Построение нижних оценок энергии двухфазных упругих тел и предельных поверхностей фазовых превращений
На правах рукописи
Антимонов Михаил Александрович ПОСТРОЕНИЕ НИЖНИХ ОЦЕНОК ЭНЕРГИИ ДВУХФАЗНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ Специальность 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание учной степени e кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург 2011
Работа выполнена в лаборатории математических методов механики ма териалов Учреждения Российской Академии наук Института проблем маши новедения РАН (ИПМаш РАН)
Научный консультант: доктор физико-математических наук, Фрейдин Александр Борисович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Волков Александр Евгеньевич кандидат физико-математических наук Гаврилов Сергей Николаевич
Ведущая организация: ФГОУ ВПО “Южный федеральный университет”, г. Ростов-на-Дону
Защита состоится 15 декабря 2011 года в 1400 часов на заседании диссертаци онного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., 61.
С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машино ведения РАН.
Автореферат разослан 15 ноября 2011 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.075.01 В.В. Дубаренко доктор технических наук, профессор
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Работа посвящена развитию моделей для описания фазовых превраще ний при деформировании твердых тел. Рассмотрен упругий материал, кото рый может находиться в двух фазовых состояниях, различающихся модулями упругости и собственной деформацией превращения. Для случая изотропных фаз на основе нижних оценок свободной энергии в пространстве внешних деформаций построены предельные поверхности превращения, то есть опре делены все деформации, при которых на заданных путях деформирования впервые становится возможным фазовое превращение. Найдены двухфазные структуры, соответствующие различным областям предельной поверхности превращения.
Актуальность темы обусловлена следующими обстоятельствами. Изу чение фазовых превращений при деформировании твердых тел связано с исследованиями взаимосвязи структуры материала и его деформационно прочностных свойств. Характерной особенностью этих исследований являет ся комплексность: исследования ведутся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения. Следствиями мартенситных фазовых превраще ний являются сверхупругость (псевдопластичность), эффект памяти формы, трансформационное упрочнение керамических материалов в результате мар тенситного превращения частиц под действием напряжений, индуцированных трещинами. В целом исследования фазовых превращений при деформирова нии ориентированы на использование и создание материалов, в том числе композитных, заданным и нетривиальным образом реагирующих на внешние термомеханические воздействия. При этом речь может идти не только о со здании элементов конструкций, выполняющих специфические функции, но и собственно “материале как машине” 1.
При описании фазовых превращений, вызванных деформационными воздействиями, основными являются следующие вопросы: при каких дефор мациях начинается фазовое превращение и как материал переходит из одного фазового состояния в другое. Можно выделить два подхода к описанию фазо вых превращений с позиций механики деформированного твердого тела. Пер вый подход основан на разработке феноменологических моделей, полученных в результате введения дополнительных параметров, характеризующих осо бенности микроструктуры в среднем, и формулировки определяющих соот ношений для этих параметров (см., работы А.Е. Волкова, В.А. Лихачева, В.Г.
K. Bhattacharya, R.D. James. The material is the machine // Science. 2005. Vol. 307.
P. 53–54.
Малинина, А.А. Мовчана, А.И. Разова, Д. Лагоудаса, К. Лекслена, Э. Патора, К. Танаки и др.). Второй подход исходит из явного рассмотрения межфаз ных границ с учетом условий термодинамического равновесия на межфазных границах или кинетики границ и включает детальное описание возникаю щих под напряжением двухфазных структур (см. работы Л. Бердичевского, Е.Н. Вильчевской, С.Н. Гаврилова, М.А. Гринфельда, М.А. Гузева, В.А. Ере меева, Л.М. Зубова, В.И. Кондаурова, Н.Ф. Морозова, Л.В. Никитина, В.Г.
Осмоловского, Л.М. Трускиновского, А.Л. Ройтбурда, А.Б. Фрейдина, А.Г.
Хачатуряна, Л.Л. Шариповой Р. Абейаратне, Дж. Болла, К. Баттачарьи, М.
Гртина, Р.Д. Джеймса, Дж. Ноулса, Г. Пэри, М. Питтери, Дж. Эриксена и е др.).
Данная работа выполнена в русле второго подхода. Решаются зада чи, связанные с описанием возникновения новой фазы. Исследуется задача описания цилиндрических областей новой фазы. Используется полуобратный метод, когда форма термодинамически равновесной области предсказывает ся, затем находятся ее геометрические параметры и условия существования.
В пространстве внешних деформаций для областей новой фазы, имеющих различную форму, а именно, форму эллипсоидов, цилиндров и слоев, стро ятся поверхности их возникновения, после чего строится огибающая этих поверхностей.
Для ответа на вопрос о возможности начала фазового превращения, то есть возникновения областей новой фаза до достижения этой огибающей по верхности, в работе строятся нижние оценки свободной энергии двухфазных материалов. Используются подходы, которые в механике композитных мате риалов развивались для нахождения оптимальных композитов, то есть таких композитов, которые при заданных объемных долях компонент и заданных средних деформациях или напряжениях запасают минимальную или мак симальную энергию и, следовательно, являются композитами минимальной или максимальной жесткости (см. работы Л.В. Гибянского, Ю. Грабовского, В.В. Жикова, К.А. Лурье, Г.А. Серегина, А.В. Черкаева, К. Баттачарии, Р.В.
Кона, Р. Липтона, Г.В. Милтона, Л. Тартара, З. Хашина, А. Штрикмана и др.).
