Разработка и исследование методов обнаружения радиосигналов при наличии помех на основе оптимальных статистических последовательных критериев.
На правах рукописи
ГРОДЗЕНСКАЯ ИРИНА СЕРГЕЕВНА Разработка и исследование методов обнаружения радиосигналов при наличии помех на основе оптимальных статистических последовательных критериев.
Специальность 05.12.04 – "Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения"
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва - 2006 2
Работа выполнена на кафедре «Радиоэлектронные и телекоммуниационные устройства и системы» Московского государственного института электроники и математики (технического университета) Научный руководитель доктор технических наук, профессор Увайсов Сайгид Увайсович
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Шевырев Александр Владимирович кандидат технических наук, доцент Ильчук Анатолий Ростиславович Ведущая организация ОАО «НПП «Волна»
Защита состоится 08 июня 2006 г. в 1400 часов на заседании диссертацион ного Совета Д 212.133.06 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028 Москва, Б. Трехсвятительский пер., д.1-3/12, стр. 8, зал Ученого Совета.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭМ.
Автореферат разослан 04 мая 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного Совета Д 212.133.06.
Кандидат технических наук, профессор Н.Н. Грачев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы Одной из задач импульсной обзорной радиолокационной станции (РЛС), обладающей разрешающей способностью по дальности, являет ся обнаружение сигнала в каждом из элементов разрешения. Для реше ния этой задачи возникает необходимость многократного облучения пространства с последующим накоплением результатов приема. При этом оптимальным обнаружением сигналов на фоне шума считает спо соб, минимизирующий стоимость или допустимые вероятности ложной тревоги и пропуска цели.
В связи с этим анализ и синтез процедур, позволяющих эффек тивно проводить обработку данных радиолокационных наблюдения, остается актуальным. При процедуре, основанной, на классическом критерии Неймана - Пирсона, число этапов, определяющих общую длительность наблюдений, назначается заранее. Эффективным мето дом уменьшения числа облучений и связанных с этим затрат времени могут служить последовательные процедуры принятия решений, в ко торых длительность наблюдений заранее не фиксируется, а определя ется ходом реализации наблюдаемого случайного процесса.
Последовательный анализ Вальда нашел широкое применение в различных технических приложениях, в том числе, для решения радио технической задачи обнаружения сигнала при наличии помехи. Одна ко, когда величина исследуемого параметра лежит в диапазоне между значениями, определяемыми конкурирующими гипотезами последова тельный критерий становится невыгодным. Поэтому при проведении испытаний по методу Вальда часто возникает необходимость прекра щать их на некотором шаге. Исследование оптимальных методов усе чения последовательной процедуры обнаружения, позволяющих при нять математически корректное решение, является актуальной пробле мой.
Основополагающие работы в области теории обнаружения сиг налов сделали A. Siegert, D. Middleton, C. Helstrom, Г. Ван Трис, А.Е.
Башаринов, Б.С. Флейшман, П.А. Бакут, Л.С. Гуткин, Ю.Б. Синдлер, Ю.Г. Сосулин, М.М. Фишман, А.М. Шлома, Б.Р. Левин, Л.А. Вайн штейн, Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос, В.Г. Репин, Н.В. Малютин, Шевы рев А.В., А.Р. Ильчук, В.И. Борисов, В.М. Зинчук, К.Ю. Гаврилов, А.В.
Дубровин.
Математическими аспектами проблемы занимались многие ис следователи, среди которых A. Wald, J. Wolfowitz, L. Weiss, A. Dvoret sky, J. Kiefer, J. Bussgang, T. Anderson, G. Lorden, Б. В. Гнеденко, Ю. К.
Беляев, А. Н. Ширяев, С. А. Айвазян, И. В. Павлов.
За последние 30 лет выявился ряд нерешенных вопросов, глав ные среди которых:
- оправданность использования асимптотических теоретических результатов прикладной математической статистики при реальных ис ходных данных (предельно допустимой продолжительности процедуры обнаружения, различных отношений параметров, соответствующих ги потезам об отсутствии и наличии цели, а также допустимых значений вероятностей ложной тревоги и пропуска цели);
- формулировки и обоснования правил выбора одного из не скольких критериев для проверки конкретной гипотезы.
Это определяет актуальность следующих основных задач:
- рационализация процедуры различения радиотехнических сиг налов на основе оптимального обобщенного последовательного анали за и двойного последовательного анализа отношения вероятностей;
- разработка математического аппарата для методик рациональ ного различения сигналов на фоне помех для наиболее часто встре чающих на практике законов распределения сигналов и помех;
- создание соответствующего пакета прикладных программ.
Решение указанных задач даст возможность существенно сокра тить длительность статистического анализа, что позволит уменьшить энергетические и иные затраты на проведение испытаний, и более опе ративно получать информацию. В задаче радиолокационного обнару жения последнее имеет первостепенное значение.
Цель и задачи исследования Целью данного исследования является разработка методов по вышения эффективности процедур обнаружения сигнала на фоне по мехи, в системах, основанных на накоплении полезного сигнала с ис пользованием оптимальных статистических последовательных крите риев. Поставленная цель предполагает следующие задачи.
