Учреждение образования гродненский государственный университет имени янки купалы удк 517.925 проневич андрей францевич r-дифференцируемые интегралы систем в полных дифференциалах

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы» УДК 517.925 Проневич Андрей Францевич R-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 01.01.02 — диффеpенциальные уpавнения Автореферат диссеpтации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Гpодно — 2005 Работа выполнена в Учреждении образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы» Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, профессор Горбузов В.Н., Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы», проректор по научной работе Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Килбас А.А., Белорусский государственный университет, кафедра теории функций;

кандидат физико-математических наук Деменчук А.К., Государственное научное учреждение «Институт математики НАН Беларуси», отдел дифференциальных уравнений Оппонирующая организация: Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Защита состоится 28 декабря 2005 года в 10.00 на заседании совета по защите диссертаций К 02.14.02 при Учреждении образования «Гроднен ский государственный университет имени Янки Купалы» по адресу: 230023, г. Гродно, ул. Ожешко, 22, тел. учёного секретаря (8 0152) 442 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГрГУ им. Я. Купалы Автореферат разослан « » ноября 2005 года Учёный секретарь совета по защите диссертаций К 02.14.02 В.А. Пронько ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссеpтации. Изучение свойств интегралов и пос ледних множителей систем уравнений в полных дифференциалах является основополагающим для многих разделов теории дифференциальных уравне ний, механики и естествознания. Такими, например, являются изучение ин тегралов и интегральных многообразий автономных обыкновенных и много мерных дифференциальных систем.

Основы теории интегралов были заложены в работах J. Liouville, J. Jaco bi, O. Hesse, G. Darboux, Ф.Г. Миндинга, В. П. Ермакова, В.Г. Имшенецкого, Н.М. Гюнтера, П.В. Пфейффера, А.Н. Коркина. Дальнейшее развитие она получила в исследованиях Н.П. Еругина, К.С. Сибирского, А.С. Галиуллина, М.В. Долова, В.И. Мироненко и др. В настоящее время теория интегралов развивается благодаря тесным связям с механикой и естествознанием.

В исследованиях В.И. Мироненко для обыкновенных неавтономных диф ференциальных систем была решена задача наличия стационарных интегра лов. Приложения теории интегралов в качественной теории обыкновенных дифференциальных систем разрабатываются М.В. Доловым в связи с на личием предельных циклов и в окрестности состояний равновесия, а также А.С. Шубэ для решения задачи различения центра и фокуса.

Исследованию теории R-дифференцируемых решений систем дифферен циальных уравнений посвящены работы И.Н. Векуа, Г.Н. Положего, Л. Бер са, А. Гельбарта, Т. Карлемана, А.И. Маркушевича, Б.В. Шабата. В Белару си она связана прежде всего с исследованиями Э.И. Грудо. Теория R-диф ференцируемых функций получает дальнейшее своё развитие благодаря ши роким приложениям в математической физике, осесимметрической теории упругости, теории фильтрации, безмоментной теории оболочек и теории кон центрации напряжений при кручении тел вращения.

Таким образом, всякий прогресс в развитии теории интегралов важен не только как решение чисто математической задачи, но и с точки зрения многих прикладных проблем. Актуальность и недостаточная разработанность вы шеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.

Связь pаботы с кpупными научными пpогpаммами, темами. Дис сеpтация выполнена на кафедpе математического анализа Учреждения об разования «Гpодненский госудаpственный унивеpситет имени Янки Купа лы» в рамках научно-исследовательской темы «Аналитические свойства нелинейных дифференциальных уравнений» (ГР № 20014844), предусмот ренной pеспубликанскими пpогpаммами по математическим структурам и динамическим системам, в рамках которых ведутся исследования на матема тическом факультете Учреждения образования «Гpодненский госудаpствен ный унивеpситет имени Янки Купалы».

Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы состоит в разработке способов исследования аналитических свойств R-дифферен цируемых интегралов и последних множителей систем уравнений в полных дифференциалах и интегралов автономных линейных обыкновенных и мно гомерных дифференциальных систем.

Для этого решаются следующие задачи: о существовании R-дифферен цируемых (s1, s2)-неавтономных (n k1, n k2)-цилиндричных частных ин тегралов, первых интегралов и последних множителей у систем уравнений в полных дифференциалах;

построение базиса первых интегралов вполне раз решимой автономной линейной системы в полных дифференциалах;

постро ение базиса первых интегралов обыкновенной линейной однородной стаци онарной дифференциальной системы.

Объект и пpедмет исследования. Объектом исследования являются системы уравнений в полных дифференциалах и обыкновенные линейные стационарные дифференциальные системы.

Предметом исследования являются R-дифференцируемые частные инте гралы, первые интегралы и последние множители этих систем.

Методология и методы пpоведённого исследования. В диссертации используются методы общей теории обыкновенных и многомерных диффе ренциальных систем: метод частных интегралов построения первых интегра лов и последних множителей, спектральный метод, а также, операторные ме тоды теории производных Ли.

Hаучная новизна и значимость полученных pезультатов. Все pезуль таты данной диссеpтации являются новыми.

