Анатолий петрович топологические свойства типа нормальности и счетной паракомпактности в произведениях и экспоненциальных пространствах

на правах рукописи

УДК 515.12 Комбаров Анатолий Петрович ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТИПА НОРМАЛЬНОСТИ И СЧЕТНОЙ ПАРАКОМПАКТНОСТИ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2007

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико математического факультета Московского государственного университе та им. М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. В. Иванов доктор физико-математических наук, профессор П. В. Семенов доктор физико-математических наук, профессор Л. Б. Шапиро

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 2007 г. в 16 ч. 15 мин.

на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском госу дарственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП 1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Класс нормальных пространств, занимающий од но из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году Титце 1 и в 1924 году П.С.Александровым и П.С.Урысоном 2. Свойство нормальности ранее появилось и у Вьеториса 3. Условие нормальности топологического пространства, состоящее в том, что “всякие два лежа щих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непере секающиеся окрестности” 4, является некоторым естественным ограни чением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф. Хаусдорфа, Ф. Рисса, Л. Вьеториса, Г. Титце, П. С. Александрова, П. С. Урысона, А. Н. Колмогорова, А. Н. Тихонова.

Хорошо известно, что упомянутое выше “внутреннее” определение нор мальности может быть сформулировано и “внешним” образом, поскольку важнейшим характеристическим свойством нормальных пространств яв ляется фундаментальная лемма Урысона 5 о возможности функциональ ного разделения непересекающихся замкнутых множеств в нормальном пространстве.

Класс счетно паракомпактных пространств был независимо введен в 1951 году Даукером 6 и Катетовым 7. Топологическое пространство на зывается счетно паракомпактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Даукер Tietze H. Beitrge zur allgemeinen Topologie I // Math. Ann.

a 1923. V. 88.

P. 290–312.

Alexandro P., Urysohn P. Zur Theorie der topologischen Rume// Math.Ann.

a 1924. V.92. P.258–266.

Vietoris L. Stetige Mengen// Monatsh. fr Math. und Phys. 1921. V.31. P.173– u 204.

Александров П. С., Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических про странствах. М.: Наука, 1971.

Urysohn P. Uber die Mchtigkeit der zusammenhngenden Mengen // Math.Ann.

a a 1925. V.94. P.262–295.

Dowker C.H. On countably paracompact spaces // Canad. Journ. of Math. 1951.

V. 3. P. 219–224.

Kattov M. Measures in fully normal spaces // Fund. Math.

e 1951. V. 38.

P.73–84.

доказал, что топологическое пространство X нормально и счетно пара компактно в том и только в том случае, когда произведение X [0;

1] нормально. Нормальные пространства, не являющиеся счетно параком пактными, получили название даукеровских. Задача построения дауке ровского пространства двадцать лет была известной задачей общей то пологии и была решена в 1971 году М.Э.Рудин 8.

В общей топологии и её приложениях большое значение имеет кон струкция тихоновского произведения. Широко известны теоремы об щей топологии, характеризующие топологические свойства пространств в терминах нормальности произведений. Теорема Даукера только что упоминалась. Напомним еще несколько примеров. Тамано доказал, что пространство X является паракомпактом в том и только в том случае, когда произведение X X нормально. Яджима в 1998 году показал 9, что для тихоновского пространства X нормальность подпространства (X X) (X X) квадрата (X X)2 эквивалентна линделёфовости пространства X. В 1971 году Нобл 10 доказал, что пространство компакт но в том и только в том случае, когда любая степень этого пространства нормальна. Согласно знаменитой теореме Катетова 1948 года 11, если произведение X Y наследственно нормально, и пространство Y со держит счетное незамкнутое множество, то каждое замкнутое подмно жество пространства X является G -множеством. В 1971 году Зенор показал, что, если произведение X Y наследственно счетно параком пактно, то либо X совершенно нормально, либо все счетные дискретные подпространства Y замкнуты в Y. Естественно возникающая проблема одновременного обобщения теоремы Катетова и теоремы Зенора была поставлена в 1980 году в работе Ван Дауэна 13. Непосредственным след Rudin M.E. A normal space X for which X I is not normal// Fund. Math. 1971.

V. 73. P.179–176.

Yajima Y. Analogous results to two classical characterization of covering properties by products// Topology Appl. 1998. V. 84. P. 3–7.

Noble N. Products with closed projections II// Trans. Amer. Math. Soc. 1971.

V. 160 P. 169–183.

Kattov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. Math.

e 1948.

V. 35. P. 271–274.

Zenor P. Countable paracompactness in product spaces// Proc. Amer. Math. Soc.

1971. V.30. P.199–201.

van Douwen E. K. Covering and separation properties of box products // Surveys in ствием теоремы Катетова является метризуемость компакта, куб кото рого наследственно нормален, и совершенная нормальность компакта, квадрат которого наследственно нормален. В 1948 году Катетов поставил свою знаменитую проблему о метризуемости компакта, квадрат которо го наследственно нормален 11. Контрпример в предположении MA+¬CH был построен в 1977 году Никошем 14. Другой контрпример в предполо жении CH был построен в 1993 году Грюнхаге 15. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич 16 форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. В связи с проблемой Катетова Грюнхаге 17 в 1984 году доказал, что из наследственной паракомпактности квадрата компакта следует его мет ризуемость, и более того, из паракомпактности подпространства X 2 \ компакт. В 1990 году в работе следует метризуемость X, если X было доказано, что компакт X, нормальный вне диагонали, то есть та кой, что пространство X 2 \ нормально, удовлетворяет первой аксиоме счетности. В 1993 году Грюнхаге построил пример нормального вне диа гонали компакта, не являющегося совершенно нормальным 15. В году Д.В.Малыхин 19 доказал, что счетно компактное нормальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. В зна менитой работе А.Стоуна 1948 года 20, посвященной доказательству па ракомпактности метрических пространств, устанавливаются некоторые General Topology/ G.M.Reed, ed. New York: Academic Press, 1980. P. 55–129.

Nyikos P. A compact nonmetrizable space P such that P 2 is completely normal// Topology Proc. 1977. V. 2. P. 359–363.

Gruenhage G., Nyikos P.J. Normality in X 2 for compact X// Trans. Amer. Math.

Soc. 1993. V. 340. P. 563–586.

Larson P., Todorevi S. Kattov’s problem// Trans. Amer. Math. Soc.

cc e 2002.

V. 354 P. 1783–1791.

Gruenhage G. Covering properties on X 2 \, W -sets, and compact subsets of products// Topol. Appl. 1984. V. 17 P. 287–304.

Arhangel’skii A. V., Kombarov A. P. On -normal spaces // Topology Appl. 1990.