В настоящей работе при произвольных средних деформациях впервые строится достижимая нижняя оценка энергии двухфазного композита, обра зованного изотропными фазами с произвольными упругими модулями при произвольных объемных долях фаз. Затем в результате дополнительной ми нимизации оценки по отношению к объемной доле новой фазы при объем ной доле, стремящейся к нулю, строятся предельные поверхности прямого и обратного фазовых превращений. Эти поверхности образованы всеми внеш ними деформациями, при которых двухфазное состояние материала впервые может иметь энергию, меньшую, чем энергия одного из однофазных состо яний. Предъявляются микроструктуры (так называемые слои первого, вто рого и третьего рангов), соответствующие этим деформациям. В заверше ние рассмотрения предельные поверхности и микростуктуры сравниваются с формой и поверхностями возникновения областей новой фазы, полученными полуобратным методом.
Основной целью диссертационной работы являются нахождение до стижимых нижних оценок энергии двухфазных композитных материалов и построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений.
Задачи работы.
1. Исследование условий существования и определение геометрических ха рактеристик термодинамически равновесных областей новой фазы, име ющих форму эллиптических цилиндров.
2. Исследование устойчивости равновесных цилиндрических межфазных границ.
3. Построение достижимых нижних оценок свободной энергии двухфазных композитных материалов, образованных изотропными фазами с произ вольными модулями упругости, при заданных объемных долях фаз и произвольных средних деформациях.
4. Построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазо вых превращений для материалов, допускающих фазовое превращение, и исследование двухфазных структур, соответствующих предельным по верхностям превращения.
Научную новизну диссертации представляют следующие положения, выносимые на защиту:.
1. Впервые проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесных цилиндрических областях новой фазы в упругом материа ле, претерпевающем при деформировании фазовое превращение. Найде ны геометрические характеристики равновесных цилиндрических обла стей в зависимости от внешнего поля и в пространстве деформаций по строены поверхности их возникновения. Исследована устойчивость рав новесных цилиндрических межфазных границ по отношению к возмуще ниям формы границы в зависимости от параметров материала, внешних деформаций и типа возмущений.
2. Для произвольных деформированных состояний впервые построены до стижимые нижние оценки энергии двухфазных композитных материа лов, состоящих из изотропных фаз с заданными объемными долями и произвольными упругими модулями.
3. Развита и реализована процедура построения в пространстве деформа ций предельных поверхностей прямого и обратного фазовых превраще ний в случае изотропных фаз. Определены двухфазные микрострукту ры, соответствующие предельным поверхностям превращения.
Научно-практическая значимость. Построение предельных по верхностей превращения дает возможность прогнозировать начало фазового превращения в зависимости от траектории деформирования и описать влия ние вида деформированного состояния на геометрию зарождающихся двух фазных структур при прямом и обратном превращениях.
Нахождение достижимой нижней оценки энергии упругого материа ла означает определение микроструктуры композитного материала, который при заданной внешней деформации имеет наименьшую жесткость. Этот ре зультат полезен при проектировании конструкционных элементов, чувстви тельных к виду деформированного состояния.
Предложенный сценарий рассмотрения фазовых переходов может быть использован для дальнейшего развития теории, учитывающей анизо тропию фаз и поверхностное натяжение, а полученные аналитические реше ния могут рассматриваться как тестовые при развитии численных процедур описания фазовых превращений в упругих телах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой математических задач, применением математически обоснован ных методов решения, использованием в численных процедурах надежных алгоритмов и программ, совпадением численных результатов с полученными для частных случаев аналитическими результатами.
Апробация работы. Основные результаты исследований, представ ленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Всерос сийских школах-конференциях молодых ученых “Математическое моделиро вание в естественных науках” (Пермь, 2005-2007), XXXIII международной мо лодежной научной конференции “Гагаринские чтения” (Москва, 2007), меж дународной школе-конференции “Advanced Problems in Mechanics” (Санкт Петербург, 2006-2011), международной школе-конференции молодых ученых “Механика 2009” (Агавнадзор, Армения, 2009), Всероссийском съезде по тео ретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011), Всероссийской конференции “Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого те ла” (Пермь, 2008).
Полностью результаты диссертации обсуждались на семинарах ИПМаш РАН, кафедры “Теоретическая механика” СПбГПУ и лаборатории прочности материалов СПбГУ.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 6 печат ных работ, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК России, и 13 тезисов конференций.
Личное участие автора в работах, написанных в соавторстве, со стоит в получении аналитических решений поставленных задач и их иссле довании.
Структура и объм работы. Диссертация состоит из введения, че e тырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 110 стра ницах машинописного текста, содержит 22 рисунка, список использованных источников из 136 наименований.
Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ (04-01-00431-а, 07-01-00525-а, 10-01-00670-а, 11-01-16069-моб_з_рос), программой ОЭММПУ РАН №13 (рук. акад.
РАН И.Г.Горячева) и программой фундаментальных исследования госака демий РФ №23 (рук. акад. РАН И.Г.Горячева и акад. РАН Н.Ф.Морозов), гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации НШ-3776.2010.1 (рук. акад.
РАН Н.Ф.Морозов), гранта для аспирантов вузов и академических инсти тутов на территории Санкт-Петербурга и Министерством образования и науки РФ (контракт 14.740.11.0353).
Содержание работы Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дана об щая характеристика работы, приводится обзор публикаций по теме диссер тации, указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссер тации, охарактеризована ее научная новизна, научная и практическая значи мость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе исследованы равновесные области новой анизотроп ной фазы, имеющие форму эллиптического цилиндра, находящегося в мате риале исходной изотропной фазы. Определены зависимости ориентации оси равновесного цилиндра и соотношения полуосей эллипса, лежащего в осно вании, от внешних деформаций. Для случая изотропных фаз в пространстве деформаций построены поверхности зарождения новой фазы в виде цилин дрических областей.
