Идентификация неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях
На правах рукописи
Аникина Татьяна Александровна ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ростов-на-Дону – 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович
Официальные оппоненты:
Соловьев Аркадий Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент, Донской государственный технический университет, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».
Зеленцов Владимир Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики им. И. И. Воровича, старший научный сотрудник.
Ведущая организация Кубанский государственный университет.
Защита состоится «24» апреля 2012 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, РГУ, факультет математики, механики компьютерных наук ЮФУ, ауд. 211.
С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.
Автореферат разослан «22» марта 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Боев Николай Васильевич
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Большой практический интерес в последние годы представляют задачи механики деформируемого твердого тела для неоднородных тел: полимеркомпозитов, функционально-градиентных материалов, геологических пород, биологических тканей. Изучение их структуры и механических свойств и их идентификация стали объектом широких научных исследований.
Следует отметить, что использование непрерывно неоднородных моделей требует знания функций, характеризующих неоднородность. Их определение сводится к нахождению переменных коэффициентов линейных дифференциальных операторов, возникающих при исследовании задач для различных моделей упругости, пороупругости, вязкоупругости и др.. Прямые экспериментальные оценки таких функций требуют больших временных и материальных затрат.
Поэтому требуется разработка альтернативных методов идентификации неоднородных характеристик деформируемых твердых тел, описывающих их свойства (например, на основе концепции динамических модулей в рамках простейших неоднородных моделей вязкоупругости).
Эти методы в основном, опираются на акустическое зондирование и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела, позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта. В настоящее время обратные коэффициентные задачи — бурно развивающаяся часть современной математической физики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач. При этом отметим наиболее простой и в тоже время важный для приложений класс одномерных обратных задач для стержней и пластин.
Отметим, что к настоящему моменту методы решения задач о колебаниях неоднородных тел достаточно подробно разработаны и в основном опираются на метод конечных элементов (МКЭ), однако обратные задачи идентификации неоднородных свойств стержней и пластин по некоторой дополнительной информации при изгибных колебаниях исследованы недостаточно.
Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.
Цель работы заключается в решении задач идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин (упругих и вязкоупругих) при изгибных колебаниях, причем важное значение имеет вывод операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, подтверждение идентификационной значимости собственных частот и собственных форм колебаний в задачах определения механических характеристик.
Методика исследований прямых задач для неоднородных стержней основана на сведении исходных краевых задач к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода, решение которых осуществлено численно на основе метода коллокаций. Решение прямых задач для неоднородных пластин реализовано на основе метода Ритца. Обратные задачи идентификации неоднородных характеристик стержней сведены к решению системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.Полученные системы решены на основании метода регуляризации А.Н. Тихонова в окрестности известного начального приближения, причем начальное приближение определяется из условия минимума функционала невязки. Решение обратных задач идентификации неоднородных характеристик пластин основано на применении проекционного метода Галеркина.
Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке методов решения и способов построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по идентификации неоднородных свойств для упругих и вязкоупругих стержней и пластин при анализе изгибных колебаний.
Достоверность результатов, полученных в настоящем исследовании, основана на строгом математическом аппарате краевых задач теории упругости и вязкоупругости, на корректном сведении краевых задач для неоднородного стержня к интегральному уравнению (системе) Фредгольма 2-го рода или использовании проекционных численных методов для неоднородных пластин, на их численном анализе, сравнении результатов, полученных в работе, с известными частными случаями;
на большом количестве вычислительных экспериментов по решению обратных задач для различных типов неоднородностей.
Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов идентификации неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях, а также исследовании возможностей процедуры идентификации механических свойств в зависимости от законов изменения неоднородностей и граничных условий.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались, на III-VI всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007-2011 гг.), на IX, X всероссийских конференция по биомеханике «БИОМЕХАНИКА-2008» (Нижний Новгород, 2008 г.), «БИОМЕХАНИКА 2010» (Саратов, 2010 г.), на акустическом симпозиуме «Консонанс 2009» (Киев, 2009 г.), на IX международной научно-технической конференции «Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии на предприятиях машиностроения, авиастроения, транспорта и сельского хозяйства» (Ростов-на-Дону, 2010 г.), на XV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.
Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе три статьи представлены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 109 наименований и приложений, включает 45 рисунков и 7 таблиц общим объемом 105 страниц машинописного текста.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00734, № 10-01-00194-а) и ФЦП " Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 – 2013 годы (госконтракт П596).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение содержит обзор литературы по идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин и основным методам исследования прямых и обратных задач для неоднородных сред.
Отмечен значительный вклад, который внесли отечественные и зарубежные ученые в разработку методов исследования равновесия и колебаний неоднородных тел и вязкоупругих материалов: Д. Бленд, Г.А. Иосифьян, Г.Б.
Колчин, М.А. Колтунов, Р. Кристенсен, В.А. Ломакин, А.В. Манжиров, В.П.
Матвеенко, О.А. Олейник, Б.Е. Победря, Ю.Н. Работнов, Э. Санчес-Паленсия, Н.А. Труфанов, Ю. А. Устинов, Дж. Ферри, А. Фрейденталь, И.Н. Шардаков.
Коэффициентным обратным задачам и методам их исследования посвящены работы О.М. Алифанова, Ю.И. Аниконова, В.Я. Арсенина, Е.А. Артюхина, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, А.О. Ватульяна, А.В. Гончарского, И.С.
Кабанихина, М.М Лаврентьева, В.А. Морозова, В. Г. Романова, А.Н.
Тихонова, В.Г. Яхно, S.A. Avdonin, H.D. Bui,M. Bocciarelli,, J-D. Chang, V.Isakov, I. Elishakff, P.D. Folkow, B-Z. Guo, S. Kim, K.L. Kreider, G. Li, C.K.S.
Moy, S-S. Pang, P. Rikards, S. P. Ringer, T.L. Sheronova и других отечественных и зарубежных авторов.
Также во введении обоснована актуальность настоящего диссертационного исследования и сформулированы основные цели работы.
В первой главе диссертации изложены общие постановки обратных задач и использование вариационных трактовок для их решения. Кроме того, также сформулированы постановки обратных задач, рассмотренных в диссертации.
В параграфе 1.1 сформулированы общие постановки задач теории упругости и вязкоупругости, обратных коэффициентных задач. Представлен обзор вязкоупругих моделей и изложен принцип построения операторных соотношений для неоднородной вязкоупругой среды. Представлены вариационные трактовки, удобные для формулировки и построения итерационных процессов при решении обратных задач. Представлен вывод уравнений колебаний упругого стержня и пластины переменной жесткости на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.
В параграфе 1.2 сформулирована постановка обратной задачи для упругой шарнирно опертой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях.
E ( x) w( x) 4 ( x) w P0 ( x x* ) (1) w0, 0, w1, 0 w0, 0, w1, w1 ( x1, ) f1 ( ), [1, 2 ] (2) w2 ( x 2, ) f 2 ( ) 2 F 0l 4 колебаний. [1, 2 ] - некоторый где - безразмерная частота JE интервал, не содержащий резонансных значений.
Здесь E (x), (x) - неизвестные функции, характеризующие законы изменения модуля упругости и плотности, которые могут быть как гладкими положительными функциями, так и иметь конечное число разрывов первого рода, x* - точка приложения нагрузки, и J - соответственно площадь и F момент инерции поперечного сечения стержня. f1 ( ), f 2 ( ) - дополнительная информация о смещениях в некоторых точках приложения нагрузки x1, x 2 [0,1].
В рамках данной постановки представлена практически важная задача о диагностике степени консолидации костных отломков в месте перелома большеберцовой кости.
В параграфе 1.3 на основе принципа соответствия сформулирована постановка обратных задач для вязкоупругой балки переменной жесткости при изгибных колебаниях. В этом случае упругие характеристики заменены на комплексные функции частоты колебаний:
G( x, i )w( x, ) 4 w( x, ) q (3) w(0, ) 0 w(1, ) w(0, ) 0 w(1, ) w( x*, ) f 3 ( ) (4) ig ( x) h( x) где G ( x, i ) - неизвестная функция, характеризующая изменения 1 i безразмерного комплексного модуля, для неоднородного вязкоупругого тела, а G0 G (1,0), E ( x) H (0) g ( x), H ( x) H (0)h( x ) мгновенный и длительный модули упругости соответственно, которые могут быть как гладкими положительными 2 F l функциями, так и иметь конечное число разрывов первого рода, 4 JH ( 0 ) JH ( 0 ) безразмерная частота и n F l 4 - безразмерное время релаксации, f 3 ( ) характеризует дополнительную информацию о смещении в точке приложения нагрузки x* [0,1] в некотором частотном диапазоне [1, 2 ], В параграфе 1.4 сформулирована постановка обратной осесимметричной задачи по определению переменной жесткости упругой пластины радиуса 1 при изгибных колебаниях под действием равномерно распределенной нагрузки q.
