Деформационное поведение и упругие свойства сетчатых эластомеров и полимерных гелей с неоднородным распределением растворителя
На правах рукописи
Салихова Нелли Камилевна ДЕФОРМАЦИОННОЕ ПОВЕДЕНИЕ И УПРУГИЕ СВОЙСТВА СЕТЧАТЫХ ЭЛАСТОМЕРОВ И ПОЛИМЕРНЫХ ГЕЛЕЙ С НЕОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ РАСТВОРИТЕЛЯ 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Пермь – 2013
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской Академии наук.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент Денисюк Евгений Яковлевич, старший научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Адамов Анатолий Арсангалеевич, ведущий научный сотрудник Института механики сплошных сред УрО РАН доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Коробейников Сергей Николаевич, зав. лаб. механики разрушения материалов и конструкций Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Тульский государственный университет"
Защита диссертации состоится 26 июня 2013 г. в часов на заседании диссер тационного совета Д 004.012.01 в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред УрО РАН по адре су: 614013, Россия, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1;
тел.: (342)2378388;
факс: (342)2378487;
сайт: www.icmm.ru.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государ ственного бюджетного учреждения науки Института механики сплошных сред УрО РАН.
Автореферат разослан мая 2013 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук Игорь Константинович Березин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Сетчатые эластомеры и полимерные гели спо собны поглощать органические и неорганические жидкости (растворители), многократно (в десятки и сотни раз) увеличиваясь в объеме. В набухшем состоянии они сохраняют свою форму и способность к большим обратимым упругим деформациям. Это явление называется ограниченным набуханием и объясняется молекулярной структурой данных материалов они пред ставляют собой пространственную полимерную сетку, состоящую из гибких макромолекулярных цепей, соединенных химическими связями.
Способность полимерных гелей поглощать жидкость, высвобождать ее и осуществлять интенсивный массообмен с внешней средой находит примене ние во многих современных технологиях: в биотехнологии (сепарация про теинов), в медицине и фармакологии (лекарственные гели), в биохимии и мембранных технологиях, в сельском хозяйстве (увлажнители почвы) и т.д.
Что касается эластомеров, то эти полимеры часто предназначены для экс плуатации в агрессивных средах органических растворителях и их парах.
В процессе набухания в полимере могут возникать сильно неоднородные концентрационные поля растворителя, которые порождают внутренние на пряжения. Это явление в определенном смысле аналогично возникновению термических напряжений при неоднородном нагревании твердых тел. Однако в случае эластомеров и полимерных гелей поглощение растворителя вызы вает многократное изменение объема материала, которое на много порядков превосходит термические деформации. Вследствие этого неоднородно набух шие сетчатые полимеры могут приобретать весьма сложные конфигурации.
Исследованию подобного рода явлений посвящена данная работа. В на стоящее время – это малоизученная область механики деформируемого твер дого тела. В то же время, эти исследования представляют интерес для мно гих приложений, основанных на эксплуатации полимерных материалов в сре де растворителя. Изучение деформационного поведения сетчатых полимеров с неоднородным распределением растворителя интересно и с теоретической точки зрения, поскольку приводит к новому типу задач, которые являются естественным обобщением задач классической теории упругости.
Цель работы состоит в исследовании закономерностей деформацион ного поведения и напряженно-деформированного состояния высокоэластич ных сетчатых полимеров эластомеров и полимерных гелей с неоднородным распределением растворителя.