В параграфе 1.1 приводится математическая постановка задачи на хождения равновесных двухфазных конфигураций упругого тела. Фазы, обо значаемые индексами “+” и “”, различаются тензорами модулей упругости C± и тензорами деформаций p в ненапряженном состоянии. Если p = 0, ± p p то = + – собственная деформация превращения.
Для того, чтобы материал допускал фазовое превращение при дефор мировании, объемная плотность его свободной энергии f должна быть невы пуклой функцией деформаций :
f (, ) = min {f (, ), f+ (, )},,+ (1) f± (, ) = f± () + ( p ) : C± : ( p ).
± ± где – температура, f± – плотности свободной энергии фаз в ненапряженном состоянии, верхние и нижние знаки и индексы ± соответствуют друг другу, (C : )ij = Cijkl kl. Термоупругие напряжения и поверхностная энергия не учитываются.
Плотности энергии (1) соот ветствуют определяющие соотно f шения для напряжений ± в обла стях тела, занятых разными фаза ми:
± = C± : ( p ) (2) ± При заданных внешних воз + действиях равновесное двухфаз f ное состояние с межфазной гра f ницей соответствует миниму му энергии Гиббса тела, которая p с точностью до слагаемого, свя Рис. 1: Одномерный аналог зависимости плот- занного с плотностями свободной энергии материалов фаз в нена ности свободной энергии от деформаций.
пряженном состоянии, совпадает с потенциальной энергией. Рассматриваются межфазные границы, на которых перемещения u непрерывны. Необходимые условия минимума энергии двух фазного тела включают обычные для составного тела уравнения равновесия в объеме тела и условие непрерывности усилий на границе раздела материа лов x : · = 0, / = const, (3) x : [u] = 0, [] · n = 0 (4) и дополнительное термодинамическое условие равновесия, появляющееся из за дополнительной степени свободы – положения межфазной границы:
x : [f ] : [] = 0, = ( + + ). (5) Здесь x – точка тела, n – единичный вектор нормали к межфазной границе, квадратными скобками обозначено изменение величины при переходе через межфазную границу, [· ] = (· )+ (· ), : [] = ± : [].
Из условий (4) следует формула для определения скачка деформаций в зависимости от нормали и деформаций по одну из сторон границы1 :
q± = [[C]] : ± + [[C : p ]], [[]] = K (n) : q±, (6) G± = (n · C± · n)1, K± (n) = {nG± (n)n}s, знак s означает операцию симметризации, Kijkl = n(i Gj)(k nl).
После подстановки (1) и (2) в (5) термодинамическое условие с учетом соотношений (6) принимает вид уравнения, определяющего однопараметри ческое семейство нормалей к границе фаз в зависимости от деформаций по одну из сторон границы2 :
1p [[ : C : p ]] + ± : [[C]] : ± (±, n) = + 2 ± : [[C : p ]] ± q± : K (n) : q± = 0, (7) + где параметр = f0 () f0 () определяется температурой.
Таким образом, задача описания равновесной двухфазной конфигу рации упругого тела является задачей с неизвестной границей и сводится к определению перемещений и положения межфазной границы, которые удо влетворяют условиям (3), (4), (7) и граничным условиям. Поскольку эти усло вия являются только необходимыми условиями минимума энергии, должна быть дополнительно исследована устойчивость найденных решений.
В параграфе 1.2 исследуются равновесные цилиндрические области новой фазы. Доказывается следующая теорема.
Kunin I.A. Elastic media with Microstructure. Vol. 2. Three Dimensional Models. Springer Series in Solid State Sciences. V. 44. Berlin, New York, etc. Springer-Verlag. 1983.
Кубланов Л.Б., Фрейдин А.Б. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ. 1988. Т. 52. С. 493–501.
Теорема. Если на равновесной межфазной границе цилиндрической области фазы “+”, находящейся в однородном изотропном материале фа зы “”, тензоры + и p постоянны, а тензор [[C]] – невырожденный, то + тензор q+ – осесимметричный, q+ = qk kk + q (E kk), (8) где k – ось цилиндра. Главные значения qk и q связаны термодинамическим условием 1 (qk, q ) = + q+ : [[C]]1 : q+, (qk, q ) + c q = 0, где (9) 2 c = E : K (n) : E = k + µ, µ и k – модуль сдвига и объемный модуль упругости фазы “”.
Скачок деформаций на равновесной межфазной границе равен [[]] = c q nn, (10) где n – нормаль к границе.
Если материал фазы “+” также изотропный, то условие (9) принимает вид (qk + 2q )2 (qk q )2 2 + + + c q = 0, (11) 9k1 3µ где µ1 = µ+ µ и k1 = k+ k – изменения модуля сдвига и объемного модуля упругости соответственно.
Согласно решению Эшелби поле деформаций внутри однородного эл липтического цилиндра, находящегося в однородном внешнем поле, однород но. Если такой цилиндр является равновесным включением новой фазы, то в силу теоремы ориентация оси цилиндра и отношение длин полуосей эллипса подстраиваются под внешнее поле так, что один из главных векторов тензора q+ направлен по оси цилиндра, а главные значения, соответствующие двум другим главным векторам, равны. Кроме того, главные значения тензора q+ удовлетворяют равенству (9), которое в случае изотропных фаз принимает вид (11).
