Николай николаевич представления эволюционных полугрупп интегралами по траекториям в вещественных и p-адических пространствах

на правах рукописи

УДК 517 Шамаров Николай Николаевич ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПОЛУГРУПП ИНТЕГРАЛАМИ ПО ТРАЕКТОРИЯМ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ И p-АДИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-мате матического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Шавгулидзе Евгений Тенгизович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич;

доктор физико-математических наук Орлов Юрий Николаевич;

доктор физико-математических наук, профессор Сухинин Михаил Федорович.

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится “30” сентября 2011г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссер тационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном универси тете имени М.В. Ломоносова по адресу: Россия, 119991, ГСП-1, Москва, Ле нинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический фа культет, аудитория 16–24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико–математичес кого факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан “ ” 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук профессор В. Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Тема диссертации относится к бесконечномерному анализу над локально компактными пополнениями поля рациональных чисел.

Бесконечномерный анализ использует дифференцируемые и обобщенные функции и меры на бесконечномерных вещественных пространствах для по становки и решения как собственно бесконечномерных, так и конечномерных задач. Первым примером применения бесконечномерного интегрирования к конечномерным задачам стало представление решений стандартного трехмер ного уравнения Шредингера фейнмановским интегралом (идея была выска зана Фейнманом в 1948 г. на “физическом уровне строгости”, математически реализована в простейшем случае Нельсоном в 1964 г.).

Именно фейнмановский формализм функционального интегрирования, об общенный на случай функциональных суперпространств, позволил Глэшоу, Саламу и Вайнбергу в конце 60-х гг. построить единую квантовую теорию электромагнитного и слабого ядерного взаимодействий (им за это присуж дена Нобелевская премия в 1979 г.). На сегодня этот формализм является общим фундаментом как для Стандартной модели электрослабого и сильно го ядерного взаимодействий, так и теории суперструн (и супербран).

Хотя самые первые работы по бесконечномерному анализу (принадлежа щие, в частности, Адамару1, Фреше2, Вольтерре3, Гато4 ) появились в начала ХХ века, фактически бесконечномерный анализ в том виде, как он понима ется сегодня, сформировался в значительной мере в работах советских мате матиков, начиная с пионерских работ А.Н. Колмогорова 5, С.В. Фомина6 и их последователей, причем нужно отметить, в частности, что определяющий вклад в это формирование внесен классическими результатами О.Г. Смоля J. Hadamard: Sur les operations fonctionnelles// C.R. Acad. Sci. Paris, 136 (1903), 351–354.

M. Frechet: Sur les operations lineaires // Trans. Amer. Math. Soc., 5:4 (1904), 493– V. Volterra: Lections sur les fonctions de lignes// Paris: Gauthier-Villars. 1910.

R. Gateaux : “Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques // Comptes rendus de l’academie des sciences (Paris) 157 (1913), 325– A.N. Kolmogorov: La transformation de Laplace dans les espaces linaires. // C.R. Acad. Sci. Paris, e (1935) pp. 1717– С.В. Фомин: Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Тезисы кратких научных сооб щений Международного конгресса математиков, секция 5, 1966, с 78–79.

нова и его учеников: В.И. Богачева, А.В. Угланова и Е.Т. Шавгулидзе.

О важности создания нелинейной теории случайных процессов этой важ нейшей области развития бесконечномерных идей А.Н. Колмогоров гово рил, в частности, в самом последнем из своих выступлений на заседании Мос ковского математического общества. Примерно в то же время на одном из заседаний совета по присуждению ученых степеней он отдельно отметил ак туальность бесконечномерного анализа.

С.В.Фомин первый высказал идею о том, что пространства обобщенных функций бесконечномерного аргумента (то есть пополнения пространств обыч ных функций этого аргумента, обладающих хорошими аналитическими свой ствами, относительно некоторой локально выпуклой сходимости, более сла бой, чем локально равномерная) естественным образом сопряжены не про странствам бесконечно дифференцируемых функций, но пространствам бес конечно дифференцируемых мер, причем последние пространства не обла дают никакими естественными изоморфизмами на пространства функций (в силу отсутствия меры Хаара). При этом двойственным к пространству доста точно хороших функций является пространство именно обобщенных мер, а не функций. При этом естественный аналог интеграла Фурье переводит про странство мер в пространство функций. С.В. Фомину же принадлежит первое (и наиболее прямое в терминах значений самой меры) определение произ водной меры по направлению.

Спустя примерно 30 лет после процитированного высказывания Колмого рова, на рубеже веков, подводя итоги развития математики в ХХ веке (начало которого, как уже говорилось, отмечено первыми работами по бесконечномер ному анализу), о важности развития бесконечномерного анализа ярко выска зался известный британский математик М.Ф.Атья7. В лекции, прочитанной в Филдсовском институте г. Торонто на Мировом математическом симпозиуме 2000 года, говоря о перспективах математики в начавшемся XXI-м веке он являющийся также иностранным членом РАН сказал8 (цитата из опубликованного перевода9 на русский язык):

XXI-й век может стать эпохой квантовой математики, или, если угод но, бесконечномерной математики. Что бы это могло означать? Кванто вая математика означает, в широком смысле, “подлинное понимание ана лиза, геометрии, топологии, алгебры в различных нелинейных функциональ ных пространствах”,...

При этом в качестве тех открытых в ХХ веке перспективных областей, от которых следует ожидать развития в веке XXI-м, он выделил, в частности, анализ над локальными (по Вейлю) полями. Важными частными случаями последних являются нетривиальные нормированные пополнения поля рацио нальных чисел (относительно различных нормирований). Кроме того, он от метил важность (для приложений в математической и теоретической физике, особенно в теории калибровочных полей и струн) распространения преобразо вания Фурье на случай нелинейных бесконечномерных областей определения преобразуемых функций. Наконец, он отметил и важность исследований, связанных с некоммутативным анализом и особо отметил, что определенно ожидает результатов в первом десятилении века.

После этих уточнений уместно вернуться к продолжению цитаты:

... а “подлинное понимание” для меня означает, что найдены вполне строгие доказательства всех тех замечательных фактов, о которых размышляли физики.

К проводимой М.Ф.Атьей аналогии между квантовой и бесконечномерной математикой стоит ещё добавить, что все современные учебники по квантовой теории поля, статистической механике и теории струн используют контину альный интеграл как основной элемент формализма.

Таким образом, к числу областей математики, развитие которых им ожида лось, отнесены, в частности: математические модели физики, особенно кван товой теории;

бесконечномерный анализ как таковой (включая бесконечно Atiyah M.: MATHEMATICS IN THE 20TH CENTURY// Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, Vol.34, No 1, p. 1–15.

Атья М.: Математика в двадцатом веке// Матем. просв., серия 3, 2003, выпуск 7, c. 5-–24.

мерный гармонический анализ) и как сформировавшийся аппарат современ ных физических теорий;

анализ над различными локально компактными по лями и некоммутативный анализ.

Результаты настоящей диссертации относятся ко всем этим актуальным направлениям, о которых говорили как Колмогоров при их рождении (закла дывая основы значительной части их) в ХХ веке, так и Атья в самом конце ХХ века, и которые на сегодня, с одной стороны, обрели признаки классиче ских, а с другой стороны набрав темп развития, пока ещё весьма далеки от завершения. Она представляет собой исследование операторных полугрупп, порожденных конечномерными (над локально компактными полями) псевдо дифференциальными операторами (ПДО), методами бесконечномерного ана лиза, включающими как преобразования Фурье функций и мер, заданных на конечномерных и бесконечномерных пространствах над различными ло кальными полями, так и строгое доказательство формул, содержащих фун циональные интегралы, аналогичных классическим формулам с интеграла ми Фейнмана для решений уравнений Шредингера. Упомянутые полугруппы естественным образом возникают как разрешающие для эволюционных урав нений, в которых правые части содержат псевдодифференциальные генерато ры этих полугрупп. Таким образом, результаты о представлениях операторов этих полугрупп приводят к результатам о свойствах решений соответствую щих эволюционных уравнений, в частности к представлениям этих реше ний.