Научная новизна работы состоит в том, что автором впервые:
• сформулированы нелинейные краевые задачи, описывающие напряжен но-деформированное состояние полимерных гелей и эластомеров, порож денное неоднородным распределением растворителя при конечных де формациях полимерной матрицы;
• для распределений растворителя, обладающих достаточно высокой сим метрией и позволяющих исходную краевую задачу свести к одномерной, построены их точные аналитические решения;
• в рамках этих решений изучено деформационное поведение и упругие свойства неоднородно набухших сетчатых полимеров;
• установлены соотношения, позволяющие сравнивать упругую реакцию полимера в условиях одноосного растяжения с однородным и неодно родным распределением растворителя;
• на их основе предложен метод, позволяющий оценивать адекватность различных моделей высокоэластичности по экспериментальным данным, характеризующим упругие и деформационные свойства неоднородно на бухшего материала;
• в рамках нелинейной задачи о сгибании плоского образца полимера про демонстрирована способность предложенной модели описывать явления, связанные с существенным изменением конфигурации неоднородно на бухшего образца под действием внутренних напряжений, порожденных неоднородным распределением растворителя;
• предложены численные алгоритмы решения нелинейных и линеаризо ванных задач;
• для двумерной задачи, характеризующей напряженно-деформированное состояние неоднородно набухшего плоского слоя полимера, скрепленного с жестким основанием, осуществлена программная реализация предло женных алгоритмов;
• выполнена серия вычислительных экспериментов, с помощью которых подтверждена работоспособность предложенных алгоритмов и изучен характер напряженно-деформированного состояния материала, порож даемого различными видами распределений растворителя при больших и малых деформациях полимерной матрицы.
На защиту выносятся следующие результаты:
• система уравнений и определяющих соотношений, описывающая состоя ние и упругие свойства неоднородно набухших в растворителе сетчатых полимеров при больших и малых деформациях полимерной матрицы;
• одномерные нелинейные краевые задачи и их аналитические решения, характеризующие напряженно-деформированное состояние образцов сет чатых полимеров канонической формы (плоского слоя, шара, цилиндра) с неоднородным распределением растворителя;
• соотношения, позволяющие сравнивать упругую реакцию полимера с од нородным и неоднородным распределением растворителя в условиях од ноосного растяжения;
• результаты моделирования деформационного поведения неоднородно на бухших сетчатых полимеров в рамках нелинейных одномерных задач;
• численный алгоритм решения нелинейных задач, характеризующих со стояние полимерного материала с распределением растворителя, зави сящим от нескольких пространственных координат;
• результаты численного моделирования двумерной задачи, описывающей напряженно-деформированное состояние неоднородно набухшего плос кого слоя полимера, скрепленного с жестким основанием.
Достоверность полученных результатов обеспечена тем, что система уравнений и определяющих соотношений для системы "полимер – раствори тель" получена из базовых принципов механики и термодинамики растворов.
Исследование деформационного поведения неоднородно набухших в раство рителе сетчатых полимеров проводилось на основе краевых задач, которые последовательно выводились из общей теории. Адекватность используемого подхода проверялась экспериментально на модельных системах. Достовер ность результатов численного моделирования подтверждалась на основе ана лиза сходимости и устойчивости используемых алгоритмов при различной степени дискретизации области, а также путем сравнения численных реше ний с имеющимися набором точных аналитических решений.
Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней результаты расширяют представления о закономерностях деформационного поведения сетчатых полимеров. Они могут быть использованы для оценки работоспособности полимерных материалов и элементов конструкций, пред назначенных для работы в физически агрессивных средах, а также при со здании и совершенствовании технологий, основанных на применении поли мерных гелей. Для механики и физико-химии полимеров могут представлять интерес новые подходы к исследованию упругих свойств сетчатых полимеров.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были пред ставлены на следующих научных конференциях: XVI, XVII, XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь (2009, 2011, 2013), Всероссий ская конференция молодых ученых Неравновесные процессы в сплошных средах, Пермь (2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), XVIII, XIX, XX Всерос сийская школа-конференция молодых ученых Математическое моделирова ние в естественных науках, Пермь (2009, 2010, 2011), II, III международ ная конференция Техническая химия. От теории к практике, Пермь (2010, 2012), Всероссийская научно-практическая конференция Актуальные про блемы механики, математики, информатики, Пермь (2010, 2012), X Всерос сийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Н. Новгород (2011).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 24 работы, в том чис ле 2 статьи в журналах из списка ВАК [12,13], 2 статьи в рецензируемых журналах [3,4], 8 статей в трудах международных и российских конферен ций [1,2,5–7,14–16], 12 – в тезисах докладов конференций.
