Учреждение образования гродненский государственный университет имени янки купалы удк 517.925 кулеш елена евгеньевна к теории нелинейных уравнений в частных производных с подвижными полярными особеннос
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы УДК 517.925 Кулеш Елена Евгеньевна К ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПОДВИЖНЫМИ ПОЛЯРНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ 01.01.02 – дифференциальные уравнения Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Гродно - 2005 Работа выполнена в Учреждении образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Мартынов И.П., Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, кафедра математического анализа Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Юрчук Н.И., Белорусский государственный университет, механико-математический факультет;кандидат физико-математических наук, доцент Денисов В.С., Учреждение образования Витебский государственный технологический университет, кафедра теоретической и прикладной механики Оппонирующая организация: Государственное научное учреждение Институт технологии металлов НАН Беларуси Защита состоится 13 января 2006 г. в 10 часов на заседании со вета по защите диссертаций К 02.14.02 при ГрГУ им. Я. Купалы по адресу: 230023 г. Гродно, ул. Ожешко, 22, тел. учного секретаря е 74-43-76.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГрГУ им.
Я. Купалы.
Автореферат разослан "" 2005 года Ученый секретарь совета по защите диссертаций К 02.14.02 В.А.Пронько ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации. Решению задачи выделе ния уравнений и систем со свойством Пенлеве, а также изучению аналитических свойств их решений, посвящены работы Пенлеве П., Fuchs L., Gambier B., Carnier R., Еругина Н.П., Голубева В.В., Лу кашевича Н.А., Яблонского А.И., Громака В.И., Мартынова И.П., Цегельника В.В. и многих других авторов. После того как Weiss J., Tabor M., Carnevale G. распространили анализ Пенлеве на уравнения с частными производными, свойство Пенлеве стало служить основой классификации и приведения к каноническому виду не только нели нейных обыкновенных дифференциальных уравнений, но и нели нейных уравнений с частными производными. Важность выделения и исследования уравнений и систем со свойством Пенлеве связана также с вопросами построения преобразований Беклунда, позволяю щих, в частности, по известным решениям одного уравнения строить решения другого. Однако развитие теории уравнений и систем типа Пенлеве важно не только как решение чисто математической задачи.
Указанная теория находит применение во многих областях естество знания. В настоящее время теория уравнений и систем типа Пен ленве развивается особенно активно благодаря обнаруженной связи между нелинейными дифференциальными уравнениями с частными производными, разрешимыми методом обратной задачи рассеяния, и обыкновенными дифференциальными уравнениями со свойством Пенлеве. Таким образом, развитие теории уравнений и систем ти па Пенлеве является важным направлением аналитической теории дифференциальных уравнений. Недостаточная разрешённость мно гих вопросов в области нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными в этом направлении определила выбор темы диссертации.
Связь работы с крупными научными программами, те мами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математиче ского анализа ГрГУ им. Я. Купалы и является составной частью гос бюджетной научно-исследовательской темы “Аналитические свой ства нелинейных дифференциальных систем” (регистрационный но мер 20014844), предусмотренной республиканской программой “Ма тематические структуры” и выполняемой на кафедре математиче ского анализа ГрГУ им. Я. Купалы с 2001 года.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования яв ляются нелинейные дифференциальные уравнения с частными про изводными. Предметом исследования являются решения указанных уравнений.
Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы явля ется нахождение необходимых и достаточных условий наличия свой ства Пенлеве для уравнений с частными производными высших по рядков. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
построение рядов, представляющих решение дифференциальных уравнений с частными производными n -го порядка и содержащих n произвольных функций;
получение метода доказательства сходимости полярных разложе ний решений уравнений с частными производными.
Методология и методы проведённого исследования. В ра боте для нахождения необходимых условий наличия свойства Пен леве у исследуемых уравнений используется метод резонансов;
для доказательства достаточности полученных условий применяется ме тод сравнения полученных уравнений с известными уравнениями, обладающими указанным свойством. Для доказательства сходимо сти полярных разложений решений дифференциальных уравнений с частными производными применяются методы, основанные на ис пользовании систем типа Брио и Буке и теоремы Ковалевской.
Научная новизна и значимость полученных результатов.
Все результаты диссертации являются новыми. Получены необходи мые, а в некоторых случаях и достаточные условия наличия свой ства Пенлеве у полиномиальных уравнений с частными производ ными и дифференциальных уравнений с частными производными высших порядков с рациональной правой частью;
получен метод до казательства сходимости полярных разложений решений уравнений с частными производными;
получены формулы, дающие преобразо вание Беклунда между двумя уравнениями с частными производны ми. Выделены решения дифференциального уравнения с частными производными 9-го порядка, рациональные относительно функции (x, t), если уравнение (x, t) = 0 задает подвижное особое много образие.