Следует отметить, что в только что закончившемся первом десятилетии ве ка активно находил применения и развивался так называемый ультраметриче ский анализ, в частности, анализ на пространствах над полями p-адических чисел, или p-адический анализ. В частности, именно на базе p-адического анализа построены математические модели таких физических процессов, как “спектральная диффузия” (в коллективе макромолекул протеина) и явление абсорбции угарного газа миоглобином. Исследование физических состояний белковых молекул иногда относят к мезофизике из-за типичных порядков размеров исследуемых объектов, находящихся между типичными порядка ми размеров макрофизики и объектов микрофизики (атомной). Важнейшим ингредиентом p-адических моделей процессов с белковыми молекулами явля ется уравнение, аналогичное уравнению теплопроводности и понимаемое как кинетическое. В этом уравнении искомая вещественно-значная функция зави сит как от вещественного, так и от р-адического аргумента, а роль оператора Лапласа играет ПДО Владимирова подходящего порядка. Потенцированию ПДО, включающх в качестве слагаемых ПДО Владимирова с отрица тельными и с чисто мнимыми коэффициентами, посвящены две главы рабо ты, 2-я и 3-я (с учетом использования в них общих конструкций, развитых в 1-й главе, первые 3 главы из 4-х). 4-я глава посвящена исследованию ана логичными методами, развитыми автором, ПДО с некоммутирующими (мат ричными) коэффициентами, входящих в правую часть записанного в эволю ционной форме классического уравнения Дирака для электрона и позитрона в пространственно неоднородном потенциале.

Цель работы развитие метода функционального интегрирования для изучения эволюционных операторных полугрупп.

Основная задача работы. Исследование операторных полугрупп, гене рируемых дифференциальными и псевдидифференциальными операторами в классах функций, определенных на векторных пространствах над полями ве щественных или p-адических чисел и принимающих комплексные числовые или матричные значения.

При этом аргументы функций могут пробегать как соответствующее од номерное пространство тогда получаются применения бесконечномерных структур для получения новой информации о прикладных конечномерных задачах, так и бесконечномерное пространство, в случае которого сама по становка задачи использует структуры бесконечномерного анализа.

Задача включает, в частности, представления изучаемых полугрупп с по мощью интегралов по путям в пространствах над полями вещественных и р-адических чисел, в том числе разработку аппарата пуассоновских мер в пространствах траекторий, инвариантного относительно выбора основного поля пространств значений траекторий и их размерности, для случая неком мутирующих (матричных) значений мер.

Основные методы. Главный метод работы использование бесконечно мерного интегрирования в широком смысле. При этом интегрирование произ водится как по вероятностным функциональным распределениям, аналогич ным мерам Винера, так и по матрично-значным обобщениям мер Маслова– Пуассона, а также по более общим распределениям, не являющимися счетно аддитивными, примерами которых являются меры типа Фейнмана. Для опре деления функциональных интегралов используются как аппроксимации их классическими конечномерными интегралами в смысле Лебега, так и беско нечномерные преобразования Фурье. Конечнократные аппроксимации функ циональных интегралов основаны на продакт-формуле Чернова для опера торных полугрупп. Для построения таких функциональных интегралов, в ко торых значения подынтегральной функции не обязаны коммутировать со зна чениями меры интегрирования, используется разработанный автором новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В ра боте впервые систематически развита теория интегрирования по линейным функциональным пространствам, во многом инвариантная относительно вы бора локально компактного нормированного числового поля этих пространств.

Для таких функциональных пространств построен новый аппарат переходных мер с некоммутирующими значениями, позволяющий интегрировать опера торнозначные функции по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать). Полученные на этой базе основные новые результаты диссертации состоят в следующем.

• Получены представления решений уравнений типа теплопроводности с p-адическим конфигурационным пространством с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном, импульсном и фазовом простран ствах;

• получены представления решений уравнений типа Шредингера с p-ади ческим конфигурационным пространством с помощью интегралов по тра екториям в конфигурационном и импульсном пространствах;

• получены представления решений классического 4-мерного уравнения Дирака для релятивистского электрона в неоднородном поле электромаг нитного потенциала с помощью интегралов по траекториям в импульсном пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоре тический характер.

Полученные в ней результаты, в частности, являются основой математи ческой теории (хронологического) функционального интегрирования опера торнозначных функций по операторнозначным мерам (предполагается, что значения этих мер и функций не обязаны коммутировать).

Такие интегралы позволяют строить аналитические выражения, выражаю щие общие решения псевдодифференциальных уравнений с операторнознач ными символами (например, со значениями в супералгебрах), включая ори гинальное 4-мерное уравнение Дирака для электрона и позитрона в прост ранственно-неоднородном электромагнитном поле.

Таким образом, результаты и новые методы диссертации могут быть по лезны для математической физики;

в частности, с помощью новых хроноло гических интегралов можно строить общие решения классических уравнений типа Дирака на математическом уровне строгости, что ранее было невозмож но;

особое значение полученные результаты имеют для суперанализа.

Результаты диссертации служат основой для новых специальных курсов, читаемых на механико–математическом факультете МГУ.

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора (их список приведен в конце автореферата), 14 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались, в том числе:

на научно-исследовательских семинарах:

• “Бесконечномерный анализ и его приложения” механико-математичес кого факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф. О.Г. Смо лянов, проф. Е.Т. Шавгулидзе, 1997–2010;

• “Семинар по многомерному комплексному анализу” механико-матема тического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители: проф.

В.К. Белошапка,чл.-корр. РАН С.Ю. Немировский, проф. А.Г. Сергеев, чл.-корр. РАН Е.М.Чирка, 2010;

• Семинар “Актуальные проблемы геометрии и механики” механико-мате матического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, руководители проф.

Д.В. Георгиевский, д.ф.-м.н. М.В. Шамолин, проф. С.А. Агафонов, 2005– 2010;

• “Открытый семинар по теоретической физике” Московский Государствен ный Открытый Университет, факультет прикладной математики, кафед ра физики,руководитель проф. Т.Ф.Камалов, 2007–2010;

• “Семинар Отдела математической физики” МИАН им. В.А. Стеклова, ру ководители акад. В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В. Волович, 1997– 2010;

• Семинар лаборатории Теории нелинейных физико-математических про цессов Института химической физики РАН, руководитель член-корр. РАН В.А. Аветисов, 1997–2010;

на научных конференциях:

• Международная конференция “Дифференциальные уравнения и смеж ные вопросы”, посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2004;

• Третья международная конференция по p-адической математической фи зике: от физики планковских масштабов до сложных систем и биологии “p-ADIC MATHPHYS.2007” Москва, 2007;

• Международная конференция “Дифференциальные уравнения и смеж ные вопросы”, посвящённая памяти И.Г.Петровского, Москва, 2007;

• 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, Vaxjo, Sweden, 2008;

• 1-я Международная Самарская конференция “Математическая физика и ее приложения”, Самара, 2008;

• Международная конференция “Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems”, Львов, Украина, 2009;

• Международная конференция “Современные проблемы математики, ме ханики и их приложений”, посвященная 70-летию ректора МГУ академи ка В.А. Садовничего, Москва, 2009;

• Российская Школа-конференция “Математика, информатика, их прило жения и роль в образовании”, Москва, РУДН, 2009;

• Международная научно-техническая конференция “Нанотехнологии и на номатериалы”, Москва, МГОУ, 2009;

• 2-я Международная Самарская конференция “Математическая физика и ее приложения”, Самара, 2010.