Получены необходимые условия и критерии существования R-диффере нцируемых (s1, s2)-неавтономных (n k1, n k2)-цилиндричных частных интегралов, первых интегралов и последних множителей систем уравнений в полных дифференциалах.

Построены R-дифференцируемые первые интегралы вполне разрешимой автономной R-линейной системы в полных дифференциалах. Найдены пер вые интегралы вполне разрешимой вещественной автономной линейной си стемы в полных дифференциалах и обыкновенной линейной однородной ста ционарной дифференциальной системы.

Пpактическая значимость полученных pезультатов. Работа имеет теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в общей, качественной и аналитической теориях дифференциальных уравнений.

С научно-методической точки зрения полученные в диссертации резуль таты могут найти применение при чтении спецкурсов по теории дифференци альных уравнений.

Основные положения диссеpтации, выносимые на защиту.

1. Необходимые условия и критерии существования R-дифференцируе мых (s1, s2 )-неавтономных (n k1, n k2 )-цилиндричных интегралов и по следних множителей систем уравнений в полных дифференциалах.

2. Построение базиса R-дифференцируемых первых интегралов вполне разрешимой автономной R-линейной системы уравнений в полных диффе ренциалах.

3. Построение интегрального базиса вещественных многомерных и обык новенных автономных линейных дифференциальных систем.

Личный вклад соискателя. В диссеpтации включены только те резуль таты, которые получены лично соискателем.

Роль научного руководителя, в соавторстве с которым написаны три ста тьи, состояла в постановке задачи, анализе полученных результатов и в сов местной разработке методов решения задач.

Апpобация pезультатов диссеpтации. Результаты диссеpтационной pаботы докладывались на:

IV Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Но вые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» (Гомель, 2001);

Международной математической конференции «Еругинские чтения-IX» (Витебск, 2003);

«Еругинские чтения-X» (Могилёв, 2005);

четвёртой Международной конференции «Tools for mathematical model ling» (Санкт-Петербург, 2003);

шестой Казанской Международной летней школе-конференции (Ка зань, 2003);

математической конференции «Герценовские чтения – 2004» (Санкт-Пе тербург, 2004);

«Герценовские чтения – 2005» (Санкт-Петербург, 2005);

IX Белорусской математической конференции (Гродно, 2004);

IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи уп равления» (Москва, 2005).

Опубликованность pезультатов. Основные pезультаты диссеpтации опубликованы в 17 работах, среди которых 8 жуpнальных статей, 3 статьи в материалах конференций, 6 тезисов докладов. Общее количество стpаниц опубликованных матеpиалов — 121.

Стpуктуpа и объём диссеpтации. Диссеpтация состоит из введения, об щей хаpактеpистики pаботы, основной части, котоpая подpазделяется на три главы, заключения и списка использованных источников.

Объём диссеpтации — 95 стpаниц;

количество использованных источни ков — 109.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Данная работа посвящена изучению R-дифференцируемых интегралов и последних множителей Якоби систем уравнений в полных дифференциалах.

В ней исследуются аналитические свойства R-дифференцируемых интегра лов и последних множителей, а также строятся интегральные базисы линей ных автономных многомерных и обыкновенных дифференциальных систем.

Рассмотрим систему уравнений в полных дифференциалах (1) dw = X1 (z, w)dz + X2 (z, w)d z, где w и z — точки пространств Cn и Cm соответственно, векторы dw = = colon(dw1,..., dwn), dz = colon(dz1,..., dzm), d z = colon(d z 1,..., d z m ), z j комплексно сопряжено к zj, а элементами матриц X1 (z, w) = Xij (z, w) и X2 (z, w) = являются R-дифференцируемые на области Xi,m+j (z, w) G Cm+n, достаточное число раз, скалярные функции векторного аргумен та Xil : G C (i = 1, n, j = 1, m, l = 1, 2m ).

В приводится обзор научных результатов, относящихся к те ¦¦¤    © § ме диссертации, а также указываются основные методы диссертационного исследования, с помощью которых решаются поставленные задачи. Вводят ся определения R-дифференцируемого первого интеграла, частного инте грала и последнего множителя Якоби системы уравнений в полных диффе ренциалах (1). Излагаются аналитические связи между R-дифференцируе мыми первыми интегралами, частными интегралами и последними множите лями Якоби, при этом отражаются особенности связанные с полной разре шимостью системы уравнений в полных дифференциалах (1).

"¦#" §   ! посвящена вопросам существования R-дифференцируе мых первых интегралов, частных интегралов и последних множителей Якоби дифференциальной системы (1), которые зависят не от всех переменных.

В первом разделе второй главы вводится понятие (s1, s2)-неавтономно го (n k1, n k2)-цилиндричного R-дифференцируемого первого интеграла системы уравнений в полных дифференциалах (1).

