Осесимметричная контактная задача о кручении неоднородной упругой среды сложной структуры
На правах рукописи
Васильев Андрей Сергеевич ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ростов-на-Дону – 2012
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Донском государственном техническом университете» ДГТУ
Научный консультант: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Айзикович Сергей Михайлович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Ляпин Александр Александрович доктор технических наук, доцент Сметанин Борис Иванович
Ведущая организация: Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН (г. Москва)
Защита состоится “17” апреля 2012 г. в 1600 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул.
Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.
Автореферат разослан “16” марта 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Боев Николай Васильевич
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания новых материалов с непрерывно-неоднородными упругими свойствами. Исследования показали, что такие материалы имеют более высокую степень устойчивости к износу и растрескиванию при воздействии скользящего контакта.
Разрушение структуры и самого материала деталей машин в машиностроении в основном инициируется вблизи их поверхностей из-за концентрации напряжений при воздействии внешних нагрузок.
Поэтому для снижения эффекта износа и усталости, вызванного высокими нагрузками, требуются специальные покрытия.
Для построения решений контактных задач в зависимости от толщины покрытия используются различные методы (регулярный асимптотический метод, сингулярный асимптотический метод, методы ортогональных многочленов, коллокации и др.), т.к. каждый из них эффективен в своей области значений характерного геометрического параметра задачи. В настоящей работе развивается асимптотический метод решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для неоднородных покрытий.
Метод является двухсторонне асимптотически точным и позволяет в единой форме получить решение контактных задач, эффективное для покрытий любых толщин.
Анализ зарубежной и отечественной литературы за последние тридцать лет показывает, что большинство результатов по контактным задачам для неоднородных материалов получены при специальных предположениях о законе изменения упругих свойств материала (экспоненциальном, степенном). Подобные задачи в основном решались численными методами или методом коллокации, однако для покрытий более сложной структуры эти методы оказываются малоэффективными.
При решении задач контактного взаимодействия для неоднородных материалов в случае, когда свойства упругой среды изменяются только по глубине, удается использовать метод интегральных преобразований. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений. В общем случае трансформанты ядер этих уравнений можно построить только численно.
Немонотонное изменение упругих свойств в покрытии, связанное со знакопеременным градиентом изменения упругих свойств, оказывает существенное влияние на свойства трансформант ядер. Учет этих свойств позволяет исследовать механические характеристики задачи в случае покрытий сложной структуры, представляющих интерес для приложений.
Важность разработки математически обоснованных приближенных аналитических методов решения смешанных задач теории упругости для неоднородных сред обусловлена также тем, что эти методы представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, пластичности и теории консолидации неоднородных сред, а методы, разработанные для их решения, являются общими для целого класса задач математической физики.
Цели работы состоят в:
1) развитии математического аппарата и численно-аналитических подходов, позволяющих получать приближенные аналитические решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для неоднородных сред;
2) исследовании влияния анизотропии и сложной структуры неоднородных покрытий на распределение контактных напряжений под штампом, а также на поля напряжений, деформаций и смещений.
Научную новизну работы составляют следующие основные результаты Предложен эффективный алгоритм построения аналитических аппроксимаций трансформант ядер парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами для неоднородных сред.
На основе аппроксимации трансформант высокой точности построены аналитические решения серии модельных задач о кручении сред с покрытиями сложной структуры:
• полупространства с неоднородным покрытием, обладающего цилиндрической анизотропией.
• полупространства с неоднородным покрытием периодической структуры, для которого градиент изменения модуля сдвига многократно меняет знак (до 50 раз);
• неоднородного слоя, лежащего на упругой подложке, жесткость которой во много раз превышает жесткость слоя (до раз);
Для контактной задачи о кручении полупространства с покрытием исследовано влияние сложной структуры покрытия, жесткости подложки и анизотропии среды на распределение контактных напряжений. Построены поля смещений, напряжений и деформаций в приповерхностных слоях полупространства.
Проанализирована точность построенных приближенных аналитических решений.
