Модели теории упругости для склеры и сосудов зрительного нерва при глаукоме

На правах рукописи

МОРЩИНИНА Алина Алексеевна МОДЕЛИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СКЛЕРЫ И СОСУДОВ ЗРИТЕЛЬНОГО НЕРВА ПРИ ГЛАУКОМЕ 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор ДАЛЬ Юрий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор БАУЭР Светлана Михайловна (Санкт-Петербургский государственный университет) доктор технических наук, профессор ГОСПОДАРИКОВ Александр Петрович (Санкт-Петербургский государственный горный университет)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится “_”_2010 г. в _ часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.

М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан “”_2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Кустова Е. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Глаукома одно из опаснейших глазных забо леваний. По самым приблизительным подсчетам не менее 70 миллионов людей во всем мире страдают этим недугом. Несмотря на интенсивные ис следования, направленные на разработку методов его лечения, в 1520 % случаев глаукома становится причиной слепоты.

Все существующие ныне теории, пытающиеся объяснить причины и механизм возникновения глаукомы, условно относят к двум концепциям – механической и сосудистой. Обе они появились в конце XIX и в первой половине XX века. Сторонники первой (В. В. Волков, D. Minckler, J. Emery, A. Maumenee и др.) в качестве основной причины заболевания выделяют характерную экскавацию диска зрительного нерва (ДЗН), обу словленную разностью внутриглазного (ВГД) и внутричерепного (ВЧД) давления. Вследствие прогиба ДЗН происходит защемление нервных воло кон, которое приводит к нарушению зрительных функций. Согласно этой точке зрения, лечение глаукомы должно быть направлено главным обра зом на снижение ВГД. Приверженцы второй – сосудистой концепции – (А. П. Нестеров, F. Gafner, H. Goldmann, S. Hayreh и др.) сводят механизм атрофии зрительного нерва при глаукоме к нарушению кровообращения в нём. В этом случае ведущую роль в лечении глаукомы отводят восстанов лению кровообращения в сосудах диска зрительного нерва (ДЗН).

В настоящее время опубликовано достаточно много исследований, посвященных математическому моделированию склеры глазного яблока при глаукоме. Прежде всего здесь необходимо отметить работы П. Е. Товстика, С. М. Бауэр, В. Я. Павилайнена и их учеников.

С точки зрения механики деформируемого тела склеру естественно считать сферической оболочкой, загруженной постоянным внутренним давлением, а сосуды зрительного нерва – тонкостенными цилиндрически ми трубками, находящимися под действием внешнего и внутреннего дав ления.

Поскольку обычная глаукома характеризуется повышенным ВГД, большой интерес приобретает вопрос, насколько правомерно использова ние при анализе деформации склеры и сосудов зрительного нерва линей ных решений соответствующих задач теории упругости. Дело в том, что согласно экспериментам Е. Н. Иомдиной, связь между напряжениями и деформациями образцов из различных отделов склеры носит ярко выра женный нелинейный характер (рис. 1).

Рис. 1.

Зависимость «напряжение-деформация» различных областей склеры глаз с нормальной и миопической рефракцией.

Как известно, линейное и нелинейное решения одной и той же задачи механики могут существенно различаться между собой. Поэтому особую актуальность приобретают исследования напряженно-деформированного состояния склеры и сосудов зрительного нерва с позиции нелинейной ме ханики деформируемого тела.

В данной работе рассматриваются линейные, геометрически нелиней ные, а также физически и геометрически нелинейные модели теории упру гости для склеры и сосудов зрительного нерва.

Цель работы состоит в разработке простых нелинейных математиче ских моделей, которые могут непосредственно использоваться в расчетах перемещений и напряжений, возникающих в склере и сосудах зрительного нерва при повышении внутриглазного давления. В ходе выполнения рабо ты были поставлены следующие задачи:

Рассмотреть упругую сферическую оболочку и тонкостенную упру гую цилиндрическую трубку в качестве механических моделей склеры и сосудов зрительного нерва.