Личный вклад автора состоит в формулировке краевых задач, в по строении их аналитических решений, в участии в планировании и постановке эксперимента, в обработке экспериментальных данных, в программной реа лизации численных алгоритмов решения краевых задач, в выполнении чис ленных экспериментов и анализе численных решений.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве дения, четырех глав, заключения, списка обозначений и списка использован ной литературы (187 названий). Она содержит 139 страниц текста, в том числе 32 рисунка и 2 таблицы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается общая характеристика работы, обосновывается ее актуальность, формулируется основная цель исследования, излагается крат кое содержание диссертации и приводятся положения, выносимые на защиту.
Первая глава носит обзорный характер. В ней описываются строение и основные свойства сетчатых эластомеров и полимерных гелей, их примене ние, излагаются основные закономерности деформационного поведения сет чатых полимеров, содержащих растворитель или взаимодействующих со сре дой растворителя. Дается обзор и анализ существующих теоретических моде лей, описывающих упругие свойства таких систем. На основе выполненного анализа выясняются нерешенные проблемы и формулируются цели и задачи диссертационной работы.
Вторая глава посвящена построению общей системы уравнений и опре деляющих соотношений, характеризующих механическое поведение и упру гие свойства набухших в растворителе сетчатых полимеров. Естественной моделью таких систем является смесь, представляющая собой нелинейно упругий материал и растворенную в нем жидкость. Задача о механическом равновесии смеси формулируется следующим образом. Пусть 0 область пространства, занимаемая образцом сетчатого полимера в отсчетной кон фигурации. Такой конфигурацией может служить любое механически нена груженное состояние смеси, в котором жидкость равномерно распределена в объеме материала (или отсутствует). В этом состоянии вводится система материальных координат (q 1, q 2, q 3 ), которая связывается с упругой матри цей. Отсчетная конфигурация задается радиус-вектором r = r(q 1, q 2, q 3 ). В результате механического нагружения, а также поглощения растворителя, полимер переходит в деформированное состояние, описываемое радиусом вектором R = R(q 1, q 2, q 3 ). Пусть область пространства, занимаемая им в этом состоянии. Полагается, что на части границы образца действуют поверхностные силы с плотностью g, а положение остальной ча сти его границы 0 = \1 задано функцией R = R (q 1, q 2, q 3 ).
Напряженно-деформированное состояние полимера с заданным распре делением жидкости описывается системой уравнений и граничных условий:
det F = J (q 1, q 2, q 3 ), · T = 0, (1) R = R (q 1, q 2, q 3 ), (R 0 ), n · T = g, (R 1 ), (2) где T – тензор напряжений Коши, F – градиент деформации, J = det F – его третий инвариант, характеризующий объемную деформацию материала, J (q 1, q 2, q 3 ) – заданная функция, описывающая текущее распределение рас творителя в материале, n - вектор внешней нормали. Соотношения (1)–(2) выведены из вариационного принципа, который, в свою очередь, является следствием известного в термодинамике утверждения о том, что свободная энергия системы в условиях равновесия достигает своего минимума.
Для описания деформированного состояния смеси используется мера де формации искажения формы и ее главные инварианты:
B = B/J 2/3, I1 = I1 /J 2/3, I2 = I2 /J 4/3, где B – мера деформации Фингера, I1, I2, I3 = J 2 – ее инварианты.
Полимер, растворитель и образуемая ими смесь здесь считаются несжи маемыми средами. В этом случае объемные доли растворителя 1 и полимера 2 связаны соотношением 1 + 2 = 1, а условие несжимаемости смеси выра жается уравнением det F = 0 /2, (3) где 0 – объемная доля полимера в отсчетной конфигурации. Оно означает, что единственной причиной изменения объема материала является поглоще ние растворителя. Из него следует, что распределение растворителя в полиме ре можно задать с помощью функции J, которая характеризует локальную объемную деформацию материала и фигурирует во втором уравнении (1).
Тензор напряжений Коши набухшего в растворителе полимера (в при ближении несжимаемой смеси) можно представить в следующем виде:
1 T = 1 B I1 E 2 B2 I1 (B2 )E pE, (4) 3 1 = 2 f / I1 + I1 f / I2, 2 = 2f / I2, f = f (I1, I2, n1, n2 ) (5) где f – плотность свободной энергии смеси, n1, n2 – мольные концентрации растворителя и цепей полимерной матрицы соответственно, E – единичный тензор, p – гидростатическое давление, которое в случае несжимаемой смеси имеет смысл лагранжева множителя.
