Мохамед зейн моделирование управляемого движения ползающих роботов по гладкой поверхности
На правах рукописи
Абдельрахман Мохамед Абдельнасир Мохамед Зейн МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ПОЛЗАЮЩИХ РОБОТОВ ПО ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва – 2009
Работа выполнена в Московском энергетическом институте (техническом университете) на кафедре теоретической механики и мехатроники.
Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Осадченко Николай Владимирович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профес сор Павловский Владимир Евгеньевич доктор технических наук, профессор Тягунов Олег Аркадьевич
Ведущая организация: Институт механики МГУ
Защита состоится “18 ” декабря 2009 г. в 17 часов в аудитории Б-112 на заседании диссертационного совета Д 212.157.11 при Московском энергети ческом институте (техническом университете) по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д.17.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энер гетического института (технического университета) Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью орга низации, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, Красноказармен ная ул., д.14. Учёный совет МЭИ (ТУ).
Автореферат разослан “_” ноября 2009 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета доктор технических наук, профессор Трифонов О.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. В живой природе ползающее движение имеет достаточно широкое распространение (можно вспомнить змей, червей, улиток и многих других живых существ). Речь идёт о таком перемещении движущегося объекта по той или иной поверхности, при котором несколько (или бесконечное множество) его точек непрерывно находится в контакте с опорной поверхностью, причём совокупность контактирующих точек остаёт ся неизменной (в случае же качения или ходьбы на смену одним точкам кон такта приходят другие).
При ползании источником перемещения объекта служат внутренние силы, которыми он управляет, целенаправленно их изменяя. Изменение внутренних сил влечёт изменение внешних сил, возникающих при контакте объекта с опорной поверхностью (последние и служат непосредственной причиной перемещения объекта).
Практическая реализация идей по разработке и исследованию машин с ползающим движением началась относительно недавно. В последние годы, однако, это новое научное направление развивается весьма активно – прежде всего в связи с созданием мобильных роботов для движения и выполнения функциональных задач в ограниченных пространствах (например, в трубах).
Возможны различные способы реализации ползающего движения – как за счёт сил трения, так и за счёт реакций идеальных связей. В подавляющем большинстве публикаций рассматривается (работы С.Хиросе, В.Г.Гра децкого, Дж.Бёрдика, Ф.Л.Черноусько, В.Ф.Журавлёва, М.М.Князькова, Т.Ю.Фигуриной, Х.Гонсалеса-Гомеса, И.Танева, Р.П.Чаттерджи и др.) пер вый способ;
результаты данных исследований привели к создании ряда мо делей роботов для движения внутри труб: KARO и KRA4 (Германия), Jjo-2 и Nomad (США), Theseuss (Япония). Второй способ реализации ползающего движения относится к случаю, когда опорная поверхность является гладкой;
применительно к этому случаю до сих пор изучались лишь модельные задачи (А.Ю.Ишлинский, Ю.Г.Мартыненко, Н.В.Осадченко).
В связи с этим представляет значительный интерес изучение возмож ных конструкций ползающих роботов, способных к целенаправленному пе редвижению по гладким поверхностям (в частности, по внутренним поверх ностям труб);
при разработке алгоритмов управления такими роботами дол жен существенным образом учитываться односторонний характер связей в точках контакта робота с поверхностью.
В перспективе такие ползающие роботы могут найти своё применение при проведении диагностических и ремонтных работ в трубопроводах, а так же – если говорить о наноробототехнике – при выполнении медицинских процедур, предусматривающих передвижение наноробота по кровеносным сосудам пациента.
Цель работы. Работа посвящена дальнейшей разработке научных ос нов проектирования новых поколений транспортных машин. Целью её была разработка алгоритмов управления движением мобильного ползающего ро бота, позволяющих обеспечить (используя лишь внутренние управляющие силы) требуемое перемещение данного робота в поперечном направлении по внутренней поверхности гладкой трубы эллиптического сечения. В связи с тем, что связи, налагаемые на робот в точках контакта с трубой, являются односторонними, к управлению предъявлялось дополнительное требование:
постоянно поддерживать соприкосновение робота с поверхностью трубы.
Методы исследования определялись спецификой исследуемого техни ческого объекта и базировались на традиционном для динамики машин соче тании подходов классической механики и современной вычислительной ма тематики, на идеях теории автоматического управления. Роль основного средства исследования играл метод компьютерного моделирования.
