Юрий матвеевич конструктивные методы анализа множеств управляемости и достижимости динамических систем

На правах рукописи

УДК 519.6 Семенов Юрий Матвеевич Конструктивные методы анализа множеств управляемости и достижимости динамических систем 01.01.02. Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Чебоксары 2010

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова

Научный консультант:

доктор технических наук, академик РАН, профессор Коровин Сергей Константинович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Васильев Фёдор Павлович, МГУ ВМК доктор физико-математических наук, профессор Афанасьев Александр Петрович, ИСА РАН доктор физико-математических наук, профессор Елкин Владимир Иванович, ВЦ РАН

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов.

Защита диссертации состоится 6 октября 2010 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государ ственном университете имени М. В. Ломоносова, расположенном по ад ресу: 119991, Российская федерация, Москва, ГСП – 1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова

Автореферат разослан 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 501.001.43, доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович Общая характеристика диссертации Актуальность темы исследования. Математическая теория управ ления содержит ряд тесно связанных направлений исследования дина мических управляемых систем: вопросы оптимизации, управляемости и наблюдаемости, теорию управления движением, теорию автоматического управления, теорию факторизации и декомпозиции управляемых систем, теорию стабилизации управляемых систем, теорию наблюдателей в усло виях определенности и неопределенности, игровые задачи и т. д., а также численные методы их решения.

В математическую и прикладную теорию управления выдающийся и разносторонний вклад внесли отечественные математики академики РАН Р. В. Гамкрелидзе, С. В. Емельянов, В. А. Ильин, С. К. Коровин, Н. Н.

Красовский, А. Б. Куржанский, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Ю. С.

Осипов, Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, Ф. Л. Черноусько, чл.-кор. РАН С. М. Асеев, В. И. Зубов, Ю. Н. Павловский, а также Е. Р. Аваков, А. А.

Аграчев, В. В. Александров, В. М. Алексеев, Ю. Н. Андреев, А. В. Ар утюнов, А. П. Афанасьев, В. И. Благодатских, В. Г. Болтянский, А. Г.

Бутковский, Ф. П. Васильев, Р. Ф. Габасов, И. В. Гайшун, Н. Л. Григорен ко, А. В. Дмитрук, А. Я. Дубовицкий, В. И. Елкин, М. И. Зеликин, А. В.

Ильин, Ф. М. Кириллова, М. М. Коган, В. И. Коробов, А. П. Крищенко, И. А. Крылов, Л. А. Кун, А. М. Летов, А. В. Лотов, А. А. Милютин, М.

С. Никольский, А. И. Овсеевич, Н. Н. Петров, Е. С. Половинкин, Б. Н.

Пшеничный, А. И. Субботин, В. И. Сумин, М. И. Сумин, В. М. Тихоми ров, Е. Л. Тонков, Р. П. Федоренко, А. А. Фельдбаум, А. Ф. Филиппов, В.

В. Фомичев, А. М. Формальский и другие.

С самого начала развития теории управления много внимания уделялось исследованию линейных управляемых систем с постоянными коэффици ентами. Линейные управляемые системы с постоянными коэффициентами обычно задаются системами линейных дифференциальных уравнений ви да x = Ax + Bu, x Rn, u U Rm, (1) в которой A Mnn и B Mmn постоянные матрицы. Класс линейных управляемых систем с постоянными кэффициентами единствен, для кото рого почти все вопросы теории управления поддаются общему анализу, в частности, теории управляемости и достижимости.

Множество всех точек пространства Rn, которые можно перевести в точ ку 0 за время t 0 называется множеством 0-управляемости системы (1) за время t 0 и обозначается S(t). Множество всех точек пространства Rn, в которые можно перевести точку 0 за время t 0 называется мно жеством 0-достижимости системы (1) за время t 0 и обозначается K(t).

Обычно они представляются интегралами от многозначных отображений t t As eAs BU ds.

At S(t) = e BU ds, K(t) = e (2) 0 Исторически сформировался ряд общих задач теории управляемости и до стижимости динамических систем. Выделим из них следующие:

1. Задача мгновенной 0-управляемости. При каких условияx мно жество S(t) = Rn t 0 ?

2. Задача полной управляемости. При каких условияx существу ет конечный момент времени T 0, для которого множество S(t) = Rn t T ? Если система (1) вполне управляема, то как вычислить нижнюю грань (момент полной управляемости) tcc моментов времени t, для которых S(t) = Rn ?

3. Задача глобальной 0-управляемости. При каких условияx мно жество S : = { S(t) : t 0} = Rn ?

4. Задача локальной мгновенной 0-управляемости. При каких условияx множества S(t) содержат окрестность точки 0 t 0 ?

5. Задача локальной 0-управляемости. При каких условияx су ществует такой момент времени t (0, +), что множества S(t) содержат окрестность точки 0 t t ? Если система (1) локаль но 0-управляема, то как вычислить момент локальной 0-управляемости tlc (нижнюю грань моментов времени t, для которых S(t) содержит окрестность точки 0)?

Все перечисленные задачи и их аналоги для множеств достижимости яв ляются специализациями общей проблемы описания эволюции множеств управляемости и достижимости (множеств УД) системы (1) при измене нии параметра t в интервале (0, +). Существует много работ, в которых исследовались с разных сторон эти задачи. Выделим среди них наиболее значительные.

В 1958 году Р. В. Гамкрелидзе [1] доказал критерий полной управляе мости в важном случае систем вида (1), когда x = Ax + bu, x Rn, b Rn, u R.

(3) В 1959 году критерий полной управляемости для систем вида (1) с U = R m дал Л. С. Понтрягин [2]. В 1961 году R. E. Kalman [3] привел много при ложений критерию полной управляемости системы (1) с U = R m и поло жил его в основу теорий управляемости и наблюдаемости, после чего этот критерий получил название критерия Калмана. B. F. Brammer [5 ] в году дал полное решение задачи локальной 0-управляемости систем вида (1) и доказал критерий полной управляемости систем вида (1) с кониче скими множествами ограничений управлений. В 1978 году Семенов Ю. М.

[1] получил наиболее полное решение задачи глобальной 0-управляемости, вошедшее в кандидатскую диссертацию автора. Решение задачи мгновен ной 0-управляемости в общем случае было дано R. M. Bianchini в 1982 [6 ].

В 1990 году Ю. М. Семенов [3] доказал теорему, в которой описал предел множеств управляемости при t 0 + 0, следствиями которой явились и критерий Калмана, и теорема R. M. Bianchini.

Казалось бы, что в теории управляемости линейных управляемых си стем с постоянными коэффициентами больше не осталось задач достой ных внимания. Однако, среди перечисленных выше задач для систем вида (1), оставалась нерешенной в общем случае задача полной управляемости, важная с теоретической точки зрения. Осталась совершенно неисследован ной задача вычисления момента локальной 0-управляемости t lc и момента полной управляемости tcc для систем вида (1). Нам известна лишь одна публикация, в которой была сделана попытка вычисления момента t lc. В 1971 году S. H. Saperstone и J. A. Yorke [4] высказали предположение о моменте tlc для локально управляемого двойного гармонического осцилля тора с разными частотами 1 = 2 с уравнением вида (3) с u [0, 1], как функции от значений 1, 2, но оно оказалось неверным. Следует также отметить, что теория управляемости и достижимости систем вида (1) до сих пор состояла из мало связанных между собой фрагментов и не имела определенную форму, в которой доказательства всех теорем имеют четко выделенные общие основания. Создание общей теории УД систем вида (1) актуально и потому, что позволяет пролить свет и на аналогичные про блемы для других классов управляемых систем и возможно даст какие-то новые идеи для их решения.

