Электродинамическая стабилизация искусственного спутника земли

На правах рукописи

Антипов Кирилл Андреевич ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ Специальность 01.02.01 – Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2013

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики ма тематико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Тихонов Алексей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мельников Геннадий Иванович (Санкт-Петербургский национальный иссле довательский университет информационных технологий, механики и оптики, профессор) кандидат физико-математических наук, доцент Диевский Виктор Алексеевич (Военный институт (инженерно-технический) Военной академии материально-технического обеспечения, доцент)

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

Защита состоится «_» 2013 г. в часов на заседании диссерта ционного совета Д 212.232.30 при Санкт-Петербургском государственном уни верситете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Универси тетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан « » _ 2013 года.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба направлять по адре су: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.30.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232. доктор физико-математических наук, Кустова Е.В.

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие космодинамики обуславливает неослабе вающий интерес к задаче управления вращательным движением искусственно го спутника Земли (ИСЗ) относительно его центра масс. В зависимости от при роды управляющих моментов, воздействующих на угловое движение ИСЗ, способов их реализации, а также от того, какие требуются при этом устройства, различают активные, пассивные и комбинированные системы управления уг ловым движением ИСЗ. Активные системы управления обеспечивают высокую точность ориентации ИСЗ при высоком быстродействии. В этом заключается их основное достоинство. Известными недостатками активных систем являют ся: ограниченное время работы, сложность, высокая цена и относительно низ кая надежность, обусловленная наличием большого количества сложных эле ментов. Пассивные системы управления, использующие взаимодействие с гео физическими полями, не потребляют рабочее тело и энергию, запасенные на борту ИСЗ, и в этом плане выгодно отличаются от активных систем. При раз работке пассивных систем управления приходится решать две основные про блемы: как создать восстанавливающий и демпфирующий моменты. В настоя щее время известны различные способы решения этих проблем. Однако все они обладают общими ограничениями, связанными с относительно малыми ве личинами восстанавливающих и демпфирующих моментов и невозможностью изменить какие-либо параметры системы управления в процессе полета ИСЗ.

Комбинированные системы управления (называемые также полупассивными или полуактивными) включают в себя как активные, так и пассивные элементы.

При этом используют такие элементы, которые не требуют большого расхода энергии и сложной системы управления, включающей датчики ориентации. В остальном принципы функционирования пассивных и комбинированных си стем управления совпадают. В настоящее время существует определенный класс ИСЗ, для которых достоинства пассивных систем управления являются определяющими, а недостатки – несущественными. В этом случае используют ся пассивные или комбинированные системы управления. Наиболее распро страненными типами пассивных систем управления являются гравитационные и магнитные системы, использующие соответственно гравитационное и маг нитное поля Земли для создания управляющих моментов. Магнитные системы управления (МСУ), наиболее близкие по своей сути к методу, разработанному в данной диссертации, основаны на формировании управляющего момента пу тем использования сил взаимодействия магнитного поля Земли (МПЗ) с соб ственным магнитным полем ИСЗ. В отличие от гравитационных и других пас сивных систем управления МСУ способны легко изменять управляющие мо менты и реализовывать необходимые законы управления, что позволяет обес печить точную ориентацию ИСЗ. Масса и энергопотребление МСУ незначи тельны. МСУ просты в конструктивном отношении и имеют высокую надеж ность. Вследствие этого они особенно полезны на долгофункционирующих ИСЗ. К недостаткам МСУ относятся малые эффективность и помехоустойчи вость. Кроме упомянутых недостатков, МСУ обладает специфической особен ностью, заключающейся в том, что хотя магнитное управление возможно на орбитах с любым наклонением, МСУ используются преимущественно на орби тах с большим наклонением.

Из вышеизложенного видно, что в настоящее время проблема угловой ориентации ИСЗ является важной и актуальной проблемой космодинамики, а известные подходы к ее решению нуждаются в совершенствовании.

Объект исследования. Объектом исследования в настоящей работе яв ляется ИСЗ, снабженный управляемым собственным магнитным моментом и электростатическим зарядом с управляемым вектором центра заряда. Работа посвящена дальнейшему развитию пассивных и комбинированных систем управления ИСЗ, основанных на использовании электродинамического взаи модействия заряженного ИСЗ с геомагнитным полем.

Целью работы является разработка метода стабилизации ИСЗ с помо щью одновременного использования момента магнитного взаимодействия и момента сил Лоренца.