Научная новизна. Впервые исследована динамика управляемого дви жения шарнирного двузвенника по гладкому эллипсу для модели, учиты вающей непрерывное распределение масс его стержней.
Впервые предложены две конструкции мобильных ползающих роботов, предназначенных для движения по гладкой внутренней поверхности трубы эллиптического сечения. Для этих роботов:
– созданы математические модели в виде системы взаимосвязанных твёр дых тел, получены уравнения кинематики и динамики;
– найдено управление, обеспечивающее требуемое их движение в режиме разгона из состояния покоя при условии постоянного поддержания кон такта робота с опорной поверхностью;
– выполнено компьютерное моделирование динамики управляемого движе ния роботов с изучением влияние параметров модели на движение робота.
Достоверность и обоснованность результатов диссертационной ра боты и её выводов обеспечивается:
– применением строгих в математическом плане методов исследования, ос нованных на фундаментальных принципах теоретической механики, ди намики машин, вычислительной механики;
– тщательной отладкой разработанного программного обеспечения;
– значительным объёмом выполненных вычислительных экспериментов, подтвердивших работоспособность построенных математических моде лей;
– сравнением с результатами пионерских работ Ю.Г.Мартыненко и Н.В.
Осадченко.
Практическая значимость. Полученные в работе результаты доказы вают возможность создания мобильных ползающих роботов, способных це ленаправленно передвигаться по гладким поверхностям переменной кривиз ны. Решена проблема нахождения управления, обеспечивающего требуемое движение этих роботов, и предложены конкретные выражения для управ ляющих воздействий. Результаты работы могут применяться при проектиро вании и создании технических устройств, использующих принцип ползаю щего движения. Они могут быть использованы в учебных курсах, посвящён ных теории современных мобильных машин.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладыва лись и обсуждались на:
– Международной научной конференции “Современные проблемы матема тики, механики и информатики” (Тула, Тульский государственный уни верситет, ноябрь 2007 г.);
– Четырнадцатой международной научно-технической конференции студен тов и аспирантов “Радиоэлектроника, электротехника и энергетика” (Мо сква, Московский энергетический институт, февраль 2008 г.).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложе ны в четырёх печатных работах, две из них опубликованы в журнале, входя щий в перечень ВАК. Список работ приведён в конце автореферата.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Объём работы – 135 страниц, включая 62 рисунка, 5 таблиц. Список литературы включает 70 наименований.
Краткое содержание работы В первой главе предметом исследования являются кинематика шар нирного двузвенника и динамика его управляемого движения. В отличие от рассмотренной в работах Ю.Г.Мартыненко и Н.В.Осадченко механической модели двузвенника в виде системы материальных точек, здесь двузвенник моделируется совокупностью двух однородных материальных стержней AB и AC одинаковой массы m и длины l, соединённых вращательным шарни ром (рис. 1).
3 О Рис.1. Конструкция двузвенника Предполагаем, что в точках A, В, С помещены штифты, которые могут скользить в гладкой прорези эллиптической формы (большую полуось эл липса далее обозначаем a, а малую полуось – b ). Пусть В, А, С – образы точек В, А, С при преобразовании растяжения, переводящем эллипс в ок ружность, а 1, 2, 3 – полярные углы для точек В, А, С. Коорди наты 1,, 3 задают соответственно положения точек В, А, С.
Задача о разгоне двузвенника состоит в том, что при начальных усло.
виях ( 0 ) = ( 0 ) = 0 требуется надлежащим выбором управления обеспе чить такое движение, при котором угол монотонно возрастает. Роль управляющего воздействия играет управляющий момент M = M ( ), созда ваемый двигателем и прикладываемый в шарнире A к стержням AB и AC.
После составления выражения для кинетической энергии двузвенника были выведены уравнения его движения в форме уравнений Лагранжа второ го рода. В их правые части вошли угловые переменные (углы 1 и 3 ), для которых не удаётся найти в явном виде их зависимости от обобщённой коор динаты;
поэтому уравнения движения двузвенника составлялись в избыточ ном наборе переменных. В результате получилась система уравнений:
d 1 = h1 ( ), dt d =, dt (1) d 3 = h3 ( ), dt.
d = ( Q ( ) B ( ) ) / A ( ), dt где h 1 ( ), h 3 ( ), Q ( ), A ( ), B ( ) – функции обобщённой координаты (в выражениях для этих функций, полученных при составлении уравнений движения, фигурировали также углы 1 и 3 ).
