Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях роста
На правах рукописи
УСОВА Анастасия Александровна ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ И ФУНКЦИЙ ЦЕНЫ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ РОСТА 01.01.02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Екатеринбург 2012
Работа выполнена в отделе динамических систем Института математики и механики Уральского отделения Российской академии наук
Научный консультант: доктор физико–математических наук Тарасьев Александр Михайлович.
Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук Никонов Олег Игоревич кандидат физико–математических наук Кандоба Игорь Николаевич
Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, ВМиК, г. Москва
Защита диссертации состоится 22 февраля 2012 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико–математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адре су: 620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.
Автореферат разослан 20 января 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико–математических наук Н.Ю. Лукоянов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Представленная диссертация посвящена разработке методов решения за дач оптимального управления на бесконечном промежутке времени. За дачи оптимального управления с бесконечным горизонтом приобретают все более значимый прикладной характер. Они позволяют исследовать модели экономического роста, составленные для анализа и прогнозиро вания экономического развития регионов и стран. Особое внимание в диссертации уделено исследованию свойств гамильтонианов и гамиль тоновых систем в многомерных задачах оптимального управления. Ос новные результаты диссертации связаны с изучением качественного по ведения гамильтоновых систем для случая, когда они обладают един ственной стационарной точкой седлового типа. В этой ситуации удается построить нелинейный регулятор для гамильтоновой динамики, позво ляющий стабилизировать гамильтонову систему вблизи положения рав новесия. По поведению стабилизированных траекторий можно оценить характер оптимальных решений вблизи стационарного положения, что, в конечном счете, позволяет оптимизировать схемы построения опти мальных стратегий в задачах оптимального управления на бесконечном промежутке времени. В диссертационной работе приводится алгоритм построения оптимальных траекторий, который учитывает особенности стабилизированных решений и использует эти данные для построения оптимальных стратегий, строится оценка точности работы алгоритма по функционалу качества задачи управления. Указанный алгоритм реа лизован в компьютерных программах, которые были использованы при моделировании процессов экономического роста. Вычислительные экс перименты проведены на реальных эконометрических данных. Важное место в работе уделено исследованию асимптотического поведения опти мальных решений и функций цены при изменении параметров моделей экономического роста, на основе которых формулируются задачи управ ления с бесконечным горизонтом.
Актуальность темы. В настоящее время резко возросла востребо ванность таких разделов современной математики как теория управле ния и теория дифференциальных игр. Это объясняется тем, что спектр дисциплин, обращающихся к методам математического моделирования значительно расширился. Аппарат теории оптимального управления и дифференциальных игр активно используется для исследования мате матических моделей в таких областях как аэрокосмические науки, эко номика, инженерные и технические науки, науки об окружающей среде, финансовая математика, гибридные системы, медицинские науки и нау ки о здравоохранении, вычислительные и компьютерные науки, океано графические, физические, общественные и математические науки. Ин терес к теории оптимального управления и ее приложениям со стороны российских, немецких, французских, американских, японских матема тиков, экономистов и специалистов по проблемам окружающей среды, а также международных научных организаций существенно вырос, и это подтверждается значительным увеличением количества работ в россий ских и зарубежных издательствах.
Фундаментальным в теории оптимального управления является прин цип максимума Л.С. Понтрягина 1, который находит все более широкое применение в работах российских и зарубежных математиков, вслед ствие чего он активно развивается и обобщается на новые классы за дач. В рамках теории дифференциальных игр рассматриваются задачи управления в условиях неопределенности. В этом направлении основопо лагающую роль играет принцип экстремального прицеливания Н.Н. Кра совского, развитию которого уделяется все большее внимание, в частно сти, для построения оптимальных стратегий в сеточных схемах и для обобщения понятия стабильности. Развитие строгой теории задач кон фликтного управления следует отнести к работам Н.Н. Красовского и А.И. Субботина 2.
В аспекте развития теории оптимального управления и теории диф ференциальных игр существенными являются работы Р.В. Гамкрелидзе, А.В. Кряжимского, А.Б. Куржанского, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипова, Б.Н. Пшеничного, Ф.Л. Черноусько, J.P. Aubin, T. Basar, R. Bellman, P. Bernhard, L. Berkovitz, A. Friedman, Ho You-Chi, R. Isaacs, R.E. Kalman, Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.