Цель работы состоит в построении теории эволюции множеств управ ляемости и достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами и разработке на ее основе конструктивных методов ана лиза множеств УД динамических систем.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории управления, линей ной алгебры, выпуклого анализа и конечномерной геометрии. Существен ное значение для теории имеет классификация линейных операторов на конечномерных пространствах. Термины теории категорий и функторов применяются как наиболее подходящие при обосновании и использовании метода приведения задач управляемости и достижимости к решению ана логичных для редуцированных управляемых систем.

Научная новизна. В диссертации в основу изучения множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами (класса C) положено новое, геометрическое в своей основе, исследование множеств достижимости систем класса Cs, заданных интегралами от многозначных отображений вида t Z(s) ds, 0, K(t) : = A(t) (4) обобщающих класс интегралов вида (2). Предполагается, что A(t) и Z(t) линейные операторы на пространстве V, где параметр t [0, +), выпуклое подмножество V. Множества управляемости для систем класса Cs не определяются. На основе построенной в диссертации теории эволю ции интегралов вида (4) по параметру t в интервале (0, +), разработаны новые методы конструктивного анализа множеств УД систем класса C. По строенная теория эволюции множеств УД систем класса C позволяет дать новые доказательства всех известных теорем теории УД в классе C и ре шить до конца почти все ее общие проблемы. На основе теории эволюции множеств УД систем класса C разработаны новые конструктивные методы решения задачи вычисления моментов скачков функции размерности наи большего линейного подпространства, лежащего в S(C, t) (t (0, +)), в частности, долго стоящей открытой, задачи вычисления момента пол ной управляемости. Эти методы использованы для вычисления моментов локальной 0-управляемости ряда конкретных систем класса C.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказан ряд новых теорем геометрической теории эволюции мно жеств достижимости систем класса Cs, на базе которых построена общая теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем, необяза тельно автономных. Эти теоремы положены в основу конструктивной теории эволюции множеств УД для систем класса C.

2. В рамках разработанной теории эволюции множеств УД систем клас са C предложены решения основных проблем теории УД систем класса C.

Из них особо выделяется решение в общем случае задачи полной управляе мости, когда множество U свободно от каких-либо ограничений. Показано, что тогда описание эволюции множеств УД систем класса C сводится к последовательному изучению эволюции конусов УД некоторого конечного ряда систем с понижающимися порядками, с коническими ограничения ми управлений.

3. На основе теории эволюции множеств УД систем класса C разрабо таны общие конструктивные методы анализа (графический, численный и аналитический) множеств УД управляемых систем класса C. В том чис ле, для вполне управляемых линейных систем класса C с коническими ограничениями управлений, конструктивные методы вычисления мо мента полной управляемости tcc, описания пространства линейной ста билизации, поиска конуса опорных векторов к множеству управляемости S(C, tcc) в момент полной управляемости;

следствиями которых являются, в частности, конструктивные методы вычисления момента t lc локальной 0 управляемости для локально 0-управляемых систем класса C.

Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации имеют как теоретическое, так и практическое значение. По строенная теория эволюции множеств УД позволяет взглянуть на все фак ты теории УД систем класса C с единой точки зрения. Положенное в основу теории исследование интегралов вида (4) позволяет распространить тео рию эволюции множеств УД на некоторые расширения класса линейных управляемых систем в классе линейных систем с переменными коэффи циентами. Разработанные конструктивные методы анализа множеств УД дают подход к вычислению моментов скачков множеств УД, нахождению опорных конусов к множествам УД в моменты локальной 0-управляемости и находить моменты локальной 0-управляемости t lc систем класса C.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части были доложены на следующих семинарах и конференциях: на Всесоюзной конференции "Динамическое управление" (Свердловск, 1979);

на Всесоюзной школе "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1988, 1990);

на Международном Советско-Польском семина ре "Математические методы оптимального управления и их приложения" (Минск, 1989);

на Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 1990);

на "Понтрягинских чтениях" (Воронеж 1996, 1997, 1998, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009);

на "Воронежской зимней математическая школе" (Воронеж, 2005);

неоднократно выступал на Все российском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" под руководством академиков Емельянова С. В. и Корови на С. К., начиная с 2005;

на семинаре кафедры системного анализа ВМиК МГУ под руководством академика Куржанского А. Б.;

на 15-й и 17-й Меж дународной конференции "Математика. Образование" (Чебоксары 2007 и 2009);

на Международной конференции по математической теории управ ления и механике (Суздаль, 2007);

на Международной конференции "Диф ференциальные уравнения и топология" (Москва 2008);

на 8-ой Всероссий ской научно-технической конференции "Динамика нелинейных дискрет ных электротехнических и электронных систем" (Чебоксары 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 52 научных работ.

В основные публикации включено 12 работ, из них 10 относятся к пуб ликациям перечня ВАК (Математический сборник, Дифференциальные уравнения), одна монография и одна работа из сборника трудов ИСА под редакцией академиков РАН С. В. Емельянова и С. К. Коровина.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, трех дополнений, списка литературы из 112 наименований. В работе име ется 12 рисунков.

Обзор содержания диссертации Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведе ны основные определения, даны общие постановки задач и краткий обзор состояния области исследования в настоящее время.

В первой главе обсуждаются и уточняются основные сведения из теории управления и смежных разделов математики, необходимые при построении конструктивной теории эволюции множеств УД линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами.

В первом пункте определяется категория B вещественных банахо вых пространств, выделяется ее подкатегория E конечномерных банахо вых пространств и вводится категория M (конечномерных вещественных линейных пространств, снабженных одним линейным оператором).

Во втором пункте приводятся необходимые сведения из теории вы пуклых множеств. Отметим, что в класс выпуклых множеств мы не вклю чаем пустое множество. Выпуклое множество P V называется конусом, если оно замкнуто относительно операции умножения на неотрицательные вещественные числа в V. Наибольшее линейное подпространство, содер жащееся в замыкание P конуса P, называется линейным краем конуса P.

Полупрямая l V с концом в точке 0 называется лучом бесконечного (ре цессивного) направления выпуклого множества P, если существует такая точка a P, что полупрямая a + l P. Объединение лучей бесконечных направлений выпуклого множества P образует выпуклый конус, который называется конусом бесконечных (рецессивных) направлений выпуклого множества P и обозначается conP. Если P лежит в конечномерном про странстве, то конус conP топологически замкнут. Если у выпуклого мно жества P нет лучей бесконечных направлений (P ограничено), то, по определению, conP = {0}. Наибольшее линейное подпространство, лежа щее в конусе conP, обозначается linP. Выпуклое множество P называется правильным, если linP = 0. Через ConP обозначается коническая оболоч ка множества P, а через LinP линейная оболочка множества P. Символы con(. ), lin(. ) рассматриваются как операторы на классе выпуклых мно жеств, а символы Con(. ), Lin(. ) на классе множеств.