Был выбран закон управления, обеспечивающий разгон двузвенника;
.
.
при этом учитывалось, что при ( 0 ) = 0 для монотонного возрастания и достаточно, чтобы во все моменты времени Q 0 (при этом Q не должно обращаться в нуль тождественно). В связи с этим явное выражение для управляющего момента было взято таким:
M = M0 F ( sin 2 ) ;
(2) здесь F ( x ) – функция, определяемая при x [ 1, 1 ] формулой x F ( x ) =, (3) y 2+ x 2 + y где y = ( 1 x 2 ), = const – параметр формы управляющего момента.
Значение параметра определяет конкретный вид зависимости функ ции F ( x ) от своего аргумента x и – соответственно – вид зависимости функции F ( sin 2 ) от аргумента. Изменяя от 1 до 0, мы переходим от случая F ( sin 2 ) sin 2 к случаю F ( sin 2 ) sgn ( sin 2 ), причём при 0 мы имеем дело с непрерывными (и гладкими) функциями.
Для системы (1) на отрезке [ 0, T f i n ], где T f i n = 6 с, найдено решение задачи Коши с начальными условиями 1 ( 0 ) = 10, ( 0 ) = 0, 3 ( 0 ) = = 30, ( 0 ) = 0. Задача решалась численно с использованием математи ческого пакета Maple.
Приведём графики зависимости углов 1, и 3 от времени, получен ные при таких значениях параметров: 1 ( 0 ) = 0.1268267 рад, ( 0 ) = 0. рад, 3 ( 0 ) = 0.6098578 рад, ( 0 ) = 0 рад/с, a = 1 м, b = 0.8 a, l = 0. м, m = 0.5 кг, M0 = 5 Н. м, = 1 (рис. 2).
3, рад 1, рад, рад t, с t, с t, с Рис. 2. График зависимости углов 1, и 3 от времени Видно, что углы 1, и 3 монотонно возрастают, что и требовалось.
Вывод: для исследованной модели двузвенника, учитывающей непре рывное распределение масс стержней, предложенные способы выбора закона управления M = M ( ) действительно позволяют обеспечить монотонное и ускоренное возрастание угла с течением времени.
Вторая глава диссертации посвящена изучению динамики управляе мого движения ползающего робота с пятью степенями свободы. Конструк ция этого робота включает в себя (рис.3) центральную платформу с прибо рами и три двузвенника, причём каждый двузвенник состоит из двух сочле нённых шарнирами стержней. Концы стержней (точки B i, A i, C i ) при движении робота контактируют с внутренней поверхностью трубы эллипти ческого сечения (i = 1, 2, 3 – номер двузвенника). Платформа (моделируе мая материальной точкой D ) и двузвенники соединены при помощи невесо мых телескопических штанг, образующих друг с другом углы i.
Положения точек B i, A i, C i на эллипсе можно характеризовать углами 1i, 2i, 3i (это – полярные углы для образов данных точек при растяже нии вдоль оси y, переводящем эллипс в окружность).
Механической моделью робота служит система из точки D и 12 абсо лютно твёрдых тел, имеющая пять степеней свободы. За обобщённые коор динаты данной механической системы были выбраны координаты xD и yD точки D и углы 21, 22 и 23 ;
первые производные по времени от этих координат далее обозначаются VD x, VD y, 1, 2, 3.
Источник перемещения данного робота – внутренние силы, величиной которых робот управляет, целенаправленно их изменяя. Изменение этих сил влечёт за собой изменение величины реакций связей в точках контакта робо та с поверхностью (данные реакции и служат теми внешними силами, кото рые непосредственно обусловливают перемещение робота).
B A C C 1 A D B B A C Рис. 3. Схема конструкции робота с пятью степенями свободы При составлении уравнений движения робота возникает затруднение:
не удаётся получить явные выражения углов 1i и 3i через обобщённые координаты 2i. Преодолевается это затруднение применением методики моделирования динамики в избыточном наборе переменных.
