Синтез высокооднородного поля постоянного магнита мр-томографа и задача реконструкции плотности объекта
На правах рукописи
СОКОЛОВ ДМИТРИЙ ЮРЬЕВИЧ СИНТЕЗ ВЫСОКООДНОРОДНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА МР-ТОМОГРАФА И ЗАДАЧА РЕКОНСТРУКЦИИ ПЛОТНОСТИ ОБЪЕКТА Специальность 05.11.01 – Приборы и методы измерений по видам измерений (измерения механических величин)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Санкт-Петербург 2007 2
Работа выполнена на кафедре измерительных технологий и компьютерной то мографии Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Сизиков В.С.
Научный консультант: доктор технических наук, доцент Марусина М.Я.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Жерновой А.И.
кандидат технических наук, доцент Губанов Н.Н.
Ведущая организация: ФГУП ОКБ СПб "Электроавтоматика"
Защита состоится « 10 » апреля 2007 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссер тационного совета Д 212.227.04 при Санкт-Петербургском государственном уни верситете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, аудитория 289.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ ИТМО.
Автореферат разослан « 9 » марта 2007 года.
Отзывы (в 2 экз.) по автореферату направлять в адрес университета: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.227.04.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.227. кандидат технических наук, доцент Иванов А.Ю.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Магнитно-резонансная томография (МРТ) является од ним из ведущих методов неинвазивной (невторгающейся, неразрушающей) диагно стики объектов. МР-томографы используются в медицине (для диагностики орга низмов пациентов), а также в спектроскопии (для определения химического состава веществ), в физике (для исследования свойств веществ в различных состояниях), в биологии (для изучения структур молекул ДНК), в технике (для диагностики тех нических изделий) и т.д.
Обычно аппаратура МР-томографа содержит магнитную систему (МС), гене рирующую магнитные поля и включающую электронную аппаратуру, управляю щий вычислительный комплекс и т.д.
Основные требования, предъявляемое к МС, – высокая относительная одно родность магнитного поля в рабочем объеме, достаточно большая величина рабо чего объема, умеренный вес и умеренная потребляемая мощность МС.
Для получения разрешения на томограммах в доли мм требуется относитель ная неоднородность магнитного поля H / H порядка 10 5 10 6 или 1–10 ppm.
Такая высокая однородность поля достигается за счет определения соответствую щей конфигурации магнита. При этом отметим, что магниты МР-томографов бы вают трех типов: постоянные, резистивные и сверхпроводящие. В диссертации рас сматриваются магнитные системы на постоянных магнитах (МСПМ). К настояще му времени для расчета МСПМ разработаны следующие методы: метод скалярного магнитного потенциала, метод диполей, метод эквивалентного соленоида и др. Ме тод скалярного потенциала (работы Б.М. Яновского и японских физиков T. Miya moto и др.) является наиболее универсальным – способным учитывать неоднород ность намагниченности J и плотности материала магнита, но он является весьма трудоемким – требующим как расчетов, так и измерений поля. Метод эквивалент ного соленоида, основанный на аналогии между полем постоянного магнита и по лем поверхностных некомпенсированных амперовых токов, является весьма эф фективным, но он развит в основном для случая постоянства намагниченности магнита, практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют уг лубления сложного профиля, и в основном использовался для решения прямой за дачи – расчета магнитного поля по заданной конфигурации магнита.
Диссертация посвящена, главным образом, разработке метода, названного методом эквивалентных витков, являющегося естественным продолжением мето да эквивалентного соленоида. Метод эквивалентных витков ориентирован, в пер вую очередь, на определение сложного профиля углублений в наконечниках маг нита и рассматривает эту задачу, как обратную задачу – расчет конфигурации маг нита, при которой формируется наиболее однородное поле (при наличии некото рых ограничений на параметры магнита).
В решение задачи формирования высокооднородных полей различных магни тов МР-томографов внесли большой вклад как зарубежные ученые М.В. Гаррет, T.
Miyamoto, H. Sakurai, Д. Монтгомери, так и отечественные ученые Б.М. Яновский, Л.А. Дружкин, В.В. Коген-Далин, Ю.М. Пятин, В.Н. Хорев, П.А. Галайдин и др.
Однако эта задача требует дальнейшего развития.