Красовский Н.Н., Субботин А.И., Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974.
456 с.
V. Lakshmikantham, G. Leitman, P.L. Lions, P. Varaiya.
Значительный вклад в развитие методов теории оптимального управ ления и дифференциальных игр внесли Э.Г. Альбрехт, А.В. Арутю нов, С.М. Асеев, В.Д. Батухин, Ю.И. Бердышев, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянский, С.А. Брыкалов, Ф.П. Васильев, Р.Ф. Габасов, Н.Л. Гри горенко, М.И. Гусев, А.В. Дмитрук, В.И. Жуковский, С.Т. Завалищин, М.И. Зеликин, А.Д. Иоффе, Ф.М. Кириллова, А.В. Ким, А.Ф. Клей менов, А.Н. Красовский, Ю.С. Ледяев, Н.Ю. Лукаянов, В.И. Макси мов, А.А. Меликян, А.А. Милютин, М.С. Никольский, О.И. Никонов, В.С. Пацко, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, В.Г. Пименов, А.Н. Сесе кин, Н.Н. Субботина, А.М. Тарасьев, В.М. Тихомиров, Е.Л. Тонков, В.Е. Третьяков, В.И. Ухоботов, В.Н. Ушаков, Т.Ф. Филиппова, А.Г. Чен цов, А.А. Чикрий, А.Ф. Шориков, M. Bardi, E.N. Barron, I.C. Dolcetta, L. Cesari, M. Falcone, R. Jensen, M. Ishii, P.V. Kokotovic, G.J. Olsder, E. Roxin, P.E. Souganidis, F.E. Udwadia, J. Warga и многие другие уче ные.
Огромный спектр приложений теории оптимального управления тре бует расширения основополагающих конструкций принципа максимума Л.С. Понтрягина, в частности, для задач управления на бесконечном промежутке времени. Такие постановки характерны для моделей эконо мического роста и задач финансовой математики. В связи с этим важ но отметить работы С.М. Асеева и А.В. Кряжимского 3 по обобщени ям принципа максимума для задач с бесконечным горизонтом, работы Г. Маурера по задачам оптимального управления с фазовыми ограниче ниями и их приложениям к задачам оптимизации инвестиционных про цессов. Циклические управляемые процессы с целевыми функционала ми, определяемыми как предельные значения усредненных по времени интегралов качества, рассматривались в работах В.И. Арнольда и его учеников 4.
Асеев С.М., Кряжимский А.В., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального эко номического роста// Труды МИАН. 2007. Т. 257 С. 5–271.
Arnold, V.I., Davydov A.A., Vassiliev V.A., Zakalyukin V.M., Mathematical Models of Catastrophes.
Control of Catastrophic Processes // IIASA Reprint RP–06–007, from Encyclopedia of Life Support Systems (EOLSS), EOLSS Publishers, Oxford, UK, 2006. 46 P.
Большое внимание уделяется исследованию достаточных условий оп тимальности для управляемых систем с вогнутыми гамильтонианами.
Изучаются свойства, в частности, асимптотические свойства, решений гамильтоновых систем. Отметим здесь работы Т. Базара, Дж. Лейтма на, Т. Рокафеллара в приложении к исследованию динамических игр, в том числе, описывающих конкурентную рыночную среду.
Развивается теория уравнений Гамильтона-Якоби в аспекте анализа и решения задач управления с нерегулярностями, сингулярно возмущен ных задач с малым параметром, исследование минимаксных решений, аппарат которых ввел А.И. Субботин.
Теория оптимального управления и теория позиционных дифферен циальных игр сближения-уклонения тесно связаны с теорией выживае мости, задачами построения и оценки множеств достижимости управля емых систем и дифференциальных включений. В связи с этим отметим исследования А.Б. Куржанского, М.С. Никольского, Ф.Л. Черноусько и их сотрудников.
