531/534:57 ченчик анастасия евгеньевна модели коллективного движения на примере взаимодействия потоков автобусов и пассажиров

На правах рукописи

УДК 532, 533, 531/534:57 Ченчик Анастасия Евгеньевна МОДЕЛИ КОЛЛЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОТОКОВ АВТОБУСОВ И ПАССАЖИРОВ 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы 01.02.08 – биомеханика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва – 2006

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико–математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико–математических наук, профессор С.А. Регирер доктор физико–математических наук, профессор Н.Н. Смирнов

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, А.К. Цатурян кандидат физико–математических наук, Л.С. Гноенский

Ведущая организация: Московский автомобильно-дорожный институт (государственный технический университет), г. Москва

Защита состоится «08» декабря 2006 г. в 16 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико– математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «» ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.89 в МГУ доктор физико–математических наук А.Н. Осипцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из интенсивно развивающихся направлений теории коллективного движения живых организмов является исследование транспортных потоков. Его основы были положены в классических работах (Lighthill, Whitham, Richards, Greenberg, Prigogine). В связи с практическими приложениями, в сферу интересов теории попало движение общественного транспорта. Для общих задач о перевозках пассажиров внутри мегаполисов, возникают вопросы организации общественного транспорта – автобусов, поездов метрополитена и т.д. Постановка соответствующих задач характеризуется наличием на заданном маршруте фиксированных остановок, достижение которых регламентируется расписанием, запрещением обгонов и взаимодействием в пути и на остановках с движением коллектива пассажиров. Близкие по идеям задачи возникают в исследованиях вертикального транспорта – лифтов и эскалаторов.

В первых современных основополагающих публикациях на тему автобусного транспорта, появившихся в 1998 г. (O'Loan et al., Chowdhury et al.), был использован микроскопический подход, близкий к теории клеточных автоматов: каждой остановке присваивались бинарные переменные, равные единице при наличии на остановке соответственно автобуса и пассажиров. Начало более реалистичному микроскопическому подходу было положено в статьях (Nagatani), где строилась детерминированная система конечных уравнений, определяющих времена прибытия автобусов на остановки.

В работе, на примере системы «автобусы – пассажиры», рассматривается вопрос о моделировании взаимовлияния движений коллективов. Суть этого взаимовлияния, в данном случае, заключается в том, что прохождение автобуса по маршруту зависит, при прочих равных условиях, от длительности посадки и высадки пассажиров на остановках, а эти времена зависят от загрузки автобусов и скопления пассажиров на остановках. В свою очередь, число пассажиров в автобусах и на остановках зависит от движения автобусов по маршруту.

Цели работы.

1. Формулировка общих уравнений и гипотез, касающихся поведения водителей и пассажиров, рассмотрение случая движения автобусов по расписанию.

2. Получение и исследование в линейном приближении уравнений для отклонений параметров системы от регламентированных значений, определение областей допустимых значений управляющих параметров, в пределах которых система сохранит устойчивость движения по расписанию.

3. Осуществление перехода от автономных моделей к связанным моделям, в которых движение предыдущего автобуса влияет на скопление пассажиров ожидающих на остановке, а через него на динамику движения наблюдаемого экипажа.

Научная новизна. Новые результаты диссертации заключаются в следующем: представлена иерархия моделей следования общественного транспорта, основными переменными в которых являются отклонения временных характеристик (автономные модели), и отклонения временных и количественных характеристик с учетом взаимодействия системы автобусов с коллективом пассажиров (связанная модель);

в линейном приближении исследована устойчивость построенных моделей при возникновении различных типов возмущений, распространяющихся по системе;

с использованием найденных аналитически стратегий поведения водителя, определены области допустимых значений определяющих параметров, в пределах которых система сохраняет устойчивость, выявлено, для каких стратегий устойчивость движения по расписанию при возникновении малых отклонений сохраняется для всех возможных типов расписания.

Научная и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы для постановки и решения различных задач коллективного движения. Примеры моделирования и анализа стратегий поведения могут быть полезны при исследовании влияния «социальных сил» и конструировании функций, описывающих движение под воздействием психологических и социальных факторов, в различных областях биомеханики. Полученные результаты могут представлять интерес при моделировании транспортных задач, составлении расписаний, разработке стратегий поведения водителей в транспортных компаниях и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах (11, 12), были представлены на Третьей международной конференции по транспортной психологии г. Ноттингем (Великобритания) (ICTTP 2004), неоднократно обсуждались на научных семинарах механико–математического факультета МГУ под руководством академика РАН Е.И. Шемякина, профессора Н.Н. Смирнова, и семинарах лаборатории биомеханики НИИ механики МГУ. Докладывались на Конференции «Ломоносовские чтения» 2005, 2006;

IX Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике, Н. Новгород, 2006;

Конференции–конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ в 2003, 2004, 2006 гг.;

Всероссийской конференции по биомеханике 2002, 2004, 2006 гг.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы и содержит 161 стр. текста, 64 стр. приложения и список литературы, включающий библиографические ссылки.

