Конечно-разностные методы решения уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках

На правах рукописи

Друца Александр Валерьевич Конечно-разностные методы решения уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках 01.01.07 Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2013

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Механико-математического факультета Московского государствен ного университета имени М.В. Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Кобельков Георгий Михайлович

Официальные оппоненты: Дианский Николай Ардальенович, доктор физико-математических наук (ФГБУН Институт вычислительной математики РАН, ведущий научный сотрудник) Кукаркин Алексей Борисович кандидат физико-математических наук, доцент (Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ имени М.В. Ломоносова, старший научный сотрудник)

Ведущая организация: ФГБУН Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН.

Защита состоится 6 марта 2013 года в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.16 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП 1, Ленинские горы, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Москов ского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 6 февраля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002. доктор физико-математических наук, профессор Корнев Андрей Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время одним из важнейших на правлений современной вычислительной математики является модели рование различных природных процессов, связанных с перемещением потоков жидкости в мировом океане. К числу таких процессов можно отнести возникновение приливных волн или цунами. Основной матема тической моделью, описывающей динамику приливных волн, является система уравнений динамики мелкой воды. Эта система также явля ется частью математической модели динамики океана, она моделирует краевые условия на поверхности океана. Система уравнений динамики приливов является упрощением известной системы уравнений Навье Стокса при условии, что горизонтальный масштаб много больше вер тикального. Вывод уравнений мелкой воды из уравнений крупномас штабной динамики океана в -системе координат можно найти в работе В.Б. Залесного1. Теоретическое исследование этих уравнений проводи лось в работе Г.И. Марчука и Б.А. Кагана2. Для модели крупномас штабной динамики океана в работах Г.М. Кобелькова3 была доказана теорема существования решения в целом.

Исследование системы уравнений мелкой воды ведётся не один деся ток лет. Для решения данной проблемы использовались такие методы, как метод конечных разностей, метод расщепления, схема Годунова4, поверхностный градиентный метод, метод дробных шагов5 и др. Лине аризованная система уравнений динамики приливов при условии рав V.B. Zalesny, Mathematical model of sea dynamics in a -coordinate system, Russ. J. Numer. Anal.

Math. Modelling, V. 20, N. 1, pp. 97-113, 2005.

Марчук Г.И., Каган Б.А, Океанские приливы, Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

Kobelkov G.M., Existence of a solution ”in the large” for ocean dynamics equations, J. math. uid mech., 9, pp. 588–610, 2007.

Eymard R., Gallou t T., Herbin R., The nite volume method. Handbook of Numerical Analysis, e 2000, Vol. VII, pp. 713– Marchuk G.I., Gordeev R.G., Rivkind V.Y., Kagan B.A., A numerical method for the solution of tidal dynamics equations and the results of its application, Journal of Computational Physics, 1973, Vol.

13, №1, pp. 15- номерности дна тесно связана с задачей движения вязкого слабосжи маемого газа, поэтому может быть решена методами, применяемыми в газовой динамике6. Все вышеперечисленные подходы к решению постав ленной задачи аппроксимируют уравнения на равномерных структури рованных сетках. При моделировании приливных волн зачастую необ ходимо строить триангуляцию, которая учитывает наличие большого количества островов разного размера. Размеры самого моря и островов могут сильно различаться по величине. Например, размеры Охотско го моря составляют примерно 2200 1500 км, а размеры островов в диаметре составляют от одного километра до десятков километров. По мимо небольших островов, необходимо учитывать наличие узких про ливов, ширина которых может составлять несколько километров. При построении триангуляции потребуется, как минимум, два элемента для учёта таких проливов, то есть размер элемента сетки должен быть при мерно 2-3 км. Следовательно, равномерная сетка должна быть очень мелкой, а количество элементов в ней для Охотского моря будет превы шать полмиллиона. Поэтому обычно решение ищут на неравномерных сетках. При этом такие сетки, как правило, являются неструктуриро ванными. При работе с неструктурированными сетками аппроксимация уравнений строют с помощью методов конечных элементов или мето дов конечных объёмов. Аппроксимация системы динамики мелкой воды при помощи классических конечных элементов сводит задачу к конеч номерной, в которой отсутствует сохранение баланса на ячейке (то есть количество втекающей в ячейку жидкости не соответствует количеству вытекающей). Это приводит к тому, что через некоторое время получае мое в результате расчёта решение существенным образом отличается от решения дифференциальной задачи. Таким образом требование сохра нения баланса должно точно выполняться для каждой ячейки сетки. В Жуков К.А., Попов А.В., Исследование экономичной разностной схемы для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2005, Том 45, № 4, стр. 701– работе Равьяра П.А. и Тома Дж.М.7 для подобной аппроксимации были использованы специальные неконформные конечные элементы (элемен ты Равьяра–Тома), которые обеспечивают сохранение баланса на ячей ке. В работе К.Ю. Богачёва и Г.М. Кобелькова8 такие элементы были применены для аппроксимации задачи приливных волн. Проведённые численные эксперименты показали эффективность этого подхода для решения рассматриваемой системы уравнений. Однако в этом случае элементы являются разрывными функциями, и вычислительные форму лы для них довольно сложны. В связи с этим в диссертационной работе был выбран метод построения конечномерной задачи уравнений мелкой воды, основанный на конечно-разностной аппроксимации на неструкту рированной сетке.

