Учреждение образования гродненский государственный университет имени янки купалы удк 517.925 можджер гражина тадеушевна первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений высших порядков с раци

Министерство рбразования Республики Беларусь Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы УДК 517.925 Можджер Гражина Тадеушевна ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С РАЦИОНАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 01.01.02 – дифференциальные уравнения Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Гродно, 2005 Работа выполнена в Учреждении образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Мартынов И.П., Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, кафедра математического анализа Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Цегельник В.В., Белорусский государственный университет, информатики и радиоэлектроники, кафедра высшей математики кандидат физико-математических наук, доцент Мататов В.И., Белорусский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений Оппонирующая организация Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Защита состоится 13 января 2006 г. в 12 часов на заседании совета по защите диссертаций при Учреждении образования Гродненский го сударственный университет имени Янки Купалы по адресу: 230023, г. Гродно, ул. Ожешко, 22, к. 220.

Тел. учного секретаря совета: (0152)44-24-77.

е С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения об разования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы.

Автореферат разослан "" 200 года Ученый секретарь совета по защите диссертаций В.А.Пронько ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации. Одной из важных задач аналитической теории дифференциальных уравнений является за дача исследования свойств решений дифференциальных уравнений.

Наличие первых интегралов у дифференциальных уравнений часто упрощает исследование этих свойств.

Теория интегралов в своих истоках связана с исследованиями А.Н. Коркина, В.П. Ермакова, Ф.Г. Миндинга, Б.М. Кояловича, Г. Дарбу, а затем развита Н.П. Еругиным, C.M. Cosgrove, Н.А. Куд ряшовым, В.И. Мироненко, В.Н. Горбузовым и другими математи ками.

В настоящее время теория интегралов дифференциальных урав нений и систем развивается благодаря тесным связям ее с механикой и естествознанием. Так, например, С.В. Ковалевская поставила себе задачу: найти все случаи, когда решения автономной системы диф ференциальных уравнений, описывающей движение твердого тела вокруг неподвижной точки и состоящей из шести уравнений, пред ставляет собой мероморфные решения на всей плоскости переменной t. При этом кроме известных ранее двух случаев найден новый тре тий случай, когда эта система имеет пять первых интегралов, что привело к полной интеграции рассматриваемой системы.

При исследовании проблемы Римана для систем второго порядка в случае наличия трех особых точек в правых частях Н.П. Еругин получил систему из пяти обыкновенных дифференциальных уравне ний, для которых нашел три стационарных интеграла, что позволило ему решить указанную проблему.

В исследованиях В.И. Мироненко для обыкновенных дифферен циальных систем была решена задача о наличии стационарных инте гралов. Методы построения первых интегралов по конечному числу частных интегралов для обыкновенных дифференциальных систем и систем уравнений в полных дифференциалах активно развивается в работах В.Н. Горбузова и его учеников. В работах И.П. Мартынова решается задача нахождения необходимых и достаточных условий наличия первых интегралов у дифференциальных уравнений на ос нове анализа состава корней резонансного уравнения.

Всякий прогресс в развитии теории интегралов важен не только с математической точки зрения, но и с точки зрения прикладных за дач. Актуальность и недостаточная разрешенность вышеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре мате матического анализа Гродненского государственного университета им. Я. Купалы и является составной частью госбюджетной научно исследовательской темы "Аналитические свойства нелинейных диф ференциальных систем"(ГР № 20014844), предусмотренной респуб ликанской программой "Математические структуры" и выполня емой на кафедре математического анализа Гродненского государ ственного университета с 2001 г.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования яв ляется автономное дифференциальное уравнение вида y n y (n+1) = f (y (n),..., y, y), (1) где f полином от y, y,..., y (n), все слагаемые которого имеют оди наковый вес p = 2n + 2. Это число будем называть весом диффе ренциального уравнения. Предметом исследования являются первые интегралы уравнения (1), имеющие вид P (y (n),..., y, y) = K, (2) где K произвольная постоянная интегрирования, P полином, зависящий от y (n),..., y и целой степени y.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы явля ется нахождение достаточных, а также необходимых и достаточных условий существования первых интегралов (2) для дифференциаль ных уравнений вида (1) при n = 1, 2, 3.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Проведение анализа структуры корней резонансного урав нения, соответствующего уравнению (1), установление взаимосвязи между весом дифференциального уравнения и составом корней соот ветствующего ему резонансного уравнения и получение необходимых условий для наличия резонансов определенного вида.