Цель диссертационной работы – разработка метода эквивалентных витков определения оптимальной конфигурации постоянного магнита, при которой фор мируется высокооднородное поле в МР-томографе. Этот метод является дальней шим развитием метода эквивалентного соленоида и предназначен для решения за дачи синтеза высокооднородного поля постоянного магнита (обратной задачи рас чета МСПМ). К цели работы относится также разработка численных алгоритмов и программ и выполнение модельных расчетов. Решение задачи синтеза высокоодно родного магнитного поля имеет первостепенное значение для повышения разре шающей способности томограмм, что позволит повысить точность постановки ди агнозов в медицине, уточнить анализ биологических структур, определить строе ние технических деталей и т.д.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо ре шить следующие основные задачи.
1. Критический обзор существующих методов расчета МСПМ.
2. Разработка и обоснование метода эквивалентных витков определения пара метров постоянного магнита для формирования высокооднородного поля.
3. Разработка алгоритмов и программ, реализующих метод эквивалентных вит ков, и выполнение модельных компьютерных расчетов с построением топографии магнитного поля (графиков, характеризующих степень однородности поля).
4. Обоснование преимуществ метода эквивалентных витков расчета параметров магнита и его поля по сравнению с другими методами.
5. Исследование изменения карт магнитных полей в зависимости от значений параметров магнита и их погрешностей.
6. Исследование вопроса о конструктивных особенностях магнита в зависимо сти от материала магнита.
7. Проверка адекватности метода эквивалентных витков.
Методы исследования. В работе использованы прямые и обратные методы расчета конфигураций магнитов и их полей: методы скалярного и векторного по тенциалов, метод диполей, метод эквивалентного соленоида. Использованы также математические методы: метод линейной аппроксимации, метод минимизации функционала с ограничениями, метод решения уравнения Лапласа.
Научная новизна работы состоит в следующем.
• Разработан метод определения конфигураций постоянных магнитов МР томографов, создающих высокооднородные поля, – метод эквивалентных витков.
Метод основан на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с то ком и для расчета магнитных полей использует формулы для полей витков.
• Для повышения однородности поля в наконечники магнита включены углуб ления и выемки ("ямки") — рассматриваются магниты сложной конфигурации.
• Разработана методика расчета параметров постоянного магнита путем мини мизации функционала невязки.
• Показано, что на основе решения некоторого (одного) примера можно про стым путем получить ряд других примеров, умножив все параметры магнита на не который множитель а (это согласуется с теоремами подобия МС).
• Выведены рабочие формулы, разработаны программы и решены модельные примеры с построением полевых карт, показавшие, что данный метод позволяет в принципе получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью H / H = 10 5 10 6, т.е. 1–10 ppm в рабочей области.
• Показано, что погрешности изготовления постоянного магнита порядка 0. мм влекут повышение относительной неоднородности поля на порядок в рабочей области. Это предъявляет высокие требования к производству магнита.
• Установлено, что разработанный метод дает правильное (адекватное) описа ние поля постоянного магнита.
Основные положения работы, выносимые на защиту 1. Физическая формулировка метода эквивалентных витков расчета конфигура ции постоянного магнита, обеспечивающей создание высокооднородного поля в зазоре магнита в некоторой рабочей области.
2. Вывод удобных формул и соотношений для расчета полей (фиктивных) вит ков с током, уложенных по внешней и внутренней поверхностям осесимметричного магнита, магнитных наконечников и углублений с выемками в углублениях.
3. Линейная аппроксимация профилей углублений и выемок и математический критерий определения оптимальных значений параметров осесимметричного маг нита, наконечников, углублений и выемок.
4. Пакет программ для определения оптимальной формы осесимметричного магнита и для расчета его полевых карт методом эквивалентных витков.
5. Сравнение полученных результатов с результатами японских физиков, полу ченных методом скалярного магнитного потенциала с использованием измерений поля с помощью магнитометра.
6. Доказательство адекватности метода эквивалентных витков.
7. Оценка погрешности расчета полевых карт методом эквивалентных витков.
8. Рекомендации по снижению токов Фуко и учету непостоянства намагничен ности и неоднородностей материала магнита.
