Методика и технические средства механических испытаний тел, имеющих спирально-анизотропную структуру
На правах рукописи
РЕЗНИКОВ Станислав Сергеевич МЕТОДИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ ТЕЛ, ИМЕЮЩИХ СПИРАЛЬНО-АНИЗОТРОПНУЮ СТРУКТУРУ Специальность 05.11.01 – Приборы и методы измерения по видам измерений (механические величины)
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Санкт-Петербург – 2009
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики»
Научный консультант: д.т.н., профессор Мусалимов Виктор Михайлович
Официальные оппоненты: д.т.н., профессор Ефремов Леонид Владимирович к.т.н., доцент Заборский Евгений Васильевич
Ведущая организация: ОАО «Электромеханика»
Защита состоится 16 июня 2009 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.212.227.04 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики» по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, ауд. 461.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики».
Автореферат разослан 14 мая
Ученый секретарь Диссертационного совета к.т.н., доцент Киселев С.С.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Тела со спирально-анизотропной структурой (далее ТСАС) являются обобщением математической модели таких тел как тросы, канаты, пряжи, кабели, упругие чувствительные элементы, упругие подвесы, витые пружины и др. При проектировании и расчете на прочность выше указанных конструкций, важно уметь определять характеристики их упругих свойств. До настоящего времени вопрос об экспериментальном определении упругих характеристик ТСАС и решении с их помощью задачи теории упругости о напряжённо-деформированном состоянии рассматривался лишь частично. Объективная оценка этих характеристик может быть получена путем расчета и испытаний. Однако, в настоящее время испытания подобных упругих тел проводятся по «обходной технологии» (на прочность проверяются отдельные волокна, а затем по специальной формуле высчитывается суммарные жесткостные характеристики). В этой связи приобретает особую актуальность совершенствование методов и создание средств определения упругих характеристик ТСАС, позволяющих определять физико-механические характеристики всего тела в целом. Поскольку в основе определения этих характеристик лежат экспериментальные измерения, возможен вероятностный подход к ошибкам, неизбежно сопутствующим любому измерению.
Большой вклад в создание и развитие методов экспериментально аналитического определения физико-механических характеристик ТСАС внесли зарубежные ученые: Дж. Твайтс, П. Теоцарис, С. Чуи, Дж. Херл. Ими были сформулированы основы теорий отдельных категорий ТСАС.
Экспериментальным исследованиям и методам расчета упругих постоянных ТСАС посвящено много основополагающих работ наших соотечественников: С.А. Амбарцумян, А.Н. Динник, Ю.А. Устинов, В.М.
Мусалимов, И.И. Ворович, А.Н. Друзь, И.П. Гетман.
Несмотря на значительно количество теоретических моделей и методов экспериментального исследования, по-прежнему остается нерешенной проблема аналитического описания ТСАС, как сложных объектов.
Таким образом, проблема создания устройства для определения упругих характеристик ТСАС и разработки методики проведения экспериментальных исследований, является актуальной.
Целью диссертационной работы является обоснование и разработка экспериментально-теоретического метода определения характеристик упругих свойств ТСАС.
Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:
• Провести анализ существующих методов определения упругих постоянных спирально-анизотропных тел;
• Построить математическую модель спирально-анизотропного тела;
• Разработать технические средства для проведения испытаний спирально анизотропных тел;
• Разработать методику проведения испытаний;
• Разработать программу для снятия данных с датчиков по схеме стесненное кручение;
Методы исследования поставленной задачи основаны на использовании основных уравнений теории упругости спирально-анизотропного тела, математической статистики и теории вероятностей.
Математической моделирование, обработка результатов исследования и проверка правильности математического описания выполнялись на ПЭВМ при помощи программного обеспечения Microsoft Excel, Borland C++, MathCAD, Matlab, Maple, Inventor Autodesk, Ansys и др.