Полученные результаты являются непосредственным развитием аналитической теории дифференциальных уравнений.
Практическая значимость полученных результатов. Ре зультаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в учебном процессе университетов при чте нии спецкурса по аналитической теории дифференциальных урав нений, при исследовании дифференциальных уравнений с частными производными на наличие свойства Пенлеве, а также в тех областях естествознания, где математическими моделями процессов являются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производны ми.
Основные положения диссертации, выносимые на защи ту. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Достаточные условия наличия свойства Пенлеве у двух классов нелинейных полиномиальных дифференциальных уравнений с частными производными порядка n 2.
2. Необходимые условия наличия свойства Пенлеве для полино миальных дифференциальных уравнений с частными произ водными 3-го, 5-го, 9-го порядков и для дифференциальных уравнений с частными производными 3-го и 5-го порядка с ра циональной правой частью.
3. Необходимые, а в некоторых случаях и достаточные условия наличия свойства Пенлеве для для двух однородных диффе ренциальных уравнений с частными производными 3-го и 4-го порядков соответственно.
4. Метод доказательства сходимости полярных разложений реше ний нелинейных уравнений с частными производными.
Личный вклад соискателя. Результаты диссертации получе ны лично соискателем. Роль научного руководителя и соавторов, совместно с которыми написана одна статья, состояла в постановке задачи, анализе полученных результатов и обсуждении возможных направлений исследований.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации были представлены и докладывались на:
Международных математических конференциях “Еругинские чтения–VII” (Гродно, 2001), “Еругинские чтения–VIII” (Брест, 2002), “Еругинские чтения–IX” (Витебск, 2003), “Еругинские чтения–X” (Могилев, 2005), ”Понтрягинские чтения–XIV” (Воронеж, 2003);
IX Белорусской математической конференции (Гродно, 2004);
VII Республиканской научной конференции студентов и аспи рантов Беларуси ”НИРС 2002”, (Витебск, 2002);
VIII Республиканской научно-технической конференции сту дентов и аспирантов ”НИРС 2003”, (Минск, 2003).
III Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов ”Современные проблемы математики и вычислительной техники”, (Брест, 2003).
Опубликованность результатов. Основные результаты дис сертации опубликованы в 15 печатных работах: 5 статей в рецензи руемых научных журналах (4 из них подготовлены без соавторов) и 10 публикаций в виде тезисов докладов на математических конфе ренциях. Общее количество страниц опубликованных материалов 49.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырёх глав, заключения и списка использованных источников. Полный объём диссертации 101 страниц машинописного текста, список использованных источ ников 137 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Работа посвящена аналитической теории дифференциальных уравнений.
В первой главе приводится обзор литературы по теме диссерта ции, обоснована актуальность данной работы, перечислены основные методы исследований.
Вторая глава посвящена изучению полиномиальных уравнений с частными производными высших порядков на наличие у них свой ства Пенлеве. Будем считать, что уравнение обладает свойством Пе нлеве, если все подвижные особенности его решений являются поляр ными. Необходимым условием наличия свойства Пенлеве для диф ференциального уравнения с частными производными n -го порядка является произвольность и независимость функций и n 1 ре зонансных коэффициентов uri, i = 1, n 1 ряда uk ks, = (x, t), uk = uk (x, t), (1) k= представляющего решение дифференциального уравнения.
В дальнейшем это необходимое условие будем называть условием (А). Частный случай условия (А), если в (1) считать x = 1, uk = uk (t), будем называть условием (В).
В разделе 2.1 рассматриваются два оператора L = D, (2) B = Dn + p1 Dn1 + p2 Dn2 +... + pn2 D2 + pn1 D + pn, где D – оператор дифференцирования по x, = (x, t), pk = pk (x, t), k = 1, n. Пусть Bu = ut, Lu = u, собственное значение оператора L. Доказана следующая Теорема 2.1. Чтобы собственное значение оператора L из (2) не зависело от времени t, функция должна удовлетворять уравнению n1 k ki Dnk Cni i Dki (eq )eq, pk = t + a, pk = (3) i= k= qx =, 0 = 1, i = i (t), i = 1, n 1, a = a(x, t).
Теорема 2.2. Нелинейное уравнение (3) имеет свойство Пенле ве.