Состояние полимера с неоднородным распределением растворителя опре деляется из решения краевой задачи (1)–(2), (4). Неизвестными и подлежа щими определению функциями здесь являются R и p.
Для описания упругих свойств сетчатых полимеров, содержащих раство ритель, использовано соотношение для тензора напряжений Коши, вытекаю щее из теории полимерных сеток Флори - Ренера:
1/ T = Rg T V21 2 B I1 E pE, (6) где T – абсолютная температура;
Rg – универсальная газовая постоянная;
V2 – мольный объем цепей полимерной сетки.
Более точное описание свойств сетчатых полимеров дает обобщенная мо дель Муни-Ривлина, основанная на потенциале свободной энергии, в котором упругие константы зависят от концентрации растворителя. Соответствующее выражение для тензора напряжений Коши имеет вид (4), где 1/3 1 = Rg T V21 (2 + Cm I1 ), 2 = Rg T V21 Cm, 2 (m и C – материальные константы).
Сформулирована линейная теория, описывающая напряженно-деформи рованное состояние неоднородно набухшего материала в приближении малых деформаций упругой матрицы. Она получена путем линеаризации уравнений нелинейной теории. Соответствующая задача приобретает следующий вид:
· u = (q 1, q 2, q 3 ), · T = 0, T = 2G0 pE, (7) u = u (q 1, q 2, q 3 ), (r 0 ), n · T = g, (r 1 ), (8) где – линейный тензор деформации, – его девиатор, - объемная дефор мация материала, G0 – модуль сдвига набухшего полимера. Задача сводится к поиску поля перемещений u и давления p.
В третьей главе поведение сетчатых полимеров с неоднородным рас пределением растворителя рассмотрено в рамках нелинейных одномерных задач. Такие задачи возникают в случае, когда распределение растворителя в материале зависит только от одной пространственной координаты, а сам образец и распределение растворителя в нем обладают достаточно высокой симметрией.
В рамках нелинейной теории сформулированы краевые задачи, описыва ющие напряженно-деформированное состояние образцов полимеров правиль ной геометрической формы (плоского слоя, шара и цилиндра) с симметрич ным распределением растворителя. Построены их аналитические решения.
В частности, рассмотрена задача о поведении неоднородно набухшего плоского образца полимера в условиях одноосного растяжения с симметрич ным (относительно продольной плоскости, проходящей через центр образца) распределением растворителя. Основной вопрос состоял в том, чтобы выяс нить, чем отличается упругая реакция полимера с неоднородным распреде лением растворителя от поведения этого же образца с однородным распреде лением жидкости.
Для описания упругих свойств полимера использованы соотношения, вы текающие из модели Флори-Ренера и Муни-Ривлина. Получены выражения, характеризующие упругую реакцию полимера с неоднородным распределе нием растворителя. Для модели Муни-Ривлина они имеют следующий вид:
1 M2 + CM3 2 1 M2 + CM3 2 P = G0 (1 + CM1 2 ) 3, =2, (9) 2 2 2 3 1 + CM1 2 3 1 + CM1 2 M1 = J m1 (x), M2 = J 2 (x), M3 = J 2m1 (x), (10) G0 = Rg T V21 (0 )1/3, C = C(0 )m1/3, m1 = m + 1/3, 2 где P – средняя сила, действующая на единицу площади поперечного сечения образца в отсчетной конфигурации;
3 – заданная степень растяжения образ ца;
2 – продольное удлинение образца в направлении, вдоль которого нагруз ка отсутствует;
x – поперечная координата. Начало координат расположено в центре образца. Распределение растворителя описывается функцией вида h J(x) = J(x). Угловые скобки означают операцию... = (2h)1 h...dx1 ;
2h – толщина образца. Соответствующие выражения для модели Флори Ренера получаются из (9), если в них положить C = 0.
Показано, что согласно модели полимерных сеток Флори – Ренера, упру гая реакция неоднородно набухшего полимера в условиях одноосного растя жения всегда меньше его реакции в состоянии с однородным распределением растворителя (при неизменном количестве растворенной в образце жидко сти). Максимальная величина реакции достигается в однородном состоянии.