В результате была получена замкнутая система уравнений движения:
d d d = h 1 i ( 2i ) i, = h 3 i ( 2i ) i, 1i 2i 3i = i, dt dt dt.
d i / A i ( 2i ), = ( Q i B i ( 2i ) 2i ) dt d xD d yD = vD x, = vD y, (4) dt dt d vD x = ( F 1 e1*x + F 2 e2*x + F 3 e3*x + N 1 e *y + N 2 e *y + N 3 e *y ), mD dt 1 2 d vD y = ( F 1 e *y + F 2 e *y + F 3 e *y N 1 e *x N 2 e *x N 3 e *x ).
mD dt 1 2 3 1 2 Задача управления состоит в следующем. Предположим, что начальное состояние робота – состояние покоя, и производные от углов 21, 22 и при t = 0 равны нулю. Нужно обеспечить монотонный рост значений дан ных углов с течением времени, причём приращения углов должны быть при близительно одинаковыми (для чего достаточно поддерживать значения уг лов i близкими к 120 ). Центральная платформа (точка D) должна выво диться в начало координат (т.е. в центр эллипса), причём её движение долж но быть устойчивым. Наконец, управление должно обеспечивать в любой момент времени сохранение контакта двузвенников с поверхностью трубы.
Подчеркнём, что целью настоящей работы было реализовать требуемое движение ползающего робота в поперечном сечении трубы. Для движения в продольном направлении можно использовать ту же модель робота (предпо лагая, что кривизна трубы и в продольном направлении является переменной – например, если ось трубы следует синусоиде). Для реализации же произ вольного пространственного движения робота имело бы смысл применить аналогичный робот с четырьмя штангами, не лежащими в одной плоскости.
Учитывая, что – в зависимости от знака sin 2 2i – момент M i либо разгоняет, либо тормозит двузвенник, зададим функции Mi = Mi ( 2i ) так:
M max + M M max M M i = min + min F ( sin 2 2i ), (5) 2 где M max и M min – сильно разнесённые положительные константы, а функ ция F ( x ) при x [ 1, 1 ] определяется формулой (3).
Выбор выражений для управляющих сил F i, действующих в поступа тельных сочленениях телескопических штанг, подчиним двум условиям:
1) векторная сумма всех сил, действующих на точку D, должна в - --- -- - точности равняться вектору R = c r D d v D ;
2) должны приближённо (в смысле наименьших квадратов) выпол няться условия F i = Fi где Fi 0 – заданные константы (если они дос, - -- таточно велики, то будут положительными значения проекций реакций NA i, - --- ---- NB i, NC i в точках контакта на направления внутренних нормалей к эллипсу, обеспечивая сохранение контакта двузвенников с поверхностью трубы).
Наконец, управляющие моменты L i, которые действуют между штан гами, “отвечают” за поддержание значений углов i близкими к 120. Мы могли бы принять. L i = L 0 i + i ;
(6) где L 0 и – константы.
Для удобства вычислений в качестве аргументов зависимостей для мо ментов L i вместо углов i использованы углы i, вводимые так:
3 = 21 + 2 23.
1 = 22 21, 2 = 23 22, (7) Таким образом, окончательное выражение для L i таково:
. L i = L 0 i + i. (8) При моделировании для уравнений движения робота на отрезке време ни [ 0, T f i n ], где T f i n = 20 с, численно решалась задача Коши с такими на чальными условиями: 21 ( 0 ) = 0,25 рад, 22 ( 0 ) = 2,34 рад, 23 ( 0 ) = 4, рад, 1 ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 3 ( 0 ) = 0, xD ( 0 ) = yD ( 0 ) = 0,01 м, VD x ( 0 ) = = VD y ( 0 ) = 0. Параметры системы были взяты такими: a = 1 м, b = 0,8 a ;
l = 0,3 м;
s = 0,36 м (s – длина примыкающей к платформе части штанги);
m = 0,5 кг, mD = 1 кг (m и mD – массы стержня и платформы);
M max = = 1,75 Н. м;
M min = 0,175 Н. м;
Fi = 15 Н;
c = 0,16 Н / м;
d = 0,8 Н. с / м;
L 0 = 5 Н. м;
= 30 с.
Изучено влияние параметра формы управляющего момента – парамет ра, фигурирующего в формулах для момента M i, на движение робота. В табл.1 приведены значения углов 2i для правой границы отрезка моделиро вания (т.е. при t = T f i n ), отвечающие различным значениям.