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Сергею Аркадьевичу Региреру и д.ф.-м.н., профессору Николаю Николаевичу Смирнову за постановку задач, детальное обсуждение полученных результатов и полезные замечания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА 1. Обзор различных моделей коллективного взаимодействия Первая глава состоит из пяти параграфов, касающихся истории изучаемого вопроса и его состояния в настоящее время. В первом параграфе описаны основные объекты исследования, их перемещения, а также корректность применения методов механики при изучении таких систем. Второй параграф посвящен введению ключевых понятий, используемых при математическом моделировании задач коллективного движения. Третий параграф включает в себя обзор подходов к описанию движения одиночной особи. Вводятся понятия социальной механики для описания сил, влияющих на объект, приводятся уравнения энергии. Четвертый параграф посвящен обзору работ, касающихся моделирования коллективного движения. Представлены различные подходы, применяемые при решении задач коллективного взаимодействия (детерминистский и стохастический – для конечного числа особей, автоматные модели, кинетические уравнения, континуальные модели, гидродинамические уравнения). В пятом параграфе представлен обзор работ использующих эти подходы для постановки и решения транспортных задач и задач коллективного движения пешеходов и пассажиров. Обсуждается переход от автомобильных задач к организации движения общественного транспорта. Изложены основные модели движения автобусов на маршруте, известные в настоящее время.

ГЛАВА 2. Устойчивость движения автобусов по расписанию и уравнения кинетики пассажиров для автономной модели следования.

Вторая глава работы состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приведены кинетические уравнения, задающие движение автобусов на маршруте, когда контрольной величиной на линии принимался временной интервал между n прибытиями на остановку двух последовательных автобусов. По аналогии с известной теорией Лайтхилла–Уизема–Ричардса (Lighthill, Whitham, Richards) считалось, что среднюю скорость на участке между остановками водитель выбирает исходя из сравнения миновавшего временного интервала с заданным.

() Таким образом, имеет место зависимость u = V. Рекуррентные формулы для n n )+ ((u ) (u ) 1 n1, Tn имеют вид = 1 + L 11 и n n n n n n вычисления 1 1 1 Tn = Tn1 + L ( u 1 ) + 1.

n n Для замыкания системы уравнений требуется кинетическое описание потоков пассажиров, которое приводится во втором параграфе. Представлены интегральные соотношения для описания количества пассажиров на остановке, ожидающих транспорт, а также балансовые соотношения для числа входящих, выходящих и находящихся в салоне пассажиров.

Пусть P ( t ) – количество пассажиров на остановке ;

– скорость прихода пассажиров на остановку извне. Во время стоянки определены число вошедших пассажиров S ( t), скорость входа s ( t ) = S ( t ), число вышедших пассажиров H ( t ), скорость выхода h ( t ) = H ( t ) и число пассажиров в салоне ( t ). Итак, Pn – количество пассажиров на остановке непосредственно перед n M приходом n –го автобуса, тогда перед прибытием n+1–го автобуса на остановке ( t ) dt пассажиров, где n+1 – время будет находиться P n +1 = P n S + n n + ожидания прихода следующего автобуса Внутри салона n+1–го автобуса к моменту его прибытия на остановку находится M пассажиров, это число n складывается из числа пассажиров на предыдущем участке пути и числа 1, за вычетом вышедших там пассажиров пассажиров, вошедших на остановке (см. работы (Nagatani)): M = M 1 + S 1 H 1.

n n n n Третий параграф посвящен описанию кинетики автобусов, с учетом регламентации движения расписанием. Такая система управления автобусным движением основана на том, что для каждой остановки заданы времена прибытия и отправления, т.е. величины T, T +. Тогда отклонения времен прибытия и n* n* n* = Tn Tn*, n отправления автобусов от расписания задаются как = (Tn + ) (Tn* + * ) n n n соответственно, и уравнения кинетики для автобусов записываются в терминах этих отклонений. Считаем, что суммарное время стоянки есть функция от избытка пассажиров, следовательно, от величины () опоздания: = f, = f. Особенностью полученной системы является n n n то, что поведение каждого автобуса может быть проанализировано автономно – независимо от движения остальных.

. Приняв также расстояния между Считаем, что количество остановок остановками одинаковыми L = L0, получим замкнутую систему в безразмерных параметрах, описывающую автономное движение фиксированного автобуса = + u (V (V ) ) 1;

= f f ( f ) 1, (1) где L = L L0 – длина перегона между остановками, t = L0 u – характерное = t, = t – время прохождения перегона между остановками, отклонения прибытия и отправления, соответственно. Функции скорости и V ( ) = VmaxV (V ), времени стоянки в безразмерном виде таковы f ( ) = f f ( f ), где tV, t f константы с размерностью времени. Константы V = t tV, f = t t f.

задачи Безразмерные параметры, характеризующие t – расписание: u = u Vmax – «крейсерская» скорость на перегоне, f = f предписанное время стоянки.

Уравнения системы (1) рассматриваются как связные отображения множеств действительных чисел, на себя, а стационарные точки – как неподвижные.

( ) Выберем пробную безразмерную функцию для скорости V = a + bth c( 0 ), u + (1 u ) exp ( 2c0 ) исследуя асимптотику, получим V =, где параметр u + (1 u ) exp ( 2c0 ) Vmin Vmax u 1. Анализируя первое уравнение (1), получаем отображение u + (1 u ) exp ( 2c0 ) G ( ).