Основные положения, выносимые на защиту:
• Установка для механических испытаний спирально-анизотропных тел по схеме стесненное кручение;
• Метод исследования физико-механических характеристик спирально анизотропных стержней;
• Методика обработки результатов экспериментов на основе вероятностного подхода;
• Результаты моделирования механических испытаний ТСАС методом конечных элементов Научная новизна работы заключается в следующем:
• В диссертации описана оригинальная установка для механических испытаний спирально-анизотропных тел по схеме стесненное кручение и метод проведения расчетно-экспериментальной работы;
• Разработан метод обработки результатов экспериментов по определению модулей упругости спирально-анизотропного тела;
• Построена численная модель спирально-анизотропного тела;
Обоснованность научных положений, рекомендаций, достоверность результатов проведенных в диссертации исследований подтверждена:
• Применением современных средств измерений и обработки данных;
• Результатами испытаний полученных с разработанной установки;
• Современными аналитическими методами, основанными на классических теориях упругости;
• Использованием компьютерных методов исследований.
Практическая значимость и реализация результатов. По результатам диссертационной работы получен патент РФ на конструкцию и принцип действия мехатронного модуля «Стесненное кручение», подана заявка на патент РФ на конструкцию и принцип действия устройства для преобразования микроперемещений на основе использования спирально-анизотропных стержней. Опубликовано учебное пособие для студентов кафедры Мехатроника СПбГУ ИТМО. Результаты работы внедрены в СПбФ ИЗМИРАН им. Н.В.
Пушкова, и в учебный процесс кафедры Мехатроники СПбГУ ИТМО при проведении занятий со студентами по курсам «Аналитическая механика» и «Специальные разделы математики».
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 9-ти конференциях различного уровня, в том числе на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа г.;
VII и VIII сессии международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов», Санкт-Петербург, 24 – 28 октября 2005 г. и 22 - 27 октября 2007 г.
соответственно, II, III, IV, VI межвузовских конференциях молодых ученых СПБГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2007, 2009 г., на XXXVIII научно-методической конференции ППС СПбГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 2009 г.
Публикации. Основные результаты работы отражены в 9 публикациях, в том числе тематических выпусках научно-технического вестника СПб ГУ ИТМО, материалах конференций. Получен патент РФ Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 85 наименований и приложений. Основной текст работы изложен на 105 страницах, включает в себя 4 таблицы и 40 рисунков.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи работы, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, основные положения, выдвинутые на защиту. Приведена краткая характеристика работы.
В первой главе диссертации представлен обзор существующих приборов и устройств, позволяющих определить физико-механические характеристики упругих тел. Рассмотрена эволюция представлений о модулях упругости, начиная с Эйлера. Приведен сравнительный анализ экспериментов по определению динамических и квазистатических модулей упругости для многих металлов, которые проводились Г. Вертреймом, А.Т. Купфером, В. Фохтом, Ф.
Кольраушом, Г. Томплинсоном, Э. Грунзеймом.
Представлен анализ патентной и научно-технической литературы по теме исследования. Рассмотрены схемы испытания для определения упругих постоянных спирально-анизотропных тел. Приведены схемы испытаний кабельных конструкций, разработанные В.М. Мусалимовым и Б.В. Соханевым.
Проведен анализ существующих методов измерения и выявлены основные достоинства и недостатки методов, определены направления для работы по построению новой системы проведения экспериментов.
В данной работе был проведен информационный поиск по реферативным журналам за последние 15 лет. Он содержит 166 наименований, из которых работ напечатано на русском, а остальные – на английском, французском, японском и других языках. Среди этих работ: 14 – сборники трудов различных конференций и семинаров, 104 – статьи в различных научных журналах, 7 – авторефератов диссертаций, 2 – монографии и прочее.
Во второй главе приводится вывод уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние спирально-анизотропного тела.
Описывается история изменений взглядов на описание упругих свойств тросиков, канатов и пряж.