Внутренние + и внешние деформации 0, ориентация цилиндра и со отношение полуосей эллипса в основании связаны формулой Эшелби + = 0 + A : q+, (12) где A – тензор Кунина – Эшелби, однозначно определяемый направлением оси цилиндра и ориентацией и отношением длин полуосей эллипса. Из (12) и (8) следует, что q0 = [[C]] : 0 + [[C : p ]], (qk q )kk + q ([[C]] : + E) = q0, (13) где неотрицательно определенный тензор 1 = A : E = c (1 e1 e1 + 2 e2 e2 ), 1 =, 2 =, = a1 /a 1+ 1+ (14) определяет ориентацию эллипса и отношение полуосей, направление которых задается векторами e1, e2. Из соотношения (13) следуют уравнения, опреде ляющие геометрические параметры равновесного цилиндра в зависимости от внешнего поля 0.
В параграфе 1.3 в пространстве деформаций для случая изотроп ных фаз строятся поверхности возникновения цилиндрических областей но вой фазы и проводится сравнение с поверхностями возникновения областей другой формы. Ограничения на деформации, при которых такие области су ществуют, следуют из неотрицательной определенности тензора. Поверх ности возникновения и локальные поля на межфазной границе соотносятся с зонами фазовых переходов1 и поверхностями возникновения эллипсоидаль ных областей новой фазы2.
На рис. 2 показаны сечения зон фазовых переходов и поверхностей воз никновения равновесных эллипсоидальных и цилиндрических областей новой фазы плоскостью 1 = 2, соответствующей осесимметричным внешним деформациям, ei (i = 1, 2, 3) – главные направления деформаций. Показан случай µ1 0, k1 0. В работе также рассмотрены и другие соотношения параметров материала.
Зоны фазовых переходов (ЗФП) закрашены серым цветом. Они состо ят из всех деформаций, которые в данном материале могут существовать на межфазных границах. Границы ЗФП являются поверхностями возникнове ния слоев новой фазы.
Эллипс B A BAB соответствует возникновению круговых цилиндров фазы “” с осью, совпадающей с направлением e3. Круговая форма основа ния связана с осесимметрией внешнего деформирования. Дуги C D и CD соответствуют возникновению цилиндров фазы “” с осью, лежащей в плос Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. Матем. ин-та им.
В.А.Стеклова. 1998. Т. 223. С. 220–232.
Кубланов Л.Б., Фрейдин А.Б. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ.- 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 493–501.
1 = Рис. 2: Осесимметричное сечение пространства внешних деформаций в случае µ = 30, k = 78, µ+ = 15, k+ = 39, = f+ f = 6.75, p = 0.1.
0 кости векторов e1 и e2. Эллипс G GG соответствует возникновению цилин дров фазы “+” с осью, совпадающей с e3. Сегменты E F и EF соответствуют возникновению цилиндров фазы “+” с осью, лежащей в плоскости векторов e1, e2.
Отрезки D B, DB и F G, F G соответствуют равновесным эллипсои дальным включениям фаз “” и “+”. В точках B, B, G и G одна из полуосей эллипсоида становится бесконечной и эллипсоид превращается в цилиндр. В точках D, D, F и F две полуоси эллипсоида становятся бесконечными, эл липсоид превращается в слой. В этих же точках в слои превращаются цилин дры с осью, лежащей в плоскости векторов e1, e2.
Отмечается неоднозначность типа равновесных состояний. Например, там, где линии существования цилиндрических областей пересекают ЗФП, условиям равновесия удовлетворяют и цилиндры, и слои. В следующих гла вах показывается, что равновесные цилиндрические области в этом случае неустойчивы.
Если принять за поверхность превращения огибающую построенных поверхностей возникновения областей новой фазы различного типа, то при прямом превращении, то есть когда тело нагружают из исходного недеформи рованного состояния, фаза “+” зарождается в виде плоских слоев, ориентация которых известным образом зависит от вида деформированного состояния.
При обратном превращении из фазы “+” в фазу “” в зависимости от ви да деформированного состояния фаза “” зарождается в виде эллипсоидов, цилиндров или слоев.
Отметим, что поверхность обратного превращения теряет выпуклость в окрестности точек A и A. В четвертой главе показывается, что в этой об ласти деформаций предельная поверхность превращения “овыпукляет” оги бающую поверхностей возникновения цилиндров и слоев, причем предель ным деформациям соответствуют микроструктуры, представляющие собой “наклонные слои второго ранга”.
Исследовано влияние параметров материала (модулей упругости фаз и собственной деформации превращения) и определяемого температурой пара метра на форму огибающей поверхностей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы и ее положение относительно начала координат, соответствующего недеформированному состоянию фазы “”. Показано, что если тензор [[C]] разности модулей упругости знакоопределенный, то огибаю щая является замкнутой поверхностью. Если тензор [[C]] не является знако определенным, то огибающая – разомкнутая.
Изменение собственной деформации превращения может приводить к сдвигу поверхностей возникновения областей новой фазы в пространстве де формаций такому, что при прямом превращении огибающая будет совпадать с поверхностью возникновения слоев, а при обратном превращении в зави симости от траектории деформирования огибающей могут соответствовать эллипсоиды или цилиндры новой фазы.
Во второй главе исследуется устойчивость равновесных цилиндри ческих межфазных границ в случае изотропных фаз.
В параграфах 2.1, 2.2 обсуждаются необходимые условия устойчи вости. Необходимым условием устойчивости произвольной межфазной гра ницы является устойчивость всех кусочно-постоянных полей деформаций с плоскими границами, на которых заданы те же пары сосуществующих дефор маций, что и в точках исследуемой границы1 (рис. 3). Так как поле деформа ций внутри равновесного цилиндра однородное и осесимметричное, для каж дого цилиндра необходимо исследовать устойчивость только одного кусочно постоянного поля.