Исследовать влияние геометрической и физической нелинейности принятых моделей на характер распределения напряжений и перемещений в склере и сосудах зрительного нерва.

Провести специальные экспериментальные исследования с целью качественного анализа их результатов в свете данной диссертационной ра боты.

Методы исследования. В диссертации применяются решения соответствующих задач, полученных учеными-механиками О. Ламе, В. В. Новожиловым, А. А. Ильюшиным, Л. М. Качановым С. И. Дымнико вым, Э. Э. Лавенделом, П. Е. Товстиком, С. М. Бауэр и др., используются результаты исследований офтальмологов: В. В. Волкова, А. П. Нестерова, Ю. С. Астахова, Д. Фламмера и др.

Аналитическими и численными методами найдены геометрически не линейные решения для склеры (загруженной постоянным внутренним дав лением) и сосуда зрительного нерва (находящегося под действием внут реннего и внешнего давления).

Решение физически и геометрически нелинейной задачи для склеры, находящейся под действием постоянного внутреннего давления представ лено в терминах истинных деформаций.

Научная новизна. В диссертации получены:

1. Геометрически нелинейное решение центрально симметрич ной задачи теории упругости для полой толстостенной сферы.

2. Аналитические решения геометрически нелинейных задач для сферической и цилиндрической оболочек (нагруженных внут ренним и внешним давлением), в которых учтено изменение толщин оболочек в процессе их деформации.

3. Физически и геометрически нелинейное решение задачи о по лой толстостенной сфере и тонкостенной сферической оболоч ке, загруженных внутренним давлением.

Достоверность результатов диссертации основана на строгой физиче ской постановке соответствующих задач механики деформируемого тела и корректных математических методах, использованных при их решении. В частных случаях выведенные аналитические зависимости сопоставлялись с аналогичными решениями других авторов.

Результаты, выносимые на защиту

:

1. Аналитические решения геометрически нелинейных задач теории упругости для склеры и сосудов зрительного нерва.

2. Физически и геометрически нелинейное решение для цен трально симметричной деформации изотропной склеры (в терминах истинных – логарифмических деформаций).

3. Физически и геометрически нелинейное решение задачи о де формации сосудов зрительного нерва, находящихся под воз действием внутреннего и внешнего давления.

4. Сравнительный анализ линейных, геометрически нелинейных и физически и геометрически нелинейных моделей теории уп ругости для склеры глазного яблока.

Практическая ценность. Методы построения нелинейных решений для сферической и цилиндрической оболочек представляют интерес для нелинейной механики деформируемого тела. В полученных результатах учитывается изменение толщины рассматриваемых оболочек в процессе их нагружения. В частных случаях выведенные соотношения переходят в ре шения соответствующих нелинейных центрально симметричных задач теории упругости для шаровой (круговой) поры в бесконечном континууме (бесконечной плоскости). В выполненных исследованиях предлагаются новые нелинейные модели теории упругости для склеры и сосудов зри тельного нерва.

Построенные решения нелинейных уравнений одномерных задач ис пользуются в учебном процессе на факультете прикладной математики – процессов управления (в курсе лекций «Компьютерное моделирование пространственно-временных процессов») Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительных методов механики деформированно го тела (2007 – 2009 гг.), на Международной научной конференции аспи рантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (2007 г., г., Санкт-Петербург), на XVI Республиканской научной конференции ас пирантов, магистрантов и студентов по физике конденсированного состоя ния (23 – 25 апреля 2008 г., г. Гродно, Республика Беларусь), на Междуна родных конференциях «Актуальные проблемы прочности» (15 июля г., Нижний Новгород, 14 18 июня 2010 г., Киев), на городском семинаре «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (декабрь 2008 г., Санкт-Петербург ), на Санкт-Петербургских чтениях по проблемам проч ности (13 15 апреля 2010 г.),. Диссертация в целом докладывалась на се минарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого те ла СПбГУ, кафедры высшей математики Горного университета, кафедры сопротивления материалов СПбГТУ (Политехнический университет).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, две из них [1, 2] в журналах, рекомендованных ВАК. В статье [1], опублико ванной в соавторстве, автору принадлежит вывод основных формул и про ведение численных расчетов. Соавтору Ю. М. Далю принадлежит общая постановка задачи.

