Андрей владимирович устранимые особенности решений эллиптических уравнений

На правах рукописи

УДК 517.57+517.956 Покровский Андрей Владимирович УСТРАНИМЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 01.01.01 математический анализ 01.01.02 дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва – 2008

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государ ственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Е. П. Долженко, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Кондратьев, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова;

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Миклюков, Волгоградский государственный университет;

доктор физико-математических наук, профессор А. Г. Сергеев, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 27 марта 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании дис сертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном уни верситете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факуль тет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 25 февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ профессор И. Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи о продолжении решений дифферен циальных уравнений с частными производными традиционно привлека ют внимание большого числа исследователей. Центральное место среди них занимают задачи об устранимых особенностях решений дифферен циального уравнения в заданном классе функций. Классическим при мером такой задачи является знаменитая проблема Пенлеве1 об описа нии компактов, устранимых для ограниченных голоморфных функций, т.е. таких компактов на комплексной плоскости, для которых любая ограниченная голоморфная функция, определенная в дополнении дан ного компакта до какой-либо его окрестности, может быть голоморфно продолжена на этот компакт. Проблема Пенлеве приковывала внима ние аналитиков на протяжении всего XX века (Д. Помпейю, А. Данжуа, В. В. Голубев, А. Безикович, А. Берлинг, Л. Альфорс, А. Г. Витушкин, П. Маттила, Г. Давид, М. С. Мельников и др.), но получила окончатель ное решение только в 2001 г.2 Решение этой проблемы оказалось весьма сложным и формулируется в терминах, учитывающих метрические и геометрические свойства множеств. Не приводя его в общем виде, отме тим следующий результат Г. Давида3, непосредственно предшествовав ший завершающей теореме Х. Толсы2 и сформулированный в качестве гипотезы А. Г. Витушкиным еще в начале 1960-х гг.: плоский компакт с конечной длиной по Хаусдорфу устраним для ограниченных голоморф ных функций в том и только том случае, когда почти на всякую прямую он проецируется во множество меры нуль.

Другую постановку задачи об устранимых особенностях голоморф ных функций предложил в докладе на IV Всесоюзном математическом съезде в Ленинграде (1961) Е. П. Долженко4. Он показал, что для го ломорфных функций, удовлетворяющих условию Гельдера с заданным показателем (0, 1), устранимые компакты характеризуются усло вием равенства нулю их хаусдорфовой меры порядка 1 +. Это был первый результат, в котором устранимые особенности решений диффе 1 Painlev P. Sur les lignes singuli`res des fonctions analytiques // Annales de la e e Facult des Sciences de Toulouse. e 2 Tolsa X. Painlev’s problem and the semiadditivity of analytic capacity // Acta e Math. 2003. V. 190. P. 105-149.

3 David G. Unrectiable 1-sets have vanishing analytic capacity // Rev. Mat.

Iberoamer. 2000. V. 14. P. 369-479.

4 Долженко Е.П. О "стирании"особенностей аналитических функций // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18, вып. 4 (112). С. 135-142.

ренциального уравнения с частными производными в заданном классе функций (в данном случае решений уравнения Коши–Римана в клас се Гельдера) полностью описывались в терминах хаусдорфовых мер, и в дальнейшем он получил развитие в работах многих авторов. Так, Л. Карлесон5 установил, что компактные подмножества евклидова про странства Rn, n 2, устранимые для гармонических функций, удо влетворяющих условию Гельдера с показателем (0, 1), полностью описываются условием равенства нулю их хаусдорфовой меры порядка n2+. Это же условие, как показал Е. П. Долженко6,7, характеризует и устранимые особенности гармонических функций в классах Гельдера с показателем гладкости (1, 2).

Дальнейшее продвижение в направлении дополнения сформу лированных выше результатов Е. П. Долженко и Л. Карлесона и их обобщения на более широкие классы линейных дифференци альных уравнений с частными производными связано с работами Р. Харви и Дж. Полкинга8,9, Й. Крала10. Н. Х. Уи11, Б. Ж. Ищанова12, Х. Вердеры13, Х. Матеу и Х. Оробича14, Д. Ульриха15 и других авторов.

В частности, в работах Б. Ж. Ищанова продуктивной оказалась идея классификации суммируемых функций по скорости их локальных при ближений в среднем решениями рассматриваемого дифференциального 5 Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions in Rn // Math. Scand. 1963. V. 12. P. 15-18.

6 Долженко Е.П. О представлении непрерывных гармонических функций в виде потенциалов // Изв. АН СССР. 1964. Т. 28, № 5. С. 1113-1130.

7 Долженко Е.П. Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв.

АН СССР. 1964. Т. 28, № 6. С. 1251-1270.

8 Harvey R., Polking J.C. Removable singularities of solutions of linear partial dierential equations // Acta math. 1970. V. 125, № 1/2. P. 39-56.

9 Polking J.C. A survey of removable singularities // Sem. Nonlinear PDE. New York, 1984. P. 261-292.

10 Krl J. Removable singularities of solutions of semielliptic equations // Rendiconti a de Matematica. 1973. V. 6. № 4. P. 763- 11 Uy N.X. Removable sets of analytic functions satisfying a Lipschitz condition // Ark.

mat. 1979. V. 17. № 1. С. 19-27.

12 Ищанов Б.Ж. Метрические условия для устранимости особых множеств в неко торых классах полигармонических и полианалитических функций // Депонировано в ВИНИТИ АН СССР 14 апреля 1987 г., № 2575-B87.

13 Verdera J. C m -approximations by solutions of elliptic equations and Calderon Zygmund operators // Duke Math. J. 1987. V. 55. № 1. P. 157-187.

14 Mateu J., Orobitg J. Lipschitz approximations by harmonic functions and some applications to spectral synthesis // Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39, № 3. P. 703-736.

15 Ullrich D. Removable sets for harmonic functions // Mich. Math. J. 1991. V. 38, № 3.

P. 467-473.

уравнения, восходящая к работам В. С. Федорова 1920-30 гг. об услови ях моногенности функций комплексного переменного и представлению голоморфных функций интегралом типа Коши. На этом пути он12 вы делил классы локально суммируемых функций, в которых устранимые особенности полианалитических и полигармонических функций полно стью описываются условием равенства нулю их хаусдорфовой меры от носительно произвольно заданной измеряющей функции. Дальнейшие исследования16 привели к обобщению результатов Б. Ж. Ищанова на од нородные уравнения, левая часть которых является квазиоднородным полуэллиптическим оператором с постоянными коэффициентами. При этом выяснилось, что известные результаты о метрической характери зации устранимых множеств для решений таких уравнений в классах Гельдера (вообще говоря, анизотропных) являются следствиями резуль татов об устранимых особенностях в классах, построенных при помощи локальных приближений решениями рассматриваемого уравнения.