Построение конечно-разностных аппроксимаций на неструктуриро ванных сетках является сложной задачей: как правило, аппроксима ции такого типа принято строить на структурированных сетках. В то же время, известны успешные попытки решения такой задачи. В част ности, в работе И.В. Фрязинова с соавторами9 на примере уравнений Навье-Стокса был продемонстрирован новый метод построения конечно разностных аппроксимаций на неструктурированных сетках. Единствен ным ограничением этого метода является использование сеток, постро енных на основе триангуляций, состоящих только из остроугольных тре угольников (допускаются прямоугольные треугольники, у которых смеж ные через гипотенузу являются остроугольными). В настоящей работе получено обобщение указанного метода на случай системы уравнений динамики приливов.

Raviart P. A., Thomas J. M., A Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems, Lecture Notes in Mathematics 1977, Vol. 606, pp. 292– Bogachev K.Yu., Kobelkov G.M, Numerical solution of a tidal wave problem, in Proceedings of “Parallel Computational Fluid Dynamics”, v.2, 2004, 163–173, J.-Wiley Press Popov I.V., Fryazinov I.V., Stanichenko M.Yu., Taimanov A.V., Construction of a dierence scheme for Navier–Stokes equations on unstructured grids, Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2009, v.23, No. 5, 487– При этом актуальной является проблема аппроксимации сеточных операторов на тупоугольных треугольниках. В данной работе рассмат риваются подходы к решению данной задачи и проводятся численные эксперименты, подтверждающие обоснованность применяемых методов.

Все вышеизложенное обуславливает актуальность исследований, про веденных в настоящей работе.

Цели работы 1. Построение аппроксимации линеаризованных уравнений динамики мелкой воды на неструктурированных сетках в декартовых и сфе рических системах координат.

2. Доказательство устойчивости и разрешимости сеточных задач, по лученных в результате аппроксимации линейных уравнений дина мики мелкой воды.

3. Исследование сходимости разностных схем в декартовых и сфери ческих системах координат.

4. Построение аппроксимаций нелинейных и вязких уравнений дина мики мелкой воды на неструктурированных сетках в декартовой системе координат.

5. Проведение численных экспериментов, подтверждающих эффектив ность предложенных методов, как для линейных, так и для нели нейных моделей.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. В диссер тационной работе получены следующие основные результаты:

1. Впервые построена конечно-разностная аппроксимация линеаризо ванных уравнений мелкой воды на неструктурированной сетке в декартовых и сферических системах координат. Доказана разре шимость получающейся системы линейных алгебраических урав нений, исследована устойчивость по начальным данным и доказана теорема о сходимости решения разностной задачи к решению диф ференциальной задачи с порядком O( + h), где h длина мак симального ребра сетки. Полученные результаты позволяют чис ленно моделировать динамику приливных волн с использованием неструктурированных сеток на сложных многосвязных областях (в том числе и на сфере) и теоретически обосновать применимость данного подхода.

2. Для нелинейных уравнений мелкой воды на неструктурированной сетке построена конечно-разностная аппроксимация.

3. Проведены численные эксперименты на неструктурированных сет ках, в том числе для реальных географических объектов, подтвер ждающие эффективность предложенного подхода. Помимо этого результаты расчётов показали, что наличие порядка 15% тупоуголь ных треугольников в сетке является допустимым, что позволяет ис пользовать стандартные генераторы сеток.