Достоверность научных результатов работы подтверждается строгостью по становки задач, использованием устойчивых математических методов и сравнени ем результатов с известными методами и экспериментальными данными. Чтобы проверить адекватность изложенного в диссертации метода эквивалентных витков, а именно, установить, насколько точно данный метод, основанный на аналогии по стоянного магнита набору витков с током, описывает поля постоянных магнитов, были проведены сравнения нормированных напряженностей H z ( z, 0) / H z (0, 0) и H z (0, r ) / H z (0, 0), рассчитанных данным методом для некоторой конфигурации постоянного магнита, с экспериментальными данными, полученными японскими физиками для такой же конфигурации магнита. Сравнение этих результатов позво лило заключить, что погрешность построения линий на полевых картах методом эквивалентных витков (для идеализированного магнита) составляет менее 1%, что говорит о достаточной (в принципе) адекватности метода эквивалентных витков.
Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут являться научной основой при проектировании МР-томографов на постоянных магнитах, формирующих высокооднородные поля. Методы расчета параметров по стоянного магнита доведены до программных продуктов, позволяющих вести ин женерные расчеты. Данную методику можно рекомендовать для практической реа лизации в виде дешевого отечественного МР-томографа, предназначенного, на пример, для определения распределения плотности в технических деталях или для обследования детей с целью выявления у них патологий на ранней стадии развития.
Реализация работы. Разработанная методика проходила и проходит апроба цию и реализацию на мини-ЯМР-томографе с постоянным магнитом в лаборатории при кафедре Измерительных технологий и компьютерной томографии (ИТиКТ) СПбГУ ИТМО, в том числе, по НИР в рамках гранта РФФИ № 05-08-01304-а. Ре зультаты работы используются в лекциях, практических и лабораторных работах по дисциплинам "Математические основы томографии" и "Алгоритмическое и про граммное обеспечение МР-томографов" при подготовке инженеров по специально сти 200101 – "Приборостроение".
Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и полу чили положительную оценку на кафедре Измерительных технологий и компьютер ной томографии СПбГУ ИТМО, на XXXI, XXXII, XXXV и XXXVI научно технических конференциях СПбГУ ИТМО (2002 г., 2006 г. и 2007 г., СПб);
на меж дународной конференции "NMR in Condensed Matter" (2005 г., СПб);
на 7-й сессии международной научной школы "Фундаментальные и прикладные проблемы на дежности и диагностики машин и механизмов" (2005 г., СПб);
на IV межвузовской конференции молодых ученых (КМУ) (2007 г., СПб).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 5 журнальных статей.
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, заклю чения, библиографического списка из 58 наименований. Объем диссертации страниц, 37 рисунков, 1 таблица.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении приведено обоснование актуальности работы, перечислены ос новные существующие методы расчета МСПМ, изложены цели и задачи, научная новизна и практическая ценность работы.
В первой главе рассматриваются принципы определения распределений плотности c z ( x, y ) по z -сечениям объектов в МР-томографии (метод Кумара– Велти–Эрнста) на основе первоначального возбуждения частиц вещества и после дующего получения от него и измерения ЯМР-сигналов. Показывается влияние не однородностей магнитных полей на качество получаемых томограмм. Приводятся типы МР-томографов и их магнитов, формирующих магнитные поля. Излагаются основы магнетизма (закон Био–Савара–Лапласа, магнетики, гипотеза Ампера, на пряженность и индукция, гистерезис, коэрцитивная сила, типы магнитных мате риалов, постоянные магниты).
Во второй главе излагаются три метода расчета магнитных МСПМ.
Метод скалярного магнитного потенциала. В работах Яновского, Miyamoto, Abele и др. для расчета магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом сложной конфигурации, используется скалярный магнитный потенциал u. Для по тенциала u справедливо уравнение Лапласа. Напряженность магнитного поля H = H (r,, ) выражается через потенциал u соотношением: H = grad u u.
Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах r,, имеет вид:
n ( ) r Anm) cos m + Bnm) sin m Pnm (cos ), r r0, ( ( u (r,, ) = (1) r m = 0n = 0 ( )m / 2 d dxnm( x) m P где Pnm ( x) = 1 x 2 r0 – некоторая константа, Pn (x) – полиномы Ле, жандра, Pnm (x) – присоединенные полиномы Лежандра, An ), Bn ) – некоторые (m (m коэффициенты, определяемые из граничных условий. Если, например, для задан ной конфигурации магнита известны (измерены магнитометром) значения потен циала u на некоторой поверхности в нескольких ее точках, то подставляя в (1) его экспериментальные значения ui, i = 1,2,..., K, соответствующие координатам ri, i, i на поверхности, получим систему K уравнений, решая которую найдем некоторое конечное число коэффициентов An ), Bn ), n = 0,1,..., N, m = 0,1,..., M.
(m (m Если же на некоторой поверхности известны производные потенциала u, т.е.
компоненты напряженности поля H x, H y, H z, то нужно путем дифференцирования (1) найти 1 u 1 u u Hx =, Hy =, Hz =. (2) r r sin r Тогда, подставив в (2) экспериментальные значения ( H x ) i, ( H y ) i, ( H z ) i, из меренные на поверхности, получим систему уравнений относительно An ), Bn ).
(m (m Если же постоянный магнит и, следовательно, его магнитное поле симметричны относительно оси z, то n r Z n Pn (cos ), r r0, u (r, ) = r n = 0 где Z n – некоторые коэффициенты, определяемые из граничных условий.
Метод скалярного потенциала требует знания экспериментальных значений потенциала u (или напряженностей H x, H y, H z ) в нескольких точках на некото рой граничной поверхности. При этом для каждой новой конфигурации магнита нужно заново выполнить все перечисленные операции (в том числе, эксперимен тальные измерения). Видим, что метод скалярного потенциал является трудоемким.
Однако он позволяет решать задачу расчета МСПМ в самом общем виде, а именно, в случае наличия непостоянства намагниченности магнита ( J const ), в случае на личия неоднородностей в материале магнита (когда его плотность const ) и т.д.
Поэтому в работах японских физиков широко использован этот метод.
Метод диполей. В этом методе используются элементарные магниты (диполи).
В данном методе вычисление магнитного потенциала магнита сложной формы сво дится к вычислению его гравитационного потенциала. А поскольку методы расчета гравитационного потенциала V тел различной конфигурации хорошо разработаны, то эти методы можно использовать для расчета магнитного потенциала различных тел с заданной (в частности, постоянной) намагниченностью. Данный метод явля ется также трудоемким, хотя и не требует экспериментальных измерений, как ме тод скалярного потенциала. Тем не менее, он используется довольно редко.
Метод эквивалентного соленоида. Этот метод расчета магнитного поля по стоянного магнита основывается на аналогии между полем постоянного магнита и полем поверхностных некомпенсированных амперовых токов. Это позволяет рас сматривать постоянный магнит как соленоид с тонкой обмоткой с током. Несмотря на то, что метод эквивалентного соленоида получил значительное развитие и при менение, требуется его дальнейшее совершенствование по следующим причинам.
– Метод эквивалентного соленоида развит в основном для случая постоянства намагниченности магнита, а это имеет место или для эллипсоидальных магнитов (идеализированные магниты), или для магнитов с очень высокой коэрцитивной си лой Hc и остаточной намагниченностью Jr.
– Метод эквивалентного соленоида практически не развит для случая, когда наконечники магнита имеют углубления сложного профиля, а это наиболее важно для получения высокооднородного поля. В этом случае (фиктивные) витки, уло женные в углубления, строго говоря, не образуют соленоид и нужно говорить не об эквивалентном соленоиде, а об эквивалентных витках.
– Метод эквивалентного соленоида в основном использовался для решения прямой задачи (задачи анализа) – расчета магнитного поля по заданной конфигура ции магнита, а более важна обратная задача (задача синтеза) – отыскание конфигу рации магнита, при которой создается наиболее однородное поле.
В качестве дальнейшим развития метода эквивалентного соленоида предла гается в диссертации метод эквивалентных витков. Основные положением метода эквивалентных витков следующие.
– Метод эквивалентных витков опирается на гипотезу Ампера о существова нии молекулярных токов в веществе. В магните в виде, например, однородного ци линдра (рис. 1) под влиянием внешнего поля H 0 возникают круговые токи, взаим нокомпенсированные в теле цилиндра и некомпенсированные на его боковой по верхности. Эти токи аналогичны токам в круговых витках или соленоидах.
