Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды

На правах рукописи

Степанов Родион Александрович ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНЫМИ ПОТОКАМИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь 2009

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского от деления Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических на ук, профессор, член-корреспондент Суржиков С. Т.

РАН доктор физико-математических на Любимов Д. В.

ук, профессор доктор физико-математических наук Решетняк М. Ю.

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычисли тельный центр МГУ

Защита состоится 19 ноября 2009 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссер тационного совета Д 004.012.01 Института механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, http://www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан " " 2009 г.

Березин И. К.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность проблемы.

Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизиче ских объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свой ственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остает ся важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики (МГД). Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролью маг нитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активности, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.

Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью маг нитногидродинамических систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводя щей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает за дачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в разви тии науки о природе магнитных полей гидродинамических систем послу жило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэд лер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике, магнитное поле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описы валась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные тур булентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый -эффект – механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулентности. В последние десятиле тия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей приме нения теории среднего поля для решения определенного круга проблем.

На начальных этапах построения теории особое внимание привлекало изучение условий возникновения динамо-эффекта, а именно влияние па раметров системы на порог генерации. Среднее поле скорости способно самостоятельно вызвать неустойчивость крупномасштабного магнитного поля без учета турбулентности. Однако количественная оценка критиче ских характеристик в значительной степени зависит от всех деталей за дачи. Наиболее актуальна эта проблема при планировании, проведении и анализе результатов динамо-экспериментов.

Генерация магнитного поля за счет -эффекта является далеко не единственным механизмом. Неоднородность турбулентности совместно с общим вращением и сдвиговыми средними потоками среды также вли яют в среднюю турбулентную электродвижущую силу. Для определения преобладающего механизма необходим анализ всех даже самых экзоти ческих возможностей. При равных вкладах двух механизмов генерации в динамо-процесс они могут приводить к усилению или же ослаблению друг друга. Тогда доминирующим может стать изначально более слабый эффект, который и будет определять условия генерации и структуру маг нитного поля.

Использование результатов теории среднего поля при построении ди намо-моделей разнообразных космических объектов требует соответству ющих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характери стики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представ ления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются на МГД. Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным ин тегралом движения – магнитной спиральностью, делает процессы пе реноса энергии и спиральности по спектру значительно более сложны ми для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГД турбулентности является актуальной задачей.

По мере того как теория динамо продвигалась от решения задач об условиях возникновения динамо-процесса к задачам о заключительном состоянии, стало понятно, что необходимо учитывать обратное действие крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные поля. Воз никшая трудность описания насыщения генерации и стабилизации маг нитного поля обусловлена существенной нелинейностью этих процессов.

Если воздействие магнитного поля на среднее поле скорости может быть определено в рамках уравнений среднего поля, то для описания воздей ствия на мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким об разом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адек ватную математическую модель динамо-процесса.

Использование теоретических результатов для объяснения характе ра и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объек тах предполагает наличие достоверных наблюдательных данных. Од нако измерение космических магнитных полей в большинстве случаев возможно только косвенным путем. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитно го поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количе ственных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет вы бор данных и техники обработки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных наблюдений. Очевидно, что развитие методов и под ходов обработки наблюдательных данных и их интерпретации должно идти встречным курсом с развитием теории.

Цель работы состоит в формировании самосогласованных представ лений об условиях и характере процессов генерации магнитных полей в условиях турбулентности с использованием единой основы – построение теоретических и численных моделей, интерпретация экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений.

Задачи диссертационной работы состоят в:

а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в сред нем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в торо идальном канале, от проводимости окружающей среды и простран ственно-временных характеристик среднего поля скорости;

б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной элек тродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего поля скорости;

в) исследовании характера совместного действия генерационных меха низмов винтового поля скорости и мелкомасштабной турбелентно сти;

г) развитии аппарата каскадных моделей МГД турбулентности с целью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнитных полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаимодей ствий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомасштабно го динамо;

д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштаб ных полей;

е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей;

ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных ис следований элементов динамо, компьютерной обработке проведен ных измерений и их физической оценке;

Методы исследований. Основу используемых математических моде лей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелко масштабной турбулентности на эволюцию крупномасштабного магнитно го поля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Тур булентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка.

Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных по лей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" – законов сохранения для МГД системы. Динамика мелко масштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с ис пользованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставлен ных задач были получены численно. Ресурсозатратные расчеты выпол нены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным ма тематическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлет преобразовании.

Научная новизна заключается в следующем:

а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию;

б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличии общего вращения и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности;

в) впервые показан характер изменения критического значение маг нитного числа Рейнольдса при малых значениях магнитного числа Прандтля и нелокальный характер взаимодействий структур раз личных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандт ля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо;

г) построена новая комбинированная модель 2 - и -динамо, описы вающая динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелко масштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гид родинамики;

д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных;

е) впервые получены экспериментальные результаты генерации маг нитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, со гласующиеся с положениями теории среднего поля;

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением ма тематически обоснованных методов решения, проверкой численных ал горитмов на задачах имеющих точные решения, детальным анализом тестовых примеров, сравнением с результатами, полученными другими авторами.

Научно-практическое значение полученных результатов. Все решенные задачи являются фрагментами единого методологического под хода к описанию процесса генерации магнитного поля в турбулентной многомасштабной среде. Предложенные методы моделирования динамо процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают воз можность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом по токе в тороидальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интерпретаций могут применяться для анализа хаотического пове дения различных систем.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 49 печатных работ, в том числе 28 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 20 – в прочих научных изданиях и в трудах международных и российских научных конференций, а также получен 1 патент РФ. Основные резуль таты диссертации изложены в работах [1-29], список которых приведен в конце автореферата.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "European Turbulence Conference" (2004, 2007, 2009);

"Оптические методы измерения потоков" (2009);

"Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres" (2009);

"Зимняя школа по механике сплошных сред" (1995, 1997, 1999, 2003, 2005, 2007, 2009);

"Fundamental and applied MHD" (2000, 2002, 2005, 2008);

VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механи ке (2001), "Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence" (2004).