Структура диссертации. Диссертация содержит 224 страницы и состо ит из введения, четырех глав, двух дополнений и списка литературы.

Краткое содержание диссертации.

В введении обсуждаются вкратце мотивировки развиваемого в работе направления.

В первой главе приведены основные конструкции, связанные с использу емым далее интегрированием по бесконечномерным пространствам, в частно сти, изложению мультипликативного метода переходных мер, имеющих мат ричные значения, и построению используемых далее пуассоновских распреде лений в пространствах траекторий. В начале главы изложены общие исполь зуемые в диссертации конструкции, связанные с нормированными полями и нормированными пространствами над такими полями. Затем для векторных пространств над такими полями строится общая теория цилиндрических пе реходных мер с некоммутирующими (матричными) значениями.

Нормой (или нормированием) на поле K называется всякая вещественно значная функция N : K R+ такая, что: (x, y) K K N (x) = 0 x = 0, N (x + y) N (x) + N (y), N (x · y) = N (x) · N (y).

В случае, когда K = Q поле рациональных вещественных чисел, нор ма полностью определяется значениями на простых натуральных числах p, бльших единицы, множество которых {2, 3, 5,...} обозначим символом P.

о Полагаем далее P = P {} и p P, так что p P p.

Для каждого p P положим Np (p) = p1 и при этом для каждого q (P \ {p}) положим Np (q) = 1. Положим ещё N (p) = p для всех p P. Эти соотношения для каждого p P определяют нормирования Np на Q. Для каждого p P выбираем произвольным образом одно из (попарно изоморф ных) нормированных полей, являющихся пополнениями поля Q относительно нормы Np, и обозначаем выбранное пополнение знакосочетанием Qp.11 Да лее в рассуждениях, в которых значение переменной p P фиксированно, поле Qp обозначаем для краткости буквой Q. При p поле Qp назы вается полем p-адических чисел. Понятие нормы N на векторном простран стве V над нормированным полем определяется как обычно. Если при этом включая построение по таким переходным мерам новых мер на пространствах траекторий. В случае коммутирующих значений по сверточной полугруппе мер строится новая полугруппа мер на простран ствах траекторий.

Значение |x|Qp нормы на элементе x Qp часто кратко обозначается |x|p. Поскольку при этом поле Q изоморфно полю вещественных чисел, то считаем, что в качестве Q выбрано именно поле R (в частности, |x| = |x|R ).

(x, y) V V N(x + y) max(N(x), N(y)), то норма N называется также ультранормой.

векторное пространство, то V X Далее, если X множество и V мно жество всех V -значных функций на множестве X.

банахово пространство над полем K {R, C}, то L(V ) Если V про странство ограниченных (всюду определенных) линейных операторов V V.

Если ещё I R подмножество вещественной оси, то функция F : IL(V ) называется сильно непрерывной, если непрерывно отображение I V (t, x) F (t)x V относительно нормированной топологии в V и сужения на I V R V про изведения нормированных топологий пространств R и V. При I = [0;

+) такая функция будет называться (сильно непрерывной операторной однопа раметрической, или, кратко, C0 -) полугруппой в пространстве V, если F (0)x = x (x V ) и F (s + t) = F (s) F (t) (t I s).

Для такой полугруппы F образуемая при фиксированном x V функция t F (t)x называется орбитальным отображением (с начальным Fx : I значением x = F x(0) ).

неизолированная точка некоторого множества I R, Далее, если t функцию y : I V будем называть дифференцируемой по норме простран ства V в точке t0, если в пространстве V существует предел (y(t) y(t0 )), lim tt0 t t d обозначаемый в этом случае (y(t)) и называемый производным значе dt t=t нием функции y в точке t0. Символ yV при этом будет означать функцию, Для p-адического (p P) координатного пространства X = Qd подразумевается заданной его так называемая каноническая норма Qd x max |xj |p, которая также называется p-адической (на Qd );

jd она также является ультранормой. В случае p = вещественное координатное пространство Qd = Rd предполагается наделенным его стандартной евклидовой нормой.

его и его векторные подпространства называем функциональными, чтобы выделить их по сравнению с пространствами типа Lr, которые определим, как обычно, как фактор-пространства, элементами которых являются не индивидуальные функции, а классы эквивалентности.

определенную на множестве всех тех точек t I, в которых функция y диф ференцируема по норме пространства V, и значение которой в каждой точке её области определения равно производному значению функции y в этой точ ке.

, что орбитальное отображение F x : [0;

) V полугруп Известно пы F, будучи по определению полугруппы непрерывным, не обязано быть дифференцируемым по норме пространства V во всех точках полуоси I, и что свойство его дифференцируемости одновременно во всех этих точках равносильно свойству его дифференцируемости в нуле. Множество всех тех векторов x V, для которых это свойство выполнено, плотно в V ;

оно обо значается DF0 и называется областью определения генератора полугруппы, а оператор d x DF0 (F (t)x) dt t= обозначается F0 или F (0) и называется генератором полугруппы;

полугруппа однозначно восстанавливается по своему генератору, и если A ее генератор, то ее значения в точках t [0;

) обозначаются записью et·A ;

при этом часто генератор имеет вид A = B вместо et·(B) пишем также et·B.

Источником аппроксимаций функциональных интегралов являются извест ная продакт-формула Чернова для аппроксимаций полугрупп и её частный вид формула Троттера–Ли.

некоторая алгебра подмножеств множества X (X S) и V Если S нормированное пространство, то для произвольной меры m : S V и про извольного множества A S значение |m|(A), равное величине n : n N, Ak S (k n), Ak Aj = (k = j) sup m(Ak ) V k= из промежутка [0, +], называем вариацией меры m на множестве A или A |m|(A) значением вариации меры на этом множестве, а отображение S вариацией меры. Значение |m|(X) при этом называем нормой меры m по вариации, или полной вариацией этой меры, и обозначаем m. Если это Davies E.B.: One-parameter semigroups// Academic Press, 1980.

значение конечно, говорят, что мера обладает конечной вариацией.

Если для некоторых пространств X и Y выделены их системы подмножеств S и T соответственно (S P(X), T P(Y )) и отображение f : X Y та ково, что для каждого множества B, являющегося элементом системы T, его полный прообраз f 1 (B) {x : x X, f (x) B} является элементом системы S, то f называется (S, T )-измеримым. Если при этом ещё m мера B m(f 1 (B)), являющееся мерой на Y, обо на X, то отображение T значается (m f 1 T) и называется (f, T )-образом меры m. Если к тому же S и T являются алгебрами множеств, а мера m принимает значения в нор мированном пространстве, то полная вариация образа меры не превосходит полной вариации исходной меры.