= 1 + u (2) u + (1 u ) exp ( 2c0 ) В работе проведено исследование свойств этого отображения. Выделяется c 2 ( u u ), 0 u 1, критерий для параметров задачи = (1+f f ) 1, при соблюдении которого, отображение (2) – сжимающее, что обеспечивает устойчивость движения по расписанию в линейном приближении.

Малые возмущения, с ростом, будут затухать только при выполнении условия 1 uV V (V 0 )V 2 (V 0 ). Тогда движение по расписанию устойчиво по отношению к малым возмущениям только при выполнении условия 1 uV V ( 0 )V 2 ( 0 ). При этом, если 1 uV V (V 0 )V 2 (V 0 ) 0 – знак возмущений будет сохраняться с ростом ;

в противном случае знаки будут чередоваться, что равносильно монотонному и колебательному развитию возмущений соответственно.

Для задачи проведены численные эксперименты, целью которых являлась проверка аналитических результатов, построение иллюстративных графиков и изучение эволюции конечных возмущений при различных начальных данных. На рис. 1 а для заданных начальных условий = 0.5;

u = 0.5;

= 0.25;

c = 2.5, указаны три стационарных решения – нулевое, отрицательное 1 и положительное 3. Относительно малых возмущений неустойчивы все три. Если M 2 1, M 2 M 1 = min G, M 2 = max G, то при выполнении любое 0 допороговое возмущение будет нерегулярным образом колебаться, оставаясь допороговым, т.е. заключенным в отрезке ( 1, 3 ). Если нарушено хотя бы одно из неравенств, следовательно, возможен выход за границы интервала с последующим неограниченным ростом возмущений (см. рис. 1 б).

Рис. 1 а Рис 1 б Расположение нетривиальных стационарных решений вокруг нулевого. Значения параметров:

= 0.5;

u = 0.5;

= 0.25;

c = 2.5. Правая часть рисунка иллюстрирует поведение при 20.

Четвертый параграф содержит анализ полученных результатов.

ГЛАВА 3. Модернизация автономной модели с учетом эволюционного параметра. Примеры реалистичных «программ движения» в случае возникновения отклонений. Исследование устойчивости.

Третья глава содержит три параграфа, в которых представлено обобщение автономной модели движения автобусов по расписанию, учитывающее более сложное поведение водителя, когда он руководствуется не только величиной опоздания, но и тем, удалось ли ее уменьшить на последнем пройденном перегоне.

В первом параграфе вводится новый параметр задачи = 1 – эволюция n n n отклонения времени отправления (аналог производной от величины опоздания по координате вдоль маршрута), который иллюстрирует тенденции в системе. Пусть ( ) функция скорости U = V 1, 1 зависит от отклонения времени отправления n n n ( ) с остановки и его эволюции, а отклонение времени стоянки F =, 1, n n n n также имеет зависимость и от отклонения времени прибытия.

Основные уравнения, описывающие отклонения движения автобусов от расписания имеют в безразмерных переменных вид:

= 1 + (U 1 ) 1;

= + Fn.

n n n n n (3) Проведем линеаризацию уравнений (3), учитывая вид функций управления:

V V 1 ( 1 2 ), = + f + 1 + ( 1 2 ). (4) =1 из (4), получим однородное линейное разностное n Исключая параметр A0, A1, A2, состоящими из уравнение с вещественными коэффициентами комбинаций частных производных функций V, и целочисленным аргументом:

A0 + A1 1 + A2 2 = 0. (5) V, Относительно знаков производных функций можно сделать следующие утверждения:

V V 0, 0, 0, 0, 0. (6) Первые два неравенства отражают стремление водителя увеличивать скорость при опоздании, особенно когда оно нарастает. Третье иллюстрирует «гуманность» водителя, т.е. стремление увеличить стоянку для посадки всех ожидающих пассажиров. Последние два неравенства, наоборот, иллюстрируют стремление водителя уменьшать стоянку при опоздании, особенно когда оно нарастает.

Переходим от уравнения (5) к приведенному квадратному уравнению с коэффициентами a1 = A1 2 A0 и a 2 = A2 A0.

Частное решение ищется в виде = exp( r ) ;

полагая характеристический показатель r конечным, после простых преобразований, получим уравнение e2r + 2a1er + a2 = 0.

Устойчивость движения по расписанию, Re( r ) требует выполнения неравенства e для обоих показателей (решений этого a1, a2.

Рис. 2 Область устойчивости в терминах уравнения) одновременно.

Полученная область устойчивости в терминах коэффициентов a1, a составляет треугольник (см. рис. 2), который задается условиями:

a2 1, a1 0.5 + 0.5a2. (7) Из формул для коэффициентов A1, A2 видно, что увеличение любой из производных управляющих функций рано или поздно приводит к потере устойчивости. Возрастание производных означает резкое и быстрое реагирование водителя на изменение соответствующих определяющих параметров, что позволяет сформулировать вывод следующим образом: избыток усердия вреден.

Второй параграф посвящен исследованию устойчивости для различных стратегий водителя, учитывающих социальные и психологические факторы, влияющие на его поведение.

Стратегия 1: параметры, 1, 1 – величины одного знака. Эта стратегия характеризуется следующими управляющими функциями: скорость V (1,1 ) = u + 0.5(1 2u ) th(1 ) (1+th(1 ) ), движения на перегоне ( )) (1 th( )) (1 th( )) ( (, 1, 1 ) = 0.5 + 0.25th arth ( 2 4 f ) – 1 1 f отклонение времени стоянки.