Поддержка. Исследования диссертанта на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ № 06-01-00171-а, РФФИ № 08-01-00394 а, РФФИ № 10-01-00093-а, НИР факультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ «Нелинейная механика твердого деформи руемого тела».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четы рех глав, приложений, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации 101 стр., общее количество рисунков и графиков 33, таб лиц 7, библиография содержит 70 наименований.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой темы, кратко описывается структура диссертации, указываются методы исследо вания и основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе описываются основные медицинские аспекты разви тия глаукоматозного поражения. Первый параграф посвящен описанию анатомии глазного яблока. В §2 изложен поэтапно процесс зрения, основ ные отличительные черты атрофии диска зрительного нерва при глаукоме и, как следствие, нарушения зрительных функций органа зрения. В § представлены причины изменения внутриглазного давления, методы и приборы измерения ВГД. Заключительный §4 содержит описание сущест вующих концепций глаукомы.

Во второй главе рассматриваются линейные и нелинейные модели теории упругости для склеры. Первый параграф посвящен анализу цен трально симметричной задачи линейной теории упругости для изотропной сферы конечной толщины и тонкостенной сферической оболочки, загру женных постоянным внутренним давлением p = const (рис. 2). Материал сферы (оболочки) считается несжимаемым.

Рис. 2.

Сфера, загруженная внутренним давлением.

В случае тонкостенной сферической оболочки получены следующие выражения для радиального перемещения u ( r ) и напряжений rr,, :

p ( R*0 ) u (r ) =, (1) 4E0 r pR 0 p p ( R* ) rr = *, (2) 3 0 2 3 0 r pR*0 p p ( R* ) =. (3) = + 3 0 2 6 0 r Здесь R*0 и 0 радиус срединной поверхности и толщина сферической оболочки.

Во втором параграфе на основе соотношений (1) (3) найдено реше ние геометрически нелинейной задачи для несжимаемой изотропной тон костенной сферической оболочки:

p R0 p R, R* = R0 exp. (4) = 0 exp 2E 0 4E Здесь и R* деформированные толщина и радиус срединной поверхно сти сферической оболочки.

На рис. 3. приведены графики линейного и геометрически нелинейно p R R R* го решений в безразмерных координатах s =, s= *, q=.

4E R0 R Рис. 3.

R R* Графики и * в случае линейной и геометрически R R нелинейной задачи (кривые 1 и 2 соответственно).

Как показали проведенные исследования радиального перемещения и компонент напряжения, геометрически нелинейное решение обнаруживает отличие от линейного при нагрузках превышающих 80 мм рт. ст.

Сравнение полученных результатов с известным решением [С. М. Бауэр и др.], выведенным в случае представления склеры в виде транстверсально-изотропной оболочки, выявило их совпадение вплоть до второго знака после запятой.

В третьем параграфе в качестве модели склеры рассматривается изотропная несжимаемая сфера конечной толщины. Здесь решение полу чено численно.

В четвертом параграфе приводится решение физически и геометри чески нелинейной задачи для полой сферы конечной толщины и тонко стенной сферической оболочки. Считается, что напряжения и деформации в склере связаны между собой соотношениями:

2 i 2 i = F ( i ), rr = rr, = i, = i, 3 i 3 i 3 i = ( rr + + ), = rr + +, (5) ( ) + ( rr ) + ( rr ), 2 i = ( ) + ( rr ) + ( rr ).

2 i = Здесь i = F ( i ) = f ( r ) нелинейный закон упругого деформирования.

