Собственные напряжения в нелинейно упругих телах с дислокациями и дисклинациями

На правах рукописи

Дерезин Святослав Викторович СОБСТВЕННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНО УПРУГИХ ТЕЛАХ С ДИСЛОКАЦИЯМИ И ДИСКЛИНАЦИЯМИ Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Иванова Елена Александровна доктор физико-математических наук, доцент Еремеев Виктор Анатольевич

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН (г. Пермь)

Защита состоится «11» октября 2011 г. в 1715 часов на заседании диссер тационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютер ных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «9» сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы — методами нелинейной теории упругости исследовать проблему определения собственных напряжений в различных структурах, содержащих поля изолированных и непрерывно распределённых дислока ций и дисклинаций.

Актуальность работы — задачи определения собственных напряже ний, вызванных наличием в теле дефектов в форме дислокаций и дисклина ций, играют важную роль в моделировании и исследовании механических свойств современных материалов.

Методы исследования. В работе используются методы нелинейной тео рии упругости, дифференциальной геометрии обобщённых пространств, тео рии пластин и оболочек, вариационные методы, метод Фурье решения урав нений в частных производных, метод комплексных потенциалов в духе Колосова-Мусхелишвили.

Достоверность полученных результатов в диссертационной работе обеспечивается совпадением решений нелинейных уравнений для диска из полулинейного материала, содержащего непрерывно распределённые дис клинации с известными решениями для изолированных дисклинаций в слу чае, когда плотности распределённых дефектов представляют из себя обоб щённые функции. Задача об изгибе пластинки Рейсснера с дислокациями решалась двумя различными способами. Было получено совпадение ре зультатов между собой, а также с известными результатами для неограни ченной пластинки.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. В рамках нелинейной теории упругости путём предельного перехода от изолированного набора дислокаций к их непрерывному распределению получена полная система уравнений, определяющих собственные напря жения в теле с распределенными дислокациями и изолированными дискли нациями. В случае плоской деформации введено физически обоснованное понятие плотности дисклинаций и установлена его связь с гауссовой кри визной многообразия с дефектами. Получено точное решение задачи о соб ственных напряжениях в круглом диске из нелинейно упругого материала, обусловленных заданной плотностью дисклинаций.

2. В рамках общей нелинейной теории оболочек типа Кирхгофа-Лява рассмотрена задача сильного изгиба упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собственных напряже ний. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющей ся изгибу, и положительной плотности дисклинаций доказано существова ние, наряду с плоским напряжённым состоянием, также и изогнутой фор мы равновесия, переходя в которую мембрана освобождается от внутрен них напряжений. Получена инвариантная формулировка модифицирован ных уравнений несовместности деформаций типа Гаусса-Кодацци с учё том непрерывно распределённых краевых и винтовых дислокаций в обо лочке. Рассмотрена задача о квазипластическом (некогерентном) изгибе тонкой плёнки, содержащей дислокации, установлена гидродинамическая аналогия с уравнениями, описывающими стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости с заданной завихрённостью.

3. Для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учё том поперечного сдвига, развита теория дислокаций Вольтерры. Решена задача определения полей перемещений и поворотов многосвязной пла стинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и из гибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и по воротов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие мно госвязную область в односвязную. Дано выражение характеристик дисло каций и дисклинаций через поля деформаций в виде контурных интегралов.

4. В рамках линейной теории Рейсснера с использованием разложе ния в ряды Фурье решена задача об изгибе неограниченной пластинки, со держащей изолированный дефект. Решение содержит модифицированные функции Бесселя, асимптотические свойства которых позволили опреде лить характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения. Полученное решение было прове рено при помощи метода комплексных потенциалов.