В упомянутых выше результатах гладкость коэффициентов эллип тического уравнения играла существенную роль. Она гарантировала совпадение его обобщенных решений с классическими и их принадлеж ность к рассматриваемому классу функций.

Для линейных равномерно эллиптических уравнений с негладкими, в частности, с разрывными коэффициентами, ситуация более сложная, и результаты об устранимых особенностях решений таких уравнений могут существенно отличаться от соответствующих результатов для уравнений с гладкими коэффициентами. Например, легко проверить, что любая не тождественная нулю линейная функция не является обоб щенным решением в Rn уравнения div(a(x) f ) = 0, где a(x) 1 внутри единичного куба Q и a(x) 2 в Rn \ Q. Это означает, что граница еди ничного куба не является устранимым множеством для обобщенных решений рассматриваемого уравнения в классе бесконечно дифферен цируемых функций, в то время как для решений уравнения Лапласа (т.е. для гармонических функций) она устранима уже в классе непре рывно дифференцируемых функций. С другой стороны, Д. Гилбарг и Дж. Серрин17 установили, что, в отличие от дивергентного случая, 16 Покровский А.В. О неизолированных особых точках решений линейных диф ференциальных уравнений с частными производными. Дисс.... к.ф.-м.н. М.: МГУ, 1996.

17 Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of second order elliptic dierential equations // J. d’Analyse Math. 1955-1956. V. 4. P. 309-340. (Пер. на рус. яз.: Сб.

переводов "Математика". 1958. Т. 2. № 6. С. 63-86.) решения однородных линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограничен ными действительными коэффициентами могут иметь изолированные особенности даже в классах Гельдера.

Эти результаты объясняют причину отсутствия метрических крите риев устранимости особых множеств для решений линейных эллипти ческих уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными ко эффициентами: их получение связано как с новыми постановками задач об устранимых особенностях, так и с новыми условиями устранимости.

Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка ос новную массу известных результатов об устранимых особенностях их решений можно условно разделить на две группы. В первой из них, которая восходит к работе Дж. Серрина18, исследуется связь структур ных условий, накладываемых на уравнение, со степенью суммируемости либо допустимым порядком роста его решений вблизи особого множе ства, достаточных для устранимости этого множества. При этом основ ное внимание уделялось случаям, когда особое множество является ли бо изолированной точкой, либо гладким многообразием18,19,20. Вторую группу образуют результаты, в которых исследуется эффект продолжа емости всех решений некоторых квазилинейных эллиптических уравне ний второго порядка из заданной области без условия их принадлеж ности к какому-либо функциональному классу19,2126. Классическим примером такого результата является теорема Л. Берса21 об отсутствии изолированных особенностей у решений уравнения минимальных по 18 Serrin J. Isolated singularities of solutions of quasilinear equations // Acta Math.

1964. V. 111. P. 247-302.

19 Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear elliptic equations.

Addison Wesley Longman Limited, 1996.

20 Скрыпник И.И. Об устранимости особенностей решений нелинейных эллипти ческих уравнений на многообразиях // Матем. сборник. 2003. Т. 194. № 9. С. 91-112.

21 Bers L. Isolated singularities of minimal surfaces // Ann. Math. 1951. V. 53. P. 364 386.

22 De Giorgi E., Stampacchia G. Sulla singolarit` eliminabili delle ipersupercie a minimali // Atti Accad. Naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 1965. V. 38. P. 352-357.

23 Nitsche J.C.C. On new results in the theory of minimal surfaces // Bull. Amer.

Math. Soc. 1965. V. 71. P. 195-270.

24 Miranda M. Sulla singolarit` eliminabili delle soluzioni dell’equazione delle superci a minime // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. IV, 1977, V. 4, P. 129-132.

25 Anzellotti G. Dirichlet problem and removable singularities for functional with linear growth // Boll. Un. Mat. Ital. C(5), 1981. V. 81. P. 141-159.

26 Brezis H., Nirenberg L. Removable singularities for nonlinear elliptic equations // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1997. V. 9. P. 201-219.

верхностей.

Единственный результат о метрической характеризации устранимых множеств был получен для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в работе Т. Килпелайнена и Ч. Жонга27. В этой работе дано обобщение сформулированной выше теоремы Карлесона об устра нимых особенностях гармонических функций в классах Гельдера на ре шения вырождающихся эллиптических уравнений с p-лапласианом.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является получение метрических критериев устранимости множеств особых то чек (замкнутых относительно рассматриваемых евклидовых областей) для решений линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка с измеримыми и ограниченными действительными коэффици ентами и для решений некоторых квазилинейных эллиптических урав нений второго порядка.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории функций нескольких действительных переменных, функцио нального анализа и качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна. Все приведенные в диссертации результаты яв ляются новыми. Основные из них состоят в следующем:

• в классах непрерывных функций и функций с первыми обобщен ными производными получены в терминах хаусдорфовых мер кри терии устранимости множеств особых точек для обобщенных ре шений однородных линейных равномерно эллиптических уравне ний второго порядка в дивергентной форме с измеримыми и огра ниченными действительными коэффициентами;

• в классах непрерывных функций получен метрический критерий устранимости компактных множеств особых точек для слабых ре шений однородных линейных равномерно эллиптических уравне ний второго порядка в недивергентной форме с измеримыми и ограниченными действительными коэффициентами;

• в классах функций с первыми обобщенными производными полу чен в терминах хаусдорфовых мер критерий устранимости мно 27 Kilpelinen T., Zhong X. Removable sets for continuous solutions of quasilinear a elliptic equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130. №6. P. 1681-1688.

жеств особых точек для обобщенных решений квазилинейных эл липтических уравнений второго порядка с p-лапласианом;

• в терминах хаусдорфовых мер получен критерий устранимости множеств особых точек для решений уравнения минимальных по верхностей в гельдеровых классах непрерывно дифференцируе мых функций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит тео ретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседании Московского математического общества и на следу ющих семинарах (в скобках указаны руководители семинара): на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова по теории приближений и граничным свойствам функций (проф.