На примере контактной задачи о кручении полупространства с неоднородным покрытием проведен детальный анализ точности приближенных решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом. Изучена связь между погрешностью аппроксимации трансформанты ядра и погрешностью приближенного решения задачи.
Для численного анализа использованы различные алгоритмы построения аппроксимации трансформанты ядра. Исследована зависимость погрешности решения от значений параметров задачи.
Установлены диапазоны применимости аналитических решений, построенных на основе простейшей одночленной аппроксимации трансформанты ядра. Вычислены значения коэффициентов одночленной аппроксимации трансформанты ядра для характерных законов неоднородности. Исследована точность полученных решений.
Достоверность результатов работы обеспечивается:
• строгостью использованного математического аппарата;
• физической обоснованностью моделей контактного взаимодействия;
• соответствием выявленных эффектов физическому смыслу задачи;
• совпадением, в частных случаях, построенных решений с известными решениями.
Практическая ценность работы Результаты работы могут быть использованы:
1) для анализа жесткости оснований, расчета и определения параметров контактного взаимодействия неоднородных цилиндрически анизотропных покрытий;
2) для изучения износостойкости покрытий;
3) для разработки новых покрытий, отвечающих заданным требованиям;
4) при неразрушающем контроле упругих свойств тонких неоднородных покрытий.
Предложенный алгоритм аппроксимации трансформанты ядра интегрального уравнения может быть использован при построении приближенных аналитических решений широкого класса смешанных задач математической физики, решение которых строится с использованием метода интегральных преобразований.
Апробация работы Основные результаты, полученные в работе докладывались на:
IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», (пос.
Дивноморское 2008, 2009, 2011);
XIII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на Дону, 2009);
11th Pan-American Congress of Applied Mechanics (Бразилия, 2010);
международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010);
X международной конференции «БелСЗМ–IX» (Минск, Беларусь, 2010);
семинарах по механике сплошной среды им. Л.А.Галина под руководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, А.В. Манжирова (Москва, 2010, 2011);
XVI международной конференции “Mechanics of composite materials” (Рига, Латвия, 2010);
семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством академика РАН И.Г. Горячевой 38-ое заседание (Москва, 2010);
семинаре кафедры теории упругости ЮФУ (Ростов-на Дону, 2011);
всероссийской конференции "V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела" (Астрахань, 2011);
международной летней школе-конференции «Актуальные проблемы механики» APM—2011 (Санкт-Петербург, 2011 года);
международном коллоквиуме EUROMECH Colloquium 527 «Shell-like structures» (Виттенберг, Германия, август 2011);
X всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, август 2011);
семинаре по проблемам математического и численного моделирования ИВМ СО РАН (Красноярск, 25 октября, 2011).
Публикации По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе четыре статьи [1-4] представлены в журналах из “Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук”, утвержденного ВАК РФ.
В работах [1-3, 7, 11, 14] соавторам принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Васильеву А.С. принадлежит построение и анализ свойств решения контактной задачи, а также схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.
В монографии [5] Васильеву А.С. принадлежат результаты второй главы, посвященные построению решений задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием высокой точности. В работах [4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15] Васильеву А.С.
принадлежит построение эффективных аппроксимаций контактных задач, построение решения контактной задачи о кручении и анализ полученных численных результатов.
Объем и структура работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 146 наименований, приложения, общий объем диссертации составляет 112 страниц машинописного текста.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
обосновывается актуальность темы Во введении диссертационной работы, дан обзор существующих направлений в решении смешанных задач механики контактного взаимодействия.
Дан обзор последних работ по теме диссертации и выделены наиболее значимые их них. Сформулированы цели исследования и основные полученные результаты.
Механика контактных взаимодействий деформируемых твердых тел занимает центральные позиции в области механики деформируемого твердого тела. Основополагающими в теории смешанных задач теории упругости были работы Я. Буссинеска, Л.А.
Галина, Г. Герца, Н.И. Мусхелишвилли, М.А. Садовского, С.А.
Чаплыгина, Д.И. Шермана и др.