Задачи исследования. Для достижения указанной цели поставлены и решены следующие основные задачи:

выявление недостатков известных систем управления ориентацией ИСЗ. По строение концепции электродинамической системы управления ИСЗ, ли шенной этих недостатков;

разработка методики выбора модели МПЗ для корректного учета магнитной индукции Земли в задачах динамики ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ;

построение математической модели вращательного движения ИСЗ с элек тродинамической системой управления (ЭДСУ) ориентацией ИСЗ;

вывод закона управления ориентацией ИСЗ с ЭДСУ и его математическое обоснование;

разработка методики создания демпфирующих моментов в рамках ЭДСУ;

разработка методики электродинамической компенсации постоянно дей ствующего возмущающего момента;

оптимизация ЭДСУ для экономии энергетических ресурсов на борту ИСЗ.

Методы исследования. Используются классические методы теоретиче ской механики, теории нелинейных колебаний и устойчивости движения, а также тензорный анализ и элементы дифференциальной геометрии. Кроме то го, для аналитических преобразований используются алгоритмы методов ком пьютерной алгебры, а для численного интегрирования нелинейных дифферен циальных уравнений применяются алгоритмы компьютерного моделирования.

Научная новизна. Данная диссертационная работа направлена на повы шение эффективности управления процессами ориентации и стабилизации ИСЗ путем разработки нового – электродинамического метода управления враща тельным движением ИСЗ. Метод основан на управляемом взаимодействии ИСЗ с геомагнитным полем посредством лоренцевых сил и сил магнитного взаимо действия. При этом исследование динамики вращательного движения ИСЗ впервые проводится с использованием уточненной математической модели геомагнитного поля, а именно октупольной аппроксимации МПЗ.

Достоверность результатов. Достоверность и обоснованность научных положений, выводов, рекомендаций и заключений, полученных в диссертации, подтверждается корректным использованием перечисленных выше методов исследования. Достоверность полученных результатов подтверждается также результатами компьютерных экспериментов, апробацией основных результатов на конференциях, в опубликованных работах и патенте на изобретение.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использо ваны при решении задач, связанных с проблемой ориентации ИСЗ в простран стве, в практике разработки и конструирования систем активной радиационной защиты, при моделировании потенциальных силовых полей планет. Некоторые из полученных результатов защищены патентом РФ.

Апробация. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государствен ного университета, а также на конференциях (тезисы опубликованы):

• Международная научная конференция по механике “Четвертые По ляховские чтения”, 7 – 10 февраля 2006 г., Санкт-Петербург.

• IX Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колеба ния нелин. систем управления”, ИПУ РАН, 31 мая – 2 июня 2006 г., Москва.

• Международная конференция “Пятые Окуневские чтения” 26 – июня 2006 г., Балт. гос. техн. ун-т., Санкт-Петербург.

• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, ННГУ им. Н.И. Лобачевского 22 – 28 августа 2006 г., Нижний Новгород.

• Международный конгресс “Нелинейный динамический анализ – 2007”, СПбГУ, 2007 г., Санкт-Петербург.

• X Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колеба ния нелинейных систем управления”, ИПУ РАН, 3 – 6 июня 2008 г., Москва.

• XI Междунар. семинар им. Е.С. Пятницкого “Устойчивость и колеба ния нелинейных систем управления”, ИПУ РАН, 1 – 4 июня 2010 г., Москва.

• Conference “Advanced problems in Mechanics” APM'2010, 1–5 July, 2010, Repino, Saint-Petersburg, Russia.

• Международная конференция “Седьмые Окуневские чтения” 20 – июня 2011 г., Балт. гос. техн. ун-т., Санкт-Петербург.

• The 3-rd International Congress of Serbian Society of Mechanics, 5 – July 2011, Vlasina Lake, Serbia.

• X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теор. и прикл. мех., ННГУ им. Н.И. Лобачевского 24 – 30 августа 2011 г., Н. Новгород.

• The 2-nd International conf. “Contemporary problems of mathematics, mechanics and informatics” (CPMMI 2012), 17 – 19 June, 2012, Novi Pazar, Serbia.

Основные положения, выносимые на защиту.

Аналитически и алгоритмически обоснована возможность мультиполь ного представления геомагнитного потенциала, а также магнитной индукции и ее градиента, с произвольной степенью точности. Составлена программа, поз воляющая аналитически строить вектор B магнитной индукции МПЗ в любом конечном приближении. Произведено разбиение околоземного пространства на области, в которых корректен учет конечного числа мультипольных составля ющих вектора B в зависимости от выбранных критериев точности. Это позво ляет установить то необходимое и достаточное количество слагаемых в муль типольном разложении вектора B, которое обеспечивает заданную точность нахождения вектора B в любой точке орбиты ИСЗ с заданными параметрами радиуса и наклонения.

