Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах

На правах рукописи

Коссович Елена Леонидовна Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования ”Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского”.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, про­ фессор кафедры математической теории упругости и биомеханики, ФГБОУ ВПО ”Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чер­ нышевского” Каплунов Юлий Давидович.

Официальные оппоненты:

Сумбатян Межлум Альбертович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО ”Южный федеральный университет”, заведующий кафедрой теоретической и компьютерной гидроаэродинамики.

Приказчиков Данила Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО ”Московский государственный технический уни­ верситет имени Н.Э. Баумана”, доцент кафедры ”Вычислительная математи­ ка и математическая физика”.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное обра­ зовательное учреждение высшего профессионального образования ”Московский авиационный институт (национальный исследователь­ ский университет)”.

Защита состоится ”18” июня 2013 г. в 1600 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при ФГАОУ ВПО ”Южный федеральный университет” по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу:

344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « » 2013 г.

Ученый секретарь Боев Николай Васильевич диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Необходимость изучения колебательных про­ цессов в тонкостенных конструкциях связана с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении и других областях. Такие про­ цессы носят чрезвычайно сложный характер и складываются из комплекса распространяющихся волн. В конструкциях, имеющих большую протяжен­ ность, наблюдаются, в том числе, и колебания, вызванные распространением локализованных волн. Это волны, которые распространяются вдоль протя­ женных границ сплошной среды, служащих волноводами. До недавнего вре­ мени локализованные волны выделялись из решения волновой задачи толь­ ко с помощью интегральных преобразований. Но в последнее время получи­ ла распространение новая методика, позволяющая выделить вклад локали­ зованной волны в общее решение волновой задачи. Модели, разработанные Л.Ю. Коссовичем и Ю.Д. Каплуновым с использованием данной методики для упругих и пьезоэлектрических поверхностных волн (волн Рэлея и Гу­ ляева-Блюштейна), обеспечивают значительное упрощение постановки и ре­ шения задач. Модели состоят из эллиптического уравнения, описывающего затухание волны внутрь по направлению от поверхности и гиперболического уравнения, описывающего распространение волны на поверхности.

Открытая в середине XX века Ю.К. Коненковым для случая изотропной полубесконечной пластины краевая изгибная локализованная волна представ­ ляет большой интерес для исследователей. Ее аналоги были обнаружены в анизотропных и слоистых пластинах, а также на торцевом стыке двух пла­ стин. Для изучения закономерностей распространения таких волн требуется построение специализированных уравнений. Однако применение указанной методики к описанию изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пла­ стинах не является тривиальной задачей. Это связано с дисперсностью волны Коненкова и аналогичных ей волн.

Построенные в диссертационной работе явные согласованные модели пред­ ставляют как фундаментальный, так прикладной интерес. Предлагаемые мо­ дели позволяют существенно расширить знания о закономерностях распро­ странения волны Коненкова и аналогичных ей волн, упростить процесс вы­ деления их вклада в общее поле деформаций, исследовать прочностные и структурные характеристики тонкостенных конструкций.

Цели диссертационной работы.

Разработка методики построения явных согласованных моделей, опи­ сывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных краевых волн в тонких изотропных и ортотропных пластинах.

Построение явных моделей, описывающих распространение изгибных интерфейсных волн типа Стоунли в тонких изотропных пластинах.

Использование построенных моделей для исследования закономерно­ стей распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

Научная новизна. Разработана методика построения явных согласо­ ванных моделей, описывающих распространение изгибных краевых и интер­ фейсных волн в тонких полубесконечных пластинах. Методика положена в ос­ нову вывода уравнений, характеризующих затухание волны вглубь пластины и уравнений, описывающих распространение волны вдоль торца или стыка пластин. Построены явные согласованные модели, описывающие распростра­ нение краевых изгибных и интерфейсных волн тонких изотропных и орто­ тропных пластинах.