Большой вклад в разработку новых методов решения контактных задач теории упругости внесли В.М. Александров, В.А. Бабешко, А.В.
Белоконь, И.И. Ворович, И.Г. Горячева, М.Г. Крейн, Н.А. Ростовцев, Ю.А. Устинов, М.И. Чебаков, J.R. Barber, K.L. Johnson, J.J. Kalker, I.
Sneddon и др.
Наряду со статическими контактными задачами рассматривались и динамические контактные задачи. По-видимому, динамические контактные задачи впервые в общей постановке для произвольного закона неоднородности были изучены в работах В.А. Бабешко, Е.В.
Глушкова, Н.В. Глушковой (неоднородное полупространство), И.В.
Ананьева, В.В. Калинчука, И.Б. Поляковой (неоднородный слой).
Отдельный класс задач, имеющий обширные приложения в инженерной практике, составляют обратные задачи математической физики (задачи определения свойств материалов, идентификация полимерных и композитных материалов, определение расположения и конфигурации дефекта и др.). Различные постановки, методы решения, условия обеспечивающие единственность, и другие аспекты исследования обратных задач освещены в монографиях О.М.
Алифанова, А.О. Ватульяна, В.Г. Романова, А.А. Самарского, А.Н.
Тихонова, H.D. Bui, V. Isakov и др.
В ГЛАВЕ 1 сформулирована постановка контактной задачи о кручении круглым плоским штампом упругого цилиндрически анизотропного полупространства с неоднородным покрытием.
Считается, что ось анизотропии проходит через центр штампа и совпадает с осью z, выбранной полярной системы координат. Схема постановки задачи изображена на рисунке 1.
Обобщенный закон Гука в этом случае принимает вид:
= r zr, = G ( z ) r E r r E E z z r r r r z = +, rz = Grz ( z ) rz (1) Er r E E z z = rz z + 1, = G ( z ) Er r E E z z z z z z В этом случае E=Er, z=z, Grz=Gz и, число независимых упругих констант равно 5.
Считаем, что модули сдвига Gr, Gz изменяются по законам:
H z0 H z f r ( z ) fz ( z ) =, Gz =. (2) Gr f r ( H ) z H fz ( H ) z H Здесь fr, fz – некоторые функции, определяющие закон изменения модулей сдвига в покрытии.
Рисунок 1– Постановка задачи о кручении.
Используя интегральное преобразование Ханкеля, поставленная задача сводится к решению интегрального уравнения 1 = Gr (0)Gz (0) r, r 1, ( ) L(u ) J (ur ) J (u ) dud (3) 1 0 где ( ) – неизвестные контактные касательные напряжения под =H a штампом;
– геометрический параметр задачи, равный отношению толщины покрытия к радиусу штампа;
– L(u ) трансформанта ядра интегрального уравнения;
J1 (u ) – функция Бесселя первого рода;
r = r a – расстояние от центра штампа (далее штрихи опускаются).
Предложена схема численного построения трансформанты ядра интегрального уравнения. Вычисление значения трансформанты ядра в определенной точке сведено к решению краевой двухточечной задачи, используя модификацию приема, предложенного В.А.
Бабешко, Е.В. Глушковым, Н.В. Глушковой (метод модулирующих функций). Решение краевой задачи строится численно.
Для некоторых частных случаев изменения модуля сдвига в покрытии приведены явные выражения для трансформант ядер.
Показано, что трансформанта ядра интегрального уравнения обладает следующими свойствами, которые необходимо учитывать при построении решений данной контактной задачи:
L(0) = Gr (0)Gz (0) Gr ( H )Gz ( H ), (4) lim L(u ) = 1. (5) u Отметим, что свойства (4), (5) справедливы и для изотропного полупространства. Отсюда следует, что класс трансформант ядер для цилиндрически анизотропного полупространства принципиально не отличается от класса трансформант ядер для изотропного полупространства.
Построено приближенное аналитическое решение контактной задачи с использованием двухстороннее асимптотического метода решения парных интегральных уравнений.