Классические задачи теории упругости анизотропного тела ставились, в основном, для простейших типов прямолинейной анизотропии. Различные задачи теории упругости анизотропного тела рассматривались в работах С.Г.
Лехницкого, А.М. Линькова, П.Н.Житкова, С.А.Амбарцумяна, А.А. Баблояна, Е.К.Ашкенази,, Ю.А. Устинова, и других ученых.
Спирально-анизотропным телом называют упругое анизотропное тело, имеющее ось анизотропии, у которого все упруго-эквивалентные направления образуют семейство винтовых линий одинакового шага h, коаксиальных с осью анизотропии. Все волокна, лежащие на некотором внутреннем цилиндрическом слое r=const (r- расстояние до оси анизотропии), имеют один и тот же угол винта a (а – угол между осью анизотропии и касательной к волокну).
z r h h 2r Рис. 1. Винтовая линия шага h на развертке цилиндра радиуса r.
Рассматриваемый случай спиральной анизотропии позволяет связать с телом криволинейную ортогональную систему координат, обладающую отмеченным выше качеством, а именно – совпадением координатных линий с упруго-эквивалентыми направлениями.
Выберем в пространстве x, y, z некоторую прямую Oz в качестве оси геликоидальной системы координат. Свяжем с осью Oz семейство круговых цилиндров. На каждом цилиндре r = const выберем семейство винтовых линий (спиралей) шага h. Через каждую точку пространства пройдет одна единственная спираль шага h. Угол винта всех спиралей, лежащих на одном и том же цилиндре будет одинаков, но будет различен для спиралей, принадлежащих разным цилиндрам.
На рис.2 изображены координатные поверхности цилиндрических координат:
r = const (цилиндр), z = const (плоскость, перпендикулярная Oz ), = const (плоскость, содержащая Oz ), и триэдр единичных векторов er, e, ez. Из рисунка видно, что единичные векторы геликоидальной системы координат: er, e, e получены поворотом триэдра ( er, e, ez ) вокруг оси er против хода часовой стрелки на угол ( / 2 ), где угол винта соответствующей спирали. Координатными линиями геликоидальной системы координат, таким образом, являются:
(r ) - радиальные прямые, перпендикулярные оси Oz ;
( ) - винтовые линии шага h ;
( ) - винтовые линии с круткой, противоположной линиям ;
z ez z=const e e e er,er r=const y =const x Рис. 2. Координатные векторы геликоидальной системы координат На рис. 2:
r er - вектор нормали к винтовой линии;
r e - вектор касательной к винтовой линии;
r e - вектор бинормали к винтовой линии.
ei = Cij e j i {r,,}, j {r,, z} где 1 Cij = 0 sin cos 0 cos sin Выводятся формулы, которые связывают компоненты тензоров напряжений и деформаций в геликоидальной и цилиндрической системе координат. Записываются уравнения равновесия в геликоидальной системе координат.
Производится запись физических уравнений состояния упругой спирально анизотропной среды в геликоидальной системе координат. С учётом того, что все радиальные направления в поперечном сечении в реальных конструкциях тел, имеющих спирально-анизотропную структуру (канаты, кабели, крученые пряжи) тождественны в отношении упругих свойств, в определяющих уравнениях остаётся лишь шесть упругих констант материала.
Записываются уравнения равновесия спирально-анизотропного тела в случае осесимметричного нагружения, когда ось Oz является силовой осью симметрии.
Рассматривается случай растяжения спирально-анизотропного цилиндрического стержня. Отмечается, что при малых деформациях реальные конструкции тел со спиральной анизотропией практически не меняют своего объёма. С учётом этого условия получена система уравнений, связывающая внешние усилия, деформации и интегральные упругие постоянные спирально анизотропного стрежня.