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с раз работкой новых математических моделей генерации магнитных полей в условиях турбулентности, а также методы обработки эксперименталь ных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.

Личный вклад автора. Автору диссертации принадлежит разработ ка математических моделей рассматриваемых явлений, выбор и отладка численных алгоритмов решения задач. Лично автором или при его непо средственном участии поставлены задачи диссертации, определены ме тоды решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также выполнена их интерпретация. Из работ в соавтор стве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор при нимал непосредственное участие. Личным достижением автора является последовательное проведение комплексного исследования, включающего теоретические, численные и экспериментальные работы, направленные на решение поставленных задач. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Связь исследований с научными программами. Работы по тема тике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-01 96482-р-урал-а, 03-02-04031-ННИО-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИ а, 07-01-96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследова ний и развития (грант молодым ученым №Y2-P-09-02), Программы под держки молодых ученых (грант Президента РФ MK-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содержит 240 наименований. Общий объем диссертации составляет 340 страниц, включая 7 таблиц и 54 рисунка, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются цели и методы исследования, указывается научная новизна, а также структура диссертации.

Первая глава диссертации содержит решения ряда задач, составляю щих теоретическую основу динамо-эксперимента, предложенного Дени совым и др. Идея эксперимента заключается в создании винтового тече ния жидкого натрия в замкнутом тороидальном канале, которое обеспе чит возбуждение магнитного поля. Необходимая интенсивность потока получается за счет резкого торможения предварительно раскрученно го канала. Винтовая структура навязывается в результате прохождения натрия под действием сил инерции через жестко установленные внутри канала диверторы. Для экспериментальной реализации вопрос о вели чине порога возникновения эффекта имеет принципиальное значение.

Количественные оценки критических параметров, которые можно найти из точного решения задачи Пономоренко (динамо-прототип), не приме нимы в силу существенных различий в условиях эксперимента, а именно в электрических и магнитных свойствах окружающей среды и в харак тере винтового потока. На первом этапе были проведены расчеты порога генерации магнитного поля и характерные времена роста в одномерной постановке, в которых учитывались конечная толщина стенки, повышен ная проводимость стенки относительно натрия и турбулентный профиль течения [1].

На втором этапе были изучены свойства процесса генерации в неста ционарном и неоднородном вдоль канала течении. Дело в том, что поток становится винтовым по мере прохождения жидкости через дивертор, так что фронт завихренности распространяется в процессе торможения тора. Исследование этой проблемы потребовало решения уравнения ин дукции в трехмерной постановке = [( + ln r ) ], где – вектор магнитной индукции, – вектор скорости, – коэффи циент магнитной диффузии, связанный с электрической проводимостью соотношением = (0 r )1, 0 и r – коэффициенты магнитной про ницаемости вакуума и относительной магнитной проницаемости среды.

Слагаемое ln r даёт эффект, называемый "парамагнитной накач кой", который выталкивает магнитное поле в область с бльшей прони о цаемостью. Уравнение индукции дополняется вакуумными граничным условиями. Параметризация поля скорости была выполнена на основе экспериментальных измерений, подробно изложенных в [1].

Численное решение поставленной задачи было получено с использо ванием оригинального пакета программ, реализующего конечно-разност ный метод. Интегрирование по времени выполнялось с использованием явной схемы Рунге-Кутта-Фельтберга с коэффициентами Кэша-Карпа 5-го порядка точности с адаптивным выбором шага. Пространственные производные аппроксимировались центральными разностями 6-го поряд ка точности. Расчетная схема была распараллелена, что позволило эф фективно использовать многопроцессорные кластеры. Результаты рас четов представлены на рис. 1, где показана зависимость среднеквадра тичного значения магнитного поля от времени для "оптимистического" и "пессимистического" режима течения. "Оптимистический" режим пред полагает, что течение во всем канале соответствует течению, измеренно му экспериментально в области за дивертором. "Пессимистический" ре жим соответствует менее закрученному потоку входящему в дивертор.

Такая неопределенность поля скорости была обусловлена ограниченны ми техническими возможностями измерений. Тем не менее на основе рас смотрения простой модели был предложен наиболее реалистичный вид зависимости потока от времени и координат [1], в соответствии с кото рым рост магнитного поля обозначен на рис. 1 как "z-dependent". На начальном этапе магнитное поле затухает, а начиная с момент 0.1 с ре зультирующая мода перестраивается и в дальнейшем достаточно быстро нарастает. При медленном торможении коэффициент усиления поля за метно падает (рис. 1, справа).

Формирование динамо-волны в цилиндрической геометрии показано на рис. 2, где изоповерхности магнитного поля || даны для восьми раз личных моментов времени. Отметим, что со временем начальная доми нирующая мода с азимутальным волновым числом = 1 и продольным волновым числом = 0 (затухающая медленнее остальных) трансфор мируется в моду с = 1 и так далее до моды с = 3. Зависимость коэффициента роста магнитного поля от начальных условий и другие характеристики для различных режимов течения и параметров стенки канала представлены в работе [2]. Расчеты подтверждают предваритель Run 1 Run optimistic optimistic 104 zdependent zdependent pessimistic pessimistic Brms(t)/Brms(0) Brms(t)/Brms(0) 102 100 102 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1. t [s] t [s] Рисунок 1: Изменение относительного среднеквадратичного значения магнитного по b = 0.1 с b = 0.2 с ля со временем для (Run1) и (Run3).

Рисунок 2: Структура магнитного поля в различные моменты времени. Слева напра 0,0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.4 0.5 s;

во, соответствует временам и время торможения b = 0.1 с. Показаны изоповерхности, представляющие собой постоянные уровни маг нитного поля ( 0, 0), и силовые линии. Дивертор расположен внизу, и в его направлении движется общий поток.

ные благоприятные оценки того, что планируемый динамо-эксперимент может быть осуществлен;

ожидаемый коэффициент роста может соста вить 103 или больше. Так, например, увеличение магнитной проница емости добавлением ферромагнитных частиц в жидкий натрий может повысить коэффициент усиления, но это не принципиально для реали зации динамо.

