Роман сергеевич некоторые вопросы гармонического анализа на сферических однородных пространствах

На правах рукописи

УДК 512.745+512.816.4 Авдеев Роман Сергеевич Некоторые вопросы гармонического анализа на сферических однородных пространствах 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ло моносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Винберг Эрнест Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ахиезер Дмитрий Наумович кандидат физико-математических наук Шмелькин Дмитрий Альфредович

Ведущая организация: Высшая школа экономики (Национальный исследовательский университет)

Защита диссертации состоится 11 ноября 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседа нии диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государствен ном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Феде рация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 11 октября 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертация посвящена решению некоторых алгебраических задач гар монического анализа на сферических однородных пространствах, а также исследованию связи этих задач с некоторыми геометрическими свойствами сферических однородных пространств.

Пусть G связная редуктивная комплексная алгебраическая группа.

Зафиксируем в G борелевскую (т. е. максимальную связную разрешимую) подгруппу B и максимальную унипотентную подгруппу U, содержащуюся в B. Обозначим через + (G) полугруппу доминантных весов группы G по отношению к борелевской подгруппе B.

Пусть H G некоторая алгебраическая подгруппа. Естественное действие группы G на однородном пространстве G/H левыми сдвига ми индуцирует её представление в алгебре C[G/H] = C[G]H регуляр ных (т. е. полиномиальных) функций на G/H. Алгебра C[G/H] как век торное пространство над C разлагается в прямую сумму конечномерных G-инвариантных подпространств, в каждом из которых представление группы G неприводимо. Набор (с учётом кратностей) неприводимых пред ставлений группы G, входящих в это разложение, не зависит от самого разложения и называется спектром представления. Для каждого доми нантного веса группы G обозначим через m кратность вхождения в этот спектр неприводимого представления группы G со старшим весом. В силу двойственности Фробениуса для всех + (G) справедливо неравенство m. Ясно, что спектр представления, а тогда и само представле ние с точностью до изоморфизма, однозначно определяется числами m.

В контексте теории представлений алгебраических групп одной из основ ных задач гармонического анализа на однородном пространстве G/H яв ляется нахождение спектра представления, т. е. нахождение чисел m.

Обозначим через + (G/H) множество тех доминантных весов группы G, для которых m 1. Это множество является полугруппой (и даже моноидом), которая называется полугруппой старших весов однородного пространства G/H. Обозначим эту полугруппу через + (G/H).

Полугруппа старших весов является важным инвариантом однородно го пространства, однако в некоторых ситуациях она сообщает мало ин формации о нём. Например, для однородного пространства G/B имеем C[G/B] C, откуда вытекает, что + (G/B) = {0}. В подобных ситуациях оказывается полезным рассматривать естественное обобщение описанной выше задачи. А именно, таковым является задача о нахождении спектров представлений группы G в пространствах регулярных сечений однородных линейных расслоений над G/H.

Напомним, что однородные линейные расслоения над G/H находятся во взаимно однозначном соответствии с характерами группы H, множество которых обозначим через X(H). А именно, характеру X(H) отвечает однородное линейное расслоение L() = (G C )/H над G/H, где H дей ствует на G правыми сдвигами, а в пространстве C C при помощи характера. Слоем расслоения L() над точкой eH является прямая C.

При каждом X(H) имеется естественный G-эквивариантный изомор физм пространства (L()) регулярных сечений расслоения L() и про странства V = f C[G] | f (gh) = (h)f (g) g G, h H C[G].

При этом изоморфизме каждой функции f V соответствует сечение f (L()), задаваемое формулой f (gH) = [g, f (g)], где [g, f (g)] класс пары (g, f (g)) в L().

Обозначим через + (G/H) множество пар (, ), где + (G), X(H), для которых неприводимое представление группы G со старшим весом реализуется в пространстве V. Множество + (G/H), так же как и множество + (G/H), является полугруппой, которая называется расши ренной полугруппой старших весов однородного пространства G/H. По скольку пространство V0 (L(0)), отвечающее характеру = 0, есть не что иное, как пространство C[G]H = C[G/H] регулярных функций на G/H, мы получаем следующую простую связь между полугруппами + (G/H) и + (G/H):

+ (G/H) {(, ) + (G/H) | = 0} + (G/H).

В частности, если подгруппа H не имеет нетривиальных характеров, то имеем + (G/H) + (G/H).