Научная и практическая значимость работы. Результаты, от носящиеся к обоснованию разностных схем, имеют теоретический харак тер и восполняют пробелы в теории аппроксимации и сходимости лине аризованных уравнений динамики мелкой воды, а также других подоб ных систем на неструктурированных сетках. Результаты, относящиеся к численным экспериментам по анализу наличия плохих элементов в сетке, позволяют существенно упростить процедуру расчёта задач на сложных областях за счёт применения стандартного алгоритма триан гуляции сетки методом Делоне. Полученные в работе результаты для линейной системы в сочетании с численными экспериментами для нели нейной системы могут быть использованы в качестве общего подхода при решении сложных задач с нелинейными уравнениями на неструк турированных сетках.

Методы исследований. Была использована методика построения аппроксимации на неструктурированных сетках, разработанная И.В.

Фрязиновым и соавторами10. Для получения априорных оценок при менялась методика Г.М. Кобелькова. Кроме того, применялись мето ды дифференциальной геометрии, общей теории решения систем линей ных алгебраических уравнений, а также методы анализа разностных схем. Достоверность теоретических результатов подтверждена деталь ными численными экспериментами для физически осмысленных задач.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, были представлены на научных конференциях:

• международные конференции молодых ученых Ломоносов- и Ломоносов-2011 ;

• международная конференция Современные проблемы математи ческого моделирования в Абрау-Дюрсо (Россия, 2011 г.);

• международная научная конференция Современные проблемы вы числительной математики и математической физики, посвящен ная памяти академика А.А.Самарского (Россия, 2009 г.).

Они неоднократно докладывались и обсуждались на научно исследовательских семинарах:

• научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной мате матики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ло моносова под руководством д.ф.-м.н. профессора Г.М. Кобелькова (неоднократно в 2009 2012 годах);

• научно-исследовательский семинар ИВМ РАН Вычислительная математика, математическая физика, управление под руковод ством д.ф.-м.н. профессора Г.М. Кобелькова и д.ф.-м.н. профессора А.В. Фурсикова (2010 г.).

см. примечание 9 на стр. • семинар научно-исследовательского вычислительного центра МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н. профессора Я.М. Жилейкина (2012 г.).

• семинар научно-исследовательского вычислительного центра МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством чл.-корр. РАН, профес сора В.Н. Лыкосова (2011 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 ра боты, 3 из которых в журналах из Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертационной работы на соискание степени док тора и кандидата наук [1–3].

Структура диссертационной работы. Работа состоит из введе ния, четырёх глав, разбитых на параграфы, заключения и списка лите ратуры. Список литературы включает 33 наименования. Объём диссер тационной работы составляет 105 страниц.

Содержание диссертации Во введении содержится обзор результатов, связанных с темой диссерта ции, приводятся постановки задач, дается краткое изложение основных результатов диссертации.

В первой главе диссертационной работы вводятся основные обо значения, определяются сеточные функции и аппроксимации основных операторов, а также проводится анализ сеток, используемых в диссер тационной работе.

В работе все уравнения рассматриваются в двумерной ограниченной области. На области строится триангуляция, содержащая только ост роугольные треугольники. Сетка, на которой будет решаться поставлен ная задача, построена следующим образом: центром ячейки является центр описанной окружности треугольника, потоковым узлом называ ется пересечение отрезка, соединяющего центры соседних ячеек, и общей стороны двух ячеек. Поскольку все треугольники остроугольные, цен тры ячеек лежат внутри каждого треугольника, и потоковый узел это середина стороны, на которой он лежит. Задаётся нумерация центров ячеек k = 1, 2,..., K и нумерация потоковых узлов i = 1,...N. Центр ячейки с номером k обозначается Ok, а потоковый узел с номером i Xi.

Двойным верхним индексом k, обозначаются различные элементы сетки, связанные с потоко вым узлом Xi, который лежит на стороне ячей ки k с номером (то есть Xi = X k, ). Двойной нижний индекс i, m обозначает элементы, свя занные с ячейкой с номером k, которая содержит потоковый узел Xi (то есть Oi,1 = Ok ). На ри сунке 1 изображён узел Ok и основные элементы сетки: длина стороны – lk,, длина отрезка, со единяющего центры, – dk,, площадь ячейки – Рис. 1: Узел Ok и три S k. На рисунке 2 изображён узел Xi и отмечены соседних узла Ok,, = элементы сетки, связанные с ним: длина ребра – 1, 2, 3.

li, площадь четырёхугольника – Si.