Е. П. Долженко), теории функций действительного переменного (акад.

РАН П. Л. Ульянов и член-корр. РАН Б. С. Кашин), дифференциаль ным уравнениям с частными производными (проф. В. А. Кондратьев и проф. Е. В. Радкевич) и дифференциальным уравнениям и их при ложениям (проф. М. И. Вишик);

в Математическом институте им.

В. А. Стеклова РАН по теории функций нескольких действительных переменных и ее приложениям (акад. РАН С. М. Никольский, член корр. РАН О. В. Бесов и член-корр. РАН Л. Д. Кудрявцев) и диффе ренциальным уравнениям в частных производных (проф. А. К. Гущин и проф. В. П. Михайлов);

в Институте математики НАН Украины по нелинейному анализу (акад. НАН Украины И. В. Скрыпник и проф. С. Д. Эйдельман ) и комплексному анализу и теории потенциа ла (член-корр. НАН Украины П. М. Тамразов);

в Физико-техническом институте низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины по ма тематической физике (акад. НАН Украины Е. Я. Хруслов);

в Институте прикладной математики и механики НАН Украины по нелинейному анализу (проф. А. А. Ковалевский и проф. А. Е. Шишков);

во Влади мирском государственном педагогическом университете по диффе ренциальным уравнениям (проф. В. В. Жиков и проф. Ю. А. Алхутов), в Финляндии на семинарах по анализу в университетах Йоэнс су (проф. И. Лайне), Ювяскюля (проф. Т. Килпелайнен) и Хельсинки (проф. О. Мартио и проф. М. Вуоринен).

Результаты диссертации докладывались также на следующих меж дународных конференциях: Функциональный анализ и его приложе ния, посвященная 110-летию С. Банаха (Львов, 2002);

Дифференциаль ные уравнения и динамические системы (Суздаль, 2002, 2004, 2006, 2008);

Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Ереван, 2002);

Потенциальные течения и комплексный ана лиз (Киев, 2002);

Функциональные пространства, нелинейный анализ, проблемы математического образования, посвященная 80-летию члена корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2003);

Математический анализ и экономика (Сумы, 2003);

Теория потенциала и течения со сво бодными границами (Киев, 2003);

Геометрический анализ и его при ложения (Волгоград, 2004);

Анализ на метрических пространствах с мерой (Бедлево, Польша, 2004);

Анализ и геометрия, посвященная 75 летию академика РАН Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 2004);

Функ циональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященная 100-летию академика С. М. Никольского (Москва, 2005);

Теория функций, ее приложения и смежные вопросы (Казань, 2005);

Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными (Алушта, 2005);

Течения со свободными границами и смежные вопросы анализа (Киев, 2005);

Анализ и дифференциальные уравнения с част ными производными, посвященная 75-летию профессора Б. Боярско го (Бедлево, Польша, 2006);

Комплексный анализ и теория потенциала (Гебзе, Турция, 2006, спутниковая конференция к Международному ма тематическому конгрессу-2006);

Дифференциальные уравнения и смеж ные вопросы, посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007);

Геометрический анализ и нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными (Бедлево, Польша, 2007);

Боголюбовские чтения-2007, посвященные 90-летию академика Ю. А. Митропольского (Житомир, 2007);

Нелинейные дифференциальные уравнения с частны ми производными, посвященная памяти И. В. Скрыпника (Ялта, 2007);

18-я Крымская осенняя математическая школа (Ласпи-Батилиман, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы без соавторов в 9 работах, список которых приводится в конце авторефера та.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 119 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан исторический обзор известных результатов по те ме диссертационной работы и сформулированы ее главные результаты.

Здесь также приводятся основные определения и обозначения, исполь зуемые в последующих главах. Напомним некоторые из них.

Под функциональным классом в области G Rn в диссертации понимается произвольное непустое подмножество пространства L(G)loc функций, локально суммируемых в G. Если в каждой области G Rn определен некоторый функциональный класс H(G) и при этом для про извольной пары областей G1 G2 Rn сужение на G1 любой функции из H(G2 ) принадлежит классу H(G1 ), то H(G)loc обозначает множе ство всех функций из L(G)loc, сужение которых на любую подобласть G0 G принадлежит классу H(G0 ).

Открытый евклидов шар с центром в точке x Rn и радиусом r обозначается через B(x, r).

Пусть t0 0, g(t) положительная непрерывная неубывающая функция, определенная при 0 t t0, и пусть E множество в Rn. Напомним, что (внешней) мерой Хаусдорфа mesg E множества E относительно измеряющей функции g называется конечный или рав ный + предел при t 0 величины inf ( i g(ri )), где точная ниж няя грань берется по всем не более чем счетным множествам открытых шаров {B(xi, ri )}i с ri t, образующих покрытие множества E. Если g(t) = t, 0, то хаусдорфова мера множества E отосительно изме ряющей функции g называется мерой Хаусдорфа порядка множества E и обозначается mes E.

Предположим, что в области G Rn, n 2, задано множество E, замкнутое относительно этой области, функциональный класс H(G) и класс AP (G), состоящий из всех решений дифференциального уравне ния в частных производных P f = 0, при этом AP (G) H(G) = (во всех конкретных случаях, которые будут рассматриваться ниже, мы бу дем уточнять требования на класс H(G), дифференциальное уравнение P f = 0 и то, в каком смысле понимаются решения этого уравнения).

Будем говорить, что множество E является устранимым для реше ний уравнения P f = 0 в классе H(G), если каждая функция из это го класса, являющаяся решением уравнения P f = 0 на множестве G \ E, может быть продолжена с G \ E на G до функции из класса AP (G) H(G).

В главе 1 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в дивергентной форме.

Пусть G ограниченная область в Rn, n 2, n n n Lf = i (aij (x)j f ) + i (bi (x)f ) + ci (x)i f + d(x)f i,j=1 i=1 i= (i f = f /xi ) линейный дифференциальный оператор с измеримы ми ограниченными коэффициентами aij (x) aji (x), bi (x), ci (x) и d(x) в области G (i, j = 1,..., n), удовлетворяющий следующему условию равномерной эллиптичности: существует такое (0, 1], что для всех Rn и для почти всех x G выполняется неравенство n ||2 aij (x)i j 1 ||2. (1) i,j= Наибольшее такое называется, как обычно, постоянной эллиптично сти оператора L и обозначается через L.