Определение 2.1. Пусть F : G C есть R-дифференцируемый на области G, G G, первый интеграл системы (1). Его назо вём (s1, s2)-неавтономным, если функция F, полученная из F посред ством соответствия (2) zj xj, z j yj (j = 1, m ), wi ui, wi vi (i = 1, n ), зависит от u = (u1,..., un ), v = (v1,..., vn) и только от s1 (0 s1 m) переменных x1,..., xm и s2 (0 s2 m) переменных y1,..., ym. При s1 = 0, s2 = 0 первый интеграл F : w F (w), w, где область Cn, будем называть автономным.

Иначе говоря, первый интеграл F системы уравнений в полных диффе ренциалах (1), антиголоморфный по m s1 и голоморфный по m s2 неза висимым переменным, является (s1, s2)-неавтономным.

Определение 2.2. Пусть F : G C есть R-дифференцируемый первый интеграл системы (1). Его назовём (n k1, n k2 )-цилинд ричным, если функция F, полученная из F посредством соответ ствия (2), зависит от x = (x1,..., xm), y = (y1,..., ym ) и только от k1 (0 k1 n) переменных u1,..., un и k2 (0 k2 n) переменных v1,..., vn.

Иначе говоря, первый интеграл F системы уравнений в полных диффе ренциалах (1), антиголоморфный по n k1 и голоморфный по n k2 зави симым переменным, является (n k1, n k2 )-цилиндричным.

Доказан [9, 11, 16, 17] необходимый признак существования (s 1, s2)-не автономного (n k1, n k2)-цилиндричного R-дифференцируемого первого интеграла у системы уравнений в полных дифференциалах (1).

Теорема 2.1. Для того, чтобы система уравнений в полных диффе ренциалах (1) имела (s1, s2)-неавтономный (n k1, n k2 )-цилиндрич ный R-дифференцируемый на области G первый интеграл F : (z, w) F (sz, kw), (z, w) G, (s = (s1, s2 ), k = (n k1, n k2 )), (3) необходимо выполнение на области G системы тождеств W 1, X (z, w) = 0, = 1, s1, W X (z, w) = 0, = s1 + 1, m, W 1, X m+jg (z, w) = 0, g = 1, s2, W X m+j (z, w) = 0, = s2 + 1, m.

Здесь индексы j, jg, j {1,..., m} (при этом, если Jg = {jg : g = 1, s2 }, а множество J = {j : = s2 + 1, m }, то Jg J =, а Card Jg J = m), {1,..., n}, число = k1 + k2, вектор-функции на области G X j : (z, w) X1j,..., Xk1 j, X 1,m+j,..., X k (z, w) (j = 1, m ),, m+j X m+j : (z, w) X1,m+j,..., Xk1,m+j, X 1 j,..., X k (z, w) (j = 1, m ), j а W — вронскиан по переменной, которая принимает значения z, z j, w и w ( = s1 + 1, m, = s2 + 1, m, = k1 + 1, n, = k2 + 1, n ).

Для системы в полных дифференциалах (1) доказан [9, 11, 16, 17] крите рий существования (s1, s2)-неавтономного (n k1, n k2)-цилиндричного R-дифференцируемого первого интеграла.

Теорема 2.2. Для того, чтобы система уравнений в полных диф ференциалах (1) имела (s1, s2)-неавтономный (n k1, n k2)-цилин дричный R-дифференцируемый на области G первый интеграл (3), необходимо и достаточно существования на G векторов-функций s, s2 и = (k1, k2), удовлетворяющих функциональной системе T T s1 + X (z, w) X (z, w) p = 0, = 0, p = 1,, = 1, s1, T T X (z, w) = 0, X (z, w) p = 0, p = 1, 1, = s1 + 1, m, (4) T T gs2 + X m+jg (z, w) = 0, X m+jg (z, w) = 0, p = 1,, g = 1, s2, p T T X m+j (z, w) = 0, X m+j (z, w) = 0, p = 1, 1, = s2 + 1, m, p что функция (3) является общим R-дифференцируемым интегралом на области Gr уравнения Пфаффа s (sz, kw)ds1z + s2(sz, kw)d s2z + k1(sz, kw)dk1w + k2(sz, kw)d k2w = 0.

Здесь векторы ds1z = colon(dz1,..., dzs1 ), d s2z = colon d z j1,..., d z js, d w = colon(dw1,..., dwk1 ), = colon d w1,..., d wk, T — знак k d k2w транспонирования, а область G, r = s + k, является естественной проек r цией области G на координатное подпространство O sz kw, где s и k есть соответственно число независимых и зависимых переменных, от которых за висит функция (3).

Достаточные условия функциональной независимости (s1, s2 )-неавтоно мных (n k1, n k2)-цилиндричных R-дифференцируемых первых интегра лов состоят в следующем [9, 11, 16, 17].

Теорема 2.3. Пусть функциональная система (4) имеет q не являю щихся линейно связанными на области G решений s : (z, w) s1 (sz, kw), s : (z, w) s2 (sz, kw), k1 s ( z, kw), k2 (sz, kw), (z, w) G, = 1, q, : (z, w) а построенные на их основании уравнения Пфаффа s1 s ( z, kw) ds1z + s2 (sz, kw) d s2z + + k1 (sz, kw) dk1w + k2(sz, kw) d k2w = 0 ( = 1, q ), имеют соответственно общие первые интегралы (5) F : (sz, kw) F(sz, kw), (sz, kw) Gr, ( = 1, q ) на области Gr. Тогда R-дифференцируемые общие интегралы (5) яв ляются функционально независимы на области Gr.