В доказательстве теоремы 2.2 используется Лемма 2.1. Имеет место формула n 1 1 n Cn Dk wDnk k D =, n N, w = w(x, t).
w w w k= Далее рассматривается уравнение Bu = ut, которое с учетом коэффициентов pk и функции v примет вид n1 k ex ki Cni i uex Dki Dnk u = ut cu, (4) u k=0 i= где u = u(x, t), 0 = 1, i = i (t), i = 1, n 1, pn = c, c = c(x, t).
Теорема 2.3. Нелинейное уравнение (4) имеет свойство Пенле ве.
В разделе 2.2 рассматриваются два оператора L = D2 + 2pD, (5) 2n 22n D2n+1 ak D2nk+1, B= + k= где p = p(x, t), ak = ak (x, t). Пусть n = 4.
Теорема 2.4. Чтобы собственное значение оператора L из (5) не зависело от времени t, функция p должна удовлетворять уравнению k A2k (p) = pt, (6) k=0 x где A2 = D2 p 2p3 ;
A0 = p;
A4 = D4 p 10p2 D2 p 10p(Dp)2 + 6p5 ;
A6 = D6 p 14p2 D4 p 56pDpD3 p 42p(D2 p)2 70(Dp)2 D2 p+ +70p4 D2 p + 140p3 (Dp)2 20p7 ;
A8 = D8 p 18p2 D6 p 108pDpD5 p 210(Dp)2 D4 p 228pD2 pD4 p+ +126p4 D4 p 138p(D3 p)2 + 1008p3 DpD3 p 756DpD2 pD3 p 182(D2 p)3 + 756p3 (D2 p)2 420p6 D2 p 1260p5 (Dp)2 + +798p(Dp)4 + 3108p2 (Dp)2 D2 p + 70p9 ;
1 1 0 = h8 ;
1 = h6 ;
2 = 4 h4 ;
3 = 6 h2 ;
4 = 1, 22 2 hk = hk (t) произвольные функции интегрирования.
Уравнение (6) относится к иерархии модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза.
Теорема 2.5. Для уравнения (6) выполнено необходимое условие (B) наличия свойства Пенлеве.
В разделе 2.3 исследуется уравнение (wxxxx 60wwxx 45wx + 240w3 + Awxxx + Bwxx + Cwwx + (7) +Dwx + Ew2 + Gw + H)x = wt, где w = w(x, t), A, B, C, D, E, G, H некоторые функции от x, t на наличие свойства Пенлеве.
Теорема 2.6. Для наличия у уравнения (7) свойства Пенлеве необходимо, чтобы оно приводилось к виду (wxxxx 60wwxx 45wx + 240w3 + aw)x = wt, ax = 0.
(8) Теорема 2.7. Если w решение уравнения (8) вида 1 w = 2 2 xx 1 + (x, t), 4x где (x, t) определяется формулой 3 1 xx (x, t) = {, x} +, 4 12 x {, x} производная Шварца, а удовлетворяет уравнению t = {, x}xx + {, x}2 + a, x то (x, t) также является решением уравнения (8).
Далее рассматривается связанная с уравнением (8) система yt = (6wxx + 144w2 + a)yx + (3wxxx 144wwx ). (9) yxx = 3wy, Полагая yx = uy, из (9) получается система ux = 6w+ u2, ut = (6wxxx 6uwxx +288wwx +144w2 u+au)x, (10) а затем исключением функции w из системы (10) получается урав нение (uxxxx + 5ux uxx 5u2 uxx 5uu2 + u5 + au)x = ut. (11) x Теорема 2.8. Соотношения (10) дают преобразования Беклунда между уравнениями (8) и (11).
В разделе 2.4 исследуется дифференциальное уравнение с част ными производными uxxt = 6ux ut + F, (12) где F = Auxx +Buxt +Cutt +Duux +Euut +Gux +Hut +Ku3 +Lu2 +P u+Q, коэффициенты A,..., Q аналитические функции от x, t в неко торой области, на наличие свойства Пенлеве.
Теорема 2.9. Чтобы уравнение (12) обладало свойством Пенле ве необходимо, чтобы оно имело вид uxxt = 6ux ut + B(ux u2 )t + Gux + Hut + P u + Q (13) при условиях 1 Bt 0,P = BG, Ht = Gx BG, 3 1 1 1 Q HG + Gxx = B Q HG + Gxx + 6 6 6 x + BGxx + Bx Gx B 2 Gx.
