
Ведущая организация: Научно-исследовательский радиофизический институт
Защита состоится «14» ноября 2007г. в часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: Н.Новгород, 603600, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. 1258.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского Государственного Технического Университета.
Автореферат разослан «10» октября 2007г.
Ученый секретарь специализированного совета Д 212.156. Д. ф.-м.н., профессор А.А. Куркин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы Проблема распространения нелинейных течений и волн в средах со сложной геометрией является актуальной и практически значимой вследствие ее разнообразных технических приложений. Описанная проблема очень многогранна и затрагивает различные предметные области. Для рассмотрения в работе выбраны задачи являющиеся актуальными в своих предметных областях таких как аэроакустика, газодинамика, распространение импульсов в опто-волоконных линиях связи.
Настоящая диссертация посвящена дополнению существующего описания распространения нелинейных течений и волн в средах со сложной геометрией путем рассмотрения новых моделей.
Цель работы 1. Исследовать трехмерную акустическую систему в среде, характеризующейся сложной геометрией в рамках системы уравнений Эйлера;
Разработать эффективную математическую и численную модели, позволяющую с высокой точностью и за приемлемое время решать большой спектр задач, связанных с проблемой истечения газа из сопла сложной геометрии.
2. Исследовать газодинамическую систему в среде, характеризующейся сложной геометрией в рамках базовой системы уравнений газовой динамики;
Разработать математическую модель и эффективный численный алгоритм для решения нелинейной газодинамической системы 3. Исследовать распространение информационных импульсов в пространственно неоднородных опто-волоконных линиях связи в рамках нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка. Разработать математическую модель. Проверить наличие стационарных состояний, при которых параметры солитона не зависят от неоднородности среды.
Научная новизна результатов работы Научная новизна результатов работы заключается в следующем:
1. Построена численная модель распространения акустических возмущений в средах, характеризующихся сложной геометрией и наличием фонового течения.
2. Для верификации численной модели распространения акустических возмущений в средах, характеризующихся сложной геометрией и наличием фонового течения построен набор точных решений для различных предельных случаев.
3. Разработан процесс перехода от нелинейной задачи газовой динамики к линейной задаче в плоскость годографа скорости без потери точности.
4. Построена эффективная численная газодинамическая модель в средах, характеризующихся сложной геометрией.
5. Разработана математическая модель распространения информационных импульсов в неоднородных опто-волоконных линиях связи в рамках нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка.
6. Показано наличие стационарных состояний, при которых параметры солитона не зависят от неоднородности среды.
Апробация диссертации.
Основные результаты диссертации отражены в 11 публикациях (из них 7 статей и 4 тезисов докладов) и были представлены на следующих конференциях:
"Сессия молодых ученых" (информационные 2001г, 2002г. и естественно научные дисциплины 2006г.) г. Саров, международная конференция GAMM2003 г. Падуя (Италия), семинары Технического университета г. Берлин (Германия) 2002г. - 2004г., IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике г. Нижний Новгород 2006г.
Статьи по теме диссертации были опубликованы в следующих журналах:
"Physics Letters A", "ERCOFTAC bulletin", "Proceedings in Applied Mathemathics and Mechanics", "Известия академии наук РФ".
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации 122 страницы, включая 29 рисунков и список литературы из наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируются цели диссертационной работы и кратко излагается ее содержание.
Первая глава В первой главе трехмерная акустическая система (акустические колебания при наличии фонового потока) в средах, характеризующихся сложной геометрией.
В §1.2 представлен вывод основных уравнений, описывающих трехмерную линейную модель распространения акустических волн в сопле.
В §1.3 для осесимметричного сопла описан процесс замены трехмерной модели набором двухмерных моделей путем подстановки решения в виде разложения в ряд Фурье в азимутальном направлении. Так как источник звуковых колебаний слабо зависит от азимутальной компоненты, то модами с высоким азимутальным индексом можно будет пренебречь. Поэтому набор двухмерных моделей будет конечным.
В §1.4 описан процесс построения эффективного численного алгоритма решения задачи,учитывающий малость потерь распространения акустических возмущений в сопле и позволяющий получить результат высокой точности. В §1.4. рассматривается вопрос о выборе эффективной схемы дискретизации по пространству и времени. Для данной постановки задачи впервые разработана сохраняющая дисперсионное соотношение семиточечная конечно-разностная схема.