Модель Муни-Ривлина предсказывает более разнообразное поведение по лимеров. При m1 1 или m1 2 (C 0) функция (3 ) = (P (3 ) P (3 ))/G0 (где P – реакция полимера с однородным распределением раство рителя) является знакопеременной: она принимает как отрицательные значе ния (при достаточно малых 3 ), так и положительные значения (при доста точно больших 3 ). Такой тип поведения материала показан на рисунке 1, а.
Здесь же приведена зависимость (3 ) для C = 0, которая отвечает модели Флори-Ренера.
При 1 m1 2 (C 0) функция (3 ) демонстрирует другой тип пове дения, изображенный на рисунке 1, б. Здесь возможны два случая: функция (3 ) может быть как положительно определенной, так и знакопеременной.
Конкретный тип поведения материала зависит от комбинации различных факторов: от конкретных значений констант m и C, от количества растворен ной в материале жидкости, а также от характера ее распределения в образце.
(P- P)/G0 (P- P)/G 1 0.5 0 l 1 1.5 -0. l 0.5 1 1. -1 - а б Рисунок 1 – Разность упругих реакций одноосно деформированного полиме ра с неоднородным и однородным распределениями растворителя: а – m1 = 3.73 2: 1 – M2 = 1.64, 2 – M2 = 1.49, кривая 3 отвечает модели Флори Ренера;
б – 1 m1 2: 1 – M2 = 1.96, 0 = 0.01;
2 – M2 = 1.25, 0 = 0.5;
3 – 2 M2 = 1.36, 2 = 0.07. Параметры: m1 = 1.3, C = 4.
Теоретические результаты проверены экспериментально. В опытах ис пользовались образцы полибутадиенуретанового (ПБУ) эластомера (m1 = 3.73) и дибутилсебацинат (ДБС) в качестве растворителя. Установлено, что тип деформационного поведения данного полимера соответствует случаю m 2 и удовлетворительно описывается моделью Муни-Ривлина.
Поведение сетчатых полимеров с неоднородным распределением раство рителя можно изучать в рамках других моделей полимерных сеток. Данные теоретического анализа можно проверять экспериментально в опытах с неле тучими жидкостями. Результаты такой проверки могут быть использованы для качественной и количественной оценки адекватности различных теорий высокоэластичности.
Из опыта известно, что неоднородное распределение растворителя в по лимере может приводить к существенному изменению конфигурации образ ца. Примером может служить изгибание плоского образца полимера и при обретение им формы цилиндрического сегмента под действием внутренних напряжений, порожденных неоднородным и несимметричным распределени ем растворителя. Это явление показано на рисунке 2.
y e e e e r R R x e z а б Рисунок 2 – Изменение конфигурации полимера под действием внутренних напряжений, порожденных несимметричным распределением растворителя:
а – схематическое изображение явления;
б – конфигурация неоднородно на бухшего в ДБС плоского образца полибутадиенуретанового эластомера.
Сформулирована нелинейная задача, моделирующая это явление. Она сведена к решению нелинейного алгебраического уравнения. Из него опреде ляется безразмерный параметр, с помощью которого можно рассчитать все остальные величины, характеризующие напряженно-деформированное состо яние образца и его текущую конфигурацию для произвольного распределе ния растворителя. Получены частные решения для конкретных распреде лений экспоненциального и линейного. Данный режим деформирования проверен и подтвержден экспериментально.
В четвертой главе в рамках нелинейной и линейной теории сформу лированы трехмерные и двумерные краевые задачи, описывающие состояние сетчатого полимера с неоднородным распределением растворителя достаточ но произвольного вида. Предложены численные методы их решения.
Линейная задача (7)–(8) рассмотрена для случая u = 0. В слабой форме она формулируется следующим образом: при заданных L2 () и g L2 (1 ) найти u V () и q L2 () такие, что для любых w V () и L2 () выполнялись уравнения 2 (u) : (w) dV q ·w dV = g·w dS, ( ·u) dV = 0, (11) 1 где V () = {v H 1 () : v = 0 на 0 } – подпространство соболевского класса функций H 1 (), q = p + 2/3I1 ( ). В качестве единицы измерения давления здесь используется величина G0.