Во втором и третьем разделах второй главы диссертации получены необходимый пpизнак и кpитеpий существования (s1, s2)-неавтономного (n k1, n k2 )-цилиндричного R-дифференцируемого последнего множи теля Якоби, (s1, s2 )-неавтономного (n k1, n k2)-цилиндричного R-диф ференцируемого частного интегpала системы (1), а также pешена задача о их функциональной независимости. Пpи этом были использованы подхо ды аналогично pазpаботанным в первом разделе второй главы с учётом тех аналитических pазличий, котоpые пpисущи последнему множителю Якоби и частному интегpалу по сpавнению с пеpвым интегpалом.

!    посвящена построению интегральных базисов (автономных "¦  и неавтономных) линейных автономных многомерных и обыкновенных диф ференциальных систем.

В первом разделе третьей главы рассматривается R-линейная однород ная автономная вполне разрешимая на расширенном пространстве C n+m система уравнений в полных дифференциалах (6) dw = X1 (w)dz + X2 (w)d z, w Cn, z Cm, когда элементами матриц X1(w) = Xij (w) и X2 (w) = Xi,m+j (w), i = 1, n, j = 1, m, являются R-линейные функции n aik w + aik,n+ w, w Cn, (k = 1, 2m, i = 1, n ) Xik : w = с коэффициентами aik C ( = 1, 2n, k = 1, 2m, i = 1, n ). Система (6) индуцирует автономные линейные дифференциальные операторы n (w Cn, j = 1, m ) xj (w) = Xj (w)w + X,m+j (w)w = и n X,m+j (w)w + X j (w)w (w Cn, j = 1, m ), xm+j (w) = = которые не являются линейно связанными на пространстве Cn.

Интегральный базис вполне разрешимой системы (6) на области из C m+n состоит из n первых интегралов, которые являются R-дифференцируемыми функциями. Кроме того, у вполне разрешимой система (6) всегда можно вы делить n m автономных R-дифференцируемых первых интегралов, функ ционально независимых на области из пространства Cn.

Для R-линейной автономной системы уравнений в полных дифференци алах (6) разработан спектральный метод построения R-дифференцируемых первых интегралов, основу которого составляет следующее утверждение Лемма 3.1. Пусть C2n — общий собственный вектор матриц Aj = a1j... anj a1,m+j... an,m+j и Am+j = a1,m+j... an,m+j a1j... anj (j = 1, m ), составленных на основе векторов aik = colon(aik1,..., aik,2n) и aik = colon(aik,n+1,..., aik,2n, aik1,..., aikn) (i = 1, n, k = 1, 2m ). Тогда частным интегралом cистемы (6) является R-линейная функция p : w, w Cn, где вектор = colon(w1,..., wn, w1,..., wn ).

Построение R-дифференцируемых первых интегралов системы (6) осу ществляется на основании следующих закономерностей [7, 8, 15].

Теорема 3.1. Пусть ( = 1, 2m + 1 ) — общие собственные векто ры матриц Ak (k = 1, 2m ). Тогда автономным первым интегралом у системы (6) будет R-дифференцируемая фукция 2m+ h F: w, w, D(F ), = где показатели степени h1,..., h2m+1 суть нетривиальное решение 2m+ k h = 0 (k = 1, 2m ) с коэффициентами k, линейной системы = являющимися собственными числами матриц Ak, которым соответ ствуют собственные векторы ( = 1, 2m + 1, k = 1, 2m ).

Определение 3.1. Пусть — собственное число матрицы A, ко l торому соответствует элементарный делитель кратности s и соб ственный вектор 0l. Тогда вектор l, координатами которого яв ляются решения линейной системы уравнений A E colon 1,..., 2n = colon 1 l,..., 2n l ( = 1, s 1 ), l l 1, 1, l назовём -ым присоединённым вектором матрицы A, соответ ствующим собственному числу.

l Теорема 3.2. Пусть общие собственные векторы 0l (l = 1, r ) мат риц Ak (k = 1, 2m ) и присоединённые векторы l ( = 1, sl 1, l = 1, r ) матрицы A соответствуют собственным числам (l = 1, r ) мат l рицы A, имеющим элементарные делители кратности sl при усло r sl 2m+1. Тогда автономным первым интегралом вполне раз вии l= решимой системы (6) является R-дифференцируемая функция h hq (w), w, D(F ).

F: w exp q q= = Здесь — R-дифференцируемые функции такие, что q (w) q,, w, = 1,, = 1,, (7) = q q q= при условии r, а также = 2m + 1, s 1, = 1,, = xk (w) = µk, µk = const (k = 1, 2m, q = 1,, = 1, ).

q q q Числа hq (q = 0,, = 1, ) составляют нетривиальное решение линей ной однородной системы µk hq = 0 (k = 1, 2m ), где k суть k h0 + q q= = собственные числа матриц Ak, которым соответствуют собственные векто ры 0 ( = 1,, k = 1, 2m ).