V. 35. P. 121–126.

Малыхин Д. В. Счетно компактное -нормальное пространство имеет счетный характер// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. №5. С. 31–33.

Stone A. H. Paracompactness and product spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1948.

V. 54. P. 977–982.

достаточные условия нормальности произведения двух пространств, а именно, произведение метрического пространства и нормального счет но компактного пространства нормально. В 1958 г. Дьедонне 21 доказал более общую теорему: произведение паракомпакта с первой аксиомой счетности и нормального счетно компактного пространства нормально.

В той же работе А.Стоуна 20 доказана ненормальность произведения несчетного числа копий пространства натуральных чисел.

Важную роль при изучении несчетных произведений играют произведения. -произведение определяется как подпространство про изведения, состоящее из всех точек, отличающихся от некоторой фик сированной точки только на счетном числе координат. -произведения были определены в 1959 году Корсоном 22, но сама конструкция -произведения была известна гораздо раньше. Ещё в 1938 году Л.С.Понтрягин 23 использовал конструкцию -произведения для постро ения примера счетно компактного некомпактного пространства. Есте ственно рассматривать -произведения, не совпадающие с произведе нием пространств. -произведения являются “наиболее просто устроен ными” всюду плотными подпространствами несчетных произведений и значительно отличаются по своим топологическим свойствам от произ ведений. Например, -произведение не может быть сепарабельным про странством, наследственно нормальным пространством, паракомпакт ным пространством. Эти и многие другие “экзотические” свойства произведений позволяют использовать их в качестве инструмента для построения контрпримеров в общей топологии. Но -произведения об ладают и рядом полезных “положительных” свойств. Например, каждое метрическое пространство может быть вложено в -произведение про странств, гомеоморфных единичному отрезку 22. Компакты, вкладываю щиеся в -произведение отрезков, обладают настолько замечательными свойствами, что были выделены в отдельный класс и получили назва ние компактов Корсона 24. Компакт, являющийся непрерывным образом Dieudonne J. Un critere de normalite pour les espaces produits// Coll. Math. 1958.

V. 6. P. 29–32.

Corson H. H. Normality in subsets of product spaces // Amer. J. Math. 1959.

V. 81. P. 785–796.

Понтрягин Л. C. Непрерывные группы. М.-Л., 1938.

Michael E., Rudin M.E. A note on Eberlein compacts// Pacic J. Math. 1977.

-произведения метризуемых компактов, также метризуем 22, а метри ческое пространство, являющееся непрерывным образом -произведения пространств, любое конечное произведение которых линделёфово, явля ется линделёфовым и, следовательно, сепарабельным пространством 25.

Поскольку -произведение не может быть паракомпактом, важной за дачей является выяснение условий, при которых -произведение явля ется нормальным пространством. В 1959 году Корсон 22 доказал, что -произведение полных метрических пространств нормально и счетно паракомпактно. В той же работе 22 Корсон сформулировал задачу: яв ляется ли нормальным пространством -произведение метрических про странств или хотя бы -произведение экземпляров рациональных чисел?

Сначала был получен положительный ответ на второй вопрос Корсона:

в 1973 году в работе 26 было доказано, что -произведение метрических сепарабельных пространств нормально. В 1977 году С. П. Гулько 27 и М.Э.Рудин 28 независимо дали полный ответ на вопрос Корсона, дока зав, что -произведение метрических пространств является нормальным пространством. Формально к -произведениям близки -произведения, но по своим топологическим свойствам эти подпространства произведе ния сильно различаются. Например, -произведение компактов по тео реме Понтрягина счетно компактно, но не компактно и, следовательно, не паракомпактно, а -произведение компактов финально компактно и, следовательно, паракомпактно. Упомянем также важную для данной ра боты теорему Корсона 22 о линделёфовости -произведения метрических сепарабельных пространств.

В общей топологии и её приложениях большое значение имеет изу чение топологических свойств пространства всех (непустых) замкнутых подмножеств топологического пространства X или, другими словами, V. 72 P. 487–495.

Engelking R. On functions dened on Cartesian products // Fund. Math. 1966.

V. 59. P. 221–231.

Комбаров А. П., Малыхин В. И. О -произведениях // ДАН СССР. 1973.

Т. 213. C. 774–776.

Гулько С. П. О свойствах множеств, лежащих в -произведениях // ДАН СССР.

1977. Т. 237. С. 505–508.

Handbook of Set-Theoretic Topology / Kunen K. and Vaughan J. E., eds.

Amsterdam: North-Holland, 1984.

экспоненциального пространства exp(X) в топологии Вьеториса. Теория экспоненциальных пространств оформилась в качестве самостоятельно го направления общей топологии после работы Э.Майкла 1951 года 29, в которой были изучены общие вопросы, связанные с фундаментальны ми топологическими свойствами экспоненциальных пространств. Еще в 1922 году Вьеторис 30 доказал, что компактность пространства X экви валентна компактности пространства exp(X) и, следовательно, из ком пактности пространства X следует нормальность exp(X). В 1955 году В. М. Иванова 31 показала, что из нормальности exp(X) следует счетная компактность пространства X. В 1970 году Кислинг 32, предполагая континуум-гипотезу, доказал, что из нормальности exp(X) следует ком пактность пространства X. В 1973 году В. И. Малыхиным и Б. Э. Ша пировским 33 теорема Кислинга была распространена на более широ кий класс моделей. И, наконец, в 1975 году Н. В. Величко 34 доказал эту теорему в ZFC, то есть без каких-либо дополнительных теоретико множественных гипотез. Теория экспоненциальных пространств оказа лась чрезвычайно полезной для такого важного и интенсивно развиваю щегося в последние годы направления общей топологии как изучение гео метрических свойств ковариантных функторов. Особенно необходимо от метить здесь работы В.В.Федорчука 35, Е.В.Щепина 36, А.В.Иванова 37, Michael E. Topologies on spaces of subsets// Trans. Amer. Math. Soc. 1951.

V. 71 P. 152–182.

Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung// Monatsh. fr Math. und Phys.

u 1922.

V.32. P.258–280.

Иванова В. М. К теории пространств подмножеств// ДАН СССР. 1955.

Т.101. С.601–603.

Keesling J. On the equivalence of normality and compactness in hyperspaces // Pacic Journal of Math. 1970. V.33. P.657–667.

Малыхин В. И., Шапировский Б. Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств// ДАН СССР 1973. Т.213. С.532–535.

Величко Н. В. О пространстве замкнутых подмножеств// Сиб. матем. ж. 1975.

Т.16. С.627–629.

Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах ковариантных функто ров// Успехи математических наук 1984. T.39. С.169–208.

Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов// Успехи математиче ских наук 1981. T.36. С.3–62.

Иванов А.В. О функторах конечной степени и -метризуемых бикомпактах// Сибирский математический журнал. 2001. Т. 42. С. 60–68.

Л.Б.Шапиро 38. В середине 70-х годов Е.В.Щепин, выделив ряд есте ственных условий, ввел важное понятие нормального функтора, вклю чающее в себя и степенной функтор и конструкцию экспоненциально го пространства. В 1989 году В.В.Федорчук 39 доказал теорему: если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 компакт F(X) наследственно нормален, то X метризуемый компакт. Теорема Фе дорчука является обобщением классической теоремы Катетова о кубе.

М.М.Чобан 40 доказал, что если экспоненциальное пространство exp(X) является наследственно нормальным пространством, то X метризуе мый компакт.

Понятие нормального пространства появилось в прошлом веке на на чальном этапе развития общей топологии, возникновение которой оказа лось следствием перестройки оснований математического анализа, про исходившей в течение девятнадцатого века. По образному выражению известнейшего американского тополога М.Э.Рудин “понятие нормально сти находится на границе, где теоретико-множественная топология пере ходит от математического анализа к теории множеств” 41. Таким обра зом, естественной задачей общей топологии является задача выяснения границ действия многих результатов, вовлекающих свойства нормально сти и счетной паракомпактности, в случае, когда эти свойства заменяют ся на более общие топологические свойства, близкие к нормальности или счетной паракомпактности. При этом возможны следующие обобщения свойства нормальности: 1) можно ослаблять условия на функции, раз деляющие замкнутые множества;

2) можно сужать класс разделяемых замкнутых множеств;

3) можно расширять класс множеств, с помощью которых разделяются замкнутые множества. Все три логические воз можности рассматриваются и исследуются в диссертации.

Общеизвестно, что аксиомы Ti, i 3 2, сохраняются тихоновскими Шапиро Л. Б. Об однородности диадических бикомпактов// Матем. заметки.

1993. Т. 54, № 4. С. 117–139.

Федорчук В. В. К теореме Катетова о кубе // Вестн. Моск. ун-та. Матем.

Механ. 1989. №4. С. 93–96.

Чобан М. М. Многозначные отображения и их приложения: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Тбилиси, 1979.

Grunberg R., Junqueira L.R., Tall F.D. Forcing and normality// Topol. Appl.

1998. V. 84 P. 145–174.

произведениями. Простейшие примеры показывают, что свойство нор мальности (аксиома T4 ) разрушается даже при возведении пространства в квадрат. Таким образом среди общих проблем в этом направлении есте ственно выделить следующие: (I) Нахождение достаточных условий, при выполнении которых подпространство произведения или само произве дение обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности. (II) Выяснение характера ограничений на сомножи тели, которые накладывает условие типа нормальности или счетной па ракомпактности, выполняющееся в подмножествах произведения. (III) Выяснение характера ограничений на пространство X, которые накла дывает условие, что пространство F(X) обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности, если F некоторый нормальный функтор. Проблемы I, II и III, а также проблема выяснения границ, внутри которых остаются справедливыми аналоги классических теорем о произведениях и экспоненциальных пространствах, вместе с вы шеприведенной проблемой одновременного обобщения теорем Катетова и Зенора и послужили отправными моментами диссертационной работы.

Цель работы изучение классов топологических пространств, близких к нормальным и к счетно паракомпактным пространствам, усиление ря да результатов, касающихся нормальности и счетной паракомпактности в тихоновских произведениях, экспоненциальных пространствах, про странствах вида F(X), где F некоторый нормальный функтор, реше ние ряда естественных задач общей топологии, относящихся к свойствам типа нормальности и счетной паракомпактности.

Основные методы исследования. Используются различные методы общей топологии, и в частности, методы теории кардинальнозначных инвариантов;

методы комбинаторной теории множеств, методы теории нормальных функторов, а также оригинальные методы и подходы, в том числе, специально разработанный метод изучения топологии простран ства с помощью новых понятий секвенциальности и компактности по непустому множеству свободных ультрафильтров.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются но выми и состоят в следующем:

1) Доказана эквивалентность свойства нормальности -произведения па ракомпактных p-пространств свойству счетности тесноты простран ства.

2) Решена поставленная Ван Дауэном 13 проблема одновременного обоб щения теоремы Катетова 1948 года и теоремы Зенора 1971 года, а имен но, доказано, что, если произведение X Y наследственно -нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмно жества пространства Y замкнуты. В частности, доказано, что счетно компактное пространство, куб которого наследственно -нормален, яв ляется метризуемым компактом.

3) Доказано, что класс паранормальных в смысле Ван Дауэна про странств совпадает с классом нормальных пространств. Полученный ре зультат позволил дать ответы на некоторые вопросы, поставленные Ван Дауэном в 1980 году.

4) Доказано, что, если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 и компакта X пространство F(X) \ X наследственно K нормально, то X метризуемый компакт.

5) Доказано, что пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетно сти в следующих случаях: (1) если X компакт, слабо нормальный вне диагонали;

(2) если выполняется теоретико-множественное предположе ние PFA и X компакт, F -счетно паракомпактный вне диагонали;

(3) если X счетно компактное пространство, регулярное и D-нормальное вне диагонали.

6) Доказана эквивалентность утверждений: (1) пространство X явля ется компактом;

(2) пространство X счетно компактно и экспоненци альное пространство exp(X) является слабо нормальным пространством;

(3) пространство exp(X) является F --нормальным пространством.

7) Доказана эквивалентность утверждений: (1) пространство X явля ется метризуемым компактом;

(2) пространство exp(X) является на следственно -нормальным пространством;

(3) пространство exp(X) яв ляется наследственно C -нормальным пространством;

(4) пространство exp(X) является наследственно D-нормальным пространством.

8) Доказана эквивалентность утверждений: (1) пространство X ком пактно;

(2) любая степень пространства X является слабо нормаль ным пространством;

(3) любая степень пространства X является F - нормальным пространством.

9) Внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна распро странены на существенно более широкий класс M -пространств, введен ных Моритой 42.

10) Получены аналоги теоремы Зенора о наследственной счетной пара компактности произведения для слабых форм счетной паракомпактно сти. Доказано, что точечно-wE диадический компакт метризуем.

11) Доказано, что для пространства Cp (X) непрерывных действитель нозначных функций в топологии поточечной сходимости свойство F - нормальности эквивалентно свойству нормальности, а свойство наслед ственной -нормальности эквивалентно свойству совершенной нормаль ности.

