Анализ излучения антенн в диэлектрических структурах методом поверхностных интегральных уравнений
На правах рукописи
КОМАРОВ Алексей Александрович АНАЛИЗ ИЗЛУЧЕНИЯ АНТЕНН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Специальность 05.12.07 – Антенны, СВЧ устройства и их технологии
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук
Москва – 2013
Работа выполнена на кафедре Антенных устройств и распространения радиоволн Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» (ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ»).
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор ПЕРМЯКОВ Валерий Александрович
Официальные оппоненты: САМОХИН Александр Борисович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика» МГТУ МИРЭА ТУРКИН Михаил Валентинович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник ФГКУ «В/ч 35533»
Ведущая организация: ФГБУН «ИТПЭ РАН» (г. Москва)
Защита состоится 24 октября 2013 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д212.157.05 при ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ» по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 17, аудитория А-402.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ».
Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью учреждения, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., Учёный совет ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ».
Автореферат разослан « » сентября 2013 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Д212.157. кандидат технических наук, доцент Т.И. КУРОЧКИНА
Общая характеристика работы
Введение. В настоящее время всё более широкое применение в научной и инженерной деятельности находят универсальные программы электродинамического моделирования. Бурное развитие радиоэлектроники с конца 40-х гг. XX века, а в последнее время мобильной связи, навигационных систем (GPS, ГЛОНАСС), спутникового телевидения, систем специального назначения и др. поставило перед учёными и инженерами задачи, которые невозможно решить, используя только строгие аналитические методы теории электромагнитного поля Максвелла. Поэтому стали развиваться новые, в основном численные методы. Широкое внедрение универсальных программ электродинамического моделирования стимулируется развитием вычислительной техники: ежегодно появляются всё более мощные персональные ЭВМ, на которых решение научно технических задач занимает от нескольких минут до часов. Кроме того, имеется существенный теоретический задел в виде разработанных численных методов решения соответствующих задач, среди которых можно выделить три, получивших наибольшее распространение в вычислительной электродинамике: метод поверхностных интегральных уравнений (ПИУ), метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей во временной области (МКРВО).
Актуальность выбранной темы определяется тем, что в ряде практических приложений антенные устройства размещаются под диэлектрическим покрытием, существенно влияющим на характеристики антенн. Также представляет практический интерес расчет радиолиний в условиях, когда имеются препятствия, аппроксимируемые диэлектрическими структурами типа диэлектрического клина и диэлектрической ступеньки.
Применение существующих коммерческих универсальных программ электродинамического моделирования для расчета указанных задач наталкивается на трудности, если продольные размеры диэлектрических объектов велики по сравнению с длиной волны. Кроме того, разработчики коммерческих программ не предоставляют полную информацию о погрешности численного решения. Поэтому развитие численно аналитических методов, позволяющих контролировать результаты численного решения в терминах величин, понятных с инженерной точки зрения, важно для разработки антенных устройств и радиотехнических систем.
Цели работы. Можно выделить три цели работы. Первой целью является развитие методики и создание компьютерных программ для расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений и интегрального преобразования Фурье. Вторая цель работы состоит в анализе процессов дифракции плоской электромагнитной волны на двумерных диэлектрических структурах на основе разработанной методики. Третья цель работы заключается в анализе поля излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной конфигурации с помощью метода поверхностных интегральных уравнений.
Для достижения поставленных в диссертационной работе целей решаются следующие основные задачи:
1. Построение тензорной функции Грина в обобщённых цилиндрических координатах на основе принципа эквивалентности. Получение выражений для компонент тензорной функции Грина, удобных для вычислений. С применением тензорной функции Грина вывод выражений, позволяющих вычислять электромагнитное поле, как на конечном расстоянии, так и в дальней зоне.
2. Разработка компьютерной программы расчёта дифракции плоской волны на диэлектрическом клине по методике и алгоритму, предложенным ранее Е.Н. Васильевым и В.В. Солодуховым. Добавление возможности расчёта поверхностного импеданса и неравномерных частей токов. Численное исследование закономерностей дифракции плоской волны на двумерных диэлектрических структурах (прямоугольный диэлектрический клин, диэлектрическая ступенька).