Построена электродинамическая система управления ориентацией ИСЗ на базе совместного использования лоренцева и магнитного моментов ( M Л и M М ) с управляемыми электродинамическими параметрами – статичес ким моментом заряда первого порядка P и собственным магнитным моментом I. Выведены законы изменения управляемых векторов P и I, обеспечиваю щие реализацию не только восстанавливающих, но и дополнительных управ ляющих моментов, эквивалентных введению диссипации в систему управле ния. Доказано, что такая ЭДСУ позволяет обеспечить механизм демпфирова ния собственных колебаний ИСЗ не выходя за рамки тех функциональных воз можностей, которые содержатся в самой ЭДСУ.

Решены задачи стабилизации ИСЗ в орбитальной системе координат как для произвольного, так и для осесимметричного эллипсоида инерции. Доказана устойчивость стабилизируемых положений равновесия ИСЗ при постоянно действующих возмущениях. Численный анализ подтверждает работоспособ ность разработанной ЭДСУ.

Разработана и доказана возможность оптимизации законов управления электродинамическими параметрами ИСЗ с целью уменьшения энергетических затрат на борту ИСЗ на создание управляющих моментов M Л и M М.

Разработана методика электродинамической компенсации постоянно действующего возмущающего момента. Показано применение этой методики для стабилизации ИСЗ на регрессирующей вследствие сжатия Земли орбите.

Для численного анализа и трехмерного моделирования управляемого движения ИСЗ создан комплекс программ, который позволяет: получать анали тические выражения для мультипольных тензоров МПЗ;

проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений;

моделировать трехмерную ви зуализацию движения;

численно оценивать величины управляющих и возму щающих моментов;

проводить построение областей устойчивости;

проводить вычисления на базе произвольной аппроксимации МПЗ.

Структура диссертации. Диссертация, состоящая из введения, шести глав, заключения, библиографического списка и пяти приложений, содержит 219 страниц основного текста. Приложения имеют объем 30 страниц. Диссер тация содержит 77 рисунков, 1 таблицу. Библиографический список использо ванных источников содержит 115 наименований.

Публикации. Результаты исследований отражены в работах [1]–[11], из них 6 работ опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, и 1 патент РФ на изобретение. В работе [1] соавторам принадлежат постановка задачи и вы бор закона управления. Работа [2] написана автором единолично. В работе [3] соавтору принадлежат постановка задачи и выбор закона управления. В работе [4] соавтору принадлежит раздел: “Цели и задачи комплекса”. В работе [5] со авторам принадлежат постановка задачи, идея оптимизации демпфирующих моментов, выбор параметров, характеризующих экономию энергозатрат. В ра ботах [6] и [9] соавтору принадлежат постановка задачи, подход к написанию алгоритма для вывода элементов мультипольных тензоров произвольного ран га. В работе [7] соавторам принадлежат постановка задачи и выбор структуры восстанавливающего момента. В работе [8] соавтору принадлежит идея реали зации управляющего момента с помощью двойного электростатического слоя.

В работе [10] соавтору принадлежат разделы 1 и 2. В работе [11] соавтору при надлежат постановка задачи, разделы 3 и 4.

Поддержка. Исследования автора были поддержаны грантом РФФИ №05 01-01073-а.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определяется место и практическое значение рассматривае мых в работе задач, обосновывается актуальность исследуемой проблемы, да ется краткий анализ литературы по теме диссертации, формулируются цели диссертации, отмечаются основные моменты, определяющие новизну поста новки задач, приводится краткое изложение содержания работы, а также пере числяются основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена проблеме математического моделирования МПЗ. Для построения математических моделей вращательного относительно центра масс движения ИСЗ, находящихся под воздействием разнообразных мо ментов сил, вызванных взаимодействием с МПЗ, например, магнитных, лорен цевых и др., прежде всего, требуется знать индукцию МПЗ (а иногда и гради ент индукции) в функции радиус-вектора точки околоземного пространства.

Ввиду сложного строения МПЗ и отсутствия указанной функциональной зави симости в аналитическом виде возникает проблема математического моделиро вания МПЗ как неизбежного этапа при построении наиболее подходящей мате матической модели динамики ИСЗ, на базе которой далее будет производиться аналитическое и/или численное исследование той или иной задачи.

Анализ литературы свидетельствует о том, что использование простей ших моделей МПЗ не всегда приводит к качественно верным результатам. По казано, что построение математических моделей вращательного движения ИСЗ, корректно учитывающих все слагаемые одного порядка в выражении магнитной индукции МПЗ, приводит к необходимости учета квадрупольной и, возможно, мультипольных составляющих более высоких порядков (в зависи мости от постановки задачи). Кроме того, актуальность учета мультипольных составляющих МПЗ обостряется еще и потому, что МПЗ претерпевает измене ния, в результате которых по имеющимся данным за последние 100 лет ди польная составляющая МПЗ убывает, а квадрупольная возрастает.