1. Сравнительный анализ эффективности применения известных оптимальных статистических процедур для обнаружения сигналов на фоне помех.
2. Синтез наилучшей последовательной процедуры различения сигнала на фоне помехи.
3. Статистическое моделирование процедур обнаружения сиг нала на фоне помехи, основанных на оптимальных статистических кри териях.
4. Применение полученных результатов в теории и практике об наружения сигнала на фоне помехи, создание соответствующего про граммного обеспечения, предназначенного для практического исполь зования.
Методы исследования Для решения поставленных задач использовались методы тео рии вероятностей, математической статистики, вычислительной мате матики, математического программирования, статистического модели рования.
Научная новизна диссертационной работы определяется сле дующим:
- разработаны математические модели алгоритмов обработки радиолокационной информации, - разработан метод рационализации обнаружения сигнала на фоне помехи, позволяющий минимизировать среднюю продолжитель ность последовательной процедуры при реальных исходных данных, - предложен способ усечения процедуры последовательного анализа, основанный на применении границ зон принятия гипотез па раболического вида, позволяющий сократить необходимый объем ис пытаний при гарантии, что величины фактических вероятностей лож ной тревоги и пропуска цели не превысят допустимого значения, - разработано программное обеспечение, позволяющее при менять полученные результаты на практике.
На защиту выносятся следующие научные результаты.
1. Разработан математический аппарат, позволяющий использо вать оптимальные последовательные критерии для обнаружения сигна ла на фоне помехи.
2. Установлено путем моделирования, что при проверке двух простых гипотез с близкими значениями параметров, отвечающих ги потезам об отсутствии и наличии сигнала, наиболее эффективен при ближенный вариант оптимального обобщенного последовательного критерия (критерий Айвазяна).
3. Установлено путем моделирования, что при малых ошибках первого и второго родов наиболее эффективен модифицированный двойной последовательный критерий (критерий Павлова).
4. Установлено путем моделирования, что в случае, когда одна из ошибок на порядки больше другой наиболее эффективен двойной последовательный критерий (критерий Лордена).
5. Показано, что путем усечения классической процедуры по следовательного критерия (критерий Вальда) за счет использования границы зон принятия гипотез в виде парабол с коэффициентами, под бираемыми методом математического моделирования, средний объем испытаний можно уменьшить на 30-50% при обеспечении заданной достоверности процедуры.
Достоверность проведенных исследований и полученных ре зультатов обеспечивается математической строгостью утверждений, данными статистических испытаний на ЭВМ.
Практическая ценность работы состоит в том, что предло женные методы доведены до уровня, обеспечивающего возможность их практического применения. Основные результаты реализованы в про граммах, которые позволяют при определенных законах распределения сигнала и помехи, заданных ошибках первого и второго рода, отноше нии значений параметров, соответствующих проверяемым гипотезам, уменьшить среднее число необходимых для принятия решения облуче ний или среднюю продолжительность процедуры обнаружения.
Реализация и внедрение результатов работы.
Разработанные в диссертации методы используются на Феде ральном государственном унитарном предприятии НИЦ «АТОМ» при исследовании и сертификации изделий радиоэлектронной техники, применяемой в различных областях народного хозяйства, а также в ин тересах Министерства обороны Российской федерации.
Результаты диссертационной работы внедрены в учебный про цесс МИЭМ (включены в план лекций по курсам «Основы автоматики и системы автоматического управления», «Надежность электронных средств», «Управление качеством»;
используются в курсовом и ди пломном проектировании при подготовке студентов по специальностям 200800 – «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», 220500 – «Проектирование и технология электронно-вычислительных средств») и МИРЭА (включены в план лекций по курсу «Статистиче ская теория радиотехнических систем»;
используются в дипломном проектировании при подготовке студентов по специальности «Радиотехника»).
Апробация работы. Результаты работы докладывались на на учно-технических семинарах и конференциях: Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ (Москва, 2002-2006), Х Юбилейной Международной студенческой школе-семинаре «Новые информационные технологии» (Москва, 2002), Международной студенческой школе-семинаре «Новые инфор мационные технологии» (Судак, 2002-2005), Международной конфе ренции и Российской научной школы "Системные проблемы надёжно сти, качества, информационных и электронных технологий» – ИННО ВАТИКА-2004 (Сочи, 2002-2005), Научно-практической конференции «Проблемы качества, безопасности и диагностики в условиях инфор мационного общества» - КБД-ИНФО-2004 (Сочи, 2004-2005).
Публикация результатов работы. Основные результаты ис следований по теме диссертации изложены в 14 печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 126 страницах текста и ил люстрированных 11 рисунками и 14 таблицами, списка литературы, включающего 133 наименований, и трех приложений. Общий объем работы 164 страницы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, излагаются цель и основные задачи исследования, формули руются научная новизна, практическая ценность полученных результа тов, основные научные результаты, которые выносятся на защиту.