Следующая теорема входит в ряд наиболее принципиальных в теории эволюции множеств УД, поскольку именно она находится в основе свойства восстановимости множеств УД по отношению к редукциям систем.

Теорема 1.2.4. Пусть P выпуклое подмножество пространства V класса B, : V W сюръективное линейное непрерывное отображе ние пространства V в пространство W класса B. Если linP = Ker, то P = 1P. (2) Конечное семейство точек A = (a1,..., ar ), лежащее в линейном под пространстве V V, называется X-семейством в V, если его коническая оболочка Con A = V. Если его линейная оболочка Lin A = V и раз мерность линейного края конуса Con A больше 0, то семейство точек A называется Y -семейством в V.

Предложение 1.2.9. Пусть выпуклое множество P содержится в n мерном линейном пространстве V. Следующие условия эквивалентны:

1) ConP = V ;

2) P содержит окрестность точки 0;

3) в P можно выделить такое семейство векторов (v0, v1,..., vn), что а) векторы (v1,..., vn) образуют базис в V ;

б) все координаты вектора v0 в базисе (v1,..., vn) отрицательны.

В третьем пункте определяется категория выпуклых пар V. Точнее рассматривать выпуклое множество P V как пару (V, P ), в которой P это выпуклое подмножество банахова пространства V. Класс всех выпуклых пар обозначается V. Линейное отображение : V W на зывается отображением выпуклой пары (V, P ) в выпуклую пару (W, Q), если P Q. В категории V выделяется ряд подкатегорий, полезных при классификации линейных управляемых систем;

так через V lin (Vcon, V0 ) обозначается категория линейных подпространств (замкнутых конусов и, соответственно, выпуклых множеств, содержащих точку 0). Здесь же опре делены важные функторы lin, Lin, con, Con на категории V со значени ями в категориях Vlin и Vcon. По умолчанию все функторы на классах морфизмов тождественны.

Если каждому моменту времени t 0 сопоставлена выпуклая пара (V, P (t)) класса V, то говорят, что задано t-семейство выпуклых пар (V, P ).

t-семейство выпуклых пар (V, P ) можно рассматривать как пару, состав ленную из линейного пространства V класса B и отображения P : (0, +) V(V ) в множество всех выпуклых подмножеств пространства V. Класс всех t семейств выпуклых пар обозначается V и обращается в категорию. Кате горию V можно рассматривать как t-семейство категорий выпуклых пар.

В категории V выделяется ряд подкатегорий.

В четвертом пункте рассматриваются различные классы управле ний и приводятся основные сведения об их свойствах. Важным здесь явля ется анализ понятия спаривания управлений (контингенции управлений), необходимое при выводе формул сложения множеств УД.

В пятом пункте определяются системы класса Cs. Система класса Cs задается четверкой C = (V, A, Z, ), где V конечномерное пространство, A, Z : [0, +) L(V ) однопараметрические семейства невырожденных линейных операторов на V, A(0) = 1V, замкнутое выпуклое подмножество пространства V.

Множества достижимости систем класса Cs определяются интегралами от многозначных отображений вида t K(C, t) : = A(t) Z(s) ds.

Множества управляемости для систем класса Cs не определяются. Систе мы вида (V, 1V, Z, ) называются H-системами и образуют класс Ch.

В шестом пункте определяется важное понятие K-остова управля емой системы C Cs, как однопараметрического семейства множеств достижимости K(C, t), t 0 и, тем самым, устанавливается основной объект теории эволюции множеств УД. K-остовы H-систем монотонны по включению, если 0. С K-остовом K(C, t) связываются в качестве наи более важных объектов линейный linK(C, t) и конический conK(C, t) K-остовы системы C. Показано, что класс Cs содержит класс линейных управляемых систем (необязательно автономных). Здесь же собраны наи более общие свойства множеств УД линейных управляемых систем.

В седьмом пункте определяются различные типы точек фазово го пространства системы C, характерные для множеств достижимости управляемой системы. Определяются множества K 0(C), K0(C), AP (C), K (C, t), K(C), K (C), K(C), каждое из которых описывает свои осо бенности в строении K-остова системы C на концах промежутка (0, +).

В восьмом пункте ставятся основные задачи теории УД в классе линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами.

Во второй главе строится общая теория эволюции множеств 0 достижимости систем класса Cs.

В первом пункте приводится исследование интегралов от многознач ных отображений вида t t K(C, t) = A(t) Z(s) ds, H(C, t) = Z(s) ds, 0 где A(t) и Z(t) функции определенные на [0, +) со значениями в R.

Во втором пункте рассматриваются системы класса Cs с линейными ограничивающими множествами. Если система C = (V, A, Z, ) C s, то lin ее h-остов совпадает с ее линейным остовом. Из монотонности t-семейства пространств H(C, t) и конечности размерности пространства V следует су ществование строго возрастающей последовательности моментов времени ti (i = 0, 1,..., r ;

t0 = 0, tr+1 = +) и соответствующей строго возраста ющей последовательности линейных подпространств L i пространства V, что H(C, t) = Li, если t (ti, ti+1). Пространство Li, соответствующее системе C h, обозначается Li(C h). Пространство Lr (C h) называется про странством полной линейной стабилизации системы и обозначается L(C).

Пусть V линейное подпространство пространства V. Опишем усло вия, гарантирующие каждое из включений V H(C, t) и H(C, t) V.

Пусть момент времени t 0. Сформулируем условия, налагаемые на :

A) Z(s) V почти для всех s [0, t);

B) в линейном подпространстве V размерности m существует такое се мейство открытых в V правильных конусов K1,..., Km, что система из любых m ненулевых векторов vi Ki, i = 1,..., m, линейно независима и мера каждого из множеств {s : Z(s) Ki = {0}, s [0, t)} больше 0 при всех i = 1,..., m.

Теорема 2.2.2. Пусть система C Cs, V V, dimV = m 0. В lin таком случае условие A) необходимо и достаточно для того, чтобы H(C, t) V, а условие B) достаточно для того, чтобы V H(C, t).

Условие B) не является необходимым для включения V H(C, t), что легко увидеть на простейших примерах.

Если C система класса Cs с непрерывным t-семейством ограничива lin ющих операторов, то при описании линейного пространства H(C, t) инте грал можно заменить на сумму.

Теорема 2.2.3. Если C = (V, A, Z, ) Cs и Z непрерывное t lin семейство линейных операторов, то t H(C, t) = Z(s) ds = Z(s).

0 0st Очень простое строение имеют h-остовы систем класса C s с аналити lin ческими t-семействами ограничивающих операторов.

Теорема 2.2.6. Если C = (V, A, Z, ) Cs система с аналитиче lin ским t-семейством ограничивающих операторов Z, то t-семейство ли нейных пространств H(C, t) стационарно в промежутке (0, +).

Заметим, что линейное пространство H(C, t) в условиях теоремы 2.2. необязательно Z(t)-инвариантно для всех t 0.

Приведем еще один способ нахождения пространства L(C h) для систем класса Cs с аналитическим ограничивающим оператором Z(t), использу lin ющий конечное число вычислений.