Еще одной причиной исследований, выполненых в первой главе, являет ся необходимость адаптации потенциала МПЗ n n R U = U = Зn1 P (cos * )( g n cos m* hn sin m* ) * * m m m n n n =1 r n =1 m= B = gradU * к использованию декарто и вектора магнитной индукции МПЗ вых координат вместо традиционно применяемых в геофизике сферических координат ( r, *, * ) точки околоземного пространства. Здесь RЗ – средний ра диус Земли, Pnm (x) – квазинормированные по Шмидту присоединенные функ m m ции Лежандра, гауссовы коэффициенты g n и hn определяются экспери ментально-статистическими методами и утверждаются Международной Ассо циацией Геомагнетизма и Аэрономии на несколько лет вперед.

Для достижения поставленных целей развит математический аппарат, позволивший аналитически построить потенциал и вектор магнитной индук ции МПЗ в произвольном приближении и удобном для использования совмест но с декартовыми координатами виде RЗ 2 ( n ) n U = U = 2 n 1 M ( n r ).

* * n n =1 r n n = При этом каждой из мультипольных составляющих геомагнитного по тенциала поставлен в соответствие однозначно определяемый тензор M ( n ) со ответствующего ранга n, названный мультипольным тензором и зависящий только от гауссовых коэффициентов, как объективная характеристика данной составляющей. Символ обозначает внешнее (тензорное) произведение двух тензоров, а операция, обозначенная символом n r, формирует тензор ранга n и определяется по индукции следующим образом: 1 r = r, n1 r = n r r.

Операция, обозначаемая символом и называемая n -кратным скаляр n ным произведением, – одна из возможных n -кратных сверток тензорного про изведения тензоров A и B ранга не менее n, определяемая в виде AB = Ai,i,,i,i,,i,i Bi,i,,i,i,,i,i.

m m 1 n n 1 n 1 n p 1 p 21 n i1 i2 in Индексы суммирования i1, i2,, in1, in принимают значения от 1 до размер ности тензоров. Доказано, что все мультипольные тензоры M ( n ) обладают свойствами: 1) симметричности по любой паре индексов, 2) равенства нулю любой свертки по паре индексов.

Разработан алгоритм, который позволяет единственным образом нахо дить компоненты мультипольных тензоров через гауссовы коэффициенты.

Компьютерная реализация алгоритма позволила впервые получить неизвестные ранее компоненты мультипольных тензоров высших рангов.

Обоснована ключевая роль мультипольных тензоров в понимании муль типольной структуры геомагнитного потенциала. Полученные результаты име ют общетеоретическое значение, поскольку могут быть использованы для ре шения широкого круга прикладных задач, связанных с учетом взаимодействия ИСЗ с МПЗ (магнитного, кулонова, лоренцева, за счет вихревых токов и пр.).

В задачах динамики ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ, основную роль играет не потенциал МПЗ, а магнитная индукция МПЗ. Доказано, что вектор (n) магнитной индукции МПЗ может быть представлен в виде B = B, где n = B( n ) n cos u n sin u 0 cos u ( n ) R n 2 (n) n B = З n M 0 sin u, B (n) 0 0 B ( n ) r (n 1) cos u (n 1) sin u 0 n – оси орбитальной системы координат, u – аргумент широты, а M (0n ) – мультипольный тензор n-го ранга, преобразованный по формуле i1, j1 i2, j2 in, jn M j1, j2,, jn.

( n) (n) M 0 i,i,,i = 12 n j1, j2,, jn = Здесь 11 = cos, 12 = sin, 13 = 0, 21 = cos i sin, 22 = cos i cos, 23 = sin i, 31 = sin i sin, 32 = sin i cos, 33 = cos i, i – угол наклонения орбиты, – часовой угол восходящего узла орбиты.

С использованием этих формул составлена программа для пакета Maple, позволяющая: 1) построить вектор B в любом конечном приближении, 2) уста новить то необходимое и достаточное количество слагаемых, которое обеспе чивает заданную точность нахождения вектора B в любой точке орбиты с за данными параметрами радиуса R и наклонения i. Решение второй из упомяну тых задач важно не столько для выполне ния численных расчетов, сколько для ана литических исследований динамики ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ, поскольку позволяет обосновать выбор той или иной приближенной модели МПЗ, максимально простой, но вместе с тем обеспечивающей желаемую точность. Пример практическо го использования программы приведен на рис. 1. По горизонтальным осям отложены параметры орбиты – угол наклонения в градусах и отношение радиуса орбиты к Рис. радиусу Земли, по вертикальной оси – от ношения средних по орбитальному движению значений норм мультипольных составляющих магнитной индукции ||B(n)|| (выше дипольной) к первой ||B(1)|| (дипольной) составляющей индукции МПЗ. Горизонтальные сечения получен ных поверхностей позволяют однозначно определить необходимое и достаточ ное количество слагаемых в разложении вектора B, обеспечивающее заданную точность (для точности 10% такое сечение показано на рис. 1).