Одной из задач, рассматриваемых в диссертации, является вычисление (расширенных) полугрупп старших весов для важного класса однородных пространств сферических однородных пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Подгруппа H G называется сферической (одно родное пространство G/H сферическим), если для всякого однородного линейного расслоения L над G/H спектр представления группы G в про странстве регулярных сечений расслоения L прост.

Существует множество различных характеризаций сферических одно родных пространств. Следующая характеризация является одной из важ нейших и была получена Э. Б. Винбергом и Б. Н. Кимельфельдом1 в 1978 г.

ТЕОРЕМА 1. Для подгруппы H G следующие условия эквивалент ны:

(1) H является сферической;

(2) борелевская подгруппа B G имеет открытую орбиту в G/H при действии левыми сдвигами.

Если многообразие G/H квазиаффинно, каждое из условий (1), (2) эк вивалентно следующему:

(3) спектр представления группы G в пространстве C[G/H] регуляр ных функций на G/H прост.

Известно, что сферичность однородного пространства G/H является ло кальным свойством, т. е. зависит только от касательных алгебр g и h групп G и H соответственно.

В качестве примеров сферических однородных пространств приведём (алгебраические) симметрические пространства, т. е. однородные простран ства G/H, где H подгруппа неподвижных точек нетривиального авто морфизма порядка 2 группы G, и (обобщённые) многообразия флагов G/P, где P параболическая подгруппа группы G, т. е. подгруппа, содержащая некоторую борелевскую подгруппу группы G.

Теория сферических однородных пространств является одним из наи более разработанных разделов теории алгебраических групп преобразова ний. Сферические однородные пространства интенсивно изучались многи ми авторами с различных точек зрения начиная с конца 70-х гг. XX века и продолжают активно изучаться в настоящее время. Обзор различных направлений исследования сферических однородных пространств, а также достигнутых по этим направлениям результатов можно найти в моногра фии Д. А. Тимашёва2.

Коснёмся вопроса о классификации сферических однородных про странств. Прежде всего отметим, что классификация таких пространств легко сводится к случаю полупростой группы G, поскольку однородное пространство G/H является сферическим тогда и только тогда, когда та ковым является однородное пространство (G/Z)/(H/Z), где Z центр Винберг Э. Б., Кимельфельд Б. Н., Однородные области на флаговых многообразиях и сферические подгруппы полупростых групп Ли, Функц. анализ и его прил., 12:3 (1978), 12–19.

Timashev D., Homogeneous spaces and equivariant embeddings, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 138, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2011.

группы G. В диссертации существенно используется классификация всех с точностью до локального изоморфизма аффинных сферических однород ных пространств G/H (т. е. таких, для которых подгруппа H редуктив на), где группа G полупроста. Эта классификация была получена в рабо тах М. Кремера3, И. В. Микитюка4, М. Бриона5 и О. С. Якимовой6. Чтобы сформулировать результаты этой классификации, нам потребуется ввести некоторые понятия.

Прямое произведение сферических однородных пространств (G1 /H1 ) (G2 /H2 ) = (G1 G2 )/(H1 H2 ) также является сферическим однородным пространством. Пространства такого вида и локально изоморфные им называются приводимыми, а все остальные неприводимыми. Сферическое пространство G/H называется строго неприводимым, если сферическое пространство G/NG (H)0 непри водимо (NG (H)0 связная компонента единицы нормализатора группы H в G).

Теперь приведём результаты классификации всех с точностью до ло кального изоморфизма аффинных сферических однородных пространств.

Все с точностью до локального изоморфизма однородные пространства G/H, где G простая группа, H её редуктивная сферическая подгруп па, найдены М. Кремером3 в 1979 г.7 Далее, И. В. Микитюком4 в 1986 г.

и, независимо, М. Брионом5 в 1987 г. классифицированы все с точностью до локального изоморфизма строго неприводимые аффинные сферические однородные пространства непростых полупростых групп. Отметим, что все аффинные сферические однородные пространства простых групп являют ся строго неприводимыми, ввиду чего результаты Кремера, Бриона и Ми китюка дают полный список всех с точностью до локального изоморфизма строго неприводимых аффинных сферических однородных пространств.

Наконец, общая процедура, позволяющая строить произвольные аффин ные сферические однородные пространства из строго неприводимых, в окончательной форме описана О. С. Якимовой6 в 2002 г.