Если трансформанта ядра интегрального уравнения задачи имеет вид u 2 + Ai N LN (u ) =, (6) i =1 u 2 + Bi то решение задачи можно представить в форме:
4 Gr (0) Gz (0) 1 1.
N r (r ) = + Ci Z (r, Ai ) (7) LN (0) 1 r i = Аi, Bi, (i = 1,K, N ) Здесь – некоторые комплексные постоянные, постоянные Ci определяются из системы линейных алгебраических уравнений, функция Z – известная неполная цилиндрическая функция.
Доказано, что в случае, когда для модулей сдвига выполнено Gr ( z )Gz ( z ) c 2 = const, (8) контактные напряжения под штампом совпадают с контактными напряжениями для однородного изотропного полупространства с модулем сдвига равным с.
ГЛАВА 2 посвящена построению эффективных аппроксимаций трансформант ядер интегральных уравнений выражениями (6).
Описан известный ранее алгоритм построения аппроксимации трансформант ядер выражениями (6), основанный на аппроксимации полиномами Бернштейна.
Произведен анализ свойств функций:
u 2 + A 1 (u ) =, (9) u +B 2 (u 2 + A2 ) (u 2 + A2 ).
2 (u ) = (u 2 + B 2 ) (u 2 + B 2 ) (10) 1 1 Используя свойства классов функций 1 и 2, предложен новый алгоритм, позволяющий с малой погрешностью строить аппроксимации трансформант ядер интегральных уравнений выражениями (6). Алгоритм является итерационным и основан на пошаговом построении аппроксимаций вида (10), последовательно улучшающих аппроксимацию трансформанты ядра.
Проведен анализ итерационного алгоритма и известного ранее алгоритма аппроксимации полиномами Бернштейна, сформулированы их достоинства и недостатки. Приводятся погрешности аппроксимаций, построенных данными алгоритмами, как для простых (монотонных) законов неоднородности, так и для сложных законов.
Предложена модификация итерационного алгоритма, основанная на его сочетании с алгоритмом аппроксимации полиномами Бернштейна, позволяющая существенно повысить его эффективность.
В ГЛАВЕ 3 построены решения ряда контактных задач о кручении круглым штампом неоднородного полупространства с различными покрытиями сложной структуры.
В первом параграфе анализируются немонотонные изотропные покрытия периодической структуры:
f0 + 1 f0 1 z cos 2 k, f r ( z ) = fz ( z ) = закон I.
H 2 f0 + 1 f0 1 z cos 2 k, f r ( z ) = fz ( z ) = + закон II.
H 2 f0 2 f где f 0 1 показатель неоднородности, характеризующий отношение модуля сдвига на поверхности к модулю сдвига подложки. Параметр k задает количество волн синусоиды и соответствует числу перемен знака градиента изменения модуля сдвига в покрытии.
В таких покрытиях более мягкие «слои» чередуются с более жесткими. Упругие свойства при этом меняются непрерывно внутри покрытия, вследствие этого снижается концентрация напряжений внутри покрытия. Подобные покрытия активно изучаются последнее время и показано, что они обладают рядом интересных свойств.
Свойства покрытий, описываемых законами I, II, возникают из-за диффузии соседних слоев в многослойных покрытиях. В литературе описаны различные технологии создания таких покрытий (напыление в вакууме, PVD методы и др.).
Анализ графиков трансформант ядер, соответствующих слоистым покрытиям, где более жесткие слои чередуются с более мягкими, показал, что они обладают теми же основными свойствами, что и трансформанты ядра, порождаемые законами I, II. Анализ свойств трансформант ядер и распределения контактных напряжений, описанный в первом параграфе главы 3, также относятся и к многослойным покрытиям, где жесткие и мягкие слои чередуются 1, 2, 4, 10, 50 и более раз. Следует отметить, что с точки зрения используемого в работе математического аппарата исследование слоистых или непрерывно-неоднородных покрытий принципиальных различий не имеет.
Построены трансформанты ядер законов I, II (рисунок 2) и проанализированы их свойства при увеличении параметра k.