Рис. 1. Постоянный магнит с молекулярными токами – При рассмотрении постоянного магнита сложной конфигурации (в виде двух половин с зазором и наконечниками, внутри которых – углубления сложного про филя, рис. 2) ставится задача – найти такую форму (геометрию) магнита, в первую очередь, профиль углубления, при которой формируется высокооднородное поле.
– В методе эквивалентных витков полагается, что на боковые (наружные) по верхности магнита и наконечников, а также на внутренние поверхности – поверх ности углублений – уложены фиктивные витки с током. В отличие от метода экви валентного соленоида, рассматриваются, вообще говоря, изолированные витки пе ременного радиуса R(z ) (рис. 2) и закон R(z ) подлежит определению.
– Метод эквивалентных витков изложен в основном для случая идеализиро ванного магнита, когда J = const, что справедливо для магнитов с очень большими Hc и Jr. Однако в диссертации рассмотрен (в гл. 6) также случай, когда J const.
Рис. 2. Постоянный магнит с зазором и полюсными наконечниками с углублениями и "ямками" (общая схема) Диссертация посвящена конструктивной, детальной разработке метода экви валентных витков определения оптимальных конфигураций (форм) постоянных осесимметричных магнитов и расчета их магнитных полей. При этом под опти мальной формой магнита подразумевается такая форма, при которой создается наиболее однородное поле в некоторой рабочей области магнита МР-томографа.
В третьей главе приводятся известные формулы для продольной Hz и попе речной Hr составляющих магнитной напряженности H, создаваемой тонким круго вым витком с током и соленоидом. Рассмотрены случаи: напряженность на оси и вне оси витка или соленоида, случай соленоида с зазором и т.д.
Формулы, справедливые для отдельных круговых витков с током, могут быть использованы для расчета магнитного поля осесимметричного постоянного магни та, если представить магнит в виде набора (фиктивных) круговых витков с током, уложенных на его наружную и внутреннюю поверхности.
В четвертой главе рассматривается сложный магнит (рис. 2), имитируемый набором витков с током, уложенных по его поверхностям.
Рассмотрим магнит (рис. 2) в виде двух цилиндров с полюсными наконечни ками и зазором. Внутри каждого наконечника сформируем углубление (hollow), а внутри каждого углубления – "горку" (hill) или же "ямку" (small pit), или выемку (recess). В работах Miyamoto, Sakurai, Aoki и др. внутри углубления формируется "горка" (hill), или выпуклый выступ, однако "ямка", как показало моделирование, дает более однородное поле. Такой магнит (с зазором, углублениями и "ямками") будем называть постоянным магнитом сложной конфигурации.
Введем следующие обозначения. Параметры магнита: L – длина магнита, – длина наконечника, R1 – радиус наконечника, R2 – радиус магнита, – полу длина зазора. Формы углублений и "ямок" аппроксимируем прямыми линиями.
Прямолинейная аппроксимация наиболее проста при математической и техниче ской реализации, а также порождает наиболее устойчивый алгоритм.
Прямолинейной аппроксимации соответствует следующая формула для радиу са витка, уложенного в углубление, в функции z :
( | z |) + +, R( z ) = (3) g и формула для радиуса витка, уложенного в "ямку" (выемку):
( + g | z |) + +.
R( z ) = (4) p Параметры углубления: глубина g, минимальный радиус и максимальный радиус + ;
параметры "ямки": глубина p, минимальный радиус и максималь ный радиус +.
Параметры магнита L,, R1, R2, будем считать заданными, а параметры углубления g,,, p,, подлежащими определению.
Критерий выбора параметров углублений. В качестве критерия выбора опти мальных значений g,,, p,, используем условие минимума отклонения рас считанного поля от однородного:
opt =, min (5) g,,, p,, где n H z ( z i,0) H z (0,0) =, (6) n + 1 i =0 H z (0,0) причем n – число дискретных шагов h вдоль z от z = 0 до z = 2. Задачу миними зации (5) можно решать, используя известные методы минимизации функционалов без ограничений и с ограничениями на искомые параметры (градиента, Ньютона, координатного спуска, проекции градиента и др.) При этом ограничения на параметры целесообразно задавать в виде:
(u i ) min u i (u i ) max, i = 1, K,6, (7) где u1 = g, u 2 =, u 3 =, u 4 = p, u 5 =, u 6 =, а значения (ui ) min, (ui ) max сле дует выбирать, исходя из физико-технических ограничений на параметры, из реше ния близких задач и т.д.
