Исследование нелинейного деформирования элементов конструкций, взаимодействующих с грунтами сложной физической природы

На правах рукописи

Балафендиева Ирина Сергеевна ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТАМИ СЛОЖНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ Специальность 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2013

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Бережной Дмитрий Валерьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Заслуженный деятель науки и техники РФ и РТ Паймушин Виталий Николаевич КНИТУ им. А.Н. Туполева зав. каф. Сопротивления материалов доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки и техники РСФСР Крысько Вадим Анатольевич СГТУ им. Ю.А. Гагарина Зав. каф. «Математика и моделирование».

Ведущая организация: Казанский государственный архитектурно строительный университет

Защита состоится 1 июля 2013 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного Совета Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу:

420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, ауд. мех. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) феде рального университета.

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные печатью, просим высылать по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан 29 мая 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Саченков А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В современных условиях повсеместно практикуется возведе ние строительных сооружений в грунтах, находящихся в сложных физико-геологических ус ловиях. Поэтому создание методик расчета трехмерных объектов, взаимодействующих с грунтовыми сооружениями, является сейчас особенно актуальным.

Прогресс в развитии фундаментостроения и подземного строительства в значительной мере определяется достигнутыми к настоящему времени результатами в области математи ческого моделирования различных процессов и физических явлений, в частности, процессов деформирования и разрушения элементов конструкций и сооружений. Существует опреде ленный разрыв между потребностями практики и существующими СНиПами, регламенти рующими деятельность проектировщиков и строительную практику, и возможностями уточ ненных расчетов элементов конструкций и сооружений, исходя из современных возможно стей более точной постановки практических задач и их реализации на ЭВМ на основе ис пользования численных методов.

Основным направлением задач, стоящих перед механикой грунтов, является теорети ческий прогноз поведения грунтовых толщ под влиянием внешних и внутренних воздейст вий: разнообразных нагрузок от сооружений, изменения под действием природных факторов и деятельности человека условий равновесия, например, при размывах, колебаниях уровня грунтовых вод, разгрузке глубоких слоев грунта при копке строительных котлованов и др.

Задача исследования напряженно-деформированного состояния грунтов под действи ем внешних сил и собственного веса является главнейшей в механике грунтов, и ее решение для различных случаев загружения имеет непосредственное приложение в практике строи тельства. Для практики строительства весьма важно знать, как распределяются напряжения в грунте при загрузке части его поверхности, при каких условиях наступает предельное на пряженное состояние, после чего возникают недопустимые деформации и нарушения сплошности грунтового массива и т.п. Важную роль играет математическое моделирование, позволяющее прогнозировать и оптимизировать технологические воздействия, интерпрети ровать и обрабатывать опытные данные.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранжево описание среды, при этом хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной формах, для решения которой возможно использование различных численных методов. В рамках современных численных методов получили развитие шаговые методы, в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний, и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки, изменением граничных условий или расчетной области и т.д.

При моделировании взаимодействия элементов конструкций с грунтами в ряде случа ев для адекватной оценки характера деформирования используются различные методики контактного взаимодействия элементов конструкций между собой и с грунтом. Не учет кон такта может привести к принципиально иному результату, в какой-то степени даже противо речащему здравому смыслу.

Целью диссертационной работы является разработка и численная реализация мето дики решения задач по определению напряженно-деформированного состояния элементов конструкций подземных, промышленных и транспортных сооружений с учетом контактного взаимодействия с окружающим их физически нелинейно-деформируемым грунтовым масси вом.

Научную новизну работы составляют следующие положения:

– на основе определяющих соотношений между истинными напряжениями и истинными де формациями реализована и апробирована конечно-элементная методика решения трехмер ных задач механики грунтов с сухим трением;

– развиты вычислительные модели упругопластического деформирования пространственных конструкций, взаимодействующих с грунтами, включающие в себя усовершенствованные конечные элементы пространственных конструкций и сплошных сред, а также адаптирован ные к ним алгоритмы численного решения задач контактного взаимодействия деформируе мых тел;

– на ряде линейных и нелинейных задач исследованы точность предлагаемых вычислитель ных моделей, проведен анализ их эффективности в сравнении с другими численными схема ми, применяемыми в расчетной практике;

– решены новые задачи нелинейного взаимодействия трехмерных конструкций с грунтовыми средами с учетом их контактного взаимодействия.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается строгим мате матическим обоснованием основных расчетных методик, тщательным тестированием на всех этапах разработки и реализации численных алгоритмов, многочисленными сравнениями (и совпадением) с известными аналитическими и численными решениями. При расчетах новых конструкций проводится сравнение с имеющимися экспериментальными данными.

Практическую ценность составляет представленная в диссертационной работе мето дика расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом контактного взаимодействия с окружающим их грунтовым массивом в условиях сложного силового нагружения. Разработанная численная методика дает результаты, хорошо согла сующиеся с данными натурных испытаний. На ее основе можно рассчитывать трехмерные конструкции и получать достоверные результаты.

Основные положения, выносимые на защиту.

– методика решения двумерных и трехмерных нелинейных задач сплошных сред с сухим трением;

– методика решения двумерных и трехмерных задач взаимодействия деформируемых конст рукций и сплошных сред с учетом их контакта;

– результаты решения задач взаимодействия элементов подземных транспортных сооруже ний с окружающим их физически нелинейным грунтом.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

– на итоговых конференциях Казанского (Приволжского) федерального университета (Ка зань, 2009-2012 г.г.);

– на Международных молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2009-2012 г.г.);

– на Второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемо го твердого тела» (Казань, 2009 г.);

– на Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Са мара, 2009-2010 г.г.);

– на Международных конференциях «Математическое моделирование в механике деформи руемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009-2011 г.г.);

– на Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2009-2012 г.г.);

– на Международных конференциях по вычислительной механике и современным приклад ным программным системам (Алушта, 2009-2012 г.г.);

– на Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы естествен ных и гуманитарных наук», (Зеленодольск, 2011-2012 г.г.);

– на Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложе ния» (Казань, 2012 г.).