Пусть даны измеримые пространства X1 и X2 с их -алгебрами S1 и S соответственно, и пусть V конечномерное вещественное пространство (на деленное его стандартной топологией). Отображение a : X1 S2 (x, A) a(x, A) V с ограниченным в пространстве V множеством значений назы вается V -значной переходной мерой между измеримыми пространствами X и X2, если при каждом x X1 отображение a(x, ·) : S2 A a(x, A) является счетно аддитивнной V -значной мерой на алгебре S2, обозначае x a(x, A) является мой далее записью ax, и отображение a(·, A) : X (S1, V )-измеримым V -значным отображением на множестве X1. Множество A(X1, X2 ;

V ) таких переходных мер наделяется банаховой нормой A(X1, X2 ;

V ) a sup{ ax : x X1 }. Если S1 = S2 (в частности, X1 = X2 ), то V значная переходная мера между X1 и X2 называется V -значной переходной мерой в пространстве X1. Запись M(X, V ) означает пространство всех счет ноаддитивных мер, определенных на борелевской сигма-алгебре конечномер ного пространства X = Qd и принимающих значения в конечномерном нор мированном комплексном пространстве V. нормированное конечномерное пространство над R, X = Qd и m M(X, V ), то Если d N, V отображение am : X X (x, A) m(A x) является V -значной переходной мерой в пространстве X.

Если пространство X2 имеет вид Qd = (Qp )d для некоторых d N и p P, то всякая (знакопеременная) вещественнозначная переходная мера a между произвольным измеримым пространством X1 и указанным X2 является разностью двух неотрицательных переходных мер, комплекснозначная переходная мера яв Далее снова Q = Qp. Если V векторное пространство над полем Q не обязательно конечномерное над Q), то V # означает множество (далее всех Q-линейных отображений V Q, называемых при этом (линейными) функционалами (на V ). До конца главы символ S (возможно, с индексом или несколькими) означает некоторое пространство над Q и F (соответствен но, с теми же индексом или индексами) некоторое множество Q-линейных функционалов S Q.

Пусть, для каждого n N = {1, 2,...}, Gn некоторый класс функций, определенных на Qn (область значений сейчас не важна), и G = Gn.

nN Функция, определенная на пространстве S, называется (G, F )-цилинд рической, если найдутся число n N, набор линейных функционалов (f1,..., fn ) F n и функция g Gn такие, что для каждого s S выполне но равенство (s) = g(f1 (s),..., fn (s)). Если принадлежность к клас су G выражается некоторым свойством функций, то при описании (G, F ) цилиндрических функций название этого свойства ставится перед термином “F -цилиндрический ”: таким образом определяются классы комплекснознач ных F -цилиндрических, борелевских F -цилиндрических и т.д. функций на S.

Функции, значениями которых могут являться лишь нуль и единица, называ ются индикаторными. Напомним, что если индикаторная функция определе на на некотором множестве X, равна единице в точках подмножества A X и нулю в точках подмножества X \ A, она обозначается 1AX и называется индикатором (=индикаторной функцией) подмножества A в множестве X.

При этом множество A называется определяемым функцией 1AX подмноже ством в множестве X. F -цилиндрическим множеством в S называется всякое подмножество в S, которое определяется какой-нибудь борелевской индика торной F -цилиндрической функцией на S.

непустое подмножество в S #, то запись (S, F ) означает наи Если F меньшую среди тех теоретико-множественных сигма-алгебр с единицей S, ляется комплексной линейной комбинацией не более чем четырех неотрицательных переходных мер, и всякая переходная мера общего вида является векторной линейной комбинацией некоторого конечного числа неотрицательных переходных мер.

для каждой из которых (, p )-измеримы все функционалы f F. Запись (S, F ) означает объединение всех тех теоретико-множественных сигма-алгебр вида (S, F0 ), для которых F0 конечное подмножество в F.

Элементы сигма-алгебр вида (S, F0 ) (S, F ) называются также F0 -ци линдрами, или F0 -цилиндрическими множествами. Система (S, F ) является алгеброй множеств с единицей S и называется цилиндрической алгеброй на векторном пространстве S относительно множества функционалов F ( S # ), или, короче, F -цилиндрической алгеброй на S. Если V банахово пространство (не обязательно над полем Qp ), то за пись MCyl (S, F ;

V ) означает множество, элементами которого являются все те аддитивные меры ограниченной вариации (S, F ) V, сужение каждой из которых на подалгебру вида (S, K), где K непустое конечное подмно жество в F, счетно аддитивно. 18 Запись M(S, F ;

V ) означает пространство всех счетно аддитивных мер (S, F ) V конечной полной вариации.

Для определения операции свертки цилиндрических мер используется тот факт (Предложение 1.10), что отображение сложения A : S S S, сопо ставляющее упорядоченной паре (a, b) S S элемент (их сумму) (a + b) из пространства S, является измеримым (линейным оператором) относи тельно алгебр (S, F ) a (S, F ) и (S, F ), где (S, F ) a (S, F ) означает наименьшую цилиндрическую алгебру, содержащую все декартовы произведения вида A B при (A, B) (S, F ) (S, F ) (множество всех этих произведений обозначается (S, F ) (S, F )). Свертка m n двух цилиндрических мер m, n, принимающих значения в некоторой матричной алгебре, определяется как образ при отображении A той минимальной ци линдрической меры в пространстве S S, которая на каждом произведении Для общности положим ещё (S, ) = {, S}.

Пространство S называется цилиндрическим, если вместе с ним задана некоторая цилиндрическая алгебра на нём. F -цилиндрическая алгебра на S называется невырожденной, если пересечение ядер всех функционалов f F нулевое (другими словами, если не существует общего вектора образующей для всех цилиндров из алгебры;

наконец, это равносильно тому, что F разделяет точки в S);

при этом и само цилиндрическое пространство называется невырожденным.

меры, являющиеся элементами пространства MCyl (S, F ;

V ), называются V -значными F цилиндрическими мерами на S.

(A, B) (S, F )(S, F ) принимает значение m(A)n(B). Такая свертка некоммутативна.

Для определения преобразования Фурье используется следующее обобще ние понятия дробной части вещественного числа на случай произвольного поля Q = Qp (p P). Минимальная замкнутая в Qp подгруппа по сложе нию, содержащая единицу, обозначается Zp. Очевидно, Z = Z Q, и для каждого x Q класс смежности x+Z имеет одноэлементное пересечение с вещественным полуинтервалом [0 ;

1), причем единственный элемент это го пересечения называется вещественной дробной частью элемента x Q ;

эта дробная часть будет обозначаться {x}. В случае конечного p подгруп па Zp является центральным единичным замкнутым шаром нормированного Q 1} B p (0) ), и при этом для каж поля Qp ( Zp = {x : x Qp, |x|p дого x Qp \ Zp компактный класс смежности x + Zp имеет единственный представитель вида ненулевой конечной суммы ck (x)pk, k= logp |x|p в которой числа ck (x) {0, 1, 2,..., (p 1)} играют роль цифр p-ичного разложения, и c logp |x|p (x) = 0 ;

этот представитель называется p-адической дробной частью от x и обозначается {x}p ;

полагают также {x}p = 0 для каждого x Zp. Таким образом, для произвольного p P определена вещественно-значная функция Qp [0 ;

1), x {x}p, причем отображение Qp : Qp {z : z C, |z|C = 1} (где |z|C абсолютная величина или мо дуль комплексного числа z ), определяемое формулой x Qp (x) = e(2{x}p )i (i = 1), является непрерывным гомоморфизмом аддитивной группы нор мированного поля Qp в мультипликативную группу T = {z : |z|C = 1} ком плексных чисел с единичным модулем.