Практическая значимость. Предложенные в диссертации явные моде­ ли позволяют упростить процесс выделения вклада краевых и интерфейсных изгибных волн в общее поле деформаций, могут быть применены для иссле­ дования прочности конструкции, для определения в них дефектов, а также могут лечь в основу создания приборов для исследования прочностных и структурных характеристик тонких пластин.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановки рассматриваемых задач о краевом изгибе тонких пластин, стро­ гостью и математической обоснованностью использованных методов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы до­ кладывались на научной конференции механико-математического факультета ”Актуаль­ ные проблемы математики и механики” (ФГБОУ ВПО ”Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского”, Саратов, 2011, 2012 гг), XV Международной конференции ”Современные проблемы механики сплошной среды” (ФГАОУ ВПО ”Южный федеральный университет”, Ростов-на-Дону, 2011 г.), IV Всероссийской студенческой научно-технической школе ”Кадры бу­ дущего - 2012” (ГБОУ ВПО Московской области ”Международный Уни­ верситет природы, общества и человека ”Дубна”, Дубна, 2012 г.), международной школе для студентов и молодых ученых по оптике, ла­ зерной физике и биофизике ”Saratov Fall Meeting’12” (ФГБОУ ВПО ”Са­ ратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского”, Саратов, 2012 г.), VI Конференции молодых ученых ”Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика” (ФГБУН Институт радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН. Саратовский филиал, Саратов, г.), XIV Международной научно-практической конференции ”Фундаменталь­ ные и прикладные исследования, разработка и применение высоких тех­ нологий в промышленности и экономике” (Институт прикладных иссле­ дований и технологий, Санкт-Петербург, 2012 г.), 4-й научно-практической конференции "Presenting Academic Achievements to the World"(ФГБОУ ВПО ”Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского”, Саратов, 2013 г.), научных семинарах кафедры математической теории упругости и био­ механики и кафедры радиотехники и электродинамики ФГБОУ ВПО ”Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевско­ го”.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­ жения:

Методики построения явных согласованных моделей, описывающих рас­ пространение изгибной краевой и интерфейсной волны в тонких пласти­ нах.

Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонкой изотропной пластине.

Явная модель, описывающая распространение изгибных интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах.

Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонких ортотропных пластинах.

Результаты вычислительных экспериментов по расчету смещений тон­ ких изотропных и ортотропных пластин в рамках представленных мо­ делей.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных ра­ ботах, из них 3 статьи в журналах из списка ВАК [2–4], 2 статьи в сборниках тезисов конференций [1, 5].

Личный вклад автора. Изложенные в диссертационной работе науч­ ные результаты получены автором лично и самостоятельно. Постановка за­ дач, обсуждение полученных результатов проводилась совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Ма­ териал работы изложен на 122 страницах, содержит 60 рисунков. Список цитированной литературы содержит 115 наименований.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформули­ рованы цели и задачи, приведен обзор состояния исследований в изучаемой предметной области, сформулирована научная новизна, показана практиче­ ская значимость результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, кратко описано ее содержание.

Первая глава посвящена построению явных моделей, описывающих распространение краевых изгибных волн при торцевом изгибе тонкой полу­ бесконечной изотропной пластины (см. рис. 1).

Рис. 1. Полубесконечная пластина. Декартова система координат Рассмотрим изгибные колебания тонкой упругой полубесконечной изо­ тропной пластины толщины 2, срединная плоскость которой занимает об­ ласть, 0 (рис.1).

Введем безразмерные величины (1) =, =, =, =, где - прогиб, - характерный масштаб времени, - полутолщина пласти­ ны. Применим интегральные преобразования Фурье и Лапласа относительно переменных (/ ) и (/ ).

В теории Кирхгофа все компоненты напряженно-деформированного со­ стояния могут быть записаны через функцию прогиба. Уравнение движе­ ^ ния тонкой изотропной пластины для изображения прогиба имеет вид ^ 2^ 4 2 ^ + (4 + 2 2 ) = 0, 2 (2) 4 ( ) где 2 = 32 1 2 / 2, - плотность материала пластины, - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона.