Теорема 2.2.11. Если C = (V, A, Z, ) Cs система с аналитиче lin ским ограничивающим оператором Z, то L(C h) = Z(0) + Z (0) +... + Z (k1) (0).

где число k равно степени минимального многочлена оператора Z(0).

В третьем пункте рассматриваются общие свойства линейных осто вов систем класса Cs.

Пусть C = (V, A, Z, ) система класса Cs. Линейный остов linK(C, t) системы C Cs вообще говоря немонотоннен по включению, в отличие от ее линейного h-остова. Пусть d(C, t) = dim(linH(C, t)).

Из монотонности по включению t-семейства пространств linH(C, t) и ко нечности размерности пространства V следует конечность множества то чек разрыва функции d(C, t) в интервале (0, +). Если функция d(C, t) постоянна, то линейный остов системы C называется линейно стабильным.

В этом случае линейное пространство linH(C, t) не меняется с течением времени и обозначается L(C h). Момент времени 0 называется тогда мо ментом полной линейной стабилизации линейного остова системы C. Если функция d(C, t) непостоянна, то ее точки разрыва записываются в поряд ке возрастания t1,..., tr. Отметим, что тогда 0 t1 tr +. Ясно, что r dimV. К последовательности моментов разрыва функции d(C, t) добавляются точка t0 = 0 и несобственная точка tr+1 = +. В этом слу чае t1 называется моментом первого скачка линейного остова системы C и обозначается t(C), а момент времени tr называется моментом полной ста билизации линейного остова системы C и обозначается T (C). Если система C вполне достижима, то T (C) = tca (C).

Из монотонности по включению линейного остова системы C h следу ет стабильность линейного пространства H(C, t) при t (t i, ti+1). Если t (ti, ti+1), то линейное пространство H(C, t) обозначается L i(C h). Таким образом, с системой C h связывается строго возрастающая последователь ность L0(C h) L1(C h)... Lr (C h) линейных подпространств пространства V. Пространство L r (C h) называ ется пространством полной линейной стабилизации системы C h и обозна чается L(C h). Значения линейного остова системы C h в моменты времени ti (i = 1,..., r) обозначаются Li (C h). Число r называется высотой линей ного остова системы C. Значения функции d(C h, t) в точках ti обознача ются hi. Значение функции d(C h, t) в интервале (ti, ti+1) обозначается hi.

Из монотонности линейного остова системы C h следуют неравенства h0 h 1... h r.

В четвертом пункте рассматриваются важнейшие общие свойства конических остовов систем класса Cs. При описании множества H(C, t) системы C = (V, Z, ) Chc с коническим множеством и непрерывным con t-семейством операторов Z(t) можно операцию интегрирования заменить операцией суммирования.

Теорема 2.4.1. Если C Chc, то con H(C, t) = Z(s).

0st Следующая теорема полезна при описании остовов систем класса C s.

Теорема 2.4.5. Пусть C = (V, A, Z, ) Cs. Если множество K(C, T ) правильное и для всех t (0, T ] линейный оператор t (t) = Z(s)ds невырожден, то для всех t (0, T ] conK(C, t) = K(conC, t) и conH(C, t) = H(conC, t).

Замечание 2.4.10. В теории достижимости принципиальной явля ется проблема определения момента t(C) первого скачка линейного осто ва системы C класса Cs. Из теоремы 2.4.1 следует, что этот момент con совпадает с нижней гранью значений t, для которых неправилен конус Z(s).

0st В пятом пункте анализируется строение множеств почти мгновенной нуль-достижимости систем класса Cs.

Точка a фазового пространства V системы C называется точкой почти мгновенной нуль-достижимости, если для любых 0 и 0 найдется такое t (0, ), что расстояние между точкой a и множеством K(C, t) меньше. Множество всех таких точек обозначается K 0(C) и называется множеством почти мгновенной нуль-достижимости системы C. Множество почти мгновенной нуль-достижимости можно задать равенством { {K(C, t) : t (0, )}}.

K0(C) = Теорема 2.5.1. Если система D получена из системы C класса Cs при помощи параллельного переноса ее ограничивающего множества, то K0(C) = K0(D).

Теорема 2.5.6. Пусть C Cs – правильная система. Если существу ет lim Z(t) t0+ и этот предел равен оператору 1V, то K0(C) = con.

В третьей главе рассматриваются линейные управляемые системы вида x = x + et u, x V, u V, где, : V V линейные операторы. Такие системы образуют про стейшее расширение C класса C в классе Cs. Теоремы главы 2, использу ются для описания эволюции множеств УД для некоторых видов систем класса C. Важное значение здесь уделяются анализу понятию прими тивности простой системы.

В первом пункте рассматриваются детали эволюции множеств УД систем первого порядка класса C.

Во втором пункте рассматриваются простые системы второго по рядка специального типа. Общий класс простых систем класса C плохо обозрим;

к нему относятся все ненулевые системы C = (V,,, ) C, у которых операторы и не имеют общих нетривиальных инвариантных линейных подпространств. Система C = (V,,, ) C называется про стой C-системой, если ее порядок равен 2, а оператор имеет комплексные собственные значения µ ± i ( 0). Класс простых C-систем разбивается на два типа. К первому типу относятся все те, у которых оператор является гомотетией. Ко второму типу относятся все остальные простые Cсистемы.

В третьем и четвертом пунктах исследуются особенности эволю ции множеств УД простых C-систем типа 1 и 2 класса C.

В пятом пункте рассматриваются операции свертки и спаривания экспонент, как специализаций формулы Коши, полезные при конструк тивном исследовании эволюции множеств УД систем класса C.

t-семейство линейных операторов t es es ds t e называется сверткой экспонент линейных операторов и, и обозначается S(,, t). В тех случаях, когда ясно, какие именно операторы и имеют ся в виду, для свертки используется сокращенное обозначение S(t). При ис следовании h-остова системы класса C полезно использовать t-семейство линейных операторов t es es ds, P (,, t) = которое называется спариванием экспонент линейных операторов и.

Для t-семейства операторов S(t) и P (t) имеют место формулы сложения.

Предложение 3.5.5. Для любых t1,..., tn 0 имеют место равен ства S(t1 + t2 +... + tn ) = = e(t2 +...+tn) S(t1) + e(t3 +...+tn ) S(t2 )et1 +... + S(tn )e(t1 +...+tn1 ), P (t1 + t2 +... + tn ) = = P (t1 ) + et1 P (t2 )et1 +... + e(t1 +...+tn1 ) P (tn )e(t1 +...+tn1 ).

В шестом пункте рассматриваются разнообразные виды формул сло жения для множеств УД систем класса C. Представляет интерес общее определение формул сложения. Отмечается, что формулы сложения для систем класса C полезно рассматривать в классе кусочно-постоянных управ лений. Если = (t1,..., tn ) разбиение полуинтервала [0, t), и t = t1 +... + tn, то индукцией по n легко выводятся формулы сложения:

K (C, t) = S(t1)e(t2 +...+tn ) + +et1 S(t2)e(t3 +...+tn) +... + e(t1 +...+tn1 ) S(tn ), H (C, t) = e(t1 +...+tn ) S(t1)e(t2 +...+tn ) + +e(t2 +...+tn ) S(t2 )e(t3 +...+tn ) +... + etn S(tn ), H (C, t) = e(t2 +...+tn) P (t1 )e(t2 +...+tn ) + +e(t3 +...+tn ) P (t2 )e(t3 +...+tn ) +... + P (tn ).