При этом преобразованием u = fx (x)w(, t) + µ(x, t), = f (x) уравнение (13) можно привести к виду uxxt = 6ux ut + a, ax = 0. (14) Теорема 2.10. Функция u, определяемая формулой u = x 1 + u0, является решением уравнения (14), если функция u0, определяемая соотношениями 1 st 1 st (u0 )x = 3x 2s, (u0 )t = 3t c, 6 cx 6 cx при условиях cx cx st st st st c =,c +c + 2cxx + 2cs + 6a = sxt, st st cx cx cx cx x t xx xxx t xx xx, является решением уравнения где c =, =, s= x x x x (14).
Третья глава посвящена изучению уравнений с частными произ водными с рациональной правой частью на наличие у них свойства Пенлеве.
В разделе 3.1 рассматриваются дифференциальные уравнения с частными производными с рациональной правой частью, которые можно записать в виде (wwxx wx w4 w3 w)x = wt, (15) (2wwxx wx 6w3 )x = wt, (16) (wwxx wx 4w3 )x = wwt, (17) (wwxx wx 4w3 2w2 )x = wwt, (18) (wwxx wx wx aw3 )x = wt, (19) (wwxx wx w4 + aw3 )x = wt, (20) (wwxx wx aw2 wx bwx + bx w)x = wt, (21) где = (t), = (t), = (t), a = a(x, t), b = b(x, t).
Теорема 3.1. Для уравнений (16) (18) выполнено необходи мое условие (А) наличия свойства Пенлеве;
для уравнения (15) вы полнено необходимое условие (А) наличия свойства Пенлеве, ес ли = const или = 0, = 0 ;
для уравнения (19) если a = (t)ec(t)x, c = const ;
для уравнения (20) если a = a(t) ;
для уравнения (21) если a = const.
В разделе 3.2 исследуется однородное уравнение xxt + at xx + bx xt + F = 0, (22) где a, b некоторые константы, F = Axx + Bxt + Cx t + Dx + Et + G 2, коэффициенты A, B,..., G аналитические функции от x, t в некоторой области, на наличие свойства Пенлеве. Для наличия свой ства Пенлеве у дифференциального уравнения (22) необходимо, что бы упрощенное для него уравнение xxt + at xx + bx xt = 0, (23) обладало указанным свойством.
Лемма 3.1. Для наличия у дифференциального уравнения (23) свойства Пенлеве необходимо, чтобы соответствующее ему обык новенное дифференциальное уравнение xxx + (a + b)x xx = 0, (24) имело свойство Пенлеве.
Лемма 3.2. Чтобы уравнение (24) имело свойство Пенлеве, необходимо чтобы a + b принимало одно из следующих значений:
0, 1, 2, 3.
Лемма 3.3. Чтобы уравнение (23), имело свойство Пенле ве необходимо и достаточно выполнения одного из 3-х условий:
1o a = b = 0, 2o a = 0, b = 1, 3o a = 1, b = 0.
Теорема 3.2. Чтобы дифференциальное уравнение (22) имело свойство Пенлеве необходимо, чтобы оно имело вид xxt t xx +Axx +B(xt x t )+(AB+Bt )x +G 2 = 0 (25) или xxt x xt + Bxt + Cx t (BC + C 2 + Cx )t + G 2 = 0.
Уравнение (25) имеет свойство Пенлеве.
В разделе 3.3 исследуется однородное уравнение xxxt + at xxx + bx xxt + cxx xt = F, (26) где a, b, c некоторые константы, F = Axxx + Bxxt + Cxx x + Dxt x + Exx t + Hxx + Kxt + Lx + M t + N 2 + T x t + Sx, коэффициенты A, B,..., S аналитические функции от x, t в некоторой области. Для наличия свойства Пенлеве у уравнения (26) необходимо, чтобы упрощенное для него уравнение xxxt + at xxx + bx xxt + cxx xt = 0, (27) обладало этим свойством.
Лемма 3.4. Для наличия у дифференциального уравнения с частными производными (27) свойства Пенлеве необходимо, чтобы соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение xxxx + (a + b)x xxx + cxx = 0 (28) имело свойство Пенлеве.
Лемма 3.5. Для наличия у уравнения (28) свойства Пенлеве, необходимо a + b + c + 1 = 0, c = 0, 1, 2, 3.