На торце пластины = 0 будут ставиться три типа краевых условий:

1) однородные краевые условия ^ 2 ^ 2 = 0, (3) ^ ^ 3 (2 )2 = 0;

3 2) приложенный к торцу изгибающий момент ^ 2 ^ ^ 2 = 0, (4) 3^ ^ (2 )2 = 0, 3 ( ^ 0 0 (, ) - изображение безраз­ ) где 0 (, ) = мерного изгибающего момента 0 (, ), = 23 /3(1 2 ) - изгибная жест­ кость пластины;

3) приложенная к торцу перерезывающая сила ^ 2 ^ 2 = 0, (5) 3^ ^ ^ (2 )2 = 0, 2 ( ^ 0 0 (, ) - изображение безраз­ ) где 0 (, ) = мерной перерезывающей силы 0 (, ).

Введем параметр соотношением 4 4 + 2 2 = 0. Тогда уравнение для этого параметра, являющееся модификацией дисперсионного уравнения для скорости волны Коненкова, получим из решения задачи о свободных колеба­ ниях торца пластины. Оно имеет вид 2 1 + 2(1 ) 1 4 = 0.

Решением этого уравнения является величина [ ] 4 2 2 + 1, = (1 ) 3 1 + 2 2 (6) которая представляет собой коэффициент скорости волны Коненкова. свя­ ( ) зан с фазовой скоростью этой волны соотношением = 2 /0.

Построим явную модель, описывающую распространение краевой изгиб­ ной волны в тонкой изотропной полубесконечной пластине. Вначале запишем точное решение задачи об изгибе тонкой полубесконечной изотропной пла­ стины для изображения прогиба на торце = 0. Считая =, проводим асимптотический анализ полученного решения. В результате приходим к при­ ближенному решению, описывающему вклад волны Коненкова в общее поле деформаций:

^ ^ = (1) ( ), (7) 0 4 где 1 ( ) + 2 ( ) (1) = ( ), (8) ( ) ] [ 1 ( ) = (1 ) 2 1 + 2, ] [ 2 ( ) = (1 ) + 2 1 2, (9) ) ( 1 2 1 2 (4 4 ), ( ) = ( ) = 1 2 4 2(1 ) 1 4, (10) или, через параметр интегрального преобразования, имеем:

^ ^ 4 4 + 2 2 = (1) 0 2.

( ) (11) 0 Равенство (11) можно трактовать как уравнение в изображениях. Используя правила преобразования дифференциальных операторов, получим соответ­ ствующее ему уравнение для оригинала. В результате приходим к прибли­ женному уравнению:

4 2 2 1 2 4 = (1) +, (12) 4 2 где (, ) - краевой прогиб, связанный с краевой изгибной волной Коненко­ ва.

В обыкновенном дифференциальном уравнении для изображения проги­ ба в первом приближении положим 2 = 4 4 /2 :

^ 2^ 4 2 ^ + (1 4 )4 = 0, 2 (13) 4 ^ где - изображение прогиба внутренней части пластины, вызванного рас­ пространяющейся волной Коненкова. В пространстве оригиналов оно соот­ ветствует уравнению, характеризующему затухание волны внутрь пластины:

4 4 + 2 2 2 + (1 ) = 0. (14) 4 После упрощения, краевые условия для (, ) записываются в виде (, 0) = (), (15) 2 =.

2 Таким образом, построенная явная согласованная модель, описывающая распространение краевой изгибной волны, состоит из уравнения (12) на торце и задачи (14)-(15) внутри пластины.

Для случая приложенной к торцу перерезывающей силы модель строит­ ся по аналогичной методике. Вначале определяется точное решение задачи для изображений. Затем ищется первое приближение около полюсов Конен­ кова решения на торце пластины, преобразуется обыкновенное дифференци­ альное уравнение для изображений, ставятся краевые условия. Полученная в результате явная согласованная модель имеет вид:

1) уравнение, описывающее распространение волны:

(, ) 2 2 (2) 1 4 + =, (16) 4 2 где (, ) - угол поворота на торце пластины, 1 ( ) + 2 ( ) (2) = ( ), (17) ( ) ( ) 1 (4 4 ), 2 ( ) = ] (18) [ 1 ( ) = (1 ) + 2 1 2, ] [ 2 ( ) = (1 ) 2 1 + 2, 2) уравнение, описывающее затухание волны вглубь пластины:

4 4 + 2 2 2 + (1 ) = 0, (19) 4 где (, ) - угол поворота внутри пластины. Краевые условия для (, ) ставятся следующим образом:

(, 0) = (), (20) = (2 ) 2.