Формулы сложения позволяют вывести следующие предложения.

Предложение 3.6.2. Если C Ccon, то для любого t 0 конус H(C, t) содержит конусы et et и P (t). В частности, если C Clin, то ли нейное пространство H(C, t) при всех t 0 содержит линейные про странства et et и P (t).

Предложение 3.6.3. Если C Ccon, то при любом t 0 конусы et и et лежат в конусе K(C, t).

Из формулы сложения следует, что все пространства из сильного ли нейного остова системы C = (V,, ) класса C0, -инвариантны.

Теорема 3.6.4. Если пространство L входит в сильный линейный остов системы C = (V,, ) C, то оно -инвариантно.

Теорема 3.6.5. Пусть система C = (V,, ) C, V линейное под пространство в V. Если V K(C, t1), то для всех t t1 -инвариантное линейное подпространство [V ] K(C, t).

В седьмом пункте рассматриваются основные свойства морфизмов систем класса C. В теории систем класса C необходимо учитывать взаим ное строение двух линейных операторов, определенных на фазовом про странстве системы.

Теорема 3.7.1 (функториальность оператора K(., t)). Соответ ствие, по которому каждой системе C Ch сопоставляется t-семейство выпуклых пар (V, K(C, t)), определяет функтор на s-категории Cs со зна чениями в s-категории Vf.

Таким образом, если морфизм системы C C0 в систему того же класса, то для любого t 0 имеют место равенства K(C, t) = K(D, t), LinK(C, t) = LinK(D, t), Conf K(C, t) = Conf K(D, t) и включения linK(C, t) linK(D, t), conK(C, t) conK(D, t).

Если C C0, то возможность редукции описания остова системы C к описанию остова системы меньшего порядка заложена в следующей тео реме.

Теорема 3.7.7. Пусть C C0. Если множество K(C, t0) содержит -инвариантное линейное подпространство V0 при некотором t0 0, то K(C, t) содержит V0 при всех t t0.

Следствие 3.7.8. Пусть C = (V,,, ) система класса C0, V -инвариантное линейное подпространство в V, D = C/V0, : C D морфизм факторизации. Если множество K(C, t0) V0, то для всех t t0 выполняется равенство K(C, t) = 1K(D, t).

В восьмом пункте обсужается общая точка точка зрения на метод моделирования. Введение индикаторных функторов позволяет формали зовать задачи теории эволюции множеств достижимости и управляемости с категорной точки зрения.

В четвертой главе вводится и обсуждается понятие совершенного морфизма для систем класса Cs. Доказывается, что совершенные мор физмы позволяют восстанавливать множества УД по их образам в фак торсистемах.

В первом пункте определяются элементарные совершенные и совер шенные морфизмы. Морфизм : C D называется элементарным со вершенным, если Ker = {0} и Ker [lin]. Морфизм : C D называется t0 совершенным, если Ker = {0} и Ker lin K(C, t) для всех t t0. Здесь доказана Теорема 4.1.2. Нетривиальный морфизм : C D категории C 0совершенен тогда и только тогда, когда он представим в виде компо зиции элементарных совершенных морфизмов.

Во втором пункте исследуется строение множества почти мгновен ной нуль-достижимости K0(C).

Теорема 4.2.1. Пусть : C D – морфизм систем класса C0, тогда K0(C) K0 (D).

Если морфизм совершенен, то по множествам K0(D) и AP (D) одно значно восстанавливаются множества K0 (C) и AP (C). Следующая теоре ма непосредственно следует из определений множеств почти мгновенной и почти совершенной нуль-достижимости.

Теорема 4.2.2. Если : C D s-морфизм систем класса C, то K0 (C) = 1K0(D), AP (C) = 1AP (D).

Опишем множества AP (C) и K0 (C) системы C C, ограничивающее множество которой является линейным многообразием.

Теорема 4.2.3. Пусть C = (V,, ) система класса C, ограничиваю щее множество которой = a+0, где 0 линейное подпространство в V. В таком случае, если a [0], то AP (C) = K0(C) = [0]. Если a [0], то AP (C) =, а K0 (C) = [0].

/ Если система C класса C неправильная, то в ее ограничивающем мно жестве можно выделить некоторое ненулевое линейное многообразие H.

Параллельное ему линейное подпространство обозначим H 0. Профактори зовав систему C по линейному подпространству [H 0], получим систему C, подчиненную системе C при помощи элементарного совершенного мор физма. Так определяется процесс, который в силу конечной размерности пространства системы C за конечное число шагов позволяет построить некоторую правильную систему D, подчиненную системе C при помощи композиции элементарных совершенных морфизмов. Обозначим через их композицию. Теорема 4.2.2 тогда дает полное описание множеств K 0(C) и AP (C). В случае системы C класса C строение множества K 0(C) опи сывается в следующей теореме.

Теорема 4.2.4. Пусть C = (V,, ) система класса C, а D = (W,, ) связанная с ней совершенным морфизмом, подчиненная ей правиль ная система. В таком случае K0(C) = 1con = [lin] + con.

Следствие 4.2.5. Если C C, то K0(C) замкнутый конус с инвариантным краем.

Правильную систему D, подчиненную системе C посредством совершен ного морфизма, можно построить при помощи факторизации системы C по линейному краю конуса K0 (C).

Следствие 4.2.6. Правильная система C, подчиненная системе C при помощи совершенного морфизма, определяется системой C однозначно, с точностью до изоморфизма.

Следствие 4.2.7. Система C класса C мгновенно нуль-достижима тогда и только тогда, когда система C нулевая.

В следующей теореме свойство мгновенной нуль-достижимости систем класса C0 характеризуется пятью эквивалентными условиями.

Теорема 4.2.8. Следующие условия эквивалентны:

a) система C мгновенно нуль-достижима;

b) любая система, подчиненная системе C, мгновенно нуль-достижима;

c) любая ненулевая система, подчиненной системе C, неправильна;

d) морфизм системы C в нулевую систему совершенен;

e) [lin] = V.

Заметим, что условие Бьянчини мгновенной нуль-достижимости экви валентно условию c).

В третьем пункте рассматривается критерий совпадения множеств K0(C) и AP (C) Теорема 4.3.1. Если множество системы C = (V,, ) C пра вильное и не содержит точку 0, то существует такое 0, что для любого (0, ) множество K(C, t) не содержит точку 0.

Если ограничивающее множество правильной системы, подчиненной си стеме C C при помощи совершенного морфизма, содержит точку 0, то такая система включается в класс C1. Ясно, что C0 C1. Если семейство множеств K(C, t) монотонно по включению, то такая система включается в класс Cmon. Оказывается, что C1 = Cmon.

Теорема 4.3.2. Следующие условия эквивалентны:

a) C C b) 0 K(C, t) t 0;

c) t-семейство множеств K(C, t) монотонно по включению;

d) AP (C) = K0(C).

Следствие 4.3.3. Класс Cmon = C1.