Во многих исследованиях, связанных с учетом влияния МПЗ на враща тельное движение ИСЗ относительно его центра масс, требуется знать значение вектора B не только в точке орбиты, соответствующей положению центра масс ИСЗ в данный момент времени, но и в произвольной точке ИСЗ с учетом его пространственных размеров, то есть требуется учитывать градиентность МПЗ (неоднородность МПЗ в объеме ИСЗ). Поэтому, завершающий параграф первой главы посвящен разработке тензорного представления мультипольных состав ляющих градиента магнитной индукции МПЗ. Результаты, полученные в пер вой главе, в равной мере применимы не только к МПЗ, но и к произвольным потенциальным полям.

Во второй главе строится математическая модель вращательного дви жения ИСЗ, взаимодействующего с геомагнитным полем благодаря наличию собственного магнитного момента и электростатического заряда.

Инерционные свойства ИСЗ характеризуются тензором инерции J = diag ( A, B, C ) в системе его главных центральных осей инерции Cxyz с ор тами i, j, k. Электростатические свойства ИСЗ характеризуются плотностью распределения заряда по объему V и суммарным зарядом Q = dV, а также V понятиями центра заряда, главных осей заряда и интегральных характеристик распределения заряда. Центр заряда O определяется следующим радиус вектором относительно центра масс ИСЗ:

CO = 0 = x0 i y0 j z0 k = Q 1 dV.

V Здесь – радиус-вектор элемента dV относительно центра масс ИСЗ, инте грирование производится по объему, в котором распределен заряд. В частнос ти, заряд ИСЗ может быть распределен по некоторой его поверхности. Магнит ные свойства ИСЗ характеризуются собственным магнитным моментом I.

Указанные электромагнитные свойства ИСЗ обуславливают возникнове ние момента лоренцевых сил M Л и момента магнитного взаимодействия M M, которые, как показано в работе, могут быть использованы в качестве управля ющих моментов.

Кинематическими характеристиками вращательного движения ИСЗ яв ляются: абсолютная угловая скорость и угловая скорость ИСЗ относительно орбитальной системы координат = pi qj rk. Эти величины связаны соот ношением = 0, которое в проекциях на оси Cxyz имеет вид x = p 0 1, y = q 0 2, z = r 0 3.

В качестве дифференциальных уравнений вращательного движения ИСЗ относительно его центра масс используются динамические уравнения Эйлера d J = M, J dt где момент M включает в себя моменты сил, оказывающих как управляющее, так и возмущающее воздействие на ориентацию ИСЗ. Среди возмущающих моментов, воздействующих на ИСЗ, наиболее значительным является гравита ционный момент сил ньютоновского притяжения M Г = 302 0 (J 0 ), где 0 – орт местной вертикали. Для замыкания системы дифференциальных уравнений вращательного движения ИСЗ используются кинематические уравнения, запи сываемые в «самолетных» углах или в параметрах Родрига-Гамильтона.

В третьей главе анализируются свойства главного момента сил Лоренца, аппроксимируемого выражением M Л = P T. Здесь P = Q0, T = A (vC B), vC – скорость центра масс ИСЗ относительно МПЗ, B – индукция МПЗ в центре масс ИСЗ, A – матрица направляющих косинусов осей системы координат Cxyz относительно осей системы координат C, задается таким образом, что 0 = 1i 2 j 3k, 0 = 1i 2 j 3k, 0 = 1i 2 j 3k.

Проведенная оценка M Л для реальных значений параметров ИСЗ и его орбиты свидетельствует о том, что M Л может значительно превышать гравита ционный и другие возмущающие моменты по величине.

Объясняется механизм возникновения восстанавливающих свойств этого момента. Рассматриваются особенности и способы технической реализации управляемого лоренцева момента. Предполагая, что желаемая ориентация ИСЗ в орбитальной системе координат задана некоторым значением матрицы A = A0 const, подставим A 0 в выражение M Л и найдем такие значения вектора P, при которых M Л обращается в ноль при желаемой ориентации ИСЗ. Тогда P = QkЛ (t )A (vC B), где k Л (t ) – произвольная скалярная функция времени. Сле довательно, если P будет изменяться по указанному закону, то момент M Л бу дет являться восстанавливающим в окрестности заданного положения и может быть использован для поддержания заданной ориентации ИСЗ. Следует отме тить, что найденное программное управление вектором P опирается на ис пользование заранее известных законов изменения векторов vC и B в зависи мости от времени и, поэтому, не требует измерения каких-либо физических па раметров на борту ИСЗ в процессе стабилизации.