Проводится краткий анализ истории вопросов, подлежащих исследова нию.
В первой главе дан обзор различных способов применения оп тимальных статистических процедур для обнаружения сигнала на фоне помехи – задачи, возникшей практически одновременно с радиолока цией. В начале 50-х годов ХХ века, благодаря В.А. Котельникову, поя вились первые работы по наилучшим методам приема радиосигналов, в том числе, применение для отыскания оптимальных приемников аппа рата математической статистики.
В математическом плане задача различения сигнала на фоне по мехи относится к статистической проверке двух простых гипотез: Н0 – сигнал отсутствует (параметр q = q0);
Н1 – сигнал присутствует (пара метр q = q1). Если в результате испытаний (“статистической проверки гипотез”) установлено, что имеет место гипотеза Н0, то делается вывод об отсутствии сигнала. В противном случае – о его наличии. Если раз ность между гипотетическими значениями параметра, соответствую щими конкурирующим гипотезам, мала, то для того, чтобы истинные ошибки первого и второго рода не превышали заданных значений, не обходим большой объем наблюдений.
С.А. Айвазяном получены соотношения, показывающие, что практически коэффициент выгоды в числе наблюдений в критерии Вальда по сравнению с наилучшим из классических критериев – крите рием Неймана-Пирсона, зависит только от заданных ошибок первого и второго рода. Обычно этот коэффициент колеблется между двумя и тремя, хотя в некоторых случаях он может быть существенно больше.
Вместе с тем теоретические исследования и многолетняя практика ис пользования критерия Вальда позволили выявить его основной недос таток: если параметр, характеризующий фактическое состояние иссле дуемого процесса, принимает промежуточное значение, то последова тельный критерий отношения вероятностей теряет свои оптимальные свойства – становится невыгодным.
В общем случае усечение последовательного критерия является попыткой согласовать достоинства последовательных испытаний по мере их накопления с преимуществом классической процедуры, га рантирующей принятие решения при определенном числе имеющихся данных. Л. Вейсс разработал обобщенный последовательный критерий, позволяющий максимально сократить среднее число наблюдений, ко гда истинное значение исследуемого параметра равно некоторой про межуточной (Н0 Н1) величине.
В отличие от критерия Вальда в случае оптимального последо вательного критерия граничные точки являются функциями числа на блюдений. Поставленная цель получила название задачи Кифера Вейсса. С.А. Айвазян предложил приближенный вариант оптимального обобщенного последовательного критерия, обеспечивающего эффек тивность не ниже 96% оптимального критерия. В критерии Айвазяна границы зон принятия альтернативных гипотез представляют собой пе ресекающиеся прямые (в критерии Вальда они – параллельны).
Другой подход к решению проблемы минимизации среднего времени наблюдений в случае, когда истинное значение неизвестного параметра принимает промежуточное относительно Н0 и Н1 значение, предложил Г. Лорден. Рассматривая задачу различения двух простых гипотез Н0: = 0 и H1: = 1, он ввел вспомогательный параметр, определяемый из условия: (;
0) = (;
1), где (0;
1) – стандартная мера "расстояния" Кульбака–Лейблера от 0 до 1. Метод получил на звание двойного последовательного критерия отношения вероятностей ("2-SPRT").
И.В. Павловым разработан метод различения сложных гипотез общего вида относительно многомерных параметров. В частном случае различения двух простых гипотез критерий Павлова может рассматри ваться как модифицированный двойной последовательный критерий отношения вероятностей. Обзор позволил сделать вывод о том, что до настоящего времени применительно к задаче статистической радиотех ники отсутствуют способы оптимального усечения последовательной процедуры.
Вторая глава посвящена разработке математического аппарата для процедуры обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации, что в математическом плане соответствует биномиаль ному распределению, поскольку имеют место независимые испытания с двумя возможными результатами каждое. Получена формула для рас стояния между двумя гипотезами Н0: q = q0 и H1: q = q1, которое необ ходимо для применения критерия Айвазяна.
(q0,q1) = (q1 – q0) ln(q1/q0) + ln[(1 – q0)/(1 – q1)].
Уравнения границ зон принятия гипотез на основании критерия Айвазяна имеют вид:
ki = {Ci ± n ln[(1 – q0)/(1 – q1)]}/[Ci/D ± {ln(q1/q0) + ln[(1 – q0)/(1 – q1)]}], где i = 1 и знак «+» соответствуют линии принятия гипотезы о наличии сигнала;
i = 0 и знак «–» соответствуют линии принятия гипо тезы об отсутствии сигнала;
C0, C1 – критические константы, опреде ляемые ошибками первого и второго рода (метод их нахождения, а также значения для наиболее часто встречающихся на практике и приведены в диссертации);
D – константа, зависящая от расстояния между гипотезами и характеризующая максимальное число «единиц», которое может наблюдаться в ходе процедуры обнаружения, Из последнего уравнения определяются наименьшие число об лучений, при которых возможно принятия гипотез об отсутствии сиг нала (n0minоопк) и о наличии сигнала (n1minоопк) на основании критерия Айвазяна n0minоопк = С0/[ln(1 – q0) – ln(1 – q1)], n1minоопк = C1/[C1/D + ln(q1/q0)].