Теория выживаемости была развита в работах зарубежных математи ков Ж.–П. Обэна, Х. Франковской, Г. Хаддада и других авторов. Эти ра боты посвящены задачам выживаемости управляемых систем на беско нечном промежутке времени при наличии стационарных фазовых огра ничений. Существенные результаты по разработке аппроксимационных схем, направленных на приближенное вычисление ядер выживаемости и множеств достижимости, получены немецким математиком Ф. Колони усом.
Моделирование экономических процессов, финансовое планирование являются одной из наиболее широких областей применения теорий оп тимального управления и дифференциальных игр. Среди наиболее из вестных работ в этом направлении следует отметить труды лауреатов Нобелевской премии нескольких лет К. Эрроу 5, Л.В. Канторовича 6, Arrow, K.J., Application of Control Theory to Economic Growth // Mathematics of the Decision Sciences, 1968. No 2. P. 85–119.
Kantorovich, L.V., Makarov, V.L., Growth Models and their Application to Long-term Planning and Forecasting // In: Long-term Planning and Forecasting, Proc. Conf. Macmillan Press, 1976.
Т. Шеллинга 7. Методы, разработанные этими авторами, получили осо бое значение при построении моделей экономического роста. Одними из первых в этом направлении были работы Т. Купманса, Ф. Рамсея, Р. Со лоу, К. Шелла. Последние монографии известных американских эконо мистов Р. Барро, Дж. Гроссмана, И. Хелпмана 8, П. Кругмана, Ч. Джон са, П. Нордхауса и Д. Ромера по эндогенной теории роста поддержива ют важность теории оптимального управления для адекватного описа ния сбалансированных пропорций экономического развития. Кроме то го, прикладными моделями теории дифференциальных игр и робастного управления занимаются такие известные американские специалисты по оптимальному управлению как Дж. Лейтман, Ф. Удвадиа в сотрудни честве с сильными экономистами из западно-европейских университе тов Л. Ламбертини, К. Дейссенбергом, Дж. Дози. Разработке моделей технологического развития и их эконометрическому анализу посвяще ны работы группы экономистов из Токийского института технологий, возглавляемой Ч. Ватанабе 9. Модели макроэкономического развития и эндогенного экономического роста получили развитие в трудах группы экономистов под руководством Р. Айреса 10 из международной бизнес школы (INSEAD) в Фонтенбло (Франция). Модели экономического роста в рамках проблематики устойчивого развития народонаселения и окру жающей среды разрабатываются финским экономистом Т. Палоканга сом Исследованию демографических процессов и их моделированию по священы работы У. Сандерсона. Приложениями игровых задач управле ния в экономических, экологических моделях и финансовой математике занимается Дж. Касти из Международного института прикладного и си стемного анализа (IIASA, Австрия) Р. Авенхаус, С. Пикель из Универ ситета Бундесвера в Мюнхене, Г. Пеш из университета Байрута, а так же Г. Фейхтингер, Р. Хартл, Ф. Вирл, Р. Нек из университета Австрии, Schelling, T.C., The Strategy of Conict. Harvard University Press, 1980.
Grossman, G.M., Helpman, E., Innovation and Growth in the Global Economy. MIT Press, Cambridge, MA, 1991.
Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Dynamic Optimality Principles and Sensitivity Analysis in Models of Economic Growth // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47, No. 4, P. 2309–2320.
Ayres, R.U., Warr, B., Accounting for Growth: the Role of Physical Work // Structural Change and Economic Dynamics, 2005. Vol. 16. No. 2. P. 181–209.
Л.А. Петросян из Санкт–Петербургского государственного университе та и Дж. Заккур из международной бизнес-школы (HEC) в Монреале (Канада).
Результаты исследований в области теории оптимального управле ния, дифференциальных игр и соответствующих уравнений Гамильтона– Якоби используются при решении ряда важнейших прикладных задач в области оптимизации экономического роста, инвестиционных процессов и устойчивого развития окружающей среды.
Цель работы. Цель работы предполагает: исследование свойств кусочно–определенных гамильтонианов, а также гамильтоновых систем;
поиск условий для построения нелинейного регулятора, стабилизирую щего гамильтонову систему в установившемся состоянии;
разработку ал горитма построения оптимальных траекторий, использующего информа цию о стабилизированной динамике;
исследование чувствительности оп тимальных решений и функции цены к изменениям параметров моделей экономического роста, которые служат основной для задач управления на бесконечном промежутке времени;
приложение разработанных алго ритмов в эконометрическом моделировании.