В четвертом пункте приводятся добавочные сведения о множестве почти мгновенной полной управляемости.

Теорема 4.4.1. Если C = (V,, ) линейная система с постоянны ми коэффициентами, то SK0(C) = [lin].

В пятой главе теория эволюции множеств УД систем класса Cs, построенная в первых четырех главах диссертации, применяется для конструктивного анализа множеств достижимости различных типов систем класса C. В силу полученных результатов, основное внимание уделяется исследованию K-остовов систем класса C в наиболее важном случае, когда множества ограничений управлений, являются конусами с конечным числом образующих. Исследование K-остовов таких систем сводится к специальным задачам линейной алгебры и геометрии в конеч номерных пространствах.

В первом пункте дается обзор основных теорем теории эволюции множеств УД систем класса C и приводится общая схема конструктив ного анализа множеств УД систем класса C. Обсуждаются графический, численный и аналитический методы поиска основных характеристик мно жеств УД таких систем с коническими ограничениями управлений. Иссле дование K-остовов систем класса C связано с разбором большого количе ства вариантов. Некоторое уменьшение их количества, достигается, если рассматриваются вполне достижимые системы.

Допустим, что C = (V, A, ), = Con(u1,..., ur ), Lin = 0. Пусть единичная сфера в фазовом пространстве системы C, а точка h S S. Рассмотрим семейство траекторий u1 (1) = eA1 u1,..., ur (r ) = eAr ur динамической системы x = Ax. Скалярное произведение F j (j ) = h · u(j ) определяет отклонение точки uj (j ) от гиперплоскости H с нормальным вектором h. Пусть для данного h S существует такое число T 0, что для всех j [0, T ] и j = 1,..., r имеет место неравенство Fj (j ) = h · u(j ) 0. Тогда через T (h) обозначается верхняя грань таких чисел.

Теорема 5.1.10. Если система C с коническим множеством огра ничений управлений = Con(u1,..., ur ) вполне управляема, то функ ция T (h) на сфере S достигает своего абсолютного максимума T (h0) в некоторой точке h0. В таком случае tca = T (h0) и гиперплоскость H0 = {x : h0 · x = 0} делит фазовое пространство системы на два по + лупространства H0 = {x : h0 · x 0} и H0 = {x : h0 · x 0}. За счет + выбора направления вектора h0 можно сделать так, что в H0 будут со держатся конусы K(C, t), а в H0 конусы S(C, t) при всех t (0, T (h0)).

Если Con(u1,..., ur ) = V, то tca = 0. В противном случае пусть h S таков, что векторы (u1,..., ur ) лежат в полупространстве H +. Пусть T (h) верхняя грань всех чисел t, для которых все точки u 1(t),..., ur (t) H + для всех t [0, T (h)]. Пусть Tj (h) множество всех нулей функции Fj (t) = h · uj (t), лежащих в отрезке [0, T (h)], тогда множество Uj (h) : = {uj (t) : t Tj (h)} H состоит из всех точек, в которых траектория uj (t) пересекают или каса ются гиперплоскости H на отрезке [0, T (h)]. Положим U (h) : = U1 (h)... Ur (h).

Вектор h S называется локально оптимальным, если линейный край V конуса ConU (h), натянутого на U (h), не равен 0 и [V ]A = V. Тогда задача вычисления момента tca редуцируется к задаче вычисления момента tca системы C/[V ]A. Если [V ]A = V, то на векторе h функция T (h) имеет абсолютный максимум, тогда вектор h = h0 и называется оптимальным.

Решение задачи вычисления момента полной достижимости t ca техниче ски достаточно сложно. Рассмотрим более подробно подход к ее решению в простейшем случае, когда система C = (V, A, ) вполне достижима и = Con(a). Пусть вектор h S, a(t) = eAt a, F (t, h) = h · a(t).

В первом приближении задача вычисления момента t ca решается при помощи графического метода, визуальным анализом поведения графика функции F (t, h), в зависимости от расположения вектора h на сфере S.

С помощью РС можно определить приближенно момент T (h). Варьируя координатами вектора h можно получить вектор h, на котором функция T (h) имеет, вообще говоря, локальный максимум на сфере S. На отрезке [0, T (h )] выделяются нули t0 = 0, t1,..., tr = T (h ) функции F (t, h ). На втором шаге вычисляются координаты векторов a(0), a(t 1 ),..., a(tr ). На третьем шаге проверяется можно ли вектор 0 представить в виде нетри виальной линейной комбинации (выпуклой комбинации) 0 = 0 a(0) + 1 a(t1 ) +... + r a(tr ), в которой все коэффициенты 0, 1,..., r 0. На четвертом шаге среди векторов a(0), a(t1 ),..., a(tr )) выделяются векторы a(ti1 ),..., a(tik ), соот ветствующие которым коэффициенты строго больше 0. Если наименьшее A-инвариантное линейное подпространство, содержащее эти векторы сов падает с V, то оптимальный вектор h0 = h и T (h ) = tca. Если нет, то следует перейти к анализу редуцированной системы C/[V ]A.

После нахождения с некоторой точностью координат оптимального век тора h0 его координаты уточняются при помощи численных методов, тре бующих анализа изменения вида графика функции F (t, h 0), при измене нии координат вектора h0. Эти вычисления требуют повышенной точно сти, поскольку в нулях функции F (t, h0) в интервале (0, T (h0)) кривая a(t) касается гиперплоскости H0.

Иногда можно эффективно использовать аналитический метод, сводя щийся к анализу матрицы, составленной из координат векторов a(0), a(1 ),..., a(j ), где 0 1 2... j = T (h), в зависимости от числа этих век торов. Если существует 1 0, для которого a(1 ) = µ1 a(0), µ1 0, то момент 1 = T (h) и является моментом "взрыва" системы. Если такого момента нет, то ищем такие моменты времени 0 1 2, что вектор 0 можно представить в виде нетривиальной выпуклой комбинации векто ров a(0), a(1 ), a(2). Эта задача сводится к анализу миноров 3-го порядка матрицы, составленной из координат векторов a(0), a( 1 ), a(2). Если и в этом случае нет решения, то добавляем еще один вектор и т. д. На деле при поиске момента tca приходится использовать попеременно все три метода.

В пункте 2 рассматриваются системы класса C с диагональной мат рицей с одним собственным значением µ R. Для таких систем дается полное описание эволюции множеств достижимости.

В пунктах 3 – 5 исследуются K-остовы в простейшем, но важном случае, систем второго порядка. Это исследование существенно используется при выводе различных критериев управляемости и достижимости.

В пунктах 6 – 7 рассматриваются системы третьего порядка. Исследо вания их K-остовов использует аналитический метод и технически более сложно.

В пункте 6 исследуются K-остовы вполне достижимых систем вида x1 = x1 + u1, x2 = µx2 x3 + u2, 0, x2 + µx3 + u3, x= с = Con(u1, u2).

В пункте 7 приводится анализ K-остовов вполне достижимых систем 3-го порядка вида x = x1 + x2 + u1, x2 = x2 + x3 + u2, x3 + u3, x= с = Con(u1, u2), где u1 = e3, u2 = pe1 + qe2 e3. Вычисление основ ных характеристик эволюции конусов K(C, t) в диссертации разбито на случаев, мы его здесь опускаем.