2 Рис. 2. Краевой прогиб изотропной пластины (0 = 1). Точное решение и вклад волны Коненкова Построенная таким образом явная согласованная модель отражает двой­ ственную природу изгибной краевой волны, которая распространяется вдоль края пластины (рис. 2) и затухает в противоположном направлении (внутрь Рис. 3. Профиль затухания волны внутрь пластины пластины) (рис. 3). Использование решений, полученных при помощи моде­ ли, позволяет определить амплитуду колебаний, характер распространения волны вдоль края пластины и ее затухания по направлению от торца.

Результаты, полученные в первой главе, опубликованы в работах [3, 5].

Во второй главе строятся явные согласованные модели, описывающие распространение изгибных интерфейсных волн типа Стоунли в двух тонких полубесконечных изотропных пластинах.

Рис. 4. Стык двух полубесконечных пластин. Ориентация осей системы координат Рассмотрим интерфейсный изгиб двух тонких полубесконечных изотроп­ ных, в общем случае различных по свойствам, пластин толщиной 2, как показано на рис.4.

Введем безразмерные величины равенствами ^ (21) =, =, = 1, 2, где - прогибы пластины 1 и 2, - изгибные жесткости пластин, ^ = (1 + 2 ) /2 - характерное значение жесткости пластин, - безразмер­ ные изгибные жесткости пластин. После применения интегральных преобра­ зований Фурье и Лапласа уравнения движения запишутся в виде ^ 2^ 4 2 ^ + (4 + 2 2 ) = 0, = 1, 2, (22) 2 4 ( ) где 2 = 3 2 1 2 / 2 - частотные параметры для пластин 1 и 2, плотности материалов каждой из пластин, - коэффициенты Пуассона, - модули Юнга пластин.

На стыке пластин = 0 ставятся три типа контактных условий:

1) однородные контактные условия ^ ^ 1 = 2, ^ ^ 1 =, [ ] 2^ ^ 2 2 ^ 1 (23) ^ ^ 1 2 1 = 2 2 2, ^ 2 1 [ ] 3^ ^1 ^ 2 3 ^ ^ 1 (2 1 )2 (2 2 ) = ;

^ 3 1 2) приложенный к стыку изгибающий момент ^ ^ 1 = 2, ^ ^ 1 =, [ ] 2^ ^ 2 2 ^ ^ 1 0 (24) ^ ^ 1 2 1 = 2 2 2, ^ ^ 2 1 [ 2 1 ] ^ ^ ^ ^ ^ 3 1 2 3 2 1 (2 2 ) (2 1 ) = ;

^ 3 1 3) приложенная к стыку перерезывающая сила ^ ^ 1 = 2, ^ ^ 1 =, [ ] 2^ ^ 2 2 ^ 1 (25) ^ ^ 1 2 1 = 2 2 2, ^ 1 [ ] 3^ ^1 ^ 2 3 ^ ^2 ^ 1 (2 1 )2 (2 2 ) = +.

^ ^ 3 1 Уравнение для определения безразмерного постоянного коэффициента скорости изгибной интерфейсной волны типа Стоунли принимает следующий вид:

] ]2 [ [ (1 + )2 + 1 2 1 + 2 + (1 + )2 1 + 2 1 ]2 ]2 [ [ (1 )2 + 1 2 1 2 (1 )2 1 + 2 1 + 2 (26) [ ] 4 1 4 + 1 2 4 4 = 0, где ^ 2 (27) =, =, =, ^ 1, = (1 1 ) (1 2 ) 2.

=, = (28) Уравнение (26) не разрешается аналитически. Волна типа Стоунли возникает не для всех сочетаний параметров контактирующих пластин. В диссертации представлены графики и аналитические выражения для границ областей су­ ществования этой волны.