Из определения вытекает, что для сферического однородного простран ства G/H спектры представлений группы G в пространствах регулярных Krmer M., Sphrische Untergruppen in kompakten zusammenhngenden Liegruppen, Compositio a a a Math., 38:2 (1979), 129–153.

Микитюк И. В., Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными кон фигурационными пространствами, Матем. сб., 129(171):4 (1986), 514–534.

Brion M., Classication des espaces homog`nes sphriques, Compositio Math., 63:2 (1987), 189–208.

e e Якимова О. С., Слабо симметрические пространства полупростых групп Ли, Вестник Моск. Ун та, сер. 1, матем., мех., 2 (2002), 57–60.

На самом деле Кремером решена эквивалентная задача для компактных групп.

сечений всех однородных линейных расслоений над G/H однозначно опре деляются полугруппой + (G/H). При этом спектр представления груп пы G в пространстве регулярных функций на G/H однозначно определя ется полугруппой + (G/H).

В связи со сказанным выше представляет интерес вычисление полу групп старших весов и расширенных полугрупп старших весов для сфе рических однородных пространств. Перечислим известные на настоящий момент результаты по этому направлению. В случае симметрических про странств рассматриваемой проблемой занимался ещё Э. Картан8, добив шийся значительных продвижений в 1929 г. Окончательный результат вы числения полугрупп старших весов для односвязных симметрических про странств был впервые анонсирован М. Сугиурой9 в 1962 г., однако доказа тельство так и не было им нигде опубликовано. Этот пробел был восполнен С. Хелгасоном10 в 1970 г. Затем в 1979 г. М. Кремер3 завершил вычисление полугрупп старших весов для всех односвязных аффинных сферических однородных пространств простых групп. Далее, насколько известно авто ру, расширенные полугруппы старших весов для всех односвязных стро го неприводимых аффинных сферических однородных пространств непро стых полупростых групп были вычислены Ю. В. Дзядыком в 1985 г. сра зу же после того, как стал известен их полный список11 (опубликованный позднее в работе И. В. Микитюка4 ). К сожалению, результаты Дзядыка до сих пор не опубликованы. Отметим (хотя этот момент пока не отражён в литературе), что полугруппу + (G/H) несложно вычислить в случае, когда H орисферическая подгруппа, т. е. подгруппа, содержащая некото рую максимальную унипотентную подгруппу группы G (в этой ситуации однородное пространство G/H также называется орисферическим).

Одной из целей диссертации является получение упомянутых выше неопубликованных результатов Дзядыка.

Отметим, что для произвольного (т. е. не обязательно сферического) од нородного пространства G/H проблема вычисления спектра представле ния или хотя бы полугруппы + (G/H) весьма далека от своего решения.

Среди частных случаев, для которых известен результат, отметим следу ющие два. Во-первых, хорошо известно (и несложно доказать), что для Cartan E. Sur la determination d’un syst`me orthogonal complet dans un espace de Riemann symtrique e e clos, Rend. Circ. Mat. Palermo, 53 (1929), 217–252.

Sugiura M., Representations of compact groups realized by spherical functions on symmetric spaces, Proc. Japan Acad., 38 (1962), 111–113.

Helgason S., A duality for symmetric spaces with applications to group representations, Advances in Math. 5 (1970), 1-154.

Об этом Дзядык сообщил Э. Б. Винбергу.

всякой унипотентной подгруппы H G полугруппа + (G/H) совпадает с полугруппой + (G) доминантных весов группы G. Во-вторых, Д. И. Па нюшевым12 вычислены полугруппы + (G/H) для большинства аффинных однородных пространств G/H сложности 1, где группа G проста.

Далее предполагается, что группа G полупроста.

Пусть 1,..., l все фундаментальные веса группы G. Для каждого доминантного веса = k1 1 +... + kl l, где ki Z и ki 0 при всех i = 1,..., l, введём его носитель Supp = {i | ki 0}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Сферическая подгруппа H G называется пре восходной (сферическое однородное пространство G/H превосходным), если выполнены следующие два условия:

(1) многообразие G/H квазиаффинно;

(2) полугруппа + (G/H) порождается весами 1,..., n с условием Supp i Supp j = при i = j.

В диссертации в основном рассматриваются редуктивные сферические подгруппы H. В силу сказанного выше для них условие (1) определения выполнено автоматически.

Отметим также, что из условия (2) определения 2 следует свободность полугруппы + (G/H).