Эта схема, кроме устойчивости гарантирует, что дисперсионное соотношение разностной схемы будет таким же или почти таким же как у линеаризованного уравнения Эйлера. А для дискретизации по времени, также впервые для данной постановки разработана низкодиссипативная, низкодисперсионная 5-6 схема Рунге Кутта. В §1.4.2 определены граничные условия задачи: граничное условие на жесткой стенке, учитывающее особенности выбранной схемы дискретизации;
граничное условие симметрии, безотражательное граничное условие в устье сопла;
граничное условие источника звука. В качестве граничного условия источника звука рассматривается точное решение задачи о распространении возмущений, возникающих вследствие вращения твердого тела в цилиндрическом сопле в присутствии дозвукового потока.
В §1.5 описаны особенности численной реализации решения трехмерной задачи о распространении акустических волн в осесимметричном сопле сложной геометрии.
В §1.6 описаны, полученные для предельных случаев тестовые решения.
Одномерная модель: точное решение для безотражательного сопла Одномерная модель: точное решение для сопла со ступенчатой геометрией Трехмерный случай: точное решение задачи о распространении возмущений, возникающих вследствие вращения твердого тела в цилиндрическом сопле в присутствие дозвукового фонового потока.
Данные решения использованы для апробации и тестирования предлагаемого программного комплекса. На рис. 1 изображено сравнение численного решения с аналитическим тестовым решением. Можно заметить хорошее соответствие между численным и аналитическим решениями.
Рисунок 1.
Вторая глава Во второй главе рассматривается другая модель внутреннего течения – газодинамическая система в средах, характеризующихся сложной геометрией.
Исследуется трансзвуковое истечение идеального газа из плоского сужающегося симметричного сосуда с прямолинейными стенками. Рассмотрение проведено в стационарном, адиабатическом, потенциальном приближении течения газа.
В §2.2 описана построенная математическая модель истечения идеального газа из сосуда с бесконечными прямолинейными стенками в рамках базовой системы газовой динамики.
В §2.3 описана эффективная методика переноса задачи в плоскость годографа скорости. Данная методика предоставляет возможность преобразовать общие уравнения к независимым переменным в плоскости годографа скорости.
Результатом этой деятельности является приведение нелинейной задачи к линейной краевой задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина в видоизмененной плоскости годографа скорости без потери точности. На рис. 2, 3 показаны, плоскость течения в плоскости (x,y) и в плоскости годографа скорости.
В §2.4 рассказывается о процессе построения эффективного численного алгоритма решения задачи. В §2.4.1 описана эффективная разностная схема, построенная путем расщепления разностного оператора в соответствии с типом дифференциального оператора. Для разностной схемы в §2.4.2 были получены критерии устойчивости;
доказана теорема сходимости;
схема была исследована на присутствие искусственных членов.
В §2.5 Приведены результаты тестовых расчетов. На рис. 4 изображены линии равных чисел Маха.
Рисунок 2 Рисунок Рисунок Третья глава В третьей главе исследована динамика коротких солитонов огибающей в средах с пространственно неоднородной структурой. Исследование проведено рамках нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка (НУШ-3) с неоднородными коэффициентами:
неоднородной линейной дисперсией второго порядка;
неоднородной линейной дисперсией второго и третьего порядка.
В §3.2 в построена новая математическая модель, описывающая динамику коротких солитонов огибающей в средах с переменной дисперсией второго порядка при учете эффектов дисперсии третьего порядка.
В §3.2.1 проанализирована динамика солитона в адиабатическом приближении.
Впервые получено уравнение, описывающее изменение амплитуды солитона при прохождении неоднородности. Эти изменения определяются параметрами как второго, так и третьего порядка. Найдены изменения амплитуды солитона при прохождении им неоднородности. Установлено, что для периодической неоднородности изменение амплитуды солитона так же является периодическим без сдвига фазы относительно изменения параметра среды. При прохождении неоднородности в виде плавного перепада амплитуда солитона возрастает независимо от направления градиента неоднородного профиля. При движении солитона на колоколообразной неоднородности изменение амплитуды солитона пропорционально профилю неоднородности.