Методы исследования. В основе работы лежат модификации прин ципа максимума Л.С. Понтрягина для задач управления на бесконечном промежутке времени, методы теории позиционных дифференциальных игр, элементы качественной теории дифференциальных уравнений, кон струкции негладкого анализа. При калибровке моделей используются ме тоды статистики и эконометрики.
Научная новизна. Изучены свойства гамильтонианов, обеспечиваю щие достаточность необходимых условий оптимальности в рамках прин ципа максимума Л.С. Понтрягина для задач на бесконечном промежутке времени. Сформулированы условия, при которых оказывается возмож ным построение нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильто нову динамику в окрестности положения равновесия гиперболического типа. Исследованы свойства стабилизированных траекторий, необходи мые для анализа поведения и построения оптимальных решений в задаче управления с бесконечным горизонтом. Разработан алгоритм построения оптимальных решений в задаче управления на бесконечном промежутке времени, использующий информацию о стабилизированных траекториях для локализации поиска начальной точки при интегрировании гамильто новой системы в обратном времени. Построена оценка точности алгорит ма по функционалу качества задачи оптимального управления, связыва ющая параметры модели с точностью приближения начальной позиции для интегрирования системы в обратном времени. Изучены свойства чув ствительности оптимальных решений и функции цены по отношению к изменениям параметров моделей роста.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе теоретические результаты направлены на исследование задач на беско нечном промежутке времени. Прежде всего, они ориентированы на ана лиз качественного поведения оптимальных решений вблизи положения равновесия динамической системы. Приведенные в работе конструкции нелинейного стабилизатора позволяют, базируясь на его свойствах, реа лизовывать алгоритмы построения оптимальных траекторий в задачах управления с бесконечным горизонтом, а также оценивать их точность.
Кроме этого, исследование вопросов чувствительности оптимальных ре шений и функций цены к изменениям параметров производственных функций представляет особый интерес в виду того, что калибровка моде лей производится эконометрическими методами, которые не могут гаран тировать получения точных оценок параметров моделей. Практическую ценность представляют результаты, связанные с численными алгоритма ми построения оптимальных траекторий в задачах оптимального управ ления с бесконечным горизонтом. Полученные алгоритмы могут быть использованы для эконометрического моделирования, результатом ко торых служит качественный анализ синтезированных модельных траек торий, который может быть использован при моделировании инвестици онных процессов. Более того, предложенные алгоритмы обладают свой ством инвариантности к размерности и могут быть использованы для анализа многофакторных моделей экономического роста. В частности, в работе проведено исследование двухфакторной модели экономического роста.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва лись на всероссийских конференциях: 40–42 всероссийские молодеж ные конференции “Проблемы теоретической и прикладной математики” (УрО РАН, Свердловская обл., 2009 2011 годы);
на семинаре “Проблемы динамического управления” кафедры оптимального управления факуль тета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН;
на международных конгрессах и конференциях: 8–ой международный IFAC симпозиум по нелинейным управляемым системам (8th IFAC NOLCOS, Bologna, Italy), 25–ая IFIP конференция 7–го технического комитета “Системное моделирование и оптимизация” (25th IFIP TC 7 Conference 2011, Berlin, Germany), 18–ый IFAC конгресс международной организации по автоматическому управ лению (18th IFAC World Congress, Milan, Italy).
Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах. Из них 3 публикации из списков ВАК [1]–[3], 1 публикация в рецензируемых российских сборниках [4], 3 публикации в трудах между народных конференций [7]–[10] и 3 тезиса докладов. В совместных рабо тах [1]–[4], [9], [10] научному руководителю А.М. Тарасьеву принадлежит постановка задачи. В работе [8] в соавторстве научному руководителю А.М. Тарасьеву принадлежит постановка задачи, W. Sanderson’у при надлежит используемая при построении многофакторной модели эконо мического роста SEDIM модель.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Объем работы составляет страниц текста. Библиография содержит 212 наименований.