К числу превосходных сферических однородных пространств относят ся все односвязные (комплексные) симметрические пространства, а так же большинство односвязных аффинных сферических однородных про странств G/H, где G проста. В качестве примера неаффинного превосход ного сферического однородного пространства приведём пространство G/U, где G односвязна. Хорошо известно, что полугруппа + (G/U ) совпадает с полугруппой доминантных весов группы G.

Пусть H G произвольная подгруппа, для которой алгебра C[G/H] конечно порождена (к числу таких подгрупп относятся все сферические подгруппы13 ). Как показано Дж. Хаджиевым14, в этой ситуации алгеб ра U C[G/H] тех функций на G/H, которые инвариантны относительно действия группы U на G/H левыми сдвигами, также конечно порожде на. Рассмотрим соответствующие алгебрам C[G/H] и U C[G/H] аффинные алгебраические многообразия X = Spec C[G/H] и Y = Spec U C[G/H].

Panyushev D., Complexity of Quasiane Homogeneous Varieties, t-Decompositions, and Ane Homogeneous Spaces of Complexity 1, Advances in Soviet Mathematics, 8 (1992), 151–166.

Knop F., Uber Hilberts vierzehntes Problem fr Varietten mit Kompliziertheit eins, Math. Z., 213: u a (1993), 33–36.

Хаджиев Дж., Некоторые вопросы теории векторных инвариантов, Матем. сб., 72(114):3 (1967), 420–435.

Отметим, что если многообразие G/H квазиаффинно, то оно естествен ным образом отождествляется с открытым подмножеством в X. Если G/H аффинно, то имеет место изоморфизм G/H X. Вложению ал U гебр C[G/H] C[G/H] отвечает доминантный морфизм U : X Y соответствующих алгебраических многообразий.

Если G/H сферическое однородное пространство, то алгеб U ра C[G/H] является полугрупповой алгеброй полугруппы + (G/H) (В. Л. Попов15 ). Если при этом G/H превосходно, то из свободности полу группы + (G/H) вытекает свободность алгебры U C[G/H], откуда следует, Cr, где r ранг полугруппы + (G/H).

что Y Следующая теорема была доказана Д. И. Панюшевым16 в 1999 г. ТЕОРЕМА 2. Пусть G/H квазиаффинное сферическое однородное пространство. Тогда:

(а) если G/H превосходно, то морфизм U равноразмерен;

Cr для некоторого r и подгруппа H содержит некоторую (б) если Y максимальную унипотентную подгруппу группы G, то верно и обратное к (а) утверждение.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Говоря о равноразмерности какого-либо морфизма, мы подразумеваем, что он сюръективен.

Теорема 2 устанавливает интересную связь между комбинаторными и геометрическими свойствами квазиаффинного сферического однородного пространства. Ввиду этой связи превосходные сферические однородные пространства и получили своё название в 2007 г., когда теорема 2 была независимо передоказана Э. Б. Винбергом и С. Г. Гиндикиным18. В диссер тации получена классификация всех с точностью до изоморфизма превос ходных аффинных сферических однородных пространств.

В связи с теоремой 2(а) представляет определённый интерес следующая ГИПОТЕЗА 1. Пусть G/H квазиаффинное сферическое однородное Cr для некоторого r.

пространство, морфизм U равноразмерен и Y Тогда G/H превосходно.

Cr не является ограничитель Отметим, что в этой гипотезе условие Y Попов В. Л., Стягивания действий редуктивных алгебраических групп, Матем. Сб., 130(172):3(7) (1986), 310–334.

Panyushev D., Parabolic subgroups with Abelian unipotent radical as a testing site for invariant theory, Canad. J. Math., 51:3 (1999), 616–635.

На самом деле Панюшевым был доказан более общий факт, сформулированный в других терми нах.

Этот результат не опубликован.

ным, поскольку, как отмечалось выше, оно является необходимым условием превосходности сферического однородного пространства.

Как следует из теоремы 2(б), гипотеза 1 верна для сферических одно родных пространств G/H, где подгруппа H содержит какую-либо макси мальную унипотентную подгруппу группы G (напомним, что такие под группы H, так же как и соответствующие однородные пространства G/H, называются орисферическими). В диссертации доказывается, что эта гипо теза также верна для произвольных аффинных сферических однородных пространств.