В пункте 8 исследуются K-остовы систем с жордановыми матрицами порядка 2n вида µ 1 0... 0 0 0 µ 0 1... 0 0 0...........

A = 0 0 0 0... µ 1 0, 0 0 0 0... µ 0 0 0 0 0... 0 0 µ 0 0 0 0... 0 0 µ с = Con(a), с вектором a, у которого хотя бы одна из последних двух координат не равна 0. Оказывается, что время полной достижимости таких систем tcc = n/ и не зависит от расположения вектора a.

В пункте 9 исследуется двойной управляемый гармонический осцил лятор, с двумя разными собственными частотами µ,, 0 µ, с кони ческими ограничивающими множествами с одной образующей. Очевидные упрощения получаются за счет линейной замены параметра t. В конечном итоге исследование сводится к изучению системы C = (R4, A, ) вида x2 + u, x = x = x1, ( 1) x3 = x4 + u, x = x3, с коническим множеством = Con(a), где a = e1 + e3. Система C вполне достижима при любом 1. Момент полной достижимости системы C обозначается T ().

Предложение 5.9.9. Если C = C, то T () T () : = 1 +. (6) Для (1, +) оценка (6) является точной. Если нечетное натураль ное число, то T () =. Значения параметра, для которых T () = T (), находятся как решения уравнения cos sin + sin cos = 0.

2 2 2 Решение a (t) системы x = A x, удовлетворяющее граничному усло вию a (0) = 0, использовалось при анализе свойств конуса достижимости K(C, t) системы C. Согласно теореме 2.4.1, K(C, t) = Con a (s).

0st Опорная гиперплоскость к конусу K(C, T ()) обозначается H, нормаль ный к ней вектор через h. Для поиска момента T () и координат вектора h вначале исследования использовался графический метод, затем полу ченные значения уточнялись при помощи численных методов.

Скалярное произведение h · a (t) обозначается F (t). Функция F (t) позволяет найти отклонение точек линии a (t) от гиперплоскости H. До казано, что F (s) = F (T s) для всех и s.

На следующем рисунке показан график функции F 8 (t).

F8(t). ¤ = 0,.

T = T (8) = 3, t  ...

t1 = 0, 496 T /2 = 1, 716 t2 = 2, Рис. 1.

В моменты времени 0 и T (8) линия a8 (t) пересекает гиперплоскость H8.

В моменты t1 и t2 касается ее. Точка 0 является выпуклой комбинацией точек a8 (0), a8 (t1), a8 (t2 ), a8 (T (8)).

Если (4n 1, 4n + 1), n N, то максимум функции F (t) на отрезке [0, T ()] находится в точке T /2. Притом в интервале (0, T ()) функция F (t) имеет два нуля, 2n локальных минимумов и 2n + 1 локальных мак симумов. Если (4n + 1, 4n + 3), n N, то функция F (t) имеет в точке T /2 локальный минимум, неравный 0. В интервале (0, T ()) функ ция F (t) имеет два нуля, 2n+1 локальных минимумов и 2n+2 локальных максимумов.

Некоторые результаты вычислений с повышенной точностью проиллю стрируем для взятого наугад значения.

Пример 5.9.12. Если = 3.34, то.

t1 = 0, 941 390 941 946,.

t2 = 3, 140 796 684 188,.

tcc = T = 4, 082 187 626 054, Графики функций T () и T () изображены на следующем рисунке.

T  6  5  T () = (1 + ) 4 T ()  T =     ¦ § ©   1 2 3 4 5 6 Рис. 2.

В пункте 10 исследуются системы C = (V, A, ) порядка 2n с диаго нализуемой (в C) матрицей A с двумя собственными значениями µ ± i, 0. В большей части пункта исследуются вполне достижимые системы порядка 4 этого класса с = Con(u1, u2, u3), µ = 0, = 1, из которых u1, u2 зафиксированы, а третья u3 свободна.

В пункте 11 в качестве приложения общих теорем намечены конту ры доказательства критерия глобальной 0-достижимости систем класса C, опубликованного в статье [1] и, как его специализации, критерия Браммера [5] (полной достижимости систем класса C с коническими ограничениями управлений).

В пункте 12 рассматривается метод построения управления, перево дящего заданную точку фазового пространства управляемой системы в другую заданную точку, основанный на последовательных редукциях к системам меньшего порядка.

В приложении 1 приводится новое доказательство теоремы Калма на, на котором иллюстрируются в простейшей ситуации некоторые идеи подхода автора к теории управляемости и достижимости.

В приложении 2 приводится обзор основных определений из теории категорий и функторов.

В приложении 3 приводится обзор основных определений и результа тов теории вещественных линейных пространств, снабженных одним ли нейным оператором.

Замечание 1. Из перечисленных проблем теории управляемости в клас се линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами оста лась открытой только проблема глобальной 0-управляемости в специаль ном случае систем класса C, все собственные значения матриц которых вещественны и положительны.

Замечание 2. Полученные в диссертации методы можно использовать при анализе трудной и малоизученной задачи стабилизации управляемых систем вида (1) в случае, когда управление 0 находится на границе мно жества U.

ЦИТИРУЕМЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальности по быстродействию процес сов в линейных системах // Известия АН СССР (сер. мат.). 1958. Т.

22, вып. 4, С. 449 – 474.

2. Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования // УМН.

1959. Т. 14, № 1. С. 3 – 20.

3. Kalman R.E. On the general theory of control systems// Тр. 1-го меж дунар. конгресса ИФАК. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1961. P. 521 – 547.

4. Saperstone S.H., Yorke J.A. Conrollability of linear oscillatory systems using positive controls // SIAM J.C. 1971. V. 9, № 2. P. 253 – 262.

5. Brammer B.F. Controllability in linear autonomous systems using positive controllers// SIAM J.C. 1972. V. 10, № 2, P. 339 – 353.

6. Bianchini R.M. Instant Controllability of Linear Autonomous Systems// JOTA. 1983. V. 39, № 2. P. 237 – 250.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Семенов Ю.М. Об управляемости линейных систем с постоянными ко эффициентами// Мат. сб. 1978. Т.105(147), № 2. С. 164 – 179.

2. Семенов Ю.М. О задаче нуль-достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Дифференц. уравнения. 1982.

Т. 18, № 1. С. 1869 – 1878.

3. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижи мости// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №6. С. 989 – 997.

4. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем // Диффе ренц. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. C. 1145 – 1146.

5. Семенов Ю.М. Введение в теорию достижимости линейных систем.

Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006. 252 с.

6. Семенов Ю.М. О множествах достижимости линейных систем // Диф ференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 8. С. 1146 – 1148.

7. Семенов Ю.М. К теории достижимости линейных систем // Диффе ренц. уравнения. 2007. Т. 43, № 4. С.465 – 474.

8. Семенов Ю.М. О моменте полной стабилизации управляемых систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 147 – 148.

9. Семенов Ю.М. О моменте полной стабилизации линейных систем // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1556 – 1565.

10. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. О строении осто вов сверхполупростых C-систем // Труды института Системного Анализа РАН: Нелинейная динамика и управление Вып. 6. Сборник статей под редакцией академиков С. В. Емельянова и С. К. Коровина. Москва:

Физматлит, 2008. С. 183 – 194.