Таблица 2in fi при = 30 с Влияние параметра на значения углов Значение Значение угла, рад параметра 21n fi 22n fi 23n fi 1 14,523 16,627 18, 0,5 17,892 19,996 22, 0,2 20,469 22,575 24, 0,1 21,501 23,605 25, 0 22,697 24,802 26, Из представленных результатов видно, что предложенные способы вы бора закона управляющих моментов M i действительно позволяют обеспе чить монотонное и ускоренное возрастание углов 2i с течением времени.
При этом достигнутое при t = T f i n значение 2i существенно зависит от то го, чему равен параметр. Наибольший разгон отвечает значению = 0.
Сохранение контакта двузвенников с поверхностью трубы – одна из - -- целей управления, а поэтому значения проекций нормальных реакций NA i, - --- ---- NB i, NC i в точках контакта на направления внутренних нормалей должны оставаться положительными. Оказалось (рис. 4), что это действительно так.
NА 1, Н NА3, Н NА 2, Н t, с t, с t, с NB1, Н NB2, Н N B3, Н t, с t, с t, с NC 1, Н N C2, Н NC 3, Н t, с t, с t, с Рис. 4. Зависимость нормальных реакций от времени Ещё одна цель управления – устойчивое выведение точки D в начало координат. Как видно из рис.5, такое выведение действительно имеет место.
yD, м x,м D t, с t, с Рис. 5. Зависимость координат x D, y D от времени Из рис.6 видно, что значения углов i мало отличаются от 120 (таким образом, ещё одна из целей управления достигнута).
В заключительной части второй главы обсуждалась уточнённая модель ползающего робота рассматриваемой конструкции. На этот раз центральная платформа моделировалась уже не материальной точкой, а телом конечных размеров – однородным диском радиуса R D. Такое изменение модели доба вило ещё одну степень свободы, из-за чего список обобщённых координат пополнился ещё одной координатой – углом 0 поворота диска.
1, град. 3, град.
2, град.
t, с t, с t, с ) Рис. 6. Зависимость углов i от времени Для уточнённой модели робота получены уравнения движения (в виде системы 18 дифференциальных уравнений 1-го порядка) и выполнено ком пьютерное моделирование движения – при тех же управляющих воздействи ях и тех же значениях параметров, что и в исходной модели. Оказалось, что предложенный способ выбора управления пригоден и для уточнённой моде ли, обеспечивая монотонный и ускоренный разгон робота. Угол 0 при этом монотонно и ускоренно увеличивался – в той же мере, что и углы 2i.
Этот результат свидетельствует о том, что исходную модель ползающе го робота можно считать достаточно адекватной моделью реального робота.
Вывод: для предложенной конструкции мобильного ползающего робо та с пятью степенями свободы найдено управление, обеспечивающее: 1) мо нотонный рост значений углов 2i с течением времени;
2) сохранение зна чений углов i близкими к 120 ;
3) устойчивое выведение точки D в нача ло координат;
4) сохранение контакта двузвенников с поверхностью трубы.
В третьей главе диссертации изучается мобильный ползающий робот другой конструкции, обладающий восемью степенями свободы. Механиче ской моделью данного робота по-прежнему служит система из материальной точки D, которая соответствует центральной платформе робота, и 12 абсо лютно твёрдых тел – составных частей трёх двузвенников (состоящих из стержней A i B i и A i C i ) и трёх телескопических штанг.
В данной конструкции робота только точки B i и C i находятся в посто янном контакте с внутренней поверхностью эллиптической трубы;
точка же A i (в отличие от модели ползающего робота с пятью степенями свободы) с поверхностью трубы не контактирует (рис.7).
Текущая конфигурация двузвенника однозначно задаётся двумя пара метрами – углами 1i и 3i (определяемыми как полярные углы для обра зов соответственно точек B i и C i при таком растяжении вдоль оси y, кото рое переводит эллипс в окружность). При этом декартовы координаты точек B i и C i выражаются формулами x B i = a cos 1i, y B i = b sin 1i, x C i = a cos 3i, y C i = b sin 3i ;
(9) для декартовых координат точки A i имеем:
x A i = a ( cos 1i + cos 3i ) + b Hi ( sin 1i sin 3i ), (10) y A i = b ( sin 1i + sin 3i ) a Hi ( cos 1i cos 3i ), l 2 с i2 a 2 ( cos 3i cos 1i ) 2 + b 2 ( sin 3i sin 1i ) 2.