Gurtin M.E. Two–phase deformations of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Analysis. 1983.
Vol. 84. № 1. P. 1–29.
Перемещения точек тела и радиус-вектор точек межфазной гра n ницы в возмущенном состоянии да (x) n x ются формулами + (x) u = u0 + w, r = r0 + n, где u0 и r0 – перемещения и радиус вектор точек межфазной границы в Рис. 3: Необходимое условие устойчивости невозмущенном состоянии, w и – межфазной границы – устойчивость кусочно возмущения перемещений точек тела постоянных двухфазных деформаций, соот и положения межфазной границы.
ветствующих точкам границы.
Дальнейшая квазистатическая эво люция границы описывается кинетическим уравнением, согласно которому нормальная составляющая скорости границы фаз определяется формулой vn = (±, n), (15) где – положительный кинетический коэффициент. Если двухфазное состоя ние устойчиво, то возмущенная межфазная граница возвращается в исходное состояние, если неустойчиво – развивается дальше.
Линеаризованные условия равновесия и кинетическое уравнение для возмущенной задачи имеют вид1 :
x: · ± (w) = 0, / ± (w) = C± : w, (16) x 1 2 : n · (w)|2 = 0, w|1 = 0, (17) u0 ]], n · [[(w)]] = · [[ 0 (u0 )]], x: [[w]] = [[n · (18) 1 d q± (u0 ) : ± (w) ± q± (u0 ) : K (n) : q± (w), = (19) k dt где q+ (w) = [[C]] : (w), (w) = ( u)s, 1 2 – внешняя граница мате риала. Кинетическое уравнение (19) следует из соотношений (7) и (15).
Рассматриваются возмущения вида w(x) = z(y2 )eiy1 + K.C., = (t)eiy1 + K.C. y1 = s = t · x, y2 = n · x, (20) где K.C. означает комплексно сопряженное выражение, t – единичный век тор, лежащий в касательной плоскости к межфазной границе, z(y2 ) экспо ненциально убывает при удалении от межфазной границы.
Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. Об устойчивости равновесия двухфазных тел // ПММ. 2007. Т. 71. С. 66–92.
Система уравнений (16–19) после подстановки выражений (20) решается относительно вектора z(y2 ). После подстановки полу а) б) ченного решения в кинетическое Рис. 4: Схематическое изображение ти- уравнение (19) получаем линеари пов возмущения межфазной цилиндрической зованное уравнение, определяющее границы: а) в плоскости основания цилиндра;
кинетику возмущенной границы:
б) вдоль оси цилиндра.
d(t) = L(0 )(t), (21) ± dt где 0 – деформации на межфазной границе в невозмущенном состоянии.
± По знаку коэффициента L можно судить об устойчивости межфазной границы. Если L 0, то равновесная межфазная граница неустойчива.
В параграфах 2.3, 2.4 после решения системы (16–19) обсуждаются результаты исследования устойчивости межфазных цилиндрических границ по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра (рис. 4 а) и вдоль оси цилиндра (рис. 4 б). Рассматривается случай изотропных фаз и шаровой собственной деформации превращения. В этом случае в силу до казанной выше теоремы деформации внутри равновесного цилиндрического включения – осесимметричные: = k kk + (E kk). Примеры полученных зависимостей L от внутренней деформации приведены на рис. 5.
Устойчивость по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра определяется знаком изменения модуля сдвига. Межфазная гра ница неустойчива по отношению к таким возмущениям при всех внутренних деформациях (а следовательно и внешних деформациях, определяемых с по мощью формулы (12)), если модуль сдвига новой фазы меньше модуля сдвига окружающего материала (L 0 на сплошной кривой при всех на рис. 5 a).
Такая неустойчивость не обнаруживается, если модуль сдвига новой фазы больше модуля сдвига окружающего материала (L 0 на сплошной кривой при всех на рис. 5 б).
Во втором случае существует интервал деформаций, а следовательно и область в пространстве внешних деформаций на поверхности возникновения цилиндров, при которых не происходит потери устойчивости по отношению к возмущениям вдоль оси цилиндра. Вместе с тем вне этого интервала происхо дит потеря устойчивости по отношению к таким возмущениям, несмотря на устойчивость по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра.
Для цилиндрических меж а) L б) L фазных границ неустойчивость не обнаружена в случае, когда внешние деформации принадлежат огиба ющим поверхностей превращений, построенным в главе 1. Деформации на межфазной границе в этом слу чае принадлежат внешним границам ЗФП.
Отдельно исследована устой Рис. 5: Коэффициент L в зависимости от ве личины деформации внутри цилиндра, обра- чивость цилиндрической области но зованного фазой “+” в окружении фазы “”. вой фазы, возникшей при двухос Сплошная линия – возмущения лежат в плос- ном деформировании материала. Ес кости основания цилиндра. Пунктирная ли- ли плоскость основания цилиндра ния – возмущения направлены вдоль оси ци- совпадает с плоскостью деформи линдра;
а) µ+ µ, k+ k, б) µ+ µ, рования, а модуль сдвига материа ла цилиндра больше модуля сдвига k+ k.
окружающего материала, то цилиндрические межфазные границы устойчи вы по отношению к возмущениям в плоскости основания цилиндра при всех внешних деформациях, допускающих существование равновесных цилиндри ческих областей новой фазы. Но если при этом объемный модуль упругости внутри цилиндра меньше объемного модуля упругости окружающего матери ала, то при всех внешних деформациях теряется устойчивость по отношению к возмущениям вдоль оси цилиндра. Это показывает, что постановка плоской деформации не всегда физически реализуема в задаче о фазовом превраще нии.