Под обобщенным решением уравнения Lf = 0 в области G мы понимаем, как всегда, функцию из соболевского класса W 1,2 (G)loc (= W2 (G)loc ), удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. По теореме Де Джорджи и Нэша каждая такая функция непрерывна и локально гельдерова в G с некоторым показате лем, зависящем только от размерности n и постоянной эллиптичности L. Множество всех обобщенных решений уравнения Lf = 0 в области G обозначим через AL (G).

Предположим, что для любой неотрицательной функции C0 (G) n bi (x)i (x) dx 0. Тогда справедливо неравенство (d(x)(x) G i= для каждого шара B(x, r) G и для любой функции f W 1,2 (B(x, r)) существует единственная функция fL,x,r W 1,2 (B(x, r)) AL (B(x, r)), 1, удовлетворяющая условию f fL,x,r W0 (B(x, r)).

Пусть h(t) непрерывная положительная неубывающая функция, определенная при t 0 и такая, что при некотором 0 функция t(n/21+) h(t) не убывает. Будем говорить, что функция f принадле жит классу W (L, G, h), если f W 1,2 (G)loc и существует такая постоян ная C 0, что для любого шара B(x, r) G выполняется неравенство 28 Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с част ными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

1/ fL,x,r |2 dy | f Ch(r) ( f = (1 f,..., n f )).

B(x,r) Пусть E подмножество области G, замкнутое относительно нее, и пусть функция g(t) определена при t 0 равенством g(t) := tn/21 h(t).

В принятых обозначениях и при сделанных выше предположениях имеет место следующая теорема.

Теорема 1.1. Множество E устранимо для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе W (L, G, h)loc тогда и только тогда, когда выполнено условие mesg E = 0.

Во всех последующих теоремах первой главы предполагается, что n оператор L не содержит младших членов: Lf = i (aij (x)j f ). Да i,j= лее, как обычно, через C (G) и C 1, (G) (0 1) обозначаются со ответственно множество всех функций, удовлетворяющих в области G условию Гельдера с показателем и множество всех непрерывно диф ференцируемых функций в G, градиент которых принадлежит C (G).

При h(t) = tn/2+, 1, вместо W (L, G, h) мы будем писать WL (G).

В теореме 1.2 показано, что при 0 1 для оператора L с коэффициентами из C (G)loc имеет место совпадение функциональ ных классов WL (G)loc и C 1, (G)loc. Отсюда и из теоремы 1.1 следует, что в этом случае условие mesn1+ E = 0 характеризует устранимость множества E для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе C 1, (G)loc (теорема 1.4). Для оператора Лапласа теорема 1.4 дает упомянутый выше результат Е. П. Долженко6,7.

В теореме 1.3 для оператора L с непрерывными коэффициента ми в G показано, что при 1 0 для произвольной подобла сти G0 G и для любой функции f WL (G)loc конечна величи rn2 | f |2 dy. По теореме вложения Морри29 это на sup B(x,r) G0 (B(x,r) 1+ означает, что f C (G)loc. Поэтому из теорем 1.1 и 1.3 вытека ет, что при 0 1 и непрерывности коэффициентов оператора L в области G равенство mesn2+ E = 0 является необходимым усло вием устранимости множества E для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе C (G)loc. Это же условие, как показали Т. Килпелайнен и Ч. Жонг27, обеспечивает устранимость множества E для обобщенных 29 Giaquinta M. Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems. Princeton Univ. Press, Princeton, 1983.

решений уравнения Lf = 0 в классе C (G)loc, 0 1, при этом непрерывность коэффициентов оператора L здесь не нужна. Значит, если 0 1 и коэффициенты оператора L непрерывны в области G, то условие mesn2+ E = 0 полностью описывает устранимые мно жества для обобщенных решений уравнения Lf = 0 в классе C (G)loc (теорема 1.5). Для оператора Лапласа теорема 1.5 дает упомянутый выше результат Л. Карлесона5.

В следующих теоремах первой главы предполагается, что L опе ратор без младших членов с измеримыми ограниченными коэффициен тами в области G.

непрерывная функция в G. Тогда28 для каждого шара Пусть f B(x, r) G существует единственная функция fL,x,r AL (B(x, r)), которая непрерывно продолжается на границу этого шара и имеет там граничные значения, совпадающие со значениями функции f.

Пусть 0. Будем говорить, что функция f принадлежит классу UL (G), если она непрерывна в области G и существует такая постоянная C 0, что для любого шара B(x, r) G выполняется неравенство sup |f fL,x,r | Cr.

B(x,r) В следующей теореме K компакт в G.

Теорема 1.6. Пусть 0 2. Компакт K устраним для обоб щенных решений уравнения Lf = 0 в классе UL (G) тогда и только n2+ тогда, когда выполняется условие mes K = 0.

Для дальнейшего изложения напомним, что класс Зигмунда Z(G) состоит, по определению, из всех непрерывных функций f в области G для которых конечна величина sup |h|1 |f (x h) 2f (x) + f (x + h)|, где точная верхняя грань берется по всем x G и h Rn \ {0} таким, что замкнутый отрезок с концами x h и x + h целиком лежит в G;

класс Гельдера–Зигмунда (G), 0 2, определяется равенствами (G) = C (G) и 1+ (G) = C 1, (G) при 0 1, 1 (G) = Z(G).

Отметим16,30, что для оператора Лапласа класс функций U (G)loc совпадает при 0 2 с классом (G)loc, поэтому в теореме 1. содержатся известные критерии устранимости компактов для гармони ческих функций, установленные в работах Л. Карлесона5 (0 1), Е. П. Долженко6,7 (1 2), Д. Матеу и Д. Оробича14 и Д. Ульриха 30 Покровский А.B. Классы функций, определяемые с помощью локальных при ближений решениями гипоэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 394-413.

( = 1).

Чтобы сформулировать следующий результат, введем обозначение:

если функция f непрерывна на замыкании шара B(x, r), то ее колебание на этом шаре определяется равенством oscB(x,r) f := sup f inf f.