Теорема 3.3. Пусть — общий собственный вектор матриц Ak (k = 1, 2m ). Тогда первым интегралом системы уравнений в полных дифференциалах (6) будет R-дифференцируемая на Cm+n функция m (j zj + m+j z j ), (z, w) Cm+n, F : (z, w) () exp j= где k — собственные числа матриц Ak (k = 1, 2m ), которым соот ветствует собственный вектор.

Теорема 3.4. Пусть общий собственный вектор 0 матриц Ak (k = 1, 2m ) и присоединённые векторы ( = 1, s 1 ) матрицы A, соответствуют собственному числу матрицы A, имеющему элементарный делитель кратности s 2. Тогда первыми интеграла ми вполне разрешимой системы уравнений в полных дифференциалах (6) являются R-дифференцируемые функции m (w) µj zj + µq,m+j Fq : (z, w) z j ((z, w) G, q = 1, s 1 ), q q j= где G — область из Cm+n, функции находятся из системы (7), q числа µk = xk (w) (w, Cn, q = 1, s 1, k = 1, 2m ).

q q Во втором разделе третьей главы рассматривается вещественная линей ная однородная автономная вполне разрешимая система уравнений в полных дифференциалах (8) dx = A(x)dt, x Rn, t Rm, когда элементами матрицы A(x) = aij (x) являются линейные функции n aij x, x Rn, (aij R, = 1, n, j = 1, m, i = 1, n ).

aij : x = Для системы (8) разработан спектральный метод построения автономного и неавтономного базисов первых интегралов. В зависимости от веществен ных и комплексных собственных чисел, а также общих собственных и присо единённых векторов перестановочных матриц Aj = aji (j = 1, m ) ука заны виды интегралов. Так, например, в случае когда собственным числам матриц Aj соответствуют простые элементарные делители, первые интегра лы системы (8) строятся посредством следующих утверждений [3, 6, 13, 14].

Теорема 3.5. Пусть k (k = 1, m + 1 ) — общие вещественные соб ственные векторы матриц Aj (j = 1, m ). Тогда функция m+ hk kx F: x, x X, X D(F ), k= где вещественные числа hk (k = 1, m + 1 ) являются нетривиальным m+ j hk = 0 (j = 1, m ), а j — веществен решением линейной системы k k k= ные собственные числа матриц Aj, которым соответствуют соб ственные векторы k (k = 1, m + 1, j = 1, m ) на любой области X будет первым интегралом вполне разрешимой системы (8).

Теорема 3.6. Пусть k = k + k i (k = 1, s, s (m + 1)/2) и ( = s + 1, m + 1 s ) — соответственно общие комплексные (среди которых нет комплексно сопряжённых) и вещественные собствен ные векторы матриц Aj (j = 1, m ). Тогда автономным первым инте гралом вполне разрешимой системы (8) является скалярная функция s m+1s h hk x F: x Pk (x) exp 2 hk k (x), x X, X D(F ).

k=1 =s+ Здесь скалярные функции kx k 2 k x, x Rn, k : x arctg Pk : x x +, x X, k = 1, s, kx а вещественные числа hk, hk (k = 1, s ), h ( = s + 1, m + 1 s ) состав ляют нетривиальное решение линейной однородной системы s m+1s j j j h = 0 (j = 1, m ), 2 k h k k h k + k=1 =s+ где j = j + j i и j — комплексные и вещественные собственные чис k k k ла матриц Aj (j = 1, m ), которым соответствуют собственные векторы k (k = 1, s ) и ( = s + 1, m + 1 s ).

Теорема 3.7. Пусть = + i, s+ = i ( = 1, s, s m/2), 2s+1 = 2s+1 + 2s+1 i и ( = 2s + 2, m + 1 ) — соответственно общие комплексные и вещественные собственные векторы матриц Aj (j = 1, m ). Тогда первыми интегралами вполне разрешимой систе мы (8) являются скалярные функции s hk +hs+k F1 : x Pk (x) exp 2 hk hs+k k (x) · k= m+ 2 h h2s+1 · P2s+1(x) exp 2 h2s+1 2s+1(x) x, x X, =2s+ s hk +hs+k F2 : x Pk (x) exp 2 hk hs+k k (x) · k= m+ 2 h h2s+1 · P2s+1(x) exp 2 h2s+1 2s+1(x) x, x X.

=2s+ Здесь X есть область из множества D(F1 ) D(F2), скалярные функции kx k 2 k x, x Rn, k : x arctg Pk : x x +, x X, k = 1, s, kx k = 2s + 1, комплексные числа hk = hk + hk i (k = 1, m + 1 ) составляют m+ j hk = 0 (j = 1, m ), где нетривиальное решение линейной системы k k= j = j + j i, j j j j s+ = i ( = 1, s ), 2s+1 = 2s+1 + 2s+1 i и j j j ( = 2s + 2, m + 1 ) — соответственно комплексные и вещественные соб ственные числа матриц Aj (j = 1, m ), которым соответствуют общие соб ственные векторы k (k = 1, m + 1 ).