Аналитически найденная область, для которой в терминах производных от заданных управляющих функций выполнены условия (7), изображена на рис. 3.

Численная проверка соблюдения условий устойчивости, проведенная для данной стратегии, подтверждает результаты аналитических исследований.

Учитывая (6), окончательно получим область значений характерных параметров, в которой система остается устойчивой к малым отклонениям, возникающим при движении (см. рис. 4). Для пар параметров лежащих вне данной области, даже малое отклонение приводит к тому, что водитель не сможет вернуться на заданный режим Найденная аналитически область Рис. движения.

устойчивости для стратегии 1.

Стратегия 2: «жесткое следование расписанию» характеризуется тем, что водитель усердно соблюдает расписание, жертвуя при этом интересами пассажиров (при опоздании сокращает стоянку и выбирает максимальную скорость). В этом случае управляющие функции: отклонение времени стоянки ( ) (,, ) = 0.5 0.5th (1+ 2arctg ( ) th() ) (1+ 2arctg () th( ) ) + arth(1 2f ) f и (( ) ) выбор скорости на перегоне V = 0.5 + 0.5th 1+ 2arctg ( ) th ( ) + arth ( 2u 1).

Тогда условия устойчивости (7) удовлетворяются во всей области допустимых значений характерных параметров задачи f ( 0,1), u ( 0,1).

Численная проверка подтверждает результаты аналитического исследования.

Стратегия 3: «борьба противоположных факторов» характеризуется тем, что водитель при выборе времени стоянки руководствуется противоречивыми мотивами. С одной стороны, он стремится соблюдать расписание, т.е. при опоздании сокращать время стоянки. С другой стороны, он стремится забрать с остановки всех подошедших. Функция отклонение времени стоянки имеет вид ( ) = 0.5 + 0.5th (1 th( ) ) (1 2th( ) arctg () ) 2 arctg ( ) arth(1 2f ) f, а (( ) ) функция скорости на перегоне V = 0.5 + 0.5th 1+ 2arctg ( ) th( ) + arth( 2u 1).

В области допустимых значений характерных параметров задачи u ( 0,1), f ( 0,1) условия устойчивости (7) выполнены автоматически.

Подтверждение вышесказанному получено также численной проверкой.

В третьем параграфе представлены Рис. основные выводы, полученные в главе.

Найденная численно область устойчивости, учитывая условия (6), для стратегии 1.

ГЛАВА 4. Связанная модель движения общественного транспорта с учетом влияния поведения пассажиров. Устойчивость системы.

Четвертая глава содержит семь параграфов. В первом параграфе рассмотрены основные уравнения для временных характеристик движения автобусов и уравнения кинетики пассажиров, задающие связанную модель следования:

Tn = Tn1 + L1 (U1 ) +1;

M = M1 + S1 H1;

Pn = Pn1 + n1 adt S1 + n adt. (8) n n n n n n n Третье основное соотношение в (8) связывает между собой параметры, относящиеся к различным автобусам, тогда как первые два уравнения содержат величины, относящиеся только к одному и тому же автобусу. Таким образом, основные соотношения теории суть кинематическое уравнение для автобусов и уравнения баланса числа пассажиров.

Пусть посадка и высадка происходят последовательно и одинаково через все двери, тогда для времени стоянки справедливо уравнение = + +.

n n n Во втором параграфе обсуждаются задаваемые величины и условия. Данные, собираемые транспортными компаниями, включают в себя скорость (t) притока n пассажиров на остановки в течение суток, число пассажиров H выходящих на каждой остановке и т.д. Эти величины подвержены возмущениям из-за отклонения движения автобусов от расписания. Полагаем заданными значения параметров в случае абсолютно точного выполнения режима движения и невозмущенного притока пассажиров на остановки, что дает возможность переформулировать модель в терминах отклонений от регламентированного движения.

Предположим, что все пассажиры выходят в пункте назначения, поэтому дополнительные сведения нужны только о числе садящихся пассажиров. Введем уравнение для числа входящих пассажиров независимое S = s nWs ( Pn, M H ) +, где s n – нормативная скорость входа пассажиров n n n n за время стоянки (человек в единицу времени), а безразмерная функция Ws описывает стесненность входу. Эта функция зависит от общего числа пассажиров, «штурмующих» автобус, и от степени заполненности автобуса после окончания высадки. Аналогичную гипотезу примем для числа выходящих пассажиров:

H = h nWh ( Pn, M ), а стеснение выхода Wh определяется скоплением n n n пассажиров на остановке и степенью заполненности автобуса до начала высадки.

В третьем параграфе приводятся уравнения, описывающие перемещения пассажиров в салоне автобуса. Континуальный подход к движению пассажиров в салоне оправдан для высокой концентрации пассажиров. При произвольных концентрациях предпочтительны микроскопические подходы подобные используемым в задачах об аварийной эвакуации и возникновении паники (Предтеченский;

Helbing et al.).

Четвертый параграф посвящен описанию движения по расписанию.