Методика построения явных согласованных моделей, описывающих рас­ пространение интерфейсной изгибной волны типа Стоунли, аналогична при­ веденной в первой главе. Определяются точные решения задач об интерфейс­ ном изгибе двух тонких полубесконечных изотропных пластин. В случае де­ формирования пластин приложенным на стыке изгибающим моментом ре­ шение записывается для изображений прогибов, а в случае перерезывающей силы - для изображений углов поворота.

Из анализа точных решений, взятых для области стыка пластин, выде­ ляется вклад интерфейсной волны типа Стоунли. Получены два уравнения, описывающие распространение изгибной интерфейсной волны вдоль стыка пластин. Уравнения, характеризующие затухание волны по направлению от стыка, строятся из обыкновенных дифференциальных уравнений для изобра­ жений прогибов или углов поворота асимптотическим анализом около полю­ сов Коненкова. Для указанных уравнений ставятся интерфейсные условия, связывающие решения построенных уравнений между собой.

Явная модель, описывающая распространение изгибной интерфейсной волны, инициированной изгибающим моментом, имеет следующую форму:

1) уравнения на стыке пластин, 21 2, 1 (1) 2 4 + =, (29) 1, 4 1 где прогибы, (, ) пластин с номером ( = 1, 2) вызваны вкладом интер­ (1) фейсной изгибной волны типа Стоунли, коэффициенты,, зависщие от и материальных параметров пластин, представлены в диссертации;

2) уравнения, описывающие затухание волны внутри каждой из пластин 4, 4, 4, + 2 2 2 + (1 4 ) = 0, (30) 4 где, (, ) - прогиб пластины с номером ( = 1, 2), 1, = 1, = (31) 2, = 2.

Краевые условия для уравнений (30) имеют вид, (, 0) =, (), (32) 2, 2, =.

2 Явная модель, описывающая распространение изгибной интерфейсной вол­ ны, инициированной перерезывающей силой, записывается в виде:

1) уравнения на стыке пластин, 2 2, 1 (2) 2 4 + =, (33) 1, 4 1 где, - углы поворота пластин 1 и 2 на стыке, вызванные распространением изгибной интерфейсной волны типа Стоунли;

2) уравнения для углов поворота внутри пластин 4, 4, 4, + 2 2 2 + (1 ) = 0, (34) 4 где, (, ) - угол поворота пластины с номером ( = 1, 2).

Краевые условия для, (, ) имеют форму, (, 0) =, (), (35) 2, 2, = (2 ).

2 Использование моделей позволяет выделить вклад изгибной интерфейс­ ной волны в общее поле деформаций на стыке двух изотропных полубеско­ нечных пластин.

Результаты второй главы опубликованы в работе [3].

В третьей главе методика построения явных моделей, описанная в гла­ ве 1, распространяется на случай полубесконечной ортотропной пластины.

Рассмотрим изгиб тонкой полубесконечной пластины, описываемой клас­ сической теорией Кирхгофа и изготовленной из ортотропного материала. Вве­ дем безразмерные переменные вида ^ ^ ^ ^ (36) =, =, 1 = 1, =, где,, 1, - изгибные жесткости, = ( + ) /2 - характерное значение изгибных жесткостей материала пластины. После применения инте­ гральных преобразований Фурье и Лапласа уравнение движения для изобра­ ^ жения прогиба запишем в форме:

4^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 4 2(1 + 2 )2 2 + ( 4 + 2 2 ) = 0, (37) где =.

На торце пластины = 0 рассматриваются три типа краевых условий:

1) однородные краевые условия 2^ ^ ^ ^ 2 1 2 = 0, (38) 3^ ^ ^ ^ ^ 3 (1 + 4 )2 = 0;

2) приложенный к торцу изгибающий момент 2^ ^ 1 2 = 0, ^ ^ ^ 2 (39) 3^ ^ ^ (1 + 4 )2 = 0;

^ ^ 3 3) приложенная к торцу перерезывающая сила 2^ ^ ^ ^ 2 1 2 = 0, (40) 3^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 (1 + 4 )2 = 0.

Коэффициент скорости изгибной краевой волны в ортотропной пластине имеет вид ( ) ^^ ^2 ^2 ^ (41) = ( 1 + 4 2 )2.