Диссертационная работа в целом обсуждалась и получила одобрение:

– на расширенном семинаре кафедры теоретической механики и лаборатории механики обо лочек Казанского (Приволжского) федерального университета (2012 г.);

– на расширенном семинаре кафедры сопротивления материалов и основ теории упругости Казанского государственного архитектурно-строительного университета (2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа, из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликова ния результатов кандидатских диссертаций. В работах [5-6, 8-21] соавторы принимали уча стие в постановке задачи и обсуждении результатов, в работах [1-4, 7, 15] автор реализовал методику расчета, получил численные результаты и проанализировал их.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, за ключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 124 страницах, содержит 67 рисунков, 10 таблиц. Библиография включает 177 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы диссертационной работы, научная новизна и практическая значимость результатов, сформулированы цели, представлены выно симые на защиту научные положения, приводится обзор публикаций по теме диссертации.

Отмечается, что идеи приближенных методов вычисления, на которых базируется МКЭ, были сформулированы в трудах Дж. Аргириса, М. Тернера, Р. Клафа. Развитие метод получил в работах М.Р. Айронса, К. Бате, Э. Вилсона, Р. Галлагера, О.К. Зенкевича, Дж.Т. Одена, Л. Сегерлинда и др. Значительный вклад в теорию МКЭ внесли отечественные авторы А.В. Александров, З.И. Бурман, Д.В. Вайнберг, А.И. Голованов, А.С. Городецкий, С.А. Капустин, М.С. Корнишин, Б.А. Куранов, А.М. Масленников, И.Ф. Образцов, В.А. Постнов, Р.Б. Рикардс, Л.А. Розин, А.С. Сахаров, И.Я. Хархурим, Н.Н. Шапошников и др.

Большой вклад в развитие механики грунтов внесли отечественные и зарубежные ученые М.М. Алиев, Ю.М. Абелев, М.А. Био, А.И. Боткин, В.З. Власов, С.С. Вялов, Н.М. Герсеванов, М.Н. Гольдштейн, М.И. Горбунов-Посадов, С.С. Григорян, Б.И. Далматов, Н.Я. Денисов, Д. Друккер, К.Е. Егоров, Б.Н. Жемочкин, Н.Н. Иванов, А.Н. Крылов, Ш. Ку лон, Н.Н. Леонтьев, Н.Н. Маслов, В.Н. Николаевский, В. Прагер, Н.П. Пузыревский, Е.Г. Соловьев, И.Г. Терегулов, К. Терцаги, А.Б. Фадеев, В.А. Флорин, Р. Хилл, Н.А. Цытович и др.

Значительный вклад в развитие методов решения контактных задач внесли фундамен тальные труды Л.А. Галина, В.И. Моссаковского, В.Л. Рвачева, А. Синьорини, И.Я. Штаермана. Следует также отметить работы В.М. Александрова, Ю.П. Артюхина, Н.Х. Арутюняна, В.А. Бабешко, И.И. Воровича, Р.В. Гольдштейна, А.Г. Горшкова, И.Г. Горячевой, В.И. Довноровича, К. Джонсона, Е.М. Морозова, А.Н. Подгорного, Г.Я. Попова, B.C. Саркисяна, В.М. Сеймова, М.И. Теплого и многих других.

Первая глава посвящена моделированию упругопластических деформаций в грунте с учетом геометрической нелинейности. Введены основные соотношения теории упругости и теории пластического течения, а также рассмотрен алгоритм процесса продолжения решения так называемая «модифицированная инкрементальная теория Лагранжа». Решены некоторые тестовые и модельные задачи.

Состояние статического равновесия тела описывается вариационным уравнением принципа возможных перемещений i u,i dV0 = F udV0 + P udS.

* * * (1) V0 V0 S Если для векторов принять разложения * = ij R *j, где R * = R * x i = ei + u,i – ос * * i i i новные базисные векторы в деформированном состоянии тела, то левая часть уравнения (1) преобразуется к виду * u,i dV0 = ij ij dV0. Входящие в него компоненты симметрич * i V0 V ного тензора ij называются компонентами тензора деформаций Коши-Грина, а величины ij по В.В. Новожилову называются обобщенными напряжениями.

* Истинными деформациями удлинений i и сдвигов sin ij назовем величины ii = i = dli* dli 1 = 1 + 2 ii 1, tr (2) (1 + 2 jj ) (1 + j ), ij = sin ij = 2 ij (1 + 2 ii ) = 2 ij (1 + i ) tr а истинными напряжениями, отнесенными к единицам деформированных площадей Si*, по В.В. Новожилову являются компоненты векторов i в представлениях i = ij e*j, где e*j = R *j R *j = (1 + j ) ( + e ji ) ei – единичные векторы, направленные по касательным к ji деформированным координатным линиям в точке M * ( xi ), в которую переходит точка M ( xi ) после деформирования. Между компонентами ij и ij имеют место зависимости * (1 + 2 )(1 + 3 ) cos 23, 11 = * 1 + 1 (3) uuuuu r = 12 (1 + 3 ) cos 23 = 21 (1 + 3 ) cos 13 = ;

1, 2, * * suuuu u 12 При использовании зависимостей (2), (3) для вариации потенциальной энергии де формаций имеем П = ij ij dV0 = ( 11 + 2 2 + 3 3 + 21 sin 21 + * (4) V0 V + 13 sin 31 + 32 sin 23 )(1 + 1 )(1 + 2 )(1 + 3 )dV0, cos где 1 = 11 + 21 cos 13 sin 12 + 31 cos 12 sin 13, 1 + uuuuu r 21 = 21 cos 13 = 12 cos 23 = 12 ;

1, 2,3.

suuuu u В качестве условия пластичности в работе используется критерий Губера–Мизеса, для которого функция текучести = i T, где i – интенсивность напряжений, T – предел текучести. Для ряда грунтов предельное состояние хорошо описывается условием прочности Мизеса–Боткина, которое записывается в виде i c** + tg **, = где – угол внутреннего трения на октаэдрических площадках, c** – предельное сопротив ** ление чистому сдвигу.