Задача (11) относится к классу седловых задач и для ее решения исполь зован метод Удзавы. Установлена область значений параметра релаксации, при котором итерационный процесс Удзавы сходится к решению задачи.
Для решения нелинейной задачи применялась комбинация двух методов:
метода продолжения по параметру и метода Ньютона. Основная идея данного подхода заключается в следующем. Исходная задача параметризуется:
wT : P dV w · g dS = 0, (det F 1) dV = dV, (12) 1 где [0, 1] – вещественный параметр, P = F q(det F)FT – тензор на пряжений Пиолы (это выражение вытекает из модели Флори-Ренера), q = p + 1/3I1. Задача записана в отсчетной конфигурации.
Решение задачи (12) зависит от параметра, причем, значению = соответствует искомое решение, а = 0 отвечает исходному состоянию по лимера, которое известно. Область изменения подвергается разбиению на конечное число отрезков вида [i, i+1 ]. Если решение задачи (12) при i уже найдено, то ее решение в точке i+1 определяется с помощью метода Ньютона, согласно которому приближение на s + 1-й итерации представляется в виде us+1 = us + us+1, q s+1 = q s + q s+1. Полагая, что функции us и q s уже из вестны, уравнения (12) линеаризуются (в соответствии с методом Ньютона) относительно переменных us+1 и q s+1. Полученная система линейных урав нений относительно неизвестных us+1 и q s+1, которая также принадлежит к классу седловых задач и для их решения используется метод Удзавы.
Используя достаточно мелкое разбиение области изменения параметра, можно обеспечить "попадание" в область сходимости итерационного про цесса Ньютона на каждом шаге по. Это позволяет моделировать поведение неоднородно набухшего материала при больших деформациях полимерной матрицы.
Перечисленные выше алгоритмы реализованы на основе смешанного ме тода конечных элементов для двумерных задач, описывающих состояние плос кого слоя полимера с неоднородным распределением растворителя. Полимер представляет собой бесконечно протяженную полосу прямоугольного сече ния = {r = (x, y) R2 : |x| L, 0 y 1}, которая вдоль границы 0 = {(x, y) : x [L, L], y = 0} скреплена с жестким, недеформируемым основанием, а 1 = {(x, y) : x [L, L], y = 1} отвечает свободной поверхно сти полимера. На боковых границах x = ±L полосы ставятся периодические граничные условия. Распределение растворителя в полимере зависит только от двух координат – от x и y.
Использовались треугольные элементы типа P2 P0, дающие квадра тичную аппроксимацию поля перемещений и кусочно-постоянную аппрокси мацию давления. Такой выбор объясняется тем, что данный тип конечных элементов удовлетворяет так называемому inf-sup-условию, что обеспечива ет корректную конечно-элементную аппроксимацию исходной краевой зада чи, разрешимость конечно-элементных уравнений и равномерную сходимость конечно-элементного решения к решению континуальной задачи при стрем лении к нулю параметра дискретизации области [Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid FEM. Springer, 1991].
На рисунке 3 приведен результат решения нелинейной задачи для сту пенчатого распределения растворителя вида: = 0.8 при x 0.5 и = 0. при x 0.5. Полагалось, что полимер был предварительно подвергнут рас тяжению вдоль оси x c относительным удлинением 1 = 1.4.
y y 1.0 1. 0. 0. x 1x -1.0 1. -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1. -1. -1 -0.5 0 0.5 x а б Рисунок 3 – Исходная (а) и текущая (б) конфигурации плоского слоя поли мера с неоднородным распределением растворителя.
С помощью численных экспериментов изучены вопросы, касающиеся точ ности алгоритмов и скорости их сходимости.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Дана общая постановка задач, описывающих напряженно-деформиро ванное состояние нелинейно-упругого материала с неоднородным рас пределением жидкости при конечных деформациях упругой матрицы.
Показано, что эти задачи являются естественным обобщением класси ческих задач нелинейной теории упругости. С помощью линеаризации уравнений нелинейной теории построена линейная теория, описывающая состояние неоднородно набухшего материала в приближении малых де формаций упругой матрицы.