Заключительным этапом было численное моделирование динамо в криволинейном канале. Исследования генерации магнитного поля при винтовом движении в торе показали, что в пределе тонкого тора задача сводится к хорошо изученному случаю винтового динамо в цилиндре.

В толстом торе становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, приводящая к немонотонности нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая сим метрии генерируемого магнитного поля [3]. Благодаря этому в толстом торе появляется принципиально новое решение для винтового динамо:

возникает "глобальное"магнитное поле, не затухающее на внешней оси тора и имеющее масштаб максимального геометрического размера тора.

Важен также вывод о возможности понижения порога генерации магнит ного поля в толстом торе за счет изменения параметра закрутки потока.

Были рассмотрены возможности по созданию винтового потока без использования диверторов, которые в значительной степени тормозят поток и ограничивают время наблюдения динамо-эффекта. Показано, что течение в канале эллиптического сечения, замкнутом по листу Мё биуса не имеет принципиальных отличий в динамо-процессе, но может дать больший коэффициент усиления за счет однородности и меньшей скорости затухания течения [4].

Во второй главе дан вывод общего выражения турбулентной элек тродвижущей силы, возникающей в винтовом потоке при наличии фоно вой неоднородной турбулентности. Исследуется влияние пульсаций =, = на генерацию среднего магнитного поля при на личии среднего потока. Применяя правила осреднения Рейнольдса, получаем уравнение индукции для среднего поля ( + ) 2 = 0, где – электродвижущая сила, возникающая благодаря пульсациям ско рости и магнитного поля, =.

Именно определение зависимости от средних полей и статистиче ских свойств турбулентности представляет основную задачу теории сред него поля в электродинамике (Краузе и Рэдлер). Стандартно полагаем, что в выбранной точке зависит от компонент и их пространственных производных в этой точке. Тогда может быть представлено в форме = + /, где компоненты тензоров и есть осреднённые величины, завися щие от и. Разложение на симметричные и кососимметричные части позволяет выделить основные группы слагаемых в следующим виде:

= · · ( ) ( ) : ()(), где и – симметричные тензоры второго ранга, и – векторы и – () тензор третьего ранга, () = 1 ( / + / ) – симметричная часть тензора градиента. Слагаемое с описывает -эффект, который обычно вызывает динамо-эффект, а слагаемое с имеет смысл эффек тивной турбулентной скорости переноса магнитного поля. Слагаемые с и могут интерпретироваться как введение турбулентной магнитной диффузии, которая также в общем случае анизотропна. Слагаемое с не имеет особо выделенной роли, но необходимо для полноты разложения.

Турбулентные пульсации в винтовом потоке отличаются от однород ных изотропных зеркально симметричных вследствие влияния силы Ко риолиса, вызванной общим вращением, наличия градиента поля ско рости и градиента интенсивности турбулентности = ( 2 )1 2.

Используя стандартные в электродинамике среднего поля соображения симметрии, получаем () () ( ) = 1 ( · ) 2 (( · ) + ( · )) 1 ( · ) ( ) 2 (( · ) + ( · ) ) () (, ) · ^ ( (0) + () + ( ) + () · ) (0) () · ( ) ( () + ( ) ) ( ) (() + ( ) ) · ()() () () : ()(), ^ где = 2 ( / + / ), =, = +, ^ () () ( ) = ( + ). Коэффициенты 1, 2, 1, · · · и () ^ определяются через, но не зависят от среднего поля скорости. C ис пользованием корреляционного приближения второго порядка выведе ны соотношения в общем виде для получения количественных оценок эффективных коэффициентов. Определены асимптотические значения турбулентных коэффициентов в пределах слабо и сильно проводящей среды. Процедуры и результаты вычисления коэффициентов подробно изложены в [5], где также проведен их сравнительный анализ с извест ными результатами.

Для определения влияния турбулентности на винтовое динамо в дис сертации проведен расчет критического магнитного числа Рейнольдса, определенного по параметрам среднего потока, в зависимости от его турбулентного аналога 0 (интенсивности турбулентности) и от параметра (отношение корреляционного масштаба турбулентности к радиусу канала).

Винтовое поле скорости имеет в цилиндрической системе координат 52. 50 0. 0. 47. RU RU 0. 115 0. 42. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Ru Ru * 0 Рисунок 3: в зависимости от для различных (отношение корреляционного масштаба турбулентности к радиусу сечения канала) с учётом (слева) и без учёта проводящей стенки (справа).

(,, ) вид = (0, (), ()).

Для конкретизации переходим в систему отсчета, движущуюся со ско ростью в рассматриваемой выделенной точке = 0. Ненулевыми компонентами остаются = / и = /, а имеет ненулевые = = 2 / и = = 1 /. В контек сте планируемого динамо-эксперимента предполагается, что является радиальным вектором, что приводит к следующей структуре 0 1 = 1 0 0.

2 0 () ( ) Слагаемые 1 и 1 исчезают, а ненулевыми остаются 1 1 ( ) ( ) () () ), 2 = (2 () ) 1 = (2 + 2.

2 2 Таким образом, среднее магнитное поле в направлении не генерирует электродвижущей силы в направлении или, а значит, и не даёт эффекта в стандартном понимании.

Влияние турбулентности исследовано численно в терминах,,, и -эффекта. На рис. 3 показано изменение критического числа Рейнольд са с учетом всех турбулентных слагаемых. При ряде предположений, сделанных относительно свойств турбулентности, ожидаемых в динамо эксперименте, Rm* может меняться лишь в пределах одного процента.

Однако при более высокой интенсивности турбулентности эффект ста новиться более значимым. Детальный анализ влияния каждого эффекта в отдельности выполнен в работе [6]. Ряд теоретических оценок удалось сопоставить с результатами экспериментов с винтовым потоком жидкого галлия [25]. Несмотря на эту особенность, -эффект способен поддержи вать динамо-процесс в некоторой степени. Две составляющих -эффекта (0) и () работают в противоположных направлениях: (0) приводит к дополнительной магнитной диффузии и увеличивает порог генерации, а () создает анизотропию и существенно усиливает винтовое динамо.

Аналогично -эффект поддерживает динамо-процесс, а -эффект проти водействует ему. Против винтового динамо всегда работает и -эффект.