3. Разработка методики, алгоритма и компьютерной программы для расчёта поля излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной конфигурации. Численные исследования взаимной связи щелевых антенн, расположенных в диэлектрической области, и сравнение полученных результатов с экспериментом.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы векторного анализа, функции Грина, поверхностных интегральных уравнений, линейной алгебры, программирования и численные методы.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Детально исследованы амплитудно-фазовые характеристики поверхностных токов, импедансов и рассеянного поля при дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине с параметрами, характерными для строительных материалов (бетон, кирпич).
Фазовые характеристики поверхностных токов и рассеянного поля исследованы впервые.
2. Сравнением результатов расчётов рассеянного поля для клина с постоянным поверхностным импедансом (далее импедансным клином) и диэлектрического показано, что диэлектрический клин может быть заменён импедансным, когда падающей плоской волной освещены обе грани клина. В случае освещения только одной грани диэлектрический клин не может быть заменён импедансным. Вызвано это тем, что на теневой грани диэлектрического клина поверхностный импеданс имеет ярко выраженный колебательный характер на расстояниях от ребра, много больших длины волны. Поэтому описание теневой грани диэлектрического клина постоянным поверхностным импедансом при аппроксимации диэлектрического клина импедансным оказывается некорректным.
3. Выявлены особенности обратного рассеяния электромагнитных волн на модели края льдины в виде диэлектрической ступеньки. Обнаружена сильная зависимость величины поля обратного рассеяния от формы края льдины.
4. Исследовано влияние формы и геометрических размеров внешней диэлектрической оболочки на взаимную связь продольных щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем круговом цилиндре.
Практическое значение работы.
1. Развитая методика расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений и итерационной процедуры решения СЛАУ позволила создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы, которые уже нашли применение при выполнении НИР.
2. Алгоритмы расчёта амплитудно-фазовых характеристик рассеянного поля на диэлектрическом клине и диэлектрической ступеньке могут быть использованы в программных продуктах, предназначенных для расчёта рассеяния электромагнитных волн ледовыми полями, фрагментами зданий, нерегулярностями диэлектрических волноводов.
3. Методика и программы расчёта полей излучения, входной проводимости и взаимной связи щелевых антенн, могут быть использованы для анализа характеристик антенн, размещённых на летательных аппаратах с диэлектрическим покрытием.
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием хорошо известных и апробированных методов векторного анализа, интегральных уравнений, линейной алгебры в сочетании с численными методами решения интегральных уравнений. Результаты проведённых расчётов согласуются с экспериментальными данными и в частном случае – с расчётами по методу собственных функций.
Внедрение результатов исследования. Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИР «Лорнет» в интересах ФГКУ «в/ч 68240», что подтверждается актом о внедрении, полученным в ЗАО «РАДИЙ ТН».
Апробация работы. Основные положения и результаты работы были представлены и обсуждались на шести научно-технических конференциях:
17-я, 18-я Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2011-2012 гг.);
Всероссийские радиофизические чтения-конференции памяти Н.А. Арманда (Муром, 2010 г).;
XXIII-я Всероссийская научная конференция «Распространение Радиоволн» (Йошкар-Ола, 2011 г.);
3-я, 6-я Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь» (Москва, 2009, 2012 гг.).
Основное содержание диссертации было также представлено на Московском электродинамическом семинаре им. Я.Н. Фельда ( Москва, 2 апреля 2013 г.).
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Развиты методика и алгоритмы расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений, позволившие создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы.
2. Исследованы амплитудно-фазовые характеристики (фазовые впервые) поверхностных токов, импедансов и дифракционных полей при падении плоской волны на диэлектрический клин с малыми потерями.
Поверхностные импедансы граней клина являются осциллирующими функциями координаты в тех же пределах, что и неравномерные части токов. Особенно заметные колебания исследуемых величин наблюдаются при несимметричном облучении клина на его неосвещённой грани. С этой гранью связаны заметные отличия дифракционных полей двух поляризаций в дальней зоне, на этой грани значительно сильнее по сравнению с другой гранью осциллируют токи и импедансы.
3. Установлено, что замена диэлектрического клина с относительной диэлектрической проницаемостью больше единицы и малыми потерями клином с постоянным поверхностным импедансом обоснована с качественной и количественной точек зрения только в случае облучения обеих граней диэлектрического клина. Возникновение значительных осцилляций поверхностного импеданса диэлектрического клина при освещении падающей волной только одной грани клина приводит к принципиальным отличиям процесса дифракции от клина с постоянным поверхностным импедансом.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 работах, из них 2 статьи в научно-технических журналах, входящих в перечень ВАК.
Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, двух приложений и списка использованных источников.