2. Построение интегрирующих множителей для дифференциаль ных уравнений (1) в зависимости от вида резонансов и получение первых интегралов для рассматриваемых дифференциальных урав нений в выделенных случаях.

Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе для нахождения достаточных условий на личия первых интегралов у исследуемых уравнений используется метод резонансов;

для доказательства необходимости полученных условий применяется метод неопределенных коэффициентов.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

1. Проведен анализ структуры корней резонансного уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению m k0i k1i ai w(n) w(n1)... wkni = 0, (3) i= где ai постоянные, kji целые числа.

2. Найдены достаточные условия наличия первых интегралов ви да (2) у дифференциальных уравнений yy = a1 y 2 + a2 y 2 y + a3 y 4, (4) y 2 y = a1 yy y + a2 y 3 + a3 y 3 y + a4 y 2 y 2 + a5 y 4 y + a6 y 6. (5) y 3 y IV = a1 y 2 y y + a2 y 2 y + a3 yy 2 y + a4 y 4, (6) y 3 y IV = a1 y 2 y y + a2 y 2 y 2 + a3 yy 2 y + a4 y 4 + a5 y 4 y + (7) +a6 y 3 y y + a7 y 2 y 3 + a8 y 5 y + a9 y 4 y 2 + a10 y 6 y + a11 y 8.

3. Найдены необходимые условия наличия первых интегралов ви да (2) у дифференциального уравнения (5), а в некоторых случаях и уравнения (7).

Все результаты диссертации являются новыми.

Полученные результаты являются непосредственным вкладом в развитие аналитической теории дифференциальных уравнений.

Практическая значимость полученных результатов. Ра бота носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы не только в аналитической теории диффе ренциальных уравнений, но и в различных отраслях естествознания, где используются процессы природы с применением математических моделей, являющихся дифференциальными уравнениями и система ми, а также при чтении спецкурсов по аналитической теории диф ференциальных уравнений.

Основные положения выносимые на защиту.

1. Необходимые и достаточные условия наличия первых интегра лов вида (2) у дифференциальных уравнений (4) и (5).

2. Достаточные условия существования первых интегралов вида (2) у дифференциальных уравнений (6).

3. Достаточные, необходимые и достаточные условия наличия первых интегралов вида (2) у дифференциального уравнения (7).

Личный вклад соискателя. В диссертацию включены резуль таты, которые получены лично соискателем. Роль научного руково дителя с которым написаны 4 статьи, состояла в постановке задачи и анализе полученных результатов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации были представлены и докладывались на:

– Международной математической конференции "Еругинские чте ния-VIII" (Брест 2002);

– Международной математической конференции "Еругинские чте ния-IX" (Витебск 2003);

– IX Белорусской математической конференции (Гродно 2004);

– Международной математической конференции "Еругинские чте ния-X" (Могилев 2005);

– Международной математической конференции "Дифференциаль ные уравнения и системы компьютерной алгебры" (Брест 2005).

Опубликованность результатов. Основные результаты дис сертации опубликованы в 11 печатных работах, среди которых статей в рецензируемых журналах, 1 статья и 4 публикации в ви де тезисов докладов в материалах международных математических конференций. Общее количество страниц опубликованных материа лов 39.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Полный объем диссертации 163 страницы машинописного текста, из которых страниц занимает приложение и 12 страниц список использован ных источников. Список использованных источников 154 наиме нования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ Работа посвящена нахождению первых интегралов у дифферен циальных уравнений высших порядков вида (1). В ней исследуют ся структура корней резонансных уравнений, на основании которых строятся первые интегралы уравнений вида (1).

В первой главе приводится обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Обоснована актуальность диссертационной рабо ты. Изложены основные методы исследований, применяемые в дис сертации.

Во второй главе рассматривается дифференциальное уравне ние (3). Будем считать, что для (3) существует натуральное число s такое, что µi s + i = p, i = 0, m, (8) n n где µi = kji, i = (n j)kji.

j=0 j= Будем называть µi размерностью одночлена, i его рангом, а p весом одночлена.

В случае когда не все µi равны между собой, то решение урав нения (3) будем искать в виде ряда s hk ks, = z z0, h0 = 0.

w = h0 + (9) k= Коэффициенты hk ряда (9) можно будет найти по рекуррент ным формулам R(k)hk = Bk (h0, h1, h2,... hk1 ), k N, кроме резо нансных коэффициентов hr. Если натуральное число r такое, что R(r) = 0, то hr будет произвольным, если Br (h0, h1, h2,... hr1 ) = 0.

Введем обозначения j (s) = s(s + 1)(s + 2)... (s + n j 1), j = 0, n 1, n (s) = 1.