Установлено, что отношение минимальных объемов выборок в схемах оптимальных последовательных процедур не зависит от значе ний параметра, соответствующих альтернативным гипотезам, а опре деляется заданными вероятностями пропуска импульса и ложной тре воги. Приведены сравнительные данные для критических констант в последовательном критерии отношения вероятностей и приближенном варианте оптимального обобщенного последовательного критерия.
Отмечается, что в одной ситуации, когда фактическое значение исследуемого параметра q ниже q0 или выше q1, последовательный критерий Вальда существенно экономичнее оптимального обобщенно го последовательного критерия, в другой, когда параметр принимает промежуточное значение – предпочтительнее критерий Айвазяна.
Для применения критерия Лордена получена формула для про межуточного параметра q в случае биномиального распределения q = ln[(1–q0)/(1 – q1)]/ln{(q1/q0) + ln[(1 – q0)/(1–q1)]}.
Рассчитаны значения q для наиболее употребительных вели чин q0 и q1. Момент остановки при обнаружении сигнала на фоне поме хи в соответствии с критерием Лордена (,) = min{n: n 0;
kln(q/q0) + (n – k)ln[(1 – q)/(1 – q0)] – ln(A) или kln(q/q1 + (n – k)ln[(1 – q)/(1 – q1)] – ln(B)}.
Получены расчетные формулы для применения в случае бино миального распределения модифицированного двойного последова тельного критерия (критерия Павлова). Вместе с тем отмечено, что би нарная дискретизация является наиболее грубой, при ее осуществлении теряется часть информации и как следствие возникает необходимость в большем объеме данных.
Третья глава посвящена разработке математического аппарата для применения оптимальных последовательных критериев в парамет рических случаях. Выбор конкретных распределений диктовался тео рией обнаружения сигнала на фоне помехи.
Рассматривались экспоненциальное распределение, распределе ние Рэлея, распределение Вейбулла с неизвестным параметром мас штаба или неизвестным параметром формы, нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием или с неизвестной диспер сией. Поскольку вейбулловское распределение представляет собой гибкую статистическую модель, случай контроля параметра формы может трактоваться как изменение вида закона распределения при на личии сигнала.
Для каждого из оптимальных последовательных критериев про ведены вычисления расстояний между гипотезами (Махаланобиса и Кульбака–Лейблера), получены выражения для промежуточных пара метров, логарифмов отношения правдоподобия, границ зон принятия нулевой гипотезы (сигнал отсутствует) и альтернативной (сигнал при сутствует). Все полученные выражения имеют явный вид и предназна чены для использования на практике.
Полученные в диссертации формулы для расстояния между ги потезами (H0, H1) сведены в табл.1, в которой значения параметров с индексом "0" соответствуют гипотезе H0, а с индексом "1" – гипотезе H1.
Таблица Тип распределения Расстояние между гипотезами (0/1) = (0/1) + (1/0) – 2.
Экспоненциальное (0/1) = (0/1)2 + (1/0)2 – 2.
Рэлея неизвестным (T0,T1) = (T0/T1)s + (T1/T0)s – Вейбулла с масштабным параметром Вейбулла с неизвестным па- (s0/s1)= (s0/s1 + s1/s0 – 2)C + раметром формы (s0/s1 + 1) + (s1/s0 + 1) – Нормальное c неизвестным (µ0,µ1) = (µ0 µ1)2/ математическим ожиданием Нормальное с неизвестной (0,1) = (12 02)2/ дисперсией В выражении для расстояния между гипотезами для распреде ления Вейбулла с неизвестным параметром формы - знак гамма функции, С – постоянная Эйлера. Исследование на экстремум показы вает, что зависимость T от параметра формы распределения Вейбулла T = f(s) – возрастающая функция.
Уравнения границ зон принятия нулевой и альтернативных ги потез при проведении процедуры обнаружения на основе критерия Ай вазяна сведены в табл. 2, где j = 1 и знак "+" соответствуют линии принятия гипотезы о наличии сигнала, а j = 0 и знак "–" соответствуют линии принятия гипотезы об отсутствии сигнала.
Таблица Тип распределения Уравнения границ Экспоненциальное kj k = [Сj ± (1/0 – 1) 0 ti]/[Cj/D ± ln (1/0) i= Рэлея Kj 2 2 kj={Сj±[(0/1) – 1] (1/0 ) ti }/[Cj/D ± 2ln(0/1)] i= Вейбулла с неизвестным kTj масштабным параметром kTj = {Сj ± [(T0/T1)s – 1] (1/T0s) tis}/[Cj/DT ± sln(T0/T1)] i= ksj ksj Вейбулла с неизвестным ksj=[Cj ±{(s1–s0)ln(ti/T) + [(ti/T)s0 – (ti/T)s1]}]/Cj/Ds ±ln(s1/s0) параметром формы i=1 i= Нормальное c неизвест- Kµj математическим k = {С ± (µ µ )/ t }/[C /D ± (µ µ )2/2], ным µj 0 1 µ 0 i j j ожиданием i= Нормальное с неизвест- Kj Kj = {Сj ± (12 02)/20212 (ti - µ)2}/[Cj/D ± ln(0/1)] ной дисперсией i= Полученные в диссертации формулы для промежуточного па раметра, необходимого для применения критерия Лордена в исследуе мых ситуациях сведены в табл. 3.