векторное пространство над Q = Qp и F S #. Пусть Пусть снова S еще D некоторое множество и J некоторое сюръективное отображение множества D на множество F. Пусть также V комплексное конечномер ное нормированное нормированное пространство. Тогда J-преобразованием Фурье произвольной меры m MCyl (S, F ;

V ) называется функция D V, обозначаемая mJ или FJ m и определяемая равенствами Q (y) m (J(x))1 (dy).

mJ (x) = Qp В случае J = idF J-преобразование Фурье меры m называется F -преобразо ванием Фурье этой меры и обозначается mF или FF m, или просто m, если F определено контекстом. Ясно, что mJ = mF J, и разница между F - и J преобразованиями Фурье одной меры проявляется в формулах: скажем, одно из них зависит от функций, другое от мер, или от обобщенных функций, или от обобщенных мер.

F -преобразование Фурье свертки двух F -цилиндрических матричных мер равно поточечному произведению преобразований Фурье этих мер, взятому 1 k обозначается em и в том же порядке. Сверточная экспонента k=0 k! (m) также является F -цилиндрической мерой. Множество {et·m : t 0} являет ся примером сверточной полугруппы мер (называемой в этом случае экспо ненциальной), то есть мерозначной функции f на R+ = [0;

+) такой, что f (s + t) = f (s) f (t) ((s, t) R+ R+ ).

Опишем теперь способ порождения сверточной полугруппой цилиндриче ских мер новых мер в пространствах траекторий. Пусть снова S векторное пространство над Q = Qp (p P) и F S #. Пусть также V конеч номерная банахова алгебра над R ( a · b a · b для a, b V ). Пусть ещё m = {t mt : t [0;

+)R } непрерывная (относительно нормы мер по вариации) однопараметрическая сверточная полугруппа V -значных F et·a (по цилиндрических мер на S, такая, что для некоторого a 0 mt следняя оценка носит технический характер19 ;

она всегда в используемых да лее примерах выполняется как правило, по построению).

При построении новых мер далее для каждого T 0 определим после довательно следующие новые объекты: векторное пространство S1 над Q, подмножество F1 (S1 )# и, для каждого значения нового параметра [0;

+)R, меру mT класса MCyl (S1, F1 ;

V ) так, что в случае коммутативно Она будет нужна для применения теоремы Чернова.

сти умножения в алгебре V отображение mT = {[0;

+)R mT } • окажется полугруппой V -значных F1 -цилиндрических мер на S1.

Для построения пространства S1 ещё фиксируем T (0;

)R, пусть IT = [0;

T ]R и S1 = S IT = {f : [0;

T ]R S}.

Как и в случае множества F, множество F1 не является векторным про странством, хотя и окажется, что оно содержит нулевой элемент (и это, как выше отмечалось, упростит некоторые формулировки). Именно, F1 (S1 )# q f (q(t)) (обозначаемые это в точности все функционалы вида F записью (f t ) ) при всевозможных t [0;

T ]R и f F.

Далее tT означает систему всех тех конечных подмножеств отрезка IT = [0;

T ]R, которые включают концы этого отрезка. В каждом таком подмноже стве t tT элементы считаем пронумерованными, начиная с нулевого индек са: t = {tt, tt,..., tt t }, где 0 = tt tt · · · tt t = T, и nt означает число 0 1 n 0 1 n отрезков, на которые разделен отрезок IT точками из t.

Пусть, для произвольного t tT линейное отображение t : S1 S nt + определено формулой t (q) = (q(tt ),..., q(tt t )).

0 n Наконец, фиксируем произвольное значение [0;

+)R и построим F1 цилиндрическую меру mT.

Пусть заданы мера µ0 MCyl (S, S ;

V ), множество t tT и множества Aj (S, F ) для j {0,..., nt }. Тогда положим mµ0,,t (A0 A1 · · · Ant ) = µ0 (dx0 ) · m ·(tt tt ) (dx1 x0 ) 1 A0 A m ·(tt tt ) (dx2 x1 ) · m ·(tt tt ) (dx3 x2 )... xnt 1 ).

m ·(tt tt t 1 ) (dxnt n 2 1 3 2 n t A2 A3 Ant (nt +1) При этом мера mµ0,,t аддитивна на полукольце (S, F ) и продолжа ется до Jn+1 (F n+1 )-цилиндрической меры на S nt +1, где для произвольного на бора (f0, f1, f2,..., fnt ) (F )nt +1, функционал Jn+1 (f0, f1, f2,..., fnt ) действует nt по формуле S nt +1 Q, (x0, x1,...xnt ) fj (xj ).Последняя цилиндри j= ческая мера и есть искомая. Если исходная полугруппа экспоненциальная, построенная мера называется обобщенной пуассоновской.

Во второй главе формулируются постановки задач для решаемых в ней дифференциальных уравнений типа теплопроводности относительно функ ций р-адического аргумента и основные результаты об интегральных пред ставлениях решений этих задач и других свойствах этих решений.

Формулой Фейнмана20 называется представление решения задачи Коши эволюционного уравнения в виде предела последовательности кратных инте гралов, в которой эта кратность неограниченно растёт. Формулой Фейнмана в конфигурационном пространстве называется формула Фейнмана, в которой кратные интегралы берутся по декартовым степеням области определения начальной функции задачи (которая и называется конфигурационным про странством). Если конфигурационное пространство является векторным (со отв., многообразием), то соответствующим импульсным пространством назы вается сопряженное пространство (соотв., кокасательное к некоторой выбран ной точке), и соответствующим фазовым пространством называется произве дение конфигурационного пространства на двойственное к нему (соотв., ко касательное расслоение конфигурационного многообразия), и формулой Фей нмана в импульсном (фазовом) пространстве называется формула Фейнмана, в которой используются кратные интегралы по декартовым степеням этого импульсного (фазового) пространства. Формулами Фейнмана–Каца в конфи гурационном (импульсном, фазовом) пространстве для той же задачи назы вается представление решения задачи с помощью интеграла по пространству траекторий (= отображений отрезка со значениями) в соответствующем про странстве (по счетноаддитивной мере или по псевдомере, например псевдо мере Фейнмана).

Сам вид формул Фейнмана–Каца в конфигурационном пространстве в этой главе не отличается от известных, но теорема о них приведена для изложения нового эффективного полугруппового метода их получения.

ср. О.Г. Смолянов, Н.Н.Шамаров: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, № 1, с. 4–6.

В этой главе оператор Da (Владимирова) в L2 L2 (Qp ) (относительно меры Хаара p, равной единице на замкнутом единичном шаре) с помощью взаимно-обратных унитарных операторов преобразования Фурье F +, F опре деляется как неограниченный самосопряженный оператор, подобный умноже нию на положительную степень (с показателем a 0) нормы аргумента, то есть, Da = F + ML2 F, F + F = idL2, где M a (x) = a x a (x) для всех : Q C и x Q, и ML2 = L2 (M a )1 (L2 ), причем для L2 L a Qp (xy)p (dy) и (F )(x) = (F + )(x). Далее, p-адическим (F + )(x) = оператором (гамильтонианом) Шрёдингера будем далее называть оператор в пространстве L2 с областью определения Da, представляемый в виде сум мы Da + (g·) для некоторой ограниченной борелевской функции g : Qp C (называемой иногда потенциалом), и обозначаемый в этой главе H или более подробно Ha,g. Функцию (x, y) |y|a + g(x) C Ha,g : Qp Qp p будем называть символом (или функцией Гамильтона) оператора Ha,g.