Основные результаты диссертации 1. Исследованы вопросы чувствительности оптимальных решений и функций цены к изменениям параметров производственных функций.
Показано, что оптимальные решения непрерывно зависят от параметров производственной функции, а функция цены нелинейной задачи пото чечно сходится к функции цены линейной задачи, когда параметр эла стичности производственной функции растет вплоть до своего предель ного значения, равного единице. Стационарные точки гамильтоновых систем при этом вырождаются и стремятся к бесконечности или нулю в зависимости от параметров модели.
2. Для гамильтоновой системы, возникающей вследствие применения принципа максимума Л.С. Понтрягина, сформулированы условия, при которых для нее можно построить нелинейный регулятор, порождающий динамическую систему, решение которой обладает поведением, схожим с поведением решений исходной системы.
3. Разработан алгоритм построения оптимальных траекторий в зада чах управления на бесконечном промежутке времени, который исполь зует конструкцию нелинейного стабилизатора для локализации поиска начальной точки при интегрировании гамильтоновой системы в обрат ном времени.
4. Получены оценки точности алгоритма построения оптимальных тра екторий, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных пока зателей.
СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Первая глава диссертации посвящена исследованию оптимальных ре шений и функций цены задач управления на бесконечном промежутке времени в аспекте их чувствительности к изменениям параметров произ водственных функций, используемых в моделях экономического роста.
Глава состоит из пяти параграфов.
В первом параграфе описывается односекторная модель экономиче ского роста. Обсуждается вариант модели Солоу–Шелла оптимального инвестирования. Описываются основные переменные, включая управля ющие параметры модели. Формулируется общая задача оптимального управления, основанная на модели экономического роста.
Задача управления, P. Максимизировать функцию полезности + et (ln (1 s(t)) + ln f (k(t))) dt J(t0, k0 ) = t на траекториях (k(·);
s(·)) динамической системы k(t) = s(t)f (k(t)) k(t), k(t0 ) = k0, 0 s(t) a 1.
Здесь k обозначает капитал на душу населения, f (k) производственная функция. Доля ВВП y, инвестируемая в капитал, обозначена сим волом s и играет роль управляющего параметра, являющегося из меримой по переменной времени t функцией. Константы,, k0 яв ляются положительными и априори заданными величинами. Пара метр a, a (0, 1) отделяет правую границу параметра управле ния от единицы. Обсуждаются свойства производственных функций:
положительности, строгого монотонного роста и строгой вогнутости.
Рассматриваются два вида производственных функций: Кобба–Дугласа f (k) = k, 0, 0 1. и линейная f (k) = k. Линейная функция, в данном случае, является предельным вариантом экспонен циальной функции Кобба–Дугласа, когда ее параметр эластичности достигает своего максимально возможного значения, равного единице. В предельной ситуации производственная функция теряет свойство стро гой вогнутости. Для обоих случаев формулируются задачи оптимального управления P и P1.
Второй параграф посвящен исследованию необходимых и доста точных условий оптимальности. Исследуются свойства гамильтоновых функций. Строятся оптимальные управления. Доказывается, что в линейной задаче управления с бесконечным горизонтом оптимальное управление является постоянной величиной, определяемой параметрами модели. Проверяются свойства гладкости и строгой вогнутости макси мизированных гамильтонианов.
В третьем параграфе проводится качественный анализ задач управ ления. Исследуется вопрос наличия стационарных точек гамильтоновых динамик. Доказывается, что линейная задача управления не обладает установившимся состоянием, в то время, как нелинейная задача имеет единственную стационарную точку седлового типа. Так же показывает ся, что фазовая координата стационарной точки, при достижении пара метром эластичности производственной функции Кобба–Дугласа едини цы, стремиться либо к нулю, либо к бесконечности.
Четвертый параграф посвящен построению оптимальных траекторий в обеих задачах оптимального управления. В линейной задаче оптималь ные решения имеют аналитическое представление и могут быть выписа ны в явном виде. Для нелинейной задачи в явном виде выписать опти мальные решения удается лишь в областях с постоянным управлением.