Таблица Тип распределения Промежуточный параметр q'= ln[(1-q0)/(1-q1)]/{ln(q1/q0) + ln[(1-q0)/(1-q1)]} Биномиальное T's = T0s ln(T0/T1)/[(T0/T1)s – 1] Вейбулла Нормальное c неизвестным µ' = (µ0 + µ1)/ математическим ожиданием Нормальное с неизвестной '2=20212/[(12 02)ln(1/0)] дисперсией Получены расчетные соотношения для использования модифи цированного двойного последовательного критерия отношения вероят ностей (критерия Павлова).
Четвертая глава посвящена экспериментальному исследова нию эффективности оптимальных последовательных процедур. По раз работанному алгоритму была составлена программа, позволяющая мо делировать планы испытаний, основанные на критериях Вальда, Айва зяна, Лордена и Павлова.
Исходными данными для работы модели являются: вид распре деления, число реализаций (под реализацией понимается процесс про ведения одной серии испытаний до принятия решения), значения ис следуемого параметра, соответствующие альтернативным гипотезам (0 и 1), фактическое значение параметра (), значения известного ап риори параметра для двух параметрических моделей, ошибки первого и второго рода (, ). В результате расчета для каждой процедуры обна ружения определяются: число случаев принятия основной и альтерна тивной гипотез, фактические вероятности ложной тревоги (при = 0) и пропуска цели (при = 1), средние объемы выборки (или средняя продолжительность процедуры обнаружения).
Программа позволяет моделировать различные процедуры об наружения для любых значений параметров. При этом она достаточно проста и не использует специальных функций, кроме датчика случай ных чисел xi с равномерным на интервале (0,1) распределением. При решении всех задач нами принималось = 10000. Результаты модели рования позволили провести сравнительный анализ эффективности ис следуемых процедур обнаружения.
Установлено, что в случае бинарной дискретизации при боль ших значениях ошибок первого и второго рода наиболее экономичен критерий Лордена. Последовательный критерий Вальда требует в сред нем на 15,2% больше наблюдений, критерий Айвазяна на 59,2%, крите рий Павлова – на 109%. При уменьшении ошибок эффективность кри териев Павлова и Айвазяна увеличивается, однако, критерии Лордена и Вальда и в этой ситуации требуют в среднем меньше наблюдений.
При q = q0 и q = q1 наименьшее число наблюдений требует кри терий Вальда, а при q0 q q1 наиболее эффективен критерий Лорде на. При = = 0,01 критерий Вальда требует в среднем на 3,1% боль ше испытаний, чем критерий Лордена, критерий Айвазяна – на 40,5%, критерий Павлова – на 11,6%. Необходимо заметить, однако, что при малых значениях или и при различении близких гипотез фактиче ская ошибка первого рода при принятии решения на основании крите риев Вальда и Лордена может оказаться больше заданной.
При экспоненциальном распределении в случае больших допус тимых ошибок наиболее эффективным при различении простых гипо тез относительно параметра распределения является критерий Лордена.
В случае больших и продолжительность испытаний по критерию Вальда в среднем на 15,4% больше, по критерию Айвазяна – на 74,8%, по критерию Павлова – на 75%. При уменьшении допустимых вероят ностей ложной тревоги и пропуска цели эффективность критерия Вальда резко снижается (особенно для "промежуточных" значений ис следуемого параметра), а критериев Павлова и Айвазяна – повышается.
При распределении Рэлея наиболее эффективным при различе нии простых гипотез относительно параметра распределения являются критерий Лордена и Айвазяна. Первый оказывается наилучшим при уменьшении допустимых ошибок первого и второго рода, а второй – по мере сближения проверяемых гипотез. Соотношения продолжительно сти испытания для распределения Вейбулла близки с результатами мо делирования экспоненциального и рэлеевских законов.
В табл. 4 для случая распределения Вейбулла приведены харак терные результаты расчета средней продолжительности испытаний до принятия решения, рассчитанного по всем испытаниям (как в случае принятия решения об отсутствии сигнала, так и в случае принятия ре шения о наличии сигнала), при отношении T0/T1 = 2 в случае, когда ис тинное значение T = (T0 + T1)/2. При этом за 100% принята средняя продолжительность испытаний, требуемая при использовании наибо лее экономичного критерия.