Она изложена на 155 страницах машинописного текста, проиллюстрирована 41 рисунком. Список цитированной литературы включает 138 наименований.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, дано краткое описание проблемы, приведен обзор работ по теме диссертации, сформулированы цели работы, её научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе на основе принципа эквивалентности совместно с использованием преобразования Фурье построена тензорная функция Грина в обобщённых цилиндрических координатах. Её применение позволяет с общих позиций, минуя громоздкие рутинные преобразования, составлять интегральные уравнения для задач возбуждения цилиндрических структур, и определять поле в любой точке пространства по известным поверхностным токам.
Интегральные уравнения для задач электродинамики составляются по одному алгоритму, а именно: на истокообразное представление поля, удовлетворяющее уравнениям Максвелла и условию излучения, накладывается граничное условие – и получается интегральное уравнение. Записав согласно принципу эквивалентности для внешней области V2, ограниченной изнутри Рис. поверхностью (рис.1), поверхностные токи и поля и представив их и функцию Грина свободного пространства в виде интегралов Фурье, после преобразований получим следующие выражения где – спектральные плотности поля и эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов;
,, и – тензорные функции Грина, записываемые в виде прямоугольных матриц размера 32 каждая. Интегрирование в (1) проводится по контуру поперечного сечения цилиндрического тела.
Тензорная функция Грина свободного пространства в обобщённых цилиндрических координатах содержит 24 элемента. Однако из принципа перестановочной двойственности уравнений Максвелла следует, что то есть, из 24 составляющих только12 являются независимыми.
Во второй главе с помощью метода ПИУ детально исследована дифракция плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине (ДК) и диэлектрической ступеньке.
Решение задачи дифракции на ДК со скругленным ребром методом ПИУ было получено Е.Н. Васильевым и В.В. Солодуховым для общего случая наклонного падения плоской ЭМ волны под произвольным углом к ребру ДК. Используя идею П.Я. Уфимцева о том, что поверхностный ток можно представить в виде суммы равномерной и неравномерной составляющих, удалось свести ИУ с бесконечным контуром интегрирования к контуру конечной длины где В (3), (4) I(), Iп() – векторы-столбцы искомых и первичных токов;
I0() – равномерная составляющая тока;
R(,) – матричное ядро;
– диагональная матрица с главной диагональю {2, 2, 1+, 1+};
2 – контур конечной длины, выделяемый точками a1 и a2 (см. рис.2). Положения точек выбираются так, чтобы на контурах 1, 3 можно было пренебречь неравномерными токами.
При таком подходе существенным моментом, определяющим границы применимости модели, является вычисление равномерных токов.
Равномерные токи определяются полями падающей и отражённой плоских волн, а также плоскими волнами, прошедшими через тело клина и претерпевшими одно или более переотражений. В работе Е.Н.
Васильева и В.В. Солодухова равномерная составляющая токов вычислялась без учёта прошедших Рис. волн. Это ограничивало диапазон угла падения плоской волны случаями, когда освещаются обе грани клина.
Однако при падении плоской волны на прямоугольный клин ситуация существенно упрощается, так как здесь существует только однократное прохождение волны через клин. Задача нахождения равномерных частей токов для прямоугольного клина с учётом прошедшей волны решена в диссертации. Это позволило расширить исходную электродинамическую модель ДК и рассмотреть случаи, когда падающей плоской волной освещена только одна грань ДК. Была проведена серия расчётов для клина при падении плоской электромагнитной волны Е- и Н-поляризаций на клин с диэлектрической проницаемостью – Такое значение = 4 i0,12.
диэлектрической проницаемости хорошо описывает свойства бетона в диапазоне длин волн 0,3м 3м. Углы падения плоской волны задавались в интервале (0о, 10о,…,90о). Ребро клина при численном решении сглаживалось окружностью малого радиуса. Длина контура a1a2 (рис.2), на котором решалось ИУ, была задана равной 20. Вдоль контура a1a2 отсчитывается переменная ;
в точке a1 =–10, в точке a2 =10, а на ребре клина =10.
Принципиальным моментом, отличающим данное исследование от множества работ, посвященных ДК, является анализ поведения фазовых характеристик токов, импедансов и дифракционного поля.
Равномерные части полных токов (рис.3) являются бегущими вдоль направляющей клина волнами с фазовой скоростью, примерно равной, где - угол падения плоской волны на грань клина.