B(x,r) B(x,r) Тогда упомянутая выше теорема Де Джорджи и Нэша может быть сформулирована таким образом28 : для любой тройки концентрических шаров B(x, r) B(x, R) B(x, R0 ) G с R 1 и для любой функции f AL (B(x, R0 )) справедливо неравенство r oscB(x,r) f C oscB(x,R) f, (2) R где C 0 и (0, 1) зависят только от размерности n и постоянной эллиптичности L.

Из принципа максимума для обобщенных решений рассматриваемо го уравнения вытекает, что при всех (0, 1) имеет место включение C (G)loc UL (G)loc. В теореме 1.7 показано, что при 0, где гельдеров показатель в только что приведенной формулировке тео ремы Де Джорджи и Нэша, это включение превращается в равенство функциональных классов C (G)loc = UL (G)loc.

Теорема 1.6 дополняется теоремой 1.8, в которой получено обобще ние на решения уравнения Lf = 0 известной теоремы И. И. Привалова о достаточном условии гармоничности непрерывной функции в терми нах введенных им верхнего и нижнего обобщенных параметров Лапла са. Из теоремы 1.8 следует, что при 2 класс UL (G)loc состоит только из обобщенных решений уравнения Lf = 0 в области G.

При сравнении теорем 1.1 и 1.6 естественно возникает вопрос о свя 1+ зи между классами функций WL (G)loc и UL (G)loc. Ответ на него дает теорема 1.9, в которой при всех 1 установлено включение 1+ WL (G)loc UL (G)loc, становящееся при 0 равенством функцио 1+ нальных классов WL (G)loc = UL (G)loc.

В главе 2 рассматриваются линейные равномерно эллиптические уравнения второго порядка в недивергентной форме.

n 2f Пусть Lf = aij (x)ij f ij f = линейный диффе xi xj i,j= ренциальный оператор второго порядка с измеримыми ограниченными действительными коэффициентами aij (x) aji (x) в Rn (i, j = 1,..., n), 31 Привалов И.И. Субгармонические функции. М.: ОНТИ, 1937.

такой, что при некотором (0, 1] для всех Rn и для почти всех x Rn выполняется условие равномерной эллиптичности (1). Наи большее такое называется, как обычно, постоянной эллиптичности оператора L и обозначается через L.

Возьмем произвольным образом ограниченную область G Rn с гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей G, непрерывную функцию g, определенную на G, и последовательность дифференци n (k) альных операторов Lk f = aij (x)ij f, k N, такую, что все ко i,j= (k) эффициенты aij (x) определены и бесконечно дифференцируемы в Rn, операторы Lk равномерно эллиптичны в Rn с постоянными эллиптич ности Lk L (k N), и для любых i, j {1,..., n} последователь (k) ность функций {aij (x)}kN сходится при k к функции aij (x) по чти всюду в G. Тогда28 для каждого k N существует единственная функция fk, которая непрерывна на замкнутой области G, бесконечно дифференцируема внутри нее и такая, что Lk fk 0 в G, fk g на G.

Н. В. Крылов и М. В. Сафонов32 показали, что из последовательности функций {fk }kN можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на G. Следуя М. В. Сафонову33, мы называем предел та кой подпоследовательности слабым решением задачи Дирихле Lf = в G, f = g на G. Будем говорить, что оператор L обладает свойством слабой единственности, если для любой области G с гладкой границей и для любой непрерывной функции g на G эта задача Дирихле имеет единственное слабое решение.

Понятие слабой единственности было введено Н. В. Крыловым34, ко торый доказал, что если замыкание множества точек разрыва коэффи циентов оператора L не более чем счетно, то этот оператор облада ет свойством слабой единственности. М. В. Сафонов35 установил сла бую единственность оператора L в предположении, что множество то чек разрыва его коэффициентов замкнуто и имеет достаточно малую 32 Крылов Н.В., Сафонов М.В. Некоторое свойство решений параболических урав нений с измеримыми коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44.

№ 1. С. 161-175.

33 Safonov M.V. Nonuniqueness for second-order elliptic equations with measurable coecients // SIAM J. Math. Anal. 1999. V. 30. № 4. P. 879-895.

34 Krylov N.V. On one-point weak uniqueness for elliptic equations // Comm. in PDE.

1992. V. 17. № 11-12. P. 1759-1784.

35 Safonov M.V. On a weak uniqueness for some elliptic equations // Comm. in PDE.

1994. V. 19. № 5-6. P. 943-957.

хаусдорфову размерность (зависящую от n и L ). C другой стороны, Н. С. Надирашвили36 показал, что, в отличие от случая n = 2, слабая единственность для оператора L может нарушаться при n 3.

Для формулировки основной теоремы второй главы нам потребуется следующий результат Л. Эскуриазы37 : оператор L обладает свойством слабой единственности в том и только том случае, когда существует единственная неотрицательная функция WL L(Rn )loc такая, что C0 (Rn ), WL (x)L(x) dx = 0 WL (x)dx = 1. (3) B(0,1) Всюду ниже мы считаем, что для оператора L выполнено свойство слабой единственности в Rn, а неотрицательная функция WL L(Rn )loc удовлетворяет условиям (3).

WL (y) dy (x Rn, r 0). На Пусть 0, WL (B(x, r)) := B(x,r) зовем (внешней) L-мерой порядка множества E Rn и обозначим через mes E конечный или pавный + пpедел пpи t 0 величины L n inf j rj WL B(xj, rj ), где точная нижняя грань беpется по всем не более чем счетным системам шаpов {B(xj, rj )}j c rj t, обpазующих покpытие множества E.

Под слабым решением уравнения Lf = 0 в области G мы будем по нимать непрерывную в этой области функцию g, которая внутри любой подобласти G0 G с гладкой границей совпадает со слабым решением задачи Дирихле Lf = 0 в G0, f = g на G0. Множество всех таких функций мы обозначаем через AL (G).

Пусть G ограниченная область в Rn, K компакт в G. Заменяя в определении класса UL (G) из главы 1 обобщенные решения уравнения Lf = 0 на слабые решения уравнения Lf = 0, мы получаем определение функционального класса UL (G).

В принятых выше обозначениях сформулируем основной результат второй главы диссертации.

Теорема 2.1. Пусть 0 2. Компакт K устраним для слабых решений уравнения Lf = 0 в классе UL (G)loc тогда и только тогда, 36 Nadirashvili N.S. Nonuniqueness in the martingale problem and the Dirichlet problem for uniformly elliptic equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4).