12) Доказано, что паракомпактное -пространство X имеет G диагональ в том и только в том случае, когда пространство X 2 \ допускает локально-конечное (в X 2 \) прямоугольное открытое покры тие. В частности, паракомпактное p-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X 2 \ допускает локально конечное (в X 2 \ ) прямоугольное открытое покрытие.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретиче ский характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в различных разделах общей топологии: в теории сходимости, в теории кардинальнозначных инвариантов, в топологических вопросах теории категорий, в теории пространств отображений и, в частности, в теории топологических пространств функций.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно до кладывались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П.С.Александрова под руководством профессоров В.В.Федорчука, Morita K. Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann. 1964.

V. 154. P.365–382.

А.В.Архангельского, Б.А.Пасынкова, В.И.Пономарева, В.В.Филиппова, на научной конференции “Ломоносовские чтения”, на Общемосковском топологическом семинаре, на Международной топологической конфе ренции, посвященной 100-летию П.С.Александрова (Москва, 1996), на Всероссийских и международных топологических конференциях “Алек сандровские чтения” (1998 2006), на Всесоюзных и международ ных конференциях и симпозиумах по топологии и её приложениям (Минск, 1977;

Тирасполь, 1979, 1985, 1991;

Ленинград, 1982;

Примор ско(Болгария), 1984;

Баку, 1987;

Берн(Швейцария), 1991;

Киев, 1992;

Прага (Чехия), 1981, 1988, 1996, 2001;

Кралево-Матарушка Баня (Юго славия), 1998;

Львов, 2002;

Эгион (Греция), 2006), на Международной конференции по геометрической топологии, дискретной геометрии и тео рии множеств, посвященной столетию Л.В.Келдыш (Москва, 2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 ра ботах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация объемом 211 страниц состоит из введения, семи глав, разбитых на 27 параграфов, и списка литературы из 185 наименований, включая 30 работ автора.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач, сформулированы основные ре зультаты.

Первая глава. Исследуются классические свойства нормальности и счетной паракомпактности в произведениях. Основным результатом пер вой главы является доказанная в § 1.3 теорема 1, являющаяся усилением ряда теорем, принадлежащих Корсону, М.Э. Рудин, С.П. Гулько.

Теорема 1. Пусть является -произведением паракомпактных p пространств. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1. тес нота счетна;

2. коллективно нормально;

3. нормально;

4.

нормально и счетно паракомпактно.

Также в § 1.3 рассматриваются вопросы, связанные с нормальностью m -произведений. Доказывается следующие теоремы.

Теорема 2. Если любое конечное произведение пространств X, A, нормально, и все X являются m-ограниченными пространствами тесноты m, то m -произведение пространств X, A, нормально и является m-ограниченным пространством.

Теорема 3. Если m является m -произведением компактов, то тес нота пространства m не превосходит m в том и только в том случае, когда пространство m нормально.

Приводится пример ненормального m -произведения компактов, по казывающий существенность условия, налагаемого на тесноту.

В § 1.4 изучаются -произведения. Согласно определению, принадле жащему Корсону, -произведение пространств состоит из всех тех точек -произведения, которые отличаются от фиксированной точки лишь на конечном числе координат. В § 1.4 доказывается теорема 4.

Теорема 4. -Произведение пространств, любое конечное произведение которых является тихоновским m+ -финально компактным (соответ ственно, является паракомпактным) пространством, является m+ финально компактным (соответственно, паракомпактным) простран ством.

Известны примеры ненормальных -произведений пространств, лю бое конечное произведение которых нормально 43. В § 1.4 получены до статочные условия нормальности -произведения:

Теорема 5. Если любое конечное произведение пространств X, A, нормально и все пространства X являются m-компактными (соот ветственно, m-ограниченными) пространствами характера (соответ ственно, тесноты) m, то -произведение пространств X, A, нормально и m-паракомпактно.

§ 1.1 имеет вспомогательный характер, но в то же время представляет и самостоятельный интерес, поскольку в этом параграфе определяются и Chiba K. The strong paracompactness of -products // Scientiae Math. 1999.

V. 2. P. 285–292.

изучаются новые понятия секвенциальности и компактности по непусто му множеству ультрафильтров P \. Понятие секвенциальности по множеству ультрафильтров позволяет дать единое описание секвен циальных пространств и пространств счетной тесноты. Параллельно в § 1.1 вводятся понятия сильно (слабо) P-компактных пространств. Силь но ( слабо) P-компактные пространства охарактеризованы с помощью замкнутых проекций. Выясняются условия, при выполнении которых произведение является секвенциальным по множеству ультрафильтров.

В частности, доказывается Теорема 6. Произведение двух слабо P-секвенциальных пространств, одно из которых локально сильно P-компактно, является слабо P секвенциальным.

При P= \ получаем, что произведение двух пространств счет ной тесноты, одно из которых является локально -ограниченным, имеет счетную тесноту, что является усилением известной теоремы В.И.Малыхина 44, доказавшего, что теснота произведения двух про странств счетной тесноты, одно из которых локально компактно, счетна.

Предложенный метод изучения топологии пространства с использо ванием свободных ультрафильтров использован в § 1.2 для доказатель ства теорем о нормальности произведения двух пространств.

Произведение сильно (соответственно, слабо) P Теорема 7.

секвенциального паракомпакта и нормального слабо (соответственно, сильно) P-компактного пространства коллективно нормально и счет но паракомпактно.

Теорема 7 является усилением теорем Стоуна 20, Дьедонне 21, и автора 45. Также в § 1.2 с помощью результатов Нобла В.В.Федорчука 46 и А.Осташевского 47 доказывается, что невозможен Малыхин В. И. О тесноте и числе Суслина в exp X и в произведении пространств // ДАН СССР. 1972. Т. 203. C. 1001–1003.

Комбаров А. П. О произведении нормальных пространств. Равномерности на -произведениях // ДАН СССР. 1972. Т. 205. С. 1033–1035.

Федорчук В. В. Вполне замкнутые отображения и совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств// Матем. сб. 1976. Т.99.

С. 3–33.

Ostaszewski A. J. On countably compact, perfectly normal spaces// J.London Math.

положительный ответ на естественно возникающий вопрос: нормально ли произведение паракомпакта счетной тесноты и нормального счет но компактного пространства? Далее, показывается, что нормальность произведения паракомпакта счетной тесноты и совершенно нормаль ного счетно компактного пространства не зависит от аксиом теории множеств ZFC. Отметим, что вопрос о существовании “наивного” при мера ненормального произведения паракомпакта счетной тесноты и нор мального счетно компактного пространства остается открытым.