Положив в (28) x = u, с учетом леммы 3.5 для u получим уравнение uxxx = (3 c)uuxx + (c + 3)u2 + (c 3)u2 ux. (29) x Замечание. Так как решения уравнения (29) мероморфны с вы четами, являющимися целыми отрицательными числами, то уравне ние (28) не имеет подвижных критических точек, а так как оно не имеет полярных особенностей, то все решения уравнения (28) явля ются целыми.
Лемма 3.6. Чтобы функция t и резонансные коэффициенты 0, 1, c+3 ряда k k+1, = k= представляющего решение уравнения xxxt + at xxx (a + c + 1)x xxt + cxx xt = 0, (30) были произвольными независимыми функциями от t, необходимо выполнение одного из двух условий:
1) a = c = 0;
2) a = 1, c = 0, 1, 2, 3.
Лемма 3.7. В случае a = c = 0 уравнение (30) имеет свойство Пенлеве.
Лемма 3.8. Пусть f () = xxxt t xxx cx xxt + cxx xt, c = 0, 1, 2, 3.
Тогда f (h) = h2 f (), где h = h(t). Уравнение f () = 0 имеет решение = h(t)g(x).
Лемма 3.9. При c = 0, 1 уравнения f () = 0 и uxxt = (3 c)uuxt + (c + 3)ux ut + (c 3)u2 ut (31) имеют свойство Пенлеве.
Лемма 3.10. Пусть c = 2. Тогда уравнение f () = 0 имеет полиномиальное относительно решение = h( + 6 ), а уравнение (31) имеет рациональное относительно решение 65 +, ( = 1 ), u= + где = const, x = 1, а t – произвольная функция от t.
Если в уравнении f () = 0 c = 3, то в решении ak k+ =h +, x = 1, h = h(t), ak = ak (t) (32) k= резонансными коэффициентами кроме h будут a1 и a6.
Лемма 3.11. Пусть c = 3. Если в (32) a1 =, a6 =, 6!
k = const, то ak =, k N.
k!
Следствие. При c = 3 уравнение f () = 0 имеет решение = he, где = const, x = 1, h и t произвольные функции от t.
Лемма 3.12. Пусть c = 3. Если f () = 0, то уравнение f () = 0 имеет решение w = he.
Теорема 3.3. Для наличия свойства Пенлеве у уравнения (27) необходимо выполнение одного из двух условий: 1) a = c = 0, b = 1 ;
2) a = 1, b = c, c = 0, 1, 2, 3. Для наличия свойства Пенлеве у уравнения (31) необходимо c = 0, 1, 2, 3.
Теорема 3.4. В случаях 1) a = c = 0, b = 1, 2) a = 1, b = c, c = 0, 1 уравнение (27) имеет свойство Пенлеве.
Теорема 3.5. Уравнение (31) при c = 0, 1 имеет свойство Пенлеве.
Теорема 3.6. Для уравнения xxxt x xxt = A(xxx xx x ) + Bxxt + Dxt x (A(B + D) Ax + S)xx + (D(B + D) Dx T )xt + Sx + +T x t + (S(B + D) Sx )x + (T (B + D) Tx )t + N выполнено необходимое условие (B) наличия свойства Пенлеве.
Теорема 3.7.Уравнение xxxt t xxx = Axxx E(xxt xx t ) + (AE Et )xx T (xt x t ) + (AT Tt )x + N имеет свойство Пенлеве.
Теорема 3.8. Если при a = b = 1, c = 1 уравнение (26) приво дится к каноническому виду xxxt t xxx x xxt + xx xt = h(xt x t ), ht = 0, то оно имеет свойство Пенлеве.
Теорема 3.9. Для уравнения (26) при a = 1, b = 2, c = выполнено необходимое условие (B) наличия свойства Пенлеве, если его можно привести к каноническому виду xxxt t xxx 2x xxt + 2xx xt = h(xt x t ), ht = 0.
Теорема 3.10. Для уравнения (26) при a = 1, b = 3, c = 3 вы полнено необходимое условие (B) наличия свойства Пенлеве, если его можно привести к каноническому виду xxxt t xxx 3x xxt + 3xx xt = h 2, hx = 0.
В разделе 3.4 исследуется уравнение yx (yxxxx 18yyxx 9yx + 24y 3 + F )x = yt, (33) где F = Ayxxx + Byxx + Cyyx + Dyx + Ey 2 + Gy + H, коэффициенты A,..., H аналитические в некоторой области функции от x, t.
Теорема 3.11. Чтобы уравнение (33) имело свойство Пенлеве, необходимо, чтобы оно приводилось к виду yx (yxxxx 18yyxx 9yx + 24y 3 + 3ay 2 a2 y + bx)x = yt.