Далее рассматриваются две задачи о стабилизации ИСЗ с помощью мо мента M Л в орбитальной системе координат. Первая – о стабилизации ИСЗ с произвольным эллипсоидом инерции в прямом положении равновесия A=diag(1,1,1). Вторая – о трехосной стабилизации динамически симметричного ИСЗ в непрямом положении равновесия. Известно, что она представляет боль шой практический интерес, однако не решается с помощью метода, основанно го на использовании гравитационного момента. При аналитическом решении обеих задач впервые применяется октупольное приближение для вектора B.

Аналитически доказано, что найденный закон управления положением центра заряда позволяет при наличии демпфирования в системе ИСЗ обеспе чить: асимптотическую устойчивость стабилизируемого прямого положения равновесия для ИСЗ, находящихся на орбитах малых наклонений;

устойчи вость при постоянно действующих возмущениях для ИСЗ, находящихся на ор битах среднего и большого наклонений. Численный анализ подтверждает рабо тоспособность предложенного метода управления.

Обнаружено, что использование более простых моделей МПЗ (диполь ной или квадрупольной) может приводить к качественно неверным результа там. Для иллюстрации этого факта построены графики зависимостей «самолет ных» углов ориентации ИСЗ от аргумента широты u с использованием квадру польной (рис. 2) и октупольной (рис. 3) аппроксимаций МПЗ при одинаковых начальных условиях, значениях параметров ИСЗ и его орбиты.

Рис. 2 Рис. В четвертой главе анализируются преимущества, недостатки и особен ности систем управления ориентацией ИСЗ, основанных на использовании од ного из моментов M Л или M M. Из особенностей отметим следующие: 1) M Л T и, поэтому, невозможно создать управляющий момент M Л, направленный вдоль вектора T, аналогично M M B и, поэтому, невозможно создать управля ющий момент M M, направленный вдоль вектора B (рис. 4);

2) | M Л | пропорци онален | T |. Поэтому использование M Л наиболее эффективно для стабилиза ции ИСЗ, находящихся на орбитах с малыми наклонениями, т.к. для этих орбит средние за пе риод обращения значения | T | больше, чем для орбит с большими наклонениями. Использова ние M M наоборот наиболее эффективно для ста Рис. 4 билизации ИСЗ, находящихся на орбитах близ ких к полярным. Сравнив отмеченные выше особенности и вытекающие из них недостатки магнитных систем управления и систем, использующих момент M Л, легко заметить, что эти недостатки взаимно компенсируются при создании единой электродинамической системы управления ориентацией ИСЗ, исполь зующей одновременно оба управляющих момента: M Л и M M.

Момент M M = I A B, обращается в ноль и, таким образом, является вос станавливающим в окрестности желаемой ориентации A = A0 const при I = kM (t )A B, где kM (t ) – произвольная скалярная функция времени.

Далее дается развитие и решение двух задач, сформулированных в треть ей главе, путем совместного использования управляющего воздействия момен тов M Л и M M. В том же объеме, как и в третьей главе, проведено исследование и доказана возможность стабилизации ИСЗ при наличии демпфирования. При ведены результаты численного интегрирования дифференциальных уравнений движения ИСЗ. При совместном использовании моментов M Л и M M обнаруже но расширение области инерционных и электромагнитных параметров ИСЗ, позволяющих осуществить стабилизацию ИСЗ, а также выявлено уменьшение времени стабилизации ИСЗ.

В пятой главе завершено построение электродинамической системы управления. Доказано, что развиваемая в диссертации концепция построения ЭДСУ на базе совместного использования M Л и M M с управляемыми электро динамическими параметрами – статическим моментом заряда первого порядка P и собственным магнитным моментом I – позволяет обеспечить механизм демпфирования собственных колебаний ИСЗ не выходя за рамки тех функцио нальных возможностей, которые содержатся в самой ЭДСУ. Для этого выведе ны законы изменения управляемых векторов P и I :

P = Q(kЛT0 hЛ T ), где T0 = A (vC B), I = k M B0 hM A B, где B0 = A B, (1) 0 обеспечивающие реализацию не только восстанавливающих, но и дополни тельных управляющих моментов, эквивалентных введению диссипации в си стему управления. В результате управляющие моменты M Л и M M примут вид M Л = Q(k ЛT0 T hЛ ( T ) T ), M M = kM B0 A B hM ( A B) A B, где hЛ hЛ (t ) и hM hM (t ) – произвольные скалярные функции времени.