Известно, что () и () -эффекты в сочетании с интенсивным вращением приводят к генерации магнитного поля, называемой -динамо (Рэд лер, 1969). Однако в случае винтового динамо показано, что комбинация этих двух механизмов не усиливает динамо-процесс.

В третьей главе исследуются свойства МГД-турбулентности c исполь зованием каскадных моделей. Основная идея каскадных моделей тур булентности состоит в построении цепочки обыкновенных дифферен циальных уравнений, описывающих процессы спектрального переноса энергии в развитой турбулентности. В случае МГД-турбулентности за дача состоит в том, чтобы сохранить для каждой октавы волновых чисел |k| +1, = 2 только пару комплексных переменных и, характеризующих пульсации скорости и магнитного поля в соответству ющих масштабах, и записать для этих переменных систему уравнений, сохраняющую "базовые" свойства исходных уравнений магнитной гид родинамики. Под базовыми свойствами понимается тип нелинейности и законы сохранения, которым исходные уравнения удовлетворяют в без диссипативном пределе. Аппарат каскадных моделей начал развиваться с задач о гидродинамической турбулентности и за последнее десятилетие был применен для исследования конвективной и магнитогидродинами ческой турбулентности.

В диссертации предлагается рад шагов по устранению недостатков ранее известных каскадных моделей с целью описания нелокальных вза имодействий и спиральности полей. Математическая формулировка раз работанной нелокальной каскадной модели для МГД заключается в сле дующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений = [ (,, ) (,, )] Re1 +, = [ (,, ) (,, )] Rm1, где * * [1 + ++1 + 2 +1 + 3 1 1 ] (,, ) = = представляет нелинейное взаимодействие мод с различным номером обо лочки, – турбулентная сила действующая в масштабе = 0. Опти мальным отношением толщин двух соседних оболочек является золотое сечение = (1 + 5)/2. При = 1 получается локальная каскадная модель для МГД, использованная в [7]. Дополнительные нелокальные взаимодействия при 2 соответствуют взаимодействиям всех воз можных триад, включающих моды из различных оболочек. Выражения для кинетической энергии и спиральности, магнитной энергии и спиральности, а также перекрестной спиральности имеют вид 1 | |2, (1) | | = = 2 1 1 | |2, (1) | | = = 2 1 * * = ( + ).

В бездиссипативном пределе ( = = 0) полная энергия = +, магнитная и перекрестная спиральности должны сохраняться ( = = = 0). Это позволяет однозначно определить коэффициенты и :

+1 (1) (1) 1 2 = + +1 = = + 1 = (1)+1 2 = 1 3 = 1.

В частном случае чистой гидродинамики ( = 0), коэффициенты будут удовлетворять условиям сохранения кинетической энергии и спи ральности ( = = 0). Коэффициент = 1 /(2 + ) зависит только от, а является свободным параметром и определяет степень интенсивности нелокальных взаимодействий.

Статистически стационарные численные решения каскадных уравне ний позволяют определить спектральное распределение энергии в раз витой МГД-турбулентности при различных значениях чисел Рейнольд са (см. рис. 4, справа). Была установлена зависимость порога генерации 37.5 2 log10 E 4 32. Rm 27.5 0 2 4 6 4 5 0 2 3 log10 Pm 1 log10 k Pm1.

Рисунок 4: Слева: зависимость порога генерации от Справа: спектр энергии кинетического и магнитного поля при Pm = 10.

мелкомасштабного магнитного поля от Pm (см. рис. 4, слева). Выход кри тического значение Rm на постоянное значение было невозможно пока зать методами прямого численного моделирования. Основываясь только на данных роста порога генерации при Pm 102 можно было сде лать неверное предположение об отсутствии мелкомасштабного динамо при малых числах Pm. Применение новой каскадной модели показало, что генерация магнитного поля при больших числах Pm характеризует ся особой ролью нелокальных взаимодействий мод различных масшта бов [8].

Исследован линейный режим экспоненциального роста энергии маг нитного поля и последующий нелинейный режим насыщения процесса генерации при малых значениях магнитного числа Прандтля. Насыще ние наблюдается сначала в мелких масштабах, а затем в крупных, ана логично обратному каскаду. Найденные решения хорошо совпадают с предлагаемыми аналитическими соотношениями, полученными из фе номенологического описания процесса [9]. Развитый аппарат каскадных моделей позволил исследовать МГД-турбулентность, стационарно под держиваемую внешней силой, которая наряду с энергией вносит в по ток заданное количество перекрестной спиральности. Показано, что пе рекрестная спиральность препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе. Это накопление происходит до тех пор, пока интенсификация вихрей не компенсирует падающую эффективность нелинейных взаимодействий [11].

С помощью развитового аппарата каскадных моделей удалось изучить процессы спектрального переноса в ряде специальных случаев. Исполь зованная каскадная модель гидродинамической турбулентности одина ково эффективна как для спиральной, так и для неспиральной турбу лентности. Показано, что при постоянном внесении спиральности на мас штабе возбуждения турбулентности, она переносится по всему инерцион ному интервалу как пассивная примесь, а ее диссипация происходит на тех же масштабах, что и диссипация энергии [12]. Предложена каскад ная модель, позволяющая исследовать сценарии развития турбулентного каскада энергии магнитного поля под влиянием эффекта Холла, действу ющего в сильно намагниченной среде [13, 14].

Четвертая глава просвещена разработке комбинированных моде лей динамо, состоящих из уравнений среднего поля, каскадных урав нений МГД-турбулентности и соотношений, определяющих сопряжение крупно- и мелкомасштабных полей. Построение комбинированных моде лей стало развитием идей каскадно-сеточного подхода. Конкретный вид модели динамо определяется структурой уравнений генерации крупно масштабного поля. Одним из самых простых случаев считается модель 2 -динамо, которая может быть записана в терминах полоидальной и тороидальной составляющих крупномасштабного магнитного поля в виде =, =, где – коэффициент -эффекта, а — эффективный коэффициент диф фузии турбулентной среды, — волновое число, определяющее мак ромасштаб. Также рассмотренная в диссертации модель -динамо, описывающая генерацию магнитного поля в тонком галактическом дис ке, представляет собой систему уравнении частных производных = sin() +, = +.