Наряду с понятием превосходного сферического однородного простран ства в диссертации вводится также понятие почти превосходного сфериче ского однородного пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Сферическая подгруппа H G называется по чти превосходной (сферическое однородное пространство G/H почти превосходным), если выполнены следующие два условия:

(1) многообразие G/H квазиаффинно;

(2) выпуклый конус Q+ + (G/H) (т. е. множество конечных линейных комбинаций элементов из + (G/H) с неотрицательными рациональными коэффициентами) порождается (как выпуклый конус) весами 1,..., n с условием Supp i Supp j = при i = j.

Свойство почти превосходности сферического однородного простран ства G/H, так же как и свойство сферичности однородного пространства, является локальным, т. е. зависит только от касательных алгебр g и h. Та ким образом, можно говорить о классах локального изоморфизма почти превосходных сферических однородных пространств.

Из определений 2 и 3 следует, что всякое превосходное сферическое од нородное пространство G/H является почти превосходным. В диссертации доказывается, что для всякого почти превосходного сферического однород ного пространства его односвязное накрывающее пространство превосход но.

Ввиду сказанного выше из теоремы 2 вытекает аналогичный результат для почти превосходных сферических однородных пространств:

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть G/H квазиаффинное сферическое однород ное пространство. Тогда:

(а) если G/H почти превосходно, то морфизм U равноразмерен;

(б) если подгруппа H содержит некоторую максимальную унипотент ную подгруппу группы G, то верно и обратное к (а) утверждение.

Цель работы Целью диссертации является решение следующих задач:

1. Вычислить расширенные полугруппы старших весов для всех одно связных строго неприводимых аффинных сферических однородных пространств непростых полупростых алгебраических групп.

2. Классифицировать все с точностью до изоморфизма превосходные аф финные сферические однородные пространства полупростых алгебра ических групп.

3. Получить геометрическую характеризацию превосходных и почти пре восходных аффинных сферических однородных пространств полупро стых алгебраических групп.

Научная новизна Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Вычислены расширенные полугруппы старших весов для всех одно связных строго неприводимых аффинных сферических однородных пространств непростых полупростых алгебраических групп, а так же в каждом случае найдены старшие весовые функции, отвечающие неразложимым элементам этих полугрупп.

2. Классифицированы все с точностью до изоморфизма превосходные аффинные сферические однородные пространства полупростых алгеб раических групп.

3. Получена геометрическая характеризация превосходных и почти пре восходных аффинных сферических однородных пространств полупро стых алгебраических групп.

Основные методы исследования В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории представлений, теории алгебраических групп и теории инвариантов.

Теоретическая и практическая ценность работы Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение.

Они могут найти применение в теории представлений, эквивариантной сим плектической геометрии, теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре Алгебраические группы и теория инвариантов механико-математического факультета МГУ (руководители Э. Б. Винберг, Д. А. Тимашёв и И. В. Аржанцев), май 2007 г. и май 2008 г.

• на школе-конференции Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов (Самара, Россия), июнь 2009 г.;

• на второй школе-конференции Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов (Москва, Россия), февраль 2011 г.

• на семинаре профессора Х. Фленнера в Университете г. Бохум (Гер мания), апрель 2011 г.

• на международной конференции Lie groups and algebraic groups (Би лефельд, Германия), июль 2011 г.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах ав тора. Список работ приводится в конце автореферата [1–4].

Структура и объём диссертации Диссертация состоит из четырёх глав (первая из которых является ввод ной) и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы на пункты. Список литературы включает в себя 30 наименований. Общий объ ём диссертации составляет 75 страниц.

Краткое содержание работы В первой главе (вводной) приводятся основные понятия, обсуждается история вопроса, формулируются основные результаты диссертации, а так же освещается место полученных результатов в современной теории алгеб раических групп преобразований.

Вторая глава посвящена вычислению расширенных полугрупп стар ших весов для всех односвязных строго неприводимых аффинных сфери ческих однородных пространств непростых полупростых алгебраических групп. Для этой цели сначала в § 2.1 перечисляются некоторые свойства этих полугрупп, упрощающие вычисление последних. В частности, одно из важнейших свойств расширенной полугруппы старших весов односвязного сферического однородного пространства выражено в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 3. Если группа G односвязна, а подгруппа H G связна и сферична, то полугруппа + (G/H) свободна.