Таблица Средняя продолжительность процедуры обнаружения, когда сигнал и помеха имеют распределение Вейбулла Параметр Допустимые Относительная продолжительность формы вероятности оши- процедуры обнаружения, % S бок Критерий Критерий Критерий Критерий Вальда Айвазяна Павлова Лордена 0,5 0,3 0,3 148 155 0,1 0,1 105 110 125 0,01 0,01 114 108 131 2,5 0,3 0,3 102 118 0,1 0,1 125 103 0,01 0,01 156 107 5,0 0,3 0,3 116 121 0,1 0,1 161 111 0,01 0,01 195 114 При моделировании нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием оказалось, что при больших ошибках пер вого и второго рода наиболее эффективным является критерий Айвазя на. Его использование также предпочтительнее при различении близ ких гипотез. При уменьшении допустимых вероятностей ложной тре воги и пропуска цели наиболее эффективным становится критерий Лордена. При моделировании нормального распределения с неизвест ной дисперсией наиболее экономичным по продолжительности испы таний до принятия решения оказался критерий Айвазяна.
Специфика некоторых приложений последовательного анализа требует учета ситуаций, возникающих в случае неравноценности по следствий, возникающих из-за ошибок первого и второго родов. Обна ружение сигнала на фоне помехи является характерным примером не симметричных ошибок первого и второго рода ( ): вероятность правильного обнаружения имеет порядок 0,50,9 (соответственно, ве роятность пропуска цели = 0,10,5), а вероятность ложной тревоги = 10-3 10-6.
Было проведено моделирование процедуры обнаружения сигна ла на фоне помехи для исходных данных, соответствующих радиоло кационной задаче. Для повышения точности статистического экспери мента число реализаций было увеличено на порядок, т. е. в каждом ва рианте составило 100000. Установлено, что эффективность критериев Лордена и Павлова для рассматриваемых исходных данных оказывает ся примерно такой же, как и критерия Айвазяна или несколько ниже.
Результаты расчета среднего количества наблюдений при ис пользовании критериев Вальда и Айвазяна в случае бинарной дискре тизации показали, что критерий Айвазяна в большинстве случаев ока зывается более эффективным, чем критерий Вальда особенно, когда параметр принимает промежуточное значение. При этом в случае в случае принятия основной гипотезы (сигнал отсутствует) оба критерия требуют примерно одинакового числа наблюдений для принятия реше ния. В случае принятия конкурирующей гипотезы (о наличии сигнала) критерий Айвазяна требует проведения приблизительно в полтора раза больше наблюдений. По мере сближения проверяемых гипотез эффек тивность последовательного критерия отношения вероятностей падает, что проявляется в том, что фактическая вероятность ложной тревоги оказывается недопустимо высокой (значительно превышает заданную).
В табл. 5 приведены результаты расчета средней продолжитель ности процедуры обнаружения при использовании критериев Вальда и Айвазяна в случае законов распределения, рассмотренных в третьей главе. Приведены значения средней продолжительности процедуры обнаружения до принятия решения, рассчитанные по всем испытаниям (как в случае принятия решения об отсутствии сигнала, так и в случае принятия решения о наличии сигнала), при отношении 0/1 = 2 для случаев, когда истинное значение = 0, = 1 =(0+1)/2. При этом за 100% принято средняя продолжительность процедуры обнаружения, необходимая в соответствии последовательным критерием отношения вероятностей.
Таблица Средняя продолжительность процедуры обнаружения Допустимые Фактические Тип Значение параметра вероятности вероятности критерия ложной тревоги и ложной тревоги и пропуска цели пропуска цели = 0 =(0+1)/ = Экспоненциальное распределение 0/1 = 0,002 0,26 0,001 0,5 100 Вальд Айвазян 0,001 0,24 105 0,001 0,05 0,001 0,1 100 Вальд Айвазян 0,001 0,05 103 Распределение Рэлея 0/1 = 0,001 0,1 105 0,001 0,5 Вальд Айвазян 0,001 0,1 100 0,001 0,03 109 133 0,001 0, Вальд Айвазян 0 0,03 100 100 Распределение Вейбулла (s = 0,5) T0/T1 = 0,001 0, 0,001 0,5 100 100 Вальд Айвазян 0,001 0,32 107 105 0,001 0,09 104 0,001 0,1 Вальд Айвазян 0,001 0,07 100 Распределение Вейбулла (s = 5,0) T0/T1 = 0,002 0,01 105 137 0,001 0, Вальд Айвазян 0,001 0,02 100 100 0,001 0,05 110 155 0,001 0, Вальд Айвазян 0,001 0,02 100 100 Нормальное распределение µ0/µ1 = 0,001 0,05 129 0,001 0,5 Вальд Айвазян 0,001 0,04 100 100 0,001 0,01 107 146 0,001 0, Вальд Айвазян 0,001 0,02 100 100 Результаты статистического моделирования показали, что ис тинные ошибки первого и второго рода и в большинстве случаев оказываются меньше заданных. В связи с этим предложено заменить прямолинейные границы принятия конкурирующих гипотез криволи нейными, что позволит для любого конкретного случая находить мо мент оптимального усечения последовательной процедуры и сократить ее среднюю продолжительность.