где – мера дифференциального вращения галактического диска, – тороидальная компонента векторного потенциала магнитного поля, – координата поперек диска.

Ключевой момент комбинированной модели состоит в том, чтобы свя зать уравнения среднего поля с каскадными уравнениями, описывающи ми динамику мелкомасштабных полей. Это сопряжение удается постро ить, исходя из тех же законов сохранения, на основе которых построены каскадные модели. Конечно, конкретная разработка искомого сопряже ния зависит от специфики рассматриваемой задачи, однако ряд возника ющих при этом проблем носит общий характер. Считается, что коэффи циент можно рассматривать как сумму двух составляющих и.

Первая составляющая в уравнениях среднего поля обычно оценивает ся с использованием спиральности мелкомасштабного поля следующим образом v rot v.

Вторая компонента связана с токовой спиральностью j rot j.

Эти оценки содержат множитель, который имеет размерность време ни. Предполагая, что определяется временем оборота вихря соответ ствующего масштаба, можно вычислить по каскадным переменным следующим образом (1) | |, (1) | | = = (1) | |.

= Диффузия крупномасштабного магнитного поля описывается коэф фициентом, который может быть оценен как 2.

В терминах каскадных переменных это соответствует выражению 1 | | + Rm1.

= Для определения обратной связи используется закон сохранения пол ной энергии, перекрестной и магнитной спиральности. Так, изменение характеристик крупномасштабного магнитного поля за счет действия эффекта, обусловленного мелкомасштабной турбулентностью в оболчке, определяется следующим образом = ( ), 0 [ ( ) ( )2 )2 ], = 0 [ 2 2 ], = 10 0.1 0. E E Er 0.001 0. E E 5 10 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 t t Рисунок 5: Эволюция энергии тороидального (толстая линия) и полоидального (пунктир) магнитного поля в турбулентном галактическом диске (энергия турбулент ных пульсаций показана тонкой черной линией). Из расчета исключены магнитный -эффект и контроль за балансом магнитной спиральности (левый рисунок). Учи -эффект и баланс магнитной спиральности (правый рисунок).

тывается магнитный где определяет прирост магнитной энергии за счет гидродинамическо го альфа-эффекта, – за счет магнитного -эффекта, а дает прирост магнитной спиральности за счет -эффекта. Приращения сохраняемых величин в крупномасштабном поле должны быть компенсированы их эквивалентной убылью в мелкомасштабной турбулентности, что обеспе чивают силы вида =*, * ( + 1 + + 1 ) для четных, = ( + 1)(* * ) ( + 1 1 ) для нечетных, = ( + 1)(* * ) входящие в каскадные уравнения. При этом изменение перекрестной спиральности мелкомасштабной турбулентности равно нулю. Заметим, что дифференциальное вращение в моделях -динамо рассматривает ся как неисчерпаемый источник энергии и спиральности. Модель поз воляет проанализировать роль отдельных связей, отвечающих за вза имодействие крупномасштабного магнитного поля с мелкомасштабной турбулентностью. В первом случае ( рис. 5, слева) в расчет принимался только гидродинамический -эффект ( 0) и не учитывался баланс магнитной спиральности ( 0). В этом случае экспоненциальный рост крупномасштабного поля выходит на насыщение при 150. То роидальное поле непосредственно генерируется за счет очень сильного и стабильного механизма дифференциального вращения? и его энергия существенно превосходит энергию полоидального поля, а в ее изменени ях отсутствуют быстрые вариации, обусловленные в полоидальном поле сильными флуктуациями турбулентности.

Во втором случае (рис. 5, справа) учитывается полный -эффект и строго контролируется баланс магнитной спиральности при взаимодей ствии турбулентности и крупномасштабного магнитного поля. В этом случае преобладание тороидального поля над полоидальным не столь выражено, а процесс генерации в целом становится менее устойчивым.

Накапливающаяся магнитная спиральность мелкомасштабного (турбу лентного) магнитного поля может приводить в конце концов к продол жительной блокировке крупномасштабного динамо. Такую блокировку динамо называют "катастрофической". Такое состояние наблюдается на интервале времени 300 400. Необходимость сброса магнитной спи ральности приводит к кратковременным инверсиям полоидального поля, а при достаточно длительной инверсии и к изменению знака тороидаль ного магнитного поля [16, 17].

Пятая глава содержит описание предложенных методов обработки и интерпретации наблюдений космических магнитных полей. Работа была направлена на решение фундаментальной проблемы определения круп номасштабной структуры магнитного поля нашей Галактики по данным астрофизических наблюдений. Наиболее достоверным индикатором маг нитного поля в межзвездной среде является фарадеевская мера враще ния поляризованного излучения некоторого радиоисточника внутри Га лактики или за ее пределами. Фарадеевская мера RM дает интегральную оценку магнитного поля вдоль луча, направленного на радиоисточник, и определяется выражением RM = e, где e — плотность свободных электронов, — расстояние до источника поляризованного излучения, в направлении которого и ведется интегри рование. Существует два типа источников: внегалактические (излучение проходит через всё магнитное поле нашей Галактики, и расстояние до ис точника не играет роли, = ) и внутригалактические (как правило, это пульсары, при рассмотрении которых учёт расстояния просто необхо дим). Обработка данных только внегалактических источников не позво ляет полностью определить структуру галактического магнитного поля, так как для анализа имеется лишь двумерная проекция на сфере [20].

В свою очередь, наблюдательные данные фарадеевских мер пульсаров Рисунок 6: Совместное распределение данных фарадеевских мер вращения пульса ров (радиоисточники внутри Галактики) и внегалактических источников радиоизлу чения с использованием “оптической толщины” (вид с торца галактического диска RM вверху, вид в плоскости внизу). Источники с отрицательными обозначены пу RM.

стыми кругами, с положительные — заполненными. Размер отражает величину весьма немногочисленны, а их распределение по галактическому диску крайне неравномерно. Основную новизну исследования представляет со бой идея развития и применения метода совместного анализа данных.