D( r ) w( r ) ( D ( r ) rw( r )) ( D ( r ) w( r )) ( ) 2 rw( r ) kqr 0 (5) r w(1) w(1) 0 (6) (в случае жесткой заделки) w(1) 0, (7) (в случае шарнирного опирания) w(1) w(1) w(r, 0 ) f 4 (r ), (8) E ( r )h где D ( r ) 12 (1 2 ) - цилиндрическая жесткость пластины ( D0 D (1) ), f 4 (r ) смещение пластины в наборе точек на фиксированной частоте 0 [1, 2 ].
В параграфе 1.5 на основе принципа соответствия сформулирована постановка обратной осесимметричной задачи об изгибе вязкоупругой пластины радиуса 1 переменной жесткости под действием равномерно распределенной нагрузки q. В этом случае упругие характеристики заменены на комплексные функции частоты колебаний D ( r ) G ( r, i ), задача приобретает комплексную структуру. При этом в качестве дополнительной информации задается распределение смещений при фиксированной частоте колебаний.
Во второй главе изложены методы решения прямых задач для неоднородных структур, результаты решения которых используются в качестве входной информации для решения обратных задач - идентификации неоднородных свойств.
В параграфе 2.1 исходная краевая задача для стержня обезразмерена и сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода.
w( x) 4 w( ) K ( x, )d f ( x) (9) Интегральное уравнение решено численно на основе метода коллокаций и сведения к линейной алгебраической системе.
N wm amn wn f m n (10) wm w( xm ), f m f ( xn ) amn 4C mn K xm, xn xm C mn Здесь через обозначены узловые точки, - коэффициенты квадратурной формулы, wm - узловые неизвестные. В дальнейших расчетах использовалась квадратурная формула Симпсона.
Для задачи о диагностике переломов большеберцовой кости представлена серия расчетов, позволяющих дать количественную оценку влияния степени регенерации костной ткани на строение АЧХ и на основе этого прогнозировать ее стадию. Исследована зависимость собственных значений от модуля упругости на различных стадиях консолидации костных отломков.
В параграфе 2.2 изложено разделение исходной краевой задачи для стержня на вещественную и мнимую части. Задача о колебаниях вязкоупругой неоднородной балки сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно вещественной и мнимой частей прогиба балки.
1 w1 ( x) w1 ( ) K 1 ( x, )d w2 ( ) K 2 ( x, ) d f1 ( x) 4 0 (11) 1 w ( x) 4 w ( ) K ( x, )d 4 w ( ) K ( x, ) d f ( x) 1 3 2 2 0 Отмечено, что ядра интегральных операторов представляют собой непрерывные функции независимо от того, являются ли жесткостные характеристики непрерывными или разрывными функциями координат.
Система интегральных уравнений (11) решена численно на основе метода коллокаций аналогично упругому случаю.
В параграфе 2.3 представлена вариационная постановка задачи об изгибных колебаниях пластин. Краевая задача(5-7) сведена к задаче об отыскании стационарного значения квадратичного функционала Гамильтона Остроградского w( r ) w(r ) w( r ) 1 1 F D( r ) ( w(r )) 2 rdr 2 kqw( r ) rdr 2 w 2 ( r ) rdr (12) r r 0 0 которое находилось с помощью метода Ритца.
Решение отыскивалось в виде:
N w( r ) С m m ( r ) (13) m где С m — произвольные постоянные, а m (r ) - координатные функции, удовлетворяющие геометрическим краевым условиям рассматриваемой задачи.
В рассматриваемом случае базисные функции m (r ) могут быть выбраны в форме m (r ) (1 r 2 ) 2 r 2( m 1) (в случае жесткой заделки) (14) m ( r ) (1 r 2 )r 2( m 1) ( в случае шарнирного опирания) (15) Значения параметров С m найдены из системы линейных алгебраических уравнений небольшой размерности N 5 7, которая исследована численно.
Произведено сравнение результатов для однородной пластинки при k 0 с известными аналитическими результатами. Относительная погрешность результатов, найденных методом Ритца, при N 5 составила 10 5 10 6, а при N 10 - 10 6 10 7. В таблице 1 приведен сравнительный анализ значений q прогибов, полученных методом Ритца при D 1 и значений аналитических решений.