§ 1.5, результаты которого затем используются в § 1.6, посвящен за мкнутым m-компактным отображениям и уплотнениям. Попутно усили ваются результаты работы А.В.Архангельского 48.

В § 1.6 внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлей на распространяются на M -пространства. Пусть теперь является произведением отрезков. Напомним, что подпространство опре деляется как совокупность точек x = {x }, для которых множество ин дексов { A : x } является конечным для любого 0. Подпро странство называется -произведением отрезков. Компактные под множества это в точности компакты Эберлейна, то есть компакт ные подмножества банаховых пространств в слабой топологии 49. Хо рошо известны следующие внутренние характеристики компактов Кор сона и Эберлейна: компакт X является компактом Корсона (Эберлей на) в том и только в том случае, когда X обладает точечно-счетной (-точечно-конечной) системой открытых F -множеств, T0 -разделяющей точки X 24,49. Обобщением характеристики компактов Корсона являет ся теорема 8, в доказательстве которой свойство нормальности играет существенную роль.

Теорема 8. Пусть X является M -пространством. Тогда X гомео морфно некоторому подпространству -произведения отрезков в том и только в том случае, когда X является нормальным пространством с точечно-счетной системой открытых F -множеств, T0 -разделяющей Soc. 1976. V. 14. P. 501–516.

Архангельский А. В. О совершенных отображениях и уплотнениях //ДАН СССР.

1967. Т. 176. С. 983–986.

Rosenthal H.P. The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces// Compos. math. 1974. V. 28. P.83–111.

точки пространства X.

Обобщением внутренней характеристики компактов Эберлейна в классе M -пространств является теорема 9, также доказанная в § 1.6.

Теорема 9. Пусть X является M -пространством. Тогда следующие условия эквивалентны: 1. X гомеоморфно некоторому подпространству -произведения отрезков;

2. X паракомпакт с -точечно-конечной системой открытых F -множеств, T0 -разделяющей точки X;

3. X яв ляется нормальным пространством с -точечно-конечной системой открытых F -множеств, T0 -разделяющей точки X.

Вторая глава. Рассматривается свойство типа нормальности, опреде ленное А.В.Архангельским 50. Пространство X называется слабо нор мальным над классом P топологических пространств, если для любых двух замкнутых непересекающихся множеств F1 и F2 из X найдутся пространство P P и непрерывное отображение f : X P, та кие, что f (F1 ) f (F2 ) =. Пространства, слабо нормальные над клас сом метрических сепарабельных пространств, называются слабо нор мальными. Из леммы Урысона вытекает, что всякое нормальное про странство слабо нормально. Обратное утверждение неверно, посколь ку, например, любое пространство, уплотняющееся на метрическое се парабельное пространство, слабо нормально и даже наследственно сла бо нормально. Уместно заметить, что понятие слабо нормального про странства было введено А.В.Архангельским в связи с теорией расщеп ляемых пространств 51. Слабая нормальность является одновременным обобщением свойств нормальности и расщепляемости. Примером сла бо нормального пространства, не являющимся ни нормальным ни рас щепляемым пространством, является общеизвестная плоскость Тихоно ва: ((1 + 1 ) ( + 1 ) ) \ {(1, )}.

В § 2.1 рассматривается слабая нормальность экспоненциального про странства. Поскольку из нормальности экспоненциального пространства Arhangel’skii A. V. Divisibility and cleavability of spaces.// Recent Developments of General Topology and its Applications. Math. Research 67. Berlin: Academie-Verlag, 1992. P.13–26.

Arhangel’skii A. V. A survey of cleavability // Topology Appl. 1993. V. 54.

P. 141–163.

exp(X) по теореме Ивановой 31 следует счетная компактность простран ства X, получаем, что из условия “exp(X) нормально”, содержащегося в теореме Величко 34, следует условие “X счетно компактно и exp(X) слабо нормально”. Поэтому следующая теорема является обобщением теоремы Величко 34.

Теорема 10. Пусть X счетно компактно и exp(X) слабо нормально.

Тогда пространство X является компактом.

Показывается, что слабая нормальность (даже наследственная сла бая нормальность) пространства exp(X) не влечет компактность X.

Иными словами, условие счетной компактности пространства X в фор мулировке теоремы 10 является существенным, и в этом смысле теорема 10 неулучшаема.

В § 2.2 получено обобщение теоремы Нобла 10 о нормальности сте пеней, а именно, доказано, что пространство X компактно в том и только в том случае, когда любая степень пространства X слабо нор мальна.

Основным результатом § 2.3 является следующая теорема, представ ляющая собой усиление вышеупомянутого результата из работы 18.

Теорема 11. Слабо нормальный вне диагонали компакт удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Третья глава посвящена изучению слабых форм счетной паракомпакт ности. В § 3.1 с помощью хорошо известной характеристики счетно па ракомпактных пространств (см. 52, 5.2.1) вводится новый класс -счетно паракомпактных пространств. Всякое счетно паракомпактное простран ство -счетно паракомпактно. В § 3.1 доказывается, что каждое псевдо нормальное (а значит, и каждое нормальное) пространство -счетно паракомпактно. Доказывается аналог теорем Катетова и Зенора для на следственно -счетно паракомпактных произведений.

В § 3.2 с использованием характеристики счетно паракомпактных пространств, предложенной Мансфилдом (см. 52, 5.5.17), вводятся сла бые формы счетной паракомпактности sE, E и wE. Пространство X Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир: 1986.

обладает свойством sE (соответственно, E ), если каждая счетная дис кретная система {Fi : i } замкнутых счетных подмножеств (соот ветственно, одноточечных подмножеств) пространства X “раздувается” до локально конечной системы открытых подмножеств. Пространство X обладает свойством wE, если каждое бесконечное замкнутое дискрет ное подмножество пространства X содержит бесконечное подмножество, точки которого “раздуваются” до локально конечной системы открытых подмножеств. Доказывается, что всякое -счетно паракомпактное про странство обладает свойством sE.

В § 3.3 изучаются замкнутые отображения на q-пространства. Из вестно, что, если f является замкнутым отображением пространства X на q-пространство Y, то граница полного прообраза f 1 (y ) является счетно компактным множеством для каждого y Y, если пространство X нормально 53 или является счетно паракомпактным пространством 54.

Следующая теорема является одновременным обобщением теорем Майк ла и Харлея.

Теорема 12. Пусть пространство X обладает свойством wE, про странство Y является q-пространством и отображение f : X Y пространства X на пространство Y замкнуто.

Тогда граница Fr(f 1 (y ) ) является счетно компактным множе ством для каждой точки y Y.

Приводится пример, показывающий, что свойство wE в условии тео ремы 12 является существенным.