Восстановление структуры трехмерного поля по таким проекционным данным представляет собой очень сложную задачу, разрешаемую толь ко до определенной степени.

Процедура восстановления подинтегральной функции в выражении для RM отягощена рядом условий. Функция RM дискретна и известна только в точках расположения источников или на границе галактиче ского диска. Источники разбросаны существенно нерегулярно по дис ку, а их низкая плотность распределения не позволяет провести простое осреднение. Данные сильно зашумлены как за счет ошибок измерений, так и наличием сильной турбулентной составляющей магнитного поля.

В диссертационной работе был разработан подход, так или иначе пре одолевающий эти проблемы и позволяющий восстанавливать трехмер ное поле по имеющимся на данный момент наблюдательным данным.

Комбинирование данных было выполнено за счет введения расстояния между источниками не в килопарсеках, а в единицах дисперсионной ме Рисунок 7: Результат восстановления крупномасштабных структур магнитного поля в галактической плоскости.

ры, определяемой выражением 2 с.

DM = e На рис. 6 хорошо видно, как внегалактические источники покрывают поверхность эффективного галактического диска, а пульсары заполняют его. Это даёт бесспорные преимущества при дальнейшей обработке.

Метод анализа, который был развит в данной работе, основан на вейвлет-преобразовании и уже зарекомендовал себя как удобный ин струмент, охватывающий весь спектр проблем, включающих распозна вание образов, масштабный и корреляционный анализ [20]. Вейвлеты на данный момент являются одним из самых удобных инструментов ана лиза многомерных полей путем разделения пространственных струк тур с различными размерами. Особое значение имеет свойство вейвлет преобразования, дающее возможность исследования дифференциальных характеристик анализируемых сигналов, не проводя дифференцирова ние самих сигналов — очень неустойчивой процедуры. Именно это свой ство было положено в основу разработанной методики, которая подробно изложена в работе [19].

В дальнейшем представлялось целесообразным отдельно сформули ровать задачу регуляризации операции дифференцирования зашумлён ных данных на языке вейвлет-представления сигналов, которое позволя ет естественным образом совместить преимущества работы в физическом пространстве и пространстве Фурье. В работе [23] подробно рассматри ваются различные алгоритмы приближенного вычисления производной Рисунок 8: Анализ тестового сигнала, состоящего из регулярных спиральных струк тур и шума в виде ярких точечных источников (слева). Вариация угла закрутки спиралей по азимуту (справа).

функции, заданной неточно. Алгоритм дифференцирования с исполь зованием вейвлет-преобразования сравнивается с алгоритмом на основе преобразования Фурье и алгоритмами вычисления производной в физи ческом пространстве. Проведена численная оценка погрешности вычис лений различных алгоритмов на модельных примерах.

В обработку были включены практически все данные RM, которые можно найти в опубликованных каталогах. В настоящий момент это по рядка 1000 источников. В результате обработки удалось получить устой чивые к ошибкам измерений данные относительно глобальной структуры магнитного поля Галактики, что впервые позволило сделать ряд суще ственных выводов: оценить параметры спиральной структуры крупно масштабного магнитного поля, определить направление магнитного поля в спиральных рукавах, выявить наличие сдвига между рукавами иони зированного газа и магнитными рукавами. На рис. 7 показан пример вос становления структуры крупномасштабного магнитного поля в плоско сти галактического диска, получаемые в результате вейвлет-обработки.

Солнце расположено в начале координат. Линиями изображены оптиче ские спиральные рукава. Хорошо видно, как магнитные рукава отклоня ются от оптических. Область, где данных недостаточно для получения устойчивых результатов, остается белой. Результаты раздела подробно изложены в научных статьях [19, 23].

Рассматривается обратная задача определения спиральных свойств турбулентного магнитного поля по наблюдаемым интегральным харак теристикам. Впервые предлагается принципиальное решение проблемы, устанавливающее связь между величиной магнитной спиральности и уров нем коррелированности меры фарадеевского вращения со степенью по ляризации синхротронного излучения. Эффект деполяризации играет решающую роль и позволяет проводить диагностику магнитной спираль ности в определенном диапазоне длины волны наблюдаемого радиоизлу чения.

Применение вейвлет-алгоритмов показало свою эффективность и при анализе спиральных рукавов внешних галактик. Диски галактик в боль шинстве случаев демонстрируют спиральную структуру в распределении звезд, газа, пыли и магнитного поля. Спиральные рукава наблюдаются как по интенсивности синхротронного радиоизлучения, так и по ориен тации плоскости поляризации, связанной с крупномасштабным магнит ным полем. Сравнение положение и ориентации различных спиральных компонент межзвездной среды может дать важную информацию о аст рофизической связи газа, пыли и магнитного поля в галактиках. Так же хотелось бы определить разделение различных на границах ударных волн и систематической сдвиг, ожидаемый в теории.

С использованием анизотропных вейвлетов была разработана техника изолирования вытянутой структуры в галактических изображениях, та ких как спиральные рукава. Тестированию этой методики было уделено значительное внимание. На рис. 8 показан тестовый сигнал и результат определения углов закрутки спиралей. Методика была применена к рас пределению газа, инфракрасного и радиоизлучения галактики М51, обладающей ярко выраженной спиральной структурой.

Был установлен систематический сдвиг между рукавами, инфра красного и радиоизлучения протяженностью несколько килопарсек, а также вариации угла закрутки спирали порядка нескольких десятков градусов. На рис. 9 показано положение рукавов различных компонент в галактической плоскости. Было обнаружено два типа рукавов поля ризованного излучения: один расположен там же, где и рукав, с углом спирали близким к направлению магнитного поля, второй не все гда совпадает с рукавом и имеет угол закрутки спирали, отличный от направления магнитного поля. Смещения между положениями регу лярного магнитного поля, плотного газа и разогретой пылью сравнимы с предсказаниями теории образования звезд. Подробное изложение ме тодики результатов анализа представлено в работе [22].

Шестая глава содержит обсуждение экспериментальных результатов, направленных на прямое измерение средней турбулентной электродви жущей силы и индукционных механизмов динамо-цикла. Для изучения взаимодействия магнитных полей и нестационарных турбулентных спи Рисунок 9: Положение рукавов различных компонент в плоскости галактики М51.