В третьей главе строится достижимая нижняя оценка свободной энергии двухфазного композитного материала при заданных средних дефор мациях и объемных долях фаз. Никакое смешивание фаз, образующих ком позит, не позволяет получить энергию меньшую, чем нижняя оценка. Дости жимость означает, что найдена двухфазная микроструктура, на которой эта оценка выполняется точно. Для упрощения рассматривается материал, со стоящий из двух изотропных фаз, имеющих нулевой коэффициент Пуассона.
В этом случае получаются простые для анализа выражения, позволяющие развить процедуру построения нижних оценок и поиска соответствующих микроструктур. Случай произвольных модулей упругости рассматривается в четвертой главе при построении предельной поверхности фазовых превраще ний.
В параграфе 3.1 обсуждается постановка задачи о нахождении ниж ней оценки энергии двухфазного периодического материала с единичной ячейкой периодичности V. Области, занимаемые фазами “” и “+”, обозна чаются V и V+ соответственно, V V+ = V, объемные доли фаз равны m и m+ соответственно, m + m+ = 1. Упругие характеристики материала определяются тензором модулей упругости 1, x V+, C(x) = (1 (x))C + (x)C+, (x) = (22) 0, x V+ / где C± = 2µ± I, I – единичный тензор четвертого ранга.
В ячейке периодичности заданы средние деформации 0 = dV. (23) V Свободная энергия материала определяется выражением F= f0 + (x) : C(x) : (x) dV, (24) V 0 где f0 = (1 (x))f + (x)f+.
Достижимой нижней оценкой является QF m = inf inf F, (25) dV =m+ ± E V где E0 – множество симметричных тензоров второго ранга таких, что вы полняется условие (23) и существует векторное поле u такое, что = ( u + uT ). (26) В параграфе 3.2 приводится оценка свободной энергии двухфазно го материала, получаемая в результате прямого поиска минимума энергии (24) по деформациям. Такая оценка соответствует оценке Рейсса для эффек тивных упругих свойств двухфазного материала. Она достижима только в случае одноосного растяжения на классе простых слоистых структур с нор малью, направленной вдоль оси растяжения.
В параграфе 3.3 описывается построение улучшенной оценки энер гии двухфазного материала, основанной на оценке квазивыпуклой функции энергии. Для построения оценки вводится дополнительная квазивыпуклая функция, называемая транслятором (, t) = Cof () : t : T : (27) Cherkaev A.V. Variational methods for structural optimization. New York: Springer–Verlag, 2000. 546 p.
(квазивыпуклой функцией здесь называется невыпуклая функция на мно жестве произвольных тензоров второго ранга, но выпуклая на множестве E0.) Транслятор зависит от тензора и дополнительного неотрицательного симметричного тензора второго ранга t, которым определяется тензор чет вертого ранга T, введение которого позволяет записать транслятор к виду квадратичной формы. Главные значения тензора называются параметрами транслятора и обозначаются t1, t2, t3.
Функция (, t) в декартовой системе координат, связанной с главны ми направлениями тензора t, равна (, t) = 2t3 (2 11 22 ) + 2t2 (2 11 33 ) + 2t1 (2 22 33 ), (28) 12 13 где ij – компоненты тензора деформаций в базисе главных направлений тензора t.
Вводится понятие “сдвинутой” энергии материала как энергии, плот ность которой равна разности между плотностью свободной энергии мате риала и транслятором. Для построения нижней оценки необходимо, чтобы плотность “сдвинутой” энергии была выпуклой функцией на множестве тен зоров деформаций. Требование выпуклости приводит к множеству допусти мых тензоров t: = {t : ti [0;
2 max{µ, µ+ }], i = 1, 3}. Без ограничения общности далее полагаем, что µ+ µ.
В результате строится уточненная нижняя оценка энергии двухфазно го композита материала T F = max inf inf F + (0, t), t dV =m+ ± E0 (29) V f 0 (x) + {(x) : C(x) : (x) (, t)} dV, где F = V которая улучшает выпуклую оценку за счет выбора максимума по парамет рам транслятора.
В результате нахождения минимума энергии материала по деформа циям получаются следующие выражения для оптимальных средних по фазах деформаций m = (m+ C + m C+ T)1 : (C T) : 0. (30) ± Уточненная нижняя оценка принимает вид 1 TF = max f + m+ + 0 : T(t) : 2 ti [0;
2µ ] + 0 : (C+ T) : (m C+ + m+ C T)1 : (C T) : 0. (31) Вместо поиска максимума в (31) в диссертационной работе предпола гается, что оценка (31) действительно достижима на классе слоистых мик роструктур, вводимых в параграфе 3.4. Такая достижимость означает, что в микроструктурах действительно реализуются поля со средними деформаци ями, равными m. Реализуемость означает выполнимость условий совместно ± сти деформаций. Из условий совместности средних по фазам деформаций в параграфе 3.5 однозначно находятся параметры транслятора. Наконец, для доказательства достижимости необходимо оценить QF m сверху на классе слоистых микроструктур оценкой LF. При совпадении нижней оценки энер гии T F при полученных параметрах транслятора и верхней оценки LF име ет место выполнение равенств T F = QF m = LF, что означает построение нижней оценки энергии, достижимой на классе слоистых микроструктур.
В параграфе 3.4 вводятся в рассмотрение слоистые микрострук б) а) туры первого, второго и третьего рангов, представимые в виде иерар хических структур “слоев из слоев” (рис. 6), получаемых в результате в) многошагового процесса построения.
Простые слои, или слои первого ран га, определяются только направлени ем нормали n1 к межфазной границе.