5. С помощью модифицированного принципа минимума дополнитель ной энергии введены плотности непрерывно распределённых дефектов. По казано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитываю щие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плотность винто вых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между рас тяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчётах многосвязных тонкостенных конструкций, в механике разрушения, а также при модели ровании двумерных углеродных наноструктур, нанотрубок, оболочек виру сов и биологических мембран.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, за ключения и списка литературы. Общий объём работы — 137 страниц.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на IV и XIV международных конференциях «Современные проблемы ме ханики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1998;

Азов, 2010), 37th Solid Mechanics Conference (Варшава, 2010), Euromech Colloquium «Shell-like Structures – Non-classical Theories and Applications» (Виттенберг, 2011), а также на семинаре кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

На различных этапах работа над диссертацией была поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (государственные контракты П 596 и № 02.740.11. от 7 июля 2009 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [2, 5] поме щены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные ре зультаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Л. М. Зубову принад лежат постановки задач и рекомендации по выбору методов их решения.

Вывод основных уравнений, решение краевых задач и анализ результатов принадлежат автору диссертационной работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор работ по теме диссертации.

Понятие дислокации стало одним из основных в современной физике твёрдого тела. При помощи дислокационных моделей и механизмов могут быть объяснены такие сложные явления как пластическое течение, внут реннее трение, хрупкость, усталость, фазовые переходы и т. д.

Развитие и становление линейной теории изолированных и непрерывно распределенных дислокаций трансляционного типа получило отражение в работах Дж. Эшелби, Э. Крёнера, Р. де Вита, В. Л. Инденбома и А. Н. Ор лова, А. М. Косевича, Дж. Хирта и Л. Лоте, А. Коттрела, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, Ж. Фриделя, А. А. Вакуленко, В. П. Мясникова и М. А. Гу зева и др.

Идея связать кручение, введённое в дифференциальную геометрию Э. Картаном под влиянием работы братьев Э. и Ф. Коссера, с дислока циями появилась в работах К. Кондо, Дж. Ная, Б. Билби, Р. Баллофа и Э. Смита, Э. Крёнера. Основные принципы динамической теории дисло каций были заложены В. Л. Бердичевским и Л. И. Седовым.

Благодаря тесной связи теории дислокаций с дифференциальной гео метрией в семидесятые годы прошлого века появилась т. н. калибровоч ная теория дислокаций, нашедшая своё отражение в монографиях А. Ка дич и Д. Эделена и Д. Эделена и Д. Лагоудаса. Пространство с дефектами в случае их непрерывного распределения имеет естественную структуру рас слоения с группой голономии, индуцированной кривизной калибровочной группы теории упругости, равной полупрямому произведению подгруппы вращений на подгруппу трансляций. Позднее, в работах И. В. Воловича и М. О. Катанаева возникла геометрическая теория дефектов, сочетающая в себе многие аспекты калибровочной теории с классической теорией упру гости.

Развитие теории дисклинаций в твёрдых телах можно проследить по монографиям и обзорам K.-H. Anthony, В. А. Лихачёва и Р. Ю. Хайрова, Р. де Вита, В. И. Владимирова и А. Е. Романова, А. Л. Колесниковой и А. Е. Романова, А. Е. Романова и др.

Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций полу чила своё дальнейшее развитие в работах Л. М. Зубова, М. И. Карякина, К. Теодосиу, J. D. Clayton и др.

Теория собственных напряжений как особое направление механики де формированного тела появилась в Германии в начале 20-го века. В её ста новлении участвовали такие известные учёные, как Ф. Клейн, Л. Прандтль, А. Фёппль, Х. Рейсснер. Использование этого понятия собственных на пряжений позволяет абстрагироваться от природы возникновения той или иной несовместной деформации, вызывающей уравновешенное напряжён ное состояние твёрдого тела при отсутствии приложенной внешней нагруз ки. Причиной возникновения собственных напряжений помимо дислока ций могут быть температурные, пьезоэлектрические, пластические, росто вые, фазовые и другие деформации. Отличие собственных напряжений от упругих напряжений, вызванных внешними силами, состоит в том, что по следние исчезают, если снимается внешняя нагрузка (т. е. тело переходит в естественное состояние), в то время как устранение собственных напря жений может быть осуществлено путём разрезания тела на элементы. Од нако, в двумерном случае существует возможность релаксации собствен ных напряжений путём потери устойчивости плоского состояния упругой системы и её «побегу в третье измерение».

Первая глава диссертации посвящена проблеме определения собствен ных напряжений, вызванных наличием изолированных и непрерывно рас пределённых дислокаций и дисклинаций, в трёхмерной нелинейно упругой среде.