а) = 0о б) = 45о Рис.3. Модули (слева) и фазы (справа) полных токов Неравномерные токи (рис.4) представляют собой убывающие по амплитуде от вершины клина волны, бегущие с фазовой скоростью и одновременно осциллирующие по амплитуде.
а) = 0о б) = 45о Рис.4. Модули (слева) и фазы (справа) неравномерных токов Поверхностные импедансы (рис.5) граней ДК являются осциллирующими функциями координаты в тех же пределах, что и неравномерные части токов. Особенно заметные колебания исследуемых величин наблюдаются при несимметричном облучении клина на его неосвещённой грани. Существование значительных осцилляций поверхностного импеданса ДК указывает на принципиальное отличие процесса дифракции на ДК от импедансного клина (с постоянным импедансом).
а) = 0о б) = 45о Рис.5. Модули поверхностных импедансов На рис.6 приведены характерные примеры расчётов рассеянного поля для ДК и при его аппроксимации импедансным клином (ИК), когда освещены обе грани клина (рис.6а) и только одна грань (рис.6б).
а) =0о б) =60о Рис.6. Угловая зависимость рассеянного поля сплошная – ИК;
пунктир – ДК ( = 4 – i0,12) Отметим, что угловая зависимость рассеянного поля рассчитывалась на конечном расстоянии от клина, равном k0r = 10. Рассеянное поле для ИК рассчитывалось по формулам, приведённым в работах А.В. Осипова, А.Н.
Норриса (A.N. Norris) и В.В. Ахиярова. Импедансы граней определялись по плоской волне, падающей на диэлектрическое полупространство под соответствующим углом. Если падающей плоской волной освещена только одна грань, то на теневой грани импеданс определялся по прошедшей сквозь клин плоской волне.
С применением аналогичной методики была исследована дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрической ступеньке, которая может рассматриваться как модель многих прикладных задач. Реалистичная модель края льдины в воде (рис.7а) в нашей постановке заменяется более простой моделью (рис.7б), в которой параметры морской воды считаются равными параметрам льда и нижнее полупространство однородно. Такое приближение является оправданным, поскольку мы рассматриваем скользящие углы падения, при которых коэффициенты отражения плоской электромагнитной волны от горизонтальных поверхностей льда и моря близки по модулю к 1.
а) б) Рис.7. Модель края льдины в воде (а) и поперечное сечение ДС (б) Конкретные расчеты были проведены для ступенек различной формы.
Длины горизонтальных участков l1, l2 и высота ступеньки h были взяты равными по 30, так что общая длина контура интегрирования составляла для вертикальной ступеньки не менее 90 (рис.7). Диэлектрическая проницаемость ступеньки принята равной = 3 – i0,0018, что соответствует параметрам морского льда на длине волны в свободном пространстве = см, а также близко к характеристикам строительных материалов.
Расчёты диаграммы обратного рассеяния диэлектрической ступеньки без учёта и с учётом нерегулярностей показали сильную зависимость результатов расчета от формы неоднородности вертикальной части ступеньки. Расчет удельной эффективной площади рассеяния ступеньки с диэлектрической проницаемостью льда (=3) при учете нерегулярного профиля ступеньки согласуется по порядку величины с экспериментальными данными для льдов.
В третьей главе с помощью метода ПИУ совместно с использованием преобразования Фурье решена задача о расчёте взаимной связи двух продольных щелей, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной формы.
Постановка задачи дана на рис.8. Идеально проводящий круговой цилиндр расположен в диэлектрической области сложной формы. Параметры внешней по отношению к диэлектрику области характеризуются величинами = 1, = 1. Первичные источники Jст, ст Рис.8. Постановка задачи расположены внутри диэлектрической области.
Применив тензорную функцию Грина для составления уравнений исходную задачу можно свести к системе шести скалярных ИУ относительно электрического тока на поверхности металла и эквивалентных токов на внешней поверхности диэлектрика. Эту систему удобно записать в матричной форме Здесь I1(1) – вектор-столбец эквивалентного тока на поверхности 1;
I0(0) – вектор-столбец электрического тока на идеально проводящей поверхности цилиндра 0;
0 – диагональная матрица с главной диагональю {2, 2, 2, 2}.
Матричное ядро R характерно для задачи возбуждения диэлектрического тела. Ядро P соответствует задаче возбуждения идеально проводящего тела.
Ядра Q и T, учитывают взаимодействие токов, текущих по идеально проводящей поверхности и поверхности диэлектрика. Система ИУ (5) решается численно с помощью метода Крылова-Боголюбова.