Через O обозначено множество центров ячеек, а через X мно жество потоковых узлов. Определяются пространства скалярных и век торных сеточных функций на множествах O и X. Сеточные скалярные произведения задаются как K N kk k (f, g) = S f ·g, (, ) = Si i · i, i= k= где функции f, g заданы в центрах ячеек, а, в потоковых узлах.

Далее вводится аппроксимация для основных операторов. Сеточный оператор градиента задаётся в центре ячейки от сеточной функции, заданной в потоковых узлах по формуле h lk, k, nk,, =k k = 1, K, (1) S Ok = где nk, – внешняя нормаль к стороне lk, треугольника Ok, k, значение функции в точке X k,. Компоненты вектора нормали nk, по x будем обозначать через nk,, по y через nk,.

x y Дивергенцию функции u, заданной в центрах ячеек, аппроксимируем во внутренних потоко вых узлах по формуле li divh u = (ui,1 ni,1 ui,2 ni,2 ), (2) Si Xi где ui,m значение функции u в точке Oi,m.

В работе И.В. Фрязинова11 показано, что вве дённые выше операторы сопряжены, то есть (uh, h h ) = (divh uh, h ) и имеют порядок ап проксимации O(h);

здесь и далее через h обозна чен максимальный размер ячейки.

Рис. 2: Потоковый узел Аппроксимация оператора Лапласа в центрах Xi и две соседние ячейки ячеек производится по формуле с центрами Oi,1 и Oi,2.

3 k, uk 1 k, u h u u =k l, k = 1, K. (3) dk, S Ok Ok = Аппроксимация нелинейного оператора N h (u, v) (u, )v = N (u, v) Ok Ok Ok (4) k, uk, uk lk, vn k, =, Sk = k, k, линейная интерполяция нормальных к lk, где k = 1, K, а vn компонент скорости v в точку X k,.

см. примечание 9 на стр. В работе доказана следующая теорема:

Теорема 1. Для сеточного оператора дивергенции divh верно следу ющее соотношение, которое является некоторым аналогом формулы Гаусса-Остроградского:

divh u dxdy = k = 1, K u · n ds.

k k В работе уделено внимание тому, что для применения вышеописан ных аппроксимаций требуется триангуляция, состоящая только из ост роугольных треугольников. Существуют методики построения таких се ток12, однако на практике, в силу нетривиальности данной задачи, при меняются универсальные программные решения, которые строят три ангуляции, близкие к требуемой: Triangle, ani2d, gmsh. В работе вве дены оценки такой близости сеток: количество тупоугольных треуголь ников и отношение площади самой большой ячейки сетки к самой ма ленькой. В конце главы описаны два подхода к построению аппроксима ции на плохих (тупоугольных треугольниках) ячейках, одним из ко торых является рассмотрение в качестве центра ячейки тупоугольного треугольника центра масс. В дальнейших главах результаты численных экспериментов показывают, что такая аппроксимация не влияет суще ственным образом на результат.

Вторая глава диссертационной работы посвящена аппроксимации линейных уравнений мелкой воды на неструктурированной сетке в де картовой системе координат.

Рассматриваются следующие уравнения на двумерной ограниченной области с границей = 1 2 :

u = v + g Ru + f1, (5) t x И. В. Попов, С. В. Поляков, Построение адаптивных нерегулярных треугольных сеток для двумерных многосвязных невыпуклых областей, Матем. моделирование, 2002, том 14, № 6, стр.

25– v = u + g Rv + f2, (6) t y u v = +, (7) t x y где u, v – горизонтальные компоненты скорости u, а – высота волны.

R,, g константы. Граничные и начальные условия записываются в виде:

u · n un1 + vn2 = 0 на 1 ;

(8) = 0 на 2 ;

(9) u(x, y, 0) = u0 (x, y), v(x, y, 0) = v0 (x, y), (x, y, 0) = 0 (x, y). (10) Компоненты скорости и высоты волны на верхнем слое по времени обо значим теми же буквами, но с крышкой u,. Для этих уравнений применяется чисто неявная схема по времени на неструктурированной сетке, состоящей их остроугольных треугольников, с использованием се точных операторов градиента и дивергенции, определённых в первой главе:

uk uk = k uk R k + f |Ok + gh, k = 1, K, (11) u где k единичный вектор вдоль оси Oz, f = (f1, f2 ). Аппроксимация уравнения неразрывности (7) во внутренних точках имеет вид i i = divh u, i = 1, N и Xi h \h.