Уравнения типа Прандтля–Рейса связывают компоненты приращений истинных на пряжений ij и истинных деформаций ijtr tr G G ij + Ktg ij kl + Ktg kl kl ** ** kl i tr tr 0 i ij = 2G ij + ij %, 1 2 G + Ktg 2 ** где 0 – приращение средней истинной деформации, ij – приращения компонент истин tr tr ных деформаций, ij – компоненты девиатора напряжений, i = i – интенсивность ка сательных напряжений, ij – символ Кронекера, – коэффициент Пуассона, G – модуль E сдвига, E – модуль Юнга, K =.

3 (1 2 ) В работе реализована методика, идеально приспособленная для решения упругопла стических задач по теории течения и называемая «модифицированным инкрементальным подходом Лагранжа», в которой процесс деформирования представляется в виде последова тельности равновесных состояний при соответствующих уровнях нагружения.

Упругопластическое деформирование толстостенного трубы. Исследуется распре деление напряжений в толстостенной длинной трубе (рис. 1) под осесимметричным внут ренним давлением p при упругопластическом деформи ровании (плоская деформация). Внутренний радиус тру бы a = 1 см, внешний b = 2 см, модуль упругости E = 2106 кГ/см, коэффициент Пуассона = 0.3. Матери ал полагаем идеально пластическим. Точное решение да ет отношение внутреннего давления к пределу текучести p/ = 0.7208, при котором радиус пластической зоны T c = 1.5 см. Рассчитывалась четвертая часть сечения, на ее прямолинейных границах задавались условия симмет рии. Задача решается за один шаг по нагрузке, при этом Рис. 1 используется метод проецирования напряжений на по верхность текучести с итерационным уточнением. Для определения эффективности методи ки моделирования упругопластического деформирования исследовалась сходимость при различных сетках конечных элементов, и полученные значения сравнивались с теоретиче ским решением. Использовались следующие сетки конечных элементов: сечение разбива лось на 5 элементов по ширине и 20 элементов по окружному направлению, далее – 2020 и 8020.

На рисунках 2 – 4 показаны распределения радиальных и окружных напряжений в трубе по отношению к пределу текучести на различных сетках (рис. 2 – сетка 520, рис. 3 – 2020, рис. 4 – 8020), а также точное решение (штрихованная линия).

Рис. 2 Рис. 3 Рис. Видно, что при сгущении сетки решение сходится и дает хорошую точность.

Деформирование грунтовой насыпи под действием собственного веса и нагруже ния.

Грунт находится под действием соб ственного веса и нагрузки, равно мерно распределенной по верхней границе насыпи (рис. 5), на нижней границе расчетной области отсутст вуют вертикальные смещения, на бо ковых – горизонтальные, длина ос нования 211.29 м. Рассмотрен слу чай плоского деформирования. Счи тается, что грунт – однородная среда со следующими физико Рис. 5 механическими свойствами: модуль деформации E = 0.160 МПа, коэффициент Пуассона = 0.42, сцепление C = 40 КПа, угол внутреннего трения = 17o, плотность = 2000 кг м3, интенсивность распределенной на грузки q = 0.4 МПа. Процесс деформирования был разбит на два этапа. На первом этапе проводится расчет под действием собственного веса. На втором этапе к собственному весу насыпи добавляется равномерно распределенная нагрузка, действующая по верхнему краю насыпи.

На рисунках представлены результаты расчета насыпи под действием распределенной нагрузки с учетом собственного веса грунта: на рис. 6 – распределение вертикальных смеще ний (в метрах), на рис. 7 – распределение интенсивности сдвиговых пластических деформа ций.

Рис. 6 Рис. В таблице 1 приведено сравнение некоторых результатов решений задачи с решения ми, полученными в ППП ANSYS и в диссертации Султанова Л.У. Таблица Варианты расчета методика ППП ANSYS дис. Сулатнова Л.У.

собственный вес и распределённая нагрузка q i [ МПа ] 0.593 0.590 0. u x [ м] 0.854 0.854 0. i 0.022 0.022 0. Анализ результатов показывает, что максимальная осадка и развитые зоны пластиче ских деформаций наблюдаются в области действия равномерно распределенной нагрузки, тогда как максимальная интенсивность напряжений возникает в области основания насыпи.

Зона пластических деформаций имеет небольшую площадь, поэтому при таком нагружении для данной формы насыпи не возникает опасных участков.

Во второй главе рассматривается построение алгоритма контактного взаимодейст вия, основанного на введении между частями конструкций специального контактного слоя.

Решены некоторые модельные задачи.

Механизм взаимодействия подконструкций может быть проил люстрирован рис. 8, где изображены различные варианты деформирова ния контактного слоя, для большей наглядности представленного двумя накладками, в зависимости от уси лий воздействия подконструкций друг на друга. В ситуации, показан ной на рис. 8 а) в накладках возни кают напряжение обжатия H = = A B Рис. 8 и деформации H = H, где EH – модуль упругости материала накладки. Геометрическим условием EH Султанов Л.У. Исследование больших вязкоупругопластических деформаций в трехмерной постановке МКЭ:

дис.... канд. физ.-мат. наук. – Казань, 2005. – С. 116–119.