Кроме того проведено сравнение результатов, полученных методом Ритца с результатами полученными методом пристрелки, при расхождение при N составило менее 1%.
В параграфе 2.4 представлено решение прямой задачи о колебаниях вязкоупругой пластины переменной жесткости с помощью метода Ритца, основанного на нахождении стационарной точки квадратичного функционала Гамильтона-Остроградского;
описаны особенности численной реализации предложенного подхода, связанные с комплексной структурой рассматриваемой задачи.
Таблица r Жесткая заделка Шарнирное опирание Метод Ритца Точное Метод Ритца Точное решение решение N 5 N 10 N 5 N r0 0,015626 0,015625 0,015625 0,072446 0,072444 0, r 0,5 0,008789 0,008789 0,008789 0,051404 0,051403 0, 0,000149 0,000148 0,000148 0,005689 0,005688 0, r 0, Третья глава диссертации посвящена методам решения коэффициентных обратных задач при изгибе стержней. Представлены способы получения операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции. В силу того, что дифференциальные операторы имеют переменные коэффициенты, в общем случае такие соотношения не могут быть получены аналитически. В работе сформулированы итерационные схемы, позволяющие преодолеть эту сложность. На каждом шаге необходимо решать прямую задачу и вычислять поправки, которые находятся с помощью регуляризованной схемы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода Представлены численные способы преодоления некорректности промежуточных задач на основе процедуры регуляризации.
В параграфе 3.1 изложен метод линеаризации для формулировки операторных соотношений, связывающих искомые характеристики (модуль Юнга и плотность) упругой балки с заданными функциями (прогибом балки в фиксированной точке).
Искомые функции обезразмерены E ( x ) E 0 g ( x) ( x) 0 r ( x ), на основе метода линеаризации, построены операторные соотношения в виде интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для определения функций поправок g1 ( х ) и r1 ( х ) 1 g1 ( x)(w0 ( x, )) 2 dx 4 r1 ( x )w0 ( x, )dx w1 ( x0, ) (16) 0 Проведены аналогичные построения для двух различных точек приложения нагрузки, получена система интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода для нахождения функций поправок g1 ( х ) и r1 ( х ), на основе которой построен итерационный процесс.
При этом i-тый шаг итерационного процесса описывается следующими операторными уравнениями:
1i g1 ( x )(w01 ( x, ) ) 2 dx 4 r1i ( x)(w01 ( x, )) 2 dx w11 ( x1, ) ( f1 (, ) w01 ( x1, )) i i i 0 (17) 1 g i ( x )(w i ( x, ) ) 2 dx 4 r i ( x)( wi ( x, )) 2 dx w ( x, ) ( f (, ) w i ( x, )) 1 02 02 12 2 2 02 0 На каждом шаге построенного процесса посредством решения системы i интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода находились новые значения w i и w02, с помощью которых вычислялись правые части интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода и их ядра. Результатом решения этой системы уравнений являются поправки к неизвестным функциям g1 ( x ) и r1 ( x ), и с их учетом производился следующий этап итерационного процесса В параграфе 3.2 операторные соотношения, связывающие искомые вязкоупругие характеристики балки (комплексный модуль) с заданными функциями прогиба, построены с помощью слабой формулировки задачи и вариационного подхода и имеют вид G ( x, i )w( x, )w( x, )dx f ( ) f 0 ( ) [1, 2 ] (18) 1 0 0 В задаче выделены вещественная и мнимая части и с использованием метода Тихонова построен итерационный процесс для решения системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.
1 i i i (g1 (x)z2 () h1 (x)z1())w0 (x,)w0 (x, )dx Re(f3 () f 0 ()), i i (19) (g i (x) hi (x))z ()wi (x,)w i(x, )dx Im(f () f i ()) 1 1 0 3 0 2 4 1 i 1 i i причем h0 ( x ) h0 ( x) h1 ( x ) и где z1 ( ) z 2 ( ) z 3 ( ) 1 2 4 1 2 4 i 1 i i g 0 ( x ) g 0 ( x ) g1 ( x) Необходимо отметить, что первый этап итерационного процесса требует знания начального приближения G0 ( x, i )., которое в настоящей работе строилось в классе линейных и экспоненциальных комплексных ограниченных функций, коэффициенты которых находились из условия минимума функционала невязки на построенном исходя из априорной информации компактном множестве:
w( x, ) f ( ) d Ф (20) 0 На каждом шаге построенного процесса посредством решения i интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода находилось новое значение w0, с помощью которого вычислялась правая часть интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода и его ядро. Результатом решения этого уравнения является поправка к неизвестной функции, и с ее учетом производился следующий этап итерационного процесса.