Для полугруппы, генерируемой в L2 оператором (Ha,g ), доказывается но вым способом следующее известное описание. Если 0 L2, то для каждо го t 0 существует (конечно, единственный) непрерывный представитель [t ] = t класса t et·Ha,g 0 ( L2 ), причем для каждого x Q спра ведлива следующая формула Фейнмана–Каца, обозначения которой описаны ниже:

t g(x(s)) d s · 0 (x (t)) · MI (d ).

[t ](x) = e (2.22) C1 (I) Здесь I = [0;

t]R, C1 (I) C1 (I;

Q) пространство всех отображений I Q без разрывов второго рода и непрерывных справа, MI та единственная счетно аддитивная мера на -алгебре, порожденной всеми функционалами f f (t) Q, для которой, каково бы ни было n вычисления t : C1 (I) N, образ в Qn при всяком отображении вида C1 (I) f (f (t1 ),..., f (tn )) Qn (0 t0 t1... tn t) имеет плотность n Ftj tj1 (xj xj1 ) j= относительно меры (Хаара) n (dx1,..., dxn ), где, в свою очередь, для всех p x Qp и вещественных s k·a (k+1)·a (es·p es·p ) · pk · (pk · x).

Fs (x) = kZ Решение (“неклассическое”, класса L2 по переменной, пробегающей Q) за дачи Коши эволюционного уравнения d (t) = Ha,g ((t)), t (э.у.) dt с начальным данным (0) = 0 L2 (Q) (н.д.) определяется как непрерывная функция : [0;

+)R L2 дифференцируе мая всюду кроме, быть может, нуля по норме L2 и удовлетворяющая соотно шениям (э.у.) и (н.д.);

соответствующая задача Коши обозначается CP (L2, 0, H).

Доказывается, что для каждого 0 L2 (Q) существует единственное решение, причем для каждого t (t) = t et·Ha,g и, таким образом, это решение определяется приведенным выше функцио нальным интегралом.

В этих обозначениях, о перечисленных фактах в качестве одной из основ ных в этой главе сформулирована и доказана теорема 2.2:

Теорема 2.2 (о формуле Фейнмана–Каца в конфигурационном простран стве). Для произвольного 0 L2 существует непрерывный представитель [t ] t = et·H 0 такой, что при каждом x Qp выполнено равенство (2.22).

Далее, заменяя риманов интеграл в показателе экспоненты аппроксимиру ющими его суммами Римана, получаем и поточечную, и L2 -аппроксимацию решения явными конечнократными интегралами, т.е., формулы Фейнмана, полученные в следующей теореме.

Теорема 2.3 (о формулах Фейнмана). Для произвольного 0 L2 для решения : t et·H 0 задачи Коши CP (L2, 0, H) при каждом веще ственном t 0 в равенствах n n t t t t a a e n ·D (e( n ·g) · ) (e( n ·g) · ) e n ·D (t) = lim 0 = lim 0, N n N n пределы можно понимать не только как в пространстве L2, но и для непрерывных представителей как допредельных, так и предельного элемен тов из L2, как поточечный. При этом непрерывный представитель t (t) предельного выражения выражается формулой (2.22), непрерыв ный представитель первого допредельного выражения формулой n t g(xxj )· n x · 0 (x xn ) · mt,n (dx) = e (2.23) j= (Qp )n n n t g(xxj )· n Ft/n (xj xj1 ) ·e ·0 (x xn ) dx = j= j= (Qp )n (x0 = 0), второго формулой (снова с x0 = 0 ) t t e n ·g(x) · Ft/n (x x1 ) · e n ·g(x1 ) · Ft/n (x1 x2 ) · · · x dy · (Qp )n t e n ·g(xn1 ) · Ft/n (xn1 xn ) · 0 (xn ) = ··· n n t g(xxj )· n Ft/n (xj xj1 ) ·e ·0 (x xn ) dx.

= j= j= (Qp )n Представленный метод получения этих формул Фейнмана–Каца и Фейн мана непосредственно обобщается на случай матрично-значного потенциала g с некоммутирующими значениями (с векторной искомой функцией ) и, с естественными ограничениями, на случай полных нормированных алгебр;

единственное отличие от коммутативного случая состоит в том, что подынте гральную экспоненту (от непрерывной справа функции) нужно будет считать хронологической (в смысле мультипликативного интеграла Римана).

Описанное решение в том случае, когда 0 является преобразованием Фу рье некоторого элемента из L1 L2, и функция g является преобразо ванием Фурье некоторой борелевской меры на P = Q Q#, допускает = равномерную аппроксимацию теми же формулами Фейнмана, связанными с L1 -аппроксимацией преобразования Фурье решения формулами Фейнмана в импульсном пространстве P. Эти формулы Фейнмана в импульсном про странстве, в свою очередь, аппроксимируют функциональный интеграл по счетно аддитивной мере, называемой обобщенной пуассоновской, что приво дит к формуле Фейнмана–Каца в импульсном пространстве и к новому пред ставлению исходного решения. Именно, пусть CR(I, P ) подпространство в C1 (I, P ), состоящее из непрерывных справа отображений отрезка [0;

t] в Qp, обладающих конечным числом точек разрыва и постоянных на интервалах между соседними точками множества, образованного добавлением концов от резка к множеству точек разрыва. Пусть ещё в алгоритме порождения новой меры сверточной полугруппой из первой главы S = Q, = 1, роль T игра ет фиксированное t 0 и роль сверточной полугруппы экспоненциальная { s e(s) : s 0}, и пусть Mt лебегово продолжение счетно аддитив ного цилиндрического следа соответствующей перечисленным данным новой меры в пространстве CR(I, P ) ;

полагаем ещё g a (y) = y a (y P ).

Теорема 2.8. (о формулах Фейнмана–Каца в импульсном пространстве).

Для преобразования Фурье t = F2 t L2 в случаях, когда 0 существенно ограничен, для p -почти всех x Q в равенствах t g a (x(s)) d s e · [0 ](x (t)) · Mt (d ) [t ](x) = CR(I,P ) ([0 ] означает некоторый борелевский представитель класса 0 L2 ) пра вая часть определена и совпадает с некоторым представителем [t ] класса t L2. Кроме того, такие равенства справедливы для всех x Q, если 0 L2 L1.

В качестве простого следствия этой теоремы доказывается, что если L1, то, во-первых, для каждого p P справедливы явные формулы Фейнмана– Каца вида nk nk uj )· nt a gP (p t nk k · 0 (p [t ](p) = lim ( ) (du) e uj ), (2.24) nk j= = k j= P nk u=(u1,...,unk ) и nk nk uj )· nt a gP (p t nk k · 0 (p [t ](p) = lim ( ) (du) e uj ), (2.25), nk j= = k j= P nk u=(u1,...,unk ) в которых можно взять просто nk = k, и эта сходимость к [t ] одновременно имеет место в L1 и, во-вторых, что аппроксимация в теореме 2.2 является равномерной. Ранее такие результаты доказывались чрезвычайно громоздкой техникой рядов типа Дайсона.

На случай матрично-значной меры последние формулы Фейнмана и Фейн мана–Каца обобщаются непосредственно.

Наконец, в том же случае с g = и 0 L2 L1 существуют еще два представления того же решения функциональными интегралами по траек ториям в фазовом пространстве, одно из них содержит счетно аддитивную меру интегрирования, другое симплектическую меру типа Фейнмана.