Выявлено, что при увеличении числа «слоев» расширяется диапазон значений u, при которых трансформанта существенно отличается от 1.
Рисунок 2– Трансформанты ядер для законов I, II. Кривые 1-4 соответствуют закону I, случаям k=1, 2, 4, 50, кривые 5-8 – закону II, случаям k=1, 2, 4, 50.
Предложенный во второй главе алгоритм аппроксимации трансформанты ядра доказал свою эффективность при аппроксимации рассматриваемого класса трансформант ядер. Например, для закона II, случая 50 волн синусоиды (k=50) удалось построить аппроксимацию с максимальной ошибкой менее 0,52%.
Здесь и далее погрешность аппроксимации определяется формулой L (u ) = LN (u ) L(u ) 1 100%, (11) где L(u) – точное значение трансформанты ядра (построенное численно), LN(u) – ее аппроксимация выражениями (6).
Для законов I, II построено и проанализировано распределение контактных напряжений под штампом. Наиболее важный вывод состоит в том, что при увеличении числа непрерывно-неоднородных слоев (параметр k) увеличивается диапазон значений параметра, для которых распределение контактных напряжений под штампом существенно отличается от распределения контактных напряжений однородного полупространства с модулем сдвига равным модулю сдвига подложки.
Во втором параграфе рассматривается задача о кручении изотропного упругого слоя, лежащего на упругом основании, жесткость которого во много раз превышает жесткость покрытия.
Постановка задачи совпадает с постановкой в главе 1, но считается, что на границе покрытие-подложка происходит скачек функции, описывающей изменение модуля сдвига в среде. Другими словами, вместо (2) полагаем:
f ( z ), H z Gr ( z ) = Gz ( z ) = G ( z ) =, (12) f ( H ), z H где параметр 1 характеризует величину скачка модуля сдвига.
Анализируются случаи =3.5, 10, 100, 1000.
Раздельно анализируется влияние на решение задачи увеличения жесткости основания и неоднородности покрытия при существенном отличии свойств покрытия и подложки. Анализируются неоднородные покрытия, в которых свойства изменяются линейно и покрытия с немонотонным изменением свойств (законы I, II, случай k=1).
Характерной особенностью трансформант ядер таких сред является то, что значения трансформанты в окрестности u=0 во много раз отличаются от значений трансформанты при больших значениях u (до 1000 раз при =1000). Известные ранее алгоритмы аппроксимации трансформанты ядра оказываются неэффективными в этом случае.
Используя итерационный алгоритм, предложенный в главе 2, построены аппроксимации высокой точности (погрешность менее 1%), и, используя эти аппроксимации, построены решения контактной задачи.
Проанализировано изменение распределения контактных напряжений под штампом при увеличении жесткости основания. При 1 контактные напряжения при любом значении модуля сдвига основания близки к контактным напряжениям однородной среды.
Далее, при уменьшении наблюдается рост контактных напряжений, причем, чем жестче основание, тем больше диапазон, где происходит рост контактных напряжений. При этом скорость роста контактных напряжений с уменьшением не зависит от жесткости основания.
Затем, по достижению предельного значения, соответствующего модулю сдвига подложки, контактные напряжения стабилизируются (выходят на значения для однородной среды с модулем сдвига равным модулю сдвига подложки).
При больших значениях жесткости основания поставленная задача является аналогом задачи о кручении слоя, лежащего на недеформируемом основании.
Проанализировано влияние неоднородности покрытия на распределение контактных напряжений под штампом при существенном отличии свойств на границе покрытие-подложка (рассматривался случай отличия свойств в 100 раз). Рассматриваемая неоднородность покрытия (отличие свойств до 3,5 раз) существенно влияет на контактные напряжения и в зоне больших, и в зоне малых, несмотря на то, что эта неоднородность мала по сравнению со скачком упругих свойств на границе покрытие-подложка (100 раз).
В третьем параграфе изучаются цилиндрически анизотропные законы неоднородности III-VI (рисунок 3), в которых один модуль сдвига изменяется немонотонно, а другой является постоянной величиной. Для изучения совместного влияния анизотропии и неоднородности результаты сравниваются со случаями неоднородных изотропных покрытий, описываемых законами I, II.