Теорема 3.9. Пусть — общий вещественный собственный вектор матриц Aj (j = 1, m ). Тогда первым интегралом вполне разрешимой системы (8) является скалярная функция m j tj, (t, x) Rn+m, F : (t, x) (x) exp j= где j — вещественные собственные числа матриц Aj (j = 1, m ), ко торым соответствует собственный вектор.

Следствие 3.3. Пусть = + i — общий комплексный собствен ный вектор матриц Aj (j = 1, m ). Тогда первыми интегралами вполне разрешимой системы (8) являются скалярные функции m 2 2 j n+m x + x F1 : (t, x) exp 2 tj, (t, x) R, j= и m x j n+m F2 : (t, x) arctg tj, (t, x) D, D R, x j= где j = j + j i — собственные числа матриц Aj (j = 1, m ), которым соответствует собственный вектор.

В третьем разделе третьей главы рассматривается обыкновенная линей ная однородная стационарная дифференциальная система (9) dx = Ax dt, x Rn, A = aij, aij R.

nn Для системы (9) предложен спектральный метод построения автономного и неавтономного базисов первых интегралов. В зависимости от того, являют ся ли собственные числа матрицы B, транспонированой к матрице A, ве щественными, комплексными или им соответствуют кратные элементарные делители, определяется аналитическая структура интегралов.

В частности, доказаны следующие теоремы [4, 5]:

Теорема 3.16. Пусть — собственное число матрицы B, кото рому соответствуют m-кратный (m 2) элементарный делитель, вещественные собственный 0 и первый присоединенный 1 векто ры. Тогда скалярная функция 1x F : x x exp 0, x X, x где X — область из множества {x : 0x = 0}, является автономным первым интегралом дифференциальной системы (9) на области X.

Следствие 3.7. Пусть = + i — существенно комплексное соб ственное число матрицы B, которому соответствуют m-кратный 2) элементарный делитель, собственный вектор 0 = 0 + 0 i и (m первый присоединенный вектор 1 = 1 + 1 i. Тогда функции (x) (x) 2 0 +x F1 : x x exp 2, x X, 0x 2 0x + и 0x (x) + (x) F2 : x arctg, x X, 0x 2 0x 0x + где полиномы : x 0 x 1x + 0 x 1x, x Rn, : x 0x 1 x 0x 1 x, x Rn, являются автономными первыми интегралами дифференциальной системы (9) на любой области X из множества x : 0x = 0.

Теорема 3.17. Пусть — собственное число матрицы B, кото рому соответствуют m-кратный (m 2) элементарный делитель, собственный 0 и (m 1)-присоединенных k (k = 1, m 1 ) векто ров. Тогда функционально независимые скалярные функции (10) Fg : x g (x), x X, (g = 2, m 1 ), где функции g : X R такие, что k k k i (x) kix (k = 1, m 1 ), x= i i= а X — область из множества {x : 0x = 0}, являются автономными первыми интегралами системы (9) на области X.

Теорема 3.17 предусматривает как случай вещественного собственного числа матрицы B, так и комплексного. При комплексном первые ин тегралы (10) распадаются на вещественнозначные первые интегралы Fg,1 : x Re g (x) и Fg,2 : x Im g (x), x X, (g = 2, m 1 ), 2 где X — область из множества x : 0x + 0x =0.

Теорема 3.19. Пусть — собственное число матрицы B, кото рому соответствуют m-кратный (m 2) элементарный делитель, вещественные собственный 0 и первый присоединённый 1 векто ра. Тогда скалярная функция 1x (11) F : (t, x) 0 t, (t, x) R X, x где X — область из множества {x : 0x = 0}, является первым инте гралом дифференциальной системы (9) на области R X.

При комплексном первый интеграл (11) распадается на два веществен нозначных первых интеграла 0 x 1 x + 0x 1 x F1 : (t, x) t, (t, x) R X, 2 0x + 0x и 0x 1 x 0x 1 x F2 : (t, x), (t, x) R X, 0x 2 0x + 2 где X — область из множества x : 0x + 0x =0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Получены признаки и критерии существования (s1, s2 )-неавтономных (n k1, n k2)-цилиндричных R-дифференцируемых первых интегралов, (s1, s2 )-неавтономных (n k1, n k2 )-цилиндричных R-дифференцируемых последних множителей и (s1, s2 )-неавтономных (n k1, n k2 )-цилиндрич ных R-дифференцируемых частных интегралов у системы уравнений в пол ных дифференциалах [9 – 11, 16, 17].

Разработан спектральный метод построения автономного и неавтономно го базисов R-дифференцируемых первых интегралов для вполне разреши мой автономной R-линейной системы уравнений в полных дифференциалах [7, 8, 15].

Разработан спектральный метод построения автономного и неавтономно го базисов первых интегралов для вполне разрешимой вещественной авто номной линейной однородной системы уравнений в полных дифференциалах [1 – 3, 6, 12 – 14].