Будем считать, что j (s) = 0, j = 0, n 1, n kji (1)i ai hµi bi (h0 ) = j (s), i = 0, m. (10) j= Алгебраические уравнения для нахождения h0 и резонансное уравнение для нахождения резонансов примут вид m A(h0 ) bi (h0 ) = 0, (11) i= n R(r) cj (r s)(r s 1)... (r s n + j + 1) + cn = 0, (12) j= m (1)nj где cj = kji bi (h0 ), j = 0, n, c0 = 0.

j (s) i= Лемма 2.1. Уравнение (12) имеет корнем число r = 1.

Лемма 2.2. Если r = 0, то h0 является кратным корнем урав нения (11).

В случае когда µi = µ, i =, i = 0, m, выражение (10) примет n kji вид bi (h0 ) = (1) hµ i (s), где i (s) = ai j (s).

j= При h0 = 0 из уравнения (11) получим m i (s) = 0. (13) i= Из (13) найдем s ( s в этом случае не обязательно будет нату ральным числом).

В уравнении (12) число r = 0 является одним из резонансов. Ему соответствует произвольное значение h0.

Пусть Q(w) является левой частью уравнения (3), причем имеет место (8), т.е. p является весом уравнения (3).

d Обозначим P (w) = Q(w). Тогда dz m n w(nl+1) P (w) = Qi (w) kli (nl).

w i=0 l= Рассмотрим далее уравнение m n w(nl+1) P (w) = Qi (w) kli = 0, (14) w(nl) i=0 l= k k где Qi (w) = ai w(n) 0i w(n1) 1i... wkni.

Для нахождения h0 и r имеют место соотношения A(h0 ) = 0, (rp)R(r) = 0, где A(h0 ) и R(r) взято соответственно из (11) и (12).

Доказана Теорема 2.1. Резонансное уравнение для (14) кроме всех корней уравнения (12) имеет также корень r = p, где p определяется условием (8).

Теорема 2.1 используется для нахождения первых интегралов уравнения (14), так как P (w) = 0 в рассматриваемом случае равно сильно уравнению Q(w) = K, где K произвольная постоянная интегрирования. При этом вес каждого члена Q(w) будет равным p.

В третьей главе рассматриваются дифференциальные уравне ния вида (4), (5).

Решение уравнения (4) будем искать в виде ряда y = h0 1 +... + hr r1 +..., = z z0, h0 = 0. (15) Подставляя (15) в (4), получим, что h0 и r будут удовлетворять уравнениям a3 h2 a2 h0 + a1 2 = 0, (16) (r + 1)(r 4 + 2a1 a2 h0 ) = 0. (17) Считая, что уравнения (16) и (17) не имеют кратных корней. Рас смотрим следующие случаи:

10. a3 = 0;

20. a3 = 0, a2 = 0;

30. a3 = a2 = 0. (18) Доказана Теорема 3.1. Дифференциальное уравнение (4) в случаях (18) имеет первые интегралы соответственно в виде a3 2k a2 k y 2k4 y 2 = y k2 y = y = Ky a1, y + K, y + K, k k где K произвольная постоянная интегрирования.

Предположим, что уравнение (4) имеет первый интеграл вида y 2k4 y 2 + A1 y 2k2 y + A2 y 2k = K, (19) где A1, A2 постоянные коэффициенты, k N, K произвольная произвольная постоянная интегрирования.

Доказана следующая Теорема 3.2. 1) Пусть r = 2k резонансный корень уравнения (17) и a3 = 0. Чтобы уравнение (4) имело первый интеграл вида (19), необходимо a1 = 2 k, a2 = 0.

2) Пусть r = 2k резонансный корень уравнения (17) и a3 = 0, a2 = 0. Чтобы уравнение (4) имело первый интеграл вида (19), необ ходимо a1 = 2 k.

Предположим, что (17) имеет корень r = k.

Будем искать первый интеграл уравнения (4) в виде Am y (k2)+2m (y )m = K, A0 = 1, = 3, 4,..., (20) m= где Am постоянные коэффициенты, K произвольная постоян ная интегрирования.

Доказана Теорема 3.3. Пусть r = k, = 3, 4,... резонансный корень уравнения (17). Тогда ( 1)a 1) если a2 = 0, a1 = 2 k, a3 =, то уравнение (4) имеет k( 2) первый интеграл вида a2 (1 ) k 1 k2 a (y k2 y + y k ) = K, y) (y y + ( 2)k ( 2)k 2) если a2 = 0, a1 = 2 k, a3 = 0, то в случае, когда четное, то первый интеграл уравнения (4) примет вид a3 2k y 2k4 y 2 = y + K, k где K произвольная постоянная интегрирования.