В четвертой главе дается аналитическая характеристика реше ний рассмотренных дифференциальных уравнений с частными про изводными.
В разделе 4.1 приводится метод доказательства сходимости по лярного разложения (1) решения дифференциального уравнения с частными производными u 2 u nu u F u,,,..., n =, (34) x x2 x t где n 2, u = u(x, t), F полином от своих аргументов.
Теорема 4.1. Если n 1 резонансных коэффициента uri, i = 1, 2,..., n 1 и t являются независимыми произвольными функциями от t, то ряд (1), представляющий решение уравнения (34), сходится при 0 = ||.
В разделе 4.2 доказывается сходимость ряда p = 1 + p2 + p3 2 + p4 3 + p5 4 + p6 5 + p7 6 + 2 553 4 287 7 p4 p2 p2 p2 + p2 p6 + + p3 p5 + p2 (35) 2 5 2160 540 45 23 2 t 7 + p9 8 + p10 9 +..., + p 108 представляющего решение уравнения (6), рассмотренного в разделе 2.2.
Теорема 4.2. Ряд (35), представляющий решение уравнения (6), абсолютно сходится при 0 = ||.
Теорема 4.3. Уравнение (6) имеет решение 23 c p=, (3 + c) в котором ct = 121, t = 0. Если 1 = 0, то уравнение (6) имеет решение 35 2c p=, (5 + c) в котором ct = 7202, t = 0. Если 1 = 2 = 0, то уравнение (6) имеет решение 47 3c p=, (7 + c) в котором ct = 1008003, t = 0. Если 1 = 2 = 3 = 0, то уравнение (6) имеет решение 59 4c p=, (9 + c) в котором ct = 2540160, t = 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Работа посвящена развитию аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. В ней по лучены следующие результаты:
1) Получены два класса нелинейных дифференциальных уравне ний с частными производными порядка n 2 со свойством Пенлеве [4,10,11], полиномиальное дифференциальное уравнение с частными производными 9-го порядка, для которого выполнено необходимое условие наличия свойства Пенлеве, а также построены его раци ональные решения относительно функции (x, t), если уравнение (x, t) = 0 задает подвижное особое многообразие [1,6].
2) Для полиномиального дифференциального уравнения с част ными производными и для дифференциального уравнения с частны ми производными с рациональной правой частью каждое из которых 5-го порядка указаны необходимые условия наличия свойства Пен леве [3,9].
3) Найдены необходимые условия наличия свойства Пенлеве у одного полиномиального дифференциального уравнения с частны ми производными третьего порядка, при выполнении которых это уравнение сводится к простому каноническому виду. Указаны фор мулы, выражающие автомодельное полярное решение полученного уравнения через решение обыкновенного дифференциального урав нения со свойством Пенлеве [5].
4) Получены дифференциальные уравнения с частными произ водными 3-го порядка с рациональной правой частью, для которых выполнено необходимое условие наличия свойства Пенлеве [8].
5) Исследованы два однородных дифференциальных уравнения с частными производными 3-го и 4-го порядков соответственно на наличие свойства Пенлеве. Выделены случаи, при которых дан ные уравнения имеют свойство Пенлеве, а также случаи, при кото рых выполнены необходимые условия наличия указанного свойства [12,13,14,15] 6) Приведены два метода доказательства сходимости полярных разложений решений нелинейных уравнений с частными производ ными:
метод сведения дифференциального уравнения с частными про изводными к системе типа Брио и Буке [2,7];
метод, основанный на теореме Коши-Ковалевской [1].
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных журналах:
1. Кулеш Е.Е. Об одном уравнении в частных производных// Вес нiк ГрДУ. Сер.2. 2002. №2(11). С. 43 – 50.
2. Кулеш Е.Е. О сходимости полярных разложений решений нелинейных уравнений в частных производных// Веснiк ГрДУ.
Сер.2. 2003. №1(19). С. 11 – 15.
3. Кулеш Е.Е. О свойствах решений одного уравнения в частных производных пятого порядка// Веснiк ГрДУ. Сер.2. 2005.
№1(31). С. 66 – 70.
4. Кулеш Е.Е. О классах уравнений в частных производных выс ших порядков со свойством Пенлеве// Вестник БГУ. Сер.1.
2005. №2. С. 68 – 73.
5. Об одном дифференциальном уравнении в частных про изводных третьего порядка / Н.С.Березкина, Е.Е.Кулеш, И.П.Мартынов, В.А.Пронько // Дифференц. уравнения.