В §3.2.2 определены границы применимости адиабатического приближения из условия малости полей излучения по сравнению с ядром солитона. Исследование проводилось при помощи численных методов. Показано, что энергия поля излучения зависит от величины перепада профиля неоднородности, но не зависит от величины градиента неоднородного профиля. На рис. 5 изображено распределение модуля огибающей волнового пакета в различные моменты времени. При прохождении неоднородности, характерный размер которой сопоставим с характерным размером волнового пакета, возникает излучение (рис. 1.в и 1.г). На рис. 6 изображено сравнение амплитуды солитона в адиабатическом приближении (кривая 1) и амплитуды солитона с учетом полей излучения (кривая 2). За счет потери энергии на излучение, амплитуда солитона уменьшается по сравнению с амплитудой солитона в адиабатическом приближении.
В §3.3 построена новая математическая модель, описывающая динамику коротких солитонов огибающей в средах с переменной дисперсией как второго, так и третьего порядка.
Рисунок Рисунок В §3.3.1 проанализирована динамика солитона в адиабатическом приближении.
Впервые получено уравнение, описывающее изменение амплитуды солитона при прохождении неоднородности. Показано существование квазистационарного состояния, при котором амплитуда солитона не зависит от неоднородности дисперсии одного из порядков. Отмечено, что условие существования режима, при котором амплитуда солитона не зависит от неоднородности линейной дисперсии второго порядка зависит только от параметров среды и не зависит от начальных параметров солитона. Напротив, условие существования режима при котором амплитуда солитона не зависит от неоднородности линейной дисперсии третьего порядка зависит как от параметров среды, так и от начальных параметров солитона.
Заключение В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Исследовано распространение акустических возмущений в соплах, характеризующихся сложной геометрией. В рамках этой задачи:
Разработан численный алгоритм, учитывающий малость потерь распространения акустических возмущений в сопле и позволяющий получить результат высокой точности.
Для верификации данного алгоритма получены тестовые аналитические решения базовой системы уравнений Эйлера для различных предельных случаев: в рамках одномерной модели точное решение для безотражательного сопла и для сопла со ступенчатой геометрией;
в рамках трехмерной модели точное решение задачи о распространении возмущений, возникающих вследствие вращения твердого тела в цилиндрическом сопле в присутствие дозвукового фонового потока.
Полученные результаты могут быть применимы при конструировании авиационных двигателей с низким шумообразованием.
2. Исследовано трансзвуковое истечение идеального газа из сосуда с плоскими стенками. Рассмотрение проведено в стационарном, адиабатическом, потенциальном приближении течения газа. В рамках этой задачи:
Разработана методика переноса задачи в плоскость годографа скорости.
Результатом этой деятельности является приведение нелинейной задачи к линейной краевой задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина в видоизмененной плоскости годографа скорости без потери точности.
Разработан эффективный численный алгоритм решения задачи. Построена эффективная разностная схема, построенная путем расщепления разностного оператора в соответствии с типом дифференциального оператора. Для разностной схемы были получены критерии устойчивости;
доказана теорема сходимости;
схема была исследована на присутствие искусственных членов.
3. Исследована динамика коротких солитонов огибающей в средах с переменной дисперсией второго и третьего порядков в рамках нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка (НУШ-3). В рамках этой задачи:
В адиабатическом приближении получено уравнение, описывающее изменение амплитуды солитона при прохождении неоднородности.
Показана возможность существования классов стационарных солитонов огибающей. С данными эффектами может быть связано распространение стационарных оптических импульсов малой длительности (до нескольких периодов) в волоконно-оптических линиях связи с переменными параметрами.
СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Асеева, Н.В. Распространение коротких интенсивных солитонов огибающей в среде с плавно неоднородной дисперсией второго и третьего порядков / Н.В.
Асеева, Е.М. Громов, В.В. Тютин // Известия академии инженерных наук РФ им. Прохорова. -2006. -Т. 18. -С. 11-19.
2. Асеева, Н.В. Динамика коротких солитонов огибающей в неоднородно диспергирующих средах / Н.В. Асеева, Н.А. Балакина, Е.М. Громов, Л.В.