Если нечетное, то уравнение (4) не имеет первых интегралов вида (20).

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение вида (5).

Решение уравнения (5) искать в виде ряда y = h0 1 +... + hr r1 +..., = z z0, h0 = 0. (21) Подставляя (21) в (5), получим что h0 и r будут удовлетворять уравнениям a6 h3 a5 h2 + (2a3 + a4 )h0 + m = 0, (22) 0 (r + 1)(r2 M r + N ) = 0, (23) где m = 62a1 a2, M = 7a1 +a3 h0, N = 3m+2(2a3 +a4 )h0 a5 h2.

В дальнейшем будем считать, что уравнения (22) и (23) не имеют кратных корней.

Рассмотрим следующие случаи:

10. a6 = 0;

20. a6 = 0, a5 = 0;

30. a6 = 0, a5 = 0, 2a3 + a4 = 0;

40. a6 = 0, a5 = 0, 2a3 + a4 = 0.

Пусть a6 = 0.

1) Предположим, что уравнение (23) при всех h0i, i = 1, 3 най денных из (22), имеет корень r = 2k и a3 = 0. Из этого получим, что a5 = 0, a4 = a3 (k 2). Пусть pi, i = 1, 3, pi = 2k являются корнями уравнения (22), соответствующими взятым h0i из (23).

Если p1 + p2 + p3 = 9k, то имеет место соотношение 1 1 1 + + =. (24) p1 p2 p3 k Получим всевозможные целые значения p1, p2, p3, удовлетворя ющие условию (24). При этом найдем, что a1 = 7 5k, a2 = 2(k 1)(k 4).

Тогда уравнение (5) примет вид y yy 2(k 1)(k 4) 2 + a3 yy + a3 (k 2)y 2 + a6 y 4, y = (7 5k) y y а его первый интеграл запишем так (y k3 y + 2(k 1)y k4 y 2 a3 y k2 y )2 = (25) a = 2a6 y 2k2 (y y 2 ) + K, 2k где K произвольная постоянная интегрирования.

2) Предположим, что уравнение (23) только при двух значениях h0i, i = 1, 2, найденных из (22), имеет корень r = 2k.

Тогда получим следующие случаи:

a3 a 10. a1 = 7 3k, a2 = (k2)(k4), a4 = a3 (k2), a6 = ;

k 7 2 20. a1 = 7 k, a2 = (k 3)(k 4), a4 = a3 (k 2) +, 3 3 27a 9a3 a5 =, a6 =, константа;

8k 2k 1 12a 30. a1 = 7 2k, a2 = (k 4)2 + 2, a4 = a3 (k 2), 2 k 24a2 16a, a6 = 33, константа.

a5 = k2 k Тогда первый интеграл уравнения (5), примет вид 2k (y k3 y + ( 2)y k4 y 2 a3 y k2 y )2 = j (26) a3 j 2 j = y 2k2j (y y ) + K, 2k где j = 2, 4 и K произвольная постоянная интегрирования.

Если j = 2, то = a5 ;

если j = 3, то определено в a4 = a3 (k 2) +, где a4 произвольное;

если j = 4, то =, где произвольное.

Из предыдущего следует, что уравнение (5) имеет первый инте грал вида 3 2k6 2 2(k+m)9 3m Bm y 2(k+m5) y 5m = K, (27) y y+ Am y y y+ m=1 m= где Am, Bm –постоянные коэффициенты, 2k корень уравнения (23), k N, K произвольная постоянная интегрирования.

3) Предположим, что уравнение (5) имеет первые интегралы ви да (27). Получены условия, при которых это предположение имеет место.

Доказана следующая Теорема 3.4. Чтобы уравнение (5) при отсутствии кратных корней h0 у уравнения (22) имело первый интеграл вида (27), необ ходимо и достаточно, чтобы имели место условия:

4k 2k 1) a1 = 7 k, a2 = (2 )(k 4) + 2, причем = 0 при j j j = 1, 3 и = при j = 4 ;

2) a4 = a3 (k 2) +, причем = 0 при j = 1, 2, = при 12a j = 3, = при j = 4 ;

k 9a 3) a5 = 0, при j = 1, a5 = при j = 2, a5 = при j = 3, 2k 24a a5 = 2 3 при j = 4 ;

k 27a a3 4) a6 =, при j = 1, a6 = при j = 2, a6 = при j = 3, 2 k 8k 16a a6 = 3 3 при j = 4.

k Замечание 3.1. В указанных в теореме 3.4 случаях если j = 1, то первый интеграл (27) совпадет с (25), а если j = 2, 3, 4, то первый интеграл (27) совпадет с (26).