6см, ISO - 15м инфракрасное I6 и PI6 — полное и поляризованное радиоизлучение излучение.

ральных потоков проводящей жидкости в ИМСС УрО РАН была со здана и затем неоднократно модернизировалась специальная экспери ментальная установка. Основная физическая идея, обеспечивающая воз буждение потоков, та же, что и в установке для планируемого динамо эксперимента – закон инерции: тороидальный канал с жидкостью рас кручивается вокруг главной оси симметрии до больших накапливаемых жидкостью энергий и затем резко тормозится. В качестве рабочей жид кости был выбран сплав галлия, что обеспечило возможность проведения экспериментов при комнатной температуре канала. Достижимое значе ние Rm было порядка 1, но этого уже достаточно для проявления ин дукционных эффектов.

В первом цикле экспериментальных работ ставился о вопрос об индук ционных механизмах, возникающих при внешнем наложенном магнитом поле. Обработка экспериментальных данных позволила воссоздать по лую трехмерную структуру магнитного поля, индуцированного вокруг тороидального канала (рис. 10). Было показано, что винтовое течение эффективно вытягивает магнитные силовые линии вдоль канала и ча стично поворачивает вокруг внутренней оси тора. Анализ нестационар ного поведения индуцированного поля дал возможность проследить ха рактер распространения фронта завихренности. Эта информация была использована при численном моделировании винтового динамо в главе 1.

Следующим этапом экспериментальных исследований была попытка получения -эффекта. С одной стороны, крупномасштабное течение об Bb B Bb IB Ww I U Tt Рисунок 10: Схема магнитных полей, возникающих в результате индукции продоль ной компонентой поля скорости (слева) и азимутальной компонентой (справа).

лает выраженной спиральностью и можно ожидать, что в результате каскада по спектру турбулентность тоже будет спиральной. В пользу этого говорили наблюдения за турбулентностью в винтовом потоке во ды, где визуализация осуществлялась калероскопическими частицами. С другой стороны, из теоретического анализа турбулентной электродвижу щей силы, проведенного в главе 2, следовало, что -эффект может воз никать и без спиральной турбулентности. В результате эксперименталь ных работ было обнаружено действие ЭДС в направлении наложеного поля, которое зависело от знака спиральности потока. Однако наблюда емый эффект получил неожиданное объяснение. Характер зависимости от времени указывал на то, что эффект является результатом продоль ного градиента турбулентных пульсаций и завихренности, возникающих сразу после начала остановки канала и может быть представлен в виде = (, ) ( or ).

Последним шагом поисков турбулентных эффектов был эксперимент, где впервые были проведены прямые измерения эффективной проводи мости (магнитной вязкости) в турбулентном потоке жидкого металла.

Пиковые значения числа Рейнольдса достигали значения Re 106, что соответствует магнитному числу Рейнольдса Rm 1. Проводимость ме талла в канале определялась по сдвигу фаз вынужденных гармониче ских колебаний в последовательном колебательном контуре, индуктив ностью которого являлась намотанная на канал тороидальная катуш ка. Полученный эффект имел нестационарный характер так же, как и возбуждаемое течение, достигая максимум в момент полной остановки (рис. 11, слева). Зависимость от скорости вращения тора, показанная на рис. 11, справа, носит нелинейный характер. Максимальное отклонение (а) (б) 0. 0. 0. 0., 1. 0. 0.05 1. 0. 2. 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 30 35 40 45 50 t, s,s за вычетом деформационного вклада со вре Рисунок 11: (а) Изменение сдвига фаз менем при различных начальных частотах вращения тора (сверху вниз 55, 50, 45, и 35 с ). Резонансные частоты 166 Гц. (б) Зависимость максимального относитель ного отклонения проводимости металла в канале от начальной частоты вращения.

канала Частота резонанса 166Гц (квадратики), 954Гц (кружки).

эффективной проводимости турбулентной среды от омической проводи мости металла составило порядка 1%. Полное описание условий экспери ментов и полученных результатов всего цикла работ изложено в [24–28].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ а) В задаче о винтовом динамо установлена зависимость критических параметров от всех основных факторов, влияющих на процесс гене рации: электрических и магнитных свойств среды и стенки канала, пространственно-временных свойств поля скорости и геометрии ка нала. Получены оптимальные параметры экспериментальной уста новки для реализации винтового динамо.

б) В рамках теории среднего поля на основе корреляционного анали за определена полная структура средней турбулентной электродви жущей силы, возникающей при наличие общего вращения и произ вольного сдвигового среднего поля скорости в условиях однородной и неоднородной турбулентности. Показано, что действия различных эффектов может носить конкурирующий характер.

в) Построены новые каскадные модели однородной и изотропной МГД турбулентности, с помощью которых получено детальное описание процессов переноса кинетической и магнитной энергии по спектру при больших значениях чисел Рейнольдса. Показано, что при ма лых значениях магнитного числа Прандтля критическое значение магнитного числа Рейнольдса выходит на постоянное значение. При больших значениях магнитного числа Прандтля существенную роль играют нелокальные взаимодействия структур разных масштабов.

Предложен сценарий насыщения мелкомасштабного динамо. Выяв лено, что перекрестная спиральность препятствует каскадному пе реносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе.

г) Построены комбинированные модели 2 - и -динамо, включаю щие в себя формирование крупномасштабного магнитного поля при участии мелкомасштабной турбулентности, описание динамической эволюции мелкомасштабных полей и обратного действия среднего магнитного поля на статистические свойства МГД-турбулентности.

Получено динамическое подавление составляющих -эффекта, при водящее к характерной стабилизации крупномасштабного магнит ного поля.

д) На основе вейвлет-анализа разработан и применен метод определе ния структуры галактических магнитных полей по интегральным оценкам – фарадеевской меры вращения внегалактических радиои сточников совместно с данными по пульсарам. Предложен подход к оценке статистических свойств МГД-турбулентности в межзвездной среде по распределениям поляризационных наблюдений.