2005. Т.41, №10. С. 1363 1368.
Тезисы докладов и материалы конференций:
6. Кулеш Е.Е. Об одном уравнении в частных производных со свойством Пенлеве// Еругинские чтения – VII: Тез. докл. меж дунар. мат. конф.: Гродно, 28-30 мая 2001г. / Мин-во образо вания Республики Беларусь. Бел. мат. общ-во. Ин-т мат. Нац.
Акад. наук Белаpуси. Гродно: ГрГУ, 2001. С. 97 99.
7. Кулеш Е.Е. О сходимости рядов, представляющих решения нелинейных уравнений в частных производных// Еругинские чтения – VIII: Тез. докл. международ. мат. конф.: Брест, 20- мая 2002г. / Мин-во образования Республики Беларусь. Ин т мат. Нац. Акад. наук Белаpуси. Брест: Изд. С.Б.Лавров, 2002. С. 96 97.
8. Кулеш Е.Е. О некоторых уравнениях в частных производных третьего порядка// ”НИРС 2002”: Сборник статей VII Респуб ликанской научной конференции студентов и аспирантов Бела руси. / Мин-во образования Республики Беларусь. Витебск:
УО ”ВГТУ”, 2002. С.78 80.
9. Кулеш Е.Е. Об одном дифференциальном уравнении в част ных производных с рациональной правой частью// Современ ные проблемы математики и вычислительной техники: Мате риалы III респ. науч. конф. молодых уч. и студ., Брест, 26 – 28 ноября 2003г. / Мин-во образования Республики Беларусь.
Брестский гос. технич. ун-т. Брест: УО ”БГТУ”. 2003.
С.188 191.
10. Кулеш Е.Е. Об одном классе нелинейных уравнений в част ных производных со свойством Пенлеве// ”НИРС 2003”: Тез.
докл. VIII респ. научно-технич.конф. студ. и асп., Минск, 9 10 декабря 2003г. / Мин-во образования Республики Беларусь.
Бел. Нац. Технич. ун-т. Минск: БНТУ, 2003. С.96.
11. Кулеш Е.Е. О классе уравнений в частных производных выс ших порядков со свойством Пенлеве// IX Бел. матем. конф.:
Тез. докл., Гродно, 3-6 ноября 2004г. / Мин-во образования Рес публики Беларусь. Бел. мат. общ-во. Ин-т мат. Нац.Акад.наук Белаpуси. Бел. гос. ун-т. Гpоднен. гос. ун-т им. Я.Купалы.
Гродно. В 3 ч. Гродно: ГрГУ, 2004. Ч.1. С. 199 – 201.
12. Кулеш Е.Е., Мартынов И.П. Об одном дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка// IX Бел. матем. конф.: Тез. докл., Гродно, 3 – 6 ноября 2004г. / Мин-во образования Республики Беларусь. Бел. мат. общ-во.
Ин-т мат. Нац.Акад.наук Белаpуси. Бел. гос. ун-т. Гpоднен. гос.
ун-т им. Я.Купалы. Гродно. В 3 ч. Гродно: ГрГУ, 2004.
Ч.1. С. 201 – 203.
13. Кулеш Е.Е., Мартынов И.П. О свойствах решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными чет вертого порядка// Еругинские чтения – X: Тез. докл. между нар. мат. конф.: Могилев, 24-26 мая 2005г. / Мин-во образова ния Республики Беларусь. Ин-т мат. Нац. Акад. наук Белаpуси.
Могилёвск. гос. ун-т им. А.А.Кулешова. Могилев: МГУ, 2005.
С. 17 18.
14. Кулеш Е.Е., Мартынов И.П. О свойствах решений некоторых квадратичных дифференциальных уравнений с частными про изводными// Дифференциальные уравнения и системы ком пьютерной алгебры: Материалы Междунар.конф., Брест, 5– окт. 2005г.: В 2ч. Минск: БГПУ, 2005. Ч1. С. 158.
15. Кулеш Е.Е., Мартынов И.П. О свойствах решений некото рых квадратичных дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка// Дифференциальные урав нения и системы компьютерной алгебры: Материалы Между нар.конф., Брест, 5–8 окт. 2005г.: В 2ч. Минск: БГПУ, 2005.
Ч1. С. 158 162.
РЕЗЮМЕ Кулеш Елена Евгеньевна К теории нелинейных уравнений в частных производных с подвижными полярными особенностями Ключевые слова: дифференциальное уравнение с частными про изводными, подвижные особенности, свойство Пенлеве.