(12) В граничных узлах Xi h уравнение неразрывности модифицируется следующим образом:

i i li = divh u ( i,1 ni,1 ), i = 1, N и Xi h.

(13) u Si Для оставшихся узлов Xi h уравнения имеют вид краевого условия (9):

i = 0, i = 1, N и Xi h. (14) Уравнения (11) (14) аппроксимируют задачу (5) (6) и граничные усло вия (8) (9).

Путём исключения неизвестных система (11) (14) сводится к реше нию системы линейных алгебраических уравнений относительно. Мат рица этой системы имеет вид i = i 2 (h ) µij (j i ), i = 1, N, (15) Si Xj Mi где Mi множество соседних с Xi потоковых узлов, (R + 1/ )gctg(i,j ) + g sgn(v(Xi Oi,m, Oi,m Xj )) µij =, (16) 2 + (R + 1/ ) где v(, ) двумерное векторное произведение векторов и.

xy x y Шаблон для оператора (15) изображён на рисунке 3.

В работе доказана следующая теорема для коэффициентов µij системы (15):

Теорема 2. Если все треугольники h ост роугольные, тогда существует 0 та кое, что для всех, 0, коэффици енты µij удовлетворяют условию µij 0.

Рис. 3: Шаблон для h. Mi = С помощью предыдущей теоремы в дис {Xj1, Xj2, Xj3, Xj4 } сертационной работе доказан следующий ре зультат о матрице системы линейных алгеб раических уравнений (15):

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда оператор h, задаваемый формулой (h )i = µij (j i ), Xj i положительно определён, и в нём имеет место диагональное преобла дание.

Из теоремы 3 следует, что оператор (15) является положительно определённой M -матрицей. Таким образом, разностная задача разреши ма. Помимо разрешимости системы, в диссертационной работе доказана устойчивость решения по начальным данным, то есть для всех n верно un + g n 2 2 + g 0 2, u где un, n – значения функций на n-ом слое по времени.

Для построенной разностной схемы доказан следующий результат.

Теорема 4. Пусть существует гладкое решение дифференциальной за дачи (5) (10) и углы всех ячеек меньше /2 µ при некотором поло жительном µ, тогда решение системы (11) (14) сходится к решению задачи (5) (10) с порядком O( + h).

В конце главы приведены результаты численных экспериментов, про ведённых автором, в которых сравнивается численное решение с ана литическим, а также приводятся результаты численного эксперимента, которые подтверждают результат, доказанный в теореме 4. Кроме того, исследуется поведение решения на неравномерной сетке, построенной на многосвязной области, а также влияние силы Кориолиса. Также приве дены результаты расчётов распространения волны-цунами в реальной географической области Черном море.

В третьей главе диссертационной работы исследуются нелинейные уравнения мелкой воды в декартовой системе координат с неровным дном.

Рассматривается следующая система уравнений с нелинейным чле ном и вязкостью ut = g Ru k u (u, )u + f + u, (17) t = divHu, (18) где R,, g, – константы. H(x, y) C() – глубина, функция коор динат. Предполагается, что H ||. Граничные и начальные условия такие же, как (8) (10) второй главы.

Для этой системы строится разностная схема с линеаризацией нели нейных членов по времени с использованием сеточных операторов (1) (4), определённых в первой главе. В нелинейном члене часть неизвест ных функций берётся на верхнем слое, а часть на нижнем, а именно, k, nk, dk, + uk nk, dk, uk, uk 1 k, u + h N (, u)Ok =k l.

u k, S d = Таким образом, получается разностное уравнение uk uk g = k uk R k + f k + lk, k, nk, u Sk = 3 (19) uk, nk, dk, + k nk, dk, uk, uk u k, k S1k lk, u dk,u, lk, + + dk, Sk =1 = k = 1, K.