этого является H ( H + H ), где H, H – первоначальные толщины накладок, H – рас A B A B стояние между поверхностями, на которых они закреплены.

Ситуация рис. 8 б) возникает при наличии предварительного обжатия, т.е. при H H ( H A + H B ), и в этом случае тоже справедливо H = A = B, H =.

EH На рис. 8 в) силовое воздействие отсутствует, и накладки свободно перемещаются. В этом случае H ( H + H ), H = 0.

A B На рис. 8 г) изображено свободное проскальзывание, при котором касательные на пряжения не возникают, что реализуется при H ( H + H ), и в этом случае H = 0.

A B Рис. 8 д) иллюстрирует упругое взаимодействие с обжатием и сдвигом без проскаль зывания. Подобная ситуация возможна при H ( H + H ), и для напряжений и деформаций A B H H в накладках можно записать H = =, H = =, H =,H = A B A B.

H GH Дополнительным условием здесь должно быть условие H f H, (5) где f – погонный коэффициент трения.

При невыполнении (5) возникает ситуация, изображенная на рис. 8 е). В этом случае H H = A = B,H = f H, H = и имеется проскальзывание.

H Все эти ситуации могут быть смоделированы в рамках механики сплошной среды при представлении двух накладок в виде единого материала, обладающего специфическими свойствами.

Полученная задача является нелинейной и требует применения специальных методик ее решения. Характерной особенностью этой нелинейности является то, что для нормальных напряжений имеет место ограничение по деформации ( H H + H, т.е. взаимная деформа A B ция накладок не может быть больше их общей толщины), а для касательных напряжений – ограничение по их предельным значениям, определяющим возможность проскальзывания.

Общее разрешающее уравнение записывается в вариационной форме исходя из прин ципа виртуальных перемещений { } { } d + { } { } d = T T H H m k m k, (6) = { g} { V } d + { P} { V } dS T T m m Sm где сумма по m – сумма по объемам подконструкций, по k обозначается сумма по контакт ным элементам, m, k, – соответственно объемы подконструкций и контактных элементов;

{ }, { }, {V } – напряжения, деформации и перемещения элементарных объемов подконст рукций;

{ H }, { H } – напряжения и деформации в контактных элементах, { g } – вектор ус корения свободного падения, { g} – сила тяжести, { P} – нагрузка, действующая на части границы Sm.

Предполагается, что первоначальное обжатие контактного слоя всегда существует, т.е. H 0 ( H + H ). Таким образом, базовой считается ситуация, изображенная на рис. 8 д).

A B Далее, в процессе деформирования, ситуация будет меняться и могут реализоваться другие варианты из приведённых на рис. 8.

Для решения сформулированной физически нелинейной задачи на базе уравнения (6) используется методика решения задач в приращениях, когда на шаге итерации неизвестными являются не полные поля перемещений, которые в некоторых случаях являются фиктивными (при 1 ), а их приращения. Опишем эту методику.

Пусть в начальный момент имеем некоторое обжатие H и, возможно, сдвиг H, P,0 P, которые удовлетворяют условию 1 H,0 0, GH H,0 f EH H,0.

P P P Система уравнений (6) решается для нулевого приближения { } { } d + { } { }d = 0T H H m k m k (7) = { g} ( V ) d + { p} ( V ) ds.

T T m m Sm Для каждой последующей итерации k = 1, 2, 3,... выполняется следующая последова тельность вычислений.

Предварительно имеем { }, { } в подконструкциях, { H }, { H }, { 0 }, k 1 k 1 P, k 1 P, k 1 P, k { } в контактных элементах. Из решения системы (7) на нулевой итерации и уравнения P, k { } { } d + { } { }d = kT kT H H m k m k (8) = ( H H + % H ) d k k % H k k на последующих итерациях определяем { }, { }, H, H, H, H и вычисляем сле k k k k k k дующее приближение напряженно-деформированного состояния подконструкций { k } = { k 1} + { k 1},{ k } = { k 1} + { k 1} и “пробные“ деформации в контактных элемен тах H = H + H, H = H + H.

P, k 1 k 1 P, k 1 k k k Для реализации математической модели взаимодействия накладок в рамках МКЭ удобно определить так называемый контактный элемент. Геометрически он представляет со бой линейный элемент с 8-ю узлами.

В качестве исходной информации для него определяются радиус-векторы точек, оп ределяющих нижнюю (нечетные номера) и верхнюю (четные номера) поверхности, и перво начальная толщина H = H + H, которая может быть постоянной на элементе, а может A B варьироваться (в этом случае задаются их узловые значения).

Вводятся аппроксимации лицевых поверхностей 4 r ( ) (, ) = r2i 1 N i (, ), r ( + ) (, ) = r2i N i (, ), (12) i =1 i = где N i (, ) – известные билинейные функции.

Определяются касательные плоскости этих поверхностей. Например, для нижней по верхности определяются вспомогательные векторы:

Ni Ni 4 G ) = r2i 1, G ) = r2i ( (, G ( ) = G ) G ), ( ( (13) i =1 i = по которым находятся ортогональные орты касательной плоскости в виде G ) ( G( ) P1 = ( ), P3( ) = ( ), P2( ) = P3( ) P1( ).

( ) (14) G G (+) (+) (+) Аналогично определяются орты P1, P2, P3.