Замечание 3.2. Если a1 = 7 k, a3 = 0, k = 0, то уравнение (5) первых интегралов вида (27) не имеет.

В случае a6 = 0 получены необходимые условия наличия первых интегралов вида (27).

Доказана Теорема 3.5. Пусть в (5) будет a6 = 0. Тогда:

1) Если a1 = 7 3k, a2 = (k 2)(k 4), a3 = a4 = 0, то первый интеграл имеет вид (y k3 y + (k 2)y k4 y 2 ))(y k3 y + (k 2)y k4 y 2 + by k ) = 2a5 + bk 2k4 2 a5 b 2k = y y+ y + K;

2 2k 7 2 3a 2) Если a1 = 7 k, a2 = (k 3)(k 4), a5 = (2a3 (k 1) a4 ), 3 3 k то первый интеграл имеет вид 4 2k7 y 2 2a y 2k5 y 6a3 y 2k3 )y + y 2k6 y 2 + ( (k 3)y 3 k 4 2(a3 (k 4) + a4 ) 2k6 + (k 3)2 y 2k8 y 4 y y 9 3a3 (2a3 (k 3) a4 ) 2k4 2 6a3 2k y + 3y y y+ k k 9a3 (2a3 (k 1) a4 ) 2k +3 y = K;

k b(4(k 2) a2 ) 3) Если a1 = 7 2k, a3 = a4 = 0, a5 =, то первый k интеграл имеет вид b(k 2) k k3 2b (y k3 y + (k 4)y k4 y 2 + y )(y y + y k ) = k k a2 k4 2 b k = (y y + y ) + K;

2 k 2a3 ((k 3)(k 8) + 3a2 ) 4) Если a1 = 7 2k, a4 =, k 3a2 (2(k 2 6k + 12) + 3a2 ) a5 = 3, то первый интеграл имеет вид k 3a2 2k 2k6 2 2k7 2 2k y 23 y y y + ((k 4)y y 2a3 y )y k a2 2k8 4 a3 ((k 4)(k 8) + 4a2 ) 2k6 y y+ y y 2 k a2 ((5k 12)(k 6) + 9a2 ) 2k4 2 3a3 2k 3 y + 3y y y+ k k 9a4 (2(k 2 6k + 12) + 3a2 ) 2k +3 y = K, 2k где K произвольная постоянная интегрирования.

Замечание 3.3. Если не выполнены условия теорем 3.4 и 3. (причем |a3 | + |a4 | + |a5 | + |a6 | = 0 ), то уравнение (5) не имеет первых интегралов вида (27).

Предположим, что уравнение (5) имеет первый интеграл вида 2k9 Am y 2(k+m6) y 3m y 2 + y y + m=1 (28) 5 Bm y 2(k+m)13 y 5m y + Cm y 2(k+m7) y 7m = K, + m=1 m= где Am, Bm, Cm –постоянные коэффициенты, k N, K произ вольная постоянная интегрирования.

Получено 104 класса уравнений (5), которые имеют первый инте грал вида (28). Все эти первые интегралы и их уравнения приведены в приложении.

В четвертой главе рассмотрено автономное дифференциальное уравнение вида (7). Упрощенным для уравнения (7) будет однород ное уравнение (6).

Пусть решение уравнения (6) задано в виде ряда y = h0 s +... + hr rs +..., = z z0, h0 = 0, s = 0. (29) Подставляя (29) в (6), получим уравнения для нахождения s и r (a1 + a2 + a3 + a4 1)s3 + (3a1 + 2a2 + a3 6)s2 + (2a1 + a2 11)s 6 = 0, r(r + 1)(r2 M r + N ) = 0, где M = 7+(4a1 )s, N = 18+(63a1 2a2 a3 )s2 +2(112a1 a2 )s.

Введем обозначение = 1.

s Откуда найдем, что удовлетворяет уравнению () = 63 + (2a1 + a2 + 7)2 + (a1 a3 + 2) + a4 = 0. (30) Пусть,, различные корни уравнения (30).

При этом будем иметь a2 = 2a1 7 6( + + ), a3 = a1 + 2 6( + + ), a4 = 6.

Следовательно коэффициенты M, N запишем так 7 + a1 + 3 () M=,N=.

(1 + ) 1+ Если =, то получим () 6( )( ) N= =.