В п. 1. 1 рассматривается задача об определении положения точки де формированного упругого тела по заданному в многосвязной области непрерывно дифференцируемому и однозначному полю тензора дисторсии.

Возможная неоднозначность решения означает наличие в теле трансляци онных дислокаций. Суммарный вектор Бюргерса дискретного набора дис локаций выражается контурным интегралом dr · C, (1) B= L где C — градиент деформации (тензор дисторсии), L0 — контур, охваты вающий линии всех дислокаций из данного набора.

При переходе к непрерывному распределению вводится плотность дис локаций как тензорное поле, поток которого через любую поверхность внут ри тела дает суммарный вектор Бюргерса всех дислокаций, пересекающих эту поверхность. Тогда, преобразуя интеграл в (1) по формуле Стокса, по лучим rot C =. (2) Здесь — тензор плотности дислокаций.

Введение локального материального репера, связанного с дисторсией, позволяет трактовать деформированную конфигурацию упругого тела с непрерывно распределенными дислокациями как пространство метриче ской связности V3. Тензор кручения этого пространства выражается через плотность дислокаций следующим образом 1k ··k ij k = mk (3) Sij = ijm, ji 2 — компоненты тензора Леви-Чивиты.

где ijm Далее ставится задача определения поля дисторсии по заданным мет рическому тензору деформированной конфигурации и плотности дислока ций. Показано, что необходимое и достаточное условие разрешимости по следней задачи заключается в равенстве нулю тензора кривизны Римана Картана пространства V3.

n (4) Rkim· = 0.

Если же предположить, что отсчётная конфигурация представляет со бой многосвязную область и отказаться от условия однозначности дис торсии, то возможная неоднозначность поля дисторсии может быть вы звана наличием изолированных дисклинаций в многосвязном теле. Из-за некоммутативности конечных поворотов вектор Франка каждой дискли нации выражается через метрику и плотность дислокаций при помощи не простого (обычного) контурного интеграла, а мультипликативного криво линейного интеграла по замкнутому контуру, охватывающему линию дан ной дисклинации. Сложные свойства мультипликативного интеграла в об щем случае затрудняют введение физически обоснованного понятия плот ности дисклинаций в трёхмерной среде при произвольных деформациях.

В п. 1. 2 осуществлен переход к непрерывному распределению дискли наций в условиях плоской деформации материальной среды. В этом слу чае суммарный вектор Франка набора клиновых дисклинаций выражается через метрику и плотность дислокаций при помощи обычного контурного интеграла, который можно преобразовать в интеграл по площади. Это дает возможность ввести плотность дисклинаций и сформулировать полную си стему полевых уравнений, определяющих собственные напряжения в дву мерной среде с непрерывно распределенными дислокациями и дисклина циями. Условие несовместности деформаций плоской нелинейной теории упругости выглядит следующим образом · (det U)1 e · U · ( · e · U) = · (det U)1 e · G · 0 +, (5) где U = G — положительно определённый (левый) тензор искажений, G = C·CT — мера деформаций Коши, e — дискриминантный тензор, 0 — плотность краевых дислокаций, — плотность клиновых дисклинаций.

В отличие от линейной континуальной теории дисклинаций представ ленная здесь теория не накладывает никаких ограничений на малость де формаций в упругом теле. Выведена явная формула, связывающая плот ность дисклинаций с дифференциально-геометрическим инвариантом дву мерного пространства метрической связности – гауссовой кривизной и до казана ТЕОРЕМА [2] Гауссова кривизна R пространства V2, являющегося в случае плоской деформации дифференциально-геометрической мо делью упругой среды с непрерывно распределенными дефектами, про порциональна плотности клиновых дисклинаций:

R = (det U)1. (6) В п. 1. 3 построенная общая теория проиллюстрирована решением за дачи о собственных напряжениях в упругом диске из полулинейного мате риала, обусловленных заданной плотностью клиновых дисклинаций. По казано, что в осесимметричном случае задача может быть сведена к квад ратурам при любой функции плотности дисклинаций. Для постоянной плот ности дисклинаций приводится решение в явном виде.