е) Получено экспериментальное подтверждение положений теории сред него поля на установке с жидким галлием. Впервые проведено пря мое измерение турбулентной электродвижущей силы, возникающей в направлении внешнего магнитного поля (-эффект), и коэффици ента турбулентной магнитной диффузии (-эффект). Эксперимент с наложенным внешним полем подтвердил работу основных индук ционных механизмов винтового динамо, которое планируется полу чить на бльшей установке с жидким натрием.

о СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основные результаты прямого численного моделирования опублико ваны в [1–4]. Теоретические положения и численные расчеты в рамках теории среднего поля представлены в [5, 6]. Исследование свойств мел комасштабной МГД-турбулентности с использованием каскадных моде лей изложено в [7–14]. Развитие каскадно-сеточных моделей и решение с их помощью задач многомасштабного динамо опубликовано в [15–17].

Разработка и применение методов анализа астрофизических наблюдений представлено в [18–23]. Постановка, реализация экспериментальных ис следований и интерпретация их результатов, выбор и апробация схемы измерений представлено в [24–29].

[1] Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stanionary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. Vol. 38, № 1–2. P. 143–162.

[2] Dobler W., Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // Physical Review E. 2003. Vol. 67, № 5. P. 056309–+.

[3] Степанов Р. А., Чупин А. В., Фрик П. Г. Винтовое МГД динамо в торе // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. T. 1, № 1.

C. 109 – 117.

[4] Shukurov A., Stepanov R., Sokoloff D. Dynamo action in Mbius flow o // Physical Review E. 2008. Vol. 78, № 2. P. 025301–+.

[5] Rdler K.-H., Stepanov R. Mean electromotive force due to turbulence a of a conducting fluid in the presence of mean flow // Physical Review E. 2006. Vol. 73, № 5. P. 056311–+.

[6] Rdler K.-H., Stepanov R. On the effects of turbulence on a screw a dynamo // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006.

Vol. 100, № 4–5. P. 379–395.

[7] Stepanov R., Plunian F. Fully developed turbulent dynamo at low magnetic Prandtl numbers // Journal of Turbulence. 2006. Vol. 7. P. 39– +.

[8] Plunian F., Stepanov R. A non-local shell model of hydrodynamic and magnetohydrodynamic turbulence // New Journal of Physics. 2007.

Vol. 9. P. 294–+.

[9] Stepanov R., Plunian F. Phenomenology of Turbulent Dynamo Growth and Saturation // Astrophysical Journal. 2008. Vol. 680. P. 809–815.

[10] Степанов Р. А. Оптимизация методов численного интегрирования каскадных моделей // Вычислительные методы и программирова ние. 2002. T. 3. C. 176–179.

[11] Мизёва И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Влияние перекрестной спиральности на каскадные процессы в МГД-турбулентности // До клады Академии Наук. 2009. T. 424, № 4. C. 479 – 483.

[12] Степанов Р. А., Фрик П. Г., Шестаков А. В. О спектральных свой ствах спиральной турбулентности // Известия АН. Механика жид кости и газа. 2009. C. 33–43.

[13] Frick P., Stepanov R., Nekrasov V. Shell model of the magnetic field evolution under Hall effect // Magnetohydrodynamics. 2003. Vol. 39, № 3. P. 327–334.

[14] Frick P., Stepanov R., Rheinhardt M. Shell models for Hall effect induced magnetic turbulence // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9.

P. 293–+.

[15] Frick P., Stepanov R., Sokoloff D. Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo // Physical Review E. 2006.

Vol. 74. P. 066310–+.

[16] Stepanov R., Frick P., Sokoloff D. A multi-scale disk dynamo model // Astronomische Nachrichten. 2006. Vol. 327. P. 481–+.

[17] Степанов Р. А., Фрик П. Г., Соколов Д. Д. Сопряжение уравнений динамо средних полей и каскадной модели турбулентности на при мере задачи галактического динамо // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. T. 1, № 4. C. 97 – 108.

[18] Stepanov R., Arshakian T. G., Beck R., Frick P., Krause M. Magnetic field structures of galaxies derived from analysis of Faraday rotation measures, and perspectives for the SKA // Astronomy and Astrophysics.

2008. Vol. 480. P. 45–59.

[19] Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D. Wavelet tomography of the Galactic magnetic field. I. The method // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 391. P. 361–368.

[20] Frick P., Stepanov R., Shukurov A., Sokoloff D. Structures in the rotation measure sky // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2001. Vol. 325. P. 649–664.

[21] Мизёва И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Вейвлетные кросскорре ляции двумерных полей // Вычислительные методы и программи рование. 2006. T. 7. C. 172–179.

[22] Patrikeev I., Fletcher A., Stepanov R., Beck R., Berkhuijsen E. M., Frick P., Horellou C. Analysis of spiral arms using anisotropic wavelets:

gas, dust and magnetic fields in M51 // Astronomy and Astrophysics.

2006. Vol. 458. P. 441–452.

[23] Патрикеев И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Вейвлет регуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом // Вычислительные методы и программирование. 2005. T. 6. C. 35–42.

[24] Noskov V., Denisov S., Frick P., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R. Magnetic field rotation in the screw gallium flow // The European Physical Journal B. 2004. Vol. 41, № 4. P. 561–568.

[25] Stepanov R., Volk R., Denisov S., Frick P., Noskov V., Pinton J.-F.

Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium // Physical Review E. 2006. Vol. 73, № 4. P. 046310–+.

[26] Денисов С. А., Носков В. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Измерения эффективной проводимости турбулентной проводящей жидкости // Письма в ЖЭТФ. 2008. T. 88, № 3. C. 198–202.

[27] Noskov V., Stepanov R., Denisov S., Frick P., Verhille G., Plihon N., Pinton J.-F. Dynamics of a turbulent spin-down flow inside a torus // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, № 4. P. 045108–+.

[28] Frick P., Denisov S., Noskov V., Stepanov R. Direct measurement of effective electro conductivity of turbulent liquid metal // Astronomische Nachrichten. 2008. Vol. 329. P. 706–+.

[29] Халилов Р. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г., Хрипченко С. Ю. Элек тромагнитные измерения уровня жидкого металла в замтнутых объ емах // Измерительная техника. 2007. T. 8. C. 41–44.