Для аппроксимации вектора перемещений будем использовать представление, анало гичное (12), т.е. введем 4 V ( ) (, ) = V2i 1 N i (, ), V ( + ) (, ) = V2i N i (, ). (15) i =1 i = В процессе деформирования первоначально параллельные лицевые поверхности r ( ) и r ( + ) перестают быть таковыми, и степень их относительных поворотов в процессе дефор мирования может достигать большой величины. Поэтому все геометрические, кинематиче ские и силовые характеристики будем определять на обеих лицевых поверхностях самостоя тельно. Другими словами, напряженно-деформированное состояние будем определять в ка ждом контактном элементе (примыкающим, соответственно, к поверхностям r ( ) и r ( + ) ), что позволит более верно моделировать их состоянии при проскальзывании друг относительно друга.

При этом образуется и постоянно обновляется база данных о механизме возможного взаимодействия между контактными элементами в каждой квадратурной точке каждого кон тактного КЭ. Она представляет собой значения H,k, H, k, xPz,k, yz, k, xPz,k, yz,k для обеих лице P P P P вых поверхностей и на каждой итерации анализируется и перевычисляется.

Моделирование поэтапной выемки грунта из котлована с подпорными стенками.

Проводится расчет напряженно-деформированного состояния подпорных стенок кот лована при поэтапной выемке грунта для случая плоской деформации (рис. 9). Грунт в кот ловане предполагается однородным со сле дующими характеристиками: Eгр = 33 МПа, гр = 0.3, гр = 2040 кг м 3. Для бетона:

Eб = 30000 МПа, б = 0.2, б = 2500 кг м3, толщина подпорных стенок L 2 = 1 м, длина – H 2 = 15 м, расстояние между ними L3 = 10 м, максимальная глубина котлована – H 3 = 10 м.

На боковых и нижней границах области за даются условия отсутствия смещения точек Рис. 9 в направлении, перпендикулярном грани цам. Расстояния от подпорных стенок до границ области выбираются из условия малости влияния подпорных стенок на поле перемещений и напряженно-деформированное состояние грунта на границах. Дискретизация проводится квадратными конечными элементами сплош ной среды, за базовый размер стороны элемента выбирается толщина бетонной стенки. При расчетах на первом этапе прикладывался собственный вес грунта расчетной области. Далее поэтапно и равными порциями проводится выемка грунта.

В таблице 2 приведены значения максимальных и минимальных изгибных напряже ний [МПа] в подпорных стенках при различных конечно-элементных сетках.

Таблица Число элементов по 1 2 3 4 толщине стенки ymax 3.89 4.01 4.08 4.12 4. Без учета контакта ymin -4.74 -5.06 -5.27 -5.43 -5. y max 0.39 0.42 0.45 0.47 0. С учетом контакта y min -1.07 -1.15 -1.20 -1.23 -1. Для иллюстрации приведены распределения напряжений y в подпорных стенках и в грунте для расчета без учета контакта между грунтом и бетонной стенкой (рис. 10) и с уче том контакта (рис. 11) для коэффициента трения f = 0.8.

Рис. 10 Рис. Анализ результатов показывает, что эти варианты расчета принципиально отличают ся. В первом случае подпорные стенки котлована расходятся в стороны и максимальные из гибные (растягивающие) напряжения возникают на их внутренней поверхности. Это можно объяснить тем, что после выемки грунта между подпорными стенками, который (при отсут ствии контакта) как бы притягивал стенки друг к другу, грунт, расположенный за подпорны ми стенками, при осадке начинает тянуть их за собой и раздвигать. Этого не происходит в случае учета контакта между стенками и грунтом, и в этом случае после выемки грунта под действием силы тяжести грунта за стенками они начинают изгибаться вовнутрь котлована.

Кроме этого, уровень напряженного состояния в этом случае гораздо ниже.

В третьей главе решены новые задачи.

Задача исследования деформирования грунта в окрестности опоры проектируе мого моста.

Проводится расчет деформирования грунтового массива в зоне опоры проектируемо го моста через р. Белая. Массив пород в зоне опоры имеет достаточно сложное структурно тектоническое строение. Отмечается крупное тектоническое нарушение, которое унаследо вала палеодолина реки. Проектируемая и существующая опоры мостового перехода находят ся прямо на борту этого нарушения, осложненного многочисленными трещинами (бортового отпора, напластования, карстообразования). В основании этой опоры расположен ряд кар стовых полостей, заполненных продуктами выщелачивания и суффозионного выноса. Для защиты опоры строящегося мостового перехода от негативного воздействия активно разви вающегося сульфатно-карбонатного карста и обеспечения эксплуатационной надежности мостового перехода возможно инъекционное укрепление карстующихся грунтов в основании опоры методом «геокомпозит» с тампонажем карстовых полостей цементным раствором.

Площадка опоры указанного мостового перехода находится в исключительно слож ных инженерно-геологических условиях и требует проведения дополнительного и более тщательного анализа несущей способности опоры совместно с окружающим грунтовым мас сивом при учете возможных противокарстовых мероприятий. Целью исследований является решение вопроса о целесообразности проведения работ по укреплению грунтов в районе опоры.

Расчетная область представляется в виде трехмерного массива размером 144х144 м в плане и от 6 до 88 м (максимальное значение) по вертикали.

На рис. 12 представлен контур расчетной области вместе с расположенными в грунто вом массиве основанием опоры и карстовыми полостями. При расчете считается, что по плоскостям ABCD и EFGH отсутствуют перемещения вдоль оси X, по плоскостям ABFE и CDHG отсутствуют перемещения вдоль оси Y, по плоскости ACGE отсутствуют перемеще ния вдоль оси Z.