В области переменного управления решение строится численно. Также в этом параграфе обосновывается непрерывная зависимость оптималь ного решения от параметра эластичности производственной функции и начальных данных. Доказывается сходимость оптимального решения нелинейной задачи к оптимальным траекториям линейной задачи управ ления. Приводятся результаты численных экспериментов, демонстриру ющих указанную сходимость.
Пятый параграф посвящен исследованию функций цены в обеих зада чах управления. Для линейной задачи управления функция цены стро ится в явном виде. Доказывается поточечная сходимость функции цены нелинейной задачи к функции цены линейной задачи управления.
Теорема 1. Функция цены нелинейной задачи оптимального управле ния V [t0, k0 ] поточечно сходится к функции цены V1 [t0, k0 ] линейной задачи, когда параметр эластичности производственной функции Кобба-Дугласа растет вплоть до своего предельного значения, равно го единице.
Для функции цены нелинейной задачи управления вычисляется ее значение в стационарной точке. Приводятся результаты численных экс периментов, иллюстрирующих поточечную сходимость.
Вторая глава диссертации освещает вопросы, связанные с иссле дованием качественного поведения оптимальных траекторий вблизи по ложения равновесия. В этой главе рассматривается многофакторная мо дель экономического роста, на основании которой формулируется задача оптимального управления. Проводится исследование задачи управления и указываются условия для построения нелинейного регулятора гамиль тоновой динамики, с помощью которого удается провести анализ пове дения оптимальных траекторий в окрестности положения равновесия.
Вторая глава состоит из пяти параграфов.
Первый параграф посвящен построению многофакторной модели эко номического роста, описанию основных переменных модели, в том числе и управляющих параметров. Рассматриваемая модель оперирует тремя производственными факторами: основной капитал k, квалифицирован ная рабочая сила l и полезная работа u. Эти производственные факто ры используются для описания однородного выпуска внутреннего вало вого продукта (ВВП) y и являются фазовыми переменными управляе мой системы. Инвестиции в основной капитал s и в образование r как фактор, повышающий эффективность труда, рассматриваются в каче стве управляющих параметров модели. Функция полезности определя ется как интегральный индекс потребления c логарифмического типа, дисконтированный на бесконечном промежутке времени. На основании модели формулируется задача оптимального управления инвестициями в производственные факторы.
Задача управления. Максимизировать функционал + et (ln (1 s(t)) + ln (1 r(t)) + ln f (k(t), l(t))) dt J= на траекториях (k(·), l(·), s(·), r(·)) динамической системы k(t) = s(t)f (k(t), l(t)) ( + )k(t), k(t0 ) = k 0, l(t) = br(t)f (k(t), l(t)) l(t), l(t0 ) = l0, где управляющие воздействия (s(·), r(·)) подчиняются ограничениям 0 s(t) as 1, 0 r(t) ar 1, 0 as + ar 1.
Второй параграф ориентирован на исследование поставленной задачи оптимального управления. Здесь приводятся необходимые условия прин ципа максимума Л.С. Понтрягина для задач на бесконечном промежутке времени, развитые в работах С.М. Асеева и А.В. Кряжимского. Исследу ются свойства гамильтонианов, отвечающих различным управляющим режимам. Проверяются достаточные условия оптимальности. Доказы ваются свойства гладкости и строгой вогнутости максимизированного гамильтониана в рамках дополнительных условий на производственную функцию.
Свойство. Максимизированный гамильтониан H(k, l;
1, 2 ) является строго вогнутой функцией по фазовым переменным при положитель ных значениях сопряженных переменных 1 0, 2 0 во всех обла стях своего определения Dij, i, j = 1, 2, 3, кроме области переменного управления D22. В области переменного управления D22 для строгой вогнутости максимизированного гамильтониана H(k, l;
1, 2 ) требу ется отрицательная определенность следующей матрицы:
f fk fl f (k, l) = fk fkk fkl, (k, l;
1, 2 ) D22, 1 0, 2 0, fl fkl fll где символами fk, fl, fkk, fkl, fll обозначены частные производные произ водственной функции f = f (k, l) первого и второго порядков.
Описываются области, отвечающие различным оптимальным режи мам управления.