1997. V. 24. № 3. P. 537-550.

37 Escauriaza L. Bounds for the fundamental solutions of elliptic and parabolic equations in nondivergence form // Comm. in PDE. 2000. V. 25. № 5-6. P. 821-845.

когда выполнено условие mesn2+ K = 0.

L Для оператора Лапласа функция W (x) является, очевидно, неот рицательной и не тождественной нулю гармонической функцией в Rn, и, по односторонней теореме Лиувилля, она есть положительная по стоянная. Отсюда следует, что мера mes E совпадает с точностью до постоянного множителя, не зависящего от множества E Rn, с мерой mes E. Поэтому (см. комментарий после формулировки теоремы 1.6) в теореме 2.1 содержатся известные критерии устранимости компактов для гармонических функций57,14,15.

Прежде чем излагать дальнейшие результаты работы, проиллюстри руем применение теоремы 2.1 на упомянутом выше примере Д. Гилбарга и Дж. Серрина17.

Пример 2.1. Пусть n 2, n 2, = n+2, и пусть коэффици 1+ n енты оператора Lf = i,j=1 aij (x)ij f заданы в Rn \ {O} (O начало координат в Rn ) равенствами aij (x) := ij + xi xj |x|2, где ij сим вол Кронекера: ij = 1 при i = j, ij = 0 при i = j (i, j = 1,..., n).

Тогда 0 1, оператор L равномерно эллиптичен и удовлетворя ет условию слабой единственности в Rn, и непосредственная проверка показывает, что функция 1 |x| является классическим (и, следова тельно, слабым) решением уравнения Lf = 0 в Rn \ {O}, а ее сужение на единичный шар B := B(0, 1) принадлежит классам C (B) и UL (B) (поскольку C (B) UL (B) при 0 1).

С другой стороны, как показал Л. Эскуриаза37, функция WL (x) с точностью до постоянного положительного множителя, зависящего (n1) лишь от n и, совпадает в Rn с функцией |x| 1+. Отсюда следует, (n1) что функция WL (B(0, r)) (r 0) совпадает с функцией cr 1+ +n, где c постоянный положительный множитель, зависящий только от n и. Поэтому для любого r 0 справедливы равенства (n1) n+ 1+ 2+n 1+ r(n2+)n WL (B(0, r)) = cr = cr0 = c. (4) Воспользуемся теперь результатом П. Бауман38 о том, что функция WL (B(x, r)) удовлетворяет при всех x Rn и r (0, 1] условию удво ения WL (B(x, 2r)) C · WL (B(x, r)), где положительная постоянная C 38 Bauman P. A Wiener test for nondivergence structure, second-order elliptic equations // Indiana Univ. Math. J. 1985. V. 34. № 4. P. 825-844.

зависит только от n и L. Отсюда вытекает, что при проверке усло вия mesn2+ K 0 можно без уменьшения общности предполагать, L что центры всех шаров покрытий в определении L-меры принадлежат множеству K. Следовательно, цепочка равенств (4) означает, что для множества K = {O} выполняется условие mesn2+ K 0, и, по тео L реме 2.1, это множество не является устранимым для слабых решений уравнения Lf = 0 в классе UL (B).

Проведенные вычисления показывают также, что для всех справедливо равенство mesn2+ K = 0. Поэтому при компакт L K = {O} является устранимым для слабых решений уравнения Lf = в классе UL (B).

В упомянутой работе П. Бауман38 было также показано, что функ ция WL (x) не может обращаться в нуль на множестве положительной лебеговой меры в Rn. Это означает, что условия mesn K = 0 и mesn K = L эквивалентны, поэтому устранимость компакта K для слабых решений уравнения Lf = 0 в классе UL (G) характеризуется условием равенства нулю его меры Лебега.

Для дальнейшего изложения нам потребуется следующая теорема Н. В. Крылова и М. В. Сафонова32 о локальной гельдеровости слабых решений уравнения Lf = 0: для произвольной тройки концентрических шаров B(x, r) B(x, R) B(x, R0 ) с R 1 и для любой функции f AL (B(x, R0 )) справедливо неравенство (2), где C 0 и (0, 1] зависят только от n и L.

Из хорошо известного описания классов Гельдера–Зигмунда (G)loc при 0 2 в терминах локальных приближений линейны ми функциями39 и из принципа максимума для слабых решений урав нения Lf = 0 вытекает включение (G)loc UL (G)loc (0 2).

В теореме 2.2 показано, что при 0, где гельдеров пока затель в приведенной выше формулировке теоремы Крылова и Сафо нова, это включение становится равенством функциональных классов (G)loc = UL (G)loc. Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает теорема 2.3, даю щая критерий устранимости компактов для слабых решений уравнения Lf = 0 в классах Гельдера с малым показателем гладкости.

Теорему 2.1 дополняет теорема 2.4, в которой получено обобще ние на слабые решения уравнения Lf = 0 упомянутой выше теоремы И. И. Привалова31 о достаточном условии гармоничности непрерывной 39 Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в про странствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998.

функции. Из теоремы 2.4 следует, что при 2 класс UL (G)loc содер жит только слабые решения уравнения Lf = 0 в области G.

В теореме 2.5 показано, что при n 3 и 0 2 выполнение равенства mesn2+ K = 0 является достаточным условием устранимо сти компакта K для классических решений уравнения Lf = 0 в классе UL (G)loc, если только коэффициенты оператора L непрерывны по Дини в области G (в этом случае множества слабых и классических решений этого уравнения совпадают40 ).

В главе 3 рассматриваются квазилинейные эллиптические уравне ния второго порядка.

В первой ее части изучаются устранимые множества для решений уравнения div(| f |p2 f ) = 0, 1 p. Под решением этого уравне ния в области G мы понимаем, как обычно, функцию из соболевского класса W 1,p (G)loc (= Wp (G)loc ), удовлетворяющую этому уравнению в смысле равенства обобщенных функций. Множество всех таких функ ций обозначим через Ap (G), а его элементы будем называть, как обычно, p-гармоническими функциями. Хорошо известно41,42,43, что каждая p гармоническая функция принадлежит классу C 1, (G)loc, где (0, 1) зависит только от n и p.

Если f W 1,p (G)loc, то44 для каждого шара B(x, r) G существует единственная функция fx,r W 1,p (B(x, r)) Ap (B(x, r)), удовлетворя 1,p ющая условию f fL,x,r W0 (B(x, r)).