Для получения зависимостей внешних силовых факторов от угла наклона 0 воспользуемся известными формулами:
P = z dF F M t = z rdF F Переходя под интегралами к переменной, получим:
2 tan 2 d P= cos z k 2 3 z tan 2 d Mt = cos k Интегрирование этих выражений приводит к следующим зависимостям:
P = A11e + A R 2 E * (1) Mt = A21e + A R 3 E * где A11 = 1 3 f1 ( 0 ) 9 f 2 ( 0 ) A12 = A21 = f1 ( 0 ) + 6 f 2 ( 0 ) 1* m tan 2 0 4 f 2 ( 0 ) A22 = (2) ( ) f1 ( 0 ) = 1 m * 1 2ctg 2 0 ln sec 1 * 1 f 2 ( 2 ) = 2 * m 2 sin 0 1 + 2ctg 0 ln sec 2 Описывается построение модели спирально-анизотропного стержня в пакетах прикладных программ Inventor Autodesk и Ansys. Осуществлены различные схемы испытания. Моделирование проводилось для конструкции кабеля с различным числом волокон и сплошного анизотропного цилиндра со спиральной конструкционной анизотропией.
Для этого он был представлен расчетной схемой, изображенной на рис. Рис. 3. Схема моделирования эксперимента Проведен анализ точности моделирования тросика сплошным спирально анизотропным стержнем (см. таблицу 1).
Таблица 1.Результаты моделирования ТСАС и тросика методом конечных элементов Количество волокон 4 6 Разность в деформациях при моделировании ТСАС и тросик e, % 0,15 0,12 0,,% 0,14 0,10 0, В третьей главе рассмотрена экспериментальная установка (рис. 4) и результаты испытаний (рис. 5), проведенных автором в составе коллектива сотрудников и аспирантов кафедры мехатроники.
Рис. 4. Конструкция макета Рис. 5. Экспериментальная зависимость Опорной поверхностью устройства является плита из текстолита 1.
Направляющая 3 имеет пазы для передвижения по ним детали 4, которая препятствует вращению плиты при скручивании тросика. К плите крепится зажимная цанга 5, в которую зажимается тросик. Для обеспечения плавного перемещения плиты нижней в вертикальном направлении, при скручивании испытуемого тросика применяются четыре пружины 2.
Описывается усовершенствованное устройство для определения упругих постоянных спирально-анизотропных тел исследования.
На структурной схеме (рис. 6) указаны все элементы, имеющиеся в разработанном устройстве.
Рис. 6. Структурная схема установки Его конструкция представлена на рис.7.
Устройство относится к области исследования физико-механических свойств материалов.
Исследуемый стержень одним концом при помощи муфты крепится к электродвигателю. Двигатель имеет два выходных вала: на втором конце вала установлен датчик угловых перемещений. В данном устройстве реализуется схема испытания «стесненное кручение» Для реализации запрета на поворот второго конца стержня используется мембрана, которая обладает значительной крутильной жесткостью. Края мембраны закреплены в корпусе. Таким образом, другой конец стержня имеет возможность только линейно перемещаться.
Рис. 7. Чертёж экспериментальной Рис. 8. Схема деформации мембраны установки Перечень деталей, обозначенных на рис. 1, 2, 3 – кольца;
20 – двигатель;
4, 5, 6 – части корпуса;
21 – мембрана;
7, 8 – крышки;
22 – муфта;
9 – полумуфта;
23 – преобразователь угловых 10, 11 – прокладки;
перемещений;
12, 13 – стаканы 24 – пьезо шайба предохранительные;
У заделанных по концам или по контуру пластин и мембран прогиб сопровождается удлинением нейтральной линии. Это приводит к появлению дополнительного механического напряжения, пропорционального не первой, а второй степени давления. Возникающая вследствие этого нелинейность не связана со свойствами материала, а определяется чисто геометрическими соотношениями и существенно ограничивает использование таких преобразователей в качестве измерительных.
Прогиб центра мембраны 3 (1 µ 2 ) R 4 8 2 2 R P (1 µ ).