Явные модели, описывающие распространение краевой изгибной волны, строятся как и в предыдущих случаях. Вводится размерный аналог постоян­ ного коэффициента * =.

Явная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны, инициированной изгибающим моментом, записывается в виде:

1) уравнение на торце * 4 4 2 2 * 1 = (1) +, (42) 2 2 где (, ) - краевой прогиб, связанный с краевой изгибной волной в орто­ тропной пластине, 2) уравнение, характеризующее затухание волны вглубь пластины:

* 4 4 4 ( ) + 2(1 + 2 ) 2 2 + = 0, (43) 4 с краевыми условиями при = (, 0) = (), (44) 2 = 1 2.

2 Явная модель, описывающая распространение краевой изгибной волны, ини­ циированной перерезывающей силой, записывается в виде:

1) уравнение на торце * 4 4 2 2 (2) * 1 + =, (45) 2 2 где (, ) - угол поворота на торце пластины, вызванный распространением краевой волны в ортотропной пластине, 2) уравнение для угла поворота внутри пластины имеет вид * 4 4 4 ( ) + 2(1 + 2 ) 2 2 + = 0, (46) 4 с краевыми условиями на = (, 0) = (), (47) = (1 + 4 ) 2.

2 ^ Рис. 5. Краевой прогиб ортотропной пластины (1 = 0.99). Полное решение и вклад краевой изгибной волны Коненкова Использование построенных моделей удобно при исследовании влияния свойств ортотропных материалов на характер распространения краевой вол­ ны. Для этого берется первое уравнение модели, описывающее распростране­ ние волны вдоль торца, а также равенство (41). В результате были опреде­ лены соотношения жесткостей материала, для которых вклад краевой изгиб­ ной волны в общее поле деформаций играет ключевую роль или пренебре­ жимо мал. В первом случае примером может служить материал, в котором ^ ^ ^ ^ = = = 1, 1 = 0.99 (рис.5). Во втором случае примером является ^ ^ ^ материал со следующим соотношением жесткостей: = = 1, 1 = 0.3, ^ = 5 (рис.6).

^ Рис. 6. Краевой прогиб ортотропной пластины ( = 5). Полное решение и вклад краевой изгибной волны Коненкова Результаты третьей главы опубликованы в работе [4].

Основные результаты и выводы 1. Разработана методика построения явных согласованных моделей, опи­ сывающих распространение изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких пластинах.

2. Построена явная согласованная модель, описывающая распространение изгибной краевой и интерфейсной волн в тонких изотропных пластинах.

3. Построена явная согласованная модель, описывающая распространение изгибной краевой волны в тонких ортотропных пластинах.

4. Построенные модели выделяют вклад изгибных краевых и интерфейс­ ных волн в общее поле деформаций тонких пластин. Исследовано влия­ ние вклада изгибных краевых волн в общее волновое поле в зависимости от параметров ортотропии.

Список публикаций 1. Глухова О. Е., Коссович Е. Л. Исследование возникновения краевых волн в многослойных графеновых пластинах при различных способах укладки слоев // Тез. докл. V конф. молодых учен.“Наноэлектроника, нанофотони­ ка и нелинейная физика”. – Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2012. С. 77–78.

2. Глухова О. Е., Коссович Е. Л. Явные модели распространения краевых волн в многослойных графеновых пластинах // Нано- и микросистемная техника. 2012. № 5. С. 8–14.

3. Каплунов Ю. Д., Коссович Е. Л., Мухомодьяров Р. Р., Сорокина О. В.

Явные модели распространения изгибных краевых и интерфейсных волн в тонких изотропных пластинах // Известия Саратовского университета.

Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, № 1.

С. 56–63.

4. Коссович Е. Л. Явные модели распространения изгибных краевых волн в тонких полубесконечных ортотропных пластинах // Известия Саратовско­ го университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика.

2013. Т. 13, № 1. С. 64–69.

5. Коссович Е. Л., Каплунов Ю. Д. Явные модели распространения изгиб­ ных волн в тонких упругих пластинах // Тез. докл. XV межд. конф. "Со­ временные проблемы механики сплошной среды"– Ростов-на-Дону: изд-во Южного федерального университета. 2011. С. 28–29.