Рассмотрим движение автобусов с регламентированными временами прибытия на остановку и продолжительностью стоянки. Уравнения относительно отклонений:

) ( = 1 + L 1 (U 1 ) (U*1 ) ;

= 1 + 1 1;

p = p1 1 + dt dt, (9) 1 n n n n n n n n n n n * n * n, – отклонения времен прибытия и отправления от расписания, n n здесь p,,, – соответственно отклонения числа пассажиров на остановке и в n n n n салоне, числа вошедших пассажиров и числа вышедших пассажиров от регламентированных (расчетных) значений. Предполагаем, что приток пассажиров = = const, следовательно, получаем * не подвержен возмущениям, т.е.

следующие уравнения p = p 1 1 + ( 1 ) ;

Tn + Tn* * = + ;

n n n n n n n n n n (10) = ;

= + + ;

n n n* n n n = s n Ws ( Pn, M H ) + Ws ( Pn*, M * H * ) *+ ;

n n n n n n n (11) = h Wh ( Pn, M ) Wh ( Pn*, M * ) *.

n n n n n n ( ) =1 и W (P, M * ) = 1.

Не теряя общности, примем Ws P, M H n* n* n* n* n h Уравнения (9)–(11) описывают (в рамках сделанных предположений) отклонения от регламентированного движения без разделения пассажиров по пунктам назначения. Поэтому система уравнений незамкнута: для 9 переменных имеется только 8 уравнений. В них функции U, характеризуют выбор n n водителя, а Ws, Wh – физическое сопротивление проходу через двери.

Рассмотрим важный частный случай, позволяющий замкнуть систему:

невозмущенная высадка пассажиров из автобусов (число пассажиров, выходящих = 0.

n на данной остановке из данного автобуса, не зависит от его опоздания):

Рассматриваемая система уравнений отличается тем, что только уравнение баланса числа пассажиров на остановке содержит переменные с индексами n, n 1 одновременно. Во все остальные уравнения входят переменные только с индексом n.

Пятый параграф касается вопросов исследования устойчивости в линейном приближении, полученной в четвертом параграфе системы уравнений, описывающих связанное движение общественного транспорта. Примем, что длины перегонов и предписанные скорости на них одинаковы L = L, U = U, автобусы n* одинаковы s = s, h = h, H = H и приток пассажиров к остановкам одинаков n* * n n =. Перейдем к безразмерным переменным, приняв L / U в качестве масштаба времени и сохраняя для безразмерных величин прежние обозначения (см. глава 2):

t t t * H =, s = s, h = h, H =, * H1 H1 H1 H n n n n n n n n p =, =, =, =, p =.

n n t t H1 H1 H Теперь линеаризованная система имеет вид:

= 1 + (U 1 ) 1;

= 1 + 1;

p = p 1 1 + ( 1 ) n n n n n n n n n n n * ;

= + + ;

= h1HWh1 ( P n, M ) = + ;

n n n n n n n n n n * n (12) { } = s Ws ( P n, M H ) h1HWh1 ( Pn, M ) * h1H n n * n * n n * Рассмотрим предельный случай: водителю предписано, не обращая внимания на продолжительность стоянок, забирать всех пассажиров с остановки, т.е. момент отправления совпадает с «опустошением» остановки. Тогда водитель свободен только в выборе скорости и к уравнениям (12) следует добавить соотношение:

p + =.

n n n Считаем, что водитель выбирает скорость в зависимости от величины ( ) отклонения отправления и его эволюции: U 1 = V 1, 1, V (0,0) = u.

n n n Линеаризация системы в окрестности нулевых отклонений от расписания, дает следующие уравнения:

V V V = 1 1 + 2 ;

= 1 + 1 ;

p + = ;

n n n n n n n n n = + ;

p = p 1 1 + ( 1 ) ;

n n n n n n n n Ws n Ws n n* 1 * W n * W ( h H ) + + h1H h p + h.

= s p + n n n p p Эти уравнения образуют замкнутую систему. Частные производные у функций V, W по соответствующим аргументам вычислены в точке, где все отклонения равны нулю.

exp(r + qn), это допустимо в Ищем частные решения в форме предположении, что коэффициенты линеаризованных уравнений слабо зависят от номера остановки (аналога координаты). Такая форма частных решений предполагает исследование устойчивости при возникновении возмущений двух типов, параметры которых в общем виде можно записать как:

q = q1 + iq2, r = r1 + ir2. Тогда для чисто мнимого значения параметра r = ir2 – возникает возмущение «бегущая волна», с периодом 2 / r2. Для чисто мнимого значения параметра q = iq2 – возникает возмущение типа «пульсирующий источник» (незатухающий во времени источник периодических возмущений, с частотой 2 / q2 ).

Условие разрешимости однородной системы уравнений относительно отклонений:

V1 X 1 V2 X 1 0 0 0 1 X 1 X 0 0 0 (1 Y 1 ) Y 1 1 Y 0 0 D = 0, (13) 1 1 0 0 0 0 0 b bp 0 0 где V V V X = exp ( r ), Y = exp ( q ), V1 =, V2 =, Ws n* ( h1H* ) + h1H* Wh, bp = ps ( n* h1H* ) + h1H* ph.

W W b = Шестой параграф посвящен примерам анализа устойчивости в предельной задаче и исследования устойчивости для двух стратегий поведения водителя.

В полученном определителе (13) существуют данные, поступающие из транспортных компаний – Ws, Wh,, s, h, H. Все остальные переменные n системы неизвестные, подлежащие вычислению.