Слои второго и третьего рангов опре Рис. 6: Слои различных рангов: а) – первого, деляются направлением двух и трех б) – второго, в) – третьего. нормалей соответственно и набором из двух и трех структурных параметров i, зависящих от объемных долей d слоев на каждом шаге построения микроструктур, причем i = 1, d – ранг i= микроструктуры.
В силу непрерывности перемещений скачок деформаций на межфаз ной границе имеет структуру симметризованной диады: [[]] = (na)s. Тогда в случае слоев первого ранга, поля деформаций в которых кусочно-постоянные, средние поля деформаций должны удовлетворять условию совместности () = ()ss = () s = 0, (32) где и s – взаимоортогональные касательные векторы к межфазной границе, = +.
В случае слоев второго ранга условия совместности принимают вид ()kk = 0, (33) где k = n1 n2, n1 и n2 – нормали, задающие слои второго ранга.
В параграфе 3.5 определяются параметры транслятора, при кото рых выполняются условия совместности (32) и (33). Их выполнение дости гается двумя способами. Первый способ – выбор параметров транслятора.
Тогда векторы n и k, при которых выполняются соответственно условия (32) и (33), направлены вдоль главного направления тензора 0. Второй способ – выбор направлений векторов n и k при условии, что часть или все параметры транслятора находятся на границе области допустимых значений.
Пространство деформаций разбивается на области, в которых выпол няется одно из этих условий совместности или не выполняется ни одно из них.
Затем получается соответствующая этим областям нижняя оценка энергии.
В параграфе 3.6 получено выражение для нахождения энергии слоев различного ранга LF = f 0 + 0 : C0 : 0, (34) d i K (ni )}1 – тензор эффективных модулей где C0 = C +m2 {[[C]] +m i= упругости слоя ранга d, ni – нормали к слоям на каждом шаге построения, тензор K (ni ) вычисляется по формуле (6).
Оценка LF энергии слоев строится в результате нахождения миниму мов LF = min min min LF. (35) ni i d В областях пространства деформаций, где выполняется одно из усло вий совместности (32) или (33), нижняя оценка предписывает ранг слоев, на которых она может быть достигнута. В областях, где не выполняется ни одно из условий совместности, нижняя оценка не может быть достигнута на слоях ни первого, ни второго рангов. В этом случае показывается достижимость нижней оценки на классе слоев третьего ранга.
В случае выполнения условия совместности (32) оптимальные слои первого ранга однозначно определяются нормалью n1, задаваемой направле ниями непрерывности тензора. В остальных случаях оптимальные струк туры определяются неединственным образом. Для доказательства достижи мости нижней оценки необходимо предъявить хотя бы один тип структур, на Рис. 7: Представление пространства деформаций на плоскости 1 2 и схематическое изображение типов двухфазных структур, для которых достигается нижняя оценка: 1, 5, 5, 6, 6 – простые слоистые структуры;
2, 2, 4, 4, 7 – слои второго ранга;
3 – слои третьего ранга. Направления нормалей приведены в тексте.
которых оценка достигается. Поэтому в работе при рассмотрении слоев тре тьего ранга и слоев второго ранга, для которых вектор k сонаправлен с одним из главных направлений тензора 0, принимается, что нормали сонаправлены с главными направлениями тензора средних деформаций.
В параграфе 3.7 рассматриваются наклонные слои второго ранга, то есть слои второго ранга с вектором k, не совпадающем ни с одним из главных направлений тензора средних деформаций. В этом случае структурные пара метры принимаются равными 1 = 2 =, а проекции нормалей на главные направления связаны соотношениями n1 = n2, n1 = n2, n1 = n2, где верх 1 1 2 2 3 ний индекс обозначает шаг построения слоя второго ранга. С использованием формул (6) для скачка деформаций на межфазной границе выводятся выра жения для средних деформаций в фазе “”. Равенство этих деформаций и оптимальных деформаций в фазе “” (30) является условием для нахожде ния направления нормалей.
В параграфе 3.8 приводится анализ результата построения точных нижних оценок.
Пространство средних деформаций представляется на плоскости 1 1 2, где 1 =, 2 =, 1, 2, 3 – главные значения тензора внеш 3 них деформаций, причем |3 | max{|1 |, |2 |} (рис. 7). Тогда все возможные деформационные состояния лежат в области 1, 2 [1;
1].
В области 1 нижняя оценка энергии достигается на классе слоев тре тьего ранга, нормали которых сонаправлены с главными векторами тензора внешних деформаций. В областях 2 и 2 – на классе слоев второго ранга с нормалями, сонаправленными с главными векторами, соответствующими наибольшим по величине главным значениям тензора 0. В области 3 – на классе простых слоев с нормалью, сонаправленной с главным направлением тензора 0, соответствующим максимальному по величине главному значе нию. В областях 4, 4, 7 – на классе слоев второго ранга с нормалями, не ле жащими в главных плоскостях тензора 0. В областях 5, 5, 6, 6 – на классе простых слоев с нормалями, лежащими в плоскости максимального и мини мального главных значений тензора 0.
Таким образом, на примере композитных материалов, состоящих из двух изотропных фаз с нулевыми коэффициентами Пауссона, разработана процедура построения нижних оценок свободной энергии при произвольных заданных средних деформациях и объемных долях изотропных фаз. Дости жимость показывается на классе слоистых микроструктур первого, второго и третьего рангов.
В четвертой главе описывается построение предельных поверхно стей превращения в случае произвольных изотропных фаз и приводится анализ типов двухфазных микроструктур, соответствующих предельным по верхностям.