В третьем параграфе проводится качественный анализ гамильтоно вых систем, составленных для каждого режима оптимального управле ния. Исследуется вопрос о существовании стационарных точек, их един ственности. Доказывается, что установившееся состояние располагает ся в области переменного управления. Для производственной функции Кобба–Дугласа явно указываются координаты стационарной точки.
Проводится анализ установившегося состояния. Предполагается, что матрица гамильтоновой системы, линеаризованной в окрестности поло жения равновесия, обладает свойствами A1. Имеет 4 различных действительных собственных значения, два из которых отрицательны, а два других положительны:
1 2 0 3 4.
A2. Собственные вектора h1 и h2, отвечающие отрицательным соб ственным значениям 1, 2 соответственно, обладают свойством h11 h22 = h12 h21.
Замечание. Согласно теореме Гробмана–Хартмана предположение A1 означает, что нелинейная система имеет траекторию аналогич ную траектории линейной системы, которая сходится к установивше муся состоянию по касательной к плоскости, образованной собствен ными векторами, отвечающими отрицательным собственным значе ниям.
В четвертом параграфе обсуждается алгоритм построения нелиней ного регулятора, основанного на принципе обратной связи, который пе реводит систему из любого начального положения в положение, соответ ствующее стационарной точке. Алгоритм состоит из нескольких шагов:
1. построение плоскости, содержащей стационарную точку, по соб ственным векторам, отвечающим отрицательным собственным значени ям матрицы Якоби, вычисленной в стационарной точке;
2. выражение сопряженных координат из уравнений плоскости;
z1 = z1 + 11 (k k ) + 12 (l l ) = z1 (k, l), z2 = z2 + 21 (k k ) + 22 (l l ) = z2 (k, l).
3. построение нелинейного стабилизатора путем подстановки в выра жения для оптимального управления, соответствующего области устано вившегося состояния, сопряженных переменных, которые были получе ны из уравнения плоскости.
4. построение стабилизированной динамики путем подстановки в пер вые два уравнения гамильтоновой системы, определенной для области установившегося состояния, сопряженных переменных, выраженных из уравнения плоскости.
Доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Если линеаризованная в окрестности положения равнове сия (k, l ;
z1, z2 ) гамильтонова система, построенная в области непо стоянных управлений D22, удовлетворяет условиям A1 и A2. Тогда для нее существует нелинейный регулятор вида k l s(k, l) = 1, r(k, l) = 1, z1 (k, l)f (k, l) bz2 (k, l)f (k, l) который (1) порождает систему, замкнутую относительно фазовых переменных k, l;
(2) обладает стационарной точкой (k, l ), координа ты которой совпадают с фазовыми координатами стационарной точ ки (k, l ;
z1, z2 ) исходной гамильтоновой системы;
(3) стабилизирует систему в установившемся состоянии.
В пятом параграфе приводятся результаты численного решения ста билизированной в окрестности положения равновесия гамильтоновой си стемы.
Третья глава посвящена алгоритму построения оптимальных траек торий в задачах с бесконечным горизонтом. Алгоритм основан на исполь зовании конструкции нелинейного регулятора, порождающего стабили зированную систему, поведение решений которой близко к поведению оптимальных траекторий в окрестности стационарной точки. Используя данную информацию, удается локализовать поиск начальной точки для интегрирования гамильтоновой динамики в обратном времени. Третья глава состоит из четырех параграфов.
В первом параграфе рассматривается алгоритм построения оптималь ных траекторий, который заключается в следующих шагах:
1. вычисление координат стационарной точки гамильтоновой системы методом последовательных приближений;
2. линеаризация гамильтоновой системы в окрестности установившего ся состояния;
3. вычисление собственных чисел и собственных векторов линеаризо ванной системы;
проверка их соответствия условиям, в рамках которых возможна конструкция нелинейного стабилизатора;
4. построение нелинейного регулятора и стабилизированной системы дифференциальных уравнений;
5. поиск решения стабилизированной системы;
6. локализация поиска начальных условий для интегрирования гамиль тоновой системы в обратном времени за счет точек, полученных с реше ния стабилизированной системы;
7. интегрирование гамильтоновой системы в обратном времени из вы бранного начального положения, лежащего в окрестности точки, взятой с решения стабилизированной системы, с учетом возможного переключе ния управляющих режимов вплоть до исходного начального положения системы;
8. развертка интегрированной траектории в прямом времени и масшта бирование временной шкалы.