После определения оптимальных значений параметров g,,, p,, можно 2 рассчитывать поля H z ( z, r ), H r ( z, r ), H m ( z, r ) = H z ( z, r ) + H r ( z, r ) путем сум мирования по отдельным (фиктивным) виткам.
В пятой главе описан пакет программ MAGNET для определения оптималь ных значений параметров постоянных цилиндрических магнитов с зазорами и на конечниками, имеющими углубления и "ямки" или "горки" (с целью повышения однородности полей), а также для расчета их магнитных полей. В программах реа лизован метод эквивалентных витков расчета магнитных полей постоянных магни тов, основанный на аналогии между постоянным магнитом и набором витков с то ком. Программы разработаны на MS Fortran 5 и Fortran 90, а графика – на MathCAD, CorelDRAW и PaintBrush. Приведены: структура пакета, инструкции к программам и тексты исходных модулей (листинги программ).
Сначала задаются параметры магнита L,, R1, R2,. Потом определяются оптимальные параметры углубления и "ямки" (или "горки") g,,, p,, с ис пользованием формул (3)–(7), а также с выполнением суммирования по (фиктив ным) виткам. При этом перед определением оптимальных параметров задаются их минимальные и максимальные возможные значения. Затем рассчитываются двух мерные поля H z ( z, r ), H r ( z, r ), H m ( z, r ). При этом формируются файлы данных, по которым в дальнейшем строятся в MathCAD’e графики.
В шестой главе приведены результаты расчета нескольких численных приме ров. В примерах заданы параметры магнита L,, R1, R2, и определяются опти мальные значения параметров углубления g,,, p,,, а также вычисляется от.
носительная неоднородность поля Приведены графики функций H z ( z, 0) H z (0, 0) и H z (0, r ) H z (0, 0), а также изолинии поля H m ( z, r ) H m (0, 0) (линейные и логарифмические) и линии магнитной напряженности H ( z, r ). Рас смотрены также вопросы об умножении всех параметров на некоторый множитель a 0 и о материале магнита.
Рассмотрим один из п р и м е р о в магнита (рис. 2), имеющего следующие па раметры (в мм): L = = 100, R1 = R2 = R = 320, = 150. Это – заданные парамет ры.
Для расчета компонент поля H z ( z, r ), H r ( z, r ) и H m ( z, r ) в зазоре задавалась сетка узлов: z [0, z max ], r [0, rmax ] с шагом дискретизации h = z = r = 1 мм, где z max = rmax = 140 мм. Суммирование по (фиктивным) виткам магнита, углуб лений и "ямок" производилось с шагом дискретизации z = 0.5 мм.
Сначала рассчитывалась функция H z (z,0) путем суммирования по (фиктив ным) виткам, причем поля витков углублений и "ямок" вычитались из полей витков магнита и его наконечников. Данный расчет не требует больших затрат компью терного времени в виду простоты формулы для H z (z,0).
Искомые параметры углубления g,,, p,, определялись путем миними зации (5)–(7) при n = 75, т.е. до z = / 2 = 75 мм. При этом к ограничениям добав лялись ещё условия: должно быть кратно z, а L,, g и p кратны z.
В результате были получены следующие оптимальные значения параметров:
= opt = 2.719 10 6 2.72 ppm, g = g opt = 81.0 мм, = opt = 209.7 мм, = opt = 90.6 мм, p = popt = 3.5 мм, = opt = 85.5 мм, = opt = 1.4 мм.
Затем при найденных оптимальных параметрах была рассчитана функция H z (0, r ) при z = 0. На рис. 3 приведены две нормированные функции: H z (z,0) и H z (0, r ) при оптимальных значениях параметров.