Условия, которым должен удовлетворять наиболее рациональ ный усеченный последовательный критерий:
- последовательный критерий Вальда должен являться част ным случаем предлагаемого критерия;
- аналитические выражения для границ зон принятия альтер нативных гипотез должны быть по-возможности простыми;
- граница зоны принятия основной гипотезы должна быть выпуклой книзу, а зоны принятия альтернативной гипотезы – кверху.
Предложено использовать границы в виде парабол. Схемы по следовательного критерия Вальда, Айвазяна и предлагаемого показаны на рис.1.
K D nmin1 nmin 0 nmax n Рис. 1. Схемы последовательных процедур.
В биномиальном случае уравнения границ зон принятия альтер нативных гипотез записываются k0 = k0 + (n – nmin0)2 b0, k'1 = k1 – (n – nmin1)2 b1, где k0 и k1 – определяются последовательного критерия Вальда;
n - число облучений;
nmin0 – минимальное количество облучений в слу чае принятия гипотезы об отсутствии сигнала;
nmin1 – минимальное ко личество облучений в случае принятия гипотезы о наличии сигнала.
Критерий с параболическими границами определяется так: при k k'0 принимается Н0, а при k k'1 – Н1. Была составлена программа мо делирования планов испытаний с параболическими границами. Попра вочные коэффициенты подбираются так, чтобы выполнялись неравен ства ( )/ 1 и ( )/ 2 в случае, если или, где (, ) фактические вероятности ложной тревоги и пропуска цели соответственно.
Соотношение средней продолжительности процедуры обнару жения при разных соотношениях 0 и 1 приведены в табл. 6, в которой за 100% принимается продолжительность испытаний по параболиче скому критерию.
Сравнительные данные по средней продолжительности проце дуры обнаружения приведены также на рис. 2 и 3.Приводятся данные по средней продолжительности испытаний при заданных = = 0,3, рассчитанной по всем возможным ситуациям (как в случае принятия основной гипотезы, так и конкурирующей), когда истинное значение исследуемого параметра =(0 + 1)/2.
Таблица Средняя продолжительность процедуры обнаружения при использовании последовательного критерия с параболическими границами Значения Относительная продолжительность параметров процедуры обнаружения, % Критерий Критерий Критерий Критерий Вальда Айвазяна Павлова Лордена Экспоненциальное распределение Т0=1000 163,5 203,5 219,8 151, Т1 = Т0=1000 139,9 211,9 212,2 121, Т1 = Распределение Рэлея Т0=1000 142,1 121,1 171,3 130, Т1 = Т0=1000 181,2 203,9 258,8 137, Т1 = Распределение Вейбулла (s=0,5) Т0=1000 162,5 184,9 190,7 138, Т1 = Т0=1000 132,9 239,9 167,1 114, Т1 = Нормальное распределение (=200) µ0=1000 119,9 100,5 107,5 117, µ 1 = µ 0=1000 127,0 116,7 169,8 130, µ 1 = Ряд2 Ряд Количество облучений Ряд Ряд Ряд Экспоненциальное распределение Ряд Количество облучений Ряд 200 Ряд Ряд Ряд Распределение Рэлея Рис. 2. Средняя продолжительность процедуры обнаружения.
Ряд 1 Критерий Вальда Ряд 2 Критерий Айвазяна Ряд 3 Критерий Павлова Ряд 4 Критерий Лордена Ряд 5 Критерий с параболическими границами Ряд Количество облучений Ряд Ряд Ряд Ряд Распределение Вейбулла Ряд Количество облучений Ряд 140 Ряд Ряд Ряд Нормальное распределение Рис. 3. Средняя продолжительность процедуры обнаружения.
Ряд 1 Критерий Вальда Ряд 2 Критерий Айвазяна Ряд 3 Критерий Павлова Ряд 4 Критерий Лордена Ряд 5 Критерий с параболическими границами В результате моделирования установлено, что если заданные ошибки первого и второго рода не очень малы (, 0,05), практически во всех случаях, для любых значений неиз вестных параметров, критерий с параболическими границами требует в среднем меньше наблюдений, чем любой другой из рассматриваемых.
Выигрыш наиболее существенен при высоких значениях ошибок пер вого и второго рода, а также в случаях, когда значение неизвестного параметра не находится в промежутке Н0 Н1.
В приложении 1 дано описание вспомогательных программ, необходимых для применения оптимальных последовательных проце дур обнаружения.
В приложении 2 в форме таблиц представлены результаты ма тематического моделирования оптимальных последовательных проце дур обнаружения.
В приложении 3 приводятся акты внедрения основных резуль татов диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1. Исследована сравнительная эффективность различных спосо бов уменьшения продолжительности и объема последовательной про цедуры обнаружения сигнала на фоне помехи. Установлено, что наи лучшие результаты получаются при использовании параболической зависимости максимального числа обнаружения «единиц», при кото ром принимается решение об отсутствии сигнала, от общего числа об лучений или продолжительности процедуры обнаружения.