Рис. 12 Рис. В центре грунтового массива расположена опора, основание которой представляют цилиндрических свай, расположенных в шахматном порядке (4х4) в середине грунтового массива в плане. При расчетах принято, что структура грунтового массива постоянна по ши рине расчетной области (вдоль оси Y). На рис. 13 приведен продольный разрез расчетной области по плоскости, проходящей через оси центральных свай опоры, с обозначением гра ницы "несущих" грунтов.

Над сваями расположен трехмерный блок, моделирующий основание опоры размером 9.5 х 13.8 м. Этот блок считается практически не деформируемым, так как через него переда ется нагрузка от веса опоры и пролетной части моста (с учетом подвижной нагрузки).

В грунтовом массиве, расположенным под опорой в соответствии с инженерно геологическим разрезом, находятся три карстовые полости: верхняя (I) имеет форму парал лелепипеда размерами 18 х 18 м в плане и 2 м по вертикали, две другие имеют форму усе ченных конусов с радиусами оснований (II) 7 х 6 м и (III) 8 х 6.5 м и по 2 м в высоту.

Расчет проводится в несколько этапов. На первом этапе прикладывается нагрузка от собст венного веса грунта и рас положенных в нем цилинд рических свай опоры. На втором этапе к трехмерно му блоку, расположенному над цилиндрическими сваями (рис. 14) приклады ваются нагрузки от веса Рис. 14 опоры, пролета моста и подвижной нагрузки, величины которых приведены в таблице 3.

Таблица P, [т] Hx, [т] Hy, [т] Mx, [т·м] My, [т·м] 2994 0 59,9 1268,8 В случае расчета, реализующего моделирование надвижки пролета моста, принимает ся третий этап нагружения, включающий действие момента от возникающей силы трения равной 175 т, приложенной к трехмерному блоку, расположенному над цилиндрическими сваями.

Для иллюстрации результатов расчета на рис. 15 (фрагмент) приведено распределение интенсивности пластических деформаций в сечении 1111 (рис. 12) при нагрузке от собствен ного веса опоры и моста (расчетная нагрузка) и надвижке (слева направо) также для случая, когда все карстовые полости забетонированы. На рис. 16 (фрагмент) приведено распределе ние интенсивности пластических деформаций в сечении 1111 при нагрузке от собственного веса опоры и моста (расчетная нагрузка) надвижке (слева направо) для случая, когда карсто вые полости I и II забетонированы, карстовая полость III находится в природном состоянии.

На всех рисунках распределение приведено для “несущих” грунтов, граница которых по казана на рис. 11.

Анализ результатов вы полненных расчетов позволяет сделать вывод о том, что основ ными опасными факторами, оп ределяющими несущую способ ность опоры мостового перехо да, являются: наличие карсто вых полостей, расположенных в грунтовом массиве под указан ной опорой;

место посадки опо ры на борту палеодолины реки.

Для защиты опоры от нега тивного воздействия активно развивающегося сульфатно карбонатного карста и Рис. 15 Рис. 16 обеспечения эксплуатационной надежности мостового перехода возможно инъекционное укрепление карстующихся грунтов в основании опоры методом струйной цементации. Результаты выполненных расчетов пока зывают прочностную эффективность выбранного решения. Вместе с тем произведение за крепления в рассматриваемых условиях грунтового массива в окрестности опоры не может гарантировать надежного результата и оставляет большую степень неопределенности, как с точки зрения требуемой геометрии областей закрепления, так и требуемой конечной прочно сти закрепленных грунтов.

Результаты проведенных расчетов при моделировании различных вариантов нагруже ния для случая закрепленных грунтов в местах наличия карстовых полостей показали, что в большинстве расчетных случаев разрушение происходит в области грунтов борта палеодо лины реки, расположенных вблизи опоры.

На основании вышеописанных факторов можно однозначно сделать вывод о необхо димости переноса опоры мостового перехода в место, характеризующиеся отсутствием под опорой карстовых полостей, и расположенное вдали от борта палеодолины реки.

Расчет осадки грунтового массива в зоне прокладки тоннелей метрополитена.

При прокладке тоннелей метрополитена между внешней поверхностью тоннелей и грунтом остается некоторый зазор. Под действием собственного веса вышерасположенного грунта этот зазор заполняется грунтом, и происходят подвижки и деформации земной по верхности над тоннелями. Для расчета ожидаемых подвижек и деформаций земной поверх ности принимается следующая многоуровневая модель. Внешней силовой нагрузкой являет ся нагрузка от собственного веса грунтового массива. Поскольку на рассматриваемом участ ке проходка будет осуществляться двумя тоннелями и проходка второго тоннеля будет от ставать от проходки первого, то задача решается в два этапа при описании проходки первого тоннеля и в три этапа при описании проходки второго тоннеля (рис. 17). Расчет проводится в плоской постановке.

На первом этапе прикладывается нагрузка от собственного веса деформируемой об делки тоннеля метрополитена и вышерасположенного окружающего грунтового массива.

Между обделкой тоннеля и грунтовым массивом вводится дополнительный слой на величи ну технологического зазора, кольцо обделки считается деформируемым и неразрезным.

На втором этапе по внутренней поверхности обделки задаются кинематические гра ничные условия, полученные на первом этапе. Из расчета исключаются элементы, модели рующие технологический зазор, вместо них вводятся конечные элементы фиктивного мате риала, обладающие слабыми прочностными характеристиками и моделирующие нагнетае мый в технологический зазор тампонажный раствор. Происходит перераспределение полей перемещений и напряжений за счет ослабления грунта в технологическом зазоре.

При моделировании второго тоннеля первый этап соответствует первому этапу возведения одного тон неля. На втором этапе моделируется нагнетание рас твора за обделку одного тоннеля, а на третьем этапе так же поступают с технологическим зазором и вто рого тоннеля. При математическом моделировании кинематические граничные условия определяются следующим образом: по боковым границам рассмат риваемого грунтового массива задается отсутствие горизонтальных смещений, а по нижней границе ука занного грунтового массива определяются нулевые вертикальные смещения.