Доказательство этой теоремы практически повторяет доказательство предложения 2 работы Д. И. Панюшева19, которое утверждает, что полу группа + (G/H) свободна в том случае, когда группа G односвязна, а под группа H не имеет нетривиальных характеров.

Непосредственно вычисление расширенных полугрупп старших ве сов осуществляется в два этапа. На первом этапе (§ 2.2) рассмат риваются серии пространств (SLn SLn+1 )/(SLn C ) (n 2) и (Spinn Spinn+1 )/ Spinn (n 3), расширенные полугруппы старших ве сов которых удаётся вычислить, используя хорошо известные в теории представлений правила ветвления для специальной линейной и спинор ной групп. Ранг расширенной полугруппы старших весов для пространств первой из упомянутых серий равен 2n, для пространств второй серии он равен n. На втором этапе (§ 2.3) рассматриваются остальные серии про странств (6 серий). Для этих пространств G/H расширенные полугруппы старших весов вычисляются путём нахождения соответствующих им по лугрупповых алгебр. Последние вычисляются при помощи известного в теории инвариантов метода сечений, основу которого составляет процесс приведения элемента g из некоторого плотного открытого подмножества G0 G к каноническому виду при помощи действия группы U H (где U максимальная унипотентная подгруппа группы G действует левы ми сдвигами, H коммутант группы H действует правыми сдвигами).

Panyushev D. I., Complexity and rank of homogeneous spaces, Geometriae Dedicata, 34:3 (1990), 249– 269.

Для всех однородных пространств, рассматриваемых на втором этапе, ранг расширенной полугруппы старших весов не превосходит шести.

Результаты вычисления расширенных полугрупп старших весов пред ставлены в таблице 1.1 диссертации.

Основной целью третьей главы является получение классификации всех с точностью до изоморфизма превосходных аффинных сферических однородных пространств. Отправной точкой для достижения этой цели является приводимая в § 3.1 известная классификация всех с точностью до локального изоморфизма аффинных сферических однородных про странств. Важнейшим элементом этой классификации является общий ме тод построения произвольных аффинных сферических однородных про странств из строго неприводимых пространств указанного типа. Этот ме тод описан О. С. Якимовой6. В свою очередь, все с точностью до локально го изоморфизма строго неприводимые аффинные сферические однородные пространства классифицированы (известен их полный список).

В § 3.2 доказываются следующие две теоремы.

ТЕОРЕМА 4. Пусть G/H почти превосходное сферическое одно родное пространство. Тогда его односвязное накрывающее однородное про странство превосходно.

ТЕОРЕМА 5. Всякое превосходное аффинное сферическое однородное пространство является прямым произведением строго неприводимых превосходных аффинных сферических однородных пространств.

Ввиду теоремы 5 классификация всех с точностью до изоморфизма пре восходных аффинных сферических однородных пространств сводится к классификации строго неприводимых пространств указанного типа, каж дое из которых, в свою очередь, по теореме 4 локально изоморфно одно связному строго неприводимому превосходному аффинному сферическому однородному пространству. Последние легко перечислить, исходя из сле дующих данных:

1) известен полный список односвязных строго неприводимых аффин ных сферических однородных пространств;

2) для всех пространств из этого списка известны их полугруппы стар ших весов (вычисление которых завершено во второй главе диссертации).

Пусть G/H односвязное строго неприводимое аффинное сфериче ское однородное пространство. В случае простой группы G это простран ство превосходно за исключением случаев G = SL2n+1, H = C Sp2n 2) и G = Spin10, H = C Spin7. В случае непростой полупро (n стой группы G, наоборот, это пространство не превосходно за исключе нием случаев G = Sp2n Sp2m, H = Sp2n2 Sp2 Sp2m2 (n, m 1) и G = L L, H = diag L (где L произвольная односвязная полупростая алгебраическая группа).

Полный список односвязных строго неприводимых аффинных сфериче ских однородных пространств содержится в таблицах 1.2 и 1.3 диссертации.

Для завершения классификации превосходных аффинных сферических однородных пространств остаётся решить следующую задачу:

Для каждого известного односвязного строго неприводимого превос ходного аффинного сферического однородного пространства найти все ло кально изоморфные ему однородные пространства, являющиеся превос ходными.