В качестве безразмерные функций стесненности посадки и высадки выберем Ws ( p, ) = 1 + th ( p ) и Wh ( p, ) = 1 + th ( p ) соответственно.

n n n n n n n n Вычислив производные этих функций в точке, где все отклонения равны нулю, b = s f.

находим, что b p = s f, Без ограничения общности примем, что на каждой остановке выходит ровно n столько пассажиров, сколько на первой, тогда параметр H = H = 1.

Скорость прихода пассажиров на остановку всегда неотрицательна, при этом она ниже скоростей посадки и высадки и т.к. посадку осуществить несколько «сложнее» чем высадку примем, что выполнено условие 0 s h.

Автобус обязан забирать всех пассажиров, ожидающих его на остановке (ровно столько, сколько подошло за время ожидания следующего экипажа), тогда обратно пропорциональны n и выполнено P / = H1 / t, т.е. значения n n n 1, выполнено 1;

2–ой возможны два случая: 1–ый случай для значений 1, выполнено 1. Будем рассматривать второй n случай для значений случай, который характеризует ситуацию движения по городской трассе, тогда 5 10 (имеет порядок от пяти до десяти характерных n время ожидания времен прохождения перегона), и для безразмерной скорости прихода пассажиров на остановку выполнено условие 1.

Для нормативных скоростей посадки и высадки выполнено s = s ;

s = s /, h = h ;

h = h /, s, h и – коэффициенты пропорциональности, регулирующие отношение скорости посадки и высадки к скорости прихода пассажиров на остановку.

Время посадки неотрицательно и строго больше чем время высадки f ( h ) = ( h ) 0, однако автобусам «запрещено» образовывать «пачки» 1 на остановках, т.е. f. Окончательно получим оценку для времени стоянки 0 ( h ) f 5 10.

Раскрыв определитель (13) и умножив на YX, получаем кубическое дисперсионное уравнение с комплексными коэффициентами относительно X, или Y, линейное дисперсионное соотношение относительно величины с комплексными коэффициентами.

Как отмечалось выше, рассматриваются два типа возмущений, распространяющихся по системе. Для возмущения типа «пульсирующий ( ) источник» необходимо найти зависимость X (Y ) = X exp ( iq2 ). Устойчивость такого типа возмущений обуславливается выполнением условия X i 1, i = 1, 2, для трех корней одновременно. Исследуя возмущения «бегущая волна», ищем ( ) зависимость Y ( X ) = Y exp ( ir2 ). Для соблюдения устойчивости необходимо выполнение условия Y 1.

Замечание: для восстановления синусоиды возмущения рассмотрим не менее двух последовательных автобусов на четверти периода, т.е. необходимо выполнение условий: для возмущения типа «пульсирующий источник» q2 n = 2 q2 2nmin = 4 1, для возмущения типа «бегущая волна» r2 n = 2 r2 2nmin = 4 1.

Рассмотрим в качестве примера две различные стратегии водителя при выборе скорости на перегоне. Входящими фиксированными параметрами являются переменные, s, h. Полученные задачи – трехпараметрические, зависящие от двух параметров расписания f, u – времени стоянки и «крейсерской» скорости на перегоне;

а также от параметра возмущения – r2 для «бегущей волны» и параметра q2 для «пульсирующего источника».

1. Задана стратегия водителя при выборе скорости на перегоне ( ) V = 0.5 + 0.5th (1 + sign ( ) th ( ) ) + arcth ( 2u 1). (14) Учитывая условие (6), получим ограничение для параметра 0 u 1.

Исследуем распространение возмущения «пульсирующий источник» по системе. Вычислив значения V1, V2 для стратегии (14) и зафиксировав входящие параметры, s, h, находим область устойчивости.

В качестве иллюстрации рассмотрим случай очень низких скоростей прихода пассажиров на остановку = 0.1. Примем значения коэффициентов равными s = 3, h = 10. Учитывая полученную систему ограничений 0 u 1;

0 ( h ) f ( 5 10 ) ;

q2 2nmin = 4 1, (15) строим область в терминах параметров f, u, q2, в которой сохраняется устойчивость движения по расписанию.

На рис. 5 а – приведена область для значения параметра q2 2, на рис. б часть области, которая согласуется с условиями (15). В работе также проведено изучение свойств рис. 5 а Область устойчивости в терминах параметров сохранения устойчивости системы, для расписания f, u и параметра возмущения средних и высоких скоростей прихода «пульсирующий источник» q2 для стратегии (14).

пассажиров на остановку.

Значение параметра = 0.1.

Исследуем распространение возмущения «бегущая волна» по системе. Вычислив значения V1, V2 для (14) и зафиксировав входящие, s, h, была найдена параметры область устойчивости, для которой Y выполняются условия и учитываются ограничивающие соотношения рис. 5 б 0 u 1;

r2 2nmin = 4 1;

Область устойчивости в терминах параметров расписания f, u и параметра возмущения (16) 0 ( h ) f ( 5 10 ).

«пульсирующий источник» q2 для стратегии (14), с учетом условий (15). Значение параметра = 0.1.

На рис. 6 а представлена область устойчивости для значений параметров = 0.1, s = 3, h = 10, и с учетом условий (16) на рис. 6 б (в работе также рассмотрены средние и высокие скорости прихода пассажиров).