В параграфе 3.3 предложены два подхода для решения обратной задачи об определении функции, характеризующей изменение цилиндрической жесткости пластины по известной информации о прогибе пластины на некоторой фиксированной частоте.
Первый подход заключался в сведении обратной задачи к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка с переменными коэффициентами. Результаты вычислительных экспериментов на основе данного подхода показали, что нельзя осуществить восстановление исходной функции жесткости с приемлемой точностью, в силу обращения в некоторой точке в ноль коэффициента при старшей производной и нарушения теоремы существования для задачи Коши.
Второй подход заключался в применении проекционного метода Галеркина к исходной краевой задаче. Функция жесткости представлена в виде M D(r ) Ak k (r ), где k ( r ) r k 1 - координатные функции.
k Введено обозначение невязки N (r ) r 2 ( D (r )rw( r )) r 2 ( D (r ) w(r )) r ( D (r ) w(r )) (21) D (r ) w(r ) 2 r 3 w(r ) kqr Из требования её ортогональности системе координатных функций получена система линейных алгебраических уравнений для нахождения Аk, коэффициентов разложения на основе решения которой найдено приближенное решение сформулированной обратной задачи.
В параграфе 3.4 представлено решение обратной задачи об определении цилиндрическую жесткость G(r, i ) круглой функции, характеризующей вязкоупругой пластины при различных граничных условиях, на основе проекционного метода Галеркина, показавшего наибольшую эффективность в предыдущем параграфе. Описаны особенности численной реализации предложенного подхода, связанные с комплексной структурой рассматриваемой задачи.
В четвертой главе представлены результаты вычислительных экспериментов для всех рассмотренных задач. Приведены расчеты для различных граничных условий и законов распределения неоднородных характеристик. Обсуждены точность и границы применимости предложенного подхода.
На рисунке 1 представлены результаты восстановления модуля упругости и плотности упругого стержня для законов g ( x) 1.4 x 2, r ( x) 3 1.5 x 2. При расчетах полагалось x* 0.5, начальное приближение выбрано r0 ( x) 3.2 1.6 x, g 0 ( x) 1.45 0.85x, [1, 2 ] [ 4.5,6.5]. Для достижения частотный диапазон точности 10 в функционале невязки потребовалось 6 итераций. На рисунках сплошной линией показан график исходной функции, пунктиром– начального приближения, точками — восстановленной.
На рисунке 2 в качестве примера приведены результаты восстановления мгновенного и длительного модулей вязкоупругого стержня для законов g ( x ) 2 2 x 2, h( x) 1 cos(( x 1.5) ). При расчетах полагалось x* 0.25, время выбрано в виде g 0 ( x) 1.7 x 2, релаксации 0.1, начальное приближение h0 ( x ) 1, частотный диапазон [1, 2 ] [ 4.4,7.6]. Для достижения точности 10 4 в функционале (20) потребовалось 20 итераций. На рисунках сплошной линией показан график исходной функции, пунктиром – начального приближения, точками — восстановленной.
Рисунок 1 – Восстановление g (x) и r (x ) Рисунок 2 – Восстановление g (x) и h(x ) Результаты вычислительных экспериментов по идентификации цилиндрической жёсткости D (r ) упругой пластины в случае жесткой заделки при D ( r ) 1 sin(3r ) представлены на рисунке 3. Вычисления проводились при следующем наборе параметров: 0,1;
q 1;
M 15, при этом невязка имеет порядок 10 3 10 5. На рисунке сплошной линией показан график исходной функции, точками – восстановленной.
На рисунке 4 представлены результаты вычислительных экспериментов по мгновенного g (r ) и длительного h(r ) модулей вязкоупругой идентификации пластины пластины. Вычисления проводились для законов g (r ) 1 sin(3r ) и h(r ) 1 3r 2, в случае шарнирного опирания, при следующем наборе параметров: 0,1;
q 1;
M 15.