11. Семенов Ю.М. О геометрии переходных процессов в управляемых системах.// Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 2. С. 285 – 287.

12. Семенов Ю.М. Об оценке длительности стабилизации линейных систем с постоянными коэффициентами// Дифференц. уравнения. 2010. Т.

46, № 2. С. 298 – 300.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Семенов Ю.М. Об одном случае управляемости системы x = ux// УМН. 1975.

Т.30, №5(185). С. 194–195.

2. Семенов Ю.М. Об одной аппроксимации// Вопросы прикладной математики и механики: Сб. Вып. 4. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1975. C. 214 – 222.

3. Семенов Ю.М. Об управляемости уравнения x = ux // Мат. заметки. 1978. Т.

23, № 2. С. 253-259.

4. Семенов Ю.М. К теории управляемости линейных и билинейных систем. Диссер тация на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук. 1978.

5. Семенов Ю.М. О задаче нуль-достижимости линейных систем. Всесоюзная кон ференция "Динамическое управление". Свердловск, 1979. C. 237 – 239.

6. Семенов Ю.М. Об управляемости системы x = Ax + Bu// Струйные и кавитаци онные течения и современные вопросы теории управления: Сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1978. С. 100 – 108.

7. Семенов Ю.М. Об алгебраическом разложении задачи нуль-достижимости ли нейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1982.

С. 82 – 92.

8. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижимости. Все союзная школа "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово, октябрь 1988 г., Тезисы докладов. C. 100.

9. Семенов Ю.М. О строении множества почти мгновенной нуль-достижимости си стем класса C. Всесоюзная конференция "Современные проблемы информатики, вы числительной техники и автоматики". Семинар "Проблемы теоретической и приклад ной математики", Тула, 1989. C.7.

10. Семенов Ю.М. О полной достижимости линейных управляемых систем с посто янными коэффициентами. Международный Советско-Польский семинар. "Математи ческие методы оптимального управления и их приложения". Минск, май 1989, тезисы докладов, 1989. C. 106-107.

11. Семенов Ю.М. О классических задачах теории достижимости линейных управля емых систем с постоянными коэффициентами. Всесоюзная конференция "Управление в механических системах". Свердловск, июнь 1990, Тезисы докладов.

12. Семенов Ю.М. О пространстве полной достижимости линейной однородной управ ляемой с постоянными коэффициентами. Всесоюзная школа "Оптимальное управле ние. Геометрия и анализ". Кемерово, 1990. C. 197.

13. Семенов Ю.М. О достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами. Высшая школа - Народному хозяйству Чувашии. Чебоксары, 1992.

C. 197.

14. Семенов Ю.М. Критерий мгновенной локальной нуль-достижимости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами// Актуальные задачи математики и механики: Сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1995. C. 100 – 101.

15. Семенов Ю.М. О категорном подходе к теории достижимости.// "Понтрягинские чтения - 9". Тезисы докладов. Воронеж, 1998. C. 176.

16. Семенов Ю.М. Об основной теореме теории достижимости линейных управляе мых систем с постоянными коэффициентами. ЧГУ. Чебоксары, 1998. 4с. ДЕП ВИНИТИ 01.07.98. № 2021-898.

17. Семенов Ю.М. Конструкция пространства полной линейной стабилизации // "Понтрягинские чтения - 13" Тезисы докладов. Воронеж, 2002.

18. Семенов Ю.М. О неразложимых системах типа C // Математические модели и их приложения 4. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2002. С. 10 – 15.

19. Семенов Ю.М. О системах высоты 1 // Математические модели и их приложе ния 4. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2002. С. 15-28.

20. Семенов Ю.М. О линейных и конических остовах линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами // "Понтрягинские чтения - 15" Тезисы докладов.

Воронеж, 2004. C. 202 - 203.

21. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем с постоянными коэф фициентами //Математические модели и их приложения 6. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2004. С. 11–17.

22. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем с постоянными коэф фициентами // Математические модели и их приложения 7. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2005. С. 9 – 13.

23. Семенов Ю.М. О разложении управлений // Воронежская зимняя математиче ская школа. Тезисы докладов. Воронеж, 2005. C. 205 - 206.

24. Семенов Ю.М. О формулах сложения // "Понтрягинские чтения – 16". Тезисы докладов. Воронеж, 2005. C. 143.

25. Семенов Ю.М. Системы класса Cs // Математические модели и их приложения lin 7. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2005. C. 35 – 44.

26. Семенов Ю.М. О множествах достижимости линейных систем // Математиче ские модели и их приложения 8. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006. C. – 34.

27. Семенов Ю.М. О локальной достижимости.// "Понтрягинские чтения – 17".

Тезисы докладов. Воронеж, 2006. C. 162 – 163.

28. Семенов Ю.М. Инвариантность и достижимость.// Региональная научная кон ференция "Современные проблемы геометрии и механики твердого деформируемого тела". Тезисы докладов. Чебоксары, 2006. С. 35 – 36.

29. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. О строении остовов сверхполу простых C систем. Понтрягинские чтения 18. Воронеж, 2007. C..

30. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. О строении остовов сверхполу простых C систем. Международный конгресс (Математика. Образование) 9. Тезисы докладов Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. C. 249.

31. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. О строении остовов сверхпо лупростых C систем// Математические модели и их приложения 9. Чебоксары:

Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. C. 25 – 40.

32. Семенов Ю.М. О теории достижимости // Математические модели и их прило жения 9. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. C. 11 – 19.

33. Семенов Ю.М. Об остовах линейных управляемых систем. Международная кон ференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. Суз даль, 2007. С. 54 – 56.

34. Семенов Ю.М. О моменте полной локальной достижимости. В трудах Между народной конференции "Дифференциальные уравнения и топология". Тезисы докла дов. Москва, 17 – 22 июня 2008. С. 396.

35. Семенов Ю.М., Семячкова М.С., Степанова Н.Д. Об одном случае вычисления момента полной стабилизации сверхполупростых C-систем 6-го порядка // Математи ческие модели и их приложения 10. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2008. C.

64 – 69.

36. Семенов Ю.М. Линейные управляемые системы с линейными ограничивающими множествами// Математические модели и их приложения 10. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2008. C. 25 – 29.

37. Семенов Ю.М. О стабилизации управляемых систем// В материалах 17-ой меж дународной конференции "Математика. Образование". Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун та, 2009. с. 65 – 70.

38. Семенов Ю.М. Об обратных связях в управляемых системах. // В материалах 8-ой Всероссийской научно-технической конференции "Динамика нелинейных дискрет ных электротехнических и электронных систем". Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. с. 4 – 7.

39. Семенов Ю.М. Критерии управляемости // Математические модели и их при ложения 11. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. C. 15 – 19.

40. Семенов Ю.М. О теории эволюции множеств управляемости и достижимости // Математические модели и их приложения 12. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. C. 9 – 16.

Напечатано с готового оригинала-макета Издательство Чувашского государственного университета Подписано к печати 21.06.2010 г.

Формат 60х90 1/16. Усл.печ.л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ 380.

428015, Московский проспект 15, ЧГУ им. И.Н.Ульянова.