Пискунова, В.В. Тютин // Известия академии инженерных наук РФ им.
Прохорова. Том Бизнес-информатика. -2006. -Т. 17. -С. 137-154.
3. Асеева, Н.В. Динамика коротких солитонов огибающей в средах с переменной дисперсией / Н.В. Асеева, Е.М. Громов, В.В. Тютин // Тезисы конференции "XI Нижегородская сессия молодых ученых. Естественнонаучные дисциплины".
-2006. -С. 5-6.
4. Асеева, Н.В. Динамика коротких солитонов огибающей в неоднородно диспергирующих средах / Н.В. Асеева, Н.А. Балакина, Е.М. Громов, В.В. Тютин // Аннотации докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. -2006. -Т. 3. -С. 21-22.
5. Болталова, Н.В. Численное моделирование истечения идеального газа из плоского сопла / Н.В. Болталова // Тезисы ежегодной конференции "Сессия молодых ученых". -2001. -С. 7-8.
6. Болталова, Н.В. Трансзвуковое истечение идеального газа из сосуда с плоскими стенками / Н.В. Болталова, О.Р. Козырев // Известия академии инженерных наук РФ им. Прохорова. Том Прикладная математика и информатика. -2001. -Т. 2. -С. 156-166.
7. Болталова, Н.В. Семейство точных решений для распространения акустических волн в неоднородных трубках / Н.В. Болталова, Е.Н.
Пелиновский, Ф. Тиле // Известия академии инженерных наук РФ им.
Прохорова. Том Прикладная математика и информатика. -2002. -Т. 3. -С. 96 105.
8. Aseeva, N.V. The dynamics of short envelope solitons in media with controlled dispersion / N.V. Aseeva, E.M. Gromov, V.V. Tyutin // Physics Letters A. -2007. -V.
363. -No. 5-6. -P. 411-413.
9. Boltalova, N. Propagation of acoustical waves in an axisymmetrical duct with swirling mean flow / N. Boltalova, Ch. Schemel, F. Thiele, U. Michel // book of
Abstract
GAMM2003. -2003. -C. 77-79.
10. Boltalova, N. Numerical simulation of Sound Propagation and Radiation from Aeroengines / N. Boltalova, N. Schnwald, X. Li, C. Schemel, D. Eschrich // ERCOFTAC bulletin. -2003. -V. 58. -P. 103-107.
11. Boltalova N. Propagation of Acoustical Waves in an Axisymmetrical Duct With Swirling Mean Flow / N. Boltalova, C. Schemel, F. Thiele, U. Michel // Proceeding in Applied Methematics and Mechanics. -2003. -V. 3(1). -P. 45-47.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение Глава 1. Исследование распространения акустических возмущений в соплах сложной геометрии при наличии фонового потока §1.1 Введение §1.2 Вывод основных уравнений, описывающих трехмерную линейную модель распространения акустических волн в сопле §1.3 Изменение базовой математической модели в случае распространения акустических волн в трехмерном осесимметричном сопле §1.4 Построение численного алгоритма решения задачи о распространении акустических волн в трехмерном осесимметричном сопле §1.5 Описание численной реализации решения задачи о распространении акустических волн в осесимметричном сопле сложной геометрии §1.6 Получение тестовых аналитических решений для предельных случаев §1.7 Заключение Глава 2. Исследование трансзвукового истечения идеального газа из плоского сопла §2.1 Введение §2.2 Математическое описание процесса истечения идеального газа из сосуда с бесконечными прямолинейными стенками с помощью базовой системы уравнений газовой динамики §2.3 Преобразование базовой системы уравнений газовой динамики к независимым переменным в плоскости годографа скорости §2.4 Построение эффективного численного алгоритма решения задачи об истечении идеального газа из сосуда с бесконечными прямолинейными стенками §2.5 Тестирование численного алгоритма при различных параметрах задачи §2.6 Заключение Глава 3 Исследование динамики коротких солитонов огибающей в неоднородных средах §3.1 Введение §3.2 Распространение коротких солитонов в средах с неоднородной дисперсией второго порядка §3.3 Распространение коротких солитонов в средах с неоднородной дисперсией второго и третьего порядков §3.4 Заключение Заключение Список литературы