2. Задана модифицированная стратегия выбора водителем скорости на перегоне между остановками ( ) V = 0.5 + 0.5th (1+ sign( ) th( ) ) th( ) + arcth( 2u 1). (17) В отличие от (14), она заставляет водителя более плавно реагировать на улучшение ситуации в системе (см. рис. 7 для значений, ( 10,10 ) ).

Исследуем распространение возмущения типа «пульсирующий источник» по системе «автобусы – пассажиры». Вычислив производные скорости по параметрам,, учитывая условие (6), получим ограничение 0 u 1.

Для средней скорости подхода рис. 6 а = 0.4, s = 3, h = пассажиров Область устойчивости в терминах параметров расписания f, u и параметра возмущения область устойчивости в терминах «бегущая волна» r2 для стратегии (14). Значение f, u, q2, параметров учитывая параметра = 0.1.

условия (15), изображена на рис. 8 (в работе так же исследована устойчивость движения по расписанию для низких и высоких скоростях прихода пассажиров на остановку).

Исследуем распространение возмущения «бегущая волна». На рис. изображена область устойчивости с рис. 6 б Область устойчивости в терминах параметров учетом условий (16) для значений расписания f, u и параметра возмущения параметров s = 3, h = 10, = 0.8.

«бегущая волна» r2 для стратегии (14), с учетом условий (16). Значение параметра = 0.1.

Таким образом, для каждой из рассмотренных стратегий наблюдаются следующие результаты:

a. Стратегия (17), характеризующаяся более плавной реакцией водителя на улучшение ситуации в системе, наиболее предпочтительна, т.к. при ее применении получающаяся область устойчивости покрывает большую, часть пространства нежели в предыдущем случае применения стратегии (14).

b. С увеличением скорости прихода пассажиров на остановку, области устойчивости начинают уменьшаться, постепенно вырождаясь.

Седьмой параграф посвящен обсуждению особенностей системы «автобусы пассажиры», в частности возможности сокращения количества параметров в задаче. В результате проведенного в предыдущих параграфах анализа были определены области устойчивости системы в зависимости от характеристики возмущения (параметра r2 или q2 ) и параметров расписания f, u.

Особенностью рассматриваемой системы коллективного движения является то, что в ней могут распространяться не любые возмущения, а только вполне определенные. Эти возмущения задаются скоростью перемещения автобусов от остановки к остановке, а также передаются от автобуса к автобусу за время равное интервалу между приходом последовательных автобусов на остановку.

Таким образом, определив тип возмущений в системе, мы можем уменьшить количество независимых переменных в дисперсионном соотношении, избавившись от параметров, характеризующих возмущения. Тогда может быть поставлена задача о нахождении рис. области устойчивости в пространстве Отличие стратегий (14) и (17) по выбору скорости на перегоне между остановками. определяющих параметров.

Рассмотрим некоторые иллюстрации. Задана стратегия поведения водителя (14). Исследуем распространение возмущения «бегущая волна» по системе. Пусть параметр не фиксирован и изменяется от нуля до единицы. Рассматриваем s = 3, h = 10. Область устойчивости, в которой значения входящих параметров любые возмущения типа «бегущая волна» со спектром, удовлетворяющим условиям (16), построена на рис. 11. В работе исследованы различные скорости s, h.

прихода пассажиров на остановку и различные значения Таким образом, для каждой из двух рассмотренных стратегий наблюдаются следующие результаты:

при увеличении темпа посадки и высадки пассажиров области устойчивости увеличиваются, а при увеличении темпа прихода пассажиров на остановку – вырождаются;

рис. модернизированная стратегия дает Область устойчивости в терминах параметров расписания f, u и параметра возмущения более широкий интервал значений для «пульсирующий источник» q2 для стратегии (17), параметров расписания u и f при с учетом условий (15). Значение параметра = 0.4.

построении областей устойчивости, поэтому в этом случае она также предпочтительнее. Т.к. эта стратегия заставляет водителя более плавно реагировать на улучшение ситуации (при возникновении различных отклонений), можно сделать вывод: избыток усердия, при попытке вернуться на режим движения по расписанию, может рис. 9 привести к еще большему Область устойчивости в терминах параметров «разбалтыванию» системы.

расписания f, u и параметра возмущения «бегущая волна» r2 для стратегии (17), с учетом условий (16). Значение параметра = 0.8.

В восьмом параграфе подведены итоги. В главе осуществлено построение связанной модели движения автобусов на городском маршруте, которая служит обобщением построенных ранее автономных моделей следования. Связанность движения обуславливается зависимостью времени стоянки от числа пассажиров на остановке, которое в свою очередь, зависит от точности следования расписанию.

Для этой модели были изучены свойства двух стратегий поведения водителя, при возникновении в системе различных возмущений. Для каждого типа возмущений, «бегущей волны» и «пульсирующего источника» был исследован их обширный спектр. Построены области устойчивости.

Приведенные алгоритмы могут быть полезны как рекомендации составителям расписаний (транспортным компаниям).

В частности, для известных пассажиропотоков можно выбрать стратегию, которая позволит наилучшим образом соблюдать стационарный режим движения при f, u заданных – параметрах расписания, либо для заданной стратегии движения, подбирать параметры расписания таким образом, что возникающие возмущения будут рис. Схема распространения возмущения между обязательно затухать. Чем больше последовательными автобусами от остановки к пассажиропоток и загруженность остановке.