где Hi =, сi = сi B C C2 A D A B A B C Рис. 7. Схема конструкции робота с восемью степенями свободы За обобщённые координаты рассматриваемой механической системы приняты координаты xD и yD точки D и углы 11, 12, 13, 31, 32, 33.
На этот раз удаётся обойтись без использования избыточного набора пере менных, и уравнения движения робота оказались такими:
d d 3i 1i = 1i, = 3i, dt dt b 1 i ( c 2 i Q 2i ) b 2 i ( c 1 i Q 1i ) d 1i, = dt а 1 i b 2 i а2 i b 1 i a 2 i ( c 1 i Q 1i ) a 1 i ( c 2 i Q 2i ) d 3i, = dt а 1 i b 2 i а2 i b 1 i d xD d yD = v D x, = v D y, (11) dt dt d vD x = ( F 1 e1*x + F 2 e2*x + F 3 e3*x + N 1 e *y + N 2 e *y + N 3 e *y ), mD dt 1 2 d vD y = ( F 1 e *y + F 2 e *y + F 3 e *y N 1 e *x N 2 e *x N 3 e *x ).
mD dt 1 2 3 1 2 Сформулируем основные цели управления движением ползающего ро бота с восемью степенями свободы. Предполагаем, что начальное его со стояние – состояние покоя, так что производные по времени от углов 11, 12, 13, 32, 31 и 33 при t = 0 равны нулю (тогда будет равна нулю при t = 0 и производная от среднего арифметического ср этих шести углов).
Требуется – как и в предыдущей главе – чтобы с течением времени значения данных углов монотонно возрастали (величину ср ср ( 0 ) рассматриваем как меру такого возрастания), причём приращения всех углов были приблизительно одинаковыми (для этого достаточно поддерживать значения углов i близкими к 120 ). По-прежнему центральная платформа (точка D) должна выводиться в начало координат. Наконец, управление должно обеспечивать сохранение контакта концов двузвенников с поверхно стью трубы (иными словами, наложенные на механическую систему в точках B i и C i односторонние связи не должны ослабевать).
К этим требованиям теперь целесообразно добавить ещё одно требова ние: углы i B i A i C i между стержнями двузвенников в любой момент времени должны быть меньше 180.
Перечислим управляющие воздействия, приложенные к звеньям робо та. Всего таких воздействий – 12, а именно:
M i – момент, действующий на стержень A i B i со стороны стержня A i C i ;
L*i – момент, действующий на стержень A i B i со стороны i-й штанги;
Fi – сила, действующая в поступательном сочленении i-й штанги;
L i – момент, который действует на i-ю штангу со стороны соседней штанги (при i = 1, 2, 3 – со стороны 2-й, 3-й и 1-й штанги соответственно).
В качестве выражения для управляющего момента M i теперь – в отли main stab чие от предыдущей главы – взята сумма двух слагаемых: M i и Mi.
main Выражение для слагаемого M i сходно с выражением, принятым в main (5) для всего управляющего момента M i. Именно, момент M i задан как main main ( i ), причём функция M i =M M + M min M max M min M main ( i ) = max F ( sin 2 i ), (12) 2 Отличия формулы (12) от (5): во-первых, теперь при обоих слагаемых появились знаки “минус” (вершина тупого угла в треугольнике A i B i C i сей час обращена в противоположную от эллипса сторону);
во-вторых, роль ар main ( i ) теперь играет полусумма углов 1i и 3i.
гумента функции M stab stab.
Переходим к слагаемому M i. Момент M i задаётся как функция stab stab Mi =M ( i, i ). В ситуации, когда точка A i находится на эллипсе, угол i однозначно определён текущим положением этой точки;
теперь же имеющиеся связи не препятствуют выходу этого угла за разумные пределы.
main Поэтому к моменту M i и было добавлено такое дополнительное управляющее воздействие, которое стремится удерживать текущее значение prog угла i вблизи некоторого программного значения i, зависящего от i :
... prog ) ( i, i ) = K stab ( i i prog stab M ) + stab ( i i, (13) ( max + min ) ( max min ) cos 2 i ;
prog prog prog prog prog i (14) 2 prog prog (параметры K stab, stab, max и min – положительные константы).
main stab * Момент L i был также задан как сумма двух слагаемых: L i и Li.
main Слагаемое L B i определяется следующим выражением:
main Li = L ( i ), (15).
где i = ( 1i + 3i ) i, L – заданная константа.