Пусть 0. Будем говорить, что функция f принадлежит классу A (G), если f W 1,max{2,p} (G)loc и существует такая постоянная C 0, p что для каждого шара B(x, r) G выполняется неравенство fx,r |2 dy Crn+2.

| f B(x,r/2) В главе 3 всюду предполагается, что G ограниченная область в Rn, n 2, а E множество, замкнутое относительно G.

40 Иванович М.Д. О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка // Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. 1966. Вып. 3. С. 37-47.

41 Уральцева Н.Н. Вырождающиеся квазилниейные эллиптические системы // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 184-222.

42 DiBenedetto E. C 1+ local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlinear Analysis. 1983. V. 7. № 8. P. 827-850.

43 Tolksdorf P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations // Journ. of Di. Equations. – 1984. V. 51. P. 126-150.

44 Heinonen J., Kilpelinen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate a elliptic equations. Oxford: Oxford University Press, 1993.

В принятых обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть 1 p и 0 1. Множество E устра нимо для p-гармонических функций в классе A (G)loc тогда и только p тогда, когда выполнено условие mesn1+ E = 0.

Отметим, что из доказательства теоремы 3.1 вытекает, что при класс A (G)loc совпадает с множеством всех p-гармонических функций p в области G.

Для изложения дальнейших результатов введем обозначение: если x Rn, r 0 и f L2 (B(x, r)), то 1 1/ |f (y) fB(x,r) |2 dy osc2 (f, x, r) :=, n := dy, n rn B(x,r) B(0,1) где fB(x,r) среднее значение функции f по шару B(x, r). Тогда теорема о гельдеровости градиента p-гармонической функции может быть сформулирована в следующей форме, предложенной в работе Э. ДиБенедетто и Х. Манфреди45 : существуют (0, 1] и 0, за висящие только от n и p, такие, что для произвольной тройки концен трических шаров B(x, r) B(x, R) B(x, R0 ) и для любой функции f Ap (B(x, R0 )) выполняется неравенство r osc2 ( f, x, r) osc2 ( f, x, R). (5) R В последующих результатах третьей главы = (n, p) является гельде ровым показателем p-гармонической функции в представленной фор мулировке.

В теореме 3.2 показано, что при всех при p 2 и (0, 1) справед ливо включение C 1, (G)loc A (G)loc, которое остается в силе и при p 1 p 2, если в нем заменить класс C 1, (G)loc его подклассом, состоя щем из функций, имеющих ненулевой градиент всюду в области G. В об ратном направлении эта теорема устанавливает, что при всех p (1, ) и (0, (n, p)) имеет место включение A (G)loc C 1, (G)loc.

p С другой стороны, П. Линдквист и П. Ютинен46 показали, что каж дая непрерывно дифференцируемая функция f в области G, p-гармо 45 DiBenedetto E., Manfredi J. On the higher integrability of the gradient of weak solutions of certain degenerate elliptic systems // Amer. Journ. of Math. 1993. V. 115.

P. 1107-1134.

46 Juutinen P., Lindqvist P. A theorem of Rad’s type for the solutions of a quasi-linear o equation // Math. Research Letters. 2004. V. 11. P. 31-34.

ническая на множестве G \ { f = 0}, является p-гармонической и в G.

Сравнивая этот результат с теоремами 3.1 и 3.2, заключаем, что при всех p (1, ) и (0, 1) условие mesn1+ E = 0 достаточно, а при (n, p) необходимо и достаточно для устранимости множества E для p-гармонических функций в классе C 1, (G)loc (теорема 3.3).

При p = 2 неравенство (5) выполняется с = 1, поэтому теорема 3.3 содержит в себе результат Е. П. Долженко6,7 об устранимых осо бенностях гармонических функций. Теорему 3.3 интересно сравнить с упоминавшейся выше теоремой Т. Килпелайнена и Ч. Жонга27, кото рая утверждает, что при всех p (1, ) и (0, 1) таких, что n p + (p 1) 0, множество E устранимо для p-гармонических функций в классе C (G)loc тогда и только тогда, когда выполняется условие mesnp+(p1) E = 0. Совершенно очевидно, что при p = 2 за висимость критической размерности Хаусдорфа от и p имеет в этих теоремах разный характер: у Т. Килпелайнена и Ч. Жонга она зависит от p, а в теореме 3.3 нет.

Во второй части главы 3 рассматривается уравнение минимальных поверхностей div (1 + | f |2 )1/2 f = 0. Под решением этого уравне ния понимается, как обычно, дважды непрерывно дифференцируемая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Следующая теорема является основным результатом третьей главы диссертации.

Теорема 3.4. Пусть 0 1. Множество E устранимо для ре шений уравнения минимальных поверхностей в классе C 1, (G)loc то гда и только тогда, когда выполнено условие mesn1+ E = 0.

В связи с формулировкой этой теоремы напомним, что условие mesn1 E = 0 является достаточным для того, чтобы всякое решение уравнения минимальных поверхностей, определенное в G \ E, продол жалась (как решение этого уравнения) на G (подчеркнем, что здесь не требуется никаких условий на поведение решений вблизи E). Для слу чая, когда множество E состоит только из изолированных точек этот результат был установлен Л. Берсом21, при n = 2 Й. Ниче23, для ком пактных множеств E Э. Де Джорджи и Г. Стампаккья22, в общем слу чае М. Мирандой24.

Отметим, что основную сложность в доказательстве теоремы 3. представляет проверка необходимости условия mesn1+ E = 0 для устранимости множества E. В диссертации она преодолевается при по мощи применения теоремы Шаудера о неподвижной точке.

В теореме 3.5 дано обобщение теоремы 3.4 на более широкий класс квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Не приводя определения этого класса, укажем, что к нему принадлежат уравне ние капиллярности div (1 + | f |2 )1/2 f + cf = 0 (c = const 0), уравнение Эмдена–Фаулера f |f |p1 f = 0 при p 2 и уравнение f f | f |2 = 0.

В главе 4 рассматриваются линейные дифференциальные уравне ния (не обязательно эллиптические) с гладкими коэффициентами.

Пусть P линейный дифференциальный оператор порядка m, ко эффициенты которого являются m раз непрерывно дифференцируемы ми функциями в области G Rn (принимающими, вообще говоря, ком плексные значения). Под слабым решением уравнения P f = 0 понима ем, как обычно, локально суммируемую функцию, удовлетворяющую этому уравнению в смысле распределений по Л. Шварцу.