Рис. 17 Механические характеристики элементов, имити рующих технологический зазор, принимаются следующими: =100 кг/м3, E =0.01 МПа, G =0.00001 МПа, =0.0, длина расчетной области L = 75 м, глубина залегания H = 25 м, размеры технологического зазора: левый тоннель 89 мм, правый тоннель 139 мм.

Рис. 18 Рис. Для иллюстрации результатов расчета на рис. 18 приведено распределение прогибов в сечении для двух тоннелей после осадки грунта над первым, на рис. 19 – распределение про гибов после осадки грунта над вторым тоннелем.

В зону влияния перегонных тоннелей попадает одна из опор эксплуатируемого моста через реку. Его конструкция является достаточно чувствительной к деформациям земной по верхности, вызванным горнопроходческими работами по сооружению перегонных тоннелей, что диктует необходимость возведения защитного сооружения опоры моста.

На рис. 20 приведена расчетная область, использован ная при моделировании защитного эффекта от стены в грунте, где Ht = 24 м, L = 8 м, t = 3,2 м, Hs = 18, 23 или 26 м. Основным вопросом, решаемым при моделиро вании, является вопрос глубины залегания указанной стены. На рис. 21 приведены результаты расчетов прогнозируемых подвижек и деформаций земной по верхности от влияния горных работ при проходке пе регонных тоннелей при различных глубинах залегания защитной стены (18, 23 и 26 м). На этих рисунках Рис. 20 первый график соответствует вертикальным подвиж кам грунта (в метрах), второй график – горизонтальным (в метрах), где сплошной линией пред ставлено решение в ППП ANSYS, а точками – по нашей методике расчета. Анализ данных рас четов позволяет сделать вывод об эффективности защитного сооружения при глубине его зало жения равной 26 метрам.

Рис. Расчет напряженно-деформированного состояния футляра магистрального тру бопровода высокого давления.

Для уменьшения влияния проходящих железнодорожных составов на прочность и ус тойчивость трубопровода (при его проведении под железнодорожным полотном) трубопро вод на опорах частично помещают в так называемый футляр – стальную трубу большего диаметра. В этом случае основная нагрузка от веса вышерасположенного грунта, веса прохо дящего железнодорожного состава и веса самого трубопровода приходится именно на него.

Проводить расчет на прочность всего футляра, а его длина может составлять многие сотни метров, представляется нецелесообразным. Необходимо провести расчет для наиболее за груженной части трубопровода в том месте, где над ним располагаются железнодорожные пути. Кроме того, футляр с расположенным внутри него на опорах трубопроводом представ ляет собой периодическую структуру, поэтому представляется возможным в качестве рас четной области выбрать только часть конструкции, а по границам (ортогональным к попе речному сечению трубопровода) реализовать условия периодичности.

Рис. 22 Рис. Исходя из симметрии относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось футляра, сам футляр и проходящий через него трубопровод представлены в виде цилиндри ческих панелей (с углом раствора 1800). Футляр расположен в грунте, внутри трубопровода транспортируется сжатый газ (этилен). На рис. 22 схематично приведен общий вид расчет ной области (причем, исходя из симметрии, приведена только ее четвертая часть) со сле дующими геометрическими размерами: L1 = 1 м, L2 = 1 м, L3 = 1 м, L4 = 3 м. В расчете предполагается, что магистральный трубопровод (рис. 23) представляет собой сплошную Dвн = 0.219 м с толщиной стенки тtст = 0.008 м, материал кото т трубу внешнего диаметра кг рой является изотропным (сталь): модуль Юнга Eст = 2 105 МПа, плотность ст = 7860 3, м коэффициент Пуассона ст = 0.3. Футляр – также сплошная стальная труба внешнего диа метра ф Dвн = 0.530 м с толщиной стенки тtст = 0.012 м.

Для иллюстрации результатов расчета по модели настоящей работы на рис. 24 приве дены распределение интенсивности напряжений, первого и третьего главных напряжений соответственно.

Рис. В таблице 4 приведено сравнение некоторых результатов решений задачи с решения ми, полученными в ППП ANSYS.

Таблица i [МПа] i [МПа] 1 [МПа] 3 [МПа] max max max min ППП ANSYS 189 97 - методика 194 101 - Расчет футляра на прочность показывает, что при самых неблагоприятных условиях потери прочности футляра не происходит.

Заключение.

Дана постановка задачи упругопластического деформирования грунтовых массивов на основе определяющих соотношений между приращениями истинных напряжений и де формаций.

Реализована методика расчета напряженно-деформированного и предельного состоя ний грунтовых массивов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями.

Разработан и апробирован проблемно ориентированный комплекс программ на алго ритмическом языке Фортран-90, реализующий предложенную методику определения напря женно-деформированного и предельного состояний грунтов на основе метода конечных эле ментов.

Получены новые численные результаты расчета подземных транспортных сооруже ний, взаимодействующих с физически нелинейными грунтами.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Кузнецова, И.С. Моделирование пластического деформирования многослойного грунта в зоне опоры многопролетного моста / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова, А.А. Саченков // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физико-матем. науки. – 2010. – Т. 152, кн. 1. – С. 116–125.

2. Балафендиева, И.С. Моделирование деформирования железобетонной обделки тонне ля в грунте с учетом одностороннего контактного взаимодействия ее блоков / И.С.

Балафендиева, Д.В. Бережной // Вестник Саратовского государственного техническо го университета. – 2011. – № 2 (55). Выпуск 1. – С. 8–16.