Величину удобно трактовать как программное значение первой про изводной по времени от величины. Исходя из предположения о линейном характере зависимости скорости разгона робота от времени, для было взя то выражение = + t, где и – постоянные.
.
stab stab stab Момент L i задан как функция L i =L ( i, i ), где i – угол между стержнем A i B i и i-й штангой. Текущее значение этого угла хоте prog prog = i лось бы удерживать вблизи программного значения i /2;
поэтому данную функцию была взята в виде...
L stab ( i, i ) = KB ( i iprog ) + 1 ( i iprog ) (16) (стоящие в правой части параметры KB и 1 – положительные константы).
Выражения для управляющих сил F i выбирались из тех же соображе ний, что в предыдущей главе, только в условиях F i = Fi стоящие в правых частях величины Fi – не константы, а вычисляются из соотношений.2 ;
Fi = FC + FD / 1 + K W i (17) здесь FC, FD, K W – заданные положительные константы.
Выражения для управляющих моментов L i задаются формулами (8), в которых углы i теперь определяются так:
3 = 1 + 2 3.
1 = 2 1, 2 = 3 2, (18) В ходе моделирования на отрезке времени [ 0, T f i n ], где T f i n = 20 с, для уравнений (11) численно решалась задача Коши с начальными условия ми: 11 ( 0 ) = 0,07 рад, 31 ( 0 ) = 0,60 рад, 12 ( 0 ) = 2,08 рад, 32 ( 0 ) = 2, рад, 13 ( 0 ) = 4,14 рад, 33 ( 0 ) = 4,73 рад, xD ( 0 ) = yD ( 0 ) = 0,01 м. На чальные значения для 11, 31, 12, 32, 13, 33, VD x, VD y равнялись 0.
Были заданы следующие значения параметров системы: a = 1 м, b = = 0,8 a ;
l = 0,3 м (l – длина стержня);
s = 0,36 м (s – длина примыкаю щей к платформе части штанги);
m = 0,5 кг, mD = 1 кг (m и mD – массы стержня и платформы);
M max= 1,2 Н. м, M min = 0,2 Н. м;
= 0,2;
max = prog = 2,4 рад, min = 2,0 рад, K stab = 8 Н. м, stab = 0,1 с;
L = 7 Н. м. с, = prog = 0,8 с 1, = 0,02 с 2 ;
KB = 0,01 Н. м, 1 = 0,5 с;
c = 1,5 Н / м, d = 0, Н. с / м;
FC = 1 Н, FD = 10 Н, K W = 4. 10 с 2 ;
L 0 = 7 Н. м, = 4 с.
Заметим сразу же, что при представленных здесь значениях параметров управления поставленные цели действительно достигались, а робот, разгоня ясь из состояния покоя, успевал за время T f i n совершить в трубе более двух оборотов. На рис. 8 представлены графики, показывающие зависимость от времени как угла, так и его производной ср.
, рад ср, рад / с t, с t, с Рис. 8. Зависимость угла и его производной от времени Изучение влияния параметров управления на движение робота начнём с параметра формы управляющего момента – параметра (он фигурирует в main ). В таблице 2 приведены значения углов, формулах для момента M i 1i и 3i для правой границы отрезка моделирования (т.е. при t = T f i n ), от вечающие различным значениям.
Таблица fin fin Влияние параметра на значения углов 1i и 3i при t = Tf i n.
Значение Значение угла, рад параметра fi n 21n fi 21n fi 21n fi 21n fi 21n fi 21n fi 1 18,753 18,659 19,363 20,819 21,421 22,915 23, 0,5 18,776 18,681 19,386 20,842 21,444 22,938 23, 0,2 18,804 18,707 19,416 20,868 21,474 22,966 23, 0,1 18,824 18,727 19,437 20,887 21,495 22,987 23, 0 18,880 18,783 19,493 20,940 21,555 23,044 23, Эти результаты означают: параметр на разгон робота влияет слабо.
Таким образом, предложенная стратегия формирования управляющих моментов M i позволяет обеспечить монотонное и ускоренное возрастание углов, 1i и 3i с течением времени.
- --- - -- Значения проекций реакций NB i, NC i на направления внутренних нор малей на всём отрезке моделирования при этом оставались положительными.
Как и для робота с пятью степенями свободы, обеспечивался вывод точки D в центр эллипса, а значения углов i оставались близкими к 120.