Истинные деформации склеры определялись следующими формула ми:

du u rr = ln 1 +, = = ln 1 +. (6) dr r В диссертации выведено уравнение для радиальных перемещений то чек склеры:

u = 3 r3 + 3 r, (7) где произвольная постоянная интегрирования.

В соответствии с краевыми условиями rr ( R1 ) = p, rr ( R2 ) = 0 и вы бранным видом обобщенной кривой: i = A i n ( A = const, n = const, n 1), в диссертации показано, что n 3 3 p для сферы конечной толщины.

3 = 16 2 A ln R2 R n 3 3 p для тонкостенной сферической оболочки.

3 = 16 2 A R Принимая для склеры R1 = 11, 75 мм, R2 = 12, 25 мм, = 0,5 мм, r = 12 мм и i = 7 i, приведем график зависимости u = f ( p ) рис. 4.

Рис. 4.

Радиальные перемещения склеры u в зависимости от ве личины внутриглазного давления p. Кривая 1 соответст вует нелинейной модели склеры в виде сферы конечной толщины. Кривая 2 нелинейной модели склеры в виде тонкостенной оболочки. Кривая 3 линейное решение.

Из приведенного графика следует, что в диапазоне 15 мм рт. ст.

p 60 мм рт. ст. линейное решение качественно отличается от геометри чески и физически нелинейных решений 1 и 2.

В третьей главе исследуются линейные и нелинейные модели теории упругости для сосудов зрительного нерва. В первом параграфе дается ре шение классической задачи теории упругости для изотропного кругового цилиндра, материал которого считается несжимаемым.

Поскольку толщина сосуда зрительного нерва много меньше его внутреннего и внешнего радиусов, в качестве модели СЗН можно рассмот реть тонкостенную цилиндрическую трубку. Тогда, как показано в диссер тации, 3 ( p2 p1 ) ( R*0 ) u (r ) =, 4 Erh ( p2 p1 ) ( R*0 ) R*0 ( p2 p1 ) ( p1 + p2 ) h0 ( p2 p1 ), rr = 8R* 2h0 r 2h0 ( p2 p1 ) ( R*0 ) R*0 ( p2 p1 ) ( p1 + p2 ) h0 ( p2 p1 ), = 8R* 2h0 r 2h0 R*0 ( p2 p1 ) ( p1 + p2 ) h0 ( p2 p1 ).

zz = 8R* 2h0 Здесь R*0, h0 начальные значения радиуса срединной поверхности и тол щины цилиндрической трубки;

p1 и p2 соответственно внутреннее и внешнее давление;

E модуль Юнга материала.

Во втором параграфе приводится решение геометрически нелиней ной задачи теории упругости для цилиндрической трубки:

3 ( p2 p1 ) R*0 3 ( p2 p1 ) R* R* = R*0 exp, h = h0 exp.

4 Eh0 4 Eh Решению физически и геометрически нелинейной задачи теории уп ругости для полого кругового цилиндра посвящен третий параграф. Здесь связь между напряжениями и деформациями дается формулами типа (5), записанными в цилиндрических координатах.

Истинные деформации определяются по следующим формулам:

du u rr = ln 1 +, = ln 1 +.

dr r В работе показано, что координата произвольной точки сосуда зри тельного нерва после деформации r* удовлетворяет следующей зависимо сти r* = r 2 + 2 2. Отсюда u = r 2 + 2 2 r, где постоянная при соответст вующих граничных условиях rr ( R1 ) = p1, rr ( R2 ) = p2 в случае, когда ( A = const, n = const ), определяется следующим образом:

i = A i n n 3( p p ) h 3 для СЗН конечной толщины, 2 = 1 2 2 2 A ln R R n 3( p p ) h 3 для тонкостенного сосуда зрительного нерва.

2 = 1 2 2 2A R В четвертой главе помещены экспериментальные исследования по определению механических свойств резиновых оболочек, моделирующих склеру и роговицу глазного яблока.