2. Предложены алгоритмы обнаружения сигнала на фоне поме хи на основе оптимальных последовательных процедур: приближенно го варианта оптимального обобщенного последовательного критерия (критерий Айвазяна), двойного последовательного критерия отношения вероятностей (критерий Лордена), модифицированного двойного по следовательного критерия отношения вероятностей (критерий Павло ва).
3. Предложен алгоритм синтеза последовательной процедуры обнаружения, основанной на усечении классической последовательной процедуры Вальда за счет использования границ зон принятия альтер нативных гипотез о наличии или отсутствии сигнала в виде парабол с коэффициентами, определяемыми методом математического модели рования.
4. Методом статистического моделирования установлено, что предложенный метод дает выигрыш в уменьшении общего числа облу чений по сравнению с применявшимися ранее и использующими раз личные способы усечения последовательного критерия (до 40% по сравнению с классической процедурой Вальда).
5. Полученные результаты позволяют при допустимых вероят ностях ложной тревоги и пропуска цели выбрать наиболее экономич ный критерий. Это тем более важно, что прежде сравнение эффектив ности этих критериев не проводилось, а полученные ранее асимптоти ческие формулы представляют лишь теоретический интерес.
Результаты работы могут использоваться в более общих случаях различения сигналов (многоальтернативная проверка гипотез, много канальность), а также других областях применения статистического последовательного анализа.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Гродзенская И. С. Метод математического моделирования в оптимизации последовательной процедуры проверки статистических гипотез // Тезисы докладов Научно-технической конференции студен тов, аспирантов и молодых специалистов института, посвященной 40 летию МИЭМ. – М.: МГИЭМ, 2002, с. 49-50.
2. Гродзенская И. С. Оптимизация последовательной процедуры проверки статистических гипотез методом математического моделиро вания // Тезисы докладов X Юбилейной Международной студенческой школы-семинара «Новые информационные технологии». Т. 2.– М.:
МГИЭМ, 2002, с. 543-544.
3. Гродзенская И. С., Гродзенский С. Я. Применение математи ческого моделирования к решению задачи Кифера-Вейсса // Сб. Сис темные проблемы качества, математического моделирования, инфор мационных, электронных и лазерных технологий.– Материалы Между народной конференции и Российской научной школы. Ч. 2.– М.: Радио и связь, 2002, с. 95–96.
4. Гродзенская И. С. Применение математического моделирова ния к решению задачи Кифера-Вейсса // Тезисы докладов Научно технической конференции студентов, аспирантов и молодых специали стов МИЭМ. – М.: МГИЭМ, 2003, с. 8-9.
5. Гродзенская И. С., Гродзенский С. Я., Томилин Н. А. Рацио нализация контроля надежности элементов и систем // Наукоемкие технологии, 2003, № 2, с. 85-87.
6. Гродзенская И. С. Решение задачи Кифера-Вейсса методом математического моделирования // Тезисы докладов XII Международ ной студенческой школы-семинара «новые информационные техноло гии», 2004, с. 106–107.
7. Увайсов С. У., Гродзенская И. С. Обнаружение сигнала на фоне шума на основе оптимальных статистических последовательных критериев // Сб. Системные проблемы надежности, качества, информа ционных и электронных технологий.– Материалы Международной конференции и Российской научной школы. Ч. 1.– М.: Радио и связь, 2004, с. 128-129.
8. Увайсов С. У., Гродзенская И. С. Обнаружение сигнала на фоне помех на основе оптимальных статистических последовательных критериев // Сб. Проблемы качества, безопасности и диагностики в ус ловиях информационного общества.– Материалы научно-практической конференции. – М.: МИЭМ, 2004, с. 115.
9. Увайсов С. У., Гродзенская И. С. Метод «постепенного усе чения» последовательной процедуры для выделения сигнала при нали чии помехи // Сб. Проблемы качества, безопасности и диагностики в условиях информационного общества.– Материалы научно практической конференции. – М.: МИЭМ, 2005, с. 187-189.
10. Увайсов С. У., Гродзенская И. С. Рационализация статисти ческой процедуры различения сигнала на фоне шума при бинарном квантовании // Сб. Проблемы качества, безопасности и диагностики в условиях информационного общества.– Материалы научно практической конференции. – М.: МИЭМ, 2005, с. 189-191.
11. Гродзенская И. С. Рационализация процедуры обнаружения в системах ближней локации. // Метрология, 2006, № 2, с. 16-22.
12. Увайсов С. У., Гродзенская И. С. Обнаружение слабого сиг нала на фоне помехи в случае распределения Рэлея. // Измерительная техника, 2006, № 4, с. 55-58.
13. Гродзенская И. С. Поиск наиболее экономичного способа проверки статистических гипотез о параметрах двух нормальных рас пределений. // Метрология, 2006, № 4, с. 14-19.
14. Гродзенская И. С. Разработка и исследование методов обна ружения радиосигналов при наличии помех на основе оптимальных статистических последовательных критериев // Тезисы докладов Науч но-технической конференции студентов, аспирантов и молодых спе циалистов МИЭМ. – М.: МИЭМ, 2006, с. 257.