Далее решены задачи стабилизации ИСЗ с произвольным эллипсоидом инерции в прямом положении равновесия в орбитальной системе координат и стабилизации динамически симметричного ИСЗ в непрямом положении равно весия в орбитальной системе координат. Доказана устойчивость стабилизируе мых положений ИСЗ при постоянно действующих возмущениях. Для каждой задачи проведен численный анализ дифференциальных уравнений управ ляемого движения ИСЗ, который подтверждает работоспособность разрабо танной ЭДСУ, позволяющей отказаться от отдельной системы демпфирования и, следовательно, избежать известных технических трудностей при реализации такой системы на борту ИСЗ. Так, например, на рис. 5 построены графики за висимостей «самолетных» углов ориентации ИСЗ от аргумента широты при наличии управляющих моментов M Л и M M, а на рис. 6 – при их отсутствии.

Рис. 5 Рис. Расчеты выполнены при следующих значениях параметров ИСЗ и его ор биты: R = 7 106 м, i = /3 рад, A = 103 кг м 2, Q = 5 103 Кл, = 0.7, = 0.7, kЛ = 10 c/Тл, kM = 2 106 Н м/Тл 2, hЛ = 8 102 с2 /Тл, hM = 109 H м с/Тл 2. При таком выборе параметра гравитационный момент M Г является возмущающим с точки зрения стаби лизации ИСЗ в прямом положении равновесия. В качестве начальных значений выбраны (0) = 0.2, (0) = 0.2, (0) = 0.2, x (0) = 0.1, y (0) = 1.1, z (0) = 0.1, = 0 1 – безразмерная угловая скорость.

Шестая глава посвящена анализу некоторых дополнительных факто ров, которые могут быть учтены в работе ЭДСУ.

Сформулированная в пятой главе концепция построения ЭДСУ приводит к выбору управляемых векторов P и I в виде (1). Анализируя структуру этих выражений, можно заметить, что законы управления векторами P и I могут быть оптимизированы. Действительно, составляющая T0| | вектора T0, направ ленная вдоль вектора T, не вносит никакого вклада в управляющий момент M Л. Поэтому, имея магнитометры на борту ИСЗ и располагая данными о ско рости движения центра масс ИСЗ, можно вычислять вектор T и реализовывать более экономичный закон управления восстанавливающей составляющей век T | | тора P, строя ее в виде k ЛT0 = k Л (T0 T0 ) = k Л T0 (T0 T ) 2. В случае нецелесо |T | образности использования магнитометров достаточно иметь на борту измери тельное устройство для определения ориентации ИСЗ относительно базовой системы координат, что также позволит вычислять вектор T в системе коорди нат, жестко связанной с ИСЗ. Аналогичным образом можно улучшить и закон управления восстанавливающей составляющей вектора I.

Диссипативные составляющие моментов M Л и M M могут быть оптими зированы за счет более рационального выбора зависимости P и I от угловой скорости. Поскольку составляющая угловой скорости, направленная вдоль векторов T и A B в формуле (1), не участвует в создании диссипативных составляющих моментов M Л и M M, то целесообразно заменить на, где – составляющая, ортогональная к вектору T. В результате получено dT dT dB dB (T0 T )T ( B0 B) B, I = kM B0 hM.

P = QkЛ T0 QhЛ dt dt dt dt |T | |B| Таким образом, в 1-ом параграфе главы 6 разработана и доказана воз можность оптимизации законов управления с целью уменьшения энергетиче ских затрат на борту ИСЗ на создание управляющих моментов M Л и M M.

Во 2-ом параграфе главы 6 рассматриваются задачи, в которых наличие малого возмущающего момента приводит к исчезновению положений равнове сия ИСЗ в базовой системе координат. Показано, что, не выходя за рамки кон цепции ЭДСУ, можно компенсировать влияние постоянно действующего воз мущающего момента и обеспечить существование и устойчивость программно го положения равновесия ИСЗ в базовой системе координат. Пусть g – вектор постоянно действующего возмущающего момента, который надо скомпенсиро вать. Введем в рассмотрение ортонормированный базис векторов ( b, t, s ) таких, B T BT что b =, t =, s =. Необходимо подобрать вектор статического мо | B T | |B| |T | мента заряда ИСЗ Pg = p1b p2t p3 s и вектор собственного магнитного момента ИСЗ так, чтобы вектор момента I g = i1b i2t i3 s g = g1b g 2t g3 s g (B T ) gB gT где g1 =, g 2 =, g 3 = лежал в плоскости управляющих моментов и | B || T | |B| |T | выполнялось равенство Pg T I g B g = 0. Откуда следует, что векторы Pg и I g можно выбрать в виде Pg = p1b p3 s, I g = i2t i3 s, где p1, p3, i2, i3 удовлетворяют равенству g1 p1i3 g 2 p3i2 g3 p3i3 = 0, причем p3 0 и i3 0.