Рис. 3. Функции (поля) Hz(z,0) и Hr(0,r) Рис. 4. Изолинии нормированного при оптимальных значениях параметров поля Hm(z,r)/Hm(0,0) Результаты, отображенные на рис. 3, качественно близки результатам япон ских физиков. Однако, как уже было отмечено выше, в работах японцев в основа ния углублений были введены "горки", а в данной работе введены "ямки", что по зволило получить более однородное поле. Кроме того, компьютерное моделирова ние, характерное для метода эквивалентных витков, использованного в данной дис сертации, позволяет более точно определить искомые параметры g,,, p,, и получить более однородное поле, чем это можно сделать трудоемким методом ска лярного потенциала, использованным в работах японских физиков.
Далее были рассчитаны компоненты поля H z ( z, r ), H r ( z, r ) и H m ( z, r ) на всей сетке узлов z, r. На рис. 4 приведены изолинии нормированного поля H m ( z, r ) H m (0,0).
На рис. 5 для большей наглядности приведены изолинии функции (логарифм относительной неоднородности поля) lg |Hm(z,r)–Hm(0,0)|/Hm(0,0), причем непре рывными линиями отображены изолинии, а пунктирной линией – 50-процентная зона (рабочая зона радиуса 2 ). Видим, что рис. 5 дает более точное представле ние о неоднородности поля, чем рис. 3 или 4.
Рис.5. Изолинии логарифма относительной неоднородности поля lg |Hm(z,r)–Hm(0,0)|/Hm(0,0) Сделаны важные з а м е ч а н и я : если значения всех параметров L,, R1, R2,, g,,, p,, умножить на некоторый множитель a 0, т.е изменить абсо лютный геометрический масштаб всего магнита, то относительные полевые карты (рис. 3–5) не изменятся, а также не изменятся абсолютные значения поля, напри мер, H z (z, 0). В результате вид кривых на рис. 3–5 не изменится. Лишь z и r нужно умножить на a. Например, положив в примере a = 1.4, получим новые значения па раметров (в мм): L = = 140, R1 = R2 = 448, = 210, g = 113.4, = 293.58, z = 0.7, = 126.84, p = 4.9, = 119.7, = 1.96, h = 1.4, z max = rmax = 196, 2 = 105. При этом сохранит свое значение: = 2.719 10 6, а также сохранят свой вид кривые на рис. 3–5 и центральное поле (без нормировки) H z (0,0) сохра нит свое значение. При этом сложных пересчетов делать не нужно. Эти замечания коррелируют с известными теоремами подобия магнитных систем.
Основные выводы и результаты работы:
1. Развит метод эквивалентных витков определения оптимальной конфигурации осесимметричного постоянного магнита МР-томографа, позволяющей создать вы сокооднородное поле в рабочей области магнита. Для достижения высокой одно родности поля в наконечниках магнитов использованы углубления и "ямки" (выем ки), т.е. рассматриваются постоянные магниты сложной конфигурации. Для расче та полей использована аналогия между постоянным магнитом (а также его нако нечниками, углублениями и "ямками") и набором круговых витков с током.
2. Проведено сравнение данного метода с методом скалярного потенциала, ме тодом диполей и методом эквивалентного соленоида. Сделан вывод, что метод ска лярного потенциала является значительно более трудоемким, чем другие методы.
3. В предложенном методе (эквивалентных витков) профиль углублений и "ямок" аппроксимируется прямыми линиями, что делает алгоритм их определения наиболее устойчивым, а техническое изготовление – наиболее простым и надеж ным. В результате получается 6 искомых параметров углублений и "ямок": g,,, p,, и 5 задаваемых параметров магнита и наконечников: L,, R1, R2,. Па раметры углублений и "ямок" предложено находить путем минимизации невязки между рассчитанным полем H z (z, 0) и однородным полем на z-оси на некотором отрезке z [0, z hom ], где например, z hom = 0.5, причем – полудлина зазора.
4. Выведены рабочие формулы, разработаны программы, решены модельные примеры, показавшие что данный метод позволяет в принципе (при однородности намагниченности магнита) получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью Hотн=H/H ~ 105–106, т.е. 1–10 ppm.
5. Разработанный метод эквивалентных витков позволяет достичь высокой од нородности полей: 3 5 ppm, а в работах японских физиков, использующих ме тод скалярного потенциала, достигается однородность поля 30 70 ppm, причем в примерах, близких нашим примерам, и примерно в одинаковых рабочих областях.