Предложен спектральный метод построения автономного и неавтономно го базисов первых интегралов для обыкновенной линейной однородной ста ционарной системы [4, 5].

В работе приведены примеры в которых иллюстрируются теоретические исследования, выполненные в диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах:

1. Горбузов В.Н., Пpоневич А.Ф. Спектpальный метод постpоения инте гpального базиса якобиевой системы в частных пpоизводных// Дифференц.

уравнения и процессы управления [Электрон. ресурс]. – 2001. – № 3. – С. 17 – 45. – Режим доступа: http://www.neva.ru.

2. Проневич А.Ф. Интегралы якобиевой системы в комплексной облас ти// Веснiк Гродзенскага дзяржаyнага yнiверсiтэта. Сер. 2. – 2002. – № 1(9).

– C. 19 – 25.

3. Проневич А.Ф. Автономные интегралы линейных систем в полных диф ференциалах // Дифференц. уравнения. – Минск, 2002. – 24 с. – Деп. в ВИНИТИ 02.10.2002. – № 1667-В2002.

4. Проневич А.Ф. Базис автономных первых интегралов линейной систе мы третьего порядка в комплексной области// Веснiк Гродзенскага дзяр жаyнага yнiверсiтэта. Сер. 2. – 2002. – № 2(11). – С. 23 – 29.

5. Горбузов В.Н., Проневич А.Ф. Построение интегралов линейной диф ференциальной системы// Веснiк Гродзенскага дзяржаyнага yнiверсiтэта.

Сер. 2. – 2003. – № 2(22). – С. 50 – 60.

6. Проневич А.Ф. Интегралы линейной многомерной системы простой матричной структуры// Mathematical research (Saint-Petrsburg). – 2003. – Vol. 10. – p. 143 – 152.

7. Горбузов В.Н., Проневич А.Ф. Интегралы R-линейных систем в пол ных дифференциалах// Докл. НАН Беларуси. – 2004. – Т. 48, № 1. – С. 49 – 52.

8. Проневич А.Ф. Интегралы систем уравнений в частных производных с R-линейными коэффициентами// Веснiк Гродзенскага дзяржаyнага yнiвер сiтэта. Сер. 2. – 2005. – № 1(31). – С. 45 – 52.

Материалы конференций:

9. Проневич А.Ф. R-дифференцируемые интегралы систем уравнений в частных производных// Герценовские чтения – 2004 «Некоторые актуаль ные проблемы современной математики и математического образования»:

Материалы науч. конф., Санкт-Петербург, 12 – 16 апреля 2004 г. / Россий ский ГПУ им. А. И. Герцена. – СПб., 2004. – C. 65 – 70.

10. Проневич А.Ф. R-дифференцируемые интегралы обыкновенной диф ференциальной системы// Идентификация систем и задачи управления:

Труды IV Международной конф., Москва, 25 – 28 января 2005 г./ Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. – М., 2005. – С. 457 – 464.

11. Проневич А.Ф. R-дифференцируемые интегралы многомерных диф ференциальных систем// Герценовские чтения – 2005 «Некоторые актуаль ные проблемы современной математики и математического образования»:

Материалы науч. конф., Санкт-Петербург, 18 – 22 апреля 2005 г. / Россий ский ГПУ им. А. И. Герцена. – СПб., 2005. – C. 86 – 92.

Тезисы докладов:

12. Проневич А.Ф. Интегральный базис линейной системы в частных производных // Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях: Материалы IV респ. науч. конф. студентов и аспирантов, Гомель, 19 – 22 марта 2001 г./ Гомельский гос. ун-т. им. Ф. Скорины. – Гомель, 2001. – С. 113 – 114.

13. Проневич А.Ф. Базис автономных интегралов линейной системы в полных дифференциалах// Еpугинские чтения – IX: Тез. докл. Междунаpод ной мат. конф., Витебск, 20 – 22 мая 2003 г. / Мин-во обpазования РБ. Бел.

мат. об-во. Ин-т мат. Hац. Акад. наук Белаpуси. Витеб. гос. ун-т. – Витебск, 2003. – С. 21 – 22.

14. Проневич А. Ф. Интегралы линейной многомерной системы простой матричной структуры// Tools for mathematical modelling: Тез. докл. четвёр той Международной конф., Санкт-Петербург, 23 – 28 июня 2003 г. / Санкт Петербургский гос. политех. ун-т. – СПб., 2003. – C. 225.

15. Проневич А.Ф. Интегралы R-линейной системы уравнений в полных дифференциалах // Теория функций, её приложения и смежные вопросы:

Материалы шестой Казанской Международной летней школы-конф., Ка зань, 27 июня – 4 июля 2003 г. / Казанский гос. ун-т. НИИ мат. и мех.

КГУ. Московский гос. ун-т. Акад. наук Респ. Татарстан. – Казань, 2003. – С. 171 – 172.

16. Проневич А.Ф. Об R-дифференцируемых интегралах систем уравне ний в полных дифференциалах// IX Белорусская математическая конферен ция: Тез. докл. Междунаpодной мат. конф., Гродно, 3 – 6 ноября 2004 г. / Мин-во образ. Респ. Беларусь. Бел. мат. об-во. Ин-т мат. HАН Белаpуси.