Пусть G/H0 односвязное строго неприводимое превосходное аффин ное сферическое однородное пространство. Без ограничения общности можно считать, что группа G односвязна, а подгруппа H0 связна. Чтобы найти все превосходные аффинные сферические однородные пространства, локально изоморфные G/H0, требуется решить следующие две подзадачи:

1) описать все конечные расширения подгруппы H0 в G (т. е. такие под группы H G, что H 0 = H0 ;

2) среди всех конечных расширений подгруппы H0 выбрать те, которые являются превосходными подгруппами в G.

В § 3.3 приводятся некоторые общие методы, позволяющие решить опи санные выше подзадачи. Соответствующие вычисления для каждого од носвязного строго неприводимого превосходного аффинного сферического однородного пространства осуществлены в § 3.4.

Полный список неодносвязных строго неприводимых аффинных сфери ческих однородных пространств приведён в таблице 1.4 диссертации. Среди этих пространств локально симметрическими являются пространства G/H следующего вида:

1) G = SO8, H конечное расширение индекса 2 подгруппы GL4 G;

2) G = SOn+m, H = S(On Om ), n m 1;

3) G = Sp8, H конечное расширение индекса 2 подгруппы Sp4 Sp4 G;

4) G = SO2n+1 SO2n+1, H = diag SO2n+1, n 1.

Четвёртая глава посвящена обращению теоремы 2 и следствия 1 в случае аффинных сферических однородных пространств. Основным ре зультатом главы является ТЕОРЕМА 6. Пусть G/H аффинное сферическое однородное про странство. Тогда:

(а) если морфизм U равноразмерен, то G/H почти превосходно;

Cr для некоторого r, то (б) если морфизм U равноразмерен и Y G/H превосходно.

Таким образом, гипотеза 1 оказывается верна не только для квазиаф финных орисферических однородных пространств (см. теорему 2(б)), но также и для аффинных сферических однородных пространств.

Из теоремы 2(а), следствия 1(а) и теоремы 6 вытекает следующая гео метрическая характеризация превосходных и почти превосходных аффин ных сферических однородных пространств.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть G/H аффинное сферическое однородное про странство. Тогда:

(а) G/H почти превосходно тогда и только тогда, когда морфизм U равноразмерен;

(б) G/H превосходно тогда и только тогда, когда морфизм U равно Cr для некоторого r.

размерен и Y В § 4.1 доказательство теоремы 6 сводится к доказательству следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 7. Пусть G/H односвязное аффинное сферическое од нородное пространство, для которого морфизм U равноразмерен. Тогда G/H превосходно.

В § 4.2 формулируются и доказываются вспомогательные результаты, необходимые для доказательства теоремы 7. А именно, сначала доказыва ется, что при некоторых ограничениях на однородное пространство G/H нулевой слой морфизма U непуст. Затем рассматриваются симметричные линейные действия торов и устанавливаются некоторые их свойства.

Наконец, § 4.3 посвящён доказательству теоремы 7, которое осуществля ется в два этапа. На первом этапе доказательство сводится к случаю строго неприводимых пространств. На втором этапе перебираются все односвяз ные строго неприводимые аффинные сферические однородные простран ства, не являющиеся превосходными, и для каждого из них проверяется, что морфизм U не равноразмерен.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководите лю профессору Э. Б. Винбергу за постановку задач, многочисленные об суждения и постоянное внимание к работе. Автор благодарит также весь коллектив кафедры высшей алгебры механико-математического факульте та МГУ им. М. В. Ломоносова за творческую атмосферу, способствовавшую научной работе.

Публикации автора по теме диссертации [1] Авдеев Р. С., Расширенные полугруппы старших весов аффинных сфе рических однородных пространств непростых полупростых алгебраи ческих групп, Изв. РАН. Сер. матем., 74:6 (2010), 3–26.

[2] Авдеев Р. С., Превосходные аффинные сферические однородные про странства полупростых алгебраических групп, Труды Моск. матем.

общ-ва, 71 (2010), 235–269.

[3] Авдеев Р. С., Превосходные аффинные сферические однородные про странства полупростых алгебраических групп, Летняя школа конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвари антов". Самара, Россия, 8–15 июня 2009 г. Тезисы докладов. Самара:

Изд-во "Универс групп", 2009, 3–4.

[4] Авдеев Р. С., Геометрическая характеризация превосходности аф финного сферического однородного пространства, Вторая школа конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариан тов". Москва, Россия, 31 января – 5 февраля 2011 г. Тезисы докладов.

Москва: Изд-во "Ол Би Принт", 2011, 5–6.