Именно, пусть x Qp, функции f : Qp Qp C и h : Qp C борелевские, t 0 и для каждого n = 1, 2,... существуют повторные интегралы, в каждом из которых qn = x и интегрирование ведется по указанным дифференциалам справа налево:

n (qk qk1 )pk }p 2i{ n t f (qk,pk )· n... e e h(q0 ) dpn dqn1 dpn1 dqn2...dp2 dq1 dp1 dq0.

k= k= Если существует предел этих чисел при n, он называется гамильтоно q( ) Qp 2 в “фазо вым интегралом Фейнмана по траекториям [0;

t] p( ) вом” пространстве Q P (по пространству фазовых траекторий), таким, что q(t) = x, от функционала q(·) t t {p( )dq( )}p = h(q(0)) · e2i f (q( ),p( ))d ·e F 0 p(·) и обозначается q(·) F d(p( ))d(q( )).

p(·) [0;

t] q(·) {(p(·));

q(t)=x} см., напр., Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы.// Москва, Издательство МГУ, 1990.

Теорема 2.8 (о формула Фейнмана–Каца с гамильтоновым интегралом Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве.) Для каждого 0 L L1 cправедливо равенство непрерывных по совокупности аргументов t и x Qp функций t t {p( )dq( )}p e (t, x) = e2i Ha,g (q( ),p( ))d 0 (q(0)) d(p( ))d(q( )). (2.27) 0 [0;

t] q(·) {(p(·));

q(t)=x} Для доказательства используется соответствующая формула Фейнмана в фазовом пространстве, приводимая в следующем предложении.

Предложение 2.7.1. При каждом н.у. 0 L2 L1 (Haar ) и каждом t 0 к непрерывному представителю [(t)] = (t, ·) элемента (t) пото чечно сходится при n последовательность непрерывных функций, яв n t e n ·Ha,g 0 L2, и принимающих ляющихся представителями классов во всякой точке x Qp значение, равное повторному интегралу (в котором Haar (dq0 ) заменено на dq0 и т.д.):

a dpn Qp (pn · x)e((x)+g (pn ))t/n dqn1 Qp (pn qn1 )...

a dp3 Qp (p3 q3 )e((q3 )+f (p3 ))t/n dq2 Qp (p3 q2 ) a dp2 Qp (p2 q2 )e((q2 )g (p2 ))t/n dq1 Qp (p2 q1 ) a dp1 Qp (p1 q1 )e((q1 )+g (p1 ))t/n dq0 Qp (p1 q0 )0 (q0 ).

Другими словами, полагая при каждом n под знаком суммирования qn x и понимая каждый интеграл как повторный, в котором интегрирование ведется по указанным дифференциалам справа налево (всякий раз от сум мируемой функции), получаем равенство ··· dpn dqn1 dpn1 dqn2...dp2 dq1 dp1 dq (t, x) = lim n n n a k=1 (qk qk1 )pk }p · e e2i{ k=1 ((qk )g (pk ))t/n · 0 (q0 ) (2.26) t Отметим также, что функция (p(·), q(·)) exp(2i 0 {p( )dq( )}p ) играет роль обобщенной плотности “симплектической меры Фейнмана”.

Значительная часть этих рассуждений инвариантна относительно выбора поля Q вида Qp (p P) и оказалась имеющей эвристическую ценность даже в вещественном случае. Именно так получающаяся формула Фейнмана–Каца в фазовом пространстве для классического уравнения теплопроводности приве ла к серии работ о таких представлениях для уравнений, управляющих более сложными диффузиями, когда деформация меры Винера делает работу с ней привычным способом неудобной. Метод оказался применим также и для по лугрупп, порождаемых более общими феллеровскими процессами.

Наконец, справедлива и следующая формула со счетно аддитивной мерой на пространстве фазовых траекторий. Для её вывода надо учесть, что подын тегральная экспонента в формуле Фейнмана–Каца в конфигурационном про странстве представляет преобразование Фурье некоторой счетно аддитивной меры в импульсном пространстве, абсолютно непрерывной относительно по строенной выше меры Mt.

Теорема 2.9 Для произвольных [0 ] L2 и t 0 существует непре рывный представитель [t ] t = Gt 0 такой, что при каждом x Qp выполнено равенство Qp (bp (x, )) · [0 ](x (t)) · M t Mt (d(, )), [t ](x) = XY (,) где bp (, ) при X = C1 (I, Q) и Y = CR(I, P ) определяется ра (s) · (s), в котором D венством bp (, ) = множество всех точек sD разрыва функции и в каждой такой точке (s) = (s) (s 0).

Третья глава посвящена уравнениям типа Шредингера относительно функ ций р-адического аргумента: основными результатами являются представле ние решений с помощью интеграла по траекториям в конфигурационном и им пульсном пространстве. Формулы Фейнмана–Каца в конфигурационном про странстве содержат обобщение классической (обобщенной) меры Фейнмана, тогда как соответствующие формулы в импульсном пространстве содержат обобщение комплексной меры Пуассона–Маслова–Чеботарева.

Относительно постановок задач Коши для уравнения iu(t, x)/t = (Da M )u(t, x) (Schr) с искомой функцией u : [0, ) Qp C отметим, что оператор Da не явля ется в собственном смысле дифференциальным (в силу его нелокальности), как интегральный он обладает лишь обобщенным ядром (и в частности, как оператор в L2 он неограничен при любом 0 ). Далее мы будем пони мать равенство (Schr) при каждом t 0 как равенство элементов простран ства L2, и используем тот факт, что оператор i(Da + M ) имеет вид суммы антисамосопряженного и ограниченного, и потому является генератором сильно непрерывной однопараметрической полугруппы G = {G(t) = Gt }t 0, обозначаемой далее {Gt }t, ограниченных всюду определенных линейных операторов в L2.

Решением уравнения (Schr), отвечающим начальному условию (н.у.) u(0, ·) = 0 Da, (30 ) будем называть непрерывную функцию аргумента t, определенную на неот рицательной вещественной полуоси t 0, принимающую значения в норми рованном подпространстве Da L2 и определяемую при каждом t 0 ра венством (t) = Gt 0, (4) где {Gt }t описанная выше полугруппа с генератором i(Da + (·)). Для краткости вместо (t) будем писать t. Задачу найти описанное решение по уравнению (Schr) с н.у. 0 Da будем называть задачей (Коши) (3, 30 ).

Теорема 3.2 (о формуле Фейнмана–Каца в импульсном пространстве).

Для преобразования Фурье t = F2 t L2 -решения задачи (3, 30 ) при L2 L1 справедливы для p -почти всех x равенства t ig a (x(s)) d s · [0 ](x (t)) · Mt (d ).

[t ](x) = e (10) i Y Теорема 3.4 Решение задачи Коши (3, 30 ) с начальным данным 0 = F (0 ) класса Sp, представленное преобразованием Фурье элемента Sp может быть задано при каждом t 0 в виде такого элемента (t) Engel K.-J., Nagel R.: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.// Springer-Verlag, N.Y., 2000.

L2, преобразование Фурье которого F ((t)) представлено, в свою очередь, ограниченной непрерывной функцией t : Qp C, определенной при каждом x Qp равенством K(x, ) t (d) t (x) = a C1 (I) где квазимера типа Фейнмана t имеет преобразование Фурье вида a t a ei 0 (s) ds, и K(x, ·) является (C1 (I), G)-преобразованием Фурье счетно аддитивной меры на CR(I, P ) имеющей плотность 0 ((0)) относи тельно счетно аддитивной меры заданной формулой A Mt ((x · 1) A).

i По-видимому, определенная в данной теореме с помощью преобразования Фурье квазимера типа Фейнмана связана с классической секвенциальной, как в вещественном аналоге данной теоремы23, и прояснение этой связи было бы полезным для теории интеграла Фейнмана.

В четвертой главе с помощью интеграла по траекториям в веществен ном импульсном пространстве представлено решение классического уравне ния Дирака.