3. Балафендиева, И.С. Трехмерное деформирование железобетонной опоры мостовой переправы, расположенной в многослойном водонасыщенном грунте / И.С. Балафен диева, Д.В. Бережной, А.В. Карамов // Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского, № 4 (5). – Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. – С. 1995–1996.

4. Балафендиева, И.С. Расчет осадок в многослойном физически нелинейном грунте при прокладке тоннелей метрополитена / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, Д.А. Егоров // Научно-технический вестник Поволжья. – № 2. – 2012 г. – С. 23–26.

Публикации в других изданиях:

5. Кузнецова, И.С. Математическое моделирование этапов строительства подземных со оружений, взаимодействующих с флюидонасыщенным грунтом, по трансформирую щейся расчетной схеме / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова, Р.Р. Хуснутдинов // Матема тическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. – Самара: СамГТУ, 2009. – С. 51–53.

6. Кузнецова, И.С. Моделирование процессов взаимодействия деформируемых конст рукций с грунтами / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной научной школы конференции «Лобачевские чтения – 2009» – Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2009. – Т. 39. Казанское матем. о-во. – С. 136–138.

7. Кузнецова, И.С. Исследование напряженно-деформированного состояния грунта, взаимодействующего с расположенными в нем деформируемыми конструкциями / Д.В. Бережной, А.И. Голованов, И.С. Кузнецова, С.А. Малкин // XXIII Межд. конф.

«Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов – BEM&FEM; 2009». Труды XXIII Межд. конф. – СПб.: НИЦ МОРИНТЕХ, 2009. – С. 72–77.

8. Кузнецова, И.С. Моделирование процессов нелинейного деформирования грунтов, взаимодействующих с деформируемыми конструкциями / Д.В. Бережной, И.С. Кузне цова, Л.Р. Секаева // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела:

Труды Второй международной конференции. Казань, 8 – 11 декабря 2009 г. / науч.

ред. С.А. Кузнецов – Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. – С. 64–67.

9. Кузнецова, И.С. Нелинейное деформирование элементов конструкций, взаимодейст вующих с грунтами сложной природы / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы ме ханики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 2. – Чебоксары: ГУП «ИПК «Чувашия», 2010. – С. 15–16.

10. Кузнецова, И.С. Моделирование процессов нелинейного деформирования грунта, со держащего карстовые полости под опорой моста / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской на учной конференции с международным участием. Ч.1: Математические модели меха ники, прочности и надежности элементов конструкций. – Самара: СамГТУ, 2010. – С. 60–62.

11. Балафендиева, И.С. Исследование процессов пластического деформирования грунта в зоне опоры моста / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, А.А. Саченков // Труды Мате матического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной на учной школы-конференции «Лобачевские чтения – 2010»;

Казань, 1-6 октября 2010 г.

– Казань: Казанское матем. о-во, 2010. – Т. 40. – С. 62–66.

12. Балафендиева, И.С. Исследование процессов пластического деформирования опоры моста, взаимодействующего с многослойным грунтом / И.С. Балафендиева, Д.В. Бе режной // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и техноло гические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.

Т. 1. – М.: ООО «ТР-принт», 2011. – С. 25–28.

13. Балафендиева, И.С. Упругопластическое деформирование многослойного грунта в зоне опоры многопролетного моста / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’ 2011), 25–31 мая 2011 г., Алушта – М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. – С. 298–299.

14. Балафендиева, И.С. Исследование деформирования грунтового массива при проведе нии подземных строительных работ / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Труды Ма тематического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Десятой молодежной на учной школы-конференции «Лобачевские чтения – 2011». – Казань: Казанское матем.

о-во, 2011 – Т. 41. – С. 90–92.

15. Балафендиева, И.С. Расчет осадок грунта при проведении подземных строительных ра бот / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Материалы Международной научно практической конференции: Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук, 10–11 ноября 2011 г., Казань – Зеленодольск. – Казань: Изд-во КФУ, 2011. – С. 8–11.

16. Балафендиева, И.С. Исследование деформирования грунта при его взаимодействии с элементами транспортных сооружений / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Мате риалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические про блемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. – М.: ООО «ТР-принт», 2012. – С. 17–19.

17. Балафендиева, И.С. Расчет осадки грунта в зоне прокладки тоннеля метрополитена / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Материалы IX Межд. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ’2012), 25–31 мая 2012 г., Алушта. – М.: Изд-во МАИ, 2012. – С. 314–315.

18. Балафендиева, И.С. Моделирование процессов нелинейного деформирования элемен тов транспортных сооружений, взаимодействующих с многослойным грунтом / И.С.

Балафендиева, Д.В. Бережной // Сеточные методы для краевых задач и приложения.

Материалы Девятой Всероссийской конф. – Казань: Отечество, 2012. – С. 55–58.

19. Балафендиева, И.С. Моделирование процессов нелинейного деформирования транс портных сооружений, взаимодействующих с грунтом сложной физической природы / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы XI Всероссийской молодежной научной школы конференции «Лобачевские чтения – 2012». – Казань: Казанское матем. о-во, 2012. – Т. 45. – С. 17–19.

20. Балафендиева, И.С. Исследование процессов деформирования грунтового массива с расположенными в нем трехмерными конструкциями / И.С. Балафендиева, Д.В. Бе режной // Актуальные проблемы физико-математических и гуманитарных наук: Меж дународная научно-практическая студенческая конференция, Казань, Зеленодольск.

29–30 ноября 2012 г.: сборник докладов. – Казань: Издательство «ТАИ», 2012. – С. 73–75.

21. Балафендиева, И.С. Моделирование этапов строительства подземных сооружений / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, А.В. Карамов // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. – М.: ООО «ТР-принт», 2013. – С. 29–30.