Построены трансформанты ядер для законов III-VI и их аппроксимации выражениями (6).
Рассмотрено полупространство с покрытием, в котором модули сдвига изменяются по закону:
sin( z ) sin( z ) Gr ( z ) = 3,5, Gz ( z ) = 3, закон VII..
Графики величин Gr, Gz для закона VII изображены на рисунке 4.
Рисунок3– Графики изменения модуля сдвига для законов III-VI.
Рисунок4– График изменения модуля сдвига по глубине для закона VII.
Закон VII выбран так, чтобы выполнялось условие (8). Численно построенная трансформанта ядра для закона VII практически тождественно равна 1, что подтверждает результаты, описанные в главе 1.
Четвертый параграф посвящен анализу точности решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом.
Для оценки погрешности, строились решения контактной задачи о кручении однородного полупространства, используя двухсторонне асимптотический метод. В этом случае распределение контактных напряжений известно и может быть посчитано точно. Численный эксперимент показал, что в случае аппроксимации трансформанты ядра (для однородного полупространства тождественно равной 1) выражением вида (10) с максимальной погрешностью 10%, погрешность решения в любой точке не будет превышать 14% при любом значении параметра. Построены графики зависимости максимальной погрешности решения от максимальной погрешности аппроксимации трансформанты.
Кроме того, на примере различных неоднородных сред анализируется влияние гладкости аппроксимации трансформанты ядра на вид решения;
рассматриваются особенности решений, полученных с использованием различных алгоритмов аппроксимации трансформант ядер. В анализе под погрешностью аппроксимации трансформанты понимали величину (11).
Расчеты показали, что наиболее проблемной зоной (зоной, где наблюдаются качественные отличия в поведении приближенных решений, а также значительные погрешности) является зона «малых». Для различных законов неоднородности, очевидно, эта зона будет различаться. Например, для однородных покрытий и покрытий со степенным изменением модуля сдвига, а также при немонотонном изменении модуля сдвига в покрытии (законы I, II) – это область (0.01,0.5).
Численный эксперимент показал, что при аппроксимации полиномами Бернштейна максимальная относительная погрешность решения примерно в 1,5 раза выше максимальной погрешности аппроксимации трансформанты ядра. Это позволяет оценивать погрешность построенных решений при использовании алгоритма аппроксимации полиномами Бернштейна. Алгоритм прост в реализации и для ряда характерных законов изменения модуля сдвига позволяет получать аппроксимации с небольшой погрешностью.
Графики погрешностей аппроксимации трансформант ядер и сравнение графиков построенных для них контактных напряжений дают основании утверждать, что характер погрешности аппроксимации трансформанты во многом определяет характер погрешности решения.
Для контроля точности приближенных аналитических решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом необходимо внимательно следить не только за величиной погрешности аппроксимации трансформанты ядра, но и за видом аппроксимации.
Приведенные примеры показывают, что в некоторых случаях даже при небольшой погрешности аппроксимации трансформанты ( max L (u ) 1,5% ) при определенных значениях параметров и r u погрешность приближенного решения может быть высока (до 23%).
Здесь погрешность оценивалась, сравнивая между собой решения, посчитанные при различных аппроксимациях трансформант ядер.
Заметим, что анализ, аналогичный проведенному в главе 3 для задачи кручения, можно провести и для решений других смешанных задач, построенных двухсторонне асимптотическим методом.
В первом параграфе ГЛАВЫ 4 построены поля смещений, напряжений и деформаций в приповерхностных слоях полупространства для ряда характерных законов неоднородности.
Во втором параграфе по аналогии с известной функцией жесткости Снеддона вводится функция жесткости кручения, определяемая формулой:
3 dM Gw = (13) 16a 3 d Здесь a – радиус штампа, M – величина крутящего момента, – угол, на который повернется штамп под действием момента M. Величину Gw рассматриваем как функцию от параметра.