Бел. гос. ун-т. Гроднен. гос. ун-т. – Гродно, 2004. – С. 169 – 171.

17. Проневич А.Ф. Об интегралах систем уравнений в частных производ ных с R-дифференцируемыми коэффициентами// Еpугинские чтения – X:

Тез. докл. Междунаpодной мат. конф., Могилёв, 24 – 26 мая 2005 г. / Мин во обpазования РБ. Ин-т мат. HАН Белаpуси. Могилёв. гос. ун-т. Бел. гос.

ун-т. – Могилёв, 2005. – С. 169 – 170.

РЕЗЮМЕ Проневич Андрей Францевич R-дифференцируемые интегралы систем в полных дифференциалах Ключевые слова: система уравнений в полных дифференциалах, R-диф ференцируемый первый интеграл, R-дифференцируемый частный интеграл, R-дифференцируемый последний множитель Якоби.

Объектом исследования являются системы уравнений в полных диф ференциалах и обыкновенные линейные стационарные дифференциальные системы. Предметом исследования являются R-дифференцируемые первые интегралы, частные интегралы и последние множители Якоби этих систем.

Цель работы — изучение аналитических свойств R-дифференцируемых ин тегралов и последних множителей Якоби систем уравнений в полных диффе ренциалах, а также интегралов автономных линейных обыкновенных и мно гомерных дифференциальных систем. Использовались методы общей тео рии обыкновенных и многомерных дифференциальных уравнений.

Установлены необходимые условия и критерии существования R дифференцируемых (s1, s2)-неавтономных (n k1, n k2 )-цилиндричных первых интегралов, частных интегралов и последних множителей Якоби си стем уравнений в полных дифференциалах, разработан спектральный метод построения базисов первых интегралов многомерных и обыкновенных авто номных линейных дифференциальных систем. Полученные результаты явля ются новыми и могут быть использованы в общей и аналитической теориях дифференциальных уравнений.

РЭЗЮМЭ Праневiч Андрэй Францавiч R-дыферэнцыруемыя iнтэгралы сiстэм у поуных дыферэнцыялах Ключавыя словы: сiстэма урауненняу у поуных дыферэнцыялах, R-ды ферэнцыруемы першы iнтэграл, R-дыферэнцыруемы частковы iнтэграл, R-дыферэнцыруемы апошнi множнiк Якобi.

Аб’ектам даследвання з’яуляюцца сiстэмы урауненняу у поуных дыфер энцыялах i звычайныя лiнейныя стацыанарныя дыферэнцыяльныя сiстэмы.

Прадметам даследвання з’яуляюцца R-дыферэнцыруемыя першыя iнтэгра лы, частковыя iнтэгралы i апошнiя множнiкi Якобi гэтых сiстэм. Мэта рабо ты — даследаванне аналiтычных уласцiвасцяу R-дыферэнцыруемых iнтэг ралау i апошнiх множнiкау Якобi сiстэм урауненняу у поуных дыферэнцы ялах, а таксама iнтэгралау аутаномных лiнейных звычайных i мнагамерных дыферэнцыяльных сiстэм. Выкарыстоувалiся метады агульнай тэорыi звы чайных i мнагамерных дыферэнцыяльных урауненняу. Устаноулены неабходныя умовы i крытэры iснавання R-дыферэнцыру емых (s1, s2)-неаутаномных (n k1, n k2)-цылiндрычных першых iнтэ гралау, частковых iнтэгралау i апошнiх множнiкау Якобi сiстэм урауненняу у поуных дыферэнцыялах, распрацавамы спектральны метад пабудавання базiсау першых iнтэгралау мнагамерных i звычайных аутаномных лiней ных дыферэнцыяльных сiстэм. Атрыманыя вынiкi з’яуляюцца новымi i мо гуць выкарыстоувацца у агульнай i аналiтычнай тэорыях дыферэнцыяльных урауненняу.

SUMMARY Pronevich Andrey Frantsevitch R-dierentiate integrals of exact dierential systems Keywords: exact dierential system, R-dierentiate rst integral, R-dieren tiate partial integral, R-dierentiate Jacobi’s last multiplier.

The objects of investigation are exact dierential systems and ordinary linear autonomy dierential systems. The subjects of investigation are R-dierentiate rst integrals, partial integrals and Jacobi’s last multipliers of these systems.

The objective of the work is the investigation of analytic properties of R-dif ferentiate integrals and Jacobi’s last multipliers for exact dierential systems and integrals of autonomy linear ordinary and multidimensional dierential systems.

The methods of general ordinary and multidimensional theories of dierential systems are used.

The conditions and criteria necessary for R-dierentiate (s 1, s2)-non auto nomy (nk1, nk2)-cylindrical integrals existence and Jacobi’s last multipliers for exact dierential systems are obtained. The spectral method of the rst integrals basis construction for multidimensional and ordinary autonomy linear dierential systems was developed. The results obtained are new and can be utilized in general and analytic theories of dierential systems.