6. Решение численных примеров при искаженных значениях параметров магни та, магнитных наконечников, углублений и выемок позволило сделать следующий вывод. Если погрешности производственного изготовления постоянного магнита сложной конфигурации составляют в среднем 0.1 мм, то это заметно искажает картину поля с относительной неоднородностью H отн 10 6 в рабочей области, что предъявляет повышенные требования к изготовлению магнита.
7. Сравнение результатов расчета магнитного поля реального магнита методом эквивалентных витков с результатами измерений поля этого же магнита с помощью магнитометра позволяет сделать вывод, что погрешность расчета линий на полевых картах методом эквивалентных витков составляет менее 1% (для идеализированно го магнита). Это говорит о том, что метод эквивалентных витков дает (в принципе) правильное описание полей постоянных магнитов.
8. Рассмотрен способ умножения всех параметров некоторого рассчитанного примера на некоторое число a 0. Это позволяет получать ряд новых примеров без их решения, что экономит компьютерное время.
9. Рассмотрен вопрос о материале магнита. Магнит может быть изготовлен из современного МТМ типа Nd–Fe–B, Sm–Co, РЗМ, Альнико и др. В этом случае ме тод эквивалентных витков даст достаточно точные результаты вследствие практи чески однородной намагниченности J. Если же магнит изготовить, например, из мягкого железа, то для устранения размагничивания железа можно воспользоваться подпитывающей катушкой с током простой конфигурации, но будет J const.
10. В случае, когда имеет место неоднородность намагниченности ( J const ), а также неоднородность плотности ( const ) материала магнита, предложено сде лать более точный расчет магнита и поля с помощью иного метода (например, ме тода скалярного потенциала), использующего измерения поля магнитометром – в этом случае результаты расчета методом эквивалентных витков следует использо вать в качестве хорошего начального приближения.
11. Для устранения токов Фуко, искажающих магнитное поле, предлагается из готавливать магнит из набора стержней, параллельных оси магнита.
12. Данную методику можно рекомендовать для быстрого компьютерного расче та параметров постоянного магнита сложной конфигурации МР-томографа.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Сизиков В.С., Марусина М.Я., Иванов С.В., Колобухова Т.Б., Николаев Д.Б., Со колов Д.Ю., Хомутникова Е.В. Прямая и обратная задачи синтеза магнитного поля в ЯМР-томографе // Научно-техн. Вестник СПбГИТМО (ТУ). 2001. Вып. 3.
С. 209–214.
2. Иванов С.В., Рущенко Н.Г., Сизиков В.С., Соколов Д.Ю., Хомутникова Е.В. О решение задачи синтеза магнитного поля в МР-томографе методом регуляриза ции с ограничениями и методом аппроксимации -функцией // Научно-техн.
Вестник СПбГИТМО(ТУ). 2003. Вып. 9. С. 105–112.
3. Sizikov V.S., Neronov Yu.I., Sokolov D.Yu. On synthesis of high-homogeneous field of a permanent magnet in MR imaging // Int. Symp. "NMR in Condensed Matter". Book of Abstracts 2nd Meeting "NMR in Life Sciences", 11–15 July 2005, SPb, Russia. – SPb.: Solo Publisher, 2005. P. 53.
4. Соколов Д.Ю., Сизиков В.С. Синтез поля постоянного магнита МР-томографа и задача механики о реконструкции плотности объекта // Тезисы докл. 7-й сессии межд. научн. шк. "Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и ди агностики машин и механизмов" (VPB–05), 24–28 окт. 2005, СПб. – СПб.: ИП МАШ РАН, 2005. С. 102.
5. Сизиков В.С., Соколов Д.Ю. О синтезе высокооднородного поля постоянного ма гнита в МР-томографии // Научное приборостроение. 2006. Т. 16, № 4. С. 65–72.
6. Сизиков В.С., Соколов Д.Ю. О повышении однородности поля постоянного маг нита МР-томографа // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 12. С. 32–38.
7. Неронов Ю.И., Сизиков В.С., Соколов Д.Ю. Формирование высокооднородного поля постоянного магнита МР-томографа // Научно-техн. Вестник СПбГУ ИТ МО. 2006. Вып. 32. С. 129–137.
Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждений «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., Тел. (812) 233 4669 Объем 1 у.п.л Тираж 100 экз.