Для однородного основания величина Gw является постоянной, не зависящей от размеров штампа, и равна значению модуля сдвига среды. В случае же воздействия штампа на неоднородную среду, эта величина является функцией, зависящей от радиуса штампа. Заметим, что для задачи кручения функция Gw не зависит от коэффициента Пуассона.
Построены значения функции жесткости кручения для ряда характерных законов неоднородности и отмечена их аналогия с графиками трансформант ядер соответствующих законов.
Предложена схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.
Измеряя зависимость угла поворота от приложенного момента в ряде испытаний по кручению среды штампами различных радиусов, мы можем получить экспериментальную кривую жесткости.
Предлагается решить серию прямых задач об определении жесткости основания для некоторого предполагаемого набора функций изменения модуля сдвига в поверхностном слое, а затем подобрать ту функцию, которая лучше всего согласуется с экспериментальными данными.
Простой аналитический вид решения позволяет построить функции жесткости для широкого диапазона входных данных (законы неоднородности, размеры штампа и т.д.), что повышает достоверность метода подбора.
Заметим, что в последнее время активно развиваются различные эвристические алгоритмы поиска искомых параметров, как, например, генетические алгоритмы.
В третьем параграфе анализируется возможность использования простейшего аналитического решения задачи о кручении жестким круглым штампом упругого полупространства с неоднородным покрытием. Решение строится двухсторонне асимптотическим методом с использованием одночленной аппроксимации функции трансформанты ядра выражением (9).
Считаем, что значение аппроксимации должно совпадать со значением трансформанты при u=0 (т.к. значение L(0) в явном виде участвует в формуле приближенного решения (7)). В этом случае для построения аппроксимации выражением (9) достаточно подобрать всего один параметр А. Это существенно упрощает процесс аппроксимации и позволяет построить решение задачи в простом аналитическом виде, что часто бывает удобно для приложений.
Контактные напряжения в этом случае представляются следующей формулой.
4 Gz (0)Gr (0) 1 1 + B r Z (r, A 1 ), (r ) = (14) L(0) 1 r 2 A 2 p A 1, B 1 ) ( где p A 1, B 1, Z (r, A 1 ) – известные функции.
Сформулированы ограничения на класс законов неоднородности, для которых возможно эффективное построение аппроксимации вида (9). Для ряда характерных законов неоднородности построены аналитические решения задачи на основе простейшей одночленной аппроксимации трансформанты ядра. Сравнивая построенные решения с решениями, построенными для тех же законов при существенно более точной аппроксимации (погрешность которой не превышает 0,3%), сделаны выводы о точности формулы (14) в зависимости от значений параметров задачи. Для рассматриваемых законов неоднородности выделены диапазоны параметров, при которых формула (14) дает удовлетворительное решение и записаны величины погрешности для этих диапазонов.
В Приложении подробно описан процесс построения решения контактной задачи о кручении круглым штампом полупространства с неоднородным покрытием с использованием двухстороннее асимптотического метода.
ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ Решение задачи о кручении цилиндрически анизотропного 1) упругого полупространства с неоднородным покрытием.
Решение задачи о кручении неоднородного слоя, лежащего 2) на существенно более жестком основании.
Решение задачи о кручении упругого полупространства с 3) неоднородным покрытием периодической структуры, градиент изменения модуля сдвига которого многократно меняет знак.
Анализ диапазона применимости и погрешности 4) приближенных аналитических формул решения задачи о кручении полупространства с неоднородным покрытием, построенных на основе простейшей одночленной аппроксимации трансформант ядер.
Алгоритм аппроксимации трансформанты ядра 5) интегрального уравнения функциями специального вида.
Анализ точности приближенных аналитических решений 6) парных интегральных уравнений осесимметричной контактной задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием.
Работа выполнена при поддержке ГК №11.519.11. №11.519.11.3015, №02.740.11.0813, АВЦП 2.1.2/10063.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Aizikovich S.M., Vasiliev A.S., Seleznev N.M. Inverse analysis for evaluation of the shear modulus of inhomogeneous media by torsion experiments // International Journal of Engineering Science. 2010. Vol. 48.