В параграфе 4.1 в результате обобщения построений главы 3 нижняя оценка энергии строится для случая произвольных упругих изотропных фаз с учетом деформаций p фаз в ненагруженном состоянии.
± В параграфе 4.2 на основе достижимой нижней оценки энергии двухфазных структур в пространстве внешних деформаций строится пре дельная поверхность превращения, соответствующая всем средним деформа циям, при которых двухфазные структуры впервые минимизируют энергию материала по отношению к однофазным материалам.
На рис. 8 приведен пример сечения предельных поверхностей прямо го и обратного фазовых превращений, соответствующего осесимметричному деформированию материала.
Кривая 1 соответствует предельной поверхности прямого пре вращения. Сегменты EF G и E F G соответствуют появлению сло ев новой фазы с нормалью, сонаправленной с главным вектором тензора 0, соответствующим его максимальному по величине глав ному значению. сегменты E G и GE соответствуют слоям перво го ранга с нормалью, лежащей в главной плоскости тензора 0, соответствующей его максимальному и минимальным главным значениям.
При выбранных параметрах матери ала предельная поверхность прямо го превращения, построенная с ис пользованием нижних оценок энер гии, полностью совпадает с огиба ющей областей возникновения обла стей новой (такими областями явля ются слои новой фазы).
Кривая 2 соответствует пре дельной поверхности обратного пре вращения. Отрезки BC и B C со ответствуют слоям третьего ранга и совпадают с отрезками, соответ ствующими возникновению эллипсо идальных включений новой фазы.
Сегменты CD и C D соответству ют слоям второго ранга с нормаля Рис. 8: Сечение предельной поверхности пре- ми, сонаправленными с главными на вращения, соответствующее осесимметрич- правлениями тензора 0 и совпадают ному деформированию. Параметры матери- с соответствующими сегментами на ала k1 0, µ1 0, 0, p = 0. поверхностях возникновения цилин ± дрических областей новой фазы. Сег менты AB и A B соответствуют слоям первого ранга с нормалью, сонаправ ленной с главным вектором тензора 0, соответствующего максимальному по величине главному значению. Сегменты D A и DA соответствуют наклон ным слоям второго ранга с нормалями, не лежащими в главных плоскостях тензора 0. Именно эти сегменты овыпукляют построенную в первой гла ве огибающую поверхностей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы. В диссертации приводятся также предельные поверхности фазо вого превращения, построенные при разных наборах параметров материала.
В заключении приведены основные результаты и выводы по диссертационной работе.
1. Для двухфазных композитных материалов при произвольных заданных средних деформациях и объемных долях изотропных фаз найдены ниж ние оценки свободной энергии. Показано, что эти оценки достигаются на микроструктурах, являющихся слоями первого, второго и третьего рангов. Определены параметры микроструктур.
2. В пространстве деформаций построены предельные поверхности прямо го и обратного фазовых превращений, впервые позволившие предсказать при каких деформациях в упругом материале может начаться фазовое превращение и какие микроструктуры соответствуют началу фазового превращения при различных деформированных состояниях. Показано, что в зависимости от знакоопределенности разности тензоров модулей упругости фаз предельная поверхность может быть замкнутой или разо мкнутой. Показано, что микроструктуры, возникающие при прямом и обратном превращениях могут отличаться друг от друга.
3. Проведено полное исследование задачи о термодинамически равновес ной цилиндрической области новой фазы в изотропном упругом мате риале, претерпевающем фазовое превращение. Определены зависимости направления оси и формы основания равновесного цилиндра от дефор мированного состояния. Исследована устойчивость равновесных цилин дрических областей и в пространстве деформаций построены поверхно сти их возникновения. Показано, что устойчивые цилиндрические обла сти возникают при тех же деформациях, что и слои второго ранга, то есть являются энергетически эквивалентными слоям второго ранга.
4. Показано, что огибающая поверхностей возникновения равновесных сло ев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы только частично совпадает с предельной поверхностью фазового превращения. В области несовпа дения деформациям на предельной поверхности превращения соответ ствуют микроструктуры, представляющие собой наклонные слои второ го ранга.
Публикации автора по теме диссертации Результаты диссертационной работы опубликованы в следую щих изданиях, рекомендованных ВАК России 1. М.А.Антимонов, А.В.Черкаев, А.Б.Фрейдин. Оптимальные микрострук туры и точная нижняя граница энергии упругих композитов из двух изотропных фаз // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико математические науки. 2010. №3. C. 112–122.
2. М.А.Антимонов, А.Б.Фрейдин. Равновесное цилиндрическое включение анизотропной фазы в изотропном упругом теле // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2010. №4.
C. 37–44.
3. М.А.Антимонов. О построении предельной поверхности фазовых пре вращений при деформировании упругих тел // Вестник Нижегородско го государственного университета им. Н.И.Лобачевского. 2011. №4.
Ч. 5.
Другие статьи 4. M. Antimonov, A. Freidin. Equilibrium cylindrical new phase inclusion // Proc. of the XXXVII Summer School APM-2009 (Advanced Problems in Mechanics). 2009. IPME RAS, St. Petersburg. P. 57–64.
5. M.A. Antimonov, A.V. Cherkaev, A.B. Freidin. On transformation surfaces construction for phase transitions in deformable solids // Proc. of the XXXVIII Summer School APM-2010 (Advanced Problems in Mechanics).
2010. IPME RAS, St. Petersburg. P. 23–29.
6. М.А.Антимонов, А.В.Черкаев. Двухфазные трехмерные композиты ми нимальной жесткости // Сборник трудов международной школы кон ференции молодых ученых “Механика 2009”. Армения. Ереван. 2009.
С.145–151.