Второй параграф посвящен построению оценки точности алгоритма.
Полученные оценки устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных по казателей.
Теорема 3. Точность алгоритма по функционалу оценивается точно стью аппроксимации начальных условий в алгоритме. В зависимо сти от соотношений параметров возможны три случая оценки:
1. Если модуль липшицевости гамильтоновой динамики строго меньше параметра дисконтирования, точность алгоритма по функ ционалу имеет порядок 2 ;
2. Если =, то оценка имеет вид: 2 ln 2.
3. Если, то точность имеет порядок: 2 ln 2.
В третьем параграфе приводится иллюстрация работы алгоритма на примере построения оптимальных траекторий в задаче управления, ис следованной во второй главе диссертации. Полученные аппроксимаци онные решения достаточно хорошо соответствуют реальным статисти ческим данным. Также из построенных решений видно, что они гладко проходят точки смены управляющих режимов. Каждая из траекторий роста имеет уровень насыщения, соответствующий стационарному по ложению гамильтоновой динамики. Проводится сравнительный анализ траекторий, полученных из решения стабилизированной системы, и оп тимальных стратегий. В окрестности положения равновесия эти траек тории оказываются очень близки друг к другу.
В четвертом параграфе проводится сравнительный анализ односек торной и двухсекторной моделей экономического роста. На основании предложенного алгоритма для соответствующих задач управления стро ятся оптимальные решения и проводится их сравнение как друг с другом, так и с реальными данными. Вычислительные эксперименты показали, что учет такого производственного фактора, как эффективность труда l, увеличивает точность модельных траекторий относительно реальных данных.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах 1. Тарасьев А.М., Усова А.А., Построение регулятора для гамильтоно вой системы двухсекторной модели экономического роста // Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2010. Т. 271, C. 1–21.
2. Тарасьев А.М., Усова А.А., Влияние параметров производственных функций на равновесное решение и функцию цены задачи опти мального управления // Математическая теория игр и приложения (МТИП) Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2011. Т. 3, Вып. 3, C. 85–115.
3. Tarasyev A.M., Usova A.A., Nonlinear stabilizer constructing for two sector economic growth model // Труды института математики и ме ханики УрО РАН, 2010. Vol. 16, No. 5, P. 297–307.
Другие публикации 4. Тарасьев А.М., Усова А.А., Исследование асимптотического пове дения оптимальных траекторий и функций цены в односекторных моделях экономического роста при изменении коэффициента эла стичности производственной функции // Сборник научных трудов:
Проблемы динамического управления ВМиК МГУ им. М.В. Ло моносова, Москва, 2010. Вып. 5, C. 251–270.
5. Усова А.А., Функция цены в задаче управления с линейной ди намикой и логарифмическим функционалом качества // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всероссий ской молодежной конференции Екатеринбург: УрО РАН, 2009.
C. 260– 6. Усова А.А., Построение регулятора для гамильтоновой системы двухсекторной модели экономического роста // Проблемы теорети ческой и прикладной математики: Тезисы 41-й Всероссийской моло дежной конференции Екатеринбург: УрО РАН, 2010. тр. 372– 7. Усова А.А., Влияние изменений параметров производственных функций в моделях экономического роста на поведение решений задач управления на бесконечном горизонте // Современные про блемы математики: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы конференции Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011. C. 54–56.
8. Sanderson W., Tarasyev A., Usova A., Capital vs. Education:
Assessment of Economic Growth from Two Perspectives // Proceedings of the 8th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems, 2010.
P. 1110–1115.
9. Tarasyev A., Usova A., The Value Function as a Solution of Hamiltonian Systems in Linear Optimal Control Problems with Innite Horizon // IFAC PapersOnLine, Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milan, 2011. Vol. 18, Part 1.
10. Tarasyev A.M, Usova A.A., An Iterative Direct-Backward Procedure for Construction of Optimal Trajectories in Control Problems with Innite Horizon // IFAC PapersOnLine, Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milan, 2011. Vol. 18, Part 1.