В § 3.4 доказываются теоремы, являющиеся аналогами теоремы Зе нора о наследственной счетной паракомпактности произведения для вве денных свойств типа счетной паракомпактности. Основным результатом § 3.4 является следующая теорема.

Теорема 13. Если любое подпространство произведения X Y обла дает свойством sE, пространство Y регулярно и содержит счетное незамкнутое подмножество, то каждое счетное замкнутое подмно Michael E. A note on closed maps and compact sets// Israel J. Math. 1964. V. P. 173–176.

Harley P.W. On countably paracompact spaces and closed maps// Portug. Math.

1989. V. 46 P. 115–119.

жество пространства X является G -множеством.

Пусть Q некоторое топологическое свойство. Будем говорить, что пространство X обладает свойством точечно-Q (соответственно, обла дает свойством F -Q;

обладает свойством Q вне диагонали), если для каждой точки x X подпространство X \ {x} (соответственно, каж дое F -подмножество пространства X;

пространство X 2 \ ) обладает свойством Q.

Теорема 14. Если произведение XY обладает свойством точечно-F sE, пространство Y регулярно и содержит счетное незамкнутое под множество, то каждая точка пространства X является G -точкой.

Теорема 15. Если произведение X Y обладает свойством точечно-E и Y содержит счетное незамкнутое подмножество M с единственной предельной точкой y Y, то каждая точка пространства X является G -точкой.

Теорема 16. Если произведение X Y обладает свойством точечно wE и Y содержит сходящуюся последовательность, то каждая точка пространства X является G -точкой.

Следствие. Пусть X является бесконечным компактом. Тогда про странство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в том и толь ко в том случае, когда X 2 обладает свойством точечно-wE и X содер жит сходящуюся последовательность + 1.

Приводится пример, показывающий, что условие X + 1 является существенным и не может быть опущено.

В § 3.5 показывается, что несчетное произведение неодноточечных пространств обязательно содержит подпространства, не обладающие свойством wE. Также в § 3.5 доказывается, что точечно-wE диадический компакт метризуем. Это утверждение является значительным усиле нием известной теоремы Б.А.Ефимова (см. 52, 3.12.12(k )), доказавшего метризуемость наследственно нормального диадического компакта.

В § 3.6 рассматриваются свойства типа счетной паракомпактности в пространстве X 2 \. В частности, доказывается теорема 17.

Теорема 17. Компакт, обладающий свойством F -sE вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности в каждой точке некоторого всюду плотного множества.

Заметим, что пример компакта X = 1 + 1 показывает, что да же из F -псевдонормальности пространства X 2 \ не следует пер вая аксиома счетности во всех точках X. Ситуация меняется, если F псевдонормальность усилить до F -счетной паракомпактности и вос пользоваться дополнительным теоретико-множественным предположе нием PFA, являющимся мощной версией известной аксиомы Мартина.

Теорема 18. [PFA] Компакт, являющийся F -счетно паракомпакт ным вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Основным результатом § 3.7 является следующая теорема.

Теорема 19. Если экспоненциальное пространство exp(X ) регулярно и обладает свойством точечно-E, то пространство X является наслед ственно сепарабельным совершенно нормальным счетно компактным пространством.

В § 3.8 рассматриваются паранормальные в смысле Ван Дауэна пространства. Регулярное пространство X называется паранормальным, если для любой дискретной последовательности {Fn : n } замкнутых подмножеств X найдутся открытые множества {Un,k : n, k }, такие, что Fn Un,k для всех n, k, и {Un,k : n, k } = 13. Паранор мальность была введена Ван Дауэном в связи с попыткой одновремен ного обобщения классических теорем Катетова и Зенора о наследствен но нормальных и наследственно счетно паракомпактных произведениях.

Ван Дауэн полагал, что (регулярные) счетно паракомпактные простран ства паранормальны ( 13, p. 63), то есть, что паранормальность является слабой формой счетной паракомпактности, что неверно, поскольку спра ведлива теорема 20.

Теорема 20. Класс паранормальных пространств совпадает с классом нормальных пространств.

В статье 13 сформулированы следующие вопросы. 1) Если простран ство Y содержит замкнутое подмножество, не являющееся регулярным G -множеством, а пространство X содержит счетное незамкнутое под множество, то содержит ли произведение X Y подпространство, не являющееся паранормальным? ( 13, p.64) 2) Если D является замкну тым дискретным подмножеством паранормального пространства X, то верно ли, что 2|D| 2d(X) ? ( 13, p.65) Доказанная теорема позволяет дать положительные ответы на эти вопросы Ван Дауэна. Отметим в связи со вторым вопросом, что для паранормальных пространств Ван Дауэн получил более слабую оценку |D| 2d(X).

Четвертая глава. Основным результатом четвертой главы является ре шение проблемы одновременного обобщения теоремы Катетова 1948 го да 11 и теоремы Зенора 1971 года 12, а именно, в этой главе доказывается теорема 21.

Теорема 21. Если произведение X Y наследственно -нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмно жества пространства Y замкнуты.

Следствие. Счетно компактное пространство, куб которого являет ся наследственно -нормальным пространством, метризуемо.

Основное определение содержится в работе Дж.Мака 55. Простран ство называется -нормальным 55, если любые два непересекающих ся замкнутых множества, одно из которых является регулярным G множеством, содержатся в непересекающихся окрестностях. При этом подмножество G топологического пространства называется регулярным G -множеством, если оно является пересечением счетного числа замкну тых множеств, внутренности которых содержат множество G. Всякое нормальное пространство, очевидно, -нормально. Мак 55 доказал, что каждое счетно паракомпактное пространство является -нормальным.

Таким образом свойство -нормальности является одновременным обоб щением нормальности и счетной паракомпактности. В той же работе Мак получил аналог теоремы Даукера: пространство X счетно пара компактно в том и только в том случае, когда произведение X [0;

1] является -нормальным пространством.

В §4.1 изучаются F --нормальные пространства. В 1976 году Зенор Mack J. Countable paracompactness and weak normality properties// Trans. Amer.

Math. Soc. 1970. V. 148 P. 265–272.

(см. 52, 5.5.16(b)) доказал, что если все F -подмножества произведения X Y являются счетно паракомпактными пространствами, то либо X нормально, либо все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Основным результатом § 4.1 является следующая теорема, представля ющая собой обобщение вышеприведенной теоремы Зенора.

Теорема 22. Если произведение X Y является F --нормальным, то либо X нормально и счетно паракомпактно, либо все счетные подмно жества пространства Y замкнуты.