( 0) = P h E h 3 16 E Системой управления на валу двигателя создается определенный крутящий момент, и нижний конец стержня совершает микроперемещения в вертикальной плоскости. При этом пьезодатчик фиксирует величину удлинения и возникающее осевое усилие. Пьезодатчик выполнен в виде набора пьезо шайб, которые находятся в изолированном корпусе.
Программа имеет возможность фиксировать серии проводимых опытов, что позволяет осуществлять построение гистограмм. Все полученные данные (экспериментальные и расчётные) сохраняются в удобных для дальнейшей обработки форматах.
Автором было разработано оригинальное устройство для опытов на стесненное кручение. Разработанный прибор позволяет реализовать необходимые опыты по определению упругих характеристик спирально анизотропных стержней с максимальной степенью автоматизации: необходимо только закрепить испытуемый образец и запустить программу с предварительно установленными параметрами эксперимента.
Данные исследования сохраняются на компьютере.
В четвертой главе описывается методика проведения эксперимента.
Указано что для определения упругих необходимо провести серию трех из четырех возможных экспериментальных ситуаций, каждая из которых будет описываться определенной совокупностью уравнений В таблице 2 приведены схемы, по которым проводятся исследования физико-механических характеристик спирально-анизотропных стержней.
Таблица 2. Схемы проведения экспериментов Свободное Свободное Стесненное Стесненное растяжение кручение растяжение кручение 0 = a11e + a12 ;
P = a11e + a12 ;
R M = a21e + a22.
0 = a21e + a22. R P = a12 ;
P = a11e;
R R M = a22.
M = a 21e. R 3 R 3 Показано, как использовать вероятностный подход в задаче определения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня, которые рассматриваются как случайные величины.
Отмечается что основной для определения интегральных упругих постоянных E1*, G1*, 1* спирально-анизотропного стержня является система уравнений (1). Для определения 11, 12, 22 необходимо проведение трёх серий опытов на стесненное растяжение, стесненное кручение и свободное растяжение.
Из системы уравнений (1) получены аналитические выражения для определения интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня в виде функций от экспериментально получаемых характеристик ij :
E1 = C1111 + C1212 + C13 22, (3) G1 = C 21 11 + C 22 12 + C 23 22, (4) C + C32 12 + C33 1* = 31 11 (5) P31 11 + P32 12 + P33 В соответствии со статистическим подходом к интерпретации ошибок в задании исходных данных сделано вероятностное описание интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня при условии, что характеристики, полученные из экспериментов ig - независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному закону распределения с математическими ожиданиями mi и дисперсиями s i (/={1,2,3}) соответственно.
Гауссовская модель погрешности в задании ошибок измерения, принята потому, что она соответствует гистограммам, построенным по результатам проведенных опытов, а также потому, что она более адекватна для многих реальных физических шумов, сопутствующих измерениям.
Из трёх серий экспериментов получаются опытные данные для определения 11, 12, 22. С использованием методов математической статистики получаются математические ожидания этих величин m1, m 2 и m 3.
Эти значения подставляются в выражения (3), (4), (5), таким образом, получаются статистические оценки интегральных упругих постоянных E1*, G1*, 1* спирально-анизотропного стержня.
x C1i mi f E1 ( x ) = i = exp 2 C12i s i 2 C1i s i i = i = x G2i mi exp f G1 ( x ) = i = 2 G 2 i s i 2 C 2i si i = i = C31 P31 x C32 P32 x u+ v + + P33 x C33 P33 x C Fv1 (x ) = f (u ) f (v ) f (w)dudvdw.
11 12 В результате численного моделирования в пакете прикладных программ Matlab был получен график плотности вероятности распределения коэффициента Пуассона.