Уравнение Дирака для релятивистского электрона это уравнение e e p 0 + A0 + aj (pj + Aj ) + a4 mc = 0, c c j= где : RR3 C4 искомая функция переменных t R и x = (x1, x2, x3 ) 0 0 1 R 3, a1 =, 0 1 0 0 0 0 i 0010 10 0 0 0 0 0 0 i 0 0 1 0 a2 =, a3 =, a4 =, 0 i 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 i Aj : R R3 (j = 0,..., 3) вещественные компоненты электромагнитного 4-потенциала, зависящие, вообще говоря, как от переменной (времени) t R, Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т.: Континуальные интегралы.// Москва, Издательство МГУ, 1990.

так и от (пространственных) переменных x1, x2, x3 ;

p0 = i/t i0, pj = i/xj = ij, j = 1, 2, 3 ;

заряд электрона e, его масса m и ско рость света c константы. Можем считать, без ограничения общности, что e e = c = 1 (либо что эта дробь включена в соответствующие компонен c ты потенциала), и последний коэффициент mc обозначается далее m. Тогда уравнение принимает вид p0 + A0 + j=1 aj (pj + Aj ) + m a4 = 0, или, после выделения производной по времени и отделения дифференциального полинома от умножения на матрично-значную функцию, 3 t = i m a4 + aj pj + (i) A0 + aj A j.

j=1 j= Первая скобка задаёт некоторый самосопряжённый оператор H0 (это вы текает из перестановочности пар самосопряжённых множителей, участвую щих в каждом из четырех её слагаемых), вторая оператор умножения на матрично-значную функцию V = i(A0 + j=1 aj Aj ), и при надлежащем выборе потенциалов Aj (j = 0, 1, 2, 3) то есть при независимости их от времени и свойстве быть преобразованиями Фурье числовых либо A-значных счётно-аддитивных борелевских мер на Rd мы приходим к классическому двучленному уравнению (t) = i(H0 + V )(t). Далее предполагается, что iV = для некоторой матричнозначной счетноаддитивной борелевской ме ры на R4. Далее для каждого t 0 строится такая матричнозначная счет ноаддитивная мера Mt на пространстве CR = CR[0;

t] кусочно-постоянных траекторий в R4, для которой справедлива следующая теорема.

Теорема 4.2. Преобразование Фурье t решения (t) (t 0) уравне ния Дирака с непрерывным начальным данным 0 L2 L1 таким, что и 0 L2 L1, имеет вид t (x) = CR Mt (d)[0 ](x (t)), где [0 ] непрерывный представитель.

При этом мера Mt символически может быть записана в виде Mt (d) = t ei P ((s))ds ·T Mt (d), где интеграл риманов, мера Mt пуассоновская, а сим волом ·T обозначено хронологическое (упорядоченное) по отрезку [0;

t] (вре мени) умножение. Версия формулы Чернова с неравномерными разбиениями отрезка времени является дополнительной мотивировкой этого обозначения.

В добавлениях приведены формулы Фейнмана–Каца в бесконечномер ном p-адическом конфигурационном пространстве, функциональный инте грал для для решения задачи Неймана, а также фиксируются обозначения и собрана воедино используемая специальная терминология и вспомогатель ные факты из теории полугрупп.

Автор благодарен участникам всех обсуждений результатов диссертации за их стимулирующий интерес. Автор также пользуется случаем выразить осо бую благодарность научному консультанту доктору физико–математических наук профессору Евгению Тенгизовичу Шавгулидзе, руководителю семинара по бесконечномерному анализу доктору физико–математических наук про фессору Олегу Георгиевичу Смолянову и сотрудникам кафедры математиче ского анализа за творческую атмосферу и постоянную поддержку в работе.

Список публикаций автора по теме диссертации Работы 1–14 опубликованы в журналах из официального перечня ВАК.

[1] N.N. Shamarov: Explicit Formulas for Fourier Transforms of Distributions of some Markov Processes.// Russian Journal of Mathematical Physics. vol. 8, No. 4, 2001, pp. 493–494.

[2] N.N. Shamarov: Matrix-Valued Cylindrical Measures of Markov Type and their Fourier Transforms // Russian Journal of Mathematical Physics, 2003, vol.10, No 3, p. 1– [3] Н.Н. Шамаров: Преобразование Фурье распределений однородных случайных полей с независимыми приращениями и комплексные цепи Маркова–Маслова// Матем. заметки, 2004, V.75. No.2. с. 275–281.

[4] N.N. Shamarov: Poisson–Maslov types formulas for Schroedinger equations with matrix valued potentials// Innite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, vol.10, No 4, Dec.2007, 641–650.

[5] Н.Н. Шамаров: Полиномиальные замены антикоммутирующих пе ременных в функциональном суперанализе// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, Механика. 2006, № 4, 3–8.

[6] Н.Н. Шамаров: Некоторые формулы исчисления дифференциальных форм конечной костепени на локально–выпуклом пространстве.// Вестник МГУ, сер. математика, механика, 1996, № 2, с 26–33.

[7] Н.Н. Шамаров: Вероятностное решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в области гильбертова пространства// Вестник МГУ, сер.

математика, механика, 1996, № 4, с. 102–106.

[8] О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров: Представления функциональными интегралами решений уравнения теплопроводности с оператором Вла димирова// Вестник Московского университета. Серия 1: Математика.

Механика. 2008. № 4. С. 16–22.

[9] О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова// ДАН, 2008, том 420, № 1, с. 4–6.

[10] О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров: Представление решений эволюционных уравнений с оператором Владимирова интегралами Фейнмана по траек ториям// Докл. РАН. 2009. T.425. № 4. 600–604.

[11] О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров: Гамильтоновы интегралы Фейнмана для уравнений с оператором Владимирова// Докл. РАН. 2010. T.431. № 2. С.

170–174.

[12] О.Г. Смолянов, Н.Н. Шамаров: Формулы Фейнмана и интегралы по траекториям для эволюционных уравнений с оператором Владимирова Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2009. Т. 265.

С. 229-240.// [13] Н.Н. Шамаров: Мера Пуассона–Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака// Фундаментальная и прикладная матема тика, 2006, т. 12, вып. 6, 193–211.

[14] Н.Н. Шамаров: Функциональный интеграл по счетно-аддитивной мере, представляющий решение уравнения Дирака// Труды Московского Математического Общества, 2005, т.66., с. 263–276.

[15] O.G.Smolyanov, N.N. Shamarov: Feynman path integrals over p-adic vector space// AIP Conf. Proc. – March 24, 2009 – Volume 1106, pp. 286- MATHEMATICAL MODELING OF WAVE PHENOMENA: 3rd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena, 20th Nordic Conference on Radio Science and Communications;

doi:10.1063/1.3117106.

[16] Н.Н. Шамаров: Применения нестандартных числовых систем в ма тематической физике.// “Итоги науки и техники” ВИНИТИ, сер.

“Современные проблемы математики и ее приложения”, тематические обзоры, том посвященный памяти В.В.Трофимова, 2007 Том 23, 182 194.

[17] Н.Н. Шамаров: Преобразование Фурье распределений некоммутативных процессов типа Маркова–Маслова// Труды конференции молодых ученых МГУ - 2003, с.89–91.

[18] Н.Н. Шамаров: О восстановлении гладкой плотности одной меры отно сительно другой гладкой меры на бесконечномерном пространстве по их обобщенным плотностям// Труды конференции молодых ученых МГУ - 1996, с.46–49.

Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.