P. 936–942.
2. Васильев А.С., Айзикович С.М. Математическое моделирование задачи о кручении жестким круглым штампом функционально-градиентного композитного материала // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. Вып. 2. С. 33-41.
3. Айзикович С.М., Васильев А.С., Кренев Л.И., Трубчик И.С., Селезнев Н.М. Контактные задачи для функционально-градиентных материалов сложной структуры // Механика композитных материалов.
2011. Т.47, № 5. С. 1–12.
4. Айзикович С.М., Васильев А.С., Волков С.С. Аналитические решения осесимметричных контактных задач для слоя // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. 2011. Т.4, № 5.
С. 1947-1948.
Айзикович С.М., Александров В.М., Васильев А.С., Кренев 5.
Л.И., Трубчик И.С. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред. М.
ФИЗМАТЛИТ. 2011. 192 с.
Айзикович С.М., Васильев А.С., Кренев Л.И., Трубчик И.С.
6.
Контактные задачи для материалов с градиентными покрытиями // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды Всероссийской школы-семинара.
IV Дивноморское, 2-6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону, Терра Принт. 2008.
C. 9–10.
Айзикович С.М., Васильев А.С. Аналитическое решение 7.
задачи о кручении круговым штампом упругого полупространства с неоднородным приповерхностным слоем // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции.
Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009г. Издательство Южного федерального университета. 2009. Т.II. С. 6-10.
Айзикович С.М., Васильев А.С., Кренев Л.И., Кречко Л.М., 8.
Кузнецова Т.А. Контактные задачи для материалов с покрытиями сложной структуры с учетом изменения модуля Юнга и коэффициента Пуассона // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара.
Дивноморское, 1-5 июня 2009 г. Издательство Южного федерального университета. 2009. C. 6.
9. Aizikovich S.M., Krenev L.I., Vasiliev A.S., Trubchik I.S., Seleznev M.G. Computation analyze of contact problems for graded elastic coatings of complicated structure // Book of abstracts of Ist African International Conference on Computational Mechanics. Sun City, South Africa, Jan. 7–11 2009. P. 123.
10. Айзикович С.М., Васильев А.С., Кренев Л.И. Особенности деформирования покрытий из функционально-градиентных материалов сложной структуры // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды II международной конференции. Дилижан, Армения, 4–8 октября 2010г. Ереван: ЕГУАС. 2010. Т.1. С.48–52.
11. Айзикович С.М., Васильев А.С., Погоцкая И.В. Оценка модуля сдвига неоднородной среды методом кручения // Методологические аспекты сканирующей зондовой микроскопии.
Сборник докладов IX международной конференции. Минск, 12– октября 2010г. Минск, Беларуская навука. 2010. С. 232–237.
12. Aizikovich S., Trubchik I., Krenev L., Vasiliev A., Seleznev M.
Analytical solutions of the contacts problems for the functionally graded coatings of complicated structure // Mechanics of composite materials.
Book of abstracts of XVI th international conference. Riga (Jurmala), Latvia, May 24–28 2010. P. 22.
13. Aizikovich S., Trubchik I., Krenev L., Vasiliev A., Seleznev M.
Mechanical and tribological characterisation of functionally graded coatings of complicated structure // Book of abstracts of 11th Pan-American Congress of Applied Mechanics. Foz do Iguau, Brazil, January 04– 2010. P. 35–36.
14. Айзикович С.М., Андреева З.В., Васильев А.С., Галыбин А.Н. Математическое моделирование задачи о кручении круговым штампом упругой среды сложной структуры // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 30 мая - июня 2011г. Издательство Южного федерального университета. 2011.
C. 8-9.
15. Айзикович С.М., Васильев А.С., Волков С.С., Цветкова И.В. Осесимметричные контактные задачи для функционально градиентных покрытий сложной структуры и их аналитические решения // V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела. Тезисы докладов Всероссийской конференции. Астрахань, 31 мая - 5 июня 2011 г. Издательство АГТУ.
2011. С. 50.