Пусть 1 p, s 0, f L(G)loc. Для шара B(x, r) G обо значим E[s] (f, x, r) := inf rn |f (y) g(y)|dy : g P[s], где [s] B(x,r) целая часть s, P[s] множество всех алгебраических полиномов степе ни не выше [s] (по совокупности переменных). Определим в области G максимальную функцию Ms f (x) := sup rs E|s| (f, x, r). По опреде B(x,r) G s лению, функция f принадлежит классу Cp (G)loc, если Ms f Lp (G)loc (отметим, что последнее условие обеспечивает принадлежность f к Lp (G)loc ). В случае натурального s можно определить в области G sup rs Es (f, x, r), еще одну максимальную функцию: Ms f (x) := B(x,r) G где Es (f, x, r) обозначает усредненную по мере Лебега величину наи лучшего приближения в среднем функции f на шаре B(x, r) простран ством алгебраических полиномов степени не выше s 1. По теореме А. Кальдерона47 функция f принадлежит классу Соболева Wp (G)loc то s гда и только тогда, когда Ms f Lp (G)loc, откуда вытекает включение s s Wp (G)loc Cp (G)loc.

Классы функций Cp (G)loc были введены Р. Шарпли и Р. ДеВором48, s 47 Kaldern A.P. Estimates for singular integral operators in terms of maximal o functions // Studia Math. 1972. V. 44. P. 167-186.

48 Sharpley R., DeVoor R. Maximal functions measuring smothness // Mem. Amer.

Math. Soc. 1984. V. 47. № 293. P. 1-113.

и независимо, Б. Боярским49. Позднее Х. Трибель50 показал, что эти классы содержатся в шкале пространств Лизоркина–Трибеля Ls (G)loc p,q при q = : Cp (G)loc = Ls (G)loc.

s p, Основным результатом главы 4 является следующая теорема.

Teopeма 4.1. Пусть 1 p, s 0, q = p/(p 1), n q(m s) n, и пусть E множество, замкнутое относитель но области G, с mesnq(ms) E. Тогда E устранимо для слабых s решений уравнения P f = 0 в классе Cp (G)loc.

Эта теорема обобщает и распространяет на нецелые показатели глад кости известный результат Р. Харви и Дж. Полкинга8, которые при це лом s в условиях теоремы 4.1 установили устранимость множества E s для слабых решений уравнения P f = 0 в классе Соболева Wp (G)loc.

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему учителю и научному консультанту профессору Евгению Проко фьевичу Долженко за многочисленные обсуждения представленных в диссертации результатов и постоянную поддержку в работе.

49 Bojarski B. Sharp maximal operator of fractional order and Sobolev imbedding inequalities // Bull. Polish Acad. Sci. Math. 1985. V. 33. № 1-2. P. 7-16.

50 Triebel H. Local approximation spaces // Ztschr. Anal. und Anwend. 1989. Bd. 8.

H. 3. S. 261-288.

Основные публикации автора по теме диссертации (из официального перечня ВАК) 1. Покровский А.В. Устранимые особенности решений дивергентных эллиптических уравнений второго порядка // Мат. заметки. 2005.

Т. 77. Вып. 3. C. 424-433.

2. Покровский А.В. Устранимые особенности слабых решений линей ных дифференциальных уравнений с частными производными // Мат. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 4. C. 584-591.

3. Покровский А.В. Устранимые особенности решений квазилиней ных эллиптических уравнений второго порядка // Доклады РАН.

2005. Т. 401. вып. 1. C. 27-29.

4. Покровский А.В. Устранимые особенности p-гармонических функ ций // Дифф. уравнения. 2005. Т. 41. № 7. C. 897-907.

5. Покровский А.В. Устранимые особенности решений уравнения ми нимальных поверхностей // Функц. анализ и его приложения.

2005. Т. 39. Вып. 4. C. 62-68.

6. Покровский А.В. Устранимые особенности решений нелиней ных эллиптических уравнений // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62.

Вып. 3 (375). C. 215-216.

7. Покровский А.В. Локальные аппроксимации решениями эллипти ческих уравнений второго порядка и устранимые особенности // Доклады РАН. 2007. Т. 417. № 5, C. 597-600.

8. Покровский А.В. Устранимые особенности решений линейных рав номерно эллиптических уравнений второго порядка // Функц.

анализ и его приложения. 2008. Т. 42. Вып. 2. С. 44-55.

9. Покровский А.В. Устранимые особенности решений линейных рав номерно эллиптических уравнений второго порядка в недивер гентной форме // Мат. сборник. 2008. Т. 199. № 6. С. 136-159.

Публикации, примыкающие к основным 1. Покровский А.В. Теоремы о среднем для решений линейных диф ференциальных уравнений с частными производными // Мат. за метки. 1998. Т. 64. № 2. С. 260-272.

2. Покровский А.В. Локальные аппроксимации решениями гипоэл липтических уравнений и устранимые особенности // Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 1, C. 15-17.

3. Покровский А.В. Об устранимых особенностях решений однород ных эллиптических уравнений в классах Никольского–Бесова // Доклады РАН. 2001. Т. 380. № 2. C. 168-171.

4. Покровский А.В. Устранимые особенности решений эллиптиче ских уравнений второго порядка // Доповiдi НАН Укра ни. 2004.

№ 11. C. 38-42.

5. Покровский А.В. Устранимые особенности решений эллиптиче ских уравнений // Труды Матем. центра им. Н. И. Лобачевского.

2005. Т 30. (Теория функций, ее приложения и смежные вопросы.

Материалы Седьмой международной Казанской летней школы конференции.) C. 128-132.

6. Покровский А.B. Классы функций, определяемые с помощью локальных приближений решениями гипоэллиптических уравне ний // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 394-413.

7. Покровский А.B. Обобщение теоремы И. И. Привалова об эквива лентном определении гармонической функции // Збiрник праць Iнституту математики НАН Украни. 2006. Т. 3, № 4. С. 411-415.

8. Покровский А.В. Устранимые особенности решений эллиптиче ских уравнений // Современная математика и ее приложения.

2007. Т. 57. (Труды международной конференции по дифферен циальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2006.) С. 54-72.

9. Покровский А.В. Устранимые особенности решений полуэллипти ческих уравнений // Дифф. уравнения. 2009. Т. 45. № 2. С. 203-210.