(1 + )2 (1 + ) Если p, q корни уравнения (30), отличные от 0 и 1, то можно k( ) m( ) считать, что p =,q =, причем km = 6.

1+ 1+ Рассмотрим следующие случаи:

10. m = 1, k = 6;

20. m =, k = 4;

(31) 0. m = 2, k = 3;

40. m = 2, k = и существует, что ( )( ) = ( )2.

Доказана следующая Теорема 4.1. Пусть уравнение (6) имеет решение вида (29) и,, различные корни уравнения (30). Если имеют место усло 0 40 из (31), то первые интегралы уравнения (6) примут вия соответственно вид (y 3+2 y + ( + 3 + 1)y 3+1 y y + (3 )y 3 y 3 )2 = = (3 2)(2y 6+3 y 3 + 3( + )y 6+2 y 2 y 2 + +6y 6+1 y 4 y + 2 (3 )y 6 y 6 ) + K, y 4+2 y y = y 4+2 y 2 + ay 4+1 y 2 y + by 4 y 4 + K, 3+2 y = ay 3+1 y y + by 3 y 3 + K, y (y 3+2 y + (2 + 2 + 1)y 3+1 y y + 2y 3 y 3 )2 = = 4b(y 2+1 y + y 2 y 2 )3 + K, где K произвольная постоянная интегрирования.

Обозначим L = 24 6a1 4a2 2a3 a4 и будем считать, что коэффициенты a1, a2, a3, a4, имеют вид:

10. a1 = a 4 2, a2 = 2a + 2 + 1, a3 = a(4 + 1) + 4b, a4 = 4b. При этом L = 4( + 2)(4 2a b);

20. a1 = 5 2 3, a2 = 6b 2 2 1, a3 = 12b (3 + 1)(2 + 2 + 1) 6, a4 = 6b 2 62.

При этом L = 6( + 2)(( + 2)2 b( + 2));

(32) 30. a = 6 3, a2 = 4 + 6 6 1, a3 = 6( + + ) 6 1, a4 = 6.

При этом L = 6( + 2)( + 2)( + 2);

40. a1 = a 3 2, a2 = a, a3 = a(3 + 1) + 3b, a4 = 3b.

При этом L = 3( + 2)(6 2a b).

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение (7), реше ние которого представим в виде ряда (21).

Подставляя (21) в (7), получим, что h0 и r будут удовлетворять уравнениям a11 h4 a10 h3 + (2a8 + a9 )h2 (6a5 + 2a6 + a7 )h0 L = 0, (33) 0 0 (r + 1)(r3 M r2 + Kr N ) = 0, (34) где M = 11 a1 + a5 h0, K = 46 7a1 4a2 a3 + (7a5 + a6 )h0 a8 h2, N = 4L + 3(6a5 + 2a6 + a7 )h0 2(2a8 + a9 )h2 + a10 h3.

0 Считаем, что уравнения (33) и (34) не имеет кратных корней.

Имеют место Теорема 4.2. Пусть r = 4 + 8 является общим корнем урав нения (34) при i = 1, 4 (a11 = 0), что возможно при условиях из (32) и a6 (4 + 2) a5 = 0, a7 =, a9 = a8 (2 + 2), a10 = 0, a11 = 4l( + 2).

Тогда первый интеграл уравнения (7) имеет вид y 4+2 y y = y 4+2 y 2 + ay 4+1 y 2 y + a6 4+2 3 a8 4+4 +by 4 y 4 + y y + ly 4+8 + K, y+ y 3 где K произвольная постоянная интегрирования.

Теорема 4.3. Если коэффициенты уравнения (7) подчинены условиям a5 = k, a6 = k(7 + 7) + 12bk, a7 = 12bk 2k( + 1)(3 + 2), a8 = 2c(6b 2), a9 = 6bk 2 + 12bc 2c( + 2)(3 + 4), a10 = 12bck, a11 = 6bc2, а коэффициенты a1, a2, a3 и a4 определены условием 20 из (32), то уравнение (7) имеет первый интеграл вида (y 3+2 y + (2 + 2 + 1)y 3+1 y y + ky 3+3 y + 2y 3 y 3 + +2k( + 1)y 3+2 y 2 + 2c( + 2)y 3+4 y )2 = = 4b(y 2+1 y + y 2 y 2 + ky 2+2 y + cy 2+4 )3 + K, где K произвольная постоянная интегрирования. При этом r = 6 + 12 является корнем уравнения (34).