Объектом исследования являются нелинейные дифференциаль ные уравнения с частными производными. Предметом исследования являются решения указанных уравнений.
Целью настоящей работы является нахождение необходимых и достаточных условий наличия свойства Пенлеве для уравнений с частными производными высших порядков.
Для нахождения условий наличия свойства Пенлеве у исследуе мых уравнений используется метод резонансов и метод сравнения полученных уравнений с известными уравнениями, обладающими указанным свойством. Получен метод доказательства сходимости по лярных разложений решений дифференциальных уравнений с част ными производными.
Получены два класса нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными порядка n 2 со свойством Пенлеве;
необходимые, а в некоторых случаях и достаточные условия наличия свойства Пенлеве для полиномиальных и рациональных дифферен циальных уравнений с частными производными.
Результаты диссертации могут быть использованы в теории нели нейных колебаний, в математической и теоретической физике и дру гих областях естествознания, где математическими моделями про цессов являются дифференциальные уравнения с частными произ водными, а также в учебном процессе при чтении спецкурса по ана литической теории дифференциальных уравнений студентам мате матических специальностей.
РЕЗЮМЭ Кулеш Алена Яўгенаўна Да тэорыi нелинейных раўнанняў з частковымi вытворнымi з рухомымi палярными асаблiвасцямi Ключавыя словы: дыферэнцыяльнае раўнанне з частковымi вы творнымi, рухомыя асаблiвасцi, ўласцiвасць Пенлеве.
Аб’ектам даследавання з’яўляюцца нелiнейныя дыферэнцыяль ныя раўнаннi i сiстэмы з частковымi вытворнымi. Прадметам дасле давання з’яўляюцца рашэннi указаных раўнанняў i сiстэм.
Мэтай гэтай працы з’яўляецца знаходжанне неабходных и дастат ковых умоў наяўнасцi ўласцiвасцi Пенлеве для раўнанняў i сiстэм з частковымi вытворнымi вышэйшых парадкаў.
Для знаходжання неабходных умоў наяўнасцi ўласцiвасцi Пенле ве ў даследуемых раўнанняў i сiстэм выкарыстоўваецца мэтад рэза нансаў i мэтад параўнання атрыманых раўнанняў з вядомымi рау наннямi з указанай уласцiвасцю. Атрыманы мэтад доказу збежна сцi палярных раскладаў рашэнняў дыферэнцыяльных раўнанняў з частковымi вытворнымi.
Атрыманы два класа нелiнейных дыферэнцыяльных раўнанняў з частковымi вытворнымi парадку n 2 з уласцiвасцю Пенлеве;
неабходныя, а ў некаторых выпадках i дастатковыя умовы наяўнасцi ўласцiвасцi Пенлеве для палiнамiяльных i рацыянальных дыферэн цыяльных раўнанняў з частковымi вытворнымi.
Рэзультаты дыссертацыi могуць быть выкарыстаны ў тэорыi нелiнейных ваганняў, у матэматычнай i тэарытычнай фiзiцы i iн шых галiнах прародазнауства, дзе матэматычнымi мадэлямi працэ саў з’яўляюцца дыференцыяльныя раўнаннi з частковымi вытвор нымi, а таксама ў вучэбным працэсе пры чытаннi спецкурса па аналiтычнай тэорii дыферэнцыяльных раўнанняў студэнтам матэ матычных спецыяльнасцяў.
SUMMARY Kulesh Helena Evgen’evna To the theory of nonlinear partial dierential equations with mobile polar singularities Keywords: partial dierential equations, mobile singularities, Painleve property.
Object of research are the nonlinear partial dierential equations. An object of research are solutions of the specied equations.
The purpose of the job is the presence of necessary and sucient conditions of presence of the Painleve property for the partial dierential equations of the higher orders.
The method of resonances and the method of comparison of the received equations with the known equations with the specied property for a nding of conditions of Painleve property presence at the researched equations are used. The method of the proof of convergence of polar decomposition of the partial dierential equations solutions is received.
Two classes of the nonlinear partial dierential equations about n 2 order with Painleve property are received;
necessary, and in some cases and sucient conditions of presence of Painleve property for the polynomial and rational partial dierential equations are received.
Results of the dissertation can be used in the theory of nonlinear uctuations, in mathematical both theoretical physics and other areas of natural sciences where mathematical models of processes are the partial dierential equations, and also in educational process at reading a special course under the analytical theory of the dierential equations to students of mathematical specialities.