Во второй главе рассматривается теория собственных напряжений дис локационного типа в двумерных системах, моделируемых упругими обо лочками.

В п. 2. 1 в рамках общей нелинейной теории оболочек типа Кирхгофа Лява рассматривается задача сильного изгиба упругой пластинки, содер жащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собствен ных (внутренних) напряжений. В отличие от модели пластинок Кармана деформации в плоском напряжённом состоянии не считаются малыми. Вы ведена система нелинейных уравнений, содержащая в качестве неизвест ных функций нормальный прогиб пластинки и коэффициенты первой квад ратичной формы деформированной срединной поверхности пластинки.

Кроме уравнений равновесия данная система включает нелинейное усло вие несовместности деформаций, содержащее плотности дислокаций и дис клинаций 2 2 w w w w w 2 2 = 1 (7).

x2 x2 x1 x2 x1 x 1 Полученная система уравнений описывает, в частности, изгиб пластин ки при отсутствии внешних нагрузок за счёт релаксации внутренних напря жений, обуславливающих плоское напряжённое состояние. В случае весь ма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющейся изгибу, и положи тельной плотности дисклинаций доказано существование, наряду с плос ким напряжённым состоянием, также и изогнутой формы равновесия, пе реходя в которую мембрана полностью освобождается от внутренних на пряжений.

Если рассмотреть уравнение (7) в приближении Кармана (8) [w, w] =, где [w, w] — оператор Монжа-Ампера, то можно построить точное реше ние задачи об осесимметричном изгибе тонкой мембраны круглой формы под влиянием собственных напряжений, обусловленных распределёнными дисклинациями.

Рис. 1. Осесимметричное выпучивание мембраны, обусловленное наличием дисклинаций В п. 2. 2 рассматривается теория линейных дефектов в тонких плёнках и нанотрубках в предположении, что напряжения являются исключитель но упругими, т. е. учитывается только упругая энергия деформации, за висящая от двух фундаментальных форм деформированной оболочки. Та ким образом, не учитываются слагаемые, отвечающие за энергию само действия образованных дефектов и энергию взаимодействия между при ложенным напряжением и плотностью дислокаций.

Рис. 2. Две нанотрубки с различными хиральностями: A) Идеальная armchair-нанотрубка;

B) Zigzag-нанотрубка с дисклинациями противоположных знаков (дефект 5-7) Особое внимание уделено геометрической стороне вопроса, а именно уравнениям Гаусса-Кодацци совместности (несовместности) деформаций, которые определяют в общем случае наличие в теле собственных деформа ций и напряжений. Получена бескоординатная формулировка этих уравне ний · (e · L) + L · n = 0, L = L2 LtrL + 0,5 tr2 L trL2 E, (9) 1 U· · (e · U) 0 n (P · U b) · e, L = (det U) 0 = · FT, P = B r r, b = b r r.

Здесь e = n E — дискриминантный тензор на поверхности в отсчёт ной конфигурации с нормалью n, b, B — компоненты вторых фунда ментальных форм в отсчётной и текущей конфигурациях соответственно, 0 — тензор плотности краевых дислокаций. B являются несимметрич ными по нижним индексам, причём антисимметричная часть определяется плотностью винтовых дислокаций.

Рассмотрены некоторые особые случаи неголономных преобразований плоскости в поверхность с дефектами, моделирующими квазипластический или некогерентный изгиб. При наличии только винтовых дислокаций с плот ностью a система Гаусса-Кодацци det K = a2, (10) · (e · K · e) = e · a, допускает непосредственное интегрирование в форме K = ae + V2 = (11) V, V1 =,, x2 x что приводит к представлению [, ] = 0, (12) = 2a, известному в гидродинамике и описывающему стационарные течения иде альной несжимаемой жидкости с заданной завихрённостью.

Третья глава посвящена развитию теории дислокаций и дисклинаций в линейно и нелинейно упругих пластинках.

В п. 3. 1 для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, развита теория дислокаций Вольтерры. При выполнении следующих условий совместности деформаций ·e· · e · ) = 0, (13) ( ·e· · e · + det = 0, e · e ·, (14) = где — тензор локальных кривизн (изгибных деформаций), — вектор поперечных сдвигов, — тензор тангенциальных деформаций, была ре шена задача определения полей перемещений и поворотов многосвязной пластинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и изгибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и по воротов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие много связную область в односвязную + = a, k (15) + w w = bk ak · r, u u = hk + Hk · r.