Теорема 4.4. Если коэффициенты уравнения (7) подчинены условиям a5 = a6 = a7 = 0, a8 = l(3( + + 4)(3 2) + ( + 2)( 3 4)), a9 = l(6( + + )(3 2) + ( + 2)(3 + 4)( 3 4)) a10 = 0, a11 = 3l2 ( + 2)( + 2)(3 2), а коэффициенты a1, a2, a3 и a4 определены условием 30 из (32), то уравнение (7) имеет первый интеграл вида (y 3+2 y + ( + 3 + 1)y 3+1 y y + (3 )y 3 y 3 + l( + 2)( 3 4)y 3+4 y )2 = (3 2)(2y 2+1 y + (3 )y 2 y l(3 + 4)y 2+4 )(y 2+1 y + y 2 y 2 l( + 2)y 2+4 )2 + K, где K произвольная постоянная интегрирования. При этом r = 6 + 12 является корнем уравнения (34).

Теорема 4.5. Пусть r = 3 + 6 является общим корнем урав нения (34) при i = 1, 3, что возможно при условиях 40 из (32) и a6 = a5 (3 + 3) + 2c, a7 = c(3 + 2), a9 = a8 (3 + 4), a10 = 0, a11 = 0.

Тогда первый интеграл уравнения (7) имеет вид y 3+2 y = ay 3+1 y y + by 3 y 3 + cy 3+2 y 2 + a5 y 3+3 y + a10 3+ +a8 y 3+4 y + y + K, 3 + где K произвольная постоянная интегрирования.

Теорема 4.6. Пусть коэффициенты a1, a2, a3 и a4 определены условием 40 из (32) и a11 = a10 = 0, a9 = 2a8, a7 = 6a5 2a6, L = 0.

Тогда 1) если = 2, то первый интеграл уравнения (7) имеет вид 3a5 + a6 4 y 4 y = ay 5 y y + by 6 y 3 + y y+ a +a5 y 3 y + y 4 y + K, 2) если b = 6 2a, то первый интеграл уравнения (7) имеет вид y 3+2 y = ay 3+1 y y + (6 2a)y 3 y 2a5 y 3+2 y 2 + a5 y 3+3 y + K, где K произвольная постоянная интегрирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе получены следующие результаты:

1) Для дифференциальных уравнений высших порядков получе ны уравнения резонансов. Проведен анализ структуры корней резо нансного уравнения. Установлена связь между корнями резонансно го уравнения и весом каждого члена дифференциального уравнения высшего порядка [4].

2) Для неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка найдены необходимые и достаточные условия наличия по линомиальных относительно производных первых интегралов [2, 7, 9 11].

3) Для однородного дифференциального уравнения четвертого порядка получены достаточные условия наличия полиномиальных относительно производных первых интегралов [1].

4) Для неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка получены достаточные, а в некоторых случаях и необходи мые условия наличия полиномиальных относительно производных первых интегралов [3, 8].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных журналах 1. Здунек А.Г.,Мартынов И.П.,Можджер Г.Т. О первых интегра лах одного уравнения четвертого порядка// Вестник ГрГУ. Сер 2.

2002. №2. С. 16 19.

2. Мартынов И.П.,Можджер Г.Т. О первых интегралах диффе ренциального уравнения третьего порядка// Вестник ГрГУ. Сер.2.

2005. №1. С. 59 66.

3. Мартынов И.П., Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения четвертого порядка// Дифференц. уравнения. 2004.

Т.40, №12. С. 1701 1704.

4. Мартынов И.П., Можджер Г.Т. О резонансах дифференциаль ных уравнений высших порядков// Докл. Нац. Акад. наук Беларуси 2005. Т.49, №4. С. 13 16.

5. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного дифференциаль ного уравнения третьего порядка// Вестник ГрГУ, Сер 2. 2005.

№2. С. 101 112.

6. Можджер Г.Т. О наличии первых интегралов у дифференци ального уравнения третьего порядка// Известия ГГУ им. Ф. Скори ны. 2005. №5(32). С. 156 157.

Тезисы докладов и материалы конференций 7. Можджер Г.Т. О первых интегралах дифференциального урав нения третьего порядка// Междунар. метем. конф. "Дифференци альные уравнения и системы компьютерной алгебры": материалы Междунар. конф., Брест, 5 – 8 октября 2005 г.: В 2 ч./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Белорусский гос. ун-т. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Беларуси. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Украины.

Брестский гос. ун-т. Минск 2005. Ч.1. С. 176 182.

8. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения четвер того порядка// Еругинские чтения VIII: Тез. докладов междунар.

мат. конф., Брест, 20 – 23 мая 2002 г./ БГУ. Ин-т матем-ки Нац.