В качестве приложения теоремы 22 получаем еще одно обобщение теоремы Нобла о нормальности степеней: пространство X является компактом в том и только в том случае, когда любая степень про странства X является F --нормальным пространством, причем по казывается, что условие F --нормальности не может быть ослаблено до условия -нормальности. Еще одно применение теоремы 22 односится к экспоненциальным пространствам, а именно, справедливо следующее усиление теоремы Величко.

Теорема 23. Если экспоненциальное пространство exp(X) является F --нормальным пространством, то X является компактом.

Показывается, что в теореме 23 нельзя ослабить условие F - нормальности до условия -нормальности. Далее, из теоремы 22 выво дится эквивалентность свойств F --нормальности и нормальности для пространства Cp (X) непрерывных действительнозначных функций в топологии поточечной сходимости.

В § 4.2 с использованием результатов, полученных в § 4.1, иссле дуется свойство наследственной -нормальности и, в частности, дока зывается вышеприведенная теорема 21. Еще одним усилением теоре мы Б.А.Ефимова является следующее утверждение: наследственно нормальный диадический компакт метризуем. Также получено обобще ние теоремы Чобана 1979 года 40, а именно, доказано, что, если exp(X) наследственно -нормально, то X метризуемый компакт. В качестве еще одного следствия теоремы 21 получаем эквивалентность наслед ственной -нормальности пространства Cp (X) свойству совершенной нормальности Cp (X).

Пятая глава. В этой главе вводится новое понятие нормальности над классом топологических пространств. Пусть U некоторый класс то пологических пространств. Топологическое пространство X называется нормальным над классом U или U-нормальным, если в X любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых принадлежит классу U, содержатся в непересекающихся окрестностях. Очевидно, все нормальные пространства U-нормальны для любого класса U. Отметим, это в точности S-нормальные что псевдонормальные пространства пространства, где S является классом всех счетных регулярных про странств. Пусть теперь Q некоторый другой класс топологических пространств. Класс U будем называть Q-стабильным, если для каждо го X U и Y Q произведение X Y принадлежит U. Например, если L является классом всех линделёфовых пространств, то класс L является S-стабильным. Основным результатом § 5.1 является еще одно обобщение теоремы Катетова.

Теорема 24. Если произведение X Y является наследственно U нормальным пространством, и класс U является Q-стабильным, то или каждое замкнутое подмножество пространства X, принадлежа щее классу U, является регулярным Gm -множеством при m = min{|M | : M Q, M Y, M = M } или все подмножества пространства Y, принадлежащие классу Q, за мкнуты.

Следствие. Если произведение X Y наследственно псевдонормаль но, то или всякое счетное замкнутое подмножество пространства X является регулярным G -множеством или все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Обозначим через C (соответственно, через K ) класс пространств, представимых в виде объединения счетного числа счетно компактных (соответственно, компактных) подпространств. Следствиями теоремы являются две теоремы о кубе: счетно компактное (соответственно, компактное) пространство, куб которого наследственно C-нормален (соответственно, наследственно K-нормален), метризуемо.

В § 5.2 более подробно рассматривается класс L-нормальных про странств, которые мы будем называть линделёф-нормальными. Заме тим, что произведение 1 ( + 1 ) является наследственно линделёф нормальным пространством, но замкнутое множество LIM всех счетных предельных ординалов в 1 не является G -множеством в пространстве 1. Тем не менее, всякое замкнутое подмножество 1 со свойством Лин делёфа является G -множеством, что, в частности, следует из теоремы 25, которая также является аналогом теоремы Катетова.

Теорема 25. Если произведение X Y наследственно линделёф нормально, то или всякое замкнутое подмножество со свойством Лин делёфа пространства X является регулярным G -множеством или все счетные подмножества пространства Y замкнуты.

Следствием теоремы 25 является еще одна теорема о кубе: компакт, куб которого является наследственно линделёф-нормальным простран ством, метризуем, причем в этой теореме условие компактности нельзя ослабить до условия счетной компактности.

Обозначим теперь через C класс пространств, представимых в виде счетного объединения счетно компактных совершенно нормальных сепа рабельных подпространств.

Теорема 26. Если exp(X) является наследственно C -нормальным пространством, то X метризуемый компакт.

Следствие. [MA + ¬CH] Если пространство exp(X) является наслед ственно линделёф-нормальным пространством, то X метризуемый компакт.

В § 5.3 вводится и изучается свойство совершенной U-нормальности.

Регулярное пространство X называется совершенно U-нормальным, ес ли замыкание A любого множества A X, такого, что A U, явля ется функционально замкнутым множеством. В § 5.3 обобщается из вестная теорема Катетова о совершенно нормальных произведениях 11, причем следствием полученного обобщения теоремы Катетова являет ся утверждение о том, что счетное произведение совершенно линделёф нормально в том и только в том случае, когда все конечные подпроизве дения являются совершенно линделёф-нормальными пространствами.

§ 5.4 посвящен нормальным функторам в смысле Е.В.Щепина 36.

В.В.Федорчук 35 доказал, что, если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 компакт F(X) наследственно нормален, то метризуемый компакт. Т.Ф.Жураев 56 по аналогии с теоремой X Зенора о кубе заменил в теореме В.В.Федорчука наследственную нор мальность компакта F(X) на наследственную счетную паракомпакт ность F(X). Понятие нормальности над классом пространств позво ляет усилить эти результаты, а именно, следующая теорема являет ся одновременным обобщением теорем В.В.Федорчука и Т. Ф. Журае ва, причем метод доказательства восходит к работам М.Катетова 11 и В.В.Федорчука 35.

Теорема 27. Если для какого-нибудь нормального функтора F степени 3 и компакта X пространство F(X)\X наследственно K-нормально, то X метризуемый компакт.

Шестая глава. В 1981 году Бранденбург 57 в определении нормальности заменил непересекающиеся открытые множества, разделяющие замкну тые множества, замкнутыми G -множествами. Получившееся свойство D-нормальности оказалось одновременным обобщением нормальности и свойства быть пространством с измельчением 57.

Хорошо известно, что из совершенной нормальности экспоненциаль ного пространства exp(X) следует компактность и метризуемость про странства X. Известны два разнородных обобщения этого утверждения.

В 1976 году В.В.Попов 58 доказал, что если пространство exp(X) регу метризуемый компакт. М.М.Чобан 40 до лярно и совершенно, то X казал, что если пространство exp(X) наследственно нормально, то X метризуемый компакт. Основным результатом § 6.1 является теорема 28, представляющая собой одновременное обобщение теоремы В.В.Попова и теоремы М.М.Чобана.

Теорема 28. Если пространство exp(X) наследственно D-нормально, Жураев Т. Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн.

Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. №4. С. 8–11.