Рис. 9. Плотность вероятности распределения коэффициента Пуассона Предложено в качестве статистических оценок интегральных упругих постоянных вычислять их математические ожидания. Получены формулы для определения среднего значения интегральных упругих постоянных спирально анизотропного стержня E1* = C1i m i i = G1* = C2i mi i = (b B + 2a1C )a a1b + b1a 1* = 2 1 a1 (Ba1 + 2 Ab1 ) (Ba1 + 2b1 A) где a = si2 P3i mk (C3i P3k C3k P3i ) ;
i =1 k =` k i 3 b = si2C3i (C3i P3k C3k P3i ) ;
i =1 k = k i 3 3 A = si2 P3i ;
B = 2 si2 P3i C3i ;
C = si2 C32i i =1 i =1 i = 3 a1 = mi P3i ;
b1 = mi C3i i =1 i = Статистические оценки интегральных упругих характеристик постоянных для кабеля КГ 3х4+1х2,5 приведены в таблице 3.
Таблица 3. Численные значения модулей упругости Разброс исходных 1* E1*, Па G1*, Па данных, % 2,38·109 1,66· 10-15 0, ЗАКЛЮЧЕНИЕ В процессе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные результаты:
1. Проведен обзор современных методов исследования тел, имеющих спирально-анизотропную структуру. Показано, что существенным этапом в определении физико-механических характеристик является организация экспериментов на стесненное кручение.
2. Разработана оригинальная экспериментальная установка на опыты по стесненному кручению. На установку получен патент.
3. Разработана методика обработки экспериментальных данных. Даны рекомендации по проведению экспериментов.
4. Проведен деформационный сравнительный анализ моделей кабеля и сплошного спирально-анизотропного тела методом конечных элементов 5. Показано, что эффективным средством решения плохо обусловленных задач определения физико-механических характеристик спирально анизотропных стержней является вероятностный метод.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих печатных работах:
1) В изданиях из Перечня ВАК:
1. Резников С.С. Численный анализ основных уравнений статики спирально-анизотропных стержней // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского университета информационных технологий, механики и оптики. Выпуск 28. Задачи механики и проблемы точности в приборостроении. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. С. 17- 2. Резников С.С. Испытательная техника спирально-анизотропных тел // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. ISSN 1991 3087– 2008. – №5. – с. 171–173.
2) Прочие публикации:
1. Резников С.С. Вероятностные оценки интегральных упругих постоянных спирально-анизотропного стержня // В сб.
«Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов: восьмая сессия международной научной школы, 22 октября – 27 октября 2007 года,С.-Петербург», электронное издание «Информрегистр», свидетельство № 11991, номер государственной регистрации 0320702575, ИПМаш РАН, 2007. –С.121-123.
2. Пат. 2317535 Российская Федерация, МПК7 G01N3/08. Устройство для испытания анизотропных стержней // Мусалимов В.М., Ноздрин М.А., Петрищев М.С., Резников С.С., Бондарец А.В. (Россия), Цейтнер Й.
(Германия);
заявитель и патентообладатель Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики". – № 2006128830/28;
заявл. 08.08.06 ;
опубл. 20.02.08, Бюл. № 5. – 7 с. : ил.
3. Резников С.С.. Вероятностный метод определения модулей спирально анизотропных стержней // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов.Т1. (Нижний Новгород, 22 28 августа 2006 г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006. с. 4. Мусалимов В.М., Брагинский В.А., Ростовцев А.М., Резников С.С.
Нечёткая логика и технические средства мониторинга механических систем. // Труды 6 сессии международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы теории точности процессов, машин, приборов и систем». СПб, ИПМаш РАН, 2004. –С.3 8.
5. Резников С.С., Мусалимов В.М., Шалобаев Е.В., Монахов Ю.С.
Трибосистемы – мехатронные системы. // Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции XXXIII неделя науки СПбГПУ. Ч. III. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. - С.86-87.
6. Резников С.С., Логовская Е.В., Чан Нгок Чау. Simulink-моделирование нелинейной системы с двумя степенями свободы. // Вестник II межвузовской конференции молодых учёных. Сборник научных трудов / Под ред. В.Л. Ткалич. Том 2. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005.-С.164-166.
7. Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы высшей математики. Часть первая: Учебное пособие. - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. - 80 с.