Рисунок 3 – Идентификация D (r ) Время релаксации считалось известным и принято равным 0.1, при этом порядок 10 3 10 4. На рисунках сплошной линией показан невязка имеет график исходной функции, точками – восстановленной.
Рисунок 4 – Идентификация g (r ) и h(r ) Отмечено, что наибольшая погрешность результатов реконструкции наблюдалась на краю пластины.
В заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. Разработаны методы решения задач об изгибных колебаниях неоднородных упругих и вязкоупругих стержней и пластин 2. Представлены способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по реконструкции неоднородных свойств упругих и вязкоупругих стержней и пластин 3. Проведены вычислительные эксперименты по определению неоднородных характеристик (монотонных, немонотонных) стержней и пластин при изгибных колебаниях 4. Получено решение задачи об определении характеристик большеберцовой кости в месте перелома по данным акустического зондирования СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (фамилия соискателя: Аникина Т.А. – после вступления в брак, Морусова Т.А. - до вступления в брак) 1. Морусова Т.А. Моделирование диагностики сращивания бедренной кости // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды III Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, мая- 1 июня 2007 г. Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2007. С. 58-59.
2. Аникина Т.А., Ватульян А.О. Акустические методы контроля регенерации костной ткани // Экологический вестник Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №3. С.10-17.
3. Аникина Т.А., Бочарова О.В, Ватульян А.О. К идентификации сращивания костной ткани // БИОМЕХАНИКА-2008. IX Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докладов. Нижний Новгород: ИПФ РАН. 2008. С. 94-95.
4. Аникина Т.А. Моделирование процесса регенерации костной ткани // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете.
Труды IV Всероссийской школы-семинара. Дивноморское, 2- 6 июня 2008 г.
Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2008. С. 11-12.
5. Аникина Т.А., Идентификация реологических свойств при изгибных колебаниях // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды V Всероссийской школы-семинара.
Дивноморское, 1 -5 июня 2009 г., Ростов-на-Дону. Терра Принт. 2009. С. 11-12.
6. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации локализованных и распределенных неоднородностей в упругих и вязкоупругих телах // "Консонанс 2009". Тезисы докладов Акустического симпозиума. Киев 29.09.2009-1.10.2009. Киев: Институт гидромеханики НАН Украины. С.15-16.
7. Аникина Т.А., Ватульян А.О., Шевцова М.С. Об идентификации локализованных и распределенных неоднородностей в упругих и вязкоупругих телах // Сборник трудов Акустического симпозиума "Консонанс 2009". Киев 29.09.2009-1.10.2009. Киев: Институт гидромеханики НАН Украины. С.115 121.
8. Аникина Т.А. Методы идентификации реологических свойств вязкоупругих материалов // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2010. Т. XV. С.7-11.
9. Аникина Т.А., Богачёв И.В, Ватульян А.О. Об идентификации характеристик костной ткани на основе акустических методов // БИОМЕХАНИКА-2010. X Всероссийская конференция по биомеханике.
Тезисы докладов. Саратов. Издательство Саратовского университета. 2010.
С.24-25.
10. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Некоторые задачи идентификации неоднородных реологических свойств материалов // «Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии на предприятиях машиностроения, авиастроения, транспорта и сельского хозяйства» Труды IX Международной научно-технической конференции. г. Ростов-на-Дону: ИЦ ДГТУ. 2010. С. 1149-1152.
11. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок // Вестник Донского Государственного Технического Университета. 2010. Т.10. № 7. С. 1016 1023.
12. Аникина Т.А., Богачёв И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднородных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Механика композиционных материалов и конструкций.
2011. Т.17. №1. С. 107-115.
13. Аникина Т.А. Об определении переменной жесткости круглой пластины // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семинара.
Дивноморское, 30 мая- 2 июня 2011 г. Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета. 2011. С. 12-13.
14. Аникина Т.А., Углич П.С. Обратная задача об определении переменной жесткости пластины при изгибных колебаниях // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 4 декабря- 7 декабря 2011 г. Т.I;
Южный Федеральный Университет. Ростов-на-Дону, Издательство Южного Федерального Университета. 2011. С. 16-20.
Для заметок Сдано в набор 20.03.2012. Подписано в печать 20.03.2012.
Формат 60х84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,7.
Бумага офсетная.
Тираж 120 экз. Заказ 2003/02.
Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30- www.copy61.ru e-mail: [email protected]