Акад. наук Беларуси. Брестский гос. ун-т. Брест, 2002. C. 133.

9. Можджер Г.Т. Об одном уравнении третьего порядка с лого рифмическими особенностями// Еругинские чтения IX: Тез. до кладов междунар. мат. конф., Витебск, 20 – 22 мая 2003 г./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Белару си. УО "Витебский гос. ун-т им. П.М. Машерова". УО "Белорусский гос. ун-т". Витебск, 2003. C. 17.

10. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения третье го порядка// Еругинские чтения X: Тез. докладов междунар. мат.

конф., Могилев, 24 – 26 мая 2005 г./ Мин-во образования Респ. Бе ларусь. Государственное научное учреждение "Ин-т матем-ки Нац.

Акад. наук Беларуси". УО "Могилевский гос. ун-т им. А.А. Кулешо ва". УО "Белорусский гос. ун-т". Могилев, 2005. C. 22 23.

11. Можджер Г.Т. О первых интегралах одного уравнения тре тьего порядка// IX Белорусская математическая конференция: Тез.

докладов междунар. мат. конф., Гродно, 3 – 6 ноября 2004 г.: В 3 ч./ Мин-во образования Респ. Беларусь. Белорус. матем. общество. Ин-т матем-ки Нац. Акад. наук Беларуси. БГУ. Гродненский гос. ун-т.

Гродно 2004. Ч.1. C. 157 159.

РЕЗЮМЕ Можджер Гражина Тадеушевна Первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений высших порядков с рациональной правой частью Ключевые слова: дифференциальное уравнение, первый инте грал, промежуточный интеграл, резонансное уравнение, вес урав нения.

Объектом исследования является автономное дифференциальное уравнение, каждый член которого имеет одинаковый вес. Предметом исследования являются первые интегралы рассматриваемых уравне ний.

Целью работы является нахождение достаточных, а также необ ходимых и достаточных условий существования первых интегра лов автономного дифференциального уравнения. В диссертационной работе использовались классические методы аналитической теории дифференциальных уравнений.

В работе впервые получены необходимые, а в некоторых случаях необходимые и достаточные условия наличия первых интегралов ав тономных дифференциальных уравнений высших порядков. Резуль таты диссертации могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений, а также при чтении соответствую щего спецкурcа студентам математических специальностей.

РЭЗЮМЭ Можджэр Гражына Тудэушаўна Першыя iнтэгралы аднаго класа дыферэнцыяльных ураўненняў вышэйшых парадкаў з рацыянальный правай часткай Ключавыя словы: дыферанцыяльнае ўраўненне, першы iнтеграл, прамежковы iнтеграл, рэзананснае ўраўненне, вага ўраўнення.

Аб’ектам даследавання з’яўляецца аўтаномнае дыфференцыяль нае ўраўненне, кожны член якога мае аднолькавую вагу.

Прадметам даследавання з’яўляюцца першыя iнтэгралы разгля даемых сiстэм.

Мэтай работы з’яўляецца знаходжанне дастатковых умоваў iсна вання першых iнтэгралаў аўтаномнага дыференцыяльнага ўраўнен ня. У дысертацыйнай рабоце выкарыстоўвалiся класiчныя метады аналiтычнай тэорыi дыферэнцыяльных ўраўненняў.

У рабоце ў першыню атрыманы неабходныя, а ў некаторых вы падках неабходныя i дастатковыя ўмовы наяўнасцi першых iнтэгра лаў аўтаномных дыференцыяльных ураўненняў вышэйшых парад каў. Вынiкi дысертацыi могуць быць выкарастаны ў аналiтычнай тэорыi дыферэнцыяльных ураўненняў, а таксама пры чытаннi ад паведнага спецкурса студэнтам матэматычных спецыяльнасцяў.

SUMMARY Mozhdzher Grazhina Tadeushevna First integral of one class of higher order dierential equations with rational second member.

Key words: dierential equation, rst integral, intermediate integral, resonance equation, weight of equation.

The object of the research is autonomous dierential equation, every term of which has the same weight. The subject of the research is the rst integral of studied equations.

The purpose of the work is nding sucient, as well as necessary and sucient conditions for the existence of rst integrals of autonomous dierential equation. This thesis was made using classical approaches of analytic theory of dierential equations.

In the thesis sucient and, in some cases necessary and sucient, conditions of availability of rst integrals of higher order autonomous dierential equations were obtained for the rst time. The results of the research can be used in analytic theory of dierential equations and for delivering corresponding special courses for students of mathematical specialities.