маршрута, тем сложнее при возникновении отклонений, сохранять устойчивость движения по расписанию.

Один из выводов главы может быть сформулирован так: при стремлении вернуться к стационарному режиму, необходимо плавно реагировать на изменения в рис. системе, и не стараться при малейших Область устойчивости в терминах параметров отклонениях опоздания (опережения) расписания u, f и скорости прихода пассажиров выбирать технически максимальную на остановку, для стратегии (14), при распространении возмущения типа «бегущая волна» (минимальную) скорости изменения со спектром, удовлетворяющим условиям (16).

режимов движения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ 1. Представлена иерархия моделей коллективного взаимодействия общественного транспорта и пассажиров, основными переменными в которых являются отклонения временных характеристик (автономные модели следования), отклонения временных и количественных характеристик (связанные модели следования). Указан аналитический подход, позволяющий осуществить переход от автономных моделей к связанным моделям, учитывая кинетику движения пассажиров.

2. В линейном приближении исследована устойчивость коллективного движения автобусов и пассажиров при возникновении различных типов отклонений от расписания: для задач автономного движения с одно- и многопараметрическими управляющими функциями;

а также в связанной модели взаимодействия коллективов. Приведен алгоритм, позволяющий свести исследование задачи устойчивости к рассмотрению только параметров расписания и входящих параметров (характеризующих потоки пассажиров, технические параметры автобусов и т.д.).

3. Проведено построение различных типов стратегий поведения водителя, т.е. управляющих функций, учитывающих не только механическое движение, но и воздействие на частицу «социального поля» и психологических факторов для различных типов моделируемых задач.

Найдены устойчивые стратегии, удовлетворяющие любому типу расписаний из области допустимых значений характерных параметров и позволяющие сохранять устойчивость. Проведено исследование устойчивости в линейном приближении различных типов возмущений, возникающих при движении в каждой задаче, для предложенных «программ движения».

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

Регирер С.А., Ченчик А.Е., Шаповалов Д.С. Заполнение пассажирами 1.

пространства в транспортном средстве // 2–й Межд. конгр. по нелин. динамич.

анализу (НДА'2). – М., 2002. – С. 236 = Regirer S.A., Chenchik A.E., Shapovalov D.S.

Filling by the passengers of space in a vehicle // там же, С. 237.

Регирер С.А., Ченчик А.Е., Шаповалов Д.С. Моделирование коллективного 2.

двигательного поведения: приложение к задачам об общественном транспорте // 6–я Всерос. конф. по биомеханике. Тез. докл. – Н.Новгород, 2002. – С. 51.

Ченчик А.Е. Кинетика автобусов и пассажиров // Тр. конф.– конкурса мол.

3.

ученых Ин–та механики МГУ. – М: Изд–во МГУ, 2003. – С. 169–176.

Ченчик А.Е., Регирер С.А. Полная постановка задачи о взаимодействии 4.

общественного транспорта и пассажиров с учетом психологических и биомеханических факторов // Тез. докл. 7 Всерос. конф. по биомеханике. Т.1.– Н.Новгород: ИПФ РАН, 2004.– С. 81–82.

Ченчик А.Е., Регирер С.А. Хаотические отклонения от расписания в движении 5.

общественного транспорта, связанные с поведением пассажиров // Тез. докл. Всерос. конф. по биомеханике. Т.1.– Н.Новгород: ИПФ РАН, 2004. – С. 83.

Chenchik A.E., Regirer S.A., Shapovalov D.S. Buses motion on the route: modeling 6.

the role of drivers' and passengers' psychology //

Abstract

Book: 3rd International Conference on Traffic and Transport Psychology. Nottingham, UK. 5–9 Sept. 2004. – P.

135.

Ченчик А.Е. Взаимодействие автобусов и пассажиров: устойчивость движения 7.

по расписанию // Тр. конф. – конкурса мол. ученых Ин–та механики МГУ. – М:

Изд–во МГУ, 2004. – С. 275–282.

Регирер С.А., Ченчик А.Е. Кинетика пассажиров общественного транспорта с 8.

учетом ошибок поведения // Тез. докл. «Ломоносовские чтения 2005». – М: Изд–во МГУ, 2005.– С. 163–164.

Регирер С. А., Ченчик А.Е. Анализ устойчивости движения автобусов по 9.

расписанию с учетом поведения пассажиров // Тез. докл. 8 Всерос. конф. по биомеханике. Т.1.– Н.Новгород: ИПФ РАН, 2004.– С. 68–69.

Регирер С. А., Ченчик А.Е. Взаимодействие автобусов и пассажиров:

10.

устойчивость движения по расписанию // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат. Мех. – 2006, 4. – C. 46–53.

Регирер С. А., Ченчик А.Е. Математическое моделирование динамики 11.

общественного транспорта и пассажиров // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат. Мех. – 2006, 6. – C. 27–35.

Регирер С.А., Ченчик А.Е. Моделирование различных стратегий поведения 12.

водителей автобусов при возникновении отклонений от движения по расписанию.

Исследование устойчивости // Тез. Докл. IX Всероссийского Съезда по теоретической и прикладной механике. – Н.Новгород. – С. 164.