Таким образом, разработана методика электродинамической компенса ции постоянно действующего возмущающего момента. Далее в главе 6 показа но применение этой методики для решения конкретной задачи стабилизации ИСЗ, находящегося на регрессирующей вследствие сжатия Земли орбите.

В конце каждой главы диссертации сформулированы основные результа ты, полученные в данной главе.

В приложении А приведен текст программы на языке пакета Maple.

Программа позволяет аналитически находить компоненты мультипольных тен зоров. Алгоритм работы программы обсуждается в первой главе, где показано, каким образом можно модифицировать программу для нахождения тензоров произвольного ранга на примере тензоров двух соседних рангов – 5-го и 6-го. В приложении А приведен пример такой модификации для тензора 7-го ранга.

Результаты работы этой программы также приведены в первой главе.

В приложении B приведены найденные в диссертации компоненты мультипольных тензоров с 1-го по 7-ой рангов.

В приложении С содержится программа для пакета Maple, позволяющая построить вектор B магнитной индукции МПЗ в любом конечном приближе нии, а также установить то необходимое и достаточное количество слагаемых в его разложении, которое обеспечивает заданную точность нахождения вектора B в любой точке орбиты с заданными параметрами радиуса R и наклонения i.

Результаты работы программы использованы при постановке всех численных экспериментов, выполненных в диссертации.

В приложении D приведены полученные в диссертации явные аналити ческие выражения проекций вектора магнитной индукции МПЗ на оси орби тальной системы координат в октупольной аппроксимации МПЗ.

В приложении E приведены полученные в диссертации аналитические выражения для средних значений некоторых используемых в работе функций времени.

Список опубликованных статей автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов А.А. Электродинамический метод трехосной стабилизации динамически симметричного космического аппа рата // Вестн. C.- Петербург. ун-та. Сер.1, 2006, Вып. 1 (№ 1) С. 79 – 90.

2. Антипов К.А. О влиянии октупольных составляющих геомагнитного потенциала на процесс электродинамической стабилизации космического аппарата // Вестн. C.- Петербург. ун-та., Сер.1, 2007, Вып.2, С. 90 – 100.

3. Антипов К.А., Тихонов А.А. Параметрическое управление в задаче о стабилизации космического аппарата в магнитном поле Земли // Автома тика и телемеханика,№ 8, 2007, С. 44 – 56.

4. Антипов К.А., Тихонов А.А. Комплекс аналитических и численных программ для решения некоторых задач динамики вращательного движе ния ИСЗ // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.

№ 4 Часть 2. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2011. – 594 с., С. 332-333.

5. Антипов К.А., Саблина М.В., Спасич Д.Т., Тихонов А.А. Оптимизация электродинамического метода стабилизации ИСЗ // Автоматика и телеме ханика, № 9, 2011, С. 112 – 121.

6. Антипов К.А., Тихонов А.А. Мультипольные модели геомагнитного поля: построение N-го приближения // Геомагнетизм и аэрономия, том 53, № 2, 2013, С. 271 – 281.

Статьи в других изданиях:

7. Антипов К.А., Петров К.Г., Тихонов А.А. Выбор концепции построения систем электродинамической стабилизации космических аппаратов / Четвер тые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Изд-во “ВВМ”, 2006. 702 с., С. 232 – 240.

8. Антипов К.А., Тихонов А.А. Патент RU – 2332334 – С1 на изобретение “Способ полупассивной трехосной стабилизации динамически симметричного искусственного спутника Земли” МПК B64G 1/38, 1/32, 1/24 по заявке 2006137979, Приоритет 24.10.06. Опубликовано 27.08.08 Бюл. № 24.

9. Antipov K.A., Tikhonov A.A. Tensor approach for mathematical modeling of ge omagnetic field // Institute for Problems in Mechanical Engineering Russian Acade my of sciences. Proceedings of XXXVIII Summer School - Conference “Advanced problems in Mechanics” APM'2010 Repino, Saint-Petersburg, Russia, 1– 5 July, 2010, p. 724 – 732.

10. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On analytical investigation and computer model ing in the problem of the satellite's attitude stabilization // Scientific publications of the State University of Novi Pazar. Ser. A: Appl. math., inform. and mech., Vol. 4, № 2, 2012, p. 49 – 54.

11. Antipov K.A., Tikhonov A.A. On the spacecraft attitude stabilization in the or bital frame // Theoret. Appl. Mech., Vol.39, № 2, Belgrade 2012, p. 127 – 162.