+ Здесь — вектор углов поворота срединной поверхности пластинки, w — нормальный прогиб, u — вектор перемещений в плоскости пластинки, r — радиус-вектор текущей точки на разрезе. Формулы (15) составляют суть теоремы Вейнгартена для пластинки Кармана с учётом поперечных сдви гов. Постоянные ak, bk, hk, Hk определяются для каждого разреза в виде контурных интегралов. (15) 1 и (15) 2 описывают перемещение краёв раз реза как абсолютно твёрдых тел в рамках линейной аппроксимации. Для (15) 3 это не справедливо, т. к. тензоры Hk в общем случае не являются ни антисимметричными, ни ортогональными, что связано со структурой моде ли Кармана.

В п. 3. 2 в рамках линейной теории Рейсснера решена задача об опре делении напряжённо-деформированного состояния кольцевой пластинки, содержащей винтовую дислокацию и дисклинацию кручения с использова нием разложений в ряды Фурье относительно полярного угла компонент упругой деформации. Полученное решение имеет вид K1 (r) (a2 cos a1 sin ), (16) r = 2 r r b K1 (r) + B(r)(a1 cos + a2 sin ), (17) = 2 A(r) 1+ (a1 sin a2 cos ), (18) rr = + r 4r A(r) (a2 cos a1 sin ), (19) = + r 4r b2 K1 (r) A(r) 1+ r = A(r) (a1 cos + a2 sin ). (20) + 4 2 r 4r Где 2 1 K1 (z) = K2 (z) A(z) = K0 (z) + (21), z z z 1 K1 (z) B(z) = K0 (z) + (22), z z 2 = (23), a = a1 i1 + a2 i2.

D(1 ) Здесь Km (m = 0, 1, 2) — модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда), r — полярный радиус, b — длина вектора Бюргерса винтовой дислокации, a — вектор Франка дисклинации круче ния, D — цилиндрическая жёсткость, — жёсткость на поперечный сдвиг, — коэффициент Пуассона. Асимптотические свойства функций Бесселя позволили определить характеры сингулярностей, производимые изолиро ванными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения в бесконечной пластинке Рейсснера.

В п. 3. 3 дана постановка задачи об изгибе пластинки Рейсснера с дис локациями и дисклинациями в терминах комплексных потенциалов. Ос новные уравнения изгиба сформулированы в виде бигармонического урав нения на прогиб w (24) w = и сингулярно возмущённого уравнения Гельмгольца на локальное круче ние 2 = 0, 2 = (25).

D(1 ) Основываясь на идеях Колосова-Мусхелишвили, была получена сле дующая комплексная формулировка задачи (26) w= z(z) + (z), x + iy = 2D + i + z +, (27) Qx + iQy = 4D 2i, (28) Mx + My = 2D(1 + ) +, (29) 16D 8i My Mx 2iHxy = 2D(1 ) z + + (30) +, 2 где,, — многозначные аналитические функции, удовлетворяет уравнению Гельмгольца (25).

Многозначность полей поворотов и перемещений, вызванная наличием дислокаций и дисклинаций, определяет характеры многозначности анали тических функций в многосвязной области i (31) = ( + i) ln z, = ( + i ) ln z +, z (32) = ( + i )z + i ln z, = µ0 K0 (r) + 2(µ1 cos 1 sin )K1 (r), (33) (1 )q1 (1 )q (34) =, =, 8 (3 + )q1 (3 + )q = (35), =, 8 b = q = n a = a · e. (36), Вычисляемые по заданным потенциалам (31) – (33) компоненты дефор маций (и напряжений) совпадают с полученными ранее (16) – (20) в раз деле 3. 2.