Во внутренних узлах Xi аппроксимация уравнения неразрывности име ет вид i i li = (Hi,1 ui,1 ni,1 Hi,2 ui,2 ni,2 ), i = 1, N и Xi h \h. (20) Si Для узлов на границе h имеем i i li i = 1, N и Xi h, = (Hi,1 ui,1 ni,1 ), (21) Si а для узлов на границе h :

i = 1, N и Xi h.

i = 0, (22) На каждом временном слое система (19) (22) является системой ли нейных алгебраических уравнений относительно u и. Для получен ной системы проведены численные эксперименты, в которых сравнива лось решение нелинейной задачи с решением линейной;

моделировалось также распространение волны на многосвязной области и на реальной географической области. Проведён численный анализ влияния наличия тупоугольных треугольников в сетке. Тестовые расчёты показали, что наличие даже 15% тупоугольных треугольников в сетке качественно не меняет на результат.

Далее в этой главе рассмотрена задача с нелинейным уравнением неразрывности:

t = div(H + )u. (23) Нелинейная задача с таким уравнением неразрывности позволяет моде лировать динамику мелкой воды, в которой отсутствует требование на глубину || H.

Задача состоит в аппроксимации уравнений (17), (23) с граничными и начальными условиями (8) (10) и в проведении численных эксперимен тов, направленных на исследование влияния нелинейности. Уравнение (17) аппроксимируется, как и в предыдущем случае, с помощью (19). Во внутренних узлах Xi имеем i i li = ((Hi,1 + i,1 ) i,1 ni,1 (Hi,2 + i,2 ) i,2 ni,2 ), (24) u u Si где i,m линейная интерполяция значений в центр ячейки i, m. А для узлов на границе h :

i i li = ((Hi,1 + i,1 ) i,1 ni,1 ). (25) u Si В оставшихся точках Xi h аппроксимация имеет вид (22). Систе ма (19),(24),(25),(22) также является системой линейных алгебраических уравнений относительно u и.

В конце главы приведены результаты численных экспериментов, в которых исследованы влияние неровного дна на динамику приливных волн и волн-цунами.

Четвёртая глава диссертационной работы посвящена аппроксима ции линейных уравнений мелкой воды на неструктурированной сетке в сферической системе координат при неровном дне. Уравнения мелкой воды в сферической системе координат имеют вид:

u = v + pg Ru + f1, (26) t x v = u + qg Rv + f2, (27) t y q (Hu) ( p Hv) =p +, (28) t x y где 0 x 2, 0 y – координаты на сфере, q = 1/R0, p = q/ sin(y), R0 радиус Земли. Коэффициент силы Кориолиса имеет вид = 2 cos(y). На функцию глубины ставятся те же условия, что и в первой задаче предыдущей главы. В работе считается, что область не содержит полюса с некоторой окрестностью радиуса. Уравнения (26) (28) дополняются граничными и начальными условиями:

q u · n un1 + vn2 = 0 на 1 ;

(29) p = 0 на 2 ;

(30) u(x, y, 0) = u0 (x, y), v(x, y, 0) = v0 (x, y), (x, y, 0) = 0 (x, y). (31) Для этой системы строится чисто неявная по времени разностная схема с шагом, c использованием сеточных операторов (1) и (2) uk uk = k k uk R k + f |Ok + gpk Wk h, (32) k = 1, K, u где W – диагональная матрица размера 2 2 :

W= q 0p и Wk = W(Ok ). Уравнение неразрывности (28) во внутренних точках аппроксимируется следующим образом:

i i = pi divh (HW ), i = 1, N и Xi h \h. (33) u В граничных узлах Xi h аппроксимация выглядит как i i p i li i = 1, N и Xi h, (34) = (Hi,1 Wi,1 ui,1 ni,1 ), Si а для оставшихся узлов Xi h граничные условия имеют вид i = 1, N и Xi h.

i = 0, (35) Путём исключения неизвестных система (32) (35) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно. Матрица этой системы имеет вид i = i 2qpi (h ) µij (j i ), i = 1, N, (36) Si Xj Mi где µij некоторые коэффициенты, зависящие от углов треугольника, шага по времени, коэффициента Кориолиса, числа Рейнольдса и орди наты y. Для коэффициентов µij системы (36) доказана Лемма 1. Пусть все треугольники h остроугольные и пусть вы полнено дополнительное условие на углы треугольников сетки:

1 ctg(k,, ) sin(), k, =. (37) 2 sin() Тогда существует 0 такое, что для всех, 0, коэффи циенты µij положительны.

Из леммы следует Теорема 5. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда оператор h из (36) положительно определён, и в нём имеет место диагональное преобладание.