Brandenburg H. Separating closed sets by continuous mappings into developable spaces // Can. J. Math. 1981. V. 33. P. 1420–1431.

Попов В. В. О пространстве замкнутых подмножеств // ДАН СССР. 1976.

Т. 229. С. 1051–1054.

то X метризуемый компакт.

В 1997 году Д.В.Малыхин 19 доказал, что счетно компактное нор мальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счет ности. Следующая теорема является усилением теоремы Д.В.Малыхина и основным результатом § 6.2.

Теорема 29. Счетно компактное пространство, являющееся регуляр ным и D-нормальным вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности.

Седьмая глава. В этой главе рассматриваются прямоугольные покры тия. Семейство подмножеств X X называется прямоугольным, если = {U W : A}.

Грюнхаге и Пелант 59 доказали, что каждое паракомпактное вне диа гонали -пространство имеет диагональ типа G. Следующая теорема дополняет теорему Грюнхаге-Пеланта и является основным результатом § 7. Теорема 30. Паракомпактное -пространство X имеет G -диагональ в том и только в том случае, когда пространство X 2 \ допускает локально-конечное (в X 2 \ ) прямоугольное открытое покрытие.

Следствие. Паракомпактное p-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X 2 \ допускает локально конечное (в X 2 \ ) прямоугольное открытое покрытие.

В § 7.2 рассматриваются счетные прямоугольные покрытия.

Теорема 31. Линделёфово -пространство X имеет G -диагональ в том и только в том случае, когда пространство X 2 \ допускает счетное прямоугольное открытое покрытие.

Следствие. Линделёфово p-пространство X метризуемо в том и только в том случае, когда пространство X 2 \ допускает счетное прямоугольное открытое покрытие.

Gruenhage G., Pelant J. Analytic spaces and paracompactness of X 2 \ // Topology Appl. 1988. V. 28. P. 11–15.

В заключение отметим, что условие - в формулировке теоремы не может быть опущено. Соответствующие примеры были построены А.Н.Якивчиком 60 и Беннетом и Латцером 61.

Якивчик A. H. О диагональном числе топологических пространств // Вестн.

Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. №6. С. 84–86.

Bennett H., Lutzer D. O-diagonal metrization theorems// Topol. Proc. 1997.

V. 22. P.37–58.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (Публикации [1] [21] из официального Перечня ВАК) [1] Комбаров А. П. О нормальности m -произведений // ДАН СССР.

1973. Т. 211. С. 524–527.

[2] Комбаров A.П. Нормальные -произведения // ДАН СССР.

1977. Т. 232. С. 1004–1007.

[3] Комбаров А.П. О тесноте и нормальности -произведений // ДАН СССР. 1978. Т. 239. С. 775–778.

[4] Комбаров А.П. О пространствах с точечно-счетной полубазой// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. №3. С. 28–31.

[5] Комбаров А.П. О замкнутых m-компактных отображениях и уплот нениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. №6. С. 70–72.

[6] Комбаров А.П. Об одной теореме А.Стоуна// ДАН СССР. 1983.

Т. 270. С. 38–40.

[7] Комбаров А.П. О компактности и секвенциальности по множеству ультрафильтров// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1985. №5.

С. 15–18.

[8] Комбаров А.П. Наследственная паракомпактность X 2 и метризу емость X // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. № 2.

С. 79–81.

[9] Комбаров А.П. О F -счетно паракомпактных пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 4. С. 91–93.

[10] Комбаров А.П. Замечание к теореме Катетова// Вестн. Моск. ун та. Матем. Механ. 1990. №2. С. 82–83.

[11] Комбаров А.П. Теснота паракомпактных k-пространств и счетная паракомпактность F -множеств в произведениях// Вестн. Моск.

ун-та. Матем. Механ. 1990. №3. С. 87–89.

[12] Комбаров А.П. Псевдонормальность F -подмножеств X 2 \ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1991. №1. С. 85–87.

[13] Комбаров А.П. О теоремах Катетова и Зенора// Вестн. Моск. ун та. Матем. Механ. 1992. №1. С. 102–104.

[14] Комбаров А.П. О слабой нормальности пространства X 2 \ // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. №3. С. 40–44.

[15] Комбаров А.П. Счетная нормальность подмножеств exp(X)// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. №5. С. 97–99.

[16] Комбаров А.П. О свойствах типа нормальности в произведениях// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. №4. С. 64–66.

[17] Комбаров А.П. О свойствах типа счетной паракомпактности в произведениях// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. №3.

С. 25–28.

[18] Комбаров А.П. К теореме Катетова-Федорчука о кубе// Вестн.

Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. №5. С. 59–61.

[19] Комбаров А.П. О нормальных функторах степени 3 // Матем.

заметки 2004. Т. 76. С. 147–149.

[20] Комбаров А.П. О D-нормальности X 2 \ //Успехи матем. наук 2004. Т. 59. С. 173–174.

[21] Комбаров А.П. О паранормальных пространствах // Матем. замет ки 2007. Т. 81. С. 311–313.

[22] Kombarov A.P. On rectangular covers of X 2 \ // Comment. Math.

Univ.Carolinae. 1989. V. 30 P. 81–83.

[23] Kombarov A. P. Weak normality, exp(X) and powers // Topology and Applications. International Topological Conference Dedicated to P.S.Alexandro’s 100th Birthday. Moscow: “Phasis”, 1996. P.71– 72.

[24] Kombarov A.P. On expandable discrete collections// Topol. Appl.

1996. V. 69 P. 283–292.

[25] Kombarov A.P. Weak normality of subsets of exp(X)// Topol. Appl.

1997. V. 76 P. 157–160.

[26] Комбаров А.П. Слабая нормальность 2X и X // Фундаментальная и прикладная математика 1998. Т. 4. С. 135–140.

[27] Kombarov A.P. On F --normality and hereditary -normality // Topology Appl. 1999. V. 91. P. 221–226.

[28] Kombarov A.P. On Lindelf-normal spaces // Topology Appl.

o 2000.

V. 107. P. 117–122.

[29] Комбаров А.П. Свойства типа нормальности и ковариантные функ торы// Фундаментальная и прикладная математика 2003.

Т. 9, № 2. С. 57–98. (Kombarov A.P. Normality-type properties and covariant functors// Journal of Mathematical Sciences 2003.

V. 131, № 4. P. 5738–5764.) [30] Kombarov A.P. On D-normality of X 2 \ and hereditary D-normality of exp(X) // International Conference on Geometric Topology, Discrete Geometry and Set Theory (Dedicated to the centenary of L.V.Keldysh).

Moscow: Steklov Mathematical Institute RAS, 2004. P. 30–31.