Приложение I посвящено построению математических моделей вве дения газовой смеси в стекловидное тело. В §1 излагается геометрически нелинейное решение соответствующей задачи теории упругости. Второй параграф содержит физически и геометрически нелинейное решение по ставленной задачи.

В приложении II приводится решение геометрически нелинейной центрально симметричной задачи для полой толстостенной сферы при раз личных значениях её толщины.

Основные результаты и выводы В диссертации исследовано напряженно-деформированное состояние склеры и сосудов зрительного нерва (СЗН) при глаукоме. Получены ли нейные, геометрически нелинейные и физически и геометрически нели нейные решения соответствующих задач линейной и нелинейной теории упругости. Выведены соотношения для определения радиального переме щения u ( r ) и напряжений в склере и сосудах зрительного нерва. Прове денный анализ позволил сделать следующие выводы:

1. Рост внутриглазного давления приводит к сужению сосудов зрительного нерва, что вызывает нарушение кровотока и их закупорку. Наступающая в этой ситуации атрофия СЗН приводит к характерной экскавации диска зрительного нерва.

2. Сопоставление линейных и нелинейных решений соответствующих мо делей позволяет говорить о целесообразности применения соотношений линейной теории упругости для определения напряженно деформированного состояния склеры и сосудов зрительного нерва в диапа зоне 15 мм рт. ст. ВГД 70 мм рт. ст.

3. Решение геометрически нелинейных задач для склеры и сосудов зри тельного нерва обнаруживает отличие от линейных решений при ВГД, превышающих 80 мм рт. ст.

4. Решения, полученные для склеры (по моделям тонкостенной сфериче ской оболочки и сферы конечной толщины), практически не отличаются между собой (при значениях параметров глазного яблока R* 11,2, 0,5 мм 0,7 мм).

5. С ростом давления до 70 мм рт. ст. толщина склеры уменьшается незна чительно (порядка 5%), что хорошо соотносится с данными медицинских исследований.

6. Величина перемещений склеры, определенная по физически и геометри чески нелинейной модели (рис. 4), существенно отличается от аналогич ных значений, вычисленных по линейной модели.

7. Полученные математические решения соответствующих нелинейных за дач могут быть распространены на области больших деформаций сфериче ских и цилиндрических оболочек.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Даль Ю. М., Морщинина А. А. Линейные и нелинейные математические модели склеры и сосудов зрительного нерва при глаукоме // Вестник СПбГУ, сер. 10, 2008. Вып. 3. С. 47–55.

2. Морщинина А. А. Нелинейная осесимметричная задача теории упруго сти для полой сферы // Вестник СПбГУ, сер. 1, 2009. Вып. 4. С. 84 – 88.

Другие публикации:

3. Морщинина А. А. Нелинейная осесимметричная задача теории упруго сти для сферической оболочки. // Сборник докладов научной конференции студентов и аспирантов Гродненского государственного университета.

Гродно, 2008. С. 78 – 79.

4. Морщинина А. А. О больших осесимметричных деформациях сфериче ских изотропных оболочек. // Материалы конференции «Актуальные про блемы прочности», Нижний Новгород, 2008, ч.2. С. 371 – 374.

5. Морщинина А. А. К вопросу о математическом моделировании глауко мы // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной сре ды». Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008–2009. С. 76–97.

6. Морщинина А. А. Нелинейная осесимметричная деформация сфериче ской оболочки и полого кругового цилиндра // Тезисы докладов V между народной конференции по механике «Поляховские чтения», Санкт Петербург, 2009. С. 178.

7. Морщинина А. А. Большие осесимметричные деформации сферических оболочек (геометрическая сторона вопроса) // Материалы конференции «Петербургские чтения по проблемам прочности», Санкт-Петербург, (апрель). С. 312 – 314.

8. Морщинина А. А. О деформациях и напряжениях толстостенной нели нейно упругой сферы (теория и приложения) // Материалы конференции «Актуальные проблемы прочности», Киев, 2010 (июнь). С. 225.