Таким образом, разностная задача (32) (35) разрешима. Помимо раз решимости системы, доказана устойчивость решения по начальным дан ным, то есть для всех n 0 верно un + n 2 2 + 0 2, u где ·, · некоторые нормы, эквивалентные стандартным сеточ ным нормам L2.

В итоге, для построенной разностной схемы доказан следующий ре зультат:

Теорема 6. Пусть существует гладкое решение задачиs (26) (28), (29) (31), выполнены условия леммы 1 и углы всех ячеек меньше / µ при некотором положительном µ, тогда решение системы (32) (35) сходится к решению дифференциальной задачи с порядком O( + h).

В диссертационной работе приведены результаты численного экспе римента для сферической системы координат на реальном географиче ском объекте Балтийском море, которые подтверждают применимость данного метода.

Основные результаты, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссерта ционной работе:

1. Для линеаризованной системы уравнений мелкой воды в декарто вых координатах построена разностная аппроксимация на неструк турированной сетке, в которой выполнено условие сохранения ба ланса для каждой ячейки сетки. Доказана положительная опре делённость конечномерного оператора, полученного в результате аппроксимации исходной задачи. Доказана устойчивость решения разностной задачи по начальным данным и доказана теорема о том, что решение разностной задачи сходится к решению дифференци альной с порядком O( + h), при условии существования гладкого решения дифференциальной задачи.

2. Построена конечно-разностная аппроксимация уравнений мелкой воды с нелинейными членами и вязкостью на неструктурированной сетке и проведены численные эксперименты для сеточной задачи.

Построена конечно-разностная аппроксимация нелинейных урав нений мелкой воды с нелинейным уравнением неразрывности на неструктурированной сетке. Исследовано влияние нелинейности и вязких членов.

3. Проведён численный анализ методов решения задачи при наличии тупоугольных треугольников в сетке, который показал, что рас смотренные в диссертационной работе методы работают даже при наличии в сетке до 15% тупоугольных элементов.

4. Для линеаризованной системы уравнений мелкой воды в сфериче ской системе координат построена разностная аппроксимация на неструктурированной сетке. Доказана положительная определён ность полученной в результате аппроксимации системы линейных уравнений при некотором ограничении на минимальный угол ячей ки сетки. Доказана устойчивость решения разностной задачи по начальным данным. Доказано, что решение разностной задачи схо дится к решению дифференциальной с порядком O( + h), при условии существования гладкого решения дифференциальной за дачи.

5. Проведён ряд численных экспериментов на реальных географиче ских объектах, демонстрирующих применимость предложенного под хода.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профес сору Георгию Михайловичу Кобелькову за постановки задач и поддерж ку, а также всем сотрудникам кафедры вычислительной математики.

Работы автора по теме диссертации 1. Арушанян И.О., Друца А.В., Кобельков Г.М. Метод конечных раз ностей для решения системы уравнений динамики приливов. Диф ференциальные уравнения, 2009, том 45, №7, стр. 965-972. (Дру це А.В. принадлежит аппроксимация уравнений предложенной схе мой;

доказательство положительной определённости матрицы си стемы уравнений для высоты волны.) 2. Drutsa A.V., Kobelkov G.M. Finite dierence approximation of tidal wave equations on unstructured grid in spherical coordinates. Russ. J.

Numer. Math. and Math. Model., 2010, том 25, №6, стр. 535-544.

(Друце А.В. принадлежит аппроксимация уравнений в сферической системе координат и исследование полученной системы уравнений для высоты волны.) 3. Друца А.В. Конечно-разностный метод для решения нелинейной системы уравнений динамики мелкой воды на неструктурирован ной сетке. Вычислительные методы и программирование, 2012, том 13, №2, стр. 511-516.

4. Арушанян И.О., Друца А.В., Кобельков Г.М. Метод конечных раз ностей для решения системы уравнений мелкой воды на неструк турированной сетке. Сборник лекций, прочитанных для участни ков молодёжной школы-конференции, проводимой в рамках Вось мой Всероссийской конференции “Сеточные методы для краевых задач и приложения”, посвящённой 80-летию со дня рождения А.Д.

Ляшко, Казань, стр. 50-68, 2010. (Друце А.В. принадлежит аппрок симация уравнений в различных системах координат и исследова ние полученных систем уравнений.)