При этом углы i изменялись в разумных пределах, и вершины тупых углов в треугольниках A i B i C i оставались обращёнными в противополож ную от эллипса сторону (так что стержни двузвенников никогда не распола гались вдоль общей прямой).
Заключительная часть третьей главы была посвящена проверке адек ватности механической модели робота. Вновь – как и во второй главе – бы ла рассмотрена уточнённая модель, в которой центральная платформа моде лировалась однородным диском. Так как это повлекло увеличение числа степеней свободы на единицу, то уравнения движения уточнённой модели имели вид системы из 18 дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Для уточнённой модели робота было выполнено компьютерное моде лирование движения – с сохранением принятых для исходной модели значе ний параметров. Выяснилось, что предложенный способ выбора управления работоспособен и при использовании уточнённой модели. При этом угол ускоренно увеличивался (в той же мере, что и угол );
однако процесс уве личения угла 0 монотонным не был: на отрезке интегрирования встречались короткие подынтервалы, где производная данного угла была отрицательной.
Вывод: для предложенной конструкции ползающего робота с восемью степенями свободы найдено управление, обеспечивающее: 1) монотонный рост значений углов 1i и 3i с течением времени;
2) сохранение значений углов i близкими к 120 ;
3) устойчивое выведение точки D в начало ко ординат;
4) сохранение контакта двузвенников с поверхностью трубы.
В приложении приводится текст программы на входном языке матема тического пакета Maple, которая вычисляет явные выражения для коэффи циентов а 1 i, а 2 i, b 1 i, b 2 i, с 1 i и c 2 i, входящих в уравнения движения пол зающего робота с восемью степенями свободы.
Основные результаты диссертации, сформулированные в заключении к работе:
1. Применительно к модели шарнирного двузвенника, учитывающей непрерывное распределение масс его стержней, решена задача о выборе управляющего момента, который обеспечивает ускоренный разгон двузвен ника в его движении по гладкому эллипсу, и выполнено компьютерное моде лирование движения двузвенника.
2. Предложены две конструкции мобильных ползающих роботов, предназначенных для движения в поперечном направлении по гладкой внут ренней поверхности трубы эллиптического сечения.
3. Найдены законы управления, обеспечивающие требуемое движение ползающих роботов предложенной конструкции в режиме ускоренного раз гона из состояния покоя при выполнении ряда требований к движению, включая требование (мотивированное односторонним характером связей) о поддержании постоянного соприкосновения робота с поверхностью трубы.
4. Построены математические модели динамики рассмотренных мо бильных ползающих роботов, что включало вывод основных соотношений, описывающих их кинематику и динамику, и составление полной системы уравнений движения каждого робота.
5. Разработано и отлажено программное обеспечение, позволяющее осуществлять компьютерное моделирование движения рассмотренных пол зающих роботов и, в частности, производить поиск значений параметров управления, подходящих для реализации требуемого движения робота.
6. Методом компьютерного моделирования обоснована принципиаль ная возможность создания мобильных ползающих роботов, способных целе направленно передвигаться по гладким поверхностям переменной кривизны.
7. Выполнены вычислительные эксперименты по исследованию влия ния параметров модели на количественные характеристики управляемого движения ползающего робота;
в частности, показано, что уменьшение зна чения параметра формы управляющего момента содействует разгону робота, причём для робота с пятью степенями свободы такое содействие весьма су щественно, а для робота с восемью степенями свободы оно незначительно.
Публикации по теме диссертации 1. Абдельрахман А.М. Моделирование управляемого движения ползающего робота // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы математики и меха ники. 2007. Вып. 3. С. 217 – 224.
2. Осадченко Н.В., Абдельрахман А.М. Компьютерное моделирование дви жения ползающего робота // Четырнадцатая Междунар. науч.-тех. конф.
студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3-х т. Т. 3. М.: Издательский дом МЭИ, 2008. С.236.
3. Осадченко Н.В., Абдельрахман А.М.З. Компьютерное моделирование движения мобильного ползающего робота // Вестник МЭИ. 2008. № 5.
С.131 – 136.
4. Осадченко Н.В., Абдельрахман А.М.З. Моделирование движения пол зающего робота по гладкой поверхности // Вестник МЭИ. 2009. № 6 (в печати).
Подписано в печать Зак. Тир. П.л.
Полиграфический центр МЭИ (ТУ) Красноказарменная ул., д.