2. Сформулированы одномерные нелинейные задачи, описывающие напря женно-деформированное состояние образцов сетчатых полимеров пра вильной геометрической формы с неоднородным распределением рас творителя. Получены их аналитические решения.
3. Установлены соотношения, позволяющие сравнивать упругую реакцию полимера с однородным и неоднородным распределением растворителя.
На их основе предложен новый метод, позволяющий оценивать адекват ность различных моделей высокоэластичности по экспериментальным данным, характеризующим упругие и деформационные свойства неод нородно набухшего материала.
4. Изучены явления, связанные с существенным изменением исходной кон фигурации неоднородно набухшего материала. Это сделано в рамках не линейной задачи о сгибании плоского образца полимера под действием внутренних напряжений, порожденных неоднородным распределением растворителя. Получено аналитическое решение данной задачи. Физи ческая реализуемость конфигурации, описываемой теоретическим реше нием, подтверждена экспериментально.
5. В рамках нелинейной и линейной теории рассмотрены двумерные и трех мерные краевые задачи, описывающие напряженно-деформированное со стояние полимеров, неоднородно набухших в растворителе.
6. Для плоского слоя полимера построено аналитическое решение двумер ной линейной задачи. На основе смешанного метода конечных элементов и алгоритма Удзавы предложен метод численного решения линейных за дач механики неоднородно набухших полимеров.
7. Для решения нелинейных задач предложена комбинация двух методов:
метода продолжения по параметру и метода Ньютона, позволяющих све сти исходную нелинейную проблему к решению последовательности ли нейных задач. Осуществлена программная реализация данных алгорит мов. Выполнена серия вычислительных экспериментов. С их помощью произведена оценка сходимости и точности вычислительных алгоритмов, а также изучены эффекты и явления, возникающие в сетчатых полиме рах при взаимодействии неоднородных концентрационных полей раство рителя с полями механических напряжений и деформаций.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Денисюк, Е. Я. Упругая реакция и деформационное поведение неодно родно набухшего плоского слоя полимерного геля в условиях одноосного растяжения / Е. Я. Денисюк, Н. К. Салихова // Неравновесные процес сы в сплошных средах. Материалы Всероссийской конференции молодых ученых. – Пермь, 2008. – С. 102–105.
2. Денисюк, Е. Я. Исследование упругих свойств неоднородно набухших сетчатых полимеров в рамках обобщенной модели высокоэластичности Муни-Ривлина / Е. Я. Денисюк, Н. К. Салихова // Труды XVI Зим ней школы по механике сплошных сред [Электронный ресурс]. – Пермь Екатеринбург, 2009. – электрон. опт. диск (CD-ROM).
3. Денисюк, Е.Я. Упругие свойства и механическое поведение неоднородно набухших сетчатых эластомеров и полимерных гелей / Е.Я. Денисюк, Н.К. Салихова // Вестник ПГТУ. Мат. моделир. систем и процессов.– 2009.– С. 58–65.
4. Денисюк, Е. Я. Напряженно-деформированное состояние неоднородно на бухшего образца сетчатого полимера сферической формы / Е. Я. Дени сюк, Н. К. Салихова // Вестник ПГТУ. Механика. – 2010. – № 1.– С. 50–58.
5. Денисюк, Е.Я. Анализ деформационного поведения неоднородно набух ших полимерных гелей в рамках различных моделей высокоэластично сти/Е.Я. Денисюк, Н.К. Салихова//Неравновесные процессы в сплош ных средах. Материалы Всерос. конф. молодых ученых.– Пермь, 2009.– С. 280–283.
6. Денисюк, Е.Я. Задача о механическом поведении полимерного геля ци линдрической формы с неоднородным распределением растворителя/ Е.Я. Денисюк, Н.К. Салихова//Неравновесные процессы в сплошных сре дах. Материалы Всерос. конф. молодых ученых.– Пермь, 2010.–С.75–78.
7. Денисюк, Е. Я. Напряженно-деформированное состояние плоского образ ца полимерного геля с несимметричным распределением растворителя / Е. Я. Денисюк, Н. К. Салихова // Труды XVII Зимней школы по механи ке сплошных сред [Электронный ресурс]. – Пермь, 2011. – электрон. опт.