Найденные потенциалы, удовлетворяющие соответствующим гранич ным условиям, позволили определить выражения для прогиба и углов по ворота неограниченной пластинки (1 + ) ln r w= (q · r) + (b + q · e · r) (37) 4 K1 (r) 1 (1 + ) ln r (q · r) (q · e · r), (38) r = + 2 r3 r2 4r 2r b 1 1 K1 (r) = 4B(r)+(1+) ln r (q·e·r) (q·r).(39) 2 r 4r 2r Отметим, что в случае бесконечной пластинки формула прогиба по тео рии Рейсснера (37) полностью идентична соответствующей формуле по тео рии Кирхгофа. Пользуясь этой формулой, можно построить поверхности, соответствующие пластинке с дефектом.

Рис. 3. Кольцевая пластинка с винтовой дислокацией и дисклинацией кручения Рис. 4. Круглая пластинка с дисклинацией кручения В п. 3. 4 предложен модифицированный вариационный принцип мини мума дополнительной энергии для пластинки Рейсснера, позволяющий по лучить основные уравнения для изолированных дислокаций и дисклина ций, а также перейти к их непрерывному распределению. Варьирование функционала с соответствующими граничными условиями n Wd (bk ak · r)Ck + ak · Dk, (40) = k= где W = M + Q · — удельная (на единицу площади) потенциаль ная энергия деформации, M — тензор изгибающих (и крутящих) моментов, Q — вектор перерезывающих сил, — полное произведение тензоров, эк вивалентно исходной краевой задаче из п. 3. 2 и 3. 3.

Функционал дополнительной энергии для случая непрерывно распре делённых дислокаций и дисклинаций будет иметь вид W d · + · d. (41) = Здесь — плотность винтовых дислокаций, — плотность дисклинаций кручения.

Уравнениями Эйлера-Лагранжа для функционала (41) будут условия несовместности, определяющее наличие в пластинке собственных напря жений 1 ·e· · e · ) = (42) (.

2 Было показано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитывающие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плот ность винтовых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосре доточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

В заключении формулируются ключевые результаты, полученные в ра боте.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Получена полная система уравнений, определяющих собственные на пряжения в нелинейно упругом теле с распределенными дислокациями и изолированными дисклинациями. В случае плоской деформации доказа на теорема о связи плотности дисклинаций с гауссовой кривизной. Найде но точное решение задачи о собственных напряжениях в круглом диске из нелинейно упругого материала, обусловленных заданной плотностью дис клинаций.

2. В случае мембраны и положительной плотности дисклинаций доказа но существование изогнутой формы равновесия, переходя в которую мем брана освобождается от внутренних напряжений. Получена инвариантная формулировка уравнений типа Гаусса-Кодацци с учётом непрерывно рас пределённых краевых и винтовых дислокаций в оболочке.

3. Для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учё том поперечного сдвига, установлен аналог теоремы Вейнгартена. Даны выражения характеристик дислокаций и дисклинаций через тензорные по ля деформаций в виде контурных интегралов.

4. В рамках линейной теории Рейсснера решена задача об изгибе коль цевой и неограниченной пластинок, содержащих изолированный дефект.

Определены характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения.

5. С помощью принципа минимума дополнительной энергии введены плотности непрерывно распределённых дефектов. Показано, что теория Рейсснера позволяет корректно определить плотность винтовых дислока ций. Cтатико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пла стинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стес нённым вращением.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Дислокации и дисклинации в упругих пла стинках // Труды IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 1998.

C. 128 – 132.

2. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределёнными дислокациями и дисклинациями // ДАН. 1999. Т. 366. № 6. С. 762–765.

3. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Равновесие нелинейно упругой пластин ки с распределёнными дислокациями и дисклинациями // Труды ХIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2010. Т. 1. C. 130–134.

4. Derezin S. V., Zubov L. M. Dislocations and disclinations in Mindlin Reissner plates: Further development of the slab analogy // Proceedings of 37th Solid Mechanics Conference. Warsaw. 2010. pp. 306–307.

5. Derezin S. V., Zubov L. M. Disclinations in nonlinear elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2011. V. 91. No 6. pp. 433–442.

6. Derezin S. V. Gauss-Codazzi equations for thin lms and nanotubes containing defects // Shell-like Structures – Non-classical Theories and Applications (Ed. H. Altenbach, V. A. Eremeyev). Berlin: Springer, 2011.

pp. 531–548.