Работоспособность и точность развитого расчётного аппарата проверялась сравнением его результатов с расчётными данными, полученными другим методом и результатами измерений. Был проведён расчёт коэффициентов отражения и связи двух продольных щелей в диапазоне частот при погружении идеально проводящего цилиндра в соосный диэлектрический цилиндр (рис.9). Щель 1 – передающая, щель 2 – приёмная. Радиус металлического цилиндра – 0,20;
радиус соосного диэлектрического цилиндра – 2,10.
Размеры щелей – 0,40 на 0,070. Щели расположены на расстоянии 0,80 друг от друга Рис.9. К расчёту S11 и S на одной оси. Диэлектрическая проницаемость материала равна = 2,8 – i0,25. Для экспериментальной проверки были изготовлены широкополосные щелевые антенны на основе прямоугольного волновода, заполненного диэлектриком с =5, с основной модой Н10. Для измерений S11 и S21 использовался векторный анализатор цепей типа Agilent N5230A.
Видно (рис.10), что результаты расчётов по разным методам совпадают с графической точностью всюду для S11 и почти всюду, за исключением окрестностей глубоких минимумов, для S21. Поэтому можно сделать положительный вывод о работоспособности программы по методу ПИУ.
а) б) Рис.10. Зависимость от частоты S11 (а) и S21 (б);
сплошная – эксперимент;
пунктирная – метод собственных функций;
точки – метод ПИУ Согласие расчетов с результатами измерений имеет место в среднем в большей части диапазона частот, за исключением высокочастотной части диапазона. Незначительные осцилляции экспериментальных результатов связаны с конечными размерами структур, на которых проводились измерения. Резкие изменения экспериментальных данных (главным образом S11) в конце частотного диапазона (при f/f0 1,24) связаны со свойствами антенн – на высоких частотах возбуждается следующий высший тип колебаний (Н20) в питающем щель волноводе, что не учитывается в расчёте.
Также в главе были проведены расчёты при других вариантах поперечного сечения диэлектрической области, а именно: полупространство и прямой угол.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, отмечены возможные направления дальнейшего развития представленных в работе исследований.
Список публикаций автора по теме диссертации 1. Комаров А.А., Пермяков В.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине.
Анализ численных результатов // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал], – №9. Режим доступа:
2011. http:// jre.cplire.ru/jre/sep11/8/text.html.
2. Бунин А.В., Комаров А.А. Расчёт взаимной связи двух продольных щелей на идеально проводящем цилиндре, расположенном в диэлектрической области сложной формы // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал], 2013. – №1. Режим доступа:
http://jre.cplire.ru/jre/jan13/14/text.html.
3. Пермяков В.А., Жексенов М.А., Комаров А.А. Сравнение дифракционных полей от диэлектрического клина, полученных методом интегральных уравнений и в приближении равномерной геометрической теории дифракции // Электронное издание трудов 3-й Всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», Москва, 2009. – Т.1. – с. 682 686.
4. Пермяков В.А., Жексенов М.А., Комаров А.А. О применении равномерной геометрической теории дифракции к анализу дифракционных полей от диэлектрического клина // Космическая радиолокация (электронный ресурс). Всероссийские радиофизические чтения-конференции памяти Н.А.
Арманда. Сб. докладов научно-практической конференции (Муром, 28 июня 1 июля 2010 г). – Муром, изд. полиграфический центр МИВЛГУ, 2010, - с., - 1 электронно-оптический диск. № гос. регистрации 0321001174, с. 264 269.
5. Комаров А.А. Модернизация численного решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом клине методом интегральных уравнений // Сборник тезисов докладов 17-й Международной научно технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2011. – Т.1. – с.102-103.
6. Комаров А.А., Пермяков В.А. Дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрической ступеньке // Сборник тезисов докладов XXIII-й Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 2011. – Т. 3. – с. 368-371.
7. Комаров А.А. Возбуждение бесконечного диэлектрического цилиндра с произвольной формой поперечного сечения элементарными антеннами // Сборник тезисов докладов 18-й Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2012. – Т.1. – с.102-103.
8. Бунин А.В., Комаров А.А. Расчёт взаимной связи двух продольных щелей на идеально проводящем цилиндре, расположенном в диэлектрической области сложной формы Сборник трудов 6-й // Всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», Москва, 2012. – Т.1. – с. 207-211.