диск (CD-ROM).
8. Денисюк, Е. Я. Механические свойства сетчатых полимеров, набухших в растворителе / Е. Я. Денисюк, Н. К. Салихова // Математическое моде лирование в естественных науках: тезисы докладов XVIII Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов. – Пермь, 2009. – С. 81.
9. Денисюк, Е.Я. Конечно-элементный анализ напряженно деформированного состояния полимерного геля с неоднородным распределением растворителя / Е.Я. Денисюк, Н.К. Салихова // Актуальные проблемы механики, математики, информатики: сб. тез.
науч.-практ. конф. – Пермь, 2012. – С. 75.
10. Денисюк, Е.Я. Численный метод расчета напряженно-деформированного состояния набухших в растворителе сетчатых полимеров / Е. Я. Денисюк, Н. К. Салихова // Неравновесные процессы в сплошных средах: тез. докл.
Всеросс. конф. мол. уч. – Пермь, 2012. – С. 64.
11. Денисюк, Е.Я. Конечно-элементный алгоритм расчета напряженно деформированного состояния геля, порожденного неоднородном распре делением растворителя/Е.Я. Денисюк, Н.К. Салихова//Механика сплош ных сред как основа современных технологий: тезисы докл. XVIII Зимней школы по механике сплошных сред.– Пермь-Екатеринбург, 2013.– С. 115.
12. Салихова, Н. К. Механика высокоэластичных полимерных материалов, содержащих растворитель / Н. К. Салихова, Е. Я. Денисюк // Вест ник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – Н. Новгород:
Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. – № 4, ч. 5. – С. 2474–2476.
13. Салихова, Н. К. Механическое поведение и упругая реакция неоднород но набухшего цилиндрического образца полимерного геля с аксиально симметричным распределением растворителя / Н. К. Салихова, Е. Я.
Денисюк // Вычисл. мех. сплош. сред.– 2012.– Т. 5, № 2.– С. 178–183.
14. Салихова, Н. К. Эволюция напряженно-деформированного состояния не однородно набухшего образца полимерного геля, порождаемая диффузи ей растворителя в объеме материала / Н. К. Салихова, Д. В. Баталова, Е. Я. Денисюк // Техническая химия. От теории к практике. Материалы международной конференции. – Пермь, 2010. – С. 67–71.
15. Салихова, Н. К. Деформационное поведение неоднородно набухших в рас творителе сетчатых полимеров в условиях одноосного растяжения / Н. К.
Салихова, Е. Я. Денисюк // Техническая химия. От теории к практике.
Материалы международной конференции. – Пермь, 2010. – С. 398–402.
16. Салихова, Н. К. Численное моделирование напряженно-деформированно го состояния полимерного покрытия, набухшего в растворителе / Н. К.
Салихова, Е. Я. Денисюк // Техническая химия. От теории к практике.
Материалы международной конференции. – Пермь, 2012. – С. 273–278.
17. Салихова, Н. К. Деформирование плоского образца сетчатого полимера с несимметричным распределением растворителя / Н. К. Салихова, Е. Я.
Денисюк // Математическое моделирование в естественных науках: те зисы докладов XIX Всероссийской школы-конференции молодых ученых и студентов. – Пермь, 2010. – С. 89.
18. Салихова, Н. К. О механике полимерных гелей / Н. К. Салихова, Е. Я.
Денисюк // Актуальные проблемы механики, математики, информатики:
сб. тез. науч.-практ. конф. – Пермь, 2010. – С. 192.
19. Салихова, Н.К. Механика высокоэластичных полимерных материалов, содержащих растворитель / Н. К. Салихова, Е. Я. Денисюк // X Всерос сийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и приклад ной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков.
Тезисы докладов. – Нижний Новгород, 2011. – С. 149.
20. Салихова, Н. К. Численное исследование напряженно-деформированного состояния неоднородно набухшего полимерного геля в рамках линейной теории / Н. К. Салихова, Е. Я. Денисюк // Математическое моделирова ние в естественных науках: тезисы докладов XX Всероссийской школы конференции молодых